Exercice 1 : Appliquer un taux, calculer un taux

Bloc « Évolutions et variations », deux premières lignes du programme : appliquer un taux d'évolution pour calculer une valeur finale ou initiale ; calculer un taux d'évolution, l'exprimer en pourcentage.

Deux formules suffisent. Valeur finale $=$ valeur initiale $\times(1+t)$ , où $t$ est le taux en écriture décimale, négatif pour une baisse. Taux $t=\dfrac{V_{f}-V_{i}}{V_{i}}$ , on divise TOUJOURS par la valeur de départ. Sans calculatrice.

a) Un loyer de $850$ dollars augmente de $4\,\%$ . Quel est le nouveau loyer ?
b) Une voiture achetée $24\,000$ dollars perd $35\,\%$ de sa valeur en un an. Que vaut-elle au bout d'un an ?
c) Après une baisse de $15\,\%$ , un billet de train coûte $51$ dollars. Quel était son prix avant la baisse ?
d) Après une hausse de $150\,\%$ , un effectif vaut $45$ . Quel était l'effectif de départ ?
e) Une commune passe de $2\,400$ à $2\,700$ habitants. Quel est le taux d'évolution ?
f) Un prix passe de $75$ à $60$ dollars. Quel est le taux d'évolution ?
g) Une chaîne de vidéos passe de $8\,000$ à $20\,000$ abonnés. Quel est le taux d'évolution ?
h) La part des voitures électriques dans les ventes passe de $12\,\%$ à $18\,\%$ . Exprimez cette hausse en points, puis en pourcentage.

Voir la correction

Réponses

a) $884$ dollars
b) $15\,600$ dollars
c) $60$ dollars
d) $18$
e) $+12{,}5\,\%$
f) $-20\,\%$
g) $+150\,\%$
h) $+6$ points, soit une hausse de $50\,\%$

a) $850\times 1{,}04=884$ dollars. De tête : $1\,\%$ de $850$ vaut $8{,}5$ , donc $4\,\%$ valent $34$ , et $850+34=884$ . Réflexe : un seul produit par le coefficient donne directement la valeur d'arrivée. Piège : multiplier par $1{,}4$ , qui correspond à $+40\,\%$ ; $4\,\%$ s'écrit $0{,}04$ , avec le zéro des dixièmes.

b) Perdre $35\,\%$ , c'est garder $65\,\%$ : $24\,000\times 0{,}65=15\,600$ dollars. De tête : $10\,\%$ font $2\,400$ , donc $30\,\%$ font $7\,200$ et $5\,\%$ font $1\,200$ ; la perte vaut $8\,400$ et il reste $15\,600$ . Piège : rendre $8\,400$ , qui est la PERTE et non la valeur restante ; relire la question avant de conclure.

c) On cherche $V_{i}$ tel que $V_{i}\times 0{,}85=51$ , donc $V_{i}=\dfrac{51}{0{,}85}=60$ dollars. Contrôle : $15\,\%$ de $60$ font $9$ , et $60-9=51$ . Réflexe : pour remonter à la valeur de départ, on DIVISE par le coefficient. Piège : ajouter $15\,\%$ à $51$ , soit $58{,}65$ dollars ; les $15\,\%$ se calculaient sur le prix d'avant, pas sur celui d'après.

d) Une hausse de $150\,\%$ a pour coefficient $1+1{,}5=2{,}5$ . Donc $V_{i}=\dfrac{45}{2{,}5}=18$ . Contrôle : $18\times 2{,}5=45$ . Piège : prendre $1{,}5$ pour coefficient et trouver $30$ ; $1{,}5$ correspond à $+50\,\%$ . Au-delà de $100\,\%$ , le coefficient dépasse $2$ .

e) $t=\dfrac{2\,700-2\,400}{2\,400}=\dfrac{300}{2\,400}=\dfrac{1}{8}=0{,}125$ , soit $+12{,}5\,\%$ . Réflexe : on divise l'écart par la valeur de DÉPART. Piège : diviser par $2\,700$ et trouver environ $11\,\%$ . Les huitièmes, $12{,}5\,\%$ , $37{,}5\,\%$ , reviennent sans cesse : ils se connaissent par cœur.

f) $t=\dfrac{60-75}{75}=\dfrac{-15}{75}=-\dfrac{1}{5}=-20\,\%$ . Deux pièges : répondre $-15\,\%$ , l'écart en dollars pris pour un pourcentage, ou $-25\,\%$ , en divisant par $60$ , la valeur d'arrivée. Contrôle : $75\times 0{,}8=60$ .

g) $t=\dfrac{20\,000-8\,000}{8\,000}=\dfrac{12}{8}=1{,}5$ , soit $+150\,\%$ . Réflexe : le rapport $\dfrac{20\,000}{8\,000}=2{,}5$ est le COEFFICIENT, le taux vaut coefficient moins $1$ . Piège : annoncer $+250\,\%$ en confondant les deux.

h) De $12$ à $18$ , la part gagne $6$ POINTS de pourcentage : c'est une différence de deux pourcentages. Le taux d'évolution de cette part vaut $\dfrac{18-12}{12}=\dfrac{6}{12}=50\,\%$ . Réflexe : « points » pour une différence de taux, « pour cent » pour une évolution relative. Piège : écrire « la part augmente de $6\,\%$ », phrase fausse qui sous-estime la hausse d'un facteur huit.

Coche ici les exercices faits ou à revoir : un compte gratuit, sans mot de passe, retient tes coches d'une visite à l'autre et te dit quel chapitre attaquer ensuite. Crée ton espace, un courriel suffit.

Exercice 2 : Évolutions successives et taux réciproque

Suite du bloc « Évolutions et variations » : calculer le taux d'évolution équivalent à plusieurs évolutions successives ; calculer un taux d'évolution réciproque.

Deux règles. Des évolutions successives se composent en MULTIPLIANT leurs coefficients, jamais en additionnant leurs taux. L'évolution réciproque d'une évolution de coefficient $c$ , celle qui ramène à la valeur de départ, a pour coefficient $\dfrac{1}{c}$ .

a) Une hausse de $20\,\%$ suivie d'une hausse de $30\,\%$ : quel est le taux global ?
b) Une baisse de $40\,\%$ suivie d'une hausse de $50\,\%$ : quel est le taux global ?
c) Trois hausses successives de $10\,\%$ : quel est le taux global ?
d) Deux baisses successives de $50\,\%$ : quel est le taux global ?
e) Une hausse de $5\,\%$ suivie d'une baisse de $4\,\%$ : quel est le taux global ?
f) Quel est le taux réciproque d'une hausse de $60\,\%$ ?
g) Quel est le taux réciproque d'une baisse de $75\,\%$ ?
h) Deux hausses successives de même taux $t$ produisent une hausse globale de $21\,\%$ . Donnez $t$ .
i) Un indice augmente de $25\,\%$ , puis de $60\,\%$ . Quelle évolution unique le ramène à sa valeur de départ ?

Voir la correction

Réponses

a) $1{,}2\times 1{,}3=1{,}56$ : $+56\,\%$
b) $0{,}6\times 1{,}5=0{,}9$ : $-10\,\%$
c) $1{,}1^{3}=1{,}331$ : $+33{,}1\,\%$
d) $0{,}5^{2}=0{,}25$ : $-75\,\%$
e) $1{,}05\times 0{,}96=1{,}008$ : $+0{,}8\,\%$
f) $\dfrac{1}{1{,}6}=0{,}625$ : $-37{,}5\,\%$
g) $\dfrac{1}{0{,}25}=4$ : $+300\,\%$
h) $(1+t)^{2}=1{,}21$ , donc $t=10\,\%$
i) Coefficient global $2$ , réciproque $0{,}5$ : $-50\,\%$

a) $1{,}2\times 1{,}3=1{,}56$ , soit $+56\,\%$ . La seconde hausse s'applique à une valeur déjà augmentée : $30\,\%$ de $120$ font $36$ , pas $30$ . Piège : additionner les taux, $+50\,\%$ . Contrôle sur $100$ : $100\to 120\to 156$ .

b) $0{,}6\times 1{,}5=0{,}9$ , soit $-10\,\%$ . Sur $100$ : $100\to 60\to 90$ . Piège : $-40+50=+10$ et conclure à une HAUSSE ; la hausse de $50\,\%$ porte sur $60$ , elle ne rend que $30$ .

c) $1{,}1^{3}=1{,}21\times 1{,}1=1{,}331$ , soit $+33{,}1\,\%$ . De tête : $1{,}21+0{,}121=1{,}331$ . Piège : $+30\,\%$ ; chaque hausse porte sur une base plus grande, d'où le $3{,}1$ de plus, qui est l'effet des intérêts composés.

d) $0{,}5\times 0{,}5=0{,}25$ : il reste un quart, la baisse globale vaut $75\,\%$ . Piège : $-100\,\%$ , qui voudrait dire qu'il ne reste plus rien ; deux moitiés successives ne vident jamais le stock.

e) $1{,}05\times 0{,}96=1{,}008$ : on développe $1{,}05\times(1-0{,}04)=1{,}05-0{,}042=1{,}008$ , soit $+0{,}8\,\%$ . Piège : $+1\,\%$ , somme des taux ; l'écart est petit ici, mais il existe et il se chiffre.

f) Le coefficient réciproque vaut $\dfrac{1}{1{,}6}=\dfrac{10}{16}=\dfrac{5}{8}=0{,}625$ , soit une baisse de $37{,}5\,\%$ . Contrôle : $100\to 160\to 160\times 0{,}625=100$ . Piège : $-60\,\%$ ; $60\,\%$ de $160$ font $96$ , on tomberait à $64$ .

g) Coefficient de la baisse : $0{,}25$ ; réciproque : $\dfrac{1}{0{,}25}=4$ , soit $+300\,\%$ . Piège : $+75\,\%$ , ou même $+100\,\%$ . Après une baisse de $75\,\%$ il ne reste qu'un quart : il faut QUADRUPLER pour revenir, donc ajouter trois fois la valeur restante.

h) $(1+t)^{2}=1{,}21=1{,}1^{2}$ , et $1+t>0$ , donc $1+t=1{,}1$ et $t=10\,\%$ . Piège : diviser $21$ par $2$ et répondre $10{,}5\,\%$ ; contrôle, $1{,}105^{2}\approx 1{,}221$ , trop.

i) Coefficient global : $1{,}25\times 1{,}6=2$ , l'indice a doublé. Le réciproque vaut $\dfrac{1}{2}=0{,}5$ : une baisse de $50\,\%$ . Réflexe : composer d'abord, inverser ensuite. Piège : $-85\,\%$ , opposé de la somme des taux, qui ferait tomber l'indice à $30\,\%$ de sa valeur de départ.

Exercice 3 : Équation produit nul et signe du premier degré

Bloc « Calcul numérique et algébrique » : déterminer les solutions d'une équation produit nul ; déterminer le signe d'une expression du premier degré.

Deux réflexes. Un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul : on se RAMÈNE donc à un produit égal à zéro avant tout. Et $ax+b$ s'annule en $-\dfrac{b}{a}$ ; à droite de cette valeur, il a le signe de $a$ .

a) Résolvez $(2x-6)(x+5)=0$ .
b) Résolvez $x(4x+1)=0$ .
c) Résolvez $(5-x)(2x+7)=0$ .
d) Résolvez $x^{2}=7x$ .
e) Résolvez $(x+3)(2x-1)=2x-1$ .
f) Résolvez $(x-1)^{2}-9=0$ en factorisant.
g) Pour quelles valeurs de $x$ l'expression $-3x+12$ est-elle strictement positive ?
h) Pour quelles valeurs de $x$ l'expression $5x+2$ est-elle négative ou nulle ?
i) En quelle valeur l'expression $7-2x$ s'annule-t-elle ? Quel est son signe pour $x=10$ ?

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/16

a)

Plus petite solution

Plus grande solution

b)

Plus petite solution

Plus grande solution

c)

Plus petite solution

Plus grande solution

d)

Plus petite solution

Plus grande solution

e)

Plus petite solution

Plus grande solution

f)

Plus petite solution

Plus grande solution

g)

Ensemble ;

h)

Ensemble ;

i)

Valeur d'annulation

Signe pour

x=10

Voir la correction

Réponses

a) $x=-5$ ou $x=3$
b) $x=-\dfrac{1}{4}$ ou $x=0$
c) $x=-\dfrac{7}{2}$ ou $x=5$
d) $x=0$ ou $x=7$
e) $x=-2$ ou $x=\dfrac{1}{2}$
f) $(x-4)(x+2)=0$ : $x=-2$ ou $x=4$
g) $]-\infty\,;4[$
h) $]-\infty\,;-0{,}4]$
i) S'annule en $3{,}5$ ; négative pour $x=10$

a) $2x-6=0$ donne $x=3$ , $x+5=0$ donne $x=-5$ . Réflexe : un facteur, une équation du premier degré. Piège : écrire $x=5$ pour le second facteur ; $x+5$ s'annule en $-5$ . Contrôle : $(2\times 3-6)\times 8=0$ .

b) $x=0$ ou $4x+1=0$ , soit $x=-\dfrac{1}{4}$ . Piège : oublier la solution $x=0$ parce que le facteur $x$ « ne se voit pas » ; il vaut autant que l'autre.

c) $5-x=0$ donne $x=5$ , et $2x+7=0$ donne $x=-\dfrac{7}{2}=-3{,}5$ . Piège : $x=-5$ pour le premier facteur ; $5-x$ s'annule quand $x$ VAUT $5$ .

d) On passe tout du même côté : $x^{2}-7x=0$ , puis $x(x-7)=0$ , donc $x=0$ ou $x=7$ . Piège majeur : diviser les deux membres par $x$ et ne trouver que $7$ . On ne divise jamais par une expression qui peut être nulle : c'est ainsi qu'on perd une solution.

e) Même piège, plus caché. On ramène à zéro : $(x+3)(2x-1)-(2x-1)=0$ , puis on factorise par $(2x-1)$ : $(2x-1)\big((x+3)-1\big)=(2x-1)(x+2)=0$ . Donc $x=\dfrac{1}{2}$ ou $x=-2$ . Piège : « simplifier » par $2x-1$ et ne garder que $x+3=1$ , soit $x=-2$ ; la solution $\dfrac{1}{2}$ disparaît. Contrôle : pour $x=\dfrac{1}{2}$ , les deux membres valent $0$ .

f) $(x-1)^{2}-9=(x-1)^{2}-3^{2}=(x-1-3)(x-1+3)=(x-4)(x+2)$ , donc $x=4$ ou $x=-2$ . Réflexe : une différence de deux carrés se factorise par $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ . Piège : développer, ou écrire $x-1=3$ seulement et perdre $-2$ ; un carré égal à $9$ donne $3$ ET $-3$ .

g) $-3x+12>0$ équivaut à $-3x>-12$ , puis, en divisant par $-3$ NÉGATIF, à $x<4$ . Ensemble : $]-\infty\,;4[$ . Réflexe de contrôle : $a=-3<0$ , donc l'expression est positive à GAUCHE de sa racine $4$ . Piège : $]4\,;+\infty[$ , sens non renversé.

h) $5x+2$ s'annule en $-\dfrac{2}{5}=-0{,}4$ ; $a=5>0$ , donc elle est négative à gauche de $-0{,}4$ . Avec « ou nulle », la borne est incluse : $]-\infty\,;-0{,}4]$ . Piège : un crochet ouvert en $-0{,}4$ , qui perd la valeur où l'expression vaut exactement $0$ .

i) $7-2x=0$ pour $x=\dfrac{7}{2}=3{,}5$ . Pour $x=10$ : $7-20=-13<0$ , négative. Réflexe : le coefficient de $x$ est $-2<0$ , donc l'expression est négative à droite de sa racine. Piège : lire le signe sur le terme constant $7$ , positif, au lieu de celui du coefficient de $x$ .

Exercice 4 : Signe d'une expression factorisée du second degré

Même bloc : déterminer le signe d'une expression factorisée du second degré. L'expression est DÉJÀ factorisée : aucun calcul de racines n'est demandé, seulement un tableau de signes, une ligne par facteur, et la règle des signes d'un produit.

Le résultat à retenir, qui permet de contrôler chaque tableau : $a(x-x_{1})(x-x_{2})$ , avec $x_{1}<x_{2}$ , a le signe de $a$ à l'EXTÉRIEUR de ses racines et le signe contraire ENTRE elles. Les réponses s'écrivent sous forme d'intervalle.

a) Sur quel intervalle l'expression $(x-2)(x+3)$ est-elle strictement négative ?
b) Quel est l'ensemble des solutions de $(x-1)(x-6)\ge 0$ ?
c) Résolvez $-2(x-4)(x+1)\ge 0$ .
d) Résolvez $(3-x)(x+5)>0$ .
e) Résolvez $x(x-8)<0$ .
f) Combien de solutions ont les inéquations $(x-3)^{2}\le 0$ et $(x-3)^{2}<0$ ?
g) Résolvez $(2x-3)(x+1)<0$ .
h) Une entreprise produit $q$ centaines d'objets, $0\le q\le 100$ , et son bénéfice, en milliers de dollars, vaut $B(q)=-5(q-10)(q-70)$ . Pour quelles productions le bénéfice est-il positif ou nul ?
i) Vrai ou faux : $(x-5)(x+2)>0$ pour tout $x>-2$ .

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/10

a)

Intervalle ;

b)

Ensemble des solutions

c)

Ensemble ;

d)

Ensemble ;

e)

Ensemble ;

f)

Solutions de

(x-3)^{2}\le 0

Solutions de

(x-3)^{2}<0

g)

Ensemble ;

h)

Productions

q

;

i)

L'affirmation est

Voir la correction

Réponses

a) $]-3\,;2[$
b) $]-\infty\,;1]\cup[6\,;+\infty[$
c) $[-1\,;4]$
d) $]-5\,;3[$
e) $]0\,;8[$
f) Une solution, $x=3$ ; aucune
g) $]-1\,;\dfrac{3}{2}[$
h) $q\in[10\,;70]$
i) Fausse : pour $x=0$ , l'expression vaut $-10$

a) Racines $2$ et $-3$ , coefficient $a=1>0$ : l'expression est négative ENTRE les racines, $]-3\,;2[$ , bornes exclues car l'inégalité est stricte. Contrôle : pour $x=0$ , $(-2)\times 3=-6<0$ . Piège : écrire $]-2\,;3[$ en prenant les racines avec le mauvais signe ; $x+3$ s'annule en $-3$ .

b) Racines $1$ et $6$ , $a=1>0$ : positif à l'EXTÉRIEUR, bornes incluses, donc $]-\infty\,;1]\cup[6\,;+\infty[$ . Piège : répondre $[1\,;6]$ , l'intervalle où le produit est NÉGATIF. Contrôle : pour $x=0$ , $(-1)(-6)=6\ge 0$ , et $0$ est bien dans la réponse.

c) Le coefficient $-2$ est négatif : l'expression est positive ENTRE les racines $-1$ et $4$ . Réponse $[-1\,;4]$ . Contrôle : pour $x=0$ , $-2\times(-4)\times 1=8\ge 0$ . Piège : oublier le facteur $-2$ , le plus souvent recopié sans y penser, et répondre l'extérieur des racines.

d) $3-x$ n'est pas de la forme $x-x_{1}$ : $(3-x)(x+5)=-(x-3)(x+5)$ , de coefficient $-1$ . L'expression est donc positive entre les racines : $]-5\,;3[$ . Contrôle : pour $x=0$ , $3\times 5=15>0$ . Piège : lire « $a=1$ » en regardant seulement les $x$ des parenthèses.

e) Racines $0$ et $8$ , $a=1>0$ , négatif entre les racines : $]0\,;8[$ . Piège : oublier la racine $0$ portée par le facteur $x$ , et répondre $]-\infty\,;8[$ ; pour $x=-1$ , $(-1)(-9)=9>0$ .

f) Un carré est toujours positif ou nul, et nul seulement si la quantité élevée au carré l'est : $(x-3)^{2}\le 0$ n'a qu'une solution, $x=3$ , et $(x-3)^{2}<0$ n'en a aucune. Piège : faire un tableau à deux lignes identiques et croire l'expression négative « entre $3$ et $3$ ».

g) $2x-3$ s'annule en $\dfrac{3}{2}$ , $x+1$ en $-1$ . Le coefficient du produit est $2>0$ : négatif entre les racines, $]-1\,;\dfrac{3}{2}[$ . Piège : prendre $3$ pour racine de $2x-3$ ; on résout $2x-3=0$ , on ne lit pas le nombre dans la parenthèse.

h) $B(q)=-5(q-10)(q-70)$ a un coefficient négatif : positif ENTRE ses racines, donc pour $q\in[10\,;70]$ , soit entre $1\,000$ et $7\,000$ objets. Contrôle : $B(40)=-5\times 30\times(-30)=4\,500>0$ , et $B(0)=-3\,500<0$ . Piège : répondre l'extérieur, où l'entreprise perd de l'argent.

i) Fausse. Pour $x=0$ , qui est bien supérieur à $-2$ , $(0-5)(0+2)=-10<0$ . Le produit est négatif entre ses racines $-2$ et $5$ et positif seulement pour $x>5$ ou $x<-2$ . Réflexe : un contre-exemple chiffré règle la question. Piège : ne regarder qu'un seul facteur.

Exercice 5 : Développer, factoriser, réduire, et entretenir la Seconde

Fin du bloc « Calcul numérique et algébrique » : développer, factoriser, réduire une expression algébrique simple. Le programme ajoute que les automatismes de Seconde doivent être entretenus : les questions g) et h) en reprennent deux, puissances et fractions.

Avant de développer, regardez la forme : un facteur commun ou une identité remarquable économise souvent tout le calcul.

a) Développez et réduisez $(x+4)(2x-3)-2x^{2}$ sous la forme $ax+b$ : donnez $a$ et $b$ .
b) Développez et réduisez $3(x-2)^{2}-(x+1)(x-1)$ sous la forme $ax^{2}+bx+c$ : donnez $a$ , $b$ et $c$ .
c) Factorisez $(x+5)^{2}-16$ sous la forme $(x+p)(x+q)$ avec $p<q$ : donnez $p$ et $q$ .
d) Factorisez $(2x-1)(x+4)+(2x-1)(3-x)$ sous la forme $k(2x-1)$ : donnez $k$ .
e) Factorisez $9x^{2}-12x+4$ sous la forme $(ax+b)^{2}$ avec $a>0$ : donnez $a$ et $b$ .
f) Développez $(x-3)(x^{2}+3x+9)$ : donnez le coefficient de $x^{2}$ et le terme constant.
g) Écrivez $\dfrac{\left(2^{3}\right)^{4}\times 2^{-5}}{4^{3}}$ sous la forme $2^{n}$ : donnez $n$ .
h) Calculez $\dfrac{5}{6}-\dfrac{3}{4}\times\dfrac{2}{9}$ .
i) Vrai ou faux : pour tout nombre $x$ , $(x-2)^{2}-(x+2)^{2}=-8x$ .

Voir la correction

Réponses

a) $5x-12$ : $a=5$ , $b=-12$
b) $2x^{2}-12x+13$
c) $(x+1)(x+9)$ : $p=1$ , $q=9$
d) $7(2x-1)$ : $k=7$
e) $(3x-2)^{2}$ : $a=3$ , $b=-2$
f) $x^{3}-27$ : coefficient de $x^{2}$ nul, terme constant $-27$
g) $n=1$
h) $\dfrac{2}{3}$
i) Vraie

a) $(x+4)(2x-3)=2x^{2}-3x+8x-12=2x^{2}+5x-12$ , puis on retire $2x^{2}$ : $5x-12$ . Réflexe : développer entièrement AVANT de réduire. Piège : $-3x+8x=-5x$ , erreur de signe dans la réduction. Contrôle avec $x=1$ : $5\times(-1)-2=-7$ et $5-12=-7$ .

b) $3(x-2)^{2}=3(x^{2}-4x+4)=3x^{2}-12x+12$ et $(x+1)(x-1)=x^{2}-1$ . La différence vaut $3x^{2}-12x+12-x^{2}+1=2x^{2}-12x+13$ . Deux pièges : multiplier par $3$ avant d'élever au carré, $(3x-6)^{2}$ , et oublier que le signe moins devant $(x^{2}-1)$ change $-1$ en $+1$ . Contrôle avec $x=0$ : $3\times 4-(-1)=13$ .

c) C'est $A^{2}-B^{2}$ avec $A=x+5$ et $B=4$ : $(x+5-4)(x+5+4)=(x+1)(x+9)$ , donc $p=1$ et $q=9$ . Réflexe : reconnaître la différence de deux carrés AVANT de développer. Contrôle avec $x=0$ : $25-16=9$ et $1\times 9=9$ .

d) Le facteur commun est $(2x-1)$ : $(2x-1)\big[(x+4)+(3-x)\big]=(2x-1)\times 7$ , donc $k=7$ . Les $x$ du crochet s'annulent, et l'expression, qui avait l'air du second degré, est du premier. Piège : développer les deux produits, ce qui marche mais coûte trois lignes et deux occasions d'erreur.

e) $9x^{2}=(3x)^{2}$ , $4=2^{2}$ et $12x=2\times 3x\times 2$ : c'est $(3x-2)^{2}$ , donc $a=3$ et $b=-2$ . Réflexe : vérifier le double produit avant de conclure. Piège : $(3x+2)^{2}$ , qui redonne $+12x$ , ou $(9x-4)^{2}$ , sans prendre les racines carrées.

f) $x\times(x^{2}+3x+9)=x^{3}+3x^{2}+9x$ et $-3\times(x^{2}+3x+9)=-3x^{2}-9x-27$ . Tout se compense sauf deux termes : $x^{3}-27$ . Le coefficient de $x^{2}$ est $0$ , le terme constant $-27$ . Piège : oublier un des six produits ; on en compte $2\times 3=6$ avant de réduire.

g) $(2^{3})^{4}=2^{12}$ , puis $2^{12}\times 2^{-5}=2^{7}$ , et $4^{3}=(2^{2})^{3}=2^{6}$ : $\dfrac{2^{7}}{2^{6}}=2^{1}$ , donc $n=1$ . Réflexe : tout réécrire dans la MÊME base avant d'appliquer les règles. Piège : diviser par $2^{3}$ en recopiant l'exposant de $4^{3}$ .

h) La multiplication passe avant la soustraction : $\dfrac{3}{4}\times\dfrac{2}{9}=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}$ , puis $\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$ . Piège : calculer d'abord $\dfrac{5}{6}-\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{12}$ , puis $\dfrac{1}{12}\times\dfrac{2}{9}=\dfrac{1}{54}$ ; priorités non respectées.

i) Vraie. $(x-2)^{2}=x^{2}-4x+4$ et $(x+2)^{2}=x^{2}+4x+4$ : la différence vaut $-8x$ . Autre voie, plus rapide : $A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B)=(-4)(2x)=-8x$ . Contrôle avec $x=1$ : $1-9=-8$ . Piège : $(x-2)^{2}=x^{2}-4$ , double produit oublié, qui ferait croire à une différence nulle.

Exercice 6 : Résoudre graphiquement, lire un signe et des variations

Bloc « Fonctions et représentations » : résoudre graphiquement une équation ou une inéquation du type $f(x)=k$ , $f(x)<k$ ; déterminer graphiquement le signe d'une fonction ou son tableau de variations.

La courbe $\mathcal{C}_{f}$ ci-dessous représente une fonction $f$ définie sur $[-3\,;2]$ ; ses deux extrémités sont marquées d'un point. Tout se lit sur le graphique, et les points utiles tombent sur des nœuds du quadrillage.

a) Résolvez graphiquement $f(x)=1$ .
b) Combien de solutions l'équation $f(x)=0{,}5$ a-t-elle ?
c) Résolvez graphiquement $f(x)=0$ .
d) Résolvez graphiquement $f(x)<0$ .
e) Résolvez graphiquement $f(x)\ge 0$ .
f) Quel est l'ensemble des solutions de $f(x)>1$ ?
g) Sur quel intervalle $f$ est-elle décroissante ?
h) Donnez le maximum et le minimum de $f$ sur $[-3\,;2]$ .
i) Vrai ou faux : sur $[-3\,;2]$ , $f(x)\le 1$ équivaut à $x\le -1$ .

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/12

a)

Plus petite solution

Plus grande solution

b)

Nombre de solutions

c)

Plus petite solution

Plus grande solution

d)

Ensemble ;

e)

Ensemble ;

f)

Ensemble

g)

Intervalle ;

h)

Maximum

Minimum

i)

L'affirmation est

Voir la correction

Réponses

a) $x=-1$ ou $x=2$
b) Trois solutions
c) $x=-2$ ou $x=1$
d) $[-3\,;-2[$
e) $[-2\,;2]$
f) L'ensemble vide
g) $[-1\,;1]$
h) Maximum $1$ , atteint en $-1$ et en $2$ ; minimum $-4$ , atteint en $-3$
i) Fausse : $f(x)\le 1$ pour TOUT $x$ de $[-3\,;2]$

a) On trace la droite horizontale $y=1$ et on lit les abscisses des points où elle rencontre la courbe : $-1$ , au sommet de la bosse, et $2$ , à l'extrémité droite. Réflexe : une solution d'équation se lit sur l'axe des ABSCISSES. Piège : ne voir que le sommet et oublier l'extrémité, où la courbe remonte exactement jusqu'à $1$ .

b) La droite $y=0{,}5$ coupe la courbe trois fois : une fois sur la montée de $-3$ à $-1$ , une fois sur la descente de $-1$ à $1$ (en $x=0$ ), une fois sur la remontée de $1$ à $2$ . Réflexe : compter les solutions portion par portion, en s'appuyant sur les variations. Piège : s'arrêter à la première intersection trouvée.

c) La courbe touche l'axe des abscisses en $-2$ , où elle le TRAVERSE, et en $1$ , où elle le touche sans le traverser. Les solutions sont $-2$ et $1$ . Piège : oublier $1$ , parce que la courbe y rebondit au lieu de changer de côté.

d) $f(x)<0$ : on cherche les abscisses des points de la courbe situés strictement SOUS l'axe des abscisses. C'est le seul morceau de $-3$ à $-2$ , $-2$ exclu puisque $f(-2)=0$ : $[-3\,;-2[$ . La borne $-3$ est incluse car $f(-3)=-4<0$ . Piège : ajouter un voisinage de $1$ , où la courbe touche l'axe mais ne passe jamais dessous.

e) C'est le complémentaire de d) dans l'ensemble de définition : $[-2\,;2]$ . Le point $1$ , où $f$ s'annule, est inclus, ce qui évite d'écrire une réunion inutile. Réflexe : un tableau de signes se contrôle en vérifiant que les deux réponses d) et e) recouvrent exactement $[-3\,;2]$ .

f) La courbe ne monte jamais au-dessus de $y=1$ : sa plus grande ordonnée est $1$ , atteinte deux fois. L'inéquation stricte $f(x)>1$ n'a donc AUCUNE solution, l'ensemble est vide. Piège : répondre $\{-1\,;2\}$ , qui sont les solutions de $f(x)=1$ , pas de $f(x)>1$ .

g) En parcourant la courbe de gauche à droite, elle monte de $-3$ à $-1$ , descend de $-1$ à $1$ , remonte de $1$ à $2$ . Décroissante sur $[-1\,;1]$ . Réflexe : un intervalle de variation se donne en ABSCISSES. Piège : répondre $[0\,;1]$ , l'intervalle des ordonnées parcourues pendant la descente.

h) La plus haute ordonnée est $1$ , atteinte en $-1$ et en $2$ ; la plus basse est $-4$ , atteinte à l'extrémité gauche, en $-3$ . Piège : prendre le « creux » $f(1)=0$ pour le minimum ; c'est un minimum LOCAL seulement, l'extrémité descend bien plus bas.

i) Fausse. D'après h), le maximum de $f$ vaut $1$ : $f(x)\le 1$ est vraie pour TOUS les $x$ de $[-3\,;2]$ , pas seulement pour $x\le -1$ . Contre-exemple : $x=0$ , où $f(0)=0{,}5\le 1$ alors que $0>-1$ . Piège : lire la courbe sur la seule montée, en oubliant ce qui se passe après le sommet.

Exercice 7 : Droites : équation réduite et coefficient directeur

Suite du bloc « Fonctions et représentations » : tracer une droite donnée par son équation réduite ou par un point et son coefficient directeur ; lire graphiquement l'équation réduite d'une droite ; déterminer le coefficient directeur d'une droite à partir des coordonnées de deux de ses points.

Le repère ci-dessous est orthonormé. Le coefficient directeur $m=\dfrac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}$ se lit aussi sur le quadrillage : quand on avance d'une unité vers la droite, la droite monte de $m$ (ou descend, si $m<0$ ). L'ordonnée à l'origine $p$ se lit sur l'axe des ordonnées.

a) Lisez l'équation réduite $y=mx+p$ de la droite $d_{1}$ : donnez $m$ et $p$ .
b) Lisez l'équation réduite de la droite $d_{2}$ : donnez $m$ et $p$ .
c) Le point $M(6\,;-1)$ appartient-il à $d_{2}$ ? Le point $N(4\,;3)$ appartient-il à $d_{1}$ ?
d) Calculez le coefficient directeur de la droite $(AB)$ , avec $A(-1\,;4)$ et $B(3\,;-2)$ .
e) On donne $C(2\,;5)$ et $D(2\,;-1)$ . Quelle est l'équation de la droite $(CD)$ ?
f) Donnez l'équation réduite de la droite qui passe par $E(-2\,;1)$ et $F(4\,;4)$ .
g) On veut tracer la droite qui passe par $G(3\,;-2)$ et a pour coefficient directeur $-\dfrac{1}{2}$ . Donnez l'ordonnée de son point $H$ d'abscisse $5$ , puis son ordonnée à l'origine.
h) Donnez l'ordonnée à l'origine de la droite parallèle à $d_{1}$ qui passe par $K(2\,;-1)$ .
i) Dans un autre repère, un carreau vaut $2$ unités sur l'axe des abscisses et $1$ unité sur l'axe des ordonnées. Une droite monte d'un carreau chaque fois qu'on avance d'un carreau. Quel est son coefficient directeur ?

Voir la correction

Réponses

a) $d_{1}$ : $y=1{,}5x-2$
b) $d_{2}$ : $y=-\dfrac{2}{3}x+3$
c) $M\in d_{2}$ ; $N\notin d_{1}$
d) $m=-\dfrac{3}{2}$
e) $x=2$ : droite parallèle à l'axe des ordonnées, sans coefficient directeur
f) $y=0{,}5x+2$
g) $H(5\,;-3)$ ; ordonnée à l'origine $-0{,}5$
h) $p=-4$
i) $m=0{,}5$

a) $d_{1}$ coupe l'axe des ordonnées en $-2$ : $p=-2$ . Elle passe par $(0\,;-2)$ et $(2\,;1)$ : quand on avance de $2$ , elle monte de $3$ , donc $m=\dfrac{3}{2}=1{,}5$ . Réflexe : choisir deux points sur des NŒUDS du quadrillage, jamais un point estimé. Piège : lire « monte de $3$ » et répondre $m=3$ , sans diviser par l'avancée.

b) $d_{2}$ coupe l'axe des ordonnées en $3$ : $p=3$ . De $(0\,;3)$ à $(3\,;1)$ , elle descend de $2$ quand on avance de $3$ : $m=-\dfrac{2}{3}$ . Piège : oublier le signe ; une droite qui DESCEND de gauche à droite a un coefficient directeur négatif.

c) Pour $M$ : $-\dfrac{2}{3}\times 6+3=-4+3=-1$ , c'est bien l'ordonnée de $M$ , donc $M\in d_{2}$ . Pour $N$ : $1{,}5\times 4-2=4\neq 3$ , donc $N\notin d_{1}$ . Réflexe : un point appartient à une droite si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation ; le calcul tranche là où l'œil hésite.

d) $m=\dfrac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}=\dfrac{-2-4}{3-(-1)}=\dfrac{-6}{4}=-\dfrac{3}{2}$ . Réflexe : le même point en premier en haut ET en bas. Piège : $\dfrac{-6}{2}=-3$ , en calculant $3-1$ au lieu de $3-(-1)$ .

e) $C$ et $D$ ont la même abscisse $2$ : la droite $(CD)$ est parallèle à l'axe des ordonnées, son équation est $x=2$ . Elle n'a PAS de coefficient directeur : la formule divise par $x_{D}-x_{C}=0$ . Piège : $y=2$ , la droite horizontale, ou une équation $y=mx+p$ inventée.

f) $m=\dfrac{4-1}{4-(-2)}=\dfrac{3}{6}=0{,}5$ . Puis $p$ en écrivant que $E$ est sur la droite : $1=0{,}5\times(-2)+p$ , donc $p=2$ . Équation $y=0{,}5x+2$ . Contrôle avec $F$ : $0{,}5\times 4+2=4$ .

g) Coefficient $-\dfrac{1}{2}$ : quand on avance de $2$ , on descend de $1$ . De $G(3\,;-2)$ , on arrive à $H(5\,;-3)$ . Pour l'ordonnée à l'origine, on recule de $3$ depuis $G$ , on remonte de $1{,}5$ : $p=-2+1{,}5=-0{,}5$ . On trace la droite par $G$ et $H$ , figure du corrigé. Piège : monter au lieu de descendre, et arriver en $(5\,;-1)$ .

h) Deux droites parallèles ont le même coefficient directeur, ici $1{,}5$ . Avec $K$ : $-1=1{,}5\times 2+p$ , donc $p=-1-3=-4$ . Piège : garder aussi l'ordonnée à l'origine $-2$ de $d_{1}$ , ce qui redonne $d_{1}$ elle-même, qui ne passe pas par $K$ .

i) Un carreau horizontal vaut $2$ unités, un carreau vertical $1$ : la droite monte de $1$ quand on avance de $2$ , donc $m=\dfrac{1}{2}=0{,}5$ . Réflexe : lire les UNITÉS de graduation avant de compter des carreaux. Piège : $m=1$ , parce que la droite « a l'air » de faire un angle de $45^{\circ}$ sur le papier.

Exercice 8 : Lire un histogramme : échelle, origine, passage aux données

Bloc « Statistiques » : lire un graphique, un histogramme, un diagramme en barres ou circulaire, en repérant l'origine du repère, les unités de graduation ou les échelles ; passer du graphique aux données et inversement ; calculer et interpréter des indicateurs.

L'histogramme ci-dessous donne la répartition par âge des $200$ adhérents d'un club de randonnée. Les classes ont toutes une amplitude de $10$ ans, donc la hauteur de chaque rectangle donne l'effectif de la classe. Première chose à faire : lire la graduation de l'axe vertical.

a) Quelle valeur représente une petite graduation de l'axe vertical ?
b) Lisez l'effectif de la classe $[30\,;40[$ , puis celui de la classe $[40\,;50[$ .
c) Lisez l'effectif de la classe $[10\,;20[$ , puis vérifiez que l'effectif total vaut bien $200$ .
d) Quel pourcentage des adhérents a moins de $30$ ans ?
e) Quelle est la classe modale ?
f) Dans quelle classe se trouve la médiane des âges ?
g) Quel pourcentage des adhérents a $50$ ans ou plus ?
h) On représente les mêmes données par un diagramme circulaire. Quel angle faut-il donner au secteur de la classe $[40\,;50[$ ?
i) Le club est passé de $300$ adhérents en 2024 à $330$ en 2025. Un diagramme en barres dont l'axe vertical COMMENCE à $270$ montre une barre 2025 deux fois plus haute que la barre 2024. Quel est le rapport des hauteurs, et quel est le vrai taux d'évolution ?

Voir la correction

Réponses

a) $4$ adhérents
b) $52$ et $40$
c) $12$ ; total $12+28+52+40+44+24=200$
d) $20\,\%$
e) $[30\,;40[$
f) $[40\,;50[$
g) $34\,\%$
h) $72^{\circ}$
i) Rapport des hauteurs $2$ , mais hausse réelle de $10\,\%$

a) Entre deux graduations étiquetées, $0$ et $8$ par exemple, il y a DEUX intervalles : chaque petite graduation vaut $\dfrac{8}{2}=4$ adhérents. Réflexe : compter les intervalles entre deux valeurs écrites avant toute lecture. Piège : croire qu'une graduation vaut $1$ , ou $8$ , et fausser toutes les lectures qui suivent.

b) Le rectangle de $[30\,;40[$ monte à une graduation au-dessus de $48$ : $52$ . Celui de $[40\,;50[$ arrive exactement sur $40$ . Piège : lire la classe voisine ; on repère la classe par ses DEUX bornes sur l'axe horizontal, pas par la graduation la plus proche.

c) Le rectangle de $[10\,;20[$ s'arrête une graduation au-dessus de $8$ : $12$ . Les six effectifs sont $12$ , $28$ , $52$ , $40$ , $44$ et $24$ , de somme $200$ . Réflexe : la somme des effectifs lus contrôle toute la lecture ; un écart signale une graduation mal comptée.

d) Moins de $30$ ans : les classes $[10\,;20[$ et $[20\,;30[$ , soit $12+28=40$ adhérents, $\dfrac{40}{200}=20\,\%$ . Piège : oublier la première classe, ou diviser par le nombre de classes au lieu de l'effectif total.

e) La classe modale est celle du plus grand effectif, le plus haut rectangle : $[30\,;40[$ , avec $52$ adhérents. Ici les classes ont la même amplitude, donc la plus haute est bien la plus peuplée.

f) La médiane sépare les $200$ âges rangés en deux moitiés de $100$ : elle se trouve entre la $100^{\text{e}}$ et la $101^{\text{e}}$ valeur. Effectifs cumulés : $12$ , $40$ , $92$ , puis $132$ . La $100^{\text{e}}$ valeur est dans $[40\,;50[$ . Piège : répondre la classe modale ; le mode et la médiane ne coïncident pas ici, c'est tout l'intérêt de la question.

g) $50$ ans ou plus : $44+24=68$ adhérents, $\dfrac{68}{200}=\dfrac{34}{100}=34\,\%$ . Réflexe : sur un total de $200$ , un effectif divisé par $2$ donne directement le pourcentage.

h) Passer des données au graphique : angle $=\dfrac{\text{effectif}}{\text{total}}\times 360=\dfrac{40}{200}\times 360=0{,}2\times 360=72^{\circ}$ . Contrôle : $20\,\%$ du disque, un peu moins d'un quart. Piège : répondre $40^{\circ}$ en prenant l'effectif pour un angle.

i) Les barres partent de $270$ : la barre 2024 mesure $300-270=30$ et la barre 2025 $330-270=60$ , deux fois plus. Mais le vrai taux vaut $\dfrac{330-300}{300}=10\,\%$ . Réflexe : REPÉRER L'ORIGINE de l'axe avant de comparer des hauteurs ; un axe tronqué grossit les écarts. Piège : lire « le nombre d'adhérents a doublé ».

Exercice 9 : Deux boîtes à moustaches à lire l'une contre l'autre

Suite du bloc « Statistiques » : lire un diagramme en boîte ; calculer et interpréter des indicateurs statistiques pour une série. Ici, on ne lit pas deux boîtes l'une APRÈS l'autre, on les lit l'une CONTRE l'autre : un quartile d'une série se situe par rapport à la boîte de l'autre.

Les boîtes à moustaches ci-dessous résument les masses, en grammes, des pommes récoltées dans deux vergers. Les moustaches vont du minimum au maximum ; l'axe est gradué de $5$ en $5$ .

a) Lisez le premier quartile, la médiane et le troisième quartile du verger A.
b) Donnez l'étendue et l'écart interquartile de chacun des deux vergers.
c) Quel verger est le plus dispersé ?
d) Au moins quel pourcentage des pommes du verger B pèse plus que la médiane du verger A ?
e) Au plus quel pourcentage des pommes du verger A pèse plus de $195$ g ?
f) Vrai ou faux : « la pomme la plus lourde vient du verger A, donc les pommes de A sont en général plus lourdes ».
g) Un troisième verger fournit huit pommes, de masses $148$ ; $152$ ; $160$ ; $163$ ; $171$ ; $178$ ; $185$ ; $199$ g. Donnez sa médiane, son premier et son troisième quartile.
h) Calculez la masse moyenne de ces huit pommes.
i) Quel serait l'écart interquartile de ce troisième verger ? Sa boîte serait-elle plus large ou plus étroite que celle du verger A ?

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/17

a)

Q_{1}

g

Médiane g

Q_{3}

g

b)

Étendue de A g

Écart interquartile de A g

Étendue de B g

Écart interquartile de B g

c)

Le plus dispersé

d)

Au moins %

e)

Au plus %

f)

L'affirmation est

g)

Médiane g

Q_{1}

g

Q_{3}

g

h)

Moyenne g

i)

Écart interquartile g

Sa boîte serait

Voir la correction

Réponses

a) $Q_{1}=150$ , $\text{Me}=165$ , $Q_{3}=180$ g
b) A : étendue $110$ , écart interquartile $30$ ; B : étendue $70$ , écart interquartile $35$
c) A selon l'étendue, B selon l'écart interquartile
d) Au moins $50\,\%$
e) Au plus $25\,\%$
f) Fausse : la médiane de B, $175$ g, dépasse celle de A, $165$ g
g) $\text{Me}=167$ , $Q_{1}=152$ , $Q_{3}=178$ g
h) $169{,}5$ g
i) $26$ g : boîte plus étroite que celle de A ( $30$ g)

a) Bord gauche de la boîte, trait intérieur, bord droit : $Q_{1}=150$ , $\text{Me}=165$ et $Q_{3}=180$ g. Réflexe : l'axe est gradué de $5$ en $5$ , étiqueté de $20$ en $20$ ; on compte les petites graduations à partir de la valeur écrite la plus proche. Piège : prendre le bout d'une moustache pour un quartile.

b) A : étendue $230-120=110$ g, écart interquartile $180-150=30$ g. B : étendue $210-140=70$ g, écart interquartile $195-160=35$ g. Réflexe : l'étendue se lit entre les bouts des moustaches, l'écart interquartile est la LARGEUR DE LA BOÎTE.

c) Les deux indicateurs ne disent pas la même chose. L'étendue désigne A, $110$ contre $70$ , parce que A a des pommes extrêmes, une très petite et une très grosse. L'écart interquartile désigne B, $35$ contre $30$ : la moitié centrale de B est plus étalée. Réflexe : toujours dire SELON QUEL INDICATEUR on compare. Piège : trancher sur la seule longueur totale du dessin.

d) La médiane de A vaut $165$ g. Dans B, la médiane vaut $175$ g : au moins la moitié des pommes de B pèse $175$ g ou plus, donc plus de $165$ g. Réponse : au moins $50\,\%$ . Piège : répondre $75\,\%$ en voyant que $165$ dépasse $Q_{1}$ de B ; au-dessus de $Q_{1}$ il y a au moins $75\,\%$ des valeurs, mais $165$ n'est PAS $Q_{1}$ , elle est au-dessus.

e) $195$ g dépasse $Q_{3}$ de A, $180$ g. Au moins $75\,\%$ des pommes de A pèsent $180$ g ou moins, donc au plus $25\,\%$ pèsent plus de $180$ g, et a fortiori plus de $195$ g. Réponse : au plus $25\,\%$ . Piège : chercher une valeur exacte ; une boîte ne donne que des bornes.

f) Fausse. Le maximum est une seule pomme ; la position « en général » se lit sur la médiane, $175$ g pour B contre $165$ g pour A, et même sur les quartiles, tous plus grands pour B. Réflexe : la médiane résiste aux valeurs extrêmes, le maximum en est une.

g) Huit valeurs rangées. Médiane : moyenne des $4^{\text{e}}$ et $5^{\text{e}}$ , $\dfrac{163+171}{2}=167$ g. $Q_{1}$ : $\dfrac{8}{4}=2$ , donc la $2^{\text{e}}$ valeur, $152$ g. $Q_{3}$ : $\dfrac{3\times 8}{4}=6$ , donc la $6^{\text{e}}$ valeur, $178$ g. Piège : prendre la moyenne de deux valeurs pour $Q_{1}$ comme pour la médiane ; au lycée, un quartile est une valeur DE la série.

h) De tête, par les écarts à $170$ : $-22$ , $-18$ , $-10$ , $-7$ , $+1$ , $+8$ , $+15$ , $+29$ , de somme $-4$ . La moyenne vaut $170-\dfrac{4}{8}=169{,}5$ g. Contrôle : la somme des masses vaut $1\,356$ , et $\dfrac{1\,356}{8}=169{,}5$ . Réflexe : une valeur de référence ronde rend le calcul mental.

i) Écart interquartile : $178-152=26$ g, plus petit que les $30$ g du verger A : la boîte serait plus ÉTROITE. C'est le passage des données au graphique : on dessinerait la boîte de $152$ à $178$ , le trait médian en $167$ , les moustaches de $148$ à $199$ .

Exercice 10 : Probabilités conditionnelles : tableau croisé et arbre pondéré

Bloc « Probabilités » : calculer des probabilités conditionnelles lorsque les évènements sont présentés sous forme de tableau croisé d'effectifs ou d'arbre pondéré ; distinguer $P(A\cap B)$ , $P_{A}(B)$ et $P_{B}(A)$ . Toute la difficulté tient dans une question : dans QUELLE population compte-t-on ?

Questions a) à c). Le tableau donne la répartition des $200$ élèves d'un lycée selon qu'ils sont internes ( $I$ ) ou non, et inscrits ou non dans un club sportif ( $C$ ). On choisit un élève au hasard.

Questions d) à i). Dans une médiathèque, $60\,\%$ des emprunteurs sont des adultes ( $A$ ). La moitié des adultes empruntent au moins un livre numérique ( $N$ ), contre un quart des mineurs. On choisit un emprunteur au hasard ; l'arbre pondéré résume la situation, une pondération est à compléter.

	Club sportif (C)	Pas de club	Total
Interne (I)	24	16	40
Externe	56	104	160
Total	80	120	200

a) Calculez $P(I\cap C)$ , $P_{I}(C)$ et $P_{C}(I)$ .
b) La phrase « $30\,\%$ des élèves inscrits en club sont internes » donne laquelle de ces trois probabilités ?
c) Calculez $P_{\overline{I}}(C)$ . Les évènements $I$ et $C$ sont-ils indépendants ?
d) Quelle pondération manque sur l'arbre ?
e) Calculez $P(A\cap N)$ .
f) Calculez $P(N)$ .
g) L'emprunteur choisi a emprunté un livre numérique. Quelle est la probabilité que ce soit un adulte ?
h) La phrase « un emprunteur de livre numérique sur quatre est mineur » donne quelle probabilité ?
i) Vrai ou faux : $P_{A}(N)=P_{N}(A)$ .

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/12

a)

P(I\cap C)

P_{I}(C)

P_{C}(I)

b)

Probabilité

c)

P_{\overline{I}}(C)

Indépendants ?

d)

Pondération

e)

P(A\cap N)

f)

P(N)

g)

P_{N}(A)

h)

Probabilité

i)

L'égalité est

Voir la correction

Réponses

a) $P(I\cap C)=0{,}12$ ; $P_{I}(C)=0{,}6$ ; $P_{C}(I)=0{,}3$
b) $P_{C}(I)=0{,}3$
c) $P_{\overline{I}}(C)=0{,}35$ ; non indépendants, car $P_{I}(C)=0{,}6\neq P(C)=0{,}4$
d) $P_{\overline{A}}(\overline{N})=0{,}75$
e) $P(A\cap N)=0{,}3$
f) $P(N)=0{,}3+0{,}1=0{,}4$
g) $P_{N}(A)=\dfrac{0{,}3}{0{,}4}=0{,}75$
h) $P_{N}(\overline{A})=0{,}25$
i) Fausse : $0{,}5\neq 0{,}75$

a) $P(I\cap C)$ compte les internes inscrits en club parmi TOUS les élèves : $\dfrac{24}{200}=0{,}12$ . $P_{I}(C)$ compte parmi les internes seulement : $\dfrac{24}{40}=0{,}6$ . $P_{C}(I)$ compte parmi les inscrits en club : $\dfrac{24}{80}=0{,}3$ . Même numérateur, trois dénominateurs : c'est toute la leçon. Réflexe : l'évènement placé EN INDICE désigne la ligne ou la colonne dont on prend le total.

b) « Des élèves inscrits en club » désigne la population de référence, la colonne $C$ ; « sont internes » désigne ce qu'on y compte. C'est $P_{C}(I)=0{,}3$ . Piège : $P_{I}(C)$ , qui répond à une autre question, « quelle part des internes est en club ? », et vaut $0{,}6$ .

c) Parmi les $160$ externes, $56$ sont en club : $P_{\overline{I}}(C)=\dfrac{56}{160}=0{,}35$ . Or $P(C)=\dfrac{80}{200}=0{,}4$ et $P_{I}(C)=0{,}6\neq 0{,}4$ : savoir qu'un élève est interne change la probabilité qu'il soit en club, $I$ et $C$ ne sont PAS indépendants. Contrôle : $P(I)\times P(C)=0{,}2\times 0{,}4=0{,}08\neq 0{,}12$ .

d) Les branches issues d'un même nœud portent des probabilités de somme $1$ : $P_{\overline{A}}(\overline{N})=1-0{,}25=0{,}75$ . Piège : compléter à partir de la branche $0{,}4$ qui mène au nœud, ou écrire $0{,}25$ par symétrie avec le haut de l'arbre.

e) On multiplie le long du chemin : $P(A\cap N)=P(A)\times P_{A}(N)=0{,}6\times 0{,}5=0{,}3$ . Piège : répondre $0{,}5$ , la pondération de la branche ; elle est une probabilité CONDITIONNELLE, pas celle de l'intersection.

f) Deux chemins mènent à $N$ : $0{,}6\times 0{,}5=0{,}3$ et $0{,}4\times 0{,}25=0{,}1$ . On les additionne : $P(N)=0{,}4$ . Réflexe : repérer TOUS les chemins qui aboutissent à l'évènement. Piège : $0{,}5+0{,}25=0{,}75$ , somme de deux conditionnelles prises dans des populations différentes.

g) On inverse le conditionnement : $P_{N}(A)=\dfrac{P(A\cap N)}{P(N)}=\dfrac{0{,}3}{0{,}4}=0{,}75$ . Sur $100$ emprunteurs : $40$ empruntent du numérique, dont $30$ adultes, soit trois sur quatre. Piège : répondre $0{,}5$ , qui est $P_{A}(N)$ , lue telle quelle sur l'arbre.

h) « Parmi les emprunteurs de livre numérique » est la population de référence, $N$ ; « sont mineurs » ce qu'on compte, $\overline{A}$ . C'est $P_{N}(\overline{A})=\dfrac{0{,}1}{0{,}4}=0{,}25$ , et l'on vérifie $0{,}75+0{,}25=1$ . Piège : $P_{\overline{A}}(N)$ , qui vaut aussi $0{,}25$ ici par coïncidence ; les nombres ne départagent pas, seule la phrase le fait.

i) Fausse : $P_{A}(N)=0{,}5$ , lu sur l'arbre, et $P_{N}(A)=0{,}75$ , calculé en g). Ce qui est vrai, c'est $P(A\cap N)=P(N\cap A)$ : l'intersection est symétrique, le conditionnement ne l'est pas. Contrôle : $P(A)\times P_{A}(N)=0{,}3=P(N)\times P_{N}(A)$ .

Automatismes de Première : questions flash corrigées pour l'épreuve anticipée

Rappel de cours

Partie A : évolutions et calcul (/50)

Exercice 1 : Appliquer un taux, calculer un taux

Exercice 2 : Évolutions successives et taux réciproque

Exercice 3 : Équation produit nul et signe du premier degré

Exercice 4 : Signe d'une expression factorisée du second degré

Exercice 5 : Développer, factoriser, réduire, et entretenir la Seconde

Partie B : fonctions, statistiques, probabilités (/50)

Exercice 6 : Résoudre graphiquement, lire un signe et des variations

Exercice 7 : Droites : équation réduite et coefficient directeur

Exercice 8 : Lire un histogramme : échelle, origine, passage aux données

Exercice 9 : Deux boîtes à moustaches à lire l'une contre l'autre

Exercice 10 : Probabilités conditionnelles : tableau croisé et arbre pondéré

Voir aussi

Les automatismes coûtent des points en Première à Montréal ?