Mathématiques pour l'informatique 201-N11 • Cégep à Montréal

Fiche de révision : fonctions injectives, surjectives et bijectives (201-N11)

Ce chapitre ne se perd presque jamais sur un calcul. Il se perd sur une question mal lue : l'étudiant regarde la règle, répond sur la règle, et ne voit pas que l'énoncé a changé le départ ou l'arrivée depuis la question précédente. La même règle $x \mapsto x^{2}$ prend successivement les quatre natures possibles selon les deux ensembles qu'on lui donne, sans qu'un seul signe change dans la formule.

Cette fiche part donc du geste qui rapporte : entourer le départ et l'arrivée avant d'écrire un mot. Vient ensuite la table de décision du triplet, puis les neuf phrases fausses les plus coûteuses du chapitre, chacune réfutée par un exemple chiffré, et les trois rédactions que le correcteur attend, une par verbe de l'énoncé.

Le fil du chapitre

Injective, surjective et bijective ne qualifient jamais une formule : elles qualifient le TRIPLET règle, départ, arrivée, et changer un seul des deux ensembles change la réponse.

Ce chapitre fait partie de Mathématiques pour l'informatique, 201-N11

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Théorie des ensembles et relations Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (2 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

Notions couvertes

Injection
Surjection
Bijection
Diagramme sagittal
Image directe et image réciproque
Fibre d'une fonction
Fonction réciproque
Composition de fonctions
Inégalités de cardinalité
Ensembles équipotents

L'essentiel

Les trois natures se comptent sur les flèches REÇUES

• Une fonction $f : A \to B$ envoie chaque élément de $A$ sur UNE image et UNE SEULE : exactement une flèche PART de chaque élément de gauche. Cette condition est déjà remplie avant qu'on parle d'injectivité, elle ne se redémontre pas.
• INJECTIVE : chaque élément de $B$ reçoit AU PLUS une flèche. SURJECTIVE : AU MOINS une. BIJECTIVE : EXACTEMENT une.
• Les flèches PARTIES ne se comptent plus une fois la fonction reconnue. Tout le chapitre se lit du côté de l'ARRIVÉE.
• Conséquence immédiate sur un ensemble fini : il suffit de compter, élément d'arrivée par élément d'arrivée. Aucun calcul n'est nécessaire.

Quatre natures, un seul geste : en haut à gauche

d

ne reçoit rien, en haut à droite

a

en reçoit deux, en bas à gauche chacun en reçoit une, en bas à droite

a

en reçoit deux et

b

aucune.

Sur une copie, la phrase « chaque élément de l'arrivée reçoit au plus une flèche, donc $f$ est injective » vaut autant que la preuve algébrique quand les ensembles sont finis et donnés par un diagramme.

La nature appartient au TRIPLET, jamais à la règle

• Un énoncé qui demande si $x \mapsto x^{2}$ est injective sans donner les deux ensembles n'est pas difficile, il est incomplet.
• Rétrécir le DÉPART peut rendre injective, et ne rend jamais surjective.
• Rétrécir l'ARRIVÉE peut rendre surjective, et ne change jamais l'injectivité.
• Rétrécir l'arrivée jusqu'à l'image exacte $f(A)$ rend toujours surjective : c'est le seul choix qui garantit le résultat, et $\mathbb{N}$ n'est pas l'image exacte du carré sur $\mathbb{Z}$ .

Le réflexe qui rapporte : entourer les deux ensembles au crayon dès la lecture de l'énoncé, puis ne plus jamais répondre sans les regarder.

Réciproque, image réciproque, fibres : trois objets, deux notations

• $f^{-1}(Q)$ , appliquée à une PARTIE $Q$ de l'arrivée, existe pour toute fonction sans exception : c'est l'ensemble des antécédents, et il peut être vide.
• La FONCTION réciproque $f^{-1} : B \to A$ n'existe que si $f$ est bijective. Elle prend un élément et rend un élément.
• Les fibres $f^{-1}(\{y\})$ non vides forment une partition du départ : ce sont les classes de la relation avoir la même image.
• Composée : $(g \circ f)$ injective entraîne $f$ injective, $(g \circ f)$ surjective entraîne $g$ surjective. L'injectivité remonte vers l'entrée, la surjectivité descend vers la sortie.
• Réciproque d'une composée : $(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$ , l'ordre s'inverse.

Les trois inégalités de cardinal, et ce qu'elles deviennent en infini

• Une injection $A \to B$ impose $\lvert A \rvert \le \lvert B \rvert$ . Une surjection impose $\lvert A \rvert \ge \lvert B \rvert$ . Une bijection impose l'égalité.
• Entre ensembles FINIS de même cardinal, injective équivaut à surjective. C'est faux dès que les ensembles sont infinis.
• Comptages utiles : $\lvert B \rvert^{\lvert A \rvert}$ fonctions, $\frac{\lvert B \rvert!}{(\lvert B \rvert - \lvert A \rvert)!}$ injections, et $\lvert A \rvert!$ bijections quand les deux cardinaux sont égaux.
• Deux ensembles sont dits équipotents quand il existe une bijection de l'un sur l'autre. C'est la seule définition du même cardinal qui survive à l'infini.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

La même règle, cinq triplets, quatre natures

On ne lit ce tableau que de gauche à droite : la colonne de la règle ne suffit jamais, c'est la colonne du milieu qui décide. La dernière ligne est en rouge parce que la question y est incomplète, et qu'une question incomplète n'a pas de réponse.

Règle	Départ $\to$ arrivée	Nature
$x \mapsto x^{2}$	$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$	aucune des trois
Exemple : $f(-2) = f(2) = 4$ tue l'injectivité, et $-1$ n'a aucun antécédent.
$x \mapsto x^{2}$	$\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}$	injective
Exemple : $a^{2} = b^{2}$ avec $a, b \ge 0$ donne $a = b$ ; mais $-1$ reste hors d'atteinte.
$x \mapsto x^{2}$	$\mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+}$	surjective
Exemple : $y = 9$ a deux antécédents, $3$ et $-3$ , donc tout est atteint mais rien n'est unique.
$x \mapsto x^{2}$	$\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+}$	bijective
Exemple : $y = 9$ a le seul antécédent $3$ , et la réciproque est $y \mapsto \sqrt{y}$ .
$n \mapsto n^{2}$	$\mathbb{Z} \to \mathbb{N}$	aucune des trois
Exemple : $(-3)^{2} = 3^{2} = 9$ , et $2$ , $3$ , $5$ , $6$ , $7$ ne sont les carrés d'aucun entier.
$x \mapsto x^{2}$	non précisés	sans réponse question incomplète
Exemple : Les $5$ lignes au-dessus donnent $4$ natures différentes pour la même règle. Ce qu'il faut faire : Écrire le départ et l'arrivée, puis seulement reprendre la question. Si l'énoncé ne les donne pas, les choisir et le dire.

Le tableau se relit aussi de droite à gauche, et c'est l'usage d'examen : on veut une bijection, donc on cherche le couple d'ensembles qui la donne, et il n'y en a qu'un seul ici.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Répondre sur la formule sans avoir regardé le départ et l'arrivée

toute la question, et souvent les quatre sous-questions qui suivent

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $x^{2}$ n'est pas injective, c'est bien connu. »

Ce qu'il faut écrire

« De $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ , $f$ n'est pas injective car $f(-2) = f(2) = 4$ . De $\mathbb{R}^{+}$ dans $\mathbb{R}^{+}$ , la même règle est bijective. »

Pourquoi : C'est l'erreur qui structure le chapitre : la nature est une propriété du triplet règle, départ, arrivée, et l'examen la teste en changeant les ensembles d'une sous-question à l'autre sans toucher à la formule.

2. Croire que rétrécir l'arrivée suffit toujours à rendre surjectif

2 points, et la question de la réciproque qui en dépend

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $n \mapsto n^{2}$ va de $\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{N}$ , donc elle est surjective : un carré d'entier est bien un entier naturel. »

Ce qu'il faut écrire

« Elle n'est pas surjective : $2$ n'est le carré d'aucun entier. L'arrivée qui rend surjective est l'ensemble des carrés parfaits, pas $\mathbb{N}$ . »

Le carré de

\mathbb{Z}

dans

\mathbb{N}

2

3

ne reçoivent aucune flèche malgré une arrivée qui semblait taillée sur mesure, et

1

comme

4

en reçoivent deux.

Pourquoi : Rétrécir l'arrivée ne rend surjective que si on la rétrécit JUSQU'À l'image exacte $f(A)$ . Une arrivée qui a l'air taillée sur mesure ne l'est presque jamais : sur les $26$ entiers de $0$ à $25$ , seuls $6$ sont des carrés.

3. Confondre surjective et « tout élément du départ a une image »

2 points, et la démonstration entière part dans le mauvais sens

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f$ est surjective, puisque chaque élément de $A$ a bien une image dans $B$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Chaque élément de $A$ a une image : cela dit seulement que $f$ est une fonction. $f$ est surjective si chaque élément de $B$ a au moins un ANTÉCÉDENT, ce qui se vérifie du côté de l'arrivée. »

Pourquoi : La définition d'une fonction est déjà acquise quand la question est posée : la redémontrer ne rapporte rien. La surjectivité parle de l'arrivée, et d'elle seule.

4. Croire que toute fonction possède une réciproque

toute la question, la suite reposant sur un objet inexistant

Ce qu'il ne faut pas écrire

« On applique $f^{-1}$ des deux côtés, donc $x = f^{-1}(y)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $f$ n'est pas injective, donc la fonction réciproque $f^{-1}$ n'existe pas. On peut seulement écrire $x \in f^{-1}(\{y\})$ , l'ensemble des antécédents. »

À gauche, trois clés tombent dans l'alvéole

0

: aucune flèche ne se remonte, donc pas de réciproque. À droite, chaque dossier reçoit exactement une flèche, et la réciproque existe.

Pourquoi : Seule une bijection a une réciproque. C'est exactement pour cela qu'une table de hachage doit stocker la clé dans l'alvéole : le numéro d'alvéole ne permet pas de remonter à la clé.

5. Croire qu'injective veut dire strictement croissante

2 points, et l'argument est refusé même quand la conclusion est juste

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f$ n'est pas monotone, donc elle n'est pas injective. »

Ce qu'il faut écrire

« Strictement monotone entraîne injective, jamais l'inverse. La fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur $\mathbb{R}^{*}$ est injective sans être monotone, et sur un ensemble fini le mot croissante n'a même pas de sens. »

Pourquoi : La monotonie est un outil de calcul différentiel, l'injectivité une propriété d'ensembles. Dans un cours de mathématiques discrètes, le départ n'est souvent même pas ordonné : un alphabet, un ensemble de clés, un ensemble d'employés.

6. Démontrer l'injectivité dans le mauvais sens

toute la question : la copie fausse démontre que $f$ est une fonction

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Soit $a = b$ . Alors $3a - 7 = 3b - 7$ , donc $f(a) = f(b)$ : $f$ est injective. »

Ce qu'il faut écrire

« Soient $a$ et $b$ tels que $f(a) = f(b)$ . Alors $3a - 7 = 3b - 7$ , donc $3a = 3b$ , donc $a = b$ . Donc $f$ est injective. »

Pourquoi : Le sens $a = b \Rightarrow f(a) = f(b)$ est vrai pour absolument toutes les fonctions, injectives ou non. L'implication utile est l'autre, et le correcteur regarde d'abord par quelle égalité la démonstration commence.

7. Croire qu'une bijection entre deux ensembles infinis est impossible

toute la question, et le contresens se répète au chapitre de la cardinalité

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $2\mathbb{N}$ est strictement inclus dans $\mathbb{N}$ , donc il est plus petit, donc aucune bijection. »

Ce qu'il faut écrire

« $\psi : \mathbb{N} \to 2\mathbb{N}$ , $\psi(n) = 2n$ , est bijective : un ensemble infini peut être en bijection avec une de ses parties strictes. »

\mathbb{N}

énumère

\mathbb{Z}

tout entier, un rang par entier relatif : chaque colonne porte exactement une flèche, donc

\varphi

est bijective malgré deux ensembles infinis.

Pourquoi : L'argument par inclusion stricte n'est valable qu'en fini. Cantor n'interdit pas les bijections entre infinis, il dit seulement qu'il n'en existe aucune de $\mathbb{N}$ sur $\mathbb{R}$ .

8. Inverser le sens des inégalités de cardinal

1 point, et la conclusion du problème de comptage s'inverse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Il existe une injection de $A$ dans $B$ , donc $\lvert A \rvert \ge \lvert B \rvert$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Une injection de $A$ dans $B$ donne $\lvert A \rvert \le \lvert B \rvert$ : chaque élément de $A$ occupe une place distincte dans $B$ , donc $B$ est au moins aussi grand. »

Pourquoi : Le moyen mnémotechnique qui tient : l'injection RANGE $A$ dans $B$ sans écraser, donc $B$ doit être assez grand ; la surjection COUVRE $B$ avec $A$ , donc $A$ doit être assez grand. Avec $\lvert A \rvert = 4$ et $\lvert B \rvert = 3$ , il existe $36$ surjections et zéro injection.

9. Rendre un élément là où $f^{-1}$ rend un ensemble

0,5 point par occurrence, et la partition en fibres devient illisible

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f^{-1}(b) = 4$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $f^{-1}(\{b\}) = \{4\}$ : l'image réciproque d'une partie est une PARTIE du départ, même quand elle ne contient qu'un élément, et elle vaut $\varnothing$ quand personne n'est envoyé sur $b$ . »

Pourquoi : C'est la distinction entre $3$ et $\{3\}$ vue au chapitre des ensembles. L'écriture $f^{-1}(b)$ suppose en plus que la fonction réciproque existe, ce qui n'a pas été démontré et qui est souvent faux.

Quelle méthode choisir

Quelle rédaction selon le verbe de l'énoncé

On ne choisit pas la rédaction sur le thème, on la choisit sur le verbe. Montrer et réfuter ne s'écrivent pas du tout de la même façon, et la confusion coûte la question entière même quand la réponse finale est juste.

Si « montrer que $f$ est injective » → partir de $f(a) = f(b)$ , chaîner les équivalences, arriver à $a = b$

Exemple : $3a - 7 = 3b - 7 \Rightarrow a = b$

aucun exemple numérique n'a sa place ici : trois valeurs testées ne démontrent rien
Si « montrer que $f$ est surjective » → se donner $y$ quelconque dans l'ARRIVÉE, fabriquer $x$ , vérifier $f(x) = y$

Exemple : $x = \frac{y+7}{3}$ donne $f(x) = y$

la vérification finale n'est pas facultative : c'est elle qui prouve que le $x$ fabriqué convient
Si « montrer que $f$ n'est PAS injective » → exhiber deux éléments distincts de même image, avec leurs valeurs

Exemple : $g(0) = g(4) = 1$ pour $g(x) = x^{2} - 4x + 1$

dire que la fonction n'est pas monotone ne réfute rien
Si « montrer que $f$ n'est PAS surjective » → exhiber UN élément de l'arrivée et prouver qu'il n'a aucun antécédent

Exemple : $3$ n'est pas pair, donc $2n = 3$ n'a pas de solution entière

le mot prouver compte : il faut résoudre l'équation et conclure qu'elle n'a pas de solution dans le départ
Si « montrer que $f$ est bijective » → soit les deux preuves séparées, soit construire $f^{-1}$ et vérifier les DEUX composées

Exemple : $f^{-1}(f(x)) = x$ et $f(f^{-1}(y)) = y$

la seconde méthode est plus rapide dès que l'équation $f(x) = y$ se résout explicitement
Si « déterminer la nature » avec un diagramme ou des ensembles finis → compter les flèches REÇUES par chaque élément de l'arrivée

Exemple : $a$ en reçoit $2$ , $b$ aucune : ni injective, ni surjective

aucune algèbre n'est attendue, et en tenter une fait perdre du temps

Si aucune branche ne s'applique, c'est que l'énoncé demande une propriété de la composée : utiliser alors les deux héritages, l'injectivité remonte vers $f$ , la surjectivité descend vers $g$ .

La fonction ne convient pas : quel ensemble changer

Un problème demande souvent de RENDRE la fonction injective, surjective ou bijective. On regarde le défaut, et le défaut désigne lui-même l'ensemble à toucher.

Si deux éléments distincts ont la même image → rétrécir le DÉPART. Toucher à l'arrivée ne changera rien

Exemple : $\mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+}$ reste non injective pour $x \mapsto x^{2}$
Si un élément de l'arrivée n'a aucun antécédent → rétrécir l'ARRIVÉE jusqu'à l'image exacte $f(A)$

Exemple : $n \mapsto 2n$ devient bijective de $\mathbb{Z}$ sur $2\mathbb{Z}$
Si l'arrivée proposée a l'air taillée sur mesure → vérifier élément par élément qu'elle est bien $f(A)$ , et pas un ensemble qui lui ressemble

Exemple : $\mathbb{N}$ contient $2$ , $3$ , $5$ , qui ne sont pas des carrés
Si les deux défauts sont présents → rétrécir les deux ensembles, dans n'importe quel ordre

Exemple : $\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+}$ rend le carré bijectif

Sur des ensembles finis, ce choix est contraint par les cardinaux : aucune injection si $\lvert A \rvert > \lvert B \rvert$ , aucune surjection si $\lvert A \rvert < \lvert B \rvert$ . Vérifier les cardinaux AVANT de chercher une fonction fait gagner plusieurs minutes.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Montrer qu'une fonction est injective

Quand l'utiliser : L'énoncé dit montrer, démontrer ou prouver que $f$ est injective, et le départ est infini ou donné par une formule.

1 Écrire « Soient $a$ et $b$ dans $A$ tels que $f(a) = f(b)$ . » Le mot Soient est ce qui rend la preuve universelle.
2 Remplacer $f(a)$ et $f(b)$ par leur expression, sans rien simplifier encore.
3 Transformer jusqu'à $a = b$ , en justifiant chaque passage qui n'est pas licite partout : diviser par $3$ est licite car $3 \ne 0$ , simplifier par $x - 2$ est licite car $x \ne 2$ par définition du départ.
4 Conclure par la phrase type, en nommant la propriété.

Phrase de conclusion

« Deux éléments de $A$ ayant la même image sont donc égaux : $f$ est injective. »

Le piège : Partir de $a = b$ au lieu de $f(a) = f(b)$ . La preuve est alors vraie et totalement inutile, puisqu'elle vaut pour toute fonction.

Barème : En général 3 points : 1 pour le départ correct de la preuve, 1 pour la chaîne, 1 pour la conclusion rédigée.

Montrer qu'une fonction est surjective

Quand l'utiliser : L'énoncé demande la surjectivité, ou la bijectivité par les deux preuves séparées.

1 Écrire « Soit $y$ un élément quelconque de $B$ . » Le quantificateur porte sur l'ARRIVÉE, pas sur le départ.
2 Résoudre l'équation $f(x) = y$ d'inconnue $x$ , en traitant $y$ comme un paramètre.
3 Vérifier que le $x$ obtenu appartient bien au DÉPART : pas de division par zéro, pas de racine d'un négatif, pas de valeur exclue du domaine.
4 Recalculer $f(x)$ avec l'expression trouvée et retrouver $y$ : c'est la vérification qui rapporte le point.
5 Conclure par la phrase type.

Phrase de conclusion

« Tout élément $y$ de $B$ admet donc au moins un antécédent dans $A$ : $f$ est surjective. »

Le piège : Oublier de vérifier que le $x$ fabriqué est dans le départ. Sur $f : \mathbb{R} \setminus \{2\} \to \mathbb{R} \setminus \{3\}$ , c'est exactement le point qui est noté.

Barème : En général 3 points, dont 1 pour la vérification finale, qui est la partie le plus souvent sautée.

Réfuter : le contre-exemple chiffré

Quand l'utiliser : L'énoncé dit montrer que $f$ n'est pas injective, ou demande la nature d'une fonction qui n'en a aucune.

1 Choisir deux éléments concrets du départ, ou un élément concret de l'arrivée, selon la propriété à détruire.
2 Calculer les images, ou résoudre l'équation, et écrire les nombres en toutes lettres sur la copie.
3 Écrire l'inégalité qui rend le contre-exemple valide : $0 \ne 4$ et pourtant $g(0) = g(4)$ .
4 Conclure en rappelant qu'un seul contre-exemple suffit à nier un énoncé universel.

Phrase de conclusion

« $g(0) = g(4) = 1$ alors que $0 \ne 4$ : $g$ n'est pas injective. »

Le piège : Écrire que cela ne marche pas toujours, sans produire les valeurs. Une réfutation sans nombres ne vaut aucun point.

Barème : En général 2 points : 1 pour les valeurs, 1 pour la phrase qui les relie à la définition.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Relire le départ et l'arrivée, pas la réponse

Avant de rendre, revenir sur chaque question de nature et vérifier que les deux ensembles cités dans votre réponse sont bien ceux de l'énoncé. Un examen change souvent l'un des deux d'une sous-question à l'autre.

Si les questions b), c) et d) ont la même réponse, c'est un signal d'alarme : elles ont presque sûrement des ensembles différents.
Le sens de la preuve d'injectivité

Regarder la PREMIÈRE ligne de la démonstration. Elle doit contenir $f(a) = f(b)$ . Si elle contient $a = b$ , la preuve est à refaire en entier, quelle que soit la suite.

Une preuve qui se termine par « donc $f(a) = f(b)$ » a démontré que $f$ est une fonction, pas qu'elle est injective.
Le test des cardinaux

Sur des ensembles finis, comparer les cardinaux AVANT de conclure. Une injection exige $\lvert A \rvert \le \lvert B \rvert$ , une surjection $\lvert A \rvert \ge \lvert B \rvert$ , une bijection l'égalité. Une réponse qui viole une de ces trois inégalités est fausse sans qu'on regarde les flèches.

Répondre injective pour une fonction de $6$ clés vers $3$ alvéoles est impossible : $6 > 3$ .
Réinjecter l'antécédent fabriqué

Reprendre le $x$ trouvé dans la preuve de surjectivité et recalculer $f(x)$ . Si vous ne retrouvez pas $y$ exactement, l'erreur est dans la résolution, pas dans la conclusion.

Avec $x = \frac{2y+1}{y-3}$ , le calcul donne $\frac{7y}{7} = y$ : la simplification du facteur $7$ est le signe que la résolution est juste.
Un ensemble ou un élément

Chercher dans la copie toutes les occurrences de $f^{-1}$ et vérifier ce qu'il y a entre les parenthèses. Un ensemble en entrée demande un ensemble en sortie, avec des accolades.

$f^{-1}(\{a\}) = \{1, 3, 6\}$ se lit correctement ; $f^{-1}(a) = 1$ suppose une réciproque qui n'existe pas ici.

L'exercice type décortiqué

Montrer que $f(x) = \frac{3x+1}{x-2}$ est bijective de $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ sur $\mathbb{R} \setminus \{3\}$

Soit $f : \mathbb{R} \setminus \{2\} \to \mathbb{R} \setminus \{3\}$ définie par $f(x) = \frac{3x+1}{x-2}$ .

Montrer que $f$ est bijective et donner sa fonction réciproque. C'est l'exercice type du chapitre : il teste en même temps la lecture des deux ensembles, la rédaction de l'injectivité, la fabrication d'un antécédent et l'existence de la réciproque.

Étape 1

Le départ exclut $2$ car $x - 2$ s'annule en $2$ . L'arrivée exclut $3$ : si $\frac{3x+1}{x-2} = 3$ , alors $3x + 1 = 3x - 6$ , soit $1 = -6$ , ce qui est impossible.

Pourquoi

Cette étape n'est pas de la décoration : les deux exclusions sont exactement ce qui rend l'énoncé vrai. Sans elles, $f$ n'est ni injective ni surjective, et le correcteur attend que vous les justifiiez au lieu de les recopier.

Étape 2

Soient $a$ et $b$ dans $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ tels que $f(a) = f(b)$ . Alors $\frac{3a+1}{a-2} = \frac{3b+1}{b-2}$ , et comme $a - 2 \ne 0$ et $b - 2 \ne 0$ , on peut produire en croix : $(3a+1)(b-2) = (3b+1)(a-2)$ .

Pourquoi

Le produit en croix n'est licite que parce que les deux dénominateurs sont non nuls, et c'est le départ qui le garantit. Écrire cette justification vaut le point de rigueur.

Étape 3

En développant : $3ab - 6a + b - 2 = 3ab - 6b + a - 2$ . Les termes $3ab$ et $-2$ se simplifient, il reste $-6a + b = -6b + a$ , soit $7b = 7a$ , donc $a = b$ .

Pourquoi

Le terme $3ab$ disparaît de lui-même, et c'est le signe que le produit en croix était la bonne manoeuvre. Une copie qui développe et ne voit pas la simplification est presque toujours partie d'une égalité fausse.

Étape 4

Soit $y \in \mathbb{R} \setminus \{3\}$ . On résout $\frac{3x+1}{x-2} = y$ , soit $3x + 1 = y(x-2)$ , soit $x(y - 3) = 2y + 1$ , donc $x = \frac{2y+1}{y-3}$ , licite car $y \ne 3$ .

Pourquoi

On isole $x$ en regroupant ses termes d'un seul côté. La condition $y \ne 3$ sert ici et nulle part ailleurs : c'est elle qui autorise la division, et elle explique pourquoi l'énoncé retire $3$ de l'arrivée.

Étape 5

Ce $x$ est bien dans le départ : $\frac{2y+1}{y-3} = 2$ donnerait $2y + 1 = 2y - 6$ , soit $1 = -6$ , impossible. Vérification : $f\left(\frac{2y+1}{y-3}\right) = \frac{\frac{7y}{y-3}}{\frac{7}{y-3}} = y$ .

Pourquoi

Deux gestes que presque personne n'écrit et que le barème note tous les deux : l'appartenance du $x$ fabriqué au départ, puis le recalcul de $f(x)$ . Le facteur $7$ qui se simplifie est votre preuve interne que le calcul est juste.

Étape 6

Contrôle numérique : $f(3) = \frac{10}{1} = 10$ , et $\frac{2 \times 10 + 1}{10 - 3} = \frac{21}{7} = 3$ . De même $f(0) = \frac{1}{-2} = -0{,}5$ , et $\frac{2 \times (-0{,}5) + 1}{-0{,}5 - 3} = \frac{0}{-3{,}5} = 0$ .

Pourquoi

Deux valeurs suffisent pour attraper une erreur de signe dans la réciproque. Ce contrôle ne démontre rien, il détecte, et il coûte vingt secondes.

Conclusion rédigée

« $f$ est injective et surjective de $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ sur $\mathbb{R} \setminus \{3\}$ , donc bijective, et sa fonction réciproque est $f^{-1}(y) = \frac{2y+1}{y-3}$ , définie sur $\mathbb{R} \setminus \{3\}$ . »

L'erreur classique sur cet exercice : Annoncer la bijectivité sans jamais dire pourquoi $2$ et $3$ sont exclus. La copie perd alors les deux points de lecture des ensembles, alors que tout le calcul est juste : c'est le chapitre entier qui se joue sur ces deux exclusions.

À savoir par cœur

• INJECTIVE : chaque élément de l'ARRIVÉE reçoit AU PLUS une flèche. SURJECTIVE : AU MOINS une. BIJECTIVE : EXACTEMENT une.
• Une preuve d'injectivité part de $f(a) = f(b)$ et arrive à $a = b$ . Jamais l'inverse.
• Une preuve de surjectivité se donne $y$ dans l'arrivée, FABRIQUE $x$ , vérifie $x \in A$ , puis vérifie $f(x) = y$ .
• Rétrécir le DÉPART aide l'injectivité. Rétrécir l'ARRIVÉE aide la surjectivité. Aucun des deux ne fait l'autre.
• Injection : $\lvert A \rvert \le \lvert B \rvert$ . Surjection : $\lvert A \rvert \ge \lvert B \rvert$ . Bijection : $\lvert A \rvert = \lvert B \rvert$ .
• $f^{-1}(Q)$ sur une PARTIE existe toujours ; la FONCTION $f^{-1}$ n'existe que si $f$ est bijective.
• $(g \circ f)$ injective entraîne $f$ injective ; $(g \circ f)$ surjective entraîne $g$ surjective ; et $(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$ .
• En FINI et de même cardinal, injective équivaut à surjective. En INFINI, c'est faux : $n \mapsto 2n$ de $\mathbb{N}$ sur $2\mathbb{N}$ le montre.

Questions fréquentes

Comment savoir si une fonction est injective ou surjective ?

Regardez d'abord l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée, jamais la formule seule. Sur un diagramme, comptez les flèches reçues par chaque élément de l'arrivée : au plus une donne injective, au moins une donne surjective, exactement une donne bijective. Sur une formule, partez de f de a égale f de b pour l'injectivité, et résolvez f de x égale y pour la surjectivité.

La fonction carré est-elle injective ?

La question est incomplète telle quelle. De l'ensemble des réels vers les réels, le carré n'est ni injectif ni surjectif. Des réels positifs vers les réels, il devient injectif. Des réels vers les réels positifs, il devient surjectif. Des réels positifs vers les réels positifs, il est bijectif, et sa réciproque est la racine carrée. Une seule règle, quatre natures.

Quelle est la différence entre injective et surjective ?

Les deux parlent de l'ensemble d'arrivée, mais pas de la même chose. Injective interdit de recevoir deux flèches : deux éléments distincts du départ ne peuvent pas avoir la même image. Surjective interdit de n'en recevoir aucune : tout élément de l'arrivée doit avoir au moins un antécédent. Une fonction peut avoir l'une sans l'autre, les deux, ou aucune des deux.

Toute fonction a-t-elle une réciproque ?

Non. Seule une fonction bijective possède une fonction réciproque. Une fonction de hachage, par exemple, écrase plusieurs clés sur la même alvéole : on ne peut pas remonter de l'alvéole à la clé, et c'est pour cela qu'une table de hachage doit stocker la clé elle-même. L'image réciproque d'une partie, elle, se calcule pour toute fonction et rend un ensemble, parfois vide.

Comment montrer qu'une fonction est bijective ?

Deux chemins. Le premier fait les deux preuves séparées, l'injectivité puis la surjectivité, et conclut. Le second construit directement la réciproque en résolvant f de x égale y, puis vérifie les deux composées : la réciproque de f composée avec f donne l'identité, et f composée avec la réciproque aussi. Le second chemin est plus rapide dès que l'équation se résout.

Une bijection entre deux ensembles infinis est-elle possible ?

Oui, et c'est même la définition du même cardinal en infini. Les entiers naturels sont en bijection avec les entiers relatifs, en les énumérant zéro, moins un, un, moins deux, deux, et ainsi de suite. Un ensemble infini peut aussi être en bijection avec une de ses parties strictes, ce qui est impossible en fini.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Fonctions injectives, surjectives, bijectives

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

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Fiche de révision : fonctions injectives, surjectives et bijectives (201-N11)

L'essentiel

Les trois natures se comptent sur les flèches REÇUES

La nature appartient au TRIPLET, jamais à la règle

Réciproque, image réciproque, fibres : trois objets, deux notations

Les trois inégalités de cardinal, et ce qu'elles deviennent en infini

Les règles de calcul en tableau

La même règle, cinq triplets, quatre natures

Les pièges qui coûtent des points

1. Répondre sur la formule sans avoir regardé le départ et l'arrivée

2. Croire que rétrécir l'arrivée suffit toujours à rendre surjectif

3. Confondre surjective et « tout élément du départ a une image »

4. Croire que toute fonction possède une réciproque

5. Croire qu'injective veut dire strictement croissante

6. Démontrer l'injectivité dans le mauvais sens

7. Croire qu'une bijection entre deux ensembles infinis est impossible

8. Inverser le sens des inégalités de cardinal

9. Rendre un élément là où f−1f^{-1}f−1 rend un ensemble

Quelle méthode choisir

Quelle rédaction selon le verbe de l'énoncé

La fonction ne convient pas : quel ensemble changer

La rédaction attendue

Montrer qu'une fonction est injective

Montrer qu'une fonction est surjective

Réfuter : le contre-exemple chiffré

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Montrer que f(x)=3x+1x−2f(x) = \frac{3x+1}{x-2}f(x)=x−23x+1​ est bijective de R∖{2}\mathbb{R} \setminus \{2\}R∖{2} sur R∖{3}\mathbb{R} \setminus \{3\}R∖{3}

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Comment savoir si une fonction est injective ou surjective ?

La fonction carré est-elle injective ?

Quelle est la différence entre injective et surjective ?

Toute fonction a-t-elle une réciproque ?

Comment montrer qu'une fonction est bijective ?

Une bijection entre deux ensembles infinis est-elle possible ?

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9. Rendre un élément là où $f^{-1}$ rend un ensemble

Montrer que $f(x) = \frac{3x+1}{x-2}$ est bijective de $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ sur $\mathbb{R} \setminus \{3\}$