Les multiplicateurs de Lagrange : exercices corrigés de MTH1101 (Polytechnique)

a) Sur la figure, la droite $x+2y=5$ TOUCHE le cercle en $P$ sans le traverser : tout le cercle est du même côté d'elle, celui où $x+2y\le 5$. Aucune valeur supérieure à $5$ n'est donc prise sur $C$, et la valeur $5$ l'est, en $P$ : c'est le maximum. De même, la droite $x+2y=-5$ touche $C$ en $P'$, et le minimum vaut $-5$. La droite $x+2y=3$, elle, COUPE le cercle en deux points : de part et d'autre de ces points, $f$ prend sur $C$ des valeurs plus grandes et plus petites que $3$, donc $3$ n'est pas une valeur extrême. Toute la géométrie de la méthode est là : en un extremum sous contrainte, la courbe de niveau de $f$ est TANGENTE à la contrainte. Si elle la traversait, on pourrait encore monter en glissant le long de la contrainte.

b) $\nabla f=(1\,;2)$ et $\nabla g=(2x\,;2y)$. Le système est $1=2\lambda x$, $2=2\lambda y$, $x^{2}+y^{2}=5$. La première équation interdit $\lambda=0$ et $x=0$, sinon elle donnerait $1=0$ ; la deuxième interdit de même $y=0$. On peut donc diviser sans rien perdre : $x=\frac{1}{2\lambda}$ et $y=\frac{1}{\lambda}$, d'où $y=2x$. Dans la contrainte, $x^{2}+4x^{2}=5$, donc $x=\pm 1$. On obtient $P(1\,;2)$ avec $\lambda=\frac{1}{2}$ et $f(P)=5$, puis $P'(-1\,;-2)$ avec $\lambda=-\frac{1}{2}$ et $f(P')=-5$. Le calcul retrouve la lecture de a). Notez POURQUOI la division était permise : c'est l'équation $1=2\lambda x$ qui l'impose. Ce ne sera pas toujours le cas, et l'exercice suivant montre ce que coûte une division faite sans justification.

c) En $Q(2\,;1)$, $\nabla f=(1\,;2)$ et $\nabla g=(4\,;2)$. Deux vecteurs du plan sont parallèles si et seulement si leur déterminant est nul ; or $1\times 2-2\times 4=-6\neq 0$. La courbe de niveau qui passe par $Q$ est la droite $x+2y=4$ : elle COUPE le cercle en $Q$ et en un second point, $\left(-\frac{2}{5}\,;\frac{11}{5}\right)$, car en remplaçant $x=4-2y$ on obtient $5y^{2}-16y+11=0$, de racines $1$ et $\frac{11}{5}$. En partant de $Q$ le long du cercle vers $P$, $f$ augmente jusqu'à $5$ ; dans l'autre sens, vers $(2\,;-1)$ où $f=0$, elle diminue. La valeur $f(Q)=4$ n'est qu'une valeur intermédiaire : $Q$ n'est ni un maximum ni un minimum, et c'est exactement ce que dit la non-colinéarité des gradients. $\nabla f$ a une composante le long de la tangente au cercle, donc $f$ varie quand on glisse sur la contrainte.

d) Le cercle $C$ est une partie FERMÉE du plan (il contient sa frontière, puisqu'il est défini par une égalité entre fonctions continues) et BORNÉE (il tient dans le disque de rayon $3$). La fonction $f$ est continue. Le théorème des valeurs extrêmes garantit donc un maximum et un minimum de $f$ sur $C$. De plus, $\nabla g=(2x\,;2y)$ ne s'annule qu'à l'origine, qui n'est pas sur $C$. Le théorème de Lagrange s'applique alors en tout point de $C$ : chaque extremum est une solution du système. Les deux hypothèses servent, et elles servent à deux choses différentes : la première garantit l'EXISTENCE, la seconde garantit que le système voit TOUS les candidats. Il ne reste qu'à comparer $f(P)$ et $f(P')$.

a) $\nabla f=(2x\,;4)$ et $\nabla g=(2x\,;2y)$. Le système est : (1) $2x=2\lambda x$, (2) $4=2\lambda y$, (3) $x^{2}+y^{2}=9$, trois équations pour trois inconnues $x$, $y$, $\lambda$. L'équation (1) se réécrit $2x-2\lambda x=0$, soit $2x(1-\lambda)=0$ : c'est un PRODUIT nul, donc $x=0$ OU $\lambda=1$. C'est le geste du chapitre : on ne divise pas par $x$, on factorise et on ouvre deux cas, qu'on traite l'un après l'autre. Diviser par $x$ revient à supposer $x\neq 0$ sans le dire, c'est-à-dire à jeter d'avance tous les points de la contrainte d'abscisse nulle, sans savoir ce qu'ils valent.

b) Cas $x=0$. L'équation (3) donne $y^{2}=9$, donc $y=3$ ou $y=-3$. L'équation (2) donne $\lambda=\frac{2}{y}$ : $\lambda=\frac{2}{3}$ en $(0\,;3)$ et $\lambda=-\frac{2}{3}$ en $(0\,;-3)$. L'équation (1) devient $0=0$, elle est satisfaite. On a donc deux candidats, avec $f(0\,;3)=0+12=12$ et $f(0\,;-3)=0-12=-12$. Ce sont les points du haut et du bas du cercle, là où sa tangente est horizontale.

c) Cas $\lambda=1$. L'équation (2) donne $4=2y$, donc $y=2$, et (3) donne $x^{2}=9-4=5$, donc $x=\sqrt{5}$ ou $x=-\sqrt{5}$. En ces deux points, $f=5+4\times 2=13$. Ces points ne sont pas en haut du cercle : en descendant de $y=3$ à $y=2$, on perd $4$ sur le terme $4y$, mais on gagne $5$ sur le terme $x^{2}$, qui récompense un pas de côté. Les courbes de niveau de $f$ sont les paraboles $y=\frac{k-x^{2}}{4}$ ; celle de niveau $13$ touche le cercle en ces deux points.

d) Il y a quatre candidats. Le cercle est fermé et borné, $f$ est continue, donc le maximum et le minimum existent ; et comme $\nabla g=(2x\,;2y)$ ne s'annule pas sur le cercle, ils sont parmi les quatre candidats. On compare : le maximum vaut $13$, atteint en $\left(\sqrt{5}\,;2\right)$ et $\left(-\sqrt{5}\,;2\right)$ ; le minimum vaut $-12$, atteint en $(0\,;-3)$. Le point $(0\,;3)$, où $f=12$, n'est ni l'un ni l'autre : en paramétrant $x=3\sin t$, $y=3\cos t$, on a $f=9\sin^{2}t+12\cos t\approx 12+3t^{2}$ près de $t=0$, c'est un minimum LOCAL sur le cercle, coincé entre les deux maxima. L'élève qui simplifie par $x$ obtient directement $\lambda=1$, donc seulement les deux points où $f=13$. Il n'a plus qu'une valeur : soit il écrit que le minimum n'existe pas, ce que contredit le théorème des valeurs extrêmes, soit il écrit n'importe quoi. Il a perdu le point qui portait la réponse, et tous ses calculs étaient justes : c'est la division qui ne l'était pas.

a) $\nabla f=(yz\,;xz\,;xy)$ et $\nabla g=(2x\,;2y\,;2z)$. Le système est : (1) $yz=2\lambda x$, (2) $xz=2\lambda y$, (3) $xy=2\lambda z$, (4) $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$. On multiplie (1) par $x$, (2) par $y$ et (3) par $z$ : $xyz=2\lambda x^{2}$, $xyz=2\lambda y^{2}$, $xyz=2\lambda z^{2}$. Les trois membres de gauche sont le même nombre, d'où $2\lambda x^{2}=2\lambda y^{2}=2\lambda z^{2}=xyz$. Multiplier par $x$ est toujours permis, même si $x=0$ : on obtient une égalité vraie, simplement plus faible. C'est l'inverse de la division, qui SUPPOSE $x\neq 0$. La contrepartie : ces égalités sont des conséquences du système, pas des équivalences, donc chaque point trouvé devra être vérifié dans (1), (2), (3).

b) Cas $\lambda=0$ : (1), (2), (3) deviennent $yz=0$, $xz=0$, $xy=0$. Si deux coordonnées étaient non nulles, leur produit le serait aussi : au plus une coordonnée est non nulle, donc au moins deux sont nulles. Avec (4), la troisième vaut $\pm\sqrt{3}$. On obtient six points, $(\pm\sqrt{3}\,;0\,;0)$, $(0\,;\pm\sqrt{3}\,;0)$, $(0\,;0\,;\pm\sqrt{3})$, qui vérifient bien le système avec $\lambda=0$, et $f=0$ en chacun : en ces points, $\nabla f$ est le vecteur nul. Ils ne sont pas des extrema, puisque $f$ prend des valeurs positives et négatives sur la sphère, mais ils sont des candidats, et il fallait les écrire.

c) Cas $\lambda\neq 0$ : on peut maintenant diviser par $2\lambda$, ce qui donne $x^{2}=y^{2}=z^{2}$, et (4) donne $3x^{2}=3$, d'où $x^{2}=y^{2}=z^{2}=1$. Les huit points $(\pm 1\,;\pm 1\,;\pm 1)$ vérifient le système avec $\lambda=\frac{xyz}{2}$ : par exemple en $(1\,;1\,;-1)$, $yz=-1=2\lambda$, $xz=-1=2\lambda$ et $xy=1=-2\lambda$, d'où $\lambda=-\frac{1}{2}$ partout. La valeur $f=xyz$ vaut $1$ quand le nombre de signes moins est pair, en $(1\,;1\,;1)$, $(1\,;-1\,;-1)$, $(-1\,;1\,;-1)$, $(-1\,;-1\,;1)$, et $-1$ aux quatre autres. La sphère est fermée et bornée, $f$ continue, $\nabla g$ non nul sur la sphère : les extrema sont parmi les quatorze candidats. Maximum $1$, atteint en quatre points ; minimum $-1$, atteint en quatre points ; les six points de b) donnent $0$.

d) En $(1\,;1\,;1)$, l'équation (1) donne $1=2\lambda$, donc $\lambda=\frac{1}{2}$. L'élève qui écrit $\frac{yz}{xz}=\frac{2\lambda x}{2\lambda y}$ a divisé par $xz$ à gauche et par $2\lambda y$ à droite : il a supposé, sans l'écrire, $x\neq 0$, $z\neq 0$, $y\neq 0$ et $\lambda\neq 0$. Il obtient $\frac{y}{x}=\frac{x}{y}$, puis $x^{2}=y^{2}$, la même relation qu'en c), mais il a jeté les six points du cas $\lambda=0$. Ici ils ne sont pas des extrema, donc sa réponse finale est juste PAR CHANCE ; sa copie, elle, n'est pas complète, et sur une autre fonction les points perdus portaient le minimum (exercice 2). La règle : multiplier plutôt que diviser, et si l'on divise, écrire le cas exclu et le traiter à part.

a) Sur $\Gamma$, $x^{2}+y^{2}=1$ impose $|x|\le 1$ et $|y|\le 1$, et $z=2-x$ impose $1\le z\le 3$ : $\Gamma$ est BORNÉE. Elle est définie par deux égalités entre fonctions continues, donc FERMÉE. Comme $f$ est continue, le théorème des valeurs extrêmes donne un maximum et un minimum. C'est une ellipse, section oblique du cylindre par le plan. Pour les gradients : $\nabla g=(2x\,;2y\,;0)$ a une troisième composante nulle, $\nabla h=(1\,;0\,;1)$ non ; ils ne pourraient être parallèles que si $\nabla g$ était nul, c'est-à-dire $x=y=0$, ce qui n'arrive pas sur $\Gamma$. C'est l'hypothèse du théorème à deux contraintes : les deux gradients doivent être linéairement indépendants en chaque point de la courbe.

b) $\nabla f=(0\,;1\,;1)$. Composante par composante : (1) $0=2\lambda x+\mu$, (2) $1=2\lambda y$, (3) $1=0+\mu$, puis (4) $x^{2}+y^{2}=1$ et (5) $x+z=2$. Cinq équations pour $x$, $y$, $z$, $\lambda$, $\mu$. L'équation (3) donne tout de suite $\mu=1$. Retenez la forme du système : $\nabla f$ est une COMBINAISON des deux gradients, il n'est parallèle ni à l'un ni à l'autre en général.

c) Avec $\mu=1$, (1) donne $2\lambda x=-1$ et (2) donne $2\lambda y=1$. Ces deux équations interdisent $\lambda=0$, donc la division est permise : $x=-\frac{1}{2\lambda}$, $y=\frac{1}{2\lambda}$, d'où $y=-x$. Dans (4), $2x^{2}=1$, $x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$. Premier point : $x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, $y=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $z=2+\frac{\sqrt{2}}{2}$, et $f=\frac{\sqrt{2}}{2}+2+\frac{\sqrt{2}}{2}=2+\sqrt{2}\approx 3{,}414$, avec $\lambda=\frac{1}{2y}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Second point : $x=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $y=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, $z=2-\frac{\sqrt{2}}{2}$, $f=2-\sqrt{2}\approx 0{,}586$. Par a), ce sont le maximum et le minimum. Au maximum, on vérifie la décomposition : $\frac{\sqrt{2}}{2}\nabla g+\nabla h=(-1\,;1\,;0)+(1\,;0\,;1)=(0\,;1\,;1)=\nabla f$. Le gradient de $f$ n'est parallèle à aucun des deux : il est dans le plan qu'ils engendrent, c'est-à-dire orthogonal à la tangente de $\Gamma$. Les valeurs au millième se font à la main avec $\sqrt{2}\approx 1{,}4142$.

d) Le paramétrage $x=\cos t$, $y=\sin t$, $z=2-\cos t$ décrit toute la courbe pour $t\in[0\,;2\pi]$. Alors $f=\sin t+2-\cos t=2+\sqrt{2}\sin\left(t-\frac{\pi}{4}\right)$, en écrivant $\sin t-\cos t=\sqrt{2}\left(\sin t\cos\frac{\pi}{4}-\cos t\sin\frac{\pi}{4}\right)$. Le sinus varie entre $-1$ et $1$, donc $f$ entre $2-\sqrt{2}$ et $2+\sqrt{2}$ ; le maximum est en $t=\frac{3\pi}{4}$, soit $x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, $y=\frac{\sqrt{2}}{2}$, le point de c). $\lambda=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0{,}707$. Quand une contrainte est linéaire, la substitution est souvent plus rapide ; Lagrange devient indispensable quand on ne sait pas paramétrer.

a) $\nabla f=(2x-6\,;4y)$ s'annule en $(3\,;0)$ seulement. Or $3^{2}+0^{2}=9>4$ : ce point n'est pas dans $D$, il est REJETÉ. La fonction n'a donc aucun point critique dans l'intérieur de $D$. Comme $D$ est fermé et borné et $f$ continue, le maximum et le minimum existent ; un extremum atteint à l'intérieur serait un point critique (section 5.1) ; il n'y en a pas, donc les DEUX extrema sont sur le bord. Pas de point critique intérieur ne veut pas dire pas d'extremum : cela veut dire que tout se joue sur le cercle.

b) Sur le bord, $g(x,y)=x^{2}+y^{2}=4$ et $\nabla g=(2x\,;2y)$. Système : (1) $2x-6=2\lambda x$, (2) $4y=2\lambda y$, (3) $x^{2}+y^{2}=4$. L'équation (2) s'écrit $4y-2\lambda y=0$, soit $2y(2-\lambda)=0$ : $y=0$ OU $\lambda=2$. Cas $y=0$ : (3) donne $x=\pm 2$. En $(2\,;0)$, (1) donne $-2=4\lambda$, $\lambda=-\frac{1}{2}$ ; en $(-2\,;0)$, $-10=-4\lambda$, $\lambda=\frac{5}{2}$. Cas $\lambda=2$ : (1) donne $2x-6=4x$, $x=-3$, puis (3) donne $y^{2}=4-9=-5<0$ : aucun point réel. Une branche du système peut être vide ; on l'écrit et on la ferme par une phrase, on ne la saute pas, sinon le correcteur ne sait pas si elle a été vue.

c) Les candidats sont les deux points du bord, le point intérieur ayant été rejeté : $f(2\,;0)=4-12=-8$ et $f(-2\,;0)=4+12=16$. Le maximum de $f$ sur $D$ vaut $16$, en $(-2\,;0)$ ; le minimum vaut $-8$, en $(2\,;0)$. Contrôle par substitution sur le cercle : $y^{2}=4-x^{2}$ donne $f=8-x^{2}-6x$ pour $x\in[-2\,;2]$, de dérivée $-2x-6<0$ ; $f$ décroît de $16$ à $-8$, ce qui confirme. Contrôle intérieur : $f(0\,;0)=0$, $f(1\,;0)=-5$, valeurs bien comprises entre $-8$ et $16$.

d) $f(3\,;0)=9-18=-9$ est le minimum de $f$ sur TOUT le plan, mais $C$ n'est pas dans $D$ : cette valeur n'est pas atteinte sur $D$. Les courbes de niveau sont les ellipses $(x-3)^{2}+2y^{2}=k+9$, centrées en $C$, d'autant plus grandes que $k$ est grand. La plus petite qui rencontre $D$ est celle de niveau $-8$, qui touche le disque en $(2\,;0)$ ; la plus grande qui le rencontre encore est celle de niveau $16$, qui le touche en $(-2\,;0)$. Les ellipses $f=0$ et $f=7$ coupent le disque : leurs valeurs sont prises sur $D$, mais elles sont intermédiaires. On retrouve la tangence du chapitre, ici entre une courbe de niveau et le bord d'une région.