Calcul I MTH1101 • Polytechnique Montréal

Fiche de révision : les multiplicateurs de Lagrange (MTH1101, Polytechnique)

Cette fiche de révision porte sur les multiplicateurs de Lagrange, dernier chapitre du cours Calcul I (MTH1101) de Polytechnique Montréal : Stewart, Calcul à plusieurs variables, section 5.3, « Optimisation sous contraintes, multiplicateurs de Lagrange et leur interprétation », et les notes du cours. Le chapitre vient après les deux contrôles périodiques et n'est évalué qu'à l'examen final. Elle ne refait pas le cours, elle dit ce qui coûte des points et quel geste l'évite.

Un seul réflexe la traverse : le système $\nabla f=\lambda\nabla g$ est une condition NÉCESSAIRE. Il produit une liste de candidats, jamais une réponse ; la réponse vient de l'existence, justifiée avant tout calcul, et de la comparaison des valeurs. L'examen se fait sans calculatrice ; seul document permis, votre aide-mémoire d'une feuille recto verso. Toutes les valeurs de la fiche sont exactes, et le mémo final est écrit pour y être recopié.

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Le fil du chapitre

$\nabla f=\lambda\nabla g$ ne donne que des CANDIDATS, les points où la courbe de niveau de $f$ touche la contrainte sans la traverser. On les trouve tous en ne divisant jamais par ce qui peut être nul, on ajoute les points où $\nabla g=\vec 0$ , et c'est la comparaison des valeurs, garantie par une contrainte fermée et bornée, qui décide.

Ce chapitre fait partie de Calcul I MTH1101, Polytechnique Montréal : exercices corrigés et fiches, chapitre par chapitre

Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 10 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (8 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

Notions couvertes

Multiplicateur de Lagrange
Optimisation sous contrainte
Courbe de niveau tangente
Gradients parallèles
Théorème des valeurs extrêmes
Contrainte d'inégalité
Optimisation à deux contraintes
Analyse de sensibilité
Point singulier d'une contrainte

L'essentiel

Tangence : ce que le système cherche vraiment

• THÉORÈME : si $f$ atteint un extremum en $P$ sous la contrainte $g=k$ ET si $\nabla g(P)\neq\vec 0$ , alors $\nabla f(P)=\lambda\nabla g(P)$ pour un certain réel $\lambda$ . C'est une condition nécessaire, comme $f'(a)=0$ à une variable.
• Géométrie : $\nabla f$ et $\nabla g$ parallèles, c'est la courbe de niveau de $f$ TANGENTE à la contrainte. Une courbe de niveau qui TRAVERSE la contrainte ne donne pas d'extremum : en glissant sur la contrainte, $f$ monte d'un côté et descend de l'autre.
• CANDIDATS : les solutions du système $\nabla f=\lambda\nabla g$ , $g=k$ , PLUS les points de la contrainte où $\nabla g=\vec 0$ .
• EXISTENCE : une contrainte FERMÉE ET BORNÉE (cercle, ellipse, sphère, courbe d'intersection bornée) et $f$ continue garantissent un maximum et un minimum. On compare alors les valeurs des candidats.

Sur le cercle

x^{2}+y^{2}=4

, la courbe

xy=2

touche en

\left(\sqrt{2}\,;\sqrt{2}\right)

: c'est le maximum de

xy

. La courbe

xy=-1

traverse le cercle : sa valeur

-1

n'est pas extrême.

La phrase « la contrainte est fermée et bornée, $f$ est continue, donc les extrema existent » s'écrit AVANT le système : c'est elle qui autorise la conclusion par comparaison.

Les variantes du système

• DEUX CONTRAINTES $g=k$ et $h=c$ : $\nabla f=\lambda\nabla g+\mu\nabla h$ , avec $\nabla g$ et $\nabla h$ non parallèles. En $\mathbb{R}^{3}$ , cinq équations pour $x$ , $y$ , $z$ , $\lambda$ , $\mu$ .
• RÉGION $g\le k$ : points critiques de l'intérieur ( $\nabla f=\vec 0$ et $g<k$ ), PUIS Lagrange sur le bord $g=k$ , puis comparaison de toutes les valeurs.
• SENSIBILITÉ : si $f^{*}(c)$ est la valeur optimale sous $g=c$ , alors $\lambda=\frac{df^{*}}{dc}$ et $\Delta f^{*}\approx\lambda\,\Delta c$ .

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Simplifier par x et perdre un extremum

la moitié de la question, le minimum entier

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f=x^{2}+6y$ sur $x^{2}+y^{2}=16$ : $2x=2\lambda x$ , donc $\lambda=1$ , puis $y=3$ , $x=\pm\sqrt{7}$ , et $f=25$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $2x(1-\lambda)=0$ , donc $x=0$ OU $\lambda=1$ . Cas $x=0$ : $y=\pm 4$ , $f=\pm 24$ . Cas $\lambda=1$ : $f=25$ . Maximum $25$ , minimum $-24$ en $(0\,;-4)$ . »

Pourquoi : Diviser par $x$ suppose $x\neq 0$ sans le dire et jette tous les points d'abscisse nulle. Ici, ils portaient le minimum. On factorise et on ouvre les cas.

2. Conclure qu'il n'y a pas de minimum quand le système est vide

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Minimiser $f=y$ sur $x^{2}=y^{3}$ : $0=2\lambda x$ et $1=-3\lambda y^{2}$ n'ont aucune solution, donc $f$ n'a pas de minimum. »

Ce qu'il faut écrire

« $\nabla g=(2x\,;-3y^{2})$ s'annule en $(0\,;0)$ , qui est sur la courbe : c'est un candidat. Sur la courbe, $y^{3}=x^{2}\ge 0$ , donc $y\ge 0=f(0\,;0)$ : minimum $0$ en l'origine. »

Pourquoi : Le théorème ne parle que des points où $\nabla g\neq\vec 0$ . En une pointe de la contrainte, il se tait : ces points s'ajoutent à la liste des candidats.

3. Oublier l'intérieur d'une région

1 à 2 points, et une réponse fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Plaque $x^{2}+y^{2}\le 9$ , $T=x^{2}+y^{2}-4y$ : sur le bord, $T=9-4y$ , donc la température minimale est $-3$ , en $(0\,;3)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Intérieur : $\nabla T=(2x\,;2y-4)=\vec 0$ en $(0\,;2)$ , dans la plaque, $T=-4$ . Bord : de $-3$ à $21$ . Minimum $-4$ en $(0\,;2)$ , maximum $21$ en $(0\,;-3)$ . »

Le cercle de niveau

T=-3

, en pointillé, touche le bord en

(0\,;3)

par l'intérieur : en son centre

(0\,;2)

, la température descend encore, jusqu'à

-4

Pourquoi : Une contrainte d'inégalité est une RÉGION : son intérieur a ses propres candidats, les points critiques de la section 5.1. Lagrange ne regarde que le bord.

4. Affirmer l'existence sur une contrainte non bornée

1 point de justification, souvent la conclusion entière

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f=x^{2}+y^{2}$ sur la droite $x+2y=5$ : Lagrange donne un seul point, $(1\,;2)$ , donc $f$ y atteint son maximum et son minimum. »

Ce qu'il faut écrire

« La droite n'est pas bornée : $f(5-2t\,;t)\to+\infty$ , pas de maximum. Le minimum existe, $f(1\,;2)=5$ , car $f$ est le carré de la distance à l'origine. »

Pourquoi : Le théorème des valeurs extrêmes exige FERMÉ ET BORNÉ. Une droite est fermée mais pas bornée ; sans borne, il faut un argument, par exemple borner par une valeur déjà atteinte.

5. Lire la nature du point dans le signe de lambda

toute la conclusion

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f=3x+4y$ sur $1-x^{2}-y^{2}=0$ : en $\left(\frac{3}{5}\,;\frac{4}{5}\right)$ , $\lambda=-\frac{5}{2}<0$ , c'est donc un minimum. »

Ce qu'il faut écrire

« $f\left(\frac{3}{5}\,;\frac{4}{5}\right)=5$ et $f\left(-\frac{3}{5}\,;-\frac{4}{5}\right)=-5$ : le premier est le maximum. Avec $x^{2}+y^{2}=1$ , on aurait trouvé $\lambda=\frac{5}{2}$ au même point. »

Pourquoi : Le signe de $\lambda$ change quand on réécrit $g$ ; la valeur de $f$ ne change pas. La nature se décide en comparant les valeurs, $\lambda$ sert à la sensibilité.

6. Écrire deux parallélismes au lieu d'une combinaison

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Avec deux contraintes : $\nabla f=\lambda\nabla g$ et $\nabla f=\mu\nabla h$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\nabla f=\lambda\nabla g+\mu\nabla h$ , $g=k$ , $h=c$ : cinq équations, cinq inconnues. »

Pourquoi : Les deux égalités séparées forceraient $\nabla g$ et $\nabla h$ à être parallèles, ce que l'hypothèse du théorème exclut : le système faux n'a en général aucune solution. $\nabla f$ est seulement dans le plan des deux gradients.

7. Prendre le rayon pour le second membre de la contrainte

1 à 2 points sur la question de sensibilité

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f=3x+4y$ sur $x^{2}+y^{2}=1$ , $\lambda=\frac{5}{2}$ . Le rayon passe de $1$ à $1{,}1$ , donc $f^{*}$ augmente de $\frac{5}{2}\times 0{,}1=0{,}25$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La contrainte est $x^{2}+y^{2}=c$ : $c$ passe de $1$ à $1{,}21$ , et $\Delta f^{*}\approx\frac{5}{2}\times 0{,}21=0{,}525$ . Exact : $5\times 1{,}1-5=0{,}5$ . »

Pourquoi : $\lambda=\frac{df^{*}}{dc}$ où $c$ est le second membre de $g=c$ , ici le CARRÉ du rayon. L'écart restant, $0{,}025$ , vient de la concavité de $f^{*}(c)=5\sqrt{c}$ .

Quelle méthode choisir

Comment ouvrir le système selon la forme des équations

Regardez chaque équation du système avant de toucher à lambda.

Si un produit nul déguisé, comme $2x=2\lambda x$ ou $4y=2\lambda y$ → factoriser, $x(1-\lambda)=0$ , et ouvrir DEUX cas traités l'un après l'autre

Exemple : $x^{2}+6y$ sur $x^{2}+y^{2}=16$ : $x=0$ donne $\pm 24$ , $\lambda=1$ donne $25$
Si une constante non nulle égale à $\lambda$ fois une variable, comme $3=2\lambda x$ → $\lambda\neq 0$ et $x\neq 0$ sont IMPOSÉS : diviser librement, puis exprimer $y$ en fonction de $x$

Exemple : $3=2\lambda x$ et $4=2\lambda y$ donnent $y=\frac{4}{3}x$
Si une fonction symétrique, produit $xyz$ ou somme de carrés → multiplier chaque équation par sa variable pour faire apparaître la même quantité, sans oublier le cas $\lambda=0$

Exemple : $xy$ sur $x^{2}+y^{2}=4$ : $y=2\lambda x$ et $x=2\lambda y$ donnent $xy=2\lambda x^{2}=2\lambda y^{2}$ , d'où $x^{2}=y^{2}=2$
Si deux contraintes, dont une linéaire → $\nabla f=\lambda\nabla g+\mu\nabla h$ , ou substituer la contrainte linéaire pour revenir à une seule contrainte

Exemple : $z=1-x$ ramène un problème sur une courbe de l'espace à un problème dans le plan
Si une inégalité $g\le k$ → points critiques intérieurs, puis Lagrange sur $g=k$ , puis comparaison

Exemple : $T=x^{2}+y^{2}-4y$ sur $x^{2}+y^{2}\le 9$ : $-4$ à l'intérieur, $21$ sur le bord

Si une branche donne une impossibilité, comme $y^{2}=-5$ , on l'écrit et on la ferme par une phrase. Si le système entier est vide, on cherche les points où $\nabla g=\vec 0$ avant de conclure quoi que ce soit.

Comment justifier l'existence selon la contrainte

Regardez la contrainte avant le système : c'est elle qui dit si la comparaison suffit.

Si courbe ou surface fermée et bornée : cercle, ellipse, sphère, intersection bornée → théorème des valeurs extrêmes, puis comparaison des valeurs des candidats

Exemple : $x^{2}+y^{2}=4$ : $xy$ a un maximum $2$ et un minimum $-2$
Si contrainte non bornée : droite, hyperbole, plan, paraboloïde → borner par une valeur déjà atteinte : on garde la partie de la contrainte où f est au plus cette valeur

Exemple : $x^{2}+y^{2}$ sur $x+2y=5$ : on garde la partie où $f\le 25$ , bornée
Si région fermée et bornée, disque ou boule → valeurs extrêmes sur la région, candidats intérieurs plus candidats du bord

Exemple : plaque $x^{2}+y^{2}\le 9$ : trois candidats, $-4$ , $-3$ , $21$

Sans existence garantie, la plus grande valeur trouvée n'est pas un maximum : elle peut n'être qu'un candidat, ou même un minimum local.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger une optimisation sous contrainte

Quand l'utiliser : L'énoncé demande le maximum ou le minimum de f sur une courbe ou une surface g = k.

1 Existence : « la contrainte est fermée et bornée et $f$ est continue, donc $f$ atteint un maximum et un minimum ».
2 Régularité : « $\nabla g=\ldots$ ne s'annule en aucun point de la contrainte », ou bien lister les points où il s'annule.
3 Système : $\nabla f=\lambda\nabla g$ écrit composante par composante, plus $g=k$ .
4 Résolution par cas : chaque produit nul ouvre deux cas, chaque division est justifiée par une phrase.
5 Tableau des candidats avec la valeur de $f$ en chacun, puis comparaison.

Phrase de conclusion

« Les candidats sont … ; en comparant, $f$ atteint son maximum … en … et son minimum … en … sur la contrainte. »

Le piège : La deuxième étape : sans elle, on ne sait pas si le système a vu tous les candidats.

Barème : En général : existence 1 point, système 1 point, résolution complète 2 points, conclusion 1 point.

Répondre à une question de sensibilité

Quand l'utiliser : L'énoncé demande l'effet d'une petite variation du budget, du rayon, de la contrainte.

1 Réécrire la contrainte sous la forme $g=c$ et identifier $c$ : budget, carré du rayon, constante.
2 Calculer $\lambda$ au point optimal.
3 Écrire $\Delta f^{*}\approx\lambda\,\Delta c$ , avec l'unité de $\lambda$ : unité de $f$ par unité de $c$ .
4 Si l'énoncé le demande, comparer à la valeur exacte et dire si l'estimation est par excès ou par défaut.

Phrase de conclusion

« $\lambda=\frac{df^{*}}{dc}$ , donc une augmentation de $c$ de $\Delta c$ augmente la valeur optimale d'environ $\lambda\,\Delta c$ . »

Le piège : Se tromper de $c$ : le rayon au lieu de son carré, ou une contrainte réécrite qui change le signe de $\lambda$ .

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Chaque candidat dans la contrainte

Remplacer les coordonnées trouvées dans $g$ : on doit retrouver $k$ exactement.

Pour $\left(\sqrt{7}\,;3\right)$ sur $x^{2}+y^{2}=16$ : $7+9=16$ . Un point qui donne $15$ trahit une erreur de signe dans la résolution.
La même valeur de lambda par deux équations

Calculer $\lambda$ par la première ET par la deuxième équation du système : les deux valeurs doivent coïncider.

Pour $3x+4y$ en $\left(\frac{3}{5}\,;\frac{4}{5}\right)$ : $\frac{3}{2x}=\frac{5}{2}$ et $\frac{4}{2y}=\frac{5}{2}$ . Deux valeurs différentes : le point n'est pas une solution.
Un point quelconque de la contrainte

Évaluer $f$ en un point simple de la contrainte, sur un axe par exemple : sa valeur doit tomber entre le minimum et le maximum annoncés.

Pour $x^{2}+6y$ sur le cercle de rayon $4$ : $f(4\,;0)=16$ , entre $-24$ et $25$ . Une valeur hors de l'intervalle dit qu'un candidat manque.
Le compte des cas

Relire le système : chaque factorisation a-t-elle ses deux cas écrits, et chaque cas vide sa phrase de fermeture ?

Une copie qui contient « donc $\lambda=1$ » juste après « $2x=2\lambda x$ » a perdu le cas $x=0$ .

L'exercice type décortiqué

Le plus grand rectangle inscrit dans une ellipse

Un rectangle aux côtés parallèles aux axes est inscrit dans l'ellipse $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ ; son sommet $M(x\,;y)$ du premier quadrant est sur l'ellipse. Trouver les dimensions du rectangle d'aire maximale et cette aire, puis la valeur de $\lambda$ .

Un rectangle inscrit quelconque, de sommet

M(2{,}4\,;1{,}2)

: son aire vaut

4xy=11{,}52

. On cherche le sommet qui rend

4xy

maximal.

Étape 1

Aire $A=4xy$ , à maximiser sous $g(x,y)=\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ , avec $x\ge 0$ , $y\ge 0$ .

Pourquoi

Le rectangle a pour côtés $2x$ et $2y$ : écrire $A=xy$ fausse la réponse d'un facteur $4$ . La modélisation vaut souvent un point à elle seule.

Étape 2

L'arc d'ellipse du premier quadrant est fermé et borné, $A$ est continue : le maximum existe. Aux extrémités ( $x=0$ ou $y=0$ ), $A=0$ ; ailleurs $A>0$ , donc le maximum a $x>0$ et $y>0$ .

Pourquoi

L'existence s'écrit avant le système, et elle règle d'avance le sort des extrémités, rectangles aplatis : c'est aussi elle qui autorisera les divisions.

Étape 3

$\nabla A=(4y\,;4x)$ , $\nabla g=\left(\frac{2x}{9}\,;\frac{y}{2}\right)$ : $4y=\frac{2\lambda x}{9}$ et $4x=\frac{\lambda y}{2}$ .

Pourquoi

Le système composante par composante. Comme $x>0$ et $y>0$ , ces équations imposent $\lambda>0$ : on peut diviser.

Étape 4

$\lambda=\frac{18y}{x}=\frac{8x}{y}$ , donc $18y^{2}=8x^{2}$ , $y=\frac{2}{3}x$ . Dans la contrainte : $\frac{x^{2}}{9}+\frac{x^{2}}{9}=1$ , $x=\frac{3\sqrt{2}}{2}$ , $y=\sqrt{2}$ .

Pourquoi

On élimine $\lambda$ en égalant ses deux expressions. Chaque terme de la contrainte vaut alors $\frac{1}{2}$ : le sommet optimal partage l'ellipse « à parts égales ».

Étape 5

$A=4\times\frac{3\sqrt{2}}{2}\times\sqrt{2}=12$ ; côtés $2x=3\sqrt{2}$ et $2y=2\sqrt{2}$ ; $\lambda=\frac{8x}{y}=12$ .

Pourquoi

Réponses exactes, sans calculatrice. Ici $\lambda=A^{*}$ : pour la contrainte $g=c$ , l'aire optimale vaut $12c$ , donc $\frac{dA^{*}}{dc}=12$ .

Étape 6

Vérification : $\frac{9/2}{9}+\frac{2}{4}=1$ , et le rectangle de la figure donne $11{,}52<12$ .

Pourquoi

Le candidat est bien sur l'ellipse, et un rectangle quelconque fait moins bien : trente secondes qui confirment la comparaison.

Conclusion rédigée

« L'arc est fermé et borné, l'aire est nulle à ses extrémités ; le seul candidat intérieur donne $A=12$ . Le rectangle d'aire maximale mesure $3\sqrt{2}$ sur $2\sqrt{2}$ , d'aire $12$ , avec $\lambda=12$ . »

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire l'aire $xy$ au lieu de $4xy$ , ou diviser par $x$ sans avoir établi $x>0$ : la réponse tombe juste par chance, mais la justification manque.

À savoir par cœur

• Extremum sous $g=k$ avec $\nabla g\neq\vec 0$ : $\nabla f=\lambda\nabla g$ . Condition NÉCESSAIRE, jamais suffisante.
• Candidats = solutions du système + points de la contrainte où $\nabla g=\vec 0$ .
• Contrainte FERMÉE ET BORNÉE et $f$ continue : maximum et minimum existent, on compare les valeurs.
• Un produit nul ouvre DEUX cas ; on ne divise que par ce qui est prouvé non nul.
• Deux contraintes : $\nabla f=\lambda\nabla g+\mu\nabla h$ .
• Région $g\le k$ : intérieur (gradient nul) PUIS bord (Lagrange), puis comparaison.
• $\lambda=\frac{df^{*}}{dc}$ pour la contrainte $g=c$ ; son signe dépend de l'écriture de $g$ .

Questions fréquentes

Comment savoir si le point trouvé par Lagrange est un maximum ou un minimum ?

On ne le lit ni dans le système ni dans le signe du multiplicateur. On justifie d'abord que la contrainte est fermée et bornée, ce qui garantit un maximum et un minimum, puis on calcule la valeur de la fonction en chaque candidat : la plus grande valeur est le maximum, la plus petite le minimum. Sans cette garantie, il faut un argument propre au problème.

Pourquoi ne faut-il pas diviser par x dans le système de Lagrange ?

Parce que diviser par x suppose que x n'est pas nul, et jette sans le dire tous les points de la contrainte où x vaut zéro. Ces points peuvent porter le maximum ou le minimum. On écrit plutôt l'équation comme un produit nul, x fois quelque chose égale zéro, et on traite les deux cas séparément, chacun jusqu'au bout.

Que représente le multiplicateur lambda dans un problème d'optimisation ?

Lambda est la dérivée de la valeur optimale par rapport au second membre de la contrainte. Si le budget augmente d'un dollar, la production maximale augmente d'environ lambda unités. C'est l'analyse de sensibilité : elle donne le nouvel optimum sans refaire le problème, à condition d'identifier correctement ce second membre.

Comment traiter une contrainte avec une inégalité, comme un disque ?

On sépare la région en deux. À l'intérieur, on cherche les points critiques, là où le gradient de la fonction est nul, et on garde ceux qui sont vraiment dans la région. Sur le bord, on applique la méthode de Lagrange. On compare ensuite toutes les valeurs obtenues : le maximum et le minimum sont parmi elles.

Que mettre sur l'aide-mémoire pour les multiplicateurs de Lagrange en MTH1101 ?

Le seul document permis à l'examen final est une feuille recto verso préparée par vous. Pour ce chapitre, notez la forme du système avec une et deux contraintes, la liste des candidats, solutions du système plus points où le gradient de la contrainte s'annule, la phrase d'existence pour une contrainte fermée et bornée, la règle intérieur puis bord, et lambda égale la dérivée de la valeur optimale par rapport au second membre.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Les multiplicateurs de Lagrange

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

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Fiche précédente La méthode du gradient

© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/mth1101-multiplicateurs-lagrange. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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