Calcul I MTH1101 • Polytechnique Montréal

Fiche de révision : gradient et dérivée directionnelle (MTH1101, Polytechnique)

Q: Pourquoi faut-il un vecteur unitaire pour calculer une dérivée directionnelle ?

Parce que la dérivée directionnelle est un taux par unité de longueur. Avec un vecteur de longueur trois, le produit scalaire avec le gradient donne trois fois le vrai taux. On divise donc toujours le vecteur par sa norme avant le produit scalaire, y compris quand la direction est donnée par un second point : on normalise le vecteur qui va du premier point au second.

Q: Comment trouver la direction dans laquelle une fonction augmente le plus vite ?

On calcule le gradient au point. La fonction augmente le plus vite dans la direction du gradient, et le taux maximal est la norme du gradient, la racine de la somme des carrés des dérivées partielles. Elle diminue le plus vite dans la direction opposée, au taux moins la norme. Ce n'est pas la plus grande des dérivées partielles, ni la direction du sommet en général.

Q: Pourquoi le gradient est-il perpendiculaire aux courbes de niveau ?

On paramètre la courbe de niveau par r de t. Le long de la courbe, f de r de t vaut la constante k pour tout t. En dérivant par la règle de chaîne, on obtient f x fois x prime plus f y fois y prime égale zéro, c'est-à-dire que le produit scalaire du gradient et du vecteur tangent r prime de t est nul. Le gradient est donc perpendiculaire à la tangente, donc à la courbe de niveau.

Q: Comment trouver le plan tangent à une surface donnée par une équation F(x, y, z) = k ?

On vérifie que le point est sur la surface, puis on calcule le gradient de F en ce point. S'il n'est pas nul, il est normal à la surface, et le plan tangent est l'ensemble des points X tels que le gradient et le vecteur qui va du point à X soient orthogonaux. La droite normale part du point dans la direction du gradient.

Cette fiche de révision porte sur le gradient et la dérivée directionnelle, section 4.4 de Stewart, *Calcul à plusieurs variables*, tels que MTH1101 les enseigne à Polytechnique juste après la dérivation en chaîne, en fin de matière du contrôle périodique 2. Elle ne refait pas le cours : elle dit ce qui coûte des points, sans calculatrice, et quel geste l'évite. Le seul document permis aux contrôles étant votre aide-mémoire d'une feuille recto verso, le bloc « à retenir » est fait pour y être recopié.

Un seul réflexe la traverse : avant d'écrire un taux, demandez-vous quel est l'angle entre la direction et le gradient. Le maximum, le zéro, le minimum, les deux directions d'un taux imposé et le plan tangent se lisent tous dans ce cosinus.

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Le fil du chapitre

Tout taux de variation se lit dans un cosinus : $D_{\vec u}f=\nabla f\cdot\vec u=\|\nabla f\|\cos\theta$ , à condition que $\vec u$ soit UNITAIRE et $f$ différentiable. Le gradient est perpendiculaire aux courbes et surfaces de niveau, et sa norme est le taux maximal : presque toutes les erreurs du chapitre oublient l'une de ces deux phrases.

Ce chapitre fait partie de Calcul I MTH1101, Polytechnique Montréal : exercices corrigés et fiches, chapitre par chapitre

Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 10 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

La dérivation en chaîne Exercices

Remonter plus loin : la chaîne complète (4 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

L'essentiel

Un taux se lit dans un cosinus

• Pour $\vec u$ UNITAIRE, $D_{\vec u}f(P)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(P+h\vec u)-f(P)}{h}$ : c'est la dérivée de $f$ le long de la droite qui part de $P$ dans la direction $\vec u$ .
• Si $f$ est différentiable en $P$ , $D_{\vec u}f(P)=\nabla f(P)\cdot\vec u=\|\nabla f(P)\|\cos\theta$ , où $\theta$ est l'angle entre $\vec u$ et $\nabla f(P)$ . C'est la règle de chaîne appliquée à $g(h)=f(P+h\vec u)$ : $g'(0)=f_{x}u_{1}+f_{y}u_{2}$ .
• Donc : taux maximal $\|\nabla f(P)\|$ pour $\theta=0$ ; taux nul pour $\theta=90^{\circ}$ ; taux minimal $-\|\nabla f(P)\|$ pour $\theta=180^{\circ}$ . Toute valeur strictement entre les deux est atteinte dans DEUX directions.
• Un vecteur $\vec v$ quelconque se normalise, $\vec u=\frac{\vec v}{\|\vec v\|}$ ; « vers $Q$ » veut dire $\vec u=\frac{\overrightarrow{PQ}}{\|\overrightarrow{PQ}\|}$ ; un angle donne $\vec u=(\cos\theta,\sin\theta)$ .

Gradient de norme

2

: le taux vaut

2

dans sa direction,

1

60^{\circ}

0

le long de la tangente à la courbe de niveau et

-2

en sens opposé.

Le correcteur attend une demi-ligne avant la formule : « $f$ est polynomiale, donc différentiable ». Elle coûte cinq secondes et protège tout le calcul.

Le gradient et les niveaux

• $\nabla f(P)$ est perpendiculaire à la courbe de niveau qui passe par $P$ et pointe vers les niveaux CROISSANTS. Sur une carte de contour, il est d'autant plus long que les courbes sont serrées.
• À trois variables, $\nabla F(P)$ est normal à la surface de niveau $F=k$ : plan tangent $\nabla F(P)\cdot(x-x_{0},y-y_{0},z-z_{0})=0$ , droite normale $P+t\,\nabla F(P)$ .
• Un graphe $z=f(x,y)$ est la surface de niveau $0$ de $f(x,y)-z$ : sa normale est $(f_{x},f_{y},-1)$ . Le vecteur $\nabla f=(f_{x},f_{y})$ , lui, vit dans le plan de la carte.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Ce que le gradient répond, question par question

Toutes les lignes viennent de $D_{\vec u}f=\|\nabla f\|\cos\theta$ et supposent $f$ différentiable. La case rouge est une règle inventée par les copies : elle n'est pas une réponse, elle est l'ordre de revenir au cosinus.

On cherche	Condition	Réponse
taux vers $\vec v$	$\vec v\neq\vec 0$	$\frac{\nabla f\cdot\vec v}{\\|\vec v\\|}$
Exemple : $\nabla f=(4,\,1)$ , $\vec v=(1,\,2)$ : $\frac{6}{\sqrt{5}}\approx 2{,}68$
taux maximal	$\nabla f\neq\vec 0$	$\\|\nabla f\\|$
Exemple : $\nabla f=(2,\,2)$ : $2\sqrt{2}\approx 2{,}83$ , vers $\frac{1}{\sqrt{2}}(1,\,1)$
taux nul	$\vec u\perp\nabla f$	tangente au niveau
Exemple : $\nabla f=(1,-2)$ : $\vec u=\pm\frac{1}{\sqrt{5}}(2,\,1)$ , car $2-2=0$
plan tangent à $F=k$	$\nabla F(P)\neq\vec 0$	$\nabla F(P)\cdot\overrightarrow{PX}=0$
Exemple : $x^{2}+y^{2}+z^{2}=9$ en $(1,\,2,\,2)$ : $x+2y+2z=9$
taux maximal	aucune	$\max(\|f_{x}\|,\|f_{y}\|)$ règle inexistante
Exemple : $\nabla f=(2,\,2)$ : la plus grande partielle vaut $2$ , le taux maximal $2\sqrt{2}\approx 2{,}83$ . Ce qu'il faut faire : Prendre la NORME $\sqrt{f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}$ : les axes ne sont que deux directions parmi une infinité.

Un taux ne dépasse jamais $\|\nabla f\|$ en valeur absolue : c'est le contrôle de toute la grille.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Oublier de normaliser la direction

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x,y)=2x^{2}+y$ , $\nabla f(1,\,3)=(4,\,1)$ , donc dans la direction de $(1,\,2)$ le taux vaut $4+2=6$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\|(1,\,2)\|=\sqrt{5}$ , $\vec u=\frac{1}{\sqrt{5}}(1,\,2)$ et $D_{\vec u}f(1,\,3)=\frac{6}{\sqrt{5}}=\frac{6\sqrt{5}}{5}\approx 2{,}68$ . »

Pourquoi : Avec un vecteur non unitaire, le produit scalaire mesure le taux MULTIPLIÉ par la longueur du vecteur. Contrôle : $6>\|\nabla f\|=\sqrt{17}\approx 4{,}12$ , impossible pour un taux.

2. Dessiner le gradient le long du rayon ou vers le sommet

1 point sur le dessin, et toute question de plus forte pente

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Pour $f=x^{2}+4y^{2}$ en $P(2,\,1)$ , le gradient pointe dans la direction de $\overrightarrow{OP}=(2,\,1)$ , en s'éloignant du centre. »

Ce qu'il faut écrire

« $\nabla f(2,\,1)=(4,\,8)$ , de direction $(1,\,2)$ : il est perpendiculaire à l'ellipse $x^{2}+4y^{2}=8$ , pas porté par $\overrightarrow{OP}$ . »

Sur l'ellipse

x^{2}+4y^{2}=8

, le gradient en

P(2,\,1)

part à angle droit de la courbe, nettement plus haut que le prolongement pointillé de

OP

Pourquoi : Le gradient est perpendiculaire à la courbe de niveau ; il ne vise le centre que si les courbes sont des cercles. Ici l'angle entre $(1,\,2)$ et $(2,\,1)$ a pour cosinus $\frac{4}{5}$ , et le taux le long de $\overrightarrow{OP}$ , $\frac{16}{\sqrt{5}}\approx 7{,}16$ , reste sous le maximum $4\sqrt{5}\approx 8{,}94$ .

3. Prendre la plus grande dérivée partielle pour le taux maximal

1 point, et la direction fausse avec

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f_{x}(P)=2$ et $f_{y}(P)=2$ , donc $f$ croît au plus vite au taux $2$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le taux maximal est $\|\nabla f(P)\|=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}\approx 2{,}83$ , dans la direction $\frac{1}{\sqrt{2}}(1,\,1)$ . »

D(\theta)=2\cos\theta+2\sin\theta

vaut

2

sur les deux axes, à

0^{\circ}

90^{\circ}

, mais culmine à

2\sqrt{2}\approx 2{,}83

45^{\circ}

, au-dessus de la ligne pointillée.

Pourquoi : Une dérivée partielle est le taux dans la direction d'un AXE, $D(0^{\circ})$ ou $D(90^{\circ})$ ; le maximum est souvent ailleurs, entre les axes.

4. Prendre le gradient pour la normale à une surface z = f(x,y)

toute la question du plan tangent

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Pour $z=xy$ en $(2,\,3,\,6)$ , la normale au plan tangent est $\nabla f(2,\,3)=(3,\,2)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La surface est le niveau $0$ de $xy-z$ : normale $(3,\,2,-1)$ , plan tangent $z=3x+2y-6$ . »

Pourquoi : $(3,\,2)$ a deux composantes : c'est un vecteur de la carte, normal à la courbe de niveau $xy=6$ . Il manque la composante en $z$ , qui vaut toujours $-1$ pour un graphe.

5. Appliquer la formule à une fonction qui n'est pas différentiable

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f=\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}$ , $f(0,\,0)=0$ : $f_{x}(0,\,0)=1$ , $f_{y}(0,\,0)=0$ , donc $D_{\vec u}f(0,\,0)=u_{1}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Par la définition, $D_{\vec u}f(0,\,0)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{h^{3}u_{1}^{3}}{h^{3}}=u_{1}^{3}$ ; pour $\vec u=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,\,1)$ , $\frac{\sqrt{2}}{4}\approx 0{,}354$ , et non $\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0{,}707$ . »

Pourquoi : $D_{\vec u}f=\nabla f\cdot\vec u$ est un THÉORÈME, dont l'hypothèse est la différentiabilité. Pour une fonction définie par morceaux, au point de raccord, on revient à la limite.

6. Dire que le taux minimal est zéro

1 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\nabla f(P)=(1,-2)$ ; le taux minimal est $0$ , le long de la courbe de niveau. »

Ce qu'il faut écrire

« Le taux minimal est $-\|\nabla f(P)\|=-\sqrt{5}\approx -2{,}24$ , dans la direction $\frac{1}{\sqrt{5}}(-1,\,2)$ ; le taux est NUL le long de la tangente $\pm\frac{1}{\sqrt{5}}(2,\,1)$ . »

Pourquoi : « Minimal » veut dire le plus négatif, pas le plus petit en valeur absolue : $f$ décroît le plus vite à l'opposé du gradient.

7. Ne trouver qu'une direction pour un taux imposé

1 point, une réponse sur deux

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\nabla f(P)=(0,\,2)$ et l'on veut $D_{\vec u}f(P)=1$ : $\cos\theta=\frac{1}{2}$ , donc $\vec u=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\theta=\pm 60^{\circ}$ autour du gradient : $\vec u=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)$ ou $\vec u=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)$ . »

Pourquoi : $\cos\theta=c$ a deux solutions, symétriques par rapport à la direction du gradient, sauf aux extrêmes $c=\pm 1$ . Algébriquement : la droite $\nabla f\cdot\vec u=c$ coupe le cercle unité en deux points.

8. Calculer le taux maximal sans racine

1 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\nabla f(P)=(1,-2)$ , donc le taux maximal vaut $\nabla f\cdot\nabla f=5$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le taux maximal vaut $\nabla f\cdot\frac{\nabla f}{\|\nabla f\|}=\|\nabla f\|=\sqrt{5}\approx 2{,}24$ . »

Pourquoi : C'est le piège de la normalisation sous une autre forme : la direction du gradient doit être rendue unitaire avant le produit scalaire.

Quelle méthode choisir

Quel calcul selon ce que demande l'énoncé

Repérez le mot de l'énoncé, puis le calcul suit.

Si « dans la direction de $\vec v$ » ou « vers $Q$ » → normaliser, puis $\nabla f\cdot\vec u$

Exemple : $\nabla f=(4,\,1)$ , vers $\vec v=(1,\,2)$ : $\frac{6}{\sqrt{5}}$
Si « angle $\theta$ avec l'axe des $x$ » → $\vec u=(\cos\theta,\sin\theta)$ , puis $\nabla f\cdot\vec u$

Exemple : $\nabla f=(4,\,1)$ , $\theta=90^{\circ}$ : $D=1=f_{y}$
Si « le plus vite », « plus forte pente » → direction $\frac{\nabla f}{\|\nabla f\|}$ , taux $\|\nabla f\|$ ; « décroît le plus vite » : l'opposé

Exemple : $\nabla f=(2,\,2)$ : taux $2\sqrt{2}$
Si « sans changer », « même niveau », « même altitude » → $\vec u\perp\nabla f$ , deux sens à deux variables, un cercle de directions à trois

Exemple : $\nabla f=(1,-2)$ : $\pm\frac{1}{\sqrt{5}}(2,\,1)$
Si « un taux égal à $c$ » → $\cos\theta=\frac{c}{\|\nabla f\|}$ : deux directions si $|c|<\|\nabla f\|$ , aucune si $|c|>\|\nabla f\|$

Exemple : $\nabla f=(0,\,2)$ , $c=1$ : $\theta=30^{\circ}$ ou $150^{\circ}$
Si « plan tangent » à une surface $F(x,y,z)=k$ → normale $\nabla F(P)$ , plan $\nabla F(P)\cdot\overrightarrow{PX}=0$

Exemple : $x^{2}+y^{2}+z^{2}=9$ en $(1,\,2,\,2)$ : $x+2y+2z=9$

Le cas $\nabla f(P)=\vec 0$ échappe à l'arbre : tous les taux sont nuls, il n'y a pas de direction de plus forte pente, et le plan tangent à $F=k$ n'est pas donné par la formule.

La formule du gradient est-elle permise ?

Regardez comment la fonction est définie autour du point.

Si polynôme, exponentielle, quotient au dénominateur non nul, composée de telles fonctions → dérivées partielles continues, donc $f$ différentiable : $D_{\vec u}f=\nabla f\cdot\vec u$

Exemple : $f=2x^{2}+y$ : formule permise partout
Si fonction définie par morceaux, au point de raccord → revenir à la définition $\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(P+h\vec u)-f(P)}{h}$

Exemple : $\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}$ en $(0,\,0)$ : $D_{\vec u}f=u_{1}^{3}$ , pas $u_{1}$

Si les dérivées directionnelles ne sont pas de la forme $au_{1}+bu_{2}$ , la fonction n'est PAS différentiable : c'est aussi une façon de le prouver.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Calculer une dérivée directionnelle

Quand l'utiliser : L'énoncé demande un taux de variation en un point, dans une direction donnée.

1 Justifier la différentiabilité : « $f$ est polynomiale (ou composée de fonctions $C^{1}$ ), donc différentiable ».
2 Calculer $\nabla f$ , puis $\nabla f(P)$ .
3 Écrire le vecteur UNITAIRE $\vec u$ : normaliser $\vec v$ ou $\overrightarrow{PQ}$ , ou prendre $(\cos\theta,\sin\theta)$ .
4 Calculer $\nabla f(P)\cdot\vec u$ et donner la valeur exacte.
5 Contrôler $|D_{\vec u}f(P)|\le\|\nabla f(P)\|$ , puis interpréter le signe.

Phrase de conclusion

« $f$ étant différentiable en $P$ , $D_{\vec u}f(P)=\nabla f(P)\cdot\vec u=\ldots$ : $f$ croît (décroît) de … unités par unité de longueur dans cette direction. »

Le piège : La troisième étape : la normalisation, que l'on saute quand le vecteur est donné par un point.

Barème : Gradient 1 point, vecteur unitaire 1 point, produit scalaire et conclusion 1 point, en général.

Plan tangent et droite normale à une surface de niveau

Quand l'utiliser : La surface est donnée par une équation $F(x,y,z)=k$ , pas sous la forme $z=f(x,y)$ .

1 Vérifier que $P$ est sur la surface : $F(P)=k$ .
2 Calculer $\nabla F(P)$ et vérifier qu'il n'est pas nul.
3 Écrire le plan $F_{x}(P)(x-x_{0})+F_{y}(P)(y-y_{0})+F_{z}(P)(z-z_{0})=0$ , puis simplifier.
4 Écrire la droite normale $(x,y,z)=P+t\,\nabla F(P)$ , $t\in\mathbb{R}$ .
5 Contrôler en remplaçant $P$ dans l'équation du plan.

Phrase de conclusion

« $\nabla F(P)\neq\vec 0$ est normal à la surface de niveau en $P$ ; le plan tangent a pour équation … et la droite normale pour représentation … »

Le piège : Oublier de vérifier $F(P)=k$ : un point hors de la surface donne un plan qui n'est tangent à rien.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le plafond du gradient

Comparer le taux trouvé à $\|\nabla f(P)\|$ : en valeur absolue, il ne peut pas le dépasser.

Un taux de $6$ avec $\nabla f=(4,\,1)$ , de norme $\sqrt{17}\approx 4{,}12$ , dénonce un vecteur non normalisé.
Le demi-tour

Le taux dans la direction $-\vec u$ est l'opposé du taux dans la direction $\vec u$ .

Un taux maximal de $3$ et un taux minimal de $-1$ ne peuvent pas venir d'une fonction différentiable.
L'orthogonalité

Une direction annoncée « le long de la courbe de niveau » doit donner $\nabla f\cdot\vec u=0$ .

$\nabla f=(1,-2)$ et $\vec u=\frac{1}{\sqrt{5}}(2,\,1)$ : $2-2=0$ , correct ; avec $(1,\,2)$ , on obtient $-3$ , faux.
La substitution du point

Le point $P$ doit vérifier l'équation du plan tangent trouvé.

Pour $x+2y+2z=9$ en $(1,\,2,\,2)$ : $1+4+4=9$ . Un résultat différent signale une erreur de signe dans un terme $x-x_{0}$ .

L'exercice type décortiqué

Taux vers un point, plus forte croissance et plan tangent pour $f(x,y,z)=x^{2}y+yz$

Soit $f(x,y,z)=x^{2}y+yz$ , $P(1,\,2,-1)$ et $Q(3,\,3,\,1)$ . a) Calculez le taux de variation de $f$ en $P$ vers $Q$ . b) Donnez le taux maximal en $P$ . c) Donnez le plan tangent en $P$ à la surface de niveau de $f$ qui passe par $P$ .

Étape 1

$f$ est polynomiale, donc différentiable sur $\mathbb{R}^{3}$ .

Pourquoi

C'est l'hypothèse du théorème qui autorise la formule ; une demi-ligne suffit et rapporte.

Étape 2

$\nabla f=\left(2xy,\;x^{2}+z,\;y\right)$ , donc $\nabla f(P)=(4,\,0,\,2)$ .

Pourquoi

On calcule le gradient général avant de remplacer : une erreur de substitution se repère mieux.

Étape 3

$\overrightarrow{PQ}=(2,\,1,\,2)$ , $\|\overrightarrow{PQ}\|=\sqrt{4+1+4}=3$ , $\vec u=\frac{1}{3}(2,\,1,\,2)$ .

Pourquoi

La normalisation est l'étape qui coûte toute la question quand on la saute.

Étape 4

$D_{\vec u}f(P)=\frac{4\cdot 2+0\cdot 1+2\cdot 2}{3}=4$ .

Pourquoi

Le produit scalaire avec $\overrightarrow{PQ}$ donnerait $12$ , trois fois trop.

Étape 5

Taux maximal : $\|\nabla f(P)\|=\sqrt{16+0+4}=2\sqrt{5}\approx 4{,}47$ , dans la direction $\frac{1}{\sqrt{5}}(2,\,0,\,1)$ .

Pourquoi

Le contrôle du plafond est gratuit : $4\le 4{,}47$ , le taux de a) est plausible.

Étape 6

$f(P)=2-2=0$ ; plan tangent au niveau $0$ : $4(x-1)+0(y-2)+2(z+1)=0$ , soit $2x+z=1$ .

Pourquoi

Le gradient sert deux fois : taux et normale. Contrôle par substitution : $2-1=1$ .

Conclusion rédigée

« $f$ étant différentiable, $D_{\vec u}f(P)=4$ vers $Q$ ; le taux maximal est $2\sqrt{5}$ , et le plan tangent en $P$ à la surface de niveau $f=0$ est $2x+z=1$ . »

L'erreur classique sur cet exercice : Répondre $12$ en a), en oubliant de diviser par $\|\overrightarrow{PQ}\|=3$ , ou écrire le plan $4x+2z=0$ en oubliant de le faire passer par $P$ .

À savoir par cœur

• $D_{\vec u}f=\nabla f\cdot\vec u=\|\nabla f\|\cos\theta$ , avec $\vec u$ UNITAIRE et $f$ DIFFÉRENTIABLE.
• Taux maximal $\|\nabla f\|$ dans la direction du gradient ; minimal $-\|\nabla f\|$ à l'opposé ; nul le long de la courbe de niveau.
• Le gradient est PERPENDICULAIRE aux courbes de niveau et pointe vers les niveaux croissants.
• Un taux $c$ avec $|c|<\|\nabla f\|$ est atteint dans DEUX directions, symétriques par rapport au gradient.
• Plan tangent à $F=k$ : normale $\nabla F(P)$ ; graphe $z=f(x,y)$ : normale $(f_{x},f_{y},-1)$ , jamais $(f_{x},f_{y})$ .
• Fonction par morceaux au point de raccord : retour à la définition par la limite.

Questions fréquentes

Pourquoi faut-il un vecteur unitaire pour calculer une dérivée directionnelle ?

Parce que la dérivée directionnelle est un taux par unité de longueur. Avec un vecteur de longueur trois, le produit scalaire avec le gradient donne trois fois le vrai taux. On divise donc toujours le vecteur par sa norme avant le produit scalaire, y compris quand la direction est donnée par un second point : on normalise le vecteur qui va du premier point au second.

Comment trouver la direction dans laquelle une fonction augmente le plus vite ?

On calcule le gradient au point. La fonction augmente le plus vite dans la direction du gradient, et le taux maximal est la norme du gradient, la racine de la somme des carrés des dérivées partielles. Elle diminue le plus vite dans la direction opposée, au taux moins la norme. Ce n'est pas la plus grande des dérivées partielles, ni la direction du sommet en général.

Pourquoi le gradient est-il perpendiculaire aux courbes de niveau ?

On paramètre la courbe de niveau par r de t. Le long de la courbe, f de r de t vaut la constante k pour tout t. En dérivant par la règle de chaîne, on obtient f x fois x prime plus f y fois y prime égale zéro, c'est-à-dire que le produit scalaire du gradient et du vecteur tangent r prime de t est nul. Le gradient est donc perpendiculaire à la tangente, donc à la courbe de niveau.

Comment trouver le plan tangent à une surface donnée par une équation F(x, y, z) = k ?

On vérifie que le point est sur la surface, puis on calcule le gradient de F en ce point. S'il n'est pas nul, il est normal à la surface, et le plan tangent est l'ensemble des points X tels que le gradient et le vecteur qui va du point à X soient orthogonaux. La droite normale part du point dans la direction du gradient.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Gradient et dérivée directionnelle

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

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La méthode du gradient Les multiplicateurs de Lagrange

© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/mth1101-gradient-derivee-directionnelle. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

Voir aussi

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Fiche de révision : gradient et dérivée directionnelle (MTH1101, Polytechnique)

L'essentiel

Un taux se lit dans un cosinus

Le gradient et les niveaux

Les règles de calcul en tableau

Ce que le gradient répond, question par question

Les pièges qui coûtent des points

1. Oublier de normaliser la direction

2. Dessiner le gradient le long du rayon ou vers le sommet

3. Prendre la plus grande dérivée partielle pour le taux maximal

4. Prendre le gradient pour la normale à une surface z = f(x,y)

5. Appliquer la formule à une fonction qui n'est pas différentiable

6. Dire que le taux minimal est zéro

7. Ne trouver qu'une direction pour un taux imposé

8. Calculer le taux maximal sans racine

Quelle méthode choisir

Quel calcul selon ce que demande l'énoncé

La formule du gradient est-elle permise ?

La rédaction attendue

Calculer une dérivée directionnelle

Plan tangent et droite normale à une surface de niveau

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Taux vers un point, plus forte croissance et plan tangent pour f(x,y,z)=x2y+yzf(x,y,z)=x^{2}y+yzf(x,y,z)=x2y+yz

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Pourquoi faut-il un vecteur unitaire pour calculer une dérivée directionnelle ?

Comment trouver la direction dans laquelle une fonction augmente le plus vite ?

Pourquoi le gradient est-il perpendiculaire aux courbes de niveau ?

Comment trouver le plan tangent à une surface donnée par une équation F(x, y, z) = k ?

Exercices corrigés : Gradient et dérivée directionnelle

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Taux vers un point, plus forte croissance et plan tangent pour $f(x,y,z)=x^{2}y+yz$