Calcul I MTH1101 • Polytechnique Montréal

Fiche de révision : extrema et optimisation sans contrainte (MTH1101, Polytechnique)

Q: Comment savoir si un point critique est un maximum, un minimum ou un point de selle ?

On calcule D, le produit des dérivées secondes pures moins le carré de la dérivée croisée, au point critique. Si D est positif, le signe de la dérivée seconde en x décide : positif pour un minimum, négatif pour un maximum. Si D est négatif, c'est un point de selle. Si D est nul, le test ne dit rien et il faut étudier le signe de la fonction autour du point.

Q: Que faire quand le test des dérivées secondes donne D égal à zéro ?

Revenir à la définition : comparer f(x,y) à la valeur au point, tout près de lui. On essaie les axes, les droites qui passent par le point, puis des courbes comme les paraboles. Si une direction donne des valeurs plus grandes et une autre des valeurs plus petites, c'est un point de selle. Si on peut écrire f comme une somme de termes positifs, c'est un minimum.

Q: Comment trouver le maximum absolu d'une fonction de deux variables sur un triangle ?

On justifie d'abord l'existence par le théorème des valeurs extrêmes. On calcule la fonction aux points critiques intérieurs, puis on paramètre chaque côté par une seule variable sur un intervalle fermé et on cherche ses points critiques. On ajoute les trois sommets. La plus grande de toutes ces valeurs est le maximum absolu, la plus petite le minimum absolu.

Q: Un minimum local unique est-il toujours le minimum absolu à deux variables ?

Non. À une variable, c'est vrai pour une fonction dérivable sur un intervalle, mais à deux variables la surface peut redescendre plus loin sans créer d'autre point critique. La fonction x carré plus y carré fois un moins x au cube a un seul point critique, un minimum local en l'origine, et vaut pourtant moins onze au point quatre, un. L'absolu se prouve toujours à part.

Cette fiche de révision porte sur les extrema des fonctions de deux variables et l'optimisation sans contrainte, tels que MTH1101 (Calcul I, Polytechnique Montréal) les enseigne, d'après la section 5.1, « Extrema locaux et globaux », de Stewart, *Calcul à plusieurs variables*. Le chapitre est évalué à l'examen final. Elle ne refait pas le cours : elle dit ce qui coûte des points et quel geste l'évite.

Un seul réflexe la traverse : un point où le gradient s'annule n'est qu'un endroit où REGARDER. Le classer est une deuxième étape, et décider de l'absolu une troisième, qui se fait par comparaison. L'examen se passe sans calculatrice, donc toutes les valeurs se calculent exactement ; seul document permis, votre aide-mémoire d'une feuille recto verso, et les lignes du mémo en fin de fiche sont celles qui méritent d'y être recopiées.

Mis à jour le 17 octobre 2026

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Le fil du chapitre

Un point critique est un CANDIDAT, pas une réponse : le test des dérivées secondes le classe localement quand il parle, le signe de $f(x,y)-f(a,b)$ tranche quand il se tait, et un extremum ABSOLU se décide toujours en comparant tous les candidats, jamais par le test.

Ce chapitre fait partie de Calcul I MTH1101, Polytechnique Montréal : exercices corrigés et fiches, chapitre par chapitre

Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 11 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Approximation quadratique et Taylor à deux variables Exercices

Remonter plus loin : la chaîne complète (7 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

Notions couvertes

Point critique
Point de selle
Test des dérivées secondes
Matrice hessienne
Extremum local
Extremum absolu
Théorème des valeurs extrêmes
Région fermée et bornée
Paramétrage de la frontière
Optimisation sans contrainte

L'essentiel

Trois natures derrière un même gradient nul

• Un POINT CRITIQUE de $f$ est un point intérieur du domaine où $\nabla f=\vec 0$ , OU bien où une dérivée partielle n'existe pas. Un extremum local intérieur est toujours un point critique ; la réciproque est fausse.
• Un point critique peut être un minimum local, un maximum local ou un POINT DE SELLE : un point où, dans tout voisinage, $f$ prend des valeurs plus grandes ET plus petites que $f(a,b)$ .
• Sur une carte de contour : des courbes fermées emboîtées autour du point signalent un extremum, et le SENS des valeurs dit lequel ; un croisement de courbes de niveau signale une selle.

À gauche, des ellipses emboîtées dont les niveaux

1

3

5

croissent vers l'extérieur : minimum. À droite, le niveau

0

se croise, le niveau

+1

est à gauche et à droite, le niveau

-1

en haut et en bas : selle.

Sur une copie, « point critique » n'est jamais une conclusion : il faut toujours le mot qui suit, minimum, maximum ou selle, et sa justification.

Le test des dérivées secondes, et son domaine de validité

• Hypothèses : $\nabla f(a,b)=\vec 0$ et dérivées secondes continues près de $(a,b)$ .
• On calcule $D=f_{xx}(a,b)\,f_{yy}(a,b)-f_{xy}(a,b)^{2}$ , le déterminant de la matrice hessienne $\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\ f_{xy} & f_{yy}\end{pmatrix}$ , et on le lit EN PREMIER.
• Le test est LOCAL : il compare $f(a,b)$ aux valeurs voisines, jamais aux valeurs lointaines. Il ne s'applique pas où le gradient n'existe pas.

z=x^2-y^2

f_{xx}=2

f_{yy}=-2

D=-4<0

. La trace

y=0

monte (en bleu), la trace

x=0

descend (en orange) : un point de selle, ni minimum ni maximum.

L'absolu se décide en comparant

• THÉORÈME DES VALEURS EXTRÊMES : une fonction continue sur un ensemble FERMÉ ET BORNÉ atteint un maximum absolu et un minimum absolu.
• Les candidats : les points critiques intérieurs, puis chaque morceau du bord, paramétré par une variable sur un intervalle FERMÉ, avec ses points critiques et ses deux extrémités, c'est-à-dire les sommets.
• Sur un domaine ouvert ou non borné, aucune garantie : l'absolu se prouve à part (fuite vers les bords, géométrie, forme quadratique exacte).

Sur un domaine fermé et borné, les candidats viennent de trois endroits : les points critiques intérieurs (en vert), ceux de chaque côté paramétré (en orange), et les sommets.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Le test des dérivées secondes, case par case

On lit $D$ d'abord, $f_{xx}$ ensuite et seulement si $D>0$ . La case rouge n'est pas un résultat : quand $D=0$ , le test se tait et il faut changer d'outil.

$D(a,b)$	$f_{xx}(a,b)$	Nature
$D>0$	$>0$	minimum local
Exemple : $x^{2}+xy+y^{2}$ en $(0,0)$ : $D=2\times 2-1=3$ , $f_{xx}=2$
$D>0$	$<0$	maximum local
Exemple : $-x^{2}-2y^{2}$ en $(0,0)$ : $D=(-2)(-4)-0=8$ , $f_{xx}=-2$
$D<0$	peu importe	point de selle
Exemple : $x^{2}-2y^{2}$ en $(0,0)$ : $D=2\times(-4)=-8$ , même avec $f_{xx}=2>0$
$D=0$	peu importe	on ne sait pas test muet
Exemple : $x^{4}+3y^{2}$ en $(0,0)$ : $D=0\times 6-0=0$ , et c'est un minimum. Même forme, autre résultat : $x^{4}-3y^{2}$ : $D=0\times(-6)-0=0$ aussi, et c'est un point de selle. Ce qu'il faut faire : Étudier le signe de $f(x,y)-f(a,b)$ près du point, sur les axes, sur les droites ET sur des courbes.

$f_{xx}$ et $f_{yy}$ ne regardent que les deux directions des axes ; $D$ regarde toutes les directions à la fois, y compris celles où le terme croisé domine.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Diviser par une variable et perdre des points critiques

toute la question, et la classification qui suit

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f_{x}=2x(y-2)=0$ donne $y=2$ , puis $f_{y}=x^{2}+2y=0$ donne $x^{2}=-4$ : aucun point critique. »

Ce qu'il faut écrire

« $2x(y-2)=0$ : $x=0$ ou $y=2$ . Si $x=0$ , $f_{y}=2y=0$ donne $(0,0)$ ; si $y=2$ , $x^{2}=-4$ est impossible. Seul point critique : $(0,0)$ . »

f_x=2x(y-2)=0

est la réunion de deux droites,

x=0

(en vert) et

y=2

(en orange). La parabole

f_y=0

ne rencontre que

x=0

, en

(0\,;0)

: diviser par

x

efface ce point.

Pourquoi : Pour $f=x^{2}y-2x^{2}+y^{2}$ , diviser par $x$ suppose $x\neq 0$ et efface le seul point critique, un point de selle ( $D=-8$ ). Un produit nul se traite cas par cas.

2. Lire le signe de f_xx avant D

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Pour $x^{2}+4xy+y^{2}$ , $f_{xx}=2>0$ et $f_{yy}=2>0$ , donc l'origine est un minimum. »

Ce qu'il faut écrire

« $D=2\times 2-4^{2}=-12<0$ : point de selle. D'ailleurs $f(1,-1)=-2<0=f(0,0)$ . »

Carte de

x^2+4xy+y^2

: des hyperboles, séparées par les deux droites du niveau

0

. Le long de

y=-x

, la fonction devient négative :

f(1,-1)=-2

, c'est une selle.

Pourquoi : Le terme croisé $4xy$ l'emporte sur les deux carrés dans la direction $y=-x$ . Le signe de $f_{xx}$ ne sert qu'APRÈS avoir établi $D>0$ .

3. Conclure quand le test se tait

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $D(0,0)=0$ , donc l'origine est un point de selle. »

Ce qu'il faut écrire

« $D(0,0)=0$ : le test ne conclut pas. Or $x^{4}+3y^{2}\ge 0=f(0,0)$ , donc l'origine est un minimum absolu. »

Même

D=0

en l'origine, même trace

x^4

sur l'axe des

x

; sur l'axe des

y

, l'une monte (minimum, en vert), l'autre descend (selle, en orange). Le test se tait, la définition tranche.

Pourquoi : $D=0$ ne dit rien, dans aucun sens : le même $D$ nul cache un minimum pour $x^{4}+3y^{2}$ et une selle pour $x^{4}-3y^{2}$ . On revient à la définition.

4. Croire qu'un minimum sur toutes les droites est un minimum

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Sur toute droite $y=mx$ , $h(x,mx)$ a un minimum en $0$ , donc $h$ a un minimum en l'origine. »

Ce qu'il faut écrire

« Sur la parabole $y=\frac{3}{2}x^{2}$ , $h\left(x,\frac{3}{2}x^{2}\right)=-\frac{1}{4}x^{4}<0=h(0,0)$ : l'origine n'est pas un minimum. »

La zone grisée est celle où

h<0

. La droite

y=2{,}5x

en sort bien avant l'origine ; la parabole pointillée

y=1{,}5x^{2}

y reste jusqu'à

(0,0)

Pourquoi : Pour $h=\left(y-x^{2}\right)\left(y-2x^{2}\right)$ , chaque droite sort de la région où $h<0$ avant d'atteindre l'origine ; une parabole glissée entre les deux reste dedans jusqu'au bout.

5. Chercher seulement les gradients nuls

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Pour $f(x,y)=|x|+|y|$ , le gradient $(\pm 1\,;\pm 1)$ ne s'annule jamais, donc $f$ n'a pas d'extremum. »

Ce qu'il faut écrire

« Les dérivées partielles n'existent pas sur les axes : ce sont des points critiques. En $(0,0)$ , $f\ge 0=f(0,0)$ : minimum absolu. »

Carte de

|x|+|y|

: des losanges à coins sur les axes (en orange), là où une dérivée partielle n'existe pas. Le minimum est en l'origine, un point critique sans gradient.

Pourquoi : La définition d'un point critique contient deux cas, gradient nul OU inexistant. Une valeur absolue, une racine en $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ , une pointe : on cherche d'abord là où $f$ n'est pas dérivable.

6. Oublier les sommets et les bornes du paramètre

le maximum absolu, souvent la moitié de la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Sur le côté $x=0$ , $0\le y\le 3$ , $f(0,y)=y^{2}-y$ a pour dérivée $2y-1$ , nulle en $y=\frac{1}{2}$ : le seul candidat de ce côté est $-\frac{1}{4}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Candidats du côté : $f\left(0,\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{4}$ , ET les extrémités $f(0,0)=0$ et $f(0,3)=6$ . »

Sur le côté

x=0

, la fonction

y^2-y

a son point critique en

y=\frac12

(en orange), mais son maximum à la borne

y=3

(en vert) : les extrémités sont des candidats.

Pourquoi : Une fonction d'une variable sur un intervalle fermé a pour candidats ses points critiques ET ses bornes. Ici le maximum absolu du rectangle, $6$ , est précisément au sommet $(0,3)$ .

7. Prendre le test pour une preuve d'absolu

1 point, et la conclusion du problème

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $(0,0)$ est le seul point critique de $x^{2}+y^{2}(1-x)^{3}$ et c'est un minimum local ( $D=4$ ), donc c'est le minimum absolu. »

Ce qu'il faut écrire

« Minimum local seulement : $f(4,1)=16-27=-11<0=f(0,0)$ . »

Le long de

y=1

f

descend jusqu'à

-11

x=4

(en rouge), sous la valeur

0

du minimum local de l'origine : unique point critique, et pourtant pas absolu.

Pourquoi : À une variable, un unique minimum local d'une fonction dérivable sur un intervalle est absolu ; à deux variables, la surface peut contourner le creux sans créer d'autre point critique.

8. Classer par le test un candidat d'extremum absolu

1 point de justification

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Sur le rectangle, $D\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)=3>0$ et $f_{xx}=2>0$ , donc le minimum absolu est $-\frac{1}{3}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $f\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)=-\frac{1}{3}$ est le plus petit de TOUS les candidats, intérieurs et du bord : c'est le minimum absolu. »

Pourquoi : Le test dit « minimum local », qui ne suffit pas : c'est la comparaison avec $-\frac{1}{4}$ , $0$ , $\frac{7}{4}$ , $\frac{15}{4}$ , $4$ et $6$ qui fait l'absolu. Pour l'absolu, le test est du temps perdu.

Quelle méthode choisir

Que conclure en un point critique

Regardez d'abord si le gradient existe au point, puis la valeur de D.

Si gradient nul, $D>0$ → lire $f_{xx}$ : positif, minimum local ; négatif, maximum local

Exemple : $-x^{2}-2y^{2}$ : $D=8$ , $f_{xx}=-2$ , maximum local
Si gradient nul, $D<0$ → point de selle, sans regarder f_xx

Exemple : $x^{2}+4xy+y^{2}$ : $D=-12$ , selle
Si gradient nul, $D=0$ → étudier le signe de $f-f(a,b)$ sur les axes, les droites $y=mx$ et des courbes

Exemple : $x^{4}+3y^{2}\ge 0$ : minimum ; $x^{4}-3y^{2}$ change de signe : selle
Si une dérivée partielle n'existe pas → pas de test : comparer directement $f$ à $f(a,b)$

Exemple : $|x|+|y|\ge 0=f(0,0)$ : minimum

Le test ne s'applique qu'avec des dérivées secondes continues près du point : pour un polynôme, on l'écrit en une ligne.

Quelle méthode selon le domaine

Lisez l'énoncé : un extremum « local » ou « absolu », et sur quel ensemble.

Si extremum local, n'importe quel domaine → points critiques, puis test des dérivées secondes

Exemple : $x^{2}+xy+y^{2}$ : $(0,0)$ , $D=3$ , minimum local
Si extremum absolu, domaine fermé et borné → valeurs des points critiques intérieurs, puis chaque côté paramétré avec ses extrémités, puis comparer

Exemple : le rectangle $[0\,;2]\times[0\,;3]$ : $8$ candidats, maximum $6$ , minimum $-\frac{1}{3}$
Si bord circulaire → $x=r\cos t$ , $y=r\sin t$ , puis $c=\cos t$ sur $[-1\,;1]$ , bornes comprises

Exemple : $x^{2}+y^{2}=1$ et $f=xy$ : $f=\frac{1}{2}\sin 2t$ , entre $-\frac{1}{2}$ et $\frac{1}{2}$
Si extremum absolu, domaine ouvert ou non borné → candidat par les points critiques, puis preuve séparée : fuite vers les bords ou forme quadratique exacte

Exemple : $3xy+\frac{24}{x}+\frac{24}{y}$ dépasse $36$ près des bords

Les multiplicateurs de Lagrange, chapitre suivant, traitent le bord d'une autre façon ; ici, tout bord se paramètre.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Trouver et classer les points critiques

Quand l'utiliser : L'énoncé dit « trouver et classer les points critiques » ou « extrema locaux ».

1 Calculer $f_{x}$ et $f_{y}$ , et les FACTORISER.
2 Résoudre $f_{x}=f_{y}=0$ cas par cas, sans jamais diviser par une expression qui peut s'annuler ; signaler les points où une dérivée n'existe pas.
3 Dire pourquoi le test s'applique : « $f$ est un polynôme, ses dérivées secondes sont continues ».
4 En chaque point, calculer $D$ , puis $f_{xx}$ si $D>0$ , et conclure par écrit.
5 Si $D=0$ , étudier le signe de $f-f(a,b)$ sur des droites et des courbes.

Phrase de conclusion

« En $(a,b)$ , $D=\dots>0$ et $f_{xx}(a,b)=\dots>0$ : par le test des dérivées secondes, $f$ admet en $(a,b)$ un minimum local, égal à $\dots$ . »

Le piège : La deuxième étape : chaque division par x ou par y doit être précédée du cas x = 0 ou y = 0.

Barème : Points critiques 40 pour cent, test 40 pour cent, conclusions rédigées 20 pour cent.

Extremum absolu sur une région fermée bornée

Quand l'utiliser : L'énoncé dit « maximum et minimum absolus » sur un triangle, un rectangle, un disque.

1 Citer le théorème des valeurs extrêmes : $f$ continue, région fermée et bornée.
2 Calculer $f$ aux points critiques INTÉRIEURS, sans les classer.
3 Paramétrer chaque morceau du bord par une variable sur un intervalle FERMÉ, et trouver ses points critiques.
4 Ajouter les extrémités de chaque morceau, c'est-à-dire les sommets.
5 Dresser la liste des valeurs et conclure par comparaison.

Phrase de conclusion

« $f$ est continue sur la région fermée et bornée $R$ , donc y atteint ses extrema absolus. Parmi les candidats $\dots$ , le plus grand est $\dots$ , atteint en $\dots$ : c'est le maximum absolu. »

Le piège : La quatrième étape : le maximum est très souvent à un sommet, où aucune dérivée ne s'annule.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le gradient au point trouvé

Remplacer le point dans $f_{x}$ et $f_{y}$ : les deux doivent valoir $0$ .

Pour $x^{2}-xy+y^{2}-y$ en $\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$ : $\frac{2}{3}-\frac{2}{3}=0$ et $-\frac{1}{3}+\frac{4}{3}-1=0$ . Un résultat non nul dénonce une erreur de système.
Quatre valeurs voisines

Calculer $f$ en $(a\pm 0{,}1\,;b)$ et sur une diagonale, et comparer à $f(a,b)$ .

Pour $x^{2}+4xy+y^{2}$ , $f(0{,}1\,;0)=0{,}01>0$ mais $f(0{,}1\,;-0{,}1)=-0{,}02<0$ : un « minimum » qui donne une valeur plus petite à côté est une selle.
La liste des candidats

Compter : chaque côté apporte ses points critiques ET deux extrémités ; un polygone à n côtés a n sommets dans la liste.

Rectangle : $1$ point intérieur, $3$ points critiques de côtés et $4$ sommets, soit $8$ valeurs. Une liste de $4$ valeurs a oublié quelque chose.
Le maximum domine tout

Calculer f en un point quelconque de la région : la valeur doit être entre le minimum et le maximum annoncés.

$f(1,1)=1-1+1-1=0$ , bien entre $-\frac{1}{3}$ et $6$ . Une valeur hors de cet intervalle prouve un candidat oublié.

L'exercice type décortiqué

Extrema absolus de $x^{2}-xy+y^{2}-y$ sur un rectangle

Trouver le maximum absolu et le minimum absolu de $f(x,y)=x^{2}-xy+y^{2}-y$ sur le rectangle fermé $R=[0\,;2]\times[0\,;3]$ .

Le rectangle

R

et ses quatre sommets : quatre côtés à paramétrer, chacun avec ses deux extrémités.

Étape 1

$f$ est un polynôme, donc continue, et $R$ est fermé et borné : $f$ atteint sur $R$ un maximum absolu et un minimum absolu.

Pourquoi

Le théorème garantit que la liste de candidats contient la réponse ; c'est le premier point du barème.

Étape 2

$f_{x}=2x-y=0$ et $f_{y}=-x+2y-1=0$ donnent $y=2x$ , puis $3x=1$ : $\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$ , intérieur, $f=-\frac{1}{3}$ .

Pourquoi

On garde la valeur, sans classer le point : pour l'absolu, seule la comparaison compte.

Étape 3

Côté $y=0$ : $x^{2}$ sur $[0\,;2]$ , valeurs $0$ et $4$ . Côté $x=0$ : $y^{2}-y$ sur $[0\,;3]$ , critique en $y=\frac{1}{2}$ , valeur $-\frac{1}{4}$ , extrémités $0$ et $6$ .

Pourquoi

Chaque côté devient une fonction d'une variable sur un intervalle fermé ; ses bornes sont les sommets.

Étape 4

Côté $x=2$ : $y^{2}-3y+4$ , critique en $y=\frac{3}{2}$ , valeur $\frac{7}{4}$ . Côté $y=3$ : $x^{2}-3x+6$ , critique en $x=\frac{3}{2}$ , valeur $\frac{15}{4}$ .

Pourquoi

On vérifie que chaque point critique de côté est DANS son intervalle : $\frac{3}{2}\in[0\,;3]$ et $\frac{3}{2}\in[0\,;2]$ .

Étape 5

Sommets : $f(0,0)=0$ , $f(2,0)=4$ , $f(2,3)=4$ , $f(0,3)=6$ . Candidats : $-\frac{1}{3}$ , $-\frac{1}{4}$ , $\frac{7}{4}$ , $\frac{15}{4}$ , $0$ , $4$ , $4$ , $6$ .

Pourquoi

Huit valeurs pour un rectangle : un intérieur, trois de côtés, quatre sommets. Le compte se vérifie.

Étape 6

Vérification : $f(1,1)=0$ , compris entre $-\frac{1}{3}$ et $6$ ; $\nabla f\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)=(0\,;0)$ .

Pourquoi

Deux contrôles de dix secondes qui attrapent un système mal résolu ou un candidat oublié.

Conclusion rédigée

« Le maximum absolu de $f$ sur $R$ vaut $6$ , atteint au sommet $(0,3)$ ; le minimum absolu vaut $-\frac{1}{3}$ , atteint au point intérieur $\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$ . »

L'erreur classique sur cet exercice : Oublier les sommets : sans $(0,3)$ , la copie annonce un maximum de $\frac{15}{4}$ ou de $4$ .

À savoir par cœur

• Point critique : $\nabla f=\vec 0$ OU une dérivée partielle inexistante. C'est un candidat, pas une réponse.
• $D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}$ , lu EN PREMIER : $D>0$ et $f_{xx}>0$ minimum local, $D>0$ et $f_{xx}<0$ maximum local, $D<0$ selle, $D=0$ rien.
• Le test est LOCAL ; un minimum local unique n'est pas forcément absolu à deux variables.
• Un minimum sur toutes les droites passant par un point n'est pas un minimum.
• Théorème des valeurs extrêmes : continue sur un fermé ET borné, donc extrema absolus atteints.
• Région fermée : intérieur, chaque côté paramétré sur un intervalle fermé, sommets, puis comparaison.

Questions fréquentes

Comment savoir si un point critique est un maximum, un minimum ou un point de selle ?

On calcule D, le produit des dérivées secondes pures moins le carré de la dérivée croisée, au point critique. Si D est positif, le signe de la dérivée seconde en x décide : positif pour un minimum, négatif pour un maximum. Si D est négatif, c'est un point de selle. Si D est nul, le test ne dit rien et il faut étudier le signe de la fonction autour du point.

Que faire quand le test des dérivées secondes donne D égal à zéro ?

Revenir à la définition : comparer f(x,y) à la valeur au point, tout près de lui. On essaie les axes, les droites qui passent par le point, puis des courbes comme les paraboles. Si une direction donne des valeurs plus grandes et une autre des valeurs plus petites, c'est un point de selle. Si on peut écrire f comme une somme de termes positifs, c'est un minimum.

Comment trouver le maximum absolu d'une fonction de deux variables sur un triangle ?

On justifie d'abord l'existence par le théorème des valeurs extrêmes. On calcule la fonction aux points critiques intérieurs, puis on paramètre chaque côté par une seule variable sur un intervalle fermé et on cherche ses points critiques. On ajoute les trois sommets. La plus grande de toutes ces valeurs est le maximum absolu, la plus petite le minimum absolu.

Un minimum local unique est-il toujours le minimum absolu à deux variables ?

Non. À une variable, c'est vrai pour une fonction dérivable sur un intervalle, mais à deux variables la surface peut redescendre plus loin sans créer d'autre point critique. La fonction x carré plus y carré fois un moins x au cube a un seul point critique, un minimum local en l'origine, et vaut pourtant moins onze au point quatre, un. L'absolu se prouve toujours à part.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Extrema et optimisation sans contrainte

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

11 exercices corrigés
110 points
150 minutes

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La méthode du gradient Les multiplicateurs de Lagrange

© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/mth1101-extrema-sans-contrainte. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

Voir aussi

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Fiche de révision : extrema et optimisation sans contrainte (MTH1101, Polytechnique)

L'essentiel

Trois natures derrière un même gradient nul

Le test des dérivées secondes, et son domaine de validité

L'absolu se décide en comparant

Les règles de calcul en tableau

Le test des dérivées secondes, case par case

Les pièges qui coûtent des points

1. Diviser par une variable et perdre des points critiques

2. Lire le signe de f_xx avant D

3. Conclure quand le test se tait

4. Croire qu'un minimum sur toutes les droites est un minimum

5. Chercher seulement les gradients nuls

6. Oublier les sommets et les bornes du paramètre

7. Prendre le test pour une preuve d'absolu

8. Classer par le test un candidat d'extremum absolu

Quelle méthode choisir

Que conclure en un point critique

Quelle méthode selon le domaine

La rédaction attendue

Trouver et classer les points critiques

Extremum absolu sur une région fermée bornée

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Extrema absolus de x2−xy+y2−yx^{2}-xy+y^{2}-yx2−xy+y2−y sur un rectangle

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Comment savoir si un point critique est un maximum, un minimum ou un point de selle ?

Que faire quand le test des dérivées secondes donne D égal à zéro ?

Comment trouver le maximum absolu d'une fonction de deux variables sur un triangle ?

Un minimum local unique est-il toujours le minimum absolu à deux variables ?

Exercices corrigés : Extrema et optimisation sans contrainte

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Extrema absolus de $x^{2}-xy+y^{2}-y$ sur un rectangle