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Mathématiques pour l'informatique 201-N11 • Cégep à Montréal

Fiche de révision : fonctions injectives, surjectives et bijectives (201-N11)

Ce chapitre ne se perd presque jamais sur un calcul. Il se perd sur une question mal lue : l'étudiant regarde la règle, répond sur la règle, et ne voit pas que l'énoncé a changé le départ ou l'arrivée depuis la question précédente. La même règle x↦x2x \mapsto x^{2} prend successivement les quatre natures possibles selon les deux ensembles qu'on lui donne, sans qu'un seul signe change dans la formule.

Cette fiche part donc du geste qui rapporte : entourer le départ et l'arrivée avant d'écrire un mot. Vient ensuite la table de décision du triplet, puis les neuf phrases fausses les plus coûteuses du chapitre, chacune réfutée par un exemple chiffré, et les trois rédactions que le correcteur attend, une par verbe de l'énoncé.

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Le fil du chapitre

Injective, surjective et bijective ne qualifient jamais une formule : elles qualifient le TRIPLET règle, départ, arrivée, et changer un seul des deux ensembles change la réponse.

Ce chapitre fait partie de Mathématiques pour l'informatique, 201-N11
Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 10 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (2 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

  1. 1 Logique booléenne et mathématique
  2. 2 Théorie des ensembles et relations

L'essentiel

Les trois natures se comptent sur les flèches REÇUES

  • • Une fonction f:A→Bf : A \to B envoie chaque élément de AA sur UNE image et UNE SEULE : exactement une flèche PART de chaque élément de gauche. Cette condition est déjà remplie avant qu'on parle d'injectivité, elle ne se redémontre pas.
  • • INJECTIVE : chaque élément de BB reçoit AU PLUS une flèche. SURJECTIVE : AU MOINS une. BIJECTIVE : EXACTEMENT une.
  • • Les flèches PARTIES ne se comptent plus une fois la fonction reconnue. Tout le chapitre se lit du côté de l'ARRIVÉE.
  • • Conséquence immédiate sur un ensemble fini : il suffit de compter, élément d'arrivée par élément d'arrivée. Aucun calcul n'est nécessaire.
123abcdABinjective1234abcABsurjective123abcABbijective123abcABaucune
Quatre natures, un seul geste : en haut à gauche dd ne reçoit rien, en haut à droite aa en reçoit deux, en bas à gauche chacun en reçoit une, en bas à droite aa en reçoit deux et bb aucune.

Sur une copie, la phrase « chaque élément de l'arrivée reçoit au plus une flèche, donc ff est injective » vaut autant que la preuve algébrique quand les ensembles sont finis et donnés par un diagramme.

La nature appartient au TRIPLET, jamais à la règle

  • • Un énoncé qui demande si x↦x2x \mapsto x^{2} est injective sans donner les deux ensembles n'est pas difficile, il est incomplet.
  • • Rétrécir le DÉPART peut rendre injective, et ne rend jamais surjective.
  • • Rétrécir l'ARRIVÉE peut rendre surjective, et ne change jamais l'injectivité.
  • • Rétrécir l'arrivée jusqu'à l'image exacte f(A)f(A) rend toujours surjective : c'est le seul choix qui garantit le résultat, et N\mathbb{N} n'est pas l'image exacte du carré sur Z\mathbb{Z}.
départ−2−1012arrivée01234départ−2−1012arrivée0142 et 3 non atteintssurjective
Même règle n↦n2n\mapsto n^{2} sur {−2,…,2}\{-2,\ldots,2\} : vers {0,…,4}\{0,\ldots,4\}, 22 et 33 ne reçoivent rien ; vers l'image exacte {0 ;1 ;4}\{0\,;1\,;4\}, tout est atteint.

Le réflexe qui rapporte : entourer les deux ensembles au crayon dès la lecture de l'énoncé, puis ne plus jamais répondre sans les regarder.

Réciproque, image réciproque, fibres : trois objets, deux notations

  • • f−1(Q)f^{-1}(Q), appliquée à une PARTIE QQ de l'arrivée, existe pour toute fonction sans exception : c'est l'ensemble des antécédents, et il peut être vide.
  • • La FONCTION réciproque f−1:B→Af^{-1} : B \to A n'existe que si ff est bijective. Elle prend un élément et rend un élément.
  • • Les fibres f−1({y})f^{-1}(\{y\}) non vides forment une partition du départ : ce sont les classes de la relation avoir la même image.
  • • Composée : (g∘f)(g \circ f) injective entraîne ff injective, (g∘f)(g \circ f) surjective entraîne gg surjective. L'injectivité remonte vers l'entrée, la surjectivité descend vers la sortie.
  • • Réciproque d'une composée : (g∘f)−1=f−1∘g−1(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}, l'ordre s'inverse.
A12345Babcdf⁻¹({d}) = ∅
Les fibres f−1({a})={1 ;2}f^{-1}(\{a\})=\{1\,;2\}, f−1({b})={4}f^{-1}(\{b\})=\{4\}, f−1({c})={3 ;5}f^{-1}(\{c\})=\{3\,;5\} partagent le départ ; f−1({d})f^{-1}(\{d\}) existe aussi, et vaut ∅\varnothing.

Les trois inégalités de cardinal, et ce qu'elles deviennent en infini

  • • Une injection A→BA \to B impose ∣A∣≤∣B∣\lvert A \rvert \le \lvert B \rvert. Une surjection impose ∣A∣≥∣B∣\lvert A \rvert \ge \lvert B \rvert. Une bijection impose l'égalité.
  • • Entre ensembles FINIS de même cardinal, injective équivaut à surjective. C'est faux dès que les ensembles sont infinis.
  • • Comptages utiles : ∣B∣∣A∣\lvert B \rvert^{\lvert A \rvert} fonctions, ∣B∣!(∣B∣−∣A∣)!\frac{\lvert B \rvert!}{(\lvert B \rvert - \lvert A \rvert)!} injections, et ∣A∣!\lvert A \rvert! bijections quand les deux cardinaux sont égaux.
  • • Deux ensembles sont dits équipotents quand il existe une bijection de l'un sur l'autre. C'est la seule définition du même cardinal qui survive à l'infini.
injection : 3 ≤ 4surjection : 4 ≥ 3bijection : 3 = 3
Une injection place chaque élément du départ sur une case distincte : l'arrivée est au moins aussi grande. Une surjection couvre l'arrivée : le départ l'est au moins autant.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

La même règle, cinq triplets, quatre natures

On ne lit ce tableau que de gauche à droite : la colonne de la règle ne suffit jamais, c'est la colonne du milieu qui décide. La dernière ligne est en rouge parce que la question y est incomplète, et qu'une question incomplète n'a pas de réponse.

RègleDépart →\to arrivéeNature
x↦x2x \mapsto x^{2} R→R\mathbb{R} \to \mathbb{R} aucune des trois

Exemple : f(−2)=f(2)=4f(-2) = f(2) = 4 tue l'injectivité, et −1-1 n'a aucun antécédent.

x↦x2x \mapsto x^{2} R+→R\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R} injective

Exemple : a2=b2a^{2} = b^{2} avec a,b≥0a, b \ge 0 donne a=ba = b ; mais −1-1 reste hors d'atteinte.

x↦x2x \mapsto x^{2} R→R+\mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+} surjective

Exemple : y=9y = 9 a deux antécédents, 33 et −3-3, donc tout est atteint mais rien n'est unique.

x↦x2x \mapsto x^{2} R+→R+\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+} bijective

Exemple : y=9y = 9 a le seul antécédent 33, et la réciproque est y↦yy \mapsto \sqrt{y}.

n↦n2n \mapsto n^{2} Z→N\mathbb{Z} \to \mathbb{N} aucune des trois

Exemple : (−3)2=32=9(-3)^{2} = 3^{2} = 9, et 22, 33, 55, 66, 77 ne sont les carrés d'aucun entier.

x↦x2x \mapsto x^{2} non précisés sans réponse question incomplète

Exemple : Les 55 lignes au-dessus donnent 44 natures différentes pour la même règle.

Ce qu'il faut faire : Écrire le départ et l'arrivée, puis seulement reprendre la question. Si l'énoncé ne les donne pas, les choisir et le dire.

Le tableau se relit aussi de droite à gauche, et c'est l'usage d'examen : on veut une bijection, donc on cherche le couple d'ensembles qui la donne, et il n'y en a qu'un seul ici.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Répondre sur la formule sans avoir regardé le départ et l'arrivée

toute la question, et souvent les quatre sous-questions qui suivent

Ce qu'il ne faut pas écrire

« x2x^{2} n'est pas injective, c'est bien connu. »

Ce qu'il faut écrire

« De R\mathbb{R} dans R\mathbb{R}, ff n'est pas injective car f(−2)=f(2)=4f(-2) = f(2) = 4. De R+\mathbb{R}^{+} dans R+\mathbb{R}^{+}, la même règle est bijective. »

de ℝ dans ℝ : 2 et −2de ℝ⁺ dans ℝ⁺ : 2 seul
De R\mathbb{R} dans R\mathbb{R}, la droite y=4y=4 coupe la parabole deux fois (rouge) ; sur R+\mathbb{R}^{+}, une seule (vert) : même règle, autre triplet, autre nature.

Pourquoi : C'est l'erreur qui structure le chapitre : la nature est une propriété du triplet règle, départ, arrivée, et l'examen la teste en changeant les ensembles d'une sous-question à l'autre sans toucher à la formule.

2. Croire que rétrécir l'arrivée suffit toujours à rendre surjectif

2 points, et la question de la réciproque qui en dépend

Ce qu'il ne faut pas écrire

« n↦n2n \mapsto n^{2} va de Z\mathbb{Z} dans N\mathbb{N}, donc elle est surjective : un carré d'entier est bien un entier naturel. »

Ce qu'il faut écrire

« Elle n'est pas surjective : 22 n'est le carré d'aucun entier. L'arrivée qui rend surjective est l'ensemble des carrés parfaits, pas N\mathbb{N}. »

0−11−2201234ZNcarré
Le carré de Z\mathbb{Z} dans N\mathbb{N} : 22 et 33 ne reçoivent aucune flèche malgré une arrivée qui semblait taillée sur mesure, et 11 comme 44 en reçoivent deux.

Pourquoi : Rétrécir l'arrivée ne rend surjective que si on la rétrécit JUSQU'À l'image exacte f(A)f(A). Une arrivée qui a l'air taillée sur mesure ne l'est presque jamais : sur les 2626 entiers de 00 à 2525, seuls 66 sont des carrés.

3. Confondre surjective et « tout élément du départ a une image »

2 points, et la démonstration entière part dans le mauvais sens

Ce qu'il ne faut pas écrire

« ff est surjective, puisque chaque élément de AA a bien une image dans BB. »

Ce qu'il faut écrire

« Chaque élément de AA a une image : cela dit seulement que ff est une fonction. ff est surjective si chaque élément de BB a au moins un ANTÉCÉDENT, ce qui se vérifie du côté de l'arrivée. »

Pourquoi : La définition d'une fonction est déjà acquise quand la question est posée : la redémontrer ne rapporte rien. La surjectivité parle de l'arrivée, et d'elle seule.

4. Croire que toute fonction possède une réciproque

toute la question, la suite reposant sur un objet inexistant

Ce qu'il ne faut pas écrire

« On applique f−1f^{-1} des deux côtés, donc x=f−1(y)x = f^{-1}(y). »

Ce qu'il faut écrire

« ff n'est pas injective, donc la fonction réciproque f−1f^{-1} n'existe pas. On peut seulement écrire x∈f−1({y})x \in f^{-1}(\{y\}), l'ensemble des antécédents. »

k1k2k3k4k5012cléscaseshachagee1e2e3123employésdossiersannuaire
À gauche, trois clés tombent dans l'alvéole 00 : aucune flèche ne se remonte, donc pas de réciproque. À droite, chaque dossier reçoit exactement une flèche, et la réciproque existe.

Pourquoi : Seule une bijection a une réciproque. C'est exactement pour cela qu'une table de hachage doit stocker la clé dans l'alvéole : le numéro d'alvéole ne permet pas de remonter à la clé.

5. Croire qu'injective veut dire strictement croissante

2 points, et l'argument est refusé même quand la conclusion est juste

Ce qu'il ne faut pas écrire

« ff n'est pas monotone, donc elle n'est pas injective. »

Ce qu'il faut écrire

« Strictement monotone entraîne injective, jamais l'inverse. La fonction x↦1xx \mapsto \frac{1}{x} sur R∗\mathbb{R}^{*} est injective sans être monotone, et sur un ensemble fini le mot croissante n'a même pas de sens. »

−4−3−2−11234−4−3−2−11234une seule fois
x↦1xx\mapsto\frac{1}{x} sur R∗\mathbb{R}^{*} n'est pas monotone, et pourtant chaque horizontale la coupe au plus une fois : elle est injective.

Pourquoi : La monotonie est un outil de calcul différentiel, l'injectivité une propriété d'ensembles. Dans un cours de mathématiques discrètes, le départ n'est souvent même pas ordonné : un alphabet, un ensemble de clés, un ensemble d'employés.

6. Démontrer l'injectivité dans le mauvais sens

toute la question : la copie fausse démontre que ff est une fonction

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Soit a=ba = b. Alors 3a−7=3b−73a - 7 = 3b - 7, donc f(a)=f(b)f(a) = f(b) : ff est injective. »

Ce qu'il faut écrire

« Soient aa et bb tels que f(a)=f(b)f(a) = f(b). Alors 3a−7=3b−73a - 7 = 3b - 7, donc 3a=3b3a = 3b, donc a=ba = b. Donc ff est injective. »

Pourquoi : Le sens a=b⇒f(a)=f(b)a = b \Rightarrow f(a) = f(b) est vrai pour absolument toutes les fonctions, injectives ou non. L'implication utile est l'autre, et le correcteur regarde d'abord par quelle égalité la démonstration commence.

7. Croire qu'une bijection entre deux ensembles infinis est impossible

toute la question, et le contresens se répète au chapitre de la cardinalité

Ce qu'il ne faut pas écrire

« 2N2\mathbb{N} est strictement inclus dans N\mathbb{N}, donc il est plus petit, donc aucune bijection. »

Ce qu'il faut écrire

« ψ:N→2N\psi : \mathbb{N} \to 2\mathbb{N}, ψ(n)=2n\psi(n) = 2n, est bijective : un ensemble infini peut être en bijection avec une de ses parties strictes. »

001−1213−2425−363NZ
N\mathbb{N} énumère Z\mathbb{Z} tout entier, un rang par entier relatif : chaque colonne porte exactement une flèche, donc φ\varphi est bijective malgré deux ensembles infinis.

Pourquoi : L'argument par inclusion stricte n'est valable qu'en fini. Cantor n'interdit pas les bijections entre infinis, il dit seulement qu'il n'en existe aucune de N\mathbb{N} sur R\mathbb{R}.

8. Inverser le sens des inégalités de cardinal

1 point, et la conclusion du problème de comptage s'inverse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Il existe une injection de AA dans BB, donc ∣A∣≥∣B∣\lvert A \rvert \ge \lvert B \rvert. »

Ce qu'il faut écrire

« Une injection de AA dans BB donne ∣A∣≤∣B∣\lvert A \rvert \le \lvert B \rvert : chaque élément de AA occupe une place distincte dans BB, donc BB est au moins aussi grand. »

Pourquoi : Le moyen mnémotechnique qui tient : l'injection RANGE AA dans BB sans écraser, donc BB doit être assez grand ; la surjection COUVRE BB avec AA, donc AA doit être assez grand. Avec ∣A∣=4\lvert A \rvert = 4 et ∣B∣=3\lvert B \rvert = 3, il existe 3636 surjections et zéro injection.

9. Rendre un élément là où f−1f^{-1} rend un ensemble

0,5 point par occurrence, et la partition en fibres devient illisible

Ce qu'il ne faut pas écrire

« f−1(b)=4f^{-1}(b) = 4. »

Ce qu'il faut écrire

« f−1({b})={4}f^{-1}(\{b\}) = \{4\} : l'image réciproque d'une partie est une PARTIE du départ, même quand elle ne contient qu'un élément, et elle vaut ∅\varnothing quand personne n'est envoyé sur bb. »

Pourquoi : C'est la distinction entre 33 et {3}\{3\} vue au chapitre des ensembles. L'écriture f−1(b)f^{-1}(b) suppose en plus que la fonction réciproque existe, ce qui n'a pas été démontré et qui est souvent faux.

Quelle méthode choisir

Quelle rédaction selon le verbe de l'énoncé

On ne choisit pas la rédaction sur le thème, on la choisit sur le verbe. Montrer et réfuter ne s'écrivent pas du tout de la même façon, et la confusion coûte la question entière même quand la réponse finale est juste.

  • Si « montrer que ff est injective » → partir de f(a)=f(b)f(a) = f(b), enchaîner les implications, arriver à a=ba = b

    Exemple : 3a−7=3b−7⇒a=b3a - 7 = 3b - 7 \Rightarrow a = b

    aucun exemple numérique n'a sa place ici : trois valeurs testées ne démontrent rien

  • Si « montrer que ff est surjective » → se donner yy quelconque dans l'ARRIVÉE, fabriquer xx, vérifier f(x)=yf(x) = y

    Exemple : x=y+73x = \frac{y+7}{3} donne f(x)=yf(x) = y

    la vérification finale n'est pas facultative : c'est elle qui prouve que le xx fabriqué convient

  • Si « montrer que ff n'est PAS injective » → exhiber deux éléments distincts de même image, avec leurs valeurs

    Exemple : g(0)=g(4)=1g(0) = g(4) = 1 pour g(x)=x2−4x+1g(x) = x^{2} - 4x + 1

    dire que la fonction n'est pas monotone ne réfute rien

  • Si « montrer que ff n'est PAS surjective » → exhiber UN élément de l'arrivée et prouver qu'il n'a aucun antécédent

    Exemple : 33 n'est pas pair, donc 2n=32n = 3 n'a pas de solution entière

    le mot prouver compte : il faut résoudre l'équation et conclure qu'elle n'a pas de solution dans le départ

  • Si « montrer que ff est bijective » → soit les deux preuves séparées, soit construire f−1f^{-1} et vérifier les DEUX composées

    Exemple : f−1(f(x))=xf^{-1}(f(x)) = x et f(f−1(y))=yf(f^{-1}(y)) = y

    la seconde méthode est plus rapide dès que l'équation f(x)=yf(x) = y se résout explicitement

  • Si « déterminer la nature » avec un diagramme ou des ensembles finis → compter les flèches REÇUES par chaque élément de l'arrivée

    Exemple : aa en reçoit 22, bb aucune : ni injective, ni surjective

    aucune algèbre n'est attendue, et en tenter une fait perdre du temps

Si aucune branche ne s'applique, c'est que l'énoncé demande une propriété de la composée : utiliser alors les deux héritages, l'injectivité remonte vers ff, la surjectivité descend vers gg.

La fonction ne convient pas : quel ensemble changer

Un problème demande souvent de RENDRE la fonction injective, surjective ou bijective. On regarde le défaut, et le défaut désigne lui-même l'ensemble à toucher.

  • Si deux éléments distincts ont la même image → rétrécir le DÉPART. Toucher à l'arrivée ne changera rien

    Exemple : R→R+\mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+} reste non injective pour x↦x2x \mapsto x^{2}

  • Si un élément de l'arrivée n'a aucun antécédent → rétrécir l'ARRIVÉE jusqu'à l'image exacte f(A)f(A)

    Exemple : n↦2nn \mapsto 2n devient bijective de Z\mathbb{Z} sur 2Z2\mathbb{Z}

  • Si l'arrivée proposée a l'air taillée sur mesure → vérifier élément par élément qu'elle est bien f(A)f(A), et pas un ensemble qui lui ressemble

    Exemple : N\mathbb{N} contient 22, 33, 55, qui ne sont pas des carrés

  • Si les deux défauts sont présents → rétrécir les deux ensembles, dans n'importe quel ordre

    Exemple : R+→R+\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+} rend le carré bijectif

Sur des ensembles finis, ce choix est contraint par les cardinaux : aucune injection si ∣A∣>∣B∣\lvert A \rvert > \lvert B \rvert, aucune surjection si ∣A∣<∣B∣\lvert A \rvert < \lvert B \rvert. Vérifier les cardinaux AVANT de chercher une fonction fait gagner plusieurs minutes.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Montrer qu'une fonction est injective

Quand l'utiliser : L'énoncé dit montrer, démontrer ou prouver que ff est injective, et le départ est infini ou donné par une formule.

  1. 1 Écrire « Soient aa et bb dans AA tels que f(a)=f(b)f(a) = f(b). » Le mot Soient est ce qui rend la preuve universelle.
  2. 2 Remplacer f(a)f(a) et f(b)f(b) par leur expression, sans rien simplifier encore.
  3. 3 Transformer jusqu'à a=ba = b, en justifiant chaque passage qui n'est pas licite partout : diviser par 33 est licite car 3≠03 \ne 0, simplifier par x−2x - 2 est licite car x≠2x \ne 2 par définition du départ.
  4. 4 Conclure par la phrase type, en nommant la propriété.

Phrase de conclusion

« Deux éléments de AA ayant la même image sont donc égaux : ff est injective. »

Le piège : Partir de a=ba = b au lieu de f(a)=f(b)f(a) = f(b). La preuve est alors vraie et totalement inutile, puisqu'elle vaut pour toute fonction.

Barème : En général 3 points : 1 pour le départ correct de la preuve, 1 pour la chaîne, 1 pour la conclusion rédigée.

Montrer qu'une fonction est surjective

Quand l'utiliser : L'énoncé demande la surjectivité, ou la bijectivité par les deux preuves séparées.

  1. 1 Écrire « Soit yy un élément quelconque de BB. » Le quantificateur porte sur l'ARRIVÉE, pas sur le départ.
  2. 2 Résoudre l'équation f(x)=yf(x) = y d'inconnue xx, en traitant yy comme un paramètre.
  3. 3 Vérifier que le xx obtenu appartient bien au DÉPART : pas de division par zéro, pas de racine d'un négatif, pas de valeur exclue du domaine.
  4. 4 Recalculer f(x)f(x) avec l'expression trouvée et retrouver yy : c'est la vérification qui rapporte le point.
  5. 5 Conclure par la phrase type.

Phrase de conclusion

« Tout élément yy de BB admet donc au moins un antécédent dans AA : ff est surjective. »

Le piège : Oublier de vérifier que le xx fabriqué est dans le départ. Sur f:R∖{2}→R∖{3}f : \mathbb{R} \setminus \{2\} \to \mathbb{R} \setminus \{3\}, c'est exactement le point qui est noté.

Barème : En général 3 points, dont 1 pour la vérification finale, qui est la partie le plus souvent sautée.

Réfuter : le contre-exemple chiffré

Quand l'utiliser : L'énoncé dit montrer que ff n'est pas injective, ou demande la nature d'une fonction qui n'en a aucune.

  1. 1 Choisir deux éléments concrets du départ, ou un élément concret de l'arrivée, selon la propriété à détruire.
  2. 2 Calculer les images, ou résoudre l'équation, et écrire les nombres en toutes lettres sur la copie.
  3. 3 Écrire l'inégalité qui rend le contre-exemple valide : 0≠40 \ne 4 et pourtant g(0)=g(4)g(0) = g(4).
  4. 4 Conclure en rappelant qu'un seul contre-exemple suffit à nier un énoncé universel.

Phrase de conclusion

« g(0)=g(4)=1g(0) = g(4) = 1 alors que 0≠40 \ne 4 : gg n'est pas injective. »

Le piège : Écrire que cela ne marche pas toujours, sans produire les valeurs. Une réfutation sans nombres ne vaut aucun point.

Barème : En général 2 points : 1 pour les valeurs, 1 pour la phrase qui les relie à la définition.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'exercice type décortiqué

Montrer que f(x)=3x+1x−2f(x) = \frac{3x+1}{x-2} est bijective de R∖{2}\mathbb{R} \setminus \{2\} sur R∖{3}\mathbb{R} \setminus \{3\}

Soit f:R∖{2}→R∖{3}f : \mathbb{R} \setminus \{2\} \to \mathbb{R} \setminus \{3\} définie par f(x)=3x+1x−2f(x) = \frac{3x+1}{x-2}.

Montrer que ff est bijective et donner sa fonction réciproque. C'est l'exercice type du chapitre : il teste en même temps la lecture des deux ensembles, la rédaction de l'injectivité, la fabrication d'un antécédent et l'existence de la réciproque.

−6−4−2246810−8−6−4−22468101214x = 2y = 3
La courbe évite la verticale x=2x=2, exclue du départ, et l'horizontale y=3y=3, exclue de l'arrivée : ce sont les deux exclusions qui rendent l'énoncé vrai.

Étape 1

Le départ exclut 22 car x−2x - 2 s'annule en 22. L'arrivée exclut 33 : si 3x+1x−2=3\frac{3x+1}{x-2} = 3, alors 3x+1=3x−63x + 1 = 3x - 6, soit 1=−61 = -6, ce qui est impossible.

Pourquoi

Cette étape n'est pas de la décoration : les deux exclusions sont exactement ce qui rend l'énoncé vrai. Sans elles, ff n'est ni injective ni surjective, et le correcteur attend que vous les justifiiez au lieu de les recopier.

Étape 2

Soient aa et bb dans R∖{2}\mathbb{R} \setminus \{2\} tels que f(a)=f(b)f(a) = f(b). Alors 3a+1a−2=3b+1b−2\frac{3a+1}{a-2} = \frac{3b+1}{b-2}, et comme a−2≠0a - 2 \ne 0 et b−2≠0b - 2 \ne 0, on peut produire en croix : (3a+1)(b−2)=(3b+1)(a−2)(3a+1)(b-2) = (3b+1)(a-2).

Pourquoi

Le produit en croix n'est licite que parce que les deux dénominateurs sont non nuls, et c'est le départ qui le garantit. Écrire cette justification vaut le point de rigueur.

Étape 3

En développant : 3ab−6a+b−2=3ab−6b+a−23ab - 6a + b - 2 = 3ab - 6b + a - 2. Les termes 3ab3ab et −2-2 se simplifient, il reste −6a+b=−6b+a-6a + b = -6b + a, soit 7b=7a7b = 7a, donc a=ba = b.

Pourquoi

Le terme 3ab3ab disparaît de lui-même, et c'est le signe que le produit en croix était la bonne manoeuvre. Une copie qui développe et ne voit pas la simplification est presque toujours partie d'une égalité fausse.

Étape 4

Soit y∈R∖{3}y \in \mathbb{R} \setminus \{3\}. On résout 3x+1x−2=y\frac{3x+1}{x-2} = y, soit 3x+1=y(x−2)3x + 1 = y(x-2), soit x(y−3)=2y+1x(y - 3) = 2y + 1, donc x=2y+1y−3x = \frac{2y+1}{y-3}, licite car y≠3y \ne 3.

Pourquoi

On isole xx en regroupant ses termes d'un seul côté. La condition y≠3y \ne 3 sert ici et nulle part ailleurs : c'est elle qui autorise la division, et elle explique pourquoi l'énoncé retire 33 de l'arrivée.

Étape 5

Ce xx est bien dans le départ : 2y+1y−3=2\frac{2y+1}{y-3} = 2 donnerait 2y+1=2y−62y + 1 = 2y - 6, soit 1=−61 = -6, impossible. Vérification : f(2y+1y−3)=7yy−37y−3=yf\left(\frac{2y+1}{y-3}\right) = \frac{\frac{7y}{y-3}}{\frac{7}{y-3}} = y.

Pourquoi

Deux gestes que presque personne n'écrit et que le barème note tous les deux : l'appartenance du xx fabriqué au départ, puis le recalcul de f(x)f(x). Le facteur 77 qui se simplifie est votre preuve interne que le calcul est juste.

Étape 6

Contrôle numérique : f(3)=101=10f(3) = \frac{10}{1} = 10, et 2×10+110−3=217=3\frac{2 \times 10 + 1}{10 - 3} = \frac{21}{7} = 3. De même f(0)=1−2=−0,5f(0) = \frac{1}{-2} = -0{,}5, et 2×(−0,5)+1−0,5−3=0−3,5=0\frac{2 \times (-0{,}5) + 1}{-0{,}5 - 3} = \frac{0}{-3{,}5} = 0.

Pourquoi

Deux valeurs suffisent pour attraper une erreur de signe dans la réciproque. Ce contrôle ne démontre rien, il détecte, et il coûte vingt secondes.

Conclusion rédigée

« ff est injective et surjective de R∖{2}\mathbb{R} \setminus \{2\} sur R∖{3}\mathbb{R} \setminus \{3\}, donc bijective, et sa fonction réciproque est f−1(y)=2y+1y−3f^{-1}(y) = \frac{2y+1}{y-3}, définie sur R∖{3}\mathbb{R} \setminus \{3\}. »

L'erreur classique sur cet exercice : Annoncer la bijectivité sans jamais dire pourquoi 22 et 33 sont exclus. La copie perd alors les deux points de lecture des ensembles, alors que tout le calcul est juste : c'est le chapitre entier qui se joue sur ces deux exclusions.

À savoir par cœur

  • • INJECTIVE : chaque élément de l'ARRIVÉE reçoit AU PLUS une flèche. SURJECTIVE : AU MOINS une. BIJECTIVE : EXACTEMENT une.
  • • Une preuve d'injectivité part de f(a)=f(b)f(a) = f(b) et arrive à a=ba = b. Jamais l'inverse.
  • • Une preuve de surjectivité se donne yy dans l'arrivée, FABRIQUE xx, vérifie x∈Ax \in A, puis vérifie f(x)=yf(x) = y.
  • • Rétrécir le DÉPART aide l'injectivité. Rétrécir l'ARRIVÉE aide la surjectivité. Aucun des deux ne fait l'autre.
  • • Injection : ∣A∣≤∣B∣\lvert A \rvert \le \lvert B \rvert. Surjection : ∣A∣≥∣B∣\lvert A \rvert \ge \lvert B \rvert. Bijection : ∣A∣=∣B∣\lvert A \rvert = \lvert B \rvert.
  • • f−1(Q)f^{-1}(Q) sur une PARTIE existe toujours ; la FONCTION f−1f^{-1} n'existe que si ff est bijective.
  • • (g∘f)(g \circ f) injective entraîne ff injective ; (g∘f)(g \circ f) surjective entraîne gg surjective ; et (g∘f)−1=f−1∘g−1(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}.
  • • En FINI et de même cardinal, injective équivaut à surjective. En INFINI, c'est faux : n↦2nn \mapsto 2n de N\mathbb{N} sur 2N2\mathbb{N} le montre.

Questions fréquentes

Comment savoir si une fonction est injective ou surjective ?

Regardez d'abord l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée, jamais la formule seule. Sur un diagramme, comptez les flèches reçues par chaque élément de l'arrivée : au plus une donne injective, au moins une donne surjective, exactement une donne bijective. Sur une formule, partez de f de a égale f de b pour l'injectivité, et résolvez f de x égale y pour la surjectivité.

La fonction carré est-elle injective ?

La question est incomplète telle quelle. De l'ensemble des réels vers les réels, le carré n'est ni injectif ni surjectif. Des réels positifs vers les réels, il devient injectif. Des réels vers les réels positifs, il devient surjectif. Des réels positifs vers les réels positifs, il est bijectif, et sa réciproque est la racine carrée. Une seule règle, quatre natures.

Quelle est la différence entre injective et surjective ?

Les deux parlent de l'ensemble d'arrivée, mais pas de la même chose. Injective interdit de recevoir deux flèches : deux éléments distincts du départ ne peuvent pas avoir la même image. Surjective interdit de n'en recevoir aucune : tout élément de l'arrivée doit avoir au moins un antécédent. Une fonction peut avoir l'une sans l'autre, les deux, ou aucune des deux.

Toute fonction a-t-elle une réciproque ?

Non. Seule une fonction bijective possède une fonction réciproque. Une fonction de hachage, par exemple, écrase plusieurs clés sur la même alvéole : on ne peut pas remonter de l'alvéole à la clé, et c'est pour cela qu'une table de hachage doit stocker la clé elle-même. L'image réciproque d'une partie, elle, se calcule pour toute fonction et rend un ensemble, parfois vide.

Comment montrer qu'une fonction est bijective ?

Deux chemins. Le premier fait les deux preuves séparées, l'injectivité puis la surjectivité, et conclut. Le second construit directement la réciproque en résolvant f de x égale y, puis vérifie les deux composées : la réciproque de f composée avec f donne l'identité, et f composée avec la réciproque aussi. Le second chemin est plus rapide dès que l'équation se résout.

Une bijection entre deux ensembles infinis est-elle possible ?

Oui, et c'est même la définition du même cardinal en infini. Les entiers naturels sont en bijection avec les entiers relatifs, en les énumérant zéro, moins un, un, moins deux, deux, et ainsi de suite. Un ensemble infini peut aussi être en bijection avec une de ses parties strictes, ce qui est impossible en fini.

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Exercices corrigés : Fonctions injectives, surjectives, bijectives

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

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© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/n11-fonctions-injectives-surjectives. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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