Devoir commun n° 2 corrigé : mathématiques (Seconde)

Dénominateur commun 12 : $\frac{8}{12}+\frac{9}{12}=\frac{17}{12}$. La fraction ne se simplifie pas, 17 étant premier. Contrôle décimal : $0{,}667+0{,}75=1{,}417$ et $\frac{17}{12}\approx 1{,}417$ ✓.

On additionne les exposants au numérateur et l'on soustrait celui du dénominateur : $\frac{10^{-3+5}}{10^{-2}}=10^{2-(-2)}=10^{4}$. Le piège est le double signe moins, qui ADDITIONNE 2 au lieu de le retrancher.

$50=25\times 2$, donc $\sqrt{50}=\sqrt{25}\times\sqrt{2}=5\sqrt{2}$. On sort le plus grand carré parfait qui divise le radicande, ici 25. Avec $\sqrt{72}$, par exemple, extraire $4$ au lieu de $36$ laisserait $2\sqrt{18}$, encore simplifiable, alors que $\sqrt{72}=6\sqrt{2}$.

C'est l'identité $(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$ avec $a=2x$ et $b=5$ : $4x^{2}-25$. Aucun terme en $x$ n'apparaît, les deux doubles produits s'annulant.

$9x^{2}-16=(3x)^{2}-4^{2}=(3x-4)(3x+4)$. Contrôle en $x=2$ : $36-16=20$ et $(6-4)(6+4)=2\times 10=20$ ✓.

$\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}=3-2\sqrt{3}+1=4-2\sqrt{3}$. Le double produit vaut $-2\times\sqrt{3}\times 1$, et il faut le garder sous forme exacte. Contrôle : $4-2\times 1{,}732=0{,}536$, et $\left(1{,}732-1\right)^{2}=0{,}732^{2}=0{,}536$ ✓.

$0{,}00042=4{,}2\times 10^{-4}$. L'écriture scientifique impose un seul chiffre non nul avant la virgule : $42\times 10^{-5}$ et $0{,}42\times 10^{-3}$ sont égaux mais ne sont pas des écritures scientifiques.

$3x\leq 12$, donc $x\leq 4$. L'ensemble des solutions est $\left]-\infty;4\right]$. On divise par 3, qui est positif : le sens de l'inégalité ne change pas.

$-2x>8$, donc $x<-4$ : on divise par $-2$, qui est NÉGATIF, et le sens de l'inégalité S'INVERSE. L'ensemble des solutions est $\left]-\infty;-4\right[$. Contrôle : $x=-5$ donne $-2\times(-5)+1=11>9$ ✓, tandis que $x=0$ donne $1>9$, faux ✓.

On multiplie en croix : $5(x-1)=2(x+3)$, soit $5x-5=2x+6$, donc $3x=11$ et $x=\frac{11}{3}$. Contrôle : $\frac{11/3-1}{2}=\frac{8/3}{2}=\frac{4}{3}$ et $\frac{11/3+3}{5}=\frac{20/3}{5}=\frac{4}{3}$ ✓.

$x\in\left]-3;4\right[$. Les deux crochets sont OUVERTS, tournés vers l'extérieur, parce que l'énoncé dit strictement. Un crochet fermé signifierait que les bornes sont acceptées.

L'intersection rassemble les nombres qui sont à la fois inférieurs ou égaux à 5 et supérieurs ou égaux à 2 : c'est $[2;5]$. On la lit en superposant les deux demi-droites sur un axe et en gardant la partie commune.

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est : $x-2=0$ ou $x+7=0$, donc $x=2$ ou $x=-7$. L'ensemble des solutions est $\{-7\ ;\ 2\}$. On n'a rien développé, ce qui est exactement l'intérêt d'une forme factorisée.

$f(-3)=(-3)^{2}-4=9-4=5$. Le carré d'un nombre négatif est positif : écrire $-9$ est la faute la plus fréquente, et elle vient de l'oubli des parenthèses.

On résout $x^{2}-4=5$, soit $x^{2}=9$, donc $x=3$ ou $x=-3$. Il y a DEUX antécédents, ce que la question 1 laissait déjà deviner. Une équation $x^{2}=k$ avec $k>0$ a toujours deux solutions opposées.

$\vec{AB}\left(5-1;4-2\right)=\vec{AB}(4;2)$ : on soustrait TOUJOURS les coordonnées du point de départ. Milieu : $I\left(\frac{1+5}{2};\frac{2+4}{2}\right)=I(3;3)$, cette fois avec une moyenne et non une différence.

$AB=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\approx 4{,}47$. On garde la forme exacte $2\sqrt{5}$ et l'on ne donne la valeur approchée qu'en complément.

L'urne contient 10 jetons équiprobables dont 4 rouges : $P=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}=0{,}4$.

Il y a $6\times 6=36$ résultats équiprobables. La somme 7 s'obtient par $(1;6)$, $(2;5)$, $(3;4)$, $(4;3)$, $(5;2)$ et $(6;1)$, soit 6 cas. $P=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\approx 0{,}167$. C'est la somme la plus probable, et il faut bien distinguer les deux dés : $(2;5)$ et $(5;2)$ sont deux résultats différents.

GRAPHIQUEMENT : ce sont les abscisses des points d'intersection de la parabole d'équation $y=x^{2}$ avec la droite horizontale d'équation $y=4$, soit deux points symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. ALGÉBRIQUEMENT : $x^{2}-4=0$ donne $(x-2)(x+2)=0$, donc $x=2$ ou $x=-2$.

La courbe la plus haute pour $x>1$ est celle de la fonction CARRÉ, puisqu'elle passe par $(2;4)$. Celle qui décroît et se rapproche de l'axe des abscisses est la fonction INVERSE, qui passe par $(2;0{,}5)$. La troisième, croissante mais de plus en plus lentement, est la RACINE CARRÉE, qui passe par $(4;2)$. Justifier par UN point de chaque courbe suffit et vaut mieux qu'une description d'allure.

Toutes passent par le point de coordonnées $(1;1)$, marqué sur la figure, parce que $1^{2}=1$, $\frac{1}{1}=1$ et $\sqrt{1}=1$. Le nombre 1 est le seul, avec 0 pour deux d'entre elles, à être égal à son carré, à son inverse et à sa racine : c'est ce qui fait de $x=1$ la frontière entre les deux comportements observés à la question 4.

GRAPHIQUEMENT : les courbes de la fonction carré et de la fonction inverse se coupent en un seul point, d'abscisse 1. ALGÉBRIQUEMENT : sur $\left]0;+\infty\right[$ on peut multiplier par $x$, NON NUL, ce qui donne l'équation équivalente $x^{3}=1$, donc $x=1$, unique solution réelle. Le signe de $x$ n'importerait que pour une inéquation, comme à la question 5 : pour une équation, il suffit que $x$ ne soit pas nul.

Pour $x=0{,}25$ : $x^{2}=0{,}0625$, $\sqrt{x}=0{,}5$ et $\frac{1}{x}=4$. L'ordre est $x^{2}<\sqrt{x}<\frac{1}{x}$. Pour $x=4$ : $x^{2}=16$, $\sqrt{x}=2$ et $\frac{1}{x}=0{,}25$. L'ordre est cette fois $\frac{1}{x}<\sqrt{x}<x^{2}$, exactement INVERSÉ. Constat : l'ordre des trois fonctions bascule en $x=1$, ce qui est la lecture de la question 2.

D'après la figure, la courbe de la fonction carré passe au-dessus de celle de la racine exactement pour $x>1$. Démonstration : $x^{2}>\sqrt{x}$ équivaut, en élevant au carré deux quantités positives, à $x^{4}>x$, soit $x\left(x^{3}-1\right)>0$. Sur $\left]0;+\infty\right[$, le facteur $x$ est positif, donc l'inéquation revient à $x^{3}>1$, c'est-à-dire $x>1$. L'ensemble des solutions est $\left]1;+\infty\right[$.

$\vec{AB}\left(5-1;4-2\right)=\vec{AB}(4;2)$ et $\vec{AC}\left(3-1;-2-2\right)=\vec{AC}(2;-4)$. Les coordonnées d'un vecteur s'obtiennent en soustrayant celles de l'origine à celles de l'extrémité, dans cet ordre.

$AB=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$. $AC=\sqrt{2^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$. $BC=\sqrt{(3-5)^{2}+(-2-4)^{2}}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$. Garder les formes exactes évite les arrondis et rend la question suivante immédiate.

ISOCÈLE : $AB=AC=2\sqrt{5}$, le triangle est isocèle en $A$. RECTANGLE : on applique la réciproque du théorème de Pythagore. $BC^{2}=40$, tandis que $AB^{2}+AC^{2}=20+20=40$. L'égalité étant vraie, le triangle est rectangle en $A$, l'angle droit étant opposé au plus grand côté $[BC]$. Avec le critère de Première spécialité, on le voit aussi : $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont orthogonaux, puisque $4\times 2+2\times(-4)=0$.

Le triangle étant rectangle en $A$, les côtés $[AB]$ et $[AC]$ sont perpendiculaires : ils servent de base et de hauteur. Aire $=\frac{AB\times AC}{2}=\frac{2\sqrt{5}\times 2\sqrt{5}}{2}=\frac{4\times 5}{2}=10$ unités d'aire. Le passage par les formes exactes fait disparaître les racines, ce qui n'aurait pas été le cas avec $4{,}47$.

Dans le parallélogramme $ABDC$, les côtés $[AB]$ et $[CD]$ sont parallèles et de même longueur, donc $\vec{AB}=\vec{CD}$. Cela donne $x_{D}-3=4$ et $y_{D}+2=2$, soit $D(7;0)$. NATURE : les côtés consécutifs $[AB]$ et $[AC]$ sont perpendiculaires et de même longueur, donc $ABDC$ est un CARRÉ. Contrôle : $\vec{AD}(6;-2)$ et $\vec{BC}(-2;-6)$ ont la même norme, $\sqrt{40}$, et sont orthogonaux (même critère de Première : $-12+12=0$) : les diagonales d'un carré sont bien égales et perpendiculaires.

On multiplie par $\frac{180}{\pi}$. $\frac{\pi}{3}$ donne $60$ degrés ; $\frac{5\pi}{6}$ donne $150$ degrés ; $-\frac{\pi}{4}$ donne $-45$ degrés. Le radian est une unité d'angle : un angle de $1$ radian intercepte, sur un cercle de rayon $1$, un arc de longueur $1$. Un tour complet vaut $2\pi$ radians, soit $360$ degrés.

$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}$ et $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Moyen de contrôle : le point est haut sur le cercle et proche de l'axe des ordonnées, donc son ordonnée doit être grande, environ $0{,}87$, et son abscisse petite, $0{,}5$ ✓.

$\frac{5\pi}{6}$ et $\frac{\pi}{6}$ sont SYMÉTRIQUES par rapport à l'axe des ordonnées, puisque $\frac{5\pi}{6}=\pi-\frac{\pi}{6}$. Cette symétrie conserve l'ordonnée et change le signe de l'abscisse : $\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)=-\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}$. Retenir la symétrie évite d'apprendre une seconde table de valeurs.

$\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, le cosinus étant pair et le sinus impair. Alors $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\frac{2}{4}+\frac{2}{4}=1$ ✓. L'identité est en fait le théorème de Pythagore appliqué au rayon du cercle, dont la longueur vaut 1.

Le côté OPPOSÉ à l'angle de 60 degrés vaut $10\sin(60°)=10\times\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\approx 8{,}66$ centimètres. Le côté ADJACENT vaut $10\cos(60°)=10\times\frac{1}{2}=5$ centimètres. Contrôle par Pythagore : $\left(5\sqrt{3}\right)^{2}+5^{2}=75+25=100=10^{2}$ ✓. Les formes exactes rendent ce contrôle immédiat.

Le tableau a deux lignes, Seconde et Première, et deux colonnes, sport et pas de sport. SECONDE : 240 élèves, dont 90 sportifs, donc 150 non sportifs. PREMIÈRE : $400-240=160$ élèves. Sportifs de Première : $170-90=80$. Non sportifs de Première : $160-80=80$. TOTAUX : 170 sportifs, 230 non sportifs, 400 élèves. On vérifie que la somme des quatre cases fait bien 400 : $90+150+80+80=400$ ✓.

$P(\text{Seconde})=\frac{240}{400}=0{,}60$, soit 60 pour cent des élèves.

L'intersection se lit directement dans une case du tableau : 80 élèves. $P=\frac{80}{400}=0{,}20$.

On note $S$ l'événement « l'élève est en Seconde » et $T$ l'événement « l'élève pratique un sport en club ». On applique la formule de la réunion : $P(S\cup T)=P(S)+P(T)-P(S\cap T)=\frac{240}{400}+\frac{170}{400}-\frac{90}{400}=\frac{320}{400}=0{,}80$. Le retranchement est indispensable, faute de quoi les 90 élèves de Seconde sportifs seraient comptés DEUX fois. Contrôle par le complémentaire : les élèves qui ne sont ni en Seconde ni sportifs sont les 80 non sportifs de Première, donc $1-\frac{80}{400}=0{,}80$ ✓.

Pour un élève de PREMIÈRE : $\frac{80}{160}=0{,}50$. Pour un élève de SECONDE : $\frac{90}{240}=0{,}375$. Les élèves de Première pratiquent donc davantage, alors qu'ils sont moins nombreux en valeur absolue à le faire, 80 contre 90. C'est le contraste entre un EFFECTIF et une PROPORTION, et c'est exactement ce que mesure une probabilité conditionnelle : on a changé de population de référence, en passant de 400 élèves à 160.

La recette est le prix unitaire multiplié par la quantité : $R(x)=50x$. Le bénéfice est la différence : $B(x)=50x-\left(x^{2}+400\right)=-x^{2}+50x-400$. C'est une fonction du second degré, dont la courbe, tracée sur la figure, est une parabole tournée vers le bas.

On développe : $-(x-10)(x-40)=-\left(x^{2}-40x-10x+400\right)=-\left(x^{2}-50x+400\right)=-x^{2}+50x-400$ ✓. La forme factorisée est celle qui donne immédiatement les racines, la forme développée celle qui donne l'ordonnée à l'origine.

L'atelier est bénéficiaire quand $B(x)>0$, soit $-(x-10)(x-40)>0$, c'est-à-dire $(x-10)(x-40)<0$. Un produit de deux facteurs est négatif quand ils sont de signes contraires, ce qui arrive strictement ENTRE les racines : $10<x<40$. Il faut donc produire au moins 11 objets, la production étant un nombre entier, et au plus 39. Sur la figure, c'est la portion de courbe au-dessus de l'axe.

On développe : $-(x-25)^{2}+225=-\left(x^{2}-50x+625\right)+225=-x^{2}+50x-400=B(x)$ ✓.

Un carré est positif ou nul, donc $B(x)\leq 225$, avec égalité seulement pour $x=25$. Le bénéfice maximal vaut $225$ euros, pour $25$ objets. Contrôle : $B(25)=-625+1250-400=225$ ✓.

En Première spécialité, on retient aussi que le sommet d'une parabole est au milieu de ses racines : $\frac{10+40}{2}=25$ ✓.

NON. Le bénéfice maximal est de 225 euros, atteint pour 25 objets, donc 250 euros est hors d'atteinte quelle que soit la production. Autrement dit, l'équation $B(x)=250$ s'écrit $-\left(x-25\right)^{2}+225=250$, soit $\left(x-25\right)^{2}=-25$, qui n'a aucune solution réelle puisqu'un carré est toujours positif. La forme canonique répond donc à la question sans aucun calcul supplémentaire.

$f=\frac{52}{100}=0{,}52$, soit 52 pour cent. C'est une fréquence OBSERVÉE sur un échantillon, à ne pas confondre avec la proportion $p=0{,}40$ annoncée pour la population entière.

Avec $p=0{,}40$ et $n=100$ : $\frac{1}{\sqrt{100}}=\frac{1}{10}=0{,}10$. L'intervalle de fluctuation est $\left[0{,}40-0{,}10\ ;\ 0{,}40+0{,}10\right]=\left[0{,}30\ ;\ 0{,}50\right]$. Les conditions d'emploi sont remplies : $n\geq 25$ et $0{,}2\leq p\leq 0{,}8$.

La fréquence observée, $0{,}52$, n'appartient PAS à l'intervalle $\left[0{,}30\ ;\ 0{,}50\right]$. On rejette donc l'affirmation du fabricant au seuil de 95 pour cent. Il faut mesurer la portée de cette conclusion : elle signifie qu'un tel écart se produirait par hasard dans moins de 5 pour cent des échantillons si le fabricant disait vrai, non que le fabricant ment avec certitude.

Avec $n=400$ : $\frac{1}{\sqrt{400}}=\frac{1}{20}=0{,}05$, donc l'intervalle devient $\left[0{,}35\ ;\ 0{,}45\right]$. La fréquence $0{,}52$ en est encore plus loin, et le rejet est plus net. COMMENTAIRE : la même fréquence observée conduit à une conclusion plus tranchée sur un grand échantillon, parce qu'un écart devient d'autant plus improbable que l'échantillon est grand.

La demi-largeur vaut $\frac{1}{\sqrt{n}}$, qui décroît quand $n$ augmente : plus l'échantillon est grand, plus la fréquence observée a de chances d'être proche de la vraie proportion. Pour obtenir $\frac{1}{\sqrt{n}}=0{,}02$, il faut $\sqrt{n}=50$, donc $n=2500$ paquets. Notez qu'il faut multiplier la taille par 4 pour diviser la largeur par 2 : la précision coûte de plus en plus cher, ce qui est la contrainte de tout sondage.