Mathématiques pour l'informatique 201-N11 • Cégep à Montréal

Fiche de révision : dénombrement et probabilités (201-N11)

Le dénombrement est le seul chapitre où l'erreur se produit AVANT le calcul : une fois le mauvais modèle choisi, la suite est impeccable et fausse. Cette fiche traite donc les deux questions qui fixent le modèle, puis les confusions de probabilité qui coûtent le plus cher.

Elle est écrite pour les étudiants de cégep en techniques de l'informatique à Montréal et pour tous ceux qui rencontrent les probabilités du côté des algorithmes. La série d'exercices corrigés du même chapitre met ensuite chaque réflexe à l'épreuve.

Le fil du chapitre

Avant tout calcul, deux questions : l'ORDRE compte-t-il, et peut-on répéter ? Elles décident du modèle. Ensuite, une seule confusion coûte des points partout, celle de $P(A\mid B)$ avec $P(B\mid A)$ .

Ce chapitre fait partie de Mathématiques pour l'informatique, 201-N11

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Théorie des ensembles et relations Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (2 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

L'essentiel

Les quatre tirages, et les deux questions qui les séparent

• PRINCIPE MULTIPLICATIF : $k$ étapes offrant $n_{1},\ldots,n_{k}$ choix donnent $n_{1}\times\cdots\times n_{k}$ résultats, à condition que le NOMBRE de choix de chaque étape ne dépende pas des précédents.
• Tirage de $k$ objets parmi $n$ , ORDONNÉ SANS remise : $\frac{n!}{(n-k)!}$ , ce qu'on appelle un arrangement.
• ORDONNÉ AVEC remise : $n^{k}$ . NON ORDONNÉ SANS remise : $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}$ . NON ORDONNÉ AVEC remise : $\binom{n+k-1}{k}$ .
• Le test qui tranche : deux résultats qui ne diffèrent que par l'ordre sont-ils le MÊME résultat ? Si oui, c'est une combinaison.

Deux questions et une seule case : l'ordre compte-t-il, et peut-on répéter ? Le test décisif est celui-ci : deux résultats qui ne diffèrent que par l'ordre sont-ils le même résultat ?

Le principe multiplicatif tombe dès que le nombre de choix change selon ce qui précède. « Un mot de quatre lettres distinctes » reste multiplicatif, $26\times 25\times 24\times 23$ ; « un mot dont les lettres sont en ordre croissant » ne l'est plus.

Coefficients binomiaux : les trois identités utiles

• PASCAL : $\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}$ , ce qui construit le triangle ligne par ligne.
• SYMÉTRIE : $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$ . Choisir $k$ objets, c'est en écarter $n-k$ .
• SOMME D'UNE LIGNE : $\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^{n}$ , qui est le nombre de PARTIES d'un ensemble à $n$ éléments.
• PRINCIPE DES TIROIRS : $m$ objets dans $n$ tiroirs mettent au moins $\left\lceil\frac{m}{n}\right\rceil$ objets dans un même tiroir.

Le principe des tiroirs est un énoncé d'EXISTENCE : il ne dit ni quel tiroir, ni combien de tiroirs sont chargés. Une conclusion qui nomme le tiroir est fausse.

Conditionnelle, probabilités totales et Bayes

• $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ , définie seulement si $P(B)\neq 0$ .
• PROBABILITÉS TOTALES : si les $B_{i}$ forment une partition, $P(A)=\sum_{i}P(A\mid B_{i})P(B_{i})$ .
• BAYES : $P(B\mid A)=\frac{P(A\mid B)P(B)}{P(A)}$ , obtenue en écrivant $P(A\cap B)$ des deux façons.
• $P(A\mid B)$ et $P(B\mid A)$ n'ont AUCUNE raison d'être proches : sur un dépistage, l'écart va de $99\%$ à $17\%$ .

Sur une question de dépistage, de spam ou de test d'intrusion, l'arbre pondéré est plus sûr que la formule : deux niveaux, quatre branches, et l'on lit directement les effectifs.

Indépendance, espérance et le seuil des collisions

• INDÉPENDANCE : $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ . Deux événements de probabilité non nulle ne peuvent pas être à la fois indépendants et INCOMPATIBLES.
• ESPÉRANCE : $E(X)=\sum_{i}x_{i}p_{i}$ . Recherche séquentielle réussie : $\frac{n+1}{2}$ comparaisons en moyenne. Attente d'un succès de probabilité $p$ : $\frac{1}{p}$ essais.
• Pour un événement « au moins un », on passe par le CONTRAIRE : $P(\text{au moins un})=1-P(\text{aucun})$ .
• ANNIVERSAIRES : le seuil de $50\%$ de collision parmi $N$ valeurs est atteint vers $1{,}18\sqrt{N}$ tirages.

Conséquence directe en informatique : une empreinte de $n$ bits ne résiste aux collisions que jusqu'à environ $2^{n/2}$ essais, pas $2^{n}$ . C'est pourquoi une empreinte de $128$ bits est aujourd'hui jugée insuffisante.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Choisir le modèle sans se poser les deux questions

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Un comité de $3$ personnes parmi $10$ : $10\times 9\times 8=720$ comités. »

Ce qu'il faut écrire

« Un comité n'est pas ordonné : deux résultats qui ne diffèrent que par l'ordre sont le même comité. Donc $\binom{10}{3}=\frac{720}{6}=120$ . »

Pourquoi : Le facteur $k!$ est exactement le nombre d'ordres possibles des mêmes $k$ éléments. Oublier de diviser revient à compter chaque comité six fois quand $k=3$ .

2. Lire une probabilité conditionnelle à l'envers

toute la question, et une conclusion dangereuse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le test est fiable à $99\%$ , donc un positif est malade à $99\%$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $99\%$ est $P(\text{positif}\mid\text{malade})$ . Ce qu'on cherche est $P(\text{malade}\mid\text{positif})$ , qui vaut ici $\frac{9{,}9}{59{,}4}\approx 17\%$ . »

Sur

1000

personnes,

10

malades dont

9{,}9

positives et

990

saines dont

49{,}5

positives : parmi les

59{,}4

positifs, seuls

17\%

sont malades, alors que le test est fiable à

99\%

Pourquoi : Les deux conditionnelles portent sur des populations différentes : l'une rapporte les positifs aux malades, l'autre les malades aux positifs. Quand la maladie est rare, les faux positifs écrasent les vrais.

3. Appliquer la formule uniforme à des cas non équiprobables

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La somme de deux dés vaut de $2$ à $12$ , soit $11$ issues, donc $P(7)=\frac{1}{11}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Les $11$ sommes ne sont pas équiprobables. Sur les $36$ couples équiprobables, six donnent $7$ , donc $P(7)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$ . »

Pourquoi : La formule « cas favorables sur cas possibles » ne vaut que sur un univers ÉQUIPROBABLE. Le bon univers est celui des couples de dés, pas celui des sommes.

4. Additionner les probabilités d'événements qui se recoupent

1 à 2 points, et parfois une probabilité supérieure à $1$

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ , et l'on ne retire rien seulement si $A$ et $B$ sont INCOMPATIBLES. »

Pourquoi : Sans le retrait, l'intersection est comptée deux fois. Le contrôle est immédiat : un résultat supérieur à $1$ signale toujours cette faute.

5. Confondre indépendants et incompatibles

2 points, et un raisonnement inversé

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $A$ et $B$ sont incompatibles, donc ils sont indépendants. »

Ce qu'il faut écrire

« Incompatibles signifie $P(A\cap B)=0$ ; indépendants signifie $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ . Si les deux probabilités sont non nulles, les deux propriétés s'EXCLUENT. »

Pourquoi : Deux événements incompatibles sont au contraire fortement liés : savoir que $A$ s'est réalisé donne une information maximale sur $B$ , puisque $B$ ne peut plus se produire.

6. Traiter « au moins un » de face

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Au moins un six en quatre lancers : $\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« On passe par le contraire : $P(\text{aucun six})=\left(\frac{5}{6}\right)^{4}$ , donc $P(\text{au moins un})=1-\left(\frac{5}{6}\right)^{4}\approx 0{,}518$ . »

Pourquoi : Additionner les probabilités de chaque lancer compte plusieurs fois les tirages qui donnent deux six ou plus. Le contraire d'« au moins un » est « aucun », et il se calcule d'un seul produit.

7. Faire dire au principe des tiroirs plus qu'il ne dit

1 à 2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Treize personnes, douze mois : le mois de janvier contient donc au moins deux anniversaires. »

Ce qu'il faut écrire

« Il EXISTE un mois contenant au moins deux anniversaires. Le principe ne dit ni lequel, ni combien de mois sont dans ce cas. »

Pourquoi : C'est un énoncé d'existence pure, obtenu par l'absurde : si chaque tiroir contenait au plus un objet, il y aurait au plus $n$ objets. Rien dans cet argument ne désigne un tiroir.

8. Surestimer la résistance d'une empreinte aux collisions

toute la question, et une conclusion de sécurité fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Une empreinte de $128$ bits demande $2^{128}$ essais pour trouver une collision. »

Ce qu'il faut écrire

« $2^{128}$ est le coût d'une PRÉIMAGE. Pour une collision, le paradoxe des anniversaires ramène le coût à environ $2^{64}$ essais, ce qui est aujourd'hui atteignable. »

Pourquoi : Chercher une collision, c'est chercher UNE paire parmi toutes les paires possibles : leur nombre croît comme le carré du nombre d'essais, ce qui divise l'exposant par deux.

Quelle méthode choisir

Quel modèle de dénombrement, selon la forme du résultat

On décrit d'abord UN résultat possible, puis on se demande si l'ordre le change et si les répétitions sont permises. Le modèle suit.

Si les étapes sont indépendantes et le nombre de choix ne change pas → principe multiplicatif, produit des nombres de choix

Exemple : une plaque de $3$ lettres et $4$ chiffres : $26^{3}\times 10^{4}$
Si un résultat est une SUITE, et l'on ne peut pas répéter → arrangement $\frac{n!}{(n-k)!}$

Exemple : podium de $3$ parmi $10$ coureurs : $10\times 9\times 8=720$
Si un résultat est une SUITE, et l'on peut répéter → $n^{k}$

Exemple : un mot de passe de $8$ caractères parmi $94$ : $94^{8}$
Si un résultat est un ENSEMBLE, sans répétition → combinaison $\binom{n}{k}$

Exemple : comité de $3$ parmi $10$ : $\binom{10}{3}=120$

Le test : si l'on échange deux éléments du résultat et qu'on obtient le même objet, c'est une combinaison.
Si un résultat est un ensemble avec répétitions permises → $\binom{n+k-1}{k}$

Exemple : $5$ boules identiques dans $3$ boîtes : $\binom{7}{5}=21$
Si le nombre de choix DÉPEND des étapes précédentes → le principe multiplicatif tombe : découper en cas disjoints, ou compter le contraire

Exemple : les mots dont les lettres sont en ordre strictement croissant

Quand aucun modèle ne s'impose, décrire un résultat concret sur le brouillon puis en écrire un second qui doit ou ne doit pas être compté à part. Cette comparaison tranche en dix secondes.

Quelle formule de probabilité selon la question

Les énoncés du chapitre se ramènent à six formes, reconnaissables à un mot ou à une donnée fournie.

Si univers fini et cas visiblement équiprobables → $P(A)=\frac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}$ , après avoir choisi le bon univers

Exemple : les $36$ couples de deux dés, pas les $11$ sommes
Si l'énoncé dit « au moins un » → passer par le CONTRAIRE, « aucun », qui est un simple produit

Exemple : $1-\left(\frac{5}{6}\right)^{4}$
Si l'énoncé dit « sachant que », « parmi ceux qui » → probabilité conditionnelle $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

Exemple : « parmi les positifs, quelle proportion est malade »
Si l'énoncé donne les probabilités selon plusieurs cas exhaustifs → formule des probabilités totales, ou arbre pondéré à deux niveaux

Exemple : $P(\text{positif})=0{,}99\times 0{,}01+0{,}05\times 0{,}99$
Si l'énoncé donne $P(A\mid B)$ et demande $P(B\mid A)$ → Bayes, ou plus sûrement un arbre pondéré rempli en EFFECTIFS

Exemple : de $99\%$ de fiabilité à $17\%$ de malades parmi les positifs

Raisonner sur $1000$ ou $10\,000$ individus fictifs évite toutes les erreurs de formule et se rédige aussi bien.
Si l'énoncé demande « en moyenne », « combien d'essais » → espérance $E(X)=\sum x_{i}p_{i}$ , ou $\frac{1}{p}$ pour l'attente d'un premier succès

Exemple : $\frac{n+1}{2}$ comparaisons pour une recherche séquentielle réussie

Avant de conclure, on vérifie que le résultat est compris entre $0$ et $1$ , et que les probabilités des cas d'une partition font bien $1$ . Ces deux contrôles attrapent la majorité des fautes de ce chapitre.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger un dénombrement

Quand l'utiliser : Toute question qui demande « combien de », et donc aussi tout calcul de probabilité uniforme.

1 Décrire UN résultat possible, concrètement : « Un comité est un ensemble de $3$ personnes choisies parmi les $10$ . »
2 Répondre aux deux questions par écrit : « L'ordre ne compte pas, et l'on ne peut pas choisir deux fois la même personne. »
3 Nommer le modèle et l'appliquer : « Il s'agit donc d'une combinaison : $\binom{10}{3}$ . »
4 Calculer en montrant la simplification : « $\binom{10}{3}=\frac{10\times 9\times 8}{3\times 2\times 1}=120$ . »
5 Vérifier sur un cas minuscule si le modèle laisse un doute : « Avec $3$ personnes et des comités de $2$ , la formule donne $3$ , et l'on énumère bien $3$ comités. »

Phrase de conclusion

L'ordre ne comptant pas et les répétitions étant exclues, le nombre de comités est $\binom{10}{3}=120$ .

Le piège : Écrire directement la formule sans dire pourquoi. Le correcteur note le CHOIX du modèle plus que le calcul, et une formule juste sans justification perd le point de raisonnement.

Barème : En général 1 point pour la description d'un résultat, 1 point pour le modèle nommé et justifié, 1 point pour le calcul.

Rédiger un calcul de Bayes par les effectifs

Quand l'utiliser : L'énoncé donne une fiabilité, un taux de faux positifs et une prévalence, et demande une probabilité « sachant que ».

1 Choisir une population fictive ronde et l'ANNONCER : « Raisonnons sur $1000$ personnes. »
2 Répartir selon la première partition : « $1\%$ de malades, soit $10$ malades et $990$ personnes saines. »
3 Appliquer les taux à chaque branche : « $99\%$ des $10$ malades sont positifs, soit $9{,}9$ ; $5\%$ des $990$ saines aussi, soit $49{,}5$ . »
4 Additionner pour obtenir le dénominateur : « Au total $9{,}9+49{,}5=59{,}4$ personnes positives. »
5 Former le rapport demandé et l'interpréter : « Parmi elles, $9{,}9$ sont malades, soit environ $17\%$ . »

Phrase de conclusion

La probabilité d'être malade sachant que le test est positif vaut $\frac{9{,}9}{59{,}4}\approx 0{,}167$ , soit environ $17\%$ , alors que le test est fiable à $99\%$ .

Le piège : Rendre $99\%$ en croyant avoir répondu. La donnée de l'énoncé est $P(\text{positif}\mid\text{malade})$ , la question porte sur $P(\text{malade}\mid\text{positif})$ : ce sont deux rapports différents sur deux populations différentes.

Barème : 1 point pour la population de référence, 1 point par branche correctement pondérée, 1 point pour le rapport final interprété.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Contrôler que la probabilité est entre $0$ et $1$

Relire chaque probabilité écrite. Un nombre supérieur à $1$ ou négatif est faux, et signale presque toujours une union additionnée sans retirer l'intersection.

$P(A)+P(B)=0{,}6+0{,}5=1{,}1$ : impossible. Il fallait $0{,}6+0{,}5-0{,}3=0{,}8$ .
Vérifier un dénombrement sur un cas minuscule

Remplacer $n$ et $k$ par $3$ et $2$ , appliquer la formule, puis ÉNUMÉRER à la main. Les deux nombres doivent coïncider.

$\binom{3}{2}=3$ , et l'on énumère bien $\{a,b\}$ , $\{a,c\}$ , $\{b,c\}$ . Un arrangement donnerait $6$ , ce qui compte $\{a,b\}$ et $\{b,a\}$ à part.
Utiliser la symétrie et la somme de Pascal

Vérifier $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$ , et que la somme d'une ligne du triangle fait $2^{n}$ . Ces deux contrôles attrapent une erreur de factorielle en trois secondes.

$\binom{10}{3}=120=\binom{10}{7}$ , et la somme de la ligne $4$ vaut $1+4+6+4+1=16=2^{4}$ .
Contrôler la cohérence d'un résultat de Bayes

Comparer la probabilité obtenue à la prévalence de départ : le test doit l'AUGMENTER, sans jamais la faire dépasser la fiabilité annoncée.

Une prévalence de $1\%$ qui devient $17\%$ après un test positif est cohérente : elle monte, sans atteindre $99\%$ . Un résultat inférieur à $1\%$ ou égal à $99\%$ trahirait une inversion.

L'exercice type décortiqué

Le paradoxe des anniversaires, jusqu'aux collisions de hachage

Dans un groupe de $n$ personnes, on cherche la probabilité qu'au moins deux partagent leur date d'anniversaire. On néglige les années bissextiles et l'on suppose les $365$ dates équiprobables.

1. Déterminer le plus petit $n$ pour lequel cette probabilité dépasse $\frac{1}{2}$ .

2. En déduire le coût de recherche d'une collision sur une empreinte de $128$ bits.

La probabilité qu'au moins deux personnes partagent leur anniversaire dépasse

\frac{1}{2}

dès

23

personnes, et non

183

: ce sont les PAIRES qui comptent, et il y en a déjà

253

Étape 1

L'événement « au moins deux personnes partagent une date » a pour contraire « les $n$ dates sont toutes distinctes ». On calcule le contraire.

Pourquoi

« Au moins deux » découperait le calcul en une somme de cas qui se recouvrent. Le contraire, lui, est un seul dénombrement, et c'est le geste réflexe de tout le chapitre.

Étape 2

Cas possibles : chaque personne a $365$ dates, soit $365^{n}$ listes, tirage ORDONNÉ AVEC remise. Cas favorables au contraire : $365\times 364\times\cdots\times(365-n+1)$ , tirage ordonné SANS remise.

Pourquoi

Les deux dénombrements portent sur le même univers ordonné, ce qui est indispensable pour que le quotient ait un sens. Mélanger un numérateur non ordonné et un dénominateur ordonné est l'erreur classique ici.

Étape 3

D'où $P(\text{toutes distinctes})=\dfrac{365}{365}\times\dfrac{364}{365}\times\cdots\times\dfrac{365-n+1}{365}$ , produit de $n$ facteurs.

Pourquoi

L'écriture en produit de fractions se calcule directement à la calculatrice et évite les factorielles de $365$ , qui débordent toute machine.

Étape 4

Pour $n=22$ : $P(\text{toutes distinctes})\approx 0{,}5243$ , donc $P(\text{collision})\approx 0{,}4757<\frac{1}{2}$ . Pour $n=23$ : $\approx 0{,}4927$ , donc $P(\text{collision})\approx 0{,}5073>\frac{1}{2}$ .

Pourquoi

On encadre le seuil en testant les deux valeurs voisines. Donner seulement $n=23$ sans montrer que $22$ ne convient pas laisse la moitié de la démonstration en suspens.

Étape 5

Interprétation : avec $23$ personnes il y a $\binom{23}{2}=253$ PAIRES, et c'est ce nombre qui décide, non le nombre de personnes.

Pourquoi

C'est la phrase qui rend le résultat non paradoxal, et c'est souvent elle que l'énoncé demande d'expliquer. Le nombre de paires croît comme le carré du nombre de personnes.

Étape 6

Généralisation : le seuil de $50\%$ parmi $N$ valeurs est atteint vers $1{,}18\sqrt{N}$ tirages. Ici $1{,}18\sqrt{365}\approx 22{,}5$ , conforme au calcul exact.

Pourquoi

La formule approchée sert de contrôle sur le calcul exact, puis de passerelle vers la question suivante : elle seule se transporte à $N=2^{128}$ .

Étape 7

Pour une empreinte de $128$ bits, $N=2^{128}$ et le seuil vaut environ $\sqrt{2^{128}}=2^{64}$ essais, et non $2^{128}$ .

Pourquoi

Ce facteur deux sur l'exposant est toute la différence entre une empreinte sûre et une empreinte cassée. Il explique pourquoi les fonctions de hachage modernes visent au moins $256$ bits.

Conclusion rédigée

Il suffit de $23$ personnes pour que la probabilité d'un anniversaire commun dépasse $\frac{1}{2}$ , parce que ce sont les $253$ paires qui comptent; par le même argument, une empreinte de $128$ bits ne résiste aux collisions que jusqu'à environ $2^{64}$ essais.

L'erreur classique sur cet exercice : Répondre $183$ , la moitié de $365$ . C'est la réponse à une autre question, celle de la probabilité qu'une personne DONNÉE partage l'anniversaire d'une autre. Le passage des personnes aux paires est exactement ce que l'exercice teste.

À savoir par cœur

• Deux questions avant tout calcul : l'ORDRE compte-t-il, et peut-on répéter ?
• Ordonné sans remise $\frac{n!}{(n-k)!}$ ; avec remise $n^{k}$ ; non ordonné sans remise $\binom{n}{k}$ ; avec remise $\binom{n+k-1}{k}$ .
• $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$ et $\sum_{k}\binom{n}{k}=2^{n}$ , qui est le nombre de parties.
• « Au moins un » se calcule TOUJOURS par le contraire, « aucun ».
• $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ : on ne retire rien seulement si les événements sont incompatibles.
• $P(A\mid B)$ et $P(B\mid A)$ sont deux nombres différents; sur un dépistage, $99\%$ contre $17\%$ .
• Indépendants n'est pas incompatibles : deux événements de probabilité non nulle ne peuvent pas être les deux.
• Seuil de collision parmi $N$ valeurs : environ $1{,}18\sqrt{N}$ , donc $2^{n/2}$ pour une empreinte de $n$ bits.

Questions fréquentes

Comment savoir s'il faut une combinaison ou un arrangement ?

On décrit un résultat, puis on échange deux de ses éléments. Si l'on obtient le même objet, l'ordre ne compte pas et c'est une combinaison; si l'on obtient un objet différent, c'est un arrangement. Un comité est une combinaison, un podium est un arrangement, et le rapport entre les deux est le nombre d'ordres possibles.

Pourquoi un test fiable à 99 pour cent donne-t-il autant de faux positifs ?

Parce que la maladie est rare. Sur mille personnes dont dix sont malades, le test détecte neuf virgule neuf vrais positifs, mais il déclare aussi positives cinq pour cent des neuf cent quatre-vingt-dix personnes saines, soit quarante-neuf virgule cinq. Parmi tous les positifs, seuls dix-sept pour cent sont donc réellement malades.

Comment calculer la probabilité d'avoir au moins un succès ?

On passe par l'événement contraire, celui de n'avoir aucun succès, qui se calcule d'un seul produit. La probabilité cherchée est alors un moins ce produit. Additionner les probabilités de chaque essai est faux, car cela compte plusieurs fois les tirages qui donnent deux succès ou plus.

Deux événements incompatibles sont-ils indépendants ?

Non, c'est même l'inverse. Incompatibles signifie que leur intersection est vide, donc de probabilité nulle; indépendants signifie que la probabilité de l'intersection est le produit des probabilités. Si les deux probabilités sont non nulles, ce produit ne peut pas être nul : les deux propriétés s'excluent.

Pourquoi vingt-trois personnes suffisent-elles pour un anniversaire commun ?

Parce que ce ne sont pas les personnes qui comptent mais les paires de personnes, et vingt-trois personnes forment déjà deux cent cinquante-trois paires. Le nombre de paires croît comme le carré du nombre de personnes, ce qui rend la collision beaucoup plus probable que l'intuition ne le suggère.

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Exercices corrigés : Dénombrement et probabilités

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

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