Brevet blanc n° 2 corrigé : mathématiques (Troisième)

1) Réponse c. Décomposition : $504=2^{3}\times 3^{2}\times 7$ et $420=2^{2}\times 3\times 5\times 7$. Le PGCD prend chaque facteur commun à la plus petite puissance : $2^{2}\times 3\times 7=84$. Par l'algorithme d'Euclide, on obtient le même résultat : $504=1\times 420+84$, puis $420=5\times 84+0$.

2) Réponse b. C'est l'identité $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ avec $a=2x$ et $b=3$ : $4x^{2}-2\times 2x\times 3+9=4x^{2}-12x+9$. La réponse a oublie le double produit, faute la plus fréquente du brevet. Contrôle en $x=1$ : $(2-3)^{2}=1$, et $4-12+9=1$ ✓.

3) Réponse b. On multiplie les coefficients : $0{,}80\times 0{,}75=0{,}60$, donc le prix final vaut 60 pour cent du prix initial, soit une baisse de 40 pour cent. La réponse a additionne les pourcentages, ce qui est faux parce que la seconde baisse s'applique au prix DÉJÀ réduit. Contrôle sur 100 euros : $100\to 80\to 60$.

4) Réponse a. $V=\frac{4}{3}\pi r^{3}=\frac{4}{3}\pi\times 27=36\pi\approx 113{,}1$ centimètres cubes. La réponse b est l'aire de la sphère divisée par 3, la réponse c est $\frac{4}{3}\pi\times\frac{27}{4}$ : toutes viennent d'une erreur sur le cube du rayon.

5) Réponse a. On range d'abord la série : $2\ ;\ 3\ ;\ 4\ ;\ 5\ ;\ 7\ ;\ 8\ ;\ 9$. Il y a 7 valeurs, la médiane est la 4e, soit 5. La réponse b est la MOYENNE, $\frac{38}{7}\approx 5{,}43$ : c'est la confusion classique, et elle se repère au fait qu'une médiane d'entiers est ici forcément un entier.

6) Réponse b. On réduit au même dénominateur 20 : $\frac{15}{20}-\frac{8}{20}=\frac{7}{20}$. Les réponses c et d viennent de la soustraction des numérateurs et des dénominateurs séparément, ce qui n'est jamais permis. Contrôle décimal : $0{,}75-0{,}40=0{,}35=\frac{7}{20}$ ✓.

7) Réponse c. Dans une réduction de rapport $k$, les longueurs sont multipliées par $k$, les aires par $k^{2}$ et les volumes par $k^{3}$. Ici $k=\frac{1}{2}$, donc le volume est multiplié par $\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=\frac{1}{8}$. C'est la question qui revient à chaque session.

1) Les droites $(MN)$ et $(BC)$ étant parallèles, et les points étant alignés comme indiqué, le théorème de Thalès donne $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$. L'ordre des lettres compte : dans chaque rapport, le petit triangle est au numérateur et le grand au dénominateur, et les sommets se correspondent, $M$ avec $B$ et $N$ avec $C$.

2) De $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$ on tire $\frac{4}{10}=\frac{3{,}5}{AC}$, donc $AC=\frac{3{,}5\times 10}{4}=\frac{35}{4}=8{,}75$ centimètres. Contrôle de vraisemblance : $AC$ doit être plus grand que $AN=3{,}5$ ✓, et le rapport $\frac{3{,}5}{8{,}75}=0{,}4$ est bien égal à $\frac{4}{10}$ ✓.

3) De $\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}$ on tire $\frac{4}{10}=\frac{3}{BC}$, donc $BC=\frac{3\times 10}{4}=7{,}5$ centimètres. On retrouve le même coefficient : toutes les longueurs du grand triangle valent $2{,}5$ fois celles du petit.

4) OUI. Les trois côtés sont proportionnels dans le même rapport : $\frac{AB}{AM}=\frac{10}{4}=2{,}5$, $\frac{AC}{AN}=\frac{8{,}75}{3{,}5}=2{,}5$ et $\frac{BC}{MN}=\frac{7{,}5}{3}=2{,}5$. Le triangle $ABC$ est donc l'AGRANDISSEMENT de $AMN$ de rapport $k=2{,}5$. C'est exactement ce que dit le théorème de Thalès dans cette configuration.

5) Dans un agrandissement de rapport $k$, les aires sont multipliées par $k^{2}$. Ici $k^{2}=2{,}5^{2}=6{,}25$, donc l'aire de $ABC$ vaut $5{,}2\times 6{,}25=32{,}5$ centimètres carrés. L'erreur classique consiste à multiplier par $2{,}5$ et à trouver 13 : il faut se rappeler qu'une aire se mesure en deux dimensions, donc que le rapport y intervient DEUX fois.

1) $(x+3)^{2}=x^{2}+6x+9$ par l'identité remarquable. $(x-1)(x+5)=x^{2}+5x-x-5=x^{2}+4x-5$. Donc $E=x^{2}+6x+9-\left(x^{2}+4x-5\right)=x^{2}+6x+9-x^{2}-4x+5=2x+14$. ATTENTION au signe moins devant la parenthèse, qui change le signe des TROIS termes : c'est là que se perdent la plupart des points.

2) Pour $x=0$ : $E=2\times 0+14=14$. Contrôle par la forme initiale : $(0+3)^{2}-(0-1)(0+5)=9-(-5)=9+5=14$ ✓. Pour $x=-7$ : $E=2\times(-7)+14=0$. Contrôle : $(-4)^{2}-(-8)(-2)=16-16=0$ ✓. Vérifier sur la forme de départ est le seul moyen sûr de détecter une erreur de développement.

3) $E=0$ s'écrit $2x+14=0$, donc $2x=-14$ et $x=-7$. La question 2 avait déjà donné la réponse, ce qui est un contrôle gratuit. L'équation est du premier degré parce que les termes en $x^{2}$ se sont annulés au développement, et c'est justement l'intérêt de la question 1.

4) $F=(2x-1)^{2}-3^{2}$ est une différence de deux carrés, de la forme $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ avec $a=2x-1$ et $b=3$. Donc $F=\left(2x-1-3\right)\left(2x-1+3\right)=(2x-4)(2x+2)=4(x-2)(x+1)$. L'équation $F=0$ donne un produit nul : $x=2$ ou $x=-1$. Contrôle : $(2\times 2-1)^{2}-9=9-9=0$ ✓ et $(-3)^{2}-9=0$ ✓.

5) L'aire vaut $(x+4)(x-1)=36$, soit $x^{2}+3x-4=36$, donc $x^{2}+3x-40=0$. On cherche deux nombres de somme $3$ et de produit $-40$ : ce sont $8$ et $-5$, donc $x^{2}+3x-40=(x+8)(x-5)$ et les solutions sont $x=-8$ et $x=5$. Seule $x=5$ est acceptable, car la largeur $x-1$ doit être strictement positive. Le rectangle mesure donc 9 cm sur 4 cm, d'aire $36$ ✓. Écarter la solution négative fait partie de la réponse : une équation peut avoir plus de solutions que le problème.

1) Dans le triangle rectangle en $B$, le côté $[BC]$ est OPPOSÉ à l'angle de 35 degrés et $[AC]$ est l'hypoténuse : on utilise le sinus. $\sin(35°)=\frac{BC}{AC}$, donc $BC=12\times\sin(35°)\approx 12\times 0{,}5736=6{,}883$, soit environ $6{,}9$ centimètres.

2) PREMIÈRE MÉTHODE, le cosinus : $[AB]$ est ADJACENT à l'angle, donc $AB=12\times\cos(35°)\approx 12\times 0{,}8192=9{,}830$, soit environ $9{,}8$ centimètres. SECONDE MÉTHODE, Pythagore : $AB^{2}=AC^{2}-BC^{2}=144-47{,}38=96{,}62$, donc $AB\approx 9{,}829$ ✓. Les deux méthodes concordent, et la seconde sert de contrôle à la première.

3) Le triangle étant rectangle en $B$, les côtés $[AB]$ et $[BC]$ sont perpendiculaires : ils forment la base et la hauteur. Aire $=\frac{AB\times BC}{2}=\frac{9{,}830\times 6{,}883}{2}\approx\frac{67{,}66}{2}\approx 33{,}8$ centimètres carrés.

4) La même aire se calcule avec $[AC]$ comme base et $[BH]$ comme hauteur : $\frac{AC\times BH}{2}=33{,}83$, donc $BH=\frac{2\times 33{,}83}{12}\approx 5{,}64$ centimètres. Calculer une aire de DEUX façons est la méthode standard pour obtenir une hauteur sans construction : c'est exactement ce qu'on refait au lycée pour les distances dans l'espace.

5) Vérification par la réciproque de Pythagore : le plus grand côté est 15, et $15^{2}=225$ tandis que $9^{2}+12^{2}=81+144=225$. L'égalité étant vraie, le triangle EST rectangle, l'angle droit étant opposé au côté de 15 cm. Le plus petit angle est opposé au plus petit côté, donc au côté de 9 cm : $\sin(\alpha)=\frac{9}{15}=0{,}6$, d'où $\alpha\approx 36{,}87$, soit environ 37 degrés. Contrôle : le troisième angle vaut alors $90-37=53$ degrés, et $\sin(53°)\approx 0{,}80=\frac{12}{15}$ ✓.

1) $1$ heure $12$ minutes vaut $1{,}2$ heure, puisque $12$ minutes font $\frac{12}{60}=0{,}2$ heure. Vitesse : $v=\frac{d}{t}=\frac{30}{1{,}2}=25$ kilomètres par heure. Convertir la durée en heures AVANT le calcul est la seule discipline à respecter ici.

2) $36$ minutes valent $\frac{36}{60}=0{,}6$ heure. Vitesse : $\frac{15}{0{,}6}=25$ kilomètres par heure. Les deux vitesses sont donc égales, ce qui rend la question suivante particulièrement instructive.

3) Durée totale : $1{,}2+0{,}6=1{,}8$ heure. Vitesse moyenne : $\frac{45}{1{,}8}=25$ kilomètres par heure. Ici elle coïncide avec la moyenne des deux, mais UNIQUEMENT parce que les deux vitesses sont égales. Si la seconde partie avait été parcourue à 30 kilomètres par heure, la durée totale aurait valu $1{,}2+0{,}5=1{,}7$ heure et la vitesse moyenne $\frac{45}{1{,}7}\approx 26{,}5$, alors que la moyenne des vitesses aurait donné $27{,}5$. Une vitesse moyenne se calcule TOUJOURS sur la distance totale et la durée totale.

4) NON. Hausse de 8 pour cent : coefficient $1{,}08$, prix $850\times 1{,}08=918$ euros. Remise de 8 pour cent : coefficient $0{,}92$, prix $918\times 0{,}92=844{,}56$ euros. Le prix final est INFÉRIEUR de $5{,}44$ euros, soit une baisse nette de $0{,}64$ pour cent. La raison : les deux pourcentages ne s'appliquent pas à la même base, la remise porte sur un prix déjà augmenté. Le coefficient global vaut $1{,}08\times 0{,}92=0{,}9936$, qui n'est pas 1.

5) Il faut DIVISER par le coefficient de hausse, et non retrancher 8 pour cent : prix initial $=\frac{918}{1{,}08}=850$ euros. La vérification est immédiate, $850\times 1{,}08=918$ ✓. Retrancher 8 pour cent de 918 donnerait $844{,}56$, ce qui est le résultat de la question 4 et non le prix cherché : les deux questions sont volontairement construites pour faire apparaître cette différence.

1) ÉTENDUE : différence entre la plus grande et la plus petite valeur, soit $19-6=13$ points. MOYENNE : la somme des quinze notes vaut $6+8+9+10+10+11+12+12+12+13+14+15+16+18+19=185$, donc la moyenne est $\frac{185}{15}\approx 12{,}3$. Contrôle de vraisemblance : la moyenne doit tomber entre 6 et 19, et plutôt vers le milieu de la série ✓.

2) Il y a 15 valeurs, déjà rangées : la médiane est la 8e, soit 12. INTERPRÉTATION : au moins la moitié des élèves ont eu 12 ou moins, et au moins la moitié ont eu 12 ou plus. Autrement dit, 12 partage la classe en deux groupes de taille égale. Notez que la moyenne, $12{,}3$, est légèrement supérieure : les deux notes très hautes, 18 et 19, tirent la moyenne vers le haut sans déplacer la médiane, qui est insensible aux valeurs extrêmes.

3) L'urne contient $5+3+2=10$ boules équiprobables. $P(\text{rouge})=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}=0{,}5$. Pour « pas verte », on passe par l'événement contraire : $P(\text{pas verte})=1-\frac{3}{10}=\frac{7}{10}=0{,}7$. On peut vérifier en comptant directement les 5 rouges et les 2 bleues, soit 7 boules sur 10 ✓.

4) Le tirage étant AVEC REMISE, la composition de l'urne est la même aux deux tirages et les deux événements sont indépendants. $P(\text{deux rouges})=\frac{5}{10}\times\frac{5}{10}=\frac{25}{100}=0{,}25$. Sans remise, la seconde probabilité aurait valu $\frac{4}{9}$ et le résultat $\frac{5}{10}\times\frac{4}{9}=\frac{2}{9}\approx 0{,}222$ : la remise n'est jamais un détail d'énoncé.

5) Notons $n$ le nombre de boules bleues ajoutées. L'urne compte alors $2+n$ bleues sur $10+n$ boules, et l'on veut $\frac{2+n}{10+n}=\frac{1}{3}$. En croisant : $3(2+n)=10+n$, donc $6+3n=10+n$, puis $2n=4$ et $n=2$. VÉRIFICATION : avec 4 bleues sur 12 boules, la probabilité vaut $\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$ ✓. Remarquez que le dénominateur augmente aussi, ce qui est la difficulté de l'exercice : ajouter 2 boules ne fait pas passer la probabilité de $\frac{2}{10}$ à $\frac{4}{10}$.

1) Le rayon vaut la moitié du diamètre, soit $r=2$ mètres. Volume du cylindre : $V=\pi r^{2}h=\pi\times 4\times 5=20\pi\approx 62{,}8$ mètres cubes. L'erreur à éviter est d'employer le diamètre à la place du rayon, ce qui multiplierait le résultat par 4.

2) Volume du cône : $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\times\pi\times 4\times 3{,}6=4{,}8\pi\approx 15{,}1$ mètres cubes. Le facteur $\frac{1}{3}$ est ce qui distingue le cône du cylindre de même base et de même hauteur ; l'oublier triple la réponse.

3) Volume total : $20\pi+4{,}8\pi=24{,}8\pi\approx 77{,}9$ mètres cubes. Contenance : un mètre cube vaut 1000 litres, donc environ $77\,911$ litres. On garde la valeur exacte $24{,}8\pi$ jusqu'au bout et l'on n'arrondit qu'à la fin, pour éviter d'accumuler les erreurs.

4) $\frac{77\,911}{250}\approx 311{,}6$ minutes. Or $311{,}6=5\times 60+11{,}6$, soit environ 5 heures et 12 minutes. La conversion en heures et minutes se fait par une division euclidienne par 60, et non par une lecture décimale : $311{,}6$ minutes ne font pas 3 heures 11.

5) Le programme calcule $\pi\times r\times h$ au lieu de $\pi\times r^{2}\times h$ : il affiche $\pi\times 2\times 5\approx 31{,}4$ au lieu de $62{,}8$. CORRECTION : remplacer la ligne du calcul par $volume = 3.14 \times rayon \times rayon \times hauteur$, ou utiliser l'opérateur de puissance. Le test de cohérence qui aurait dû alerter : un volume doit être proportionnel au CARRÉ du rayon, donc doubler le rayon doit multiplier le volume par 4 et non par 2.