Brevet blanc n° 2 corrigé : mathématiques, format 2026 (Troisième)

Même dénominateur 20 : $\frac{3}{4}=\frac{15}{20}$ et $\frac{2}{5}=\frac{8}{20}$, donc $\frac{15}{20}-\frac{8}{20}=\frac{7}{20}$, soit $0{,}35$. Soustraire numérateurs et dénominateurs séparément donnerait $\frac{1}{1}$, ce qui n'est jamais permis. Contrôle de tête : $0{,}75-0{,}40=0{,}35$ ✓.

La hausse vaut $50-40=10$ euros, et on la RAPPORTE AU PRIX DE DÉPART : $\frac{10}{40}=\frac{1}{4}=\frac{25}{100}$, soit une hausse de 25 %. Diviser par 50 au lieu de 40 donne 20 % : c'est l'erreur qui coûte le point, et elle donne le pourcentage de la BAISSE qui ramènerait de 50 à 40 euros. Contrôle : 25 % de 40 font 10, et $40+10=50$ ✓.

Réponse B. Identité $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ avec $a=2x$ et $b=3$ : $4x^{2}-2\times 2x\times 3+9=4x^{2}-12x+9$. La réponse A oublie le double produit, la C ne le double pas, la D n'élève pas le 2 au carré. Contrôle en $x=1$ : $(2-3)^{2}=1$ et $4-12+9=1$ ✓.

Réponse A. L'écriture scientifique est $a\times 10^{n}$ avec $1\le a<10$. Ici on décale la virgule de 4 rangs vers la droite pour obtenir $7{,}2$, donc $0{,}00072=7{,}2\times 10^{-4}$. Les réponses B et D sont ÉGALES au nombre, mais ce ne sont pas des écritures scientifiques : 72 et $0{,}72$ ne sont pas entre 1 et 10. La réponse C est un nombre de plus de 70 000 mètres. Contrôle : $7{,}2\times 0{,}0001=0{,}00072$ ✓.

Les antécédents de 0 sont les ABSCISSES des points de la courbe d'ordonnée 0, c'est-à-dire les points où la courbe coupe l'axe horizontal : on lit $x=-1$ et $x=3$. Une courbe peut donner plusieurs antécédents à un même nombre, ici deux. Lire l'image de 0, c'est répondre à une autre question : la courbe coupe l'axe vertical en $-1{,}5$, et $f(0)=-1{,}5$ n'est pas ce qui est demandé.

On RANGE d'abord la série : $2\ ;\ 3\ ;\ 4\ ;\ 5\ ;\ 7\ ;\ 8\ ;\ 9\ ;\ 11$. Il y a 8 valeurs, un nombre PAIR : la médiane est la moyenne de la 4e et de la 5e, $\frac{5+7}{2}=6$. Prendre les deux valeurs du milieu sans ranger (9 et 5) donnerait 7, et la moyenne de la série vaut $\frac{49}{8}\approx 6{,}1$ : ni l'une ni l'autre n'est la médiane. Quatre valeurs sont inférieures à 6 et quatre supérieures ✓.

Les huit numéros sont équiprobables. Les nombres premiers entre 1 et 8 sont 2, 3, 5 et 7 : 1 n'est PAS premier, car il n'a qu'un seul diviseur. La probabilité vaut donc $\frac{4}{8}=\frac{1}{2}=0{,}5$. Compter 1 parmi les premiers donne $\frac{5}{8}$.

VRAI. $84\times 5=420$ et $84\times 6=504$ : 84 divise les deux nombres. Le calcul se fait de tête en passant par $84\times 5=420$, puis en ajoutant 84. C'est même le plus grand diviseur commun, car $504-420=84$ et tout diviseur commun divise aussi cette différence.

Réponse A. Dans le triangle rectangle en $E$, l'hypoténuse est $[DF]$ et le côté $[EF]$ est OPPOSÉ à l'angle $\widehat{EDF}$ : $\sin(40°)=\frac{EF}{DF}$, donc $EF=10\times\sin(40°)$. Le cosinus donnerait le côté adjacent $DE$, la division par le sinus donnerait une longueur plus grande que l'hypoténuse.

Réponse C. Une réduction de rapport $k$ multiplie les longueurs par $k$, les aires par $k^{2}$ et les volumes par $k^{3}$ : ici $\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=\frac{1}{8}$, et $\frac{64}{8}=8$ cm³. La réponse A divise par 2 comme pour une longueur, la B par 4 comme pour une aire, la D est l'aire d'une face du petit cube. Contrôle direct : le cube réduit a 2 cm d'arête, et $2^{3}=8$ ✓.

Avec $-2$ : $-2-4=-6$, puis $-6\times 3=-18$, puis $-18+12=-6$. Le résultat est $-6$, qui est bien le triple de $-2$. VRAI en général : avec $x$, le programme donne $3(x-4)+12=3x-12+12=3x$. Un seul essai ne prouve rien ; c'est le calcul littéral qui fait passer de « ça marche pour $-2$ » à « c'est toujours vrai ».

Les droites $(MN)$ et $(BC)$ étant parallèles, et les points étant alignés comme indiqué, le théorème de Thalès donne $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$. L'ordre des lettres compte : dans chaque rapport, le petit triangle est au numérateur et le grand au dénominateur, et les sommets se correspondent, $M$ avec $B$ et $N$ avec $C$.

De $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$ on tire $\frac{4}{10}=\frac{3{,}5}{AC}$, donc $AC=\frac{3{,}5\times 10}{4}=\frac{35}{4}=8{,}75$ centimètres. Contrôle de vraisemblance : $AC$ doit être plus grand que $AN=3{,}5$ ✓, et le rapport $\frac{3{,}5}{8{,}75}=0{,}4$ est bien égal à $\frac{4}{10}$ ✓.

De $\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}$ on tire $\frac{4}{10}=\frac{3}{BC}$, donc $BC=\frac{3\times 10}{4}=7{,}5$ centimètres. On retrouve le même coefficient : toutes les longueurs du grand triangle valent $2{,}5$ fois celles du petit.

OUI. Les trois côtés sont proportionnels dans le même rapport : $\frac{AB}{AM}=\frac{10}{4}=2{,}5$, $\frac{AC}{AN}=\frac{8{,}75}{3{,}5}=2{,}5$ et $\frac{BC}{MN}=\frac{7{,}5}{3}=2{,}5$. Le triangle $ABC$ est donc l'AGRANDISSEMENT de $AMN$ de rapport $k=2{,}5$. C'est exactement ce que dit le théorème de Thalès dans cette configuration.

Dans un agrandissement de rapport $k$, les aires sont multipliées par $k^{2}$. Ici $k^{2}=2{,}5^{2}=6{,}25$, donc l'aire de $ABC$ vaut $5{,}2\times 6{,}25=32{,}5$ centimètres carrés. L'erreur classique consiste à multiplier par $2{,}5$ et à trouver 13 : il faut se rappeler qu'une aire se mesure en deux dimensions, donc que le rapport y intervient DEUX fois.

Dans le triangle rectangle en $B$, le côté $[BC]$ est OPPOSÉ à l'angle de 35 degrés et $[AC]$ est l'hypoténuse : on utilise le sinus. $\sin(35°)=\frac{BC}{AC}$, donc $BC=12\times\sin(35°)\approx 12\times 0{,}5736=6{,}883$, soit environ $6{,}9$ centimètres.

PREMIÈRE MÉTHODE, le cosinus : $[AB]$ est ADJACENT à l'angle, donc $AB=12\times\cos(35°)\approx 12\times 0{,}8192=9{,}830$, soit environ $9{,}8$ centimètres. SECONDE MÉTHODE, Pythagore : $AB^{2}=AC^{2}-BC^{2}=144-47{,}38=96{,}62$, donc $AB\approx 9{,}829$ ✓. Les deux méthodes concordent, et la seconde sert de contrôle à la première.

Le triangle étant rectangle en $B$, les côtés $[AB]$ et $[BC]$ sont perpendiculaires : ils forment la base et la hauteur. Aire $=\frac{AB\times BC}{2}=\frac{9{,}830\times 6{,}883}{2}\approx\frac{67{,}66}{2}\approx 33{,}8$ cm². La même aire se calcule avec $[AC]$ comme base et $[BH]$ comme hauteur : $\frac{AC\times BH}{2}=33{,}83$, donc $BH=\frac{2\times 33{,}83}{12}\approx 5{,}64$ centimètres. Calculer une aire de DEUX façons est la méthode standard pour obtenir une hauteur sans construction : c'est exactement ce qu'on refait au lycée pour les distances dans l'espace. On garde les valeurs non arrondies de $AB$ et $BC$ dans la calculatrice jusqu'au bout.

Vérification par la réciproque de Pythagore : le plus grand côté est 15, et $15^{2}=225$ tandis que $9^{2}+12^{2}=81+144=225$. L'égalité étant vraie, le triangle EST rectangle, l'angle droit étant opposé au côté de 15 cm. Le plus petit angle est opposé au plus petit côté, donc au côté de 9 cm : $\sin(\alpha)=\frac{9}{15}=0{,}6$, d'où $\alpha\approx 36{,}87$, soit environ 37 degrés. Contrôle : le troisième angle vaut alors $90-37=53$ degrés, et $\sin(53°)\approx 0{,}80=\frac{12}{15}$ ✓.

$(x+3)^{2}=x^{2}+6x+9$ par l'identité remarquable. $(x-1)(x+5)=x^{2}+5x-x-5=x^{2}+4x-5$. Donc $E=x^{2}+6x+9-\left(x^{2}+4x-5\right)=x^{2}+6x+9-x^{2}-4x+5=2x+14$. ATTENTION au signe moins devant la parenthèse, qui change le signe des TROIS termes : c'est là que se perdent la plupart des points.

Pour $x=0$, forme de départ : $(0+3)^{2}-(0-1)(0+5)=9-(-5)=9+5=14$ ; forme réduite : $2\times 0+14=14$ ✓. Les deux calculs concordent, ce qui valide le développement : vérifier sur la forme de départ est le seul moyen sûr de détecter une erreur. L'équation $E=0$ s'écrit $2x+14=0$, donc $2x=-14$ et $x=-7$. Contrôle sur la forme de départ : $(-4)^{2}-(-8)(-2)=16-16=0$ ✓. L'équation est du premier degré parce que les termes en $x^{2}$ se sont annulés au développement, et c'est justement l'intérêt de la question e).

$F=(2x-1)^{2}-3^{2}$ est une différence de deux carrés, de la forme $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ avec $a=2x-1$ et $b=3$. Donc $F=\left(2x-1-3\right)\left(2x-1+3\right)=(2x-4)(2x+2)=4(x-2)(x+1)$. L'équation $F=0$ donne un produit nul : $x=2$ ou $x=-1$. Contrôle : $(2\times 2-1)^{2}-9=9-9=0$ ✓ et $(-3)^{2}-9=0$ ✓.

L'aire vaut $(x+4)(x-1)=36$, soit $x^{2}+3x-4=36$, donc $x^{2}+3x-40=0$. On cherche deux nombres de somme $3$ et de produit $-40$ : ce sont $8$ et $-5$, donc $x^{2}+3x-40=(x+8)(x-5)$ et les solutions sont $x=-8$ et $x=5$. Seule $x=5$ est acceptable, car la largeur $x-1$ doit être strictement positive. Le rectangle mesure donc 9 cm sur 4 cm, d'aire $36$ ✓. Écarter la solution négative fait partie de la réponse : une équation peut avoir plus de solutions que le problème.

$1$ heure $12$ minutes vaut $1{,}2$ heure, puisque $12$ minutes font $\frac{12}{60}=0{,}2$ heure. Première partie : $v=\frac{d}{t}=\frac{30}{1{,}2}=25$ kilomètres par heure. De même, $36$ minutes valent $\frac{36}{60}=0{,}6$ heure, et la seconde partie se fait à $\frac{15}{0{,}6}=25$ kilomètres par heure. Convertir la durée en heures AVANT le calcul est la seule discipline à respecter ici : écrire $1{,}12$ heure pour 1 h 12 min fausse tout. Les deux vitesses sont égales, ce qui rend la question suivante particulièrement instructive.

Durée totale : $1{,}2+0{,}6=1{,}8$ heure. Vitesse moyenne : $\frac{45}{1{,}8}=25$ kilomètres par heure. Ici elle coïncide avec la moyenne des deux, mais UNIQUEMENT parce que les deux vitesses sont égales. Si la seconde partie avait été parcourue à 30 kilomètres par heure, la durée totale aurait valu $1{,}2+0{,}5=1{,}7$ heure et la vitesse moyenne $\frac{45}{1{,}7}\approx 26{,}5$, alors que la moyenne des vitesses aurait donné $27{,}5$. Une vitesse moyenne se calcule TOUJOURS sur la distance totale et la durée totale.

NON. Hausse de 8 pour cent : coefficient $1{,}08$, prix $850\times 1{,}08=918$ euros. Remise de 8 pour cent : coefficient $0{,}92$, prix $918\times 0{,}92=844{,}56$ euros. Le prix final est INFÉRIEUR de $5{,}44$ euros, soit une baisse nette de $0{,}64$ pour cent. La raison : les deux pourcentages ne s'appliquent pas à la même base, la remise porte sur un prix déjà augmenté. Le coefficient global vaut $1{,}08\times 0{,}92=0{,}9936$, qui n'est pas 1.

Il faut DIVISER par le coefficient de hausse, et non retrancher 8 pour cent : prix initial $=\frac{918}{1{,}08}=850$ euros. La vérification est immédiate, $850\times 1{,}08=918$ ✓. Retrancher 8 pour cent de 918 donnerait $844{,}56$, ce qui est le résultat de la question c) et non le prix cherché : les deux questions sont volontairement construites pour faire apparaître cette différence.

ÉTENDUE : différence entre la plus grande et la plus petite valeur, soit $19-6=13$ points. MOYENNE : la somme des quinze scores vaut $6+8+9+10+10+11+12+12+12+13+14+15+16+18+19=185$, donc la moyenne est $\frac{185}{15}\approx 12{,}3$ points par match. MÉDIANE : il y a 15 valeurs, déjà rangées, la médiane est la 8e, soit 12. INTERPRÉTATION : lors d'au moins la moitié des matchs, elle a marqué 12 points ou moins, et lors d'au moins la moitié, 12 points ou plus. La moyenne, $12{,}3$, est légèrement supérieure : les deux gros matchs, à 18 et 19 points, tirent la moyenne vers le haut sans déplacer la médiane, qui est insensible aux valeurs extrêmes. Contrôle de vraisemblance : la moyenne tombe bien entre 6 et 19, vers le milieu de la série ✓.

L'urne contient $5+3+2=10$ boules équiprobables. $P(\text{rouge})=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}=0{,}5$. Pour « pas verte », on passe par l'événement contraire : $P(\text{pas verte})=1-\frac{3}{10}=\frac{7}{10}=0{,}7$. On peut vérifier en comptant directement les 5 rouges et les 2 bleues, soit 7 boules sur 10 ✓.

Le tirage étant AVEC REMISE, la composition de l'urne est la même aux deux tirages et les deux événements sont indépendants. $P(\text{deux rouges})=\frac{5}{10}\times\frac{5}{10}=\frac{25}{100}=0{,}25$. Sans remise, la seconde probabilité aurait valu $\frac{4}{9}$ et le résultat $\frac{5}{10}\times\frac{4}{9}=\frac{2}{9}\approx 0{,}222$ : la remise n'est jamais un détail d'énoncé.

Notons $n$ le nombre de boules bleues ajoutées. L'urne compte alors $2+n$ bleues sur $10+n$ boules, et l'on veut $\frac{2+n}{10+n}=\frac{1}{3}$. En croisant : $3(2+n)=10+n$, donc $6+3n=10+n$, puis $2n=4$ et $n=2$. VÉRIFICATION : avec 4 bleues sur 12 boules, la probabilité vaut $\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$ ✓. Remarquez que le dénominateur augmente aussi, ce qui est la difficulté de l'exercice : ajouter 2 boules ne fait pas passer la probabilité de $\frac{2}{10}$ à $\frac{4}{10}$.

Le rayon vaut la moitié du diamètre, soit $r=2$ mètres. Volume du cylindre : $V=\pi r^{2}h=\pi\times 4\times 5=20\pi\approx 62{,}8$ mètres cubes. L'erreur à éviter est d'employer le diamètre à la place du rayon, ce qui multiplierait le résultat par 4.

Volume du cône : $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\times\pi\times 4\times 3{,}6=4{,}8\pi\approx 15{,}1$ mètres cubes. Le facteur $\frac{1}{3}$ est ce qui distingue le cône du cylindre de même base et de même hauteur ; l'oublier triple la réponse.

Volume total : $20\pi+4{,}8\pi=24{,}8\pi\approx 77{,}9$ mètres cubes. Contenance : un mètre cube vaut 1000 litres, donc environ $77\,911$ litres. On garde la valeur exacte $24{,}8\pi$ jusqu'au bout et l'on n'arrondit qu'à la fin, pour éviter d'accumuler les erreurs.

$\frac{77\,911}{250}\approx 311{,}6$ minutes. Or $311{,}6=5\times 60+11{,}6$, soit environ 5 heures et 12 minutes. La conversion en heures et minutes se fait par une division euclidienne par 60, et non par une lecture décimale : $311{,}6$ minutes ne font pas 3 heures 11.

Le programme calcule $\pi\times r\times h$ au lieu de $\pi\times r^{2}\times h$ : il affiche $\pi\times 2\times 5\approx 31{,}4$ au lieu de $62{,}8$. CORRECTION : remplacer la ligne du calcul par $volume = 3.14 \times rayon \times rayon \times hauteur$, ou utiliser l'opérateur de puissance. Le test de cohérence qui aurait dû alerter : un volume doit être proportionnel au CARRÉ du rayon, donc doubler le rayon doit multiplier le volume par 4 et non par 2.