Devoir commun n° 2 corrigé : mathématiques (Seconde)

1) Dénominateur commun 12 : $\frac{8}{12}+\frac{9}{12}=\frac{17}{12}$. La fraction ne se simplifie pas, 17 étant premier. Contrôle décimal : $0{,}667+0{,}75=1{,}417$ et $\frac{17}{12}\approx 1{,}417$ ✓.

2) On additionne les exposants au numérateur et l'on soustrait celui du dénominateur : $\frac{10^{-3+5}}{10^{-2}}=10^{2-(-2)}=10^{4}$. Le piège est le double signe moins, qui ADDITIONNE 2 au lieu de le retrancher.

3) $50=25\times 2$, donc $\sqrt{50}=\sqrt{25}\times\sqrt{2}=5\sqrt{2}$. On sort le plus grand carré parfait contenu dans le radicande, ici 25, et non un carré plus petit comme 4, qui laisserait $\sqrt{50}$ non simplifié.

4) C'est l'identité $(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$ avec $a=2x$ et $b=5$ : $4x^{2}-25$. Aucun terme en $x$ n'apparaît, les deux doubles produits s'annulant.

5) $9x^{2}-16=(3x)^{2}-4^{2}=(3x-4)(3x+4)$. Contrôle en $x=2$ : $36-16=20$ et $(6-4)(6+4)=2\times 10=20$ ✓.

6) $\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}=3-2\sqrt{3}+1=4-2\sqrt{3}$. Le double produit vaut $-2\times\sqrt{3}\times 1$, et il faut le garder sous forme exacte. Contrôle : $4-2\times 1{,}732=0{,}536$, et $\left(1{,}732-1\right)^{2}=0{,}732^{2}=0{,}536$ ✓.

7) $0{,}00042=4{,}2\times 10^{-4}$. L'écriture scientifique impose un seul chiffre non nul avant la virgule : $42\times 10^{-5}$ et $0{,}42\times 10^{-3}$ sont égaux mais ne sont pas des écritures scientifiques.

1) $3x\leq 12$, donc $x\leq 4$. L'ensemble des solutions est $\left]-\infty;4\right]$. On divise par 3, qui est positif : le sens de l'inégalité ne change pas.

2) $-2x>8$, donc $x<-4$ : on divise par $-2$, qui est NÉGATIF, et le sens de l'inégalité S'INVERSE. L'ensemble des solutions est $\left]-\infty;-4\right[$. Contrôle : $x=-5$ donne $-2\times(-5)+1=11>9$ ✓, tandis que $x=0$ donne $1>9$, faux ✓.

3) On multiplie en croix : $5(x-1)=2(x+3)$, soit $5x-5=2x+6$, donc $3x=11$ et $x=\frac{11}{3}$. Contrôle : $\frac{11/3-1}{2}=\frac{8/3}{2}=\frac{4}{3}$ et $\frac{11/3+3}{5}=\frac{20/3}{5}=\frac{4}{3}$ ✓.

4) $x\in\left]-3;4\right[$. Les deux crochets sont OUVERTS, tournés vers l'extérieur, parce que l'énoncé dit strictement. Un crochet fermé signifierait que les bornes sont acceptées.

5) L'intersection rassemble les nombres qui sont à la fois inférieurs ou égaux à 5 et supérieurs ou égaux à 2 : c'est $[2;5]$. On la lit en superposant les deux demi-droites sur un axe et en gardant la partie commune.

6) Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est : $x-2=0$ ou $x+7=0$, donc $x=2$ ou $x=-7$. L'ensemble des solutions est $\{-7\ ;\ 2\}$. On n'a rien développé, ce qui est exactement l'intérêt d'une forme factorisée.

1) $f(-3)=(-3)^{2}-4=9-4=5$. Le carré d'un nombre négatif est positif : écrire $-9$ est la faute la plus fréquente, et elle vient de l'oubli des parenthèses.

2) On résout $x^{2}-4=5$, soit $x^{2}=9$, donc $x=3$ ou $x=-3$. Il y a DEUX antécédents, ce que la question 1 laissait déjà deviner. Une équation $x^{2}=k$ avec $k>0$ a toujours deux solutions opposées.

3) $\vec{AB}\left(5-1;4-2\right)=\vec{AB}(4;2)$ : on soustrait TOUJOURS les coordonnées du point de départ. Milieu : $I\left(\frac{1+5}{2};\frac{2+4}{2}\right)=I(3;3)$, cette fois avec une moyenne et non une différence.

4) $AB=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\approx 4{,}47$. On garde la forme exacte $2\sqrt{5}$ et l'on ne donne la valeur approchée qu'en complément.

5) L'urne contient 10 jetons équiprobables dont 4 rouges : $P=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}=0{,}4$.

6) Il y a $6\times 6=36$ résultats équiprobables. La somme 7 s'obtient par $(1;6)$, $(2;5)$, $(3;4)$, $(4;3)$, $(5;2)$ et $(6;1)$, soit 6 cas. $P=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\approx 0{,}167$. C'est la somme la plus probable, et il faut bien distinguer les deux dés : $(2;5)$ et $(5;2)$ sont deux résultats différents.

7) GRAPHIQUEMENT : ce sont les abscisses des points d'intersection de la parabole d'équation $y=x^{2}$ avec la droite horizontale d'équation $y=4$, soit deux points symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. ALGÉBRIQUEMENT : $x^{2}-4=0$ donne $(x-2)(x+2)=0$, donc $x=2$ ou $x=-2$.

1) La courbe la plus haute pour $x>1$ est celle de la fonction CARRÉ, puisqu'elle passe par $(2;4)$. Celle qui décroît et se rapproche de l'axe des abscisses est la fonction INVERSE, qui passe par $(2;0{,}5)$. La troisième, croissante mais de plus en plus lentement, est la RACINE CARRÉE, qui passe par $(4;2)$. Justifier par UN point de chaque courbe suffit et vaut mieux qu'une description d'allure.

2) Toutes passent par le point de coordonnées $(1;1)$, marqué sur la figure, parce que $1^{2}=1$, $\frac{1}{1}=1$ et $\sqrt{1}=1$. Le nombre 1 est le seul, avec 0 pour deux d'entre elles, à être égal à son carré, à son inverse et à sa racine : c'est ce qui fait de $x=1$ la frontière entre les deux comportements observés à la question 4.

3) GRAPHIQUEMENT : les courbes de la fonction carré et de la fonction inverse se coupent en un seul point, d'abscisse 1. ALGÉBRIQUEMENT : sur $\left]0;+\infty\right[$ on peut multiplier par $x$, strictement positif, ce qui donne $x^{3}=1$, donc $x=1$, unique solution réelle. Multiplier par $x$ ne serait pas permis sans savoir son signe, et c'est pourquoi l'énoncé restreint l'intervalle.

4) Pour $x=0{,}25$ : $x^{2}=0{,}0625$, $\sqrt{x}=0{,}5$ et $\frac{1}{x}=4$. L'ordre est $x^{2}<\sqrt{x}<\frac{1}{x}$. Pour $x=4$ : $x^{2}=16$, $\sqrt{x}=2$ et $\frac{1}{x}=0{,}25$. L'ordre est cette fois $\frac{1}{x}<\sqrt{x}<x^{2}$, exactement INVERSÉ. Constat : l'ordre des trois fonctions bascule en $x=1$, ce qui est la lecture de la question 2.

5) D'après la figure, la courbe de la fonction carré passe au dessus de celle de la racine exactement pour $x>1$. Démonstration : $x^{2}>\sqrt{x}$ équivaut, en élevant au carré deux quantités positives, à $x^{4}>x$, soit $x\left(x^{3}-1\right)>0$. Sur $\left]0;+\infty\right[$, le facteur $x$ est positif, donc l'inéquation revient à $x^{3}>1$, c'est-à-dire $x>1$. L'ensemble des solutions est $\left]1;+\infty\right[$.

1) $\vec{AB}\left(5-1;4-2\right)=\vec{AB}(4;2)$ et $\vec{AC}\left(3-1;-2-2\right)=\vec{AC}(2;-4)$. Les coordonnées d'un vecteur s'obtiennent en soustrayant celles de l'origine à celles de l'extrémité, dans cet ordre.

2) $AB=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$. $AC=\sqrt{2^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$. $BC=\sqrt{(3-5)^{2}+(-2-4)^{2}}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$. Garder les formes exactes évite les arrondis et rend la question suivante immédiate.

3) ISOCÈLE : $AB=AC=2\sqrt{5}$, le triangle est isocèle en $A$. RECTANGLE : on applique la réciproque du théorème de Pythagore. $BC^{2}=40$, tandis que $AB^{2}+AC^{2}=20+20=40$. L'égalité étant vraie, le triangle est rectangle en $A$, l'angle droit étant opposé au plus grand côté $[BC]$. On peut aussi le voir en remarquant que $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont orthogonaux, puisque $4\times 2+2\times(-4)=0$.

4) Le triangle étant rectangle en $A$, les côtés $[AB]$ et $[AC]$ sont perpendiculaires : ils servent de base et de hauteur. Aire $=\frac{AB\times AC}{2}=\frac{2\sqrt{5}\times 2\sqrt{5}}{2}=\frac{4\times 5}{2}=10$ unités d'aire. Le passage par les formes exactes fait disparaître les racines, ce qui n'aurait pas été le cas avec $4{,}47$.

5) Dans le parallélogramme $ABDC$, les côtés $[AB]$ et $[CD]$ sont parallèles et de même longueur, donc $\vec{AB}=\vec{CD}$. Cela donne $x_{D}-3=4$ et $y_{D}+2=2$, soit $D(7;0)$. NATURE : les côtés consécutifs $[AB]$ et $[AC]$ sont perpendiculaires et de même longueur, donc $ABDC$ est un CARRÉ. Contrôle : $\vec{AD}(6;-2)$ et $\vec{BC}(-2;-6)$ ont la même norme, $\sqrt{40}$, et sont orthogonaux puisque $-12+12=0$ : les diagonales d'un carré sont bien égales et perpendiculaires.

1) On multiplie par $\frac{180}{\pi}$. $\frac{\pi}{3}$ donne $60$ degrés ; $\frac{5\pi}{6}$ donne $150$ degrés ; $-\frac{\pi}{4}$ donne $-45$ degrés. Le radian n'est pas une unité de plus à retenir, c'est la mesure de l'arc sur un cercle de rayon 1 : un tour complet vaut $2\pi$ et non 360.

2) $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}$ et $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Moyen de contrôle : le point est haut sur le cercle et proche de l'axe des ordonnées, donc son ordonnée doit être grande, environ $0{,}87$, et son abscisse petite, $0{,}5$ ✓.

3) $\frac{5\pi}{6}$ et $\frac{\pi}{6}$ sont SYMÉTRIQUES par rapport à l'axe des ordonnées, puisque $\frac{5\pi}{6}=\pi-\frac{\pi}{6}$. Cette symétrie conserve l'ordonnée et change le signe de l'abscisse : $\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)=-\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}$. Retenir la symétrie évite d'apprendre une seconde table de valeurs.

4) $\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, le cosinus étant pair et le sinus impair. Alors $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\frac{2}{4}+\frac{2}{4}=1$ ✓. L'identité est en fait le théorème de Pythagore appliqué au rayon du cercle, dont la longueur vaut 1.

5) Le côté OPPOSÉ à l'angle de 60 degrés vaut $10\sin(60°)=10\times\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\approx 8{,}66$ centimètres. Le côté ADJACENT vaut $10\cos(60°)=10\times\frac{1}{2}=5$ centimètres. Contrôle par Pythagore : $\left(5\sqrt{3}\right)^{2}+5^{2}=75+25=100=10^{2}$ ✓. Les formes exactes rendent ce contrôle immédiat.

1) Le tableau a deux lignes, Seconde et Première, et deux colonnes, sport et pas de sport. SECONDE : 240 élèves, dont 90 sportifs, donc 150 non sportifs. PREMIÈRE : $400-240=160$ élèves. Sportifs de Première : $170-90=80$. Non sportifs de Première : $160-80=80$. TOTAUX : 170 sportifs, 230 non sportifs, 400 élèves. On vérifie que la somme des quatre cases fait bien 400 : $90+150+80+80=400$ ✓.

2) $P(\text{Seconde})=\frac{240}{400}=0{,}60$, soit 60 pour cent des élèves.

3) L'intersection se lit directement dans une case du tableau : 80 élèves. $P=\frac{80}{400}=0{,}20$.

4) On applique la formule de la réunion : $P(S\cup T)=P(S)+P(T)-P(S\cap T)=\frac{240}{400}+\frac{170}{400}-\frac{90}{400}=\frac{320}{400}=0{,}80$. Le retranchement est indispensable, faute de quoi les 90 élèves de Seconde sportifs seraient comptés DEUX fois. Contrôle par le complémentaire : les élèves qui ne sont ni en Seconde ni sportifs sont les 80 non sportifs de Première, donc $1-\frac{80}{400}=0{,}80$ ✓.

5) Pour un élève de PREMIÈRE : $\frac{80}{160}=0{,}50$. Pour un élève de SECONDE : $\frac{90}{240}=0{,}375$. Les élèves de Première pratiquent donc davantage, alors qu'ils sont moins nombreux en valeur absolue à le faire, 80 contre 90. C'est le contraste entre un EFFECTIF et une PROPORTION, et c'est exactement ce que mesure une probabilité conditionnelle : on a changé de population de référence, en passant de 400 élèves à 160.

1) La recette est le prix unitaire multiplié par la quantité : $R(x)=50x$. Le bénéfice est la différence : $B(x)=50x-\left(x^{2}+400\right)=-x^{2}+50x-400$. C'est une fonction du second degré dont le coefficient dominant est NÉGATIF, donc sa courbe est une parabole tournée vers le bas, ce que confirme la figure.

2) On développe : $-(x-10)(x-40)=-\left(x^{2}-40x-10x+400\right)=-\left(x^{2}-50x+400\right)=-x^{2}+50x-400$ ✓. La forme factorisée est celle qui donne immédiatement les racines, la forme développée celle qui donne l'ordonnée à l'origine.

3) L'atelier est bénéficiaire quand $B(x)>0$, soit $-(x-10)(x-40)>0$, c'est-à-dire $(x-10)(x-40)<0$. Un produit de deux facteurs est négatif quand ils sont de signes contraires, ce qui arrive strictement ENTRE les racines : $10<x<40$. Il faut donc produire au moins 11 objets, la production étant un nombre entier, et au plus 39. Sur la figure, c'est la portion de courbe au dessus de l'axe.

4) La parabole étant symétrique par rapport à l'axe de son sommet, celui-ci est au milieu des racines : $x=\frac{10+40}{2}=25$ objets. Bénéfice maximal : $B(25)=-625+1250-400=225$ euros. On peut le retrouver par la forme canonique $B(x)=-\left(x-25\right)^{2}+225$, qui montre directement que le maximum vaut 225 et qu'il est atteint en 25.

5) NON. Le bénéfice maximal est de 225 euros, atteint pour 25 objets, donc 250 euros est hors d'atteinte quelle que soit la production. Autrement dit, l'équation $B(x)=250$ s'écrit $-\left(x-25\right)^{2}+225=250$, soit $\left(x-25\right)^{2}=-25$, qui n'a aucune solution réelle puisqu'un carré est toujours positif. La forme canonique répond donc à la question sans aucun calcul supplémentaire.

1) $f=\frac{52}{100}=0{,}52$, soit 52 pour cent. C'est une fréquence OBSERVÉE sur un échantillon, à ne pas confondre avec la proportion $p=0{,}40$ annoncée pour la population entière.

2) Avec $p=0{,}40$ et $n=100$ : $\frac{1}{\sqrt{100}}=\frac{1}{10}=0{,}10$. L'intervalle de fluctuation est $\left[0{,}40-0{,}10\ ;\ 0{,}40+0{,}10\right]=\left[0{,}30\ ;\ 0{,}50\right]$. Les conditions d'emploi sont remplies : $n\geq 25$ et $0{,}2\leq p\leq 0{,}8$.

3) La fréquence observée, $0{,}52$, n'appartient PAS à l'intervalle $\left[0{,}30\ ;\ 0{,}50\right]$. On rejette donc l'affirmation du fabricant au seuil de 95 pour cent. Il faut mesurer la portée de cette conclusion : elle signifie qu'un tel écart se produirait par hasard dans moins de 5 pour cent des échantillons si le fabricant disait vrai, non que le fabricant ment avec certitude.

4) Avec $n=400$ : $\frac{1}{\sqrt{400}}=\frac{1}{20}=0{,}05$, donc l'intervalle devient $\left[0{,}35\ ;\ 0{,}45\right]$. La fréquence $0{,}52$ en est encore plus loin, et le rejet est plus net. COMMENTAIRE : la même fréquence observée conduit à une conclusion plus tranchée sur un grand échantillon, parce qu'un écart devient d'autant plus improbable que l'échantillon est grand.

5) La demi-largeur vaut $\frac{1}{\sqrt{n}}$, qui décroît quand $n$ augmente : plus l'échantillon est grand, plus la fréquence observée a de chances d'être proche de la vraie proportion. Pour obtenir $\frac{1}{\sqrt{n}}=0{,}02$, il faut $\sqrt{n}=50$, donc $n=2500$ paquets. Notez qu'il faut multiplier la taille par 4 pour diviser la largeur par 2 : la précision coûte de plus en plus cher, ce qui est la contrainte de tout sondage.

1) $f(1)=1+1-3=-1$ et $f(2)=8+2-3=7$. La fonction $f$ est une somme de fonctions continues, donc elle est continue sur $[1\ ;\ 2]$, et elle change de SIGNE entre les deux bornes. Sa courbe passe donc d'un côté à l'autre de l'axe des abscisses, ce qui garantit l'existence d'au moins une solution dans $\left]1\ ;\ 2\right[$. Comme $f$ est de plus strictement croissante, cette solution est unique.

2) $f(1{,}5)=3{,}375+1{,}5-3=1{,}875$, qui est POSITIF, du même signe que $f(2)$. La solution se trouve donc du côté où le signe change, c'est-à-dire entre 1 et 1,5 : $1<x<1{,}5$. L'amplitude est passée de 1 à 0,5.

3) ÉTAPE 2 : $f(1{,}25)=1{,}953125+1{,}25-3=0{,}203125>0$, donc la solution est dans $[1\ ;\ 1{,}25]$. ÉTAPE 3 : $f(1{,}125)=1{,}423828+1{,}125-3=-0{,}451172<0$, donc la solution est dans $[1{,}125\ ;\ 1{,}25]$, d'amplitude $0{,}125$. À chaque étape, on garde la moitié où $f$ change de signe.

4) L'amplitude après $n$ étapes vaut $\frac{1}{2^{n}}$. On cherche $\frac{1}{2^{n}}<0{,}001$, soit $2^{n}>1000$. Comme $2^{9}=512$ et $2^{10}=1024$, il faut $n=10$ étapes. Le nombre d'étapes est connu D'AVANCE et ne dépend pas de la fonction, ce qui est la grande force de la méthode.

5) La ligne manquante choisit la moitié à conserver : si $f(a)$ et $f(m)$ sont de signes contraires, la solution est à gauche et l'on remplace $b$ par $m$ ; sinon on remplace $a$ par $m$. En Python, cela s'écrit $\texttt{if f(a)*f(m) < 0: b = m}$ suivi de $\texttt{else: a = m}$. Avec une précision de $0{,}01$, il faut $2^{n}>100$, donc 7 étapes, et le programme affiche l'encadrement $\left[1{,}2109\ ;\ 1{,}2188\right]$ environ, dont le centre $1{,}2148$ approche la solution exacte $1{,}2134$.