Automatismes de Première : questions flash corrigées pour l'épreuve anticipée

$850\times 1{,}04=884$ dollars. De tête : $1\,\%$ de $850$ vaut $8{,}5$, donc $4\,\%$ valent $34$, et $850+34=884$. Réflexe : un seul produit par le coefficient donne directement la valeur d'arrivée. Piège : multiplier par $1{,}4$, qui correspond à $+40\,\%$ ; $4\,\%$ s'écrit $0{,}04$, avec le zéro des dixièmes.

Perdre $35\,\%$, c'est garder $65\,\%$ : $24\,000\times 0{,}65=15\,600$ dollars. De tête : $10\,\%$ font $2\,400$, donc $30\,\%$ font $7\,200$ et $5\,\%$ font $1\,200$ ; la perte vaut $8\,400$ et il reste $15\,600$. Piège : rendre $8\,400$, qui est la PERTE et non la valeur restante ; relire la question avant de conclure.

On cherche $V_{i}$ tel que $V_{i}\times 0{,}85=51$, donc $V_{i}=\dfrac{51}{0{,}85}=60$ dollars. Contrôle : $15\,\%$ de $60$ font $9$, et $60-9=51$. Réflexe : pour remonter à la valeur de départ, on DIVISE par le coefficient. Piège : ajouter $15\,\%$ à $51$, soit $58{,}65$ dollars ; les $15\,\%$ se calculaient sur le prix d'avant, pas sur celui d'après.

Une hausse de $150\,\%$ a pour coefficient $1+1{,}5=2{,}5$. Donc $V_{i}=\dfrac{45}{2{,}5}=18$. Contrôle : $18\times 2{,}5=45$. Piège : prendre $1{,}5$ pour coefficient et trouver $30$ ; $1{,}5$ correspond à $+50\,\%$. Au-delà de $100\,\%$, le coefficient dépasse $2$.

$t=\dfrac{2\,700-2\,400}{2\,400}=\dfrac{300}{2\,400}=\dfrac{1}{8}=0{,}125$, soit $+12{,}5\,\%$. Réflexe : on divise l'écart par la valeur de DÉPART. Piège : diviser par $2\,700$ et trouver environ $11\,\%$. Les huitièmes, $12{,}5\,\%$, $37{,}5\,\%$, reviennent sans cesse : ils se connaissent par cœur.

$t=\dfrac{60-75}{75}=\dfrac{-15}{75}=-\dfrac{1}{5}=-20\,\%$. Deux pièges : répondre $-15\,\%$, l'écart en dollars pris pour un pourcentage, ou $-25\,\%$, en divisant par $60$, la valeur d'arrivée. Contrôle : $75\times 0{,}8=60$.

$t=\dfrac{20\,000-8\,000}{8\,000}=\dfrac{12}{8}=1{,}5$, soit $+150\,\%$. Réflexe : le rapport $\dfrac{20\,000}{8\,000}=2{,}5$ est le COEFFICIENT, le taux vaut coefficient moins $1$. Piège : annoncer $+250\,\%$ en confondant les deux.

De $12$ à $18$, la part gagne $6$ POINTS de pourcentage : c'est une différence de deux pourcentages. Le taux d'évolution de cette part vaut $\dfrac{18-12}{12}=\dfrac{6}{12}=50\,\%$. Réflexe : « points » pour une différence de taux, « pour cent » pour une évolution relative. Piège : écrire « la part augmente de $6\,\%$ », phrase fausse qui sous-estime la hausse d'un facteur huit.

$1{,}2\times 1{,}3=1{,}56$, soit $+56\,\%$. La seconde hausse s'applique à une valeur déjà augmentée : $30\,\%$ de $120$ font $36$, pas $30$. Piège : additionner les taux, $+50\,\%$. Contrôle sur $100$ : $100\to 120\to 156$.

$0{,}6\times 1{,}5=0{,}9$, soit $-10\,\%$. Sur $100$ : $100\to 60\to 90$. Piège : $-40+50=+10$ et conclure à une HAUSSE ; la hausse de $50\,\%$ porte sur $60$, elle ne rend que $30$.

$1{,}1^{3}=1{,}21\times 1{,}1=1{,}331$, soit $+33{,}1\,\%$. De tête : $1{,}21+0{,}121=1{,}331$. Piège : $+30\,\%$ ; chaque hausse porte sur une base plus grande, d'où le $3{,}1$ de plus, qui est l'effet des intérêts composés.

$0{,}5\times 0{,}5=0{,}25$ : il reste un quart, la baisse globale vaut $75\,\%$. Piège : $-100\,\%$, qui voudrait dire qu'il ne reste plus rien ; deux moitiés successives ne vident jamais le stock.

$1{,}05\times 0{,}96=1{,}008$ : on développe $1{,}05\times(1-0{,}04)=1{,}05-0{,}042=1{,}008$, soit $+0{,}8\,\%$. Piège : $+1\,\%$, somme des taux ; l'écart est petit ici, mais il existe et il se chiffre.

Le coefficient réciproque vaut $\dfrac{1}{1{,}6}=\dfrac{10}{16}=\dfrac{5}{8}=0{,}625$, soit une baisse de $37{,}5\,\%$. Contrôle : $100\to 160\to 160\times 0{,}625=100$. Piège : $-60\,\%$ ; $60\,\%$ de $160$ font $96$, on tomberait à $64$.

Coefficient de la baisse : $0{,}25$ ; réciproque : $\dfrac{1}{0{,}25}=4$, soit $+300\,\%$. Piège : $+75\,\%$, ou même $+100\,\%$. Après une baisse de $75\,\%$ il ne reste qu'un quart : il faut QUADRUPLER pour revenir, donc ajouter trois fois la valeur restante.

$(1+t)^{2}=1{,}21=1{,}1^{2}$, et $1+t>0$, donc $1+t=1{,}1$ et $t=10\,\%$. Piège : diviser $21$ par $2$ et répondre $10{,}5\,\%$ ; contrôle, $1{,}105^{2}\approx 1{,}221$, trop.

Coefficient global : $1{,}25\times 1{,}6=2$, l'indice a doublé. Le réciproque vaut $\dfrac{1}{2}=0{,}5$ : une baisse de $50\,\%$. Réflexe : composer d'abord, inverser ensuite. Piège : $-85\,\%$, opposé de la somme des taux, qui ferait tomber l'indice à $30\,\%$ de sa valeur de départ.

$2x-6=0$ donne $x=3$, $x+5=0$ donne $x=-5$. Réflexe : un facteur, une équation du premier degré. Piège : écrire $x=5$ pour le second facteur ; $x+5$ s'annule en $-5$. Contrôle : $(2\times 3-6)\times 8=0$.

$x=0$ ou $4x+1=0$, soit $x=-\dfrac{1}{4}$. Piège : oublier la solution $x=0$ parce que le facteur $x$ « ne se voit pas » ; il vaut autant que l'autre.

$5-x=0$ donne $x=5$, et $2x+7=0$ donne $x=-\dfrac{7}{2}=-3{,}5$. Piège : $x=-5$ pour le premier facteur ; $5-x$ s'annule quand $x$ VAUT $5$.

On passe tout du même côté : $x^{2}-7x=0$, puis $x(x-7)=0$, donc $x=0$ ou $x=7$. Piège majeur : diviser les deux membres par $x$ et ne trouver que $7$. On ne divise jamais par une expression qui peut être nulle : c'est ainsi qu'on perd une solution.

Même piège, plus caché. On ramène à zéro : $(x+3)(2x-1)-(2x-1)=0$, puis on factorise par $(2x-1)$ : $(2x-1)\big((x+3)-1\big)=(2x-1)(x+2)=0$. Donc $x=\dfrac{1}{2}$ ou $x=-2$. Piège : « simplifier » par $2x-1$ et ne garder que $x+3=1$, soit $x=-2$ ; la solution $\dfrac{1}{2}$ disparaît. Contrôle : pour $x=\dfrac{1}{2}$, les deux membres valent $0$.

$(x-1)^{2}-9=(x-1)^{2}-3^{2}=(x-1-3)(x-1+3)=(x-4)(x+2)$, donc $x=4$ ou $x=-2$. Réflexe : une différence de deux carrés se factorise par $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$. Piège : développer, ou écrire $x-1=3$ seulement et perdre $-2$ ; un carré égal à $9$ donne $3$ ET $-3$.

$-3x+12>0$ équivaut à $-3x>-12$, puis, en divisant par $-3$ NÉGATIF, à $x<4$. Ensemble : $]-\infty\,;4[$. Réflexe de contrôle : $a=-3<0$, donc l'expression est positive à GAUCHE de sa racine $4$. Piège : $]4\,;+\infty[$, sens non renversé.

$5x+2$ s'annule en $-\dfrac{2}{5}=-0{,}4$ ; $a=5>0$, donc elle est négative à gauche de $-0{,}4$. Avec « ou nulle », la borne est incluse : $]-\infty\,;-0{,}4]$. Piège : un crochet ouvert en $-0{,}4$, qui perd la valeur où l'expression vaut exactement $0$.

$7-2x=0$ pour $x=\dfrac{7}{2}=3{,}5$. Pour $x=10$ : $7-20=-13<0$, négative. Réflexe : le coefficient de $x$ est $-2<0$, donc l'expression est négative à droite de sa racine. Piège : lire le signe sur le terme constant $7$, positif, au lieu de celui du coefficient de $x$.

Racines $2$ et $-3$, coefficient $a=1>0$ : l'expression est négative ENTRE les racines, $]-3\,;2[$, bornes exclues car l'inégalité est stricte. Contrôle : pour $x=0$, $(-2)\times 3=-6<0$. Piège : écrire $]-2\,;3[$ en prenant les racines avec le mauvais signe ; $x+3$ s'annule en $-3$.

Racines $1$ et $6$, $a=1>0$ : positif à l'EXTÉRIEUR, bornes incluses, donc $]-\infty\,;1]\cup[6\,;+\infty[$. Piège : répondre $[1\,;6]$, l'intervalle où le produit est NÉGATIF. Contrôle : pour $x=0$, $(-1)(-6)=6\ge 0$, et $0$ est bien dans la réponse.

Le coefficient $-2$ est négatif : l'expression est positive ENTRE les racines $-1$ et $4$. Réponse $[-1\,;4]$. Contrôle : pour $x=0$, $-2\times(-4)\times 1=8\ge 0$. Piège : oublier le facteur $-2$, le plus souvent recopié sans y penser, et répondre l'extérieur des racines.

$3-x$ n'est pas de la forme $x-x_{1}$ : $(3-x)(x+5)=-(x-3)(x+5)$, de coefficient $-1$. L'expression est donc positive entre les racines : $]-5\,;3[$. Contrôle : pour $x=0$, $3\times 5=15>0$. Piège : lire « $a=1$ » en regardant seulement les $x$ des parenthèses.

Racines $0$ et $8$, $a=1>0$, négatif entre les racines : $]0\,;8[$. Piège : oublier la racine $0$ portée par le facteur $x$, et répondre $]-\infty\,;8[$ ; pour $x=-1$, $(-1)(-9)=9>0$.

Un carré est toujours positif ou nul, et nul seulement si la quantité élevée au carré l'est : $(x-3)^{2}\le 0$ n'a qu'une solution, $x=3$, et $(x-3)^{2}<0$ n'en a aucune. Piège : faire un tableau à deux lignes identiques et croire l'expression négative « entre $3$ et $3$ ».

$2x-3$ s'annule en $\dfrac{3}{2}$, $x+1$ en $-1$. Le coefficient du produit est $2>0$ : négatif entre les racines, $]-1\,;\dfrac{3}{2}[$. Piège : prendre $3$ pour racine de $2x-3$ ; on résout $2x-3=0$, on ne lit pas le nombre dans la parenthèse.

$B(q)=-5(q-10)(q-70)$ a un coefficient négatif : positif ENTRE ses racines, donc pour $q\in[10\,;70]$, soit entre $1\,000$ et $7\,000$ objets. Contrôle : $B(40)=-5\times 30\times(-30)=4\,500>0$, et $B(0)=-3\,500<0$. Piège : répondre l'extérieur, où l'entreprise perd de l'argent.

Fausse. Pour $x=0$, qui est bien supérieur à $-2$, $(0-5)(0+2)=-10<0$. Le produit est négatif entre ses racines $-2$ et $5$ et positif seulement pour $x>5$ ou $x<-2$. Réflexe : un contre-exemple chiffré règle la question. Piège : ne regarder qu'un seul facteur.

$(x+4)(2x-3)=2x^{2}-3x+8x-12=2x^{2}+5x-12$, puis on retire $2x^{2}$ : $5x-12$. Réflexe : développer entièrement AVANT de réduire. Piège : $-3x+8x=-5x$, erreur de signe dans la réduction. Contrôle avec $x=1$ : $5\times(-1)-2=-7$ et $5-12=-7$.

$3(x-2)^{2}=3(x^{2}-4x+4)=3x^{2}-12x+12$ et $(x+1)(x-1)=x^{2}-1$. La différence vaut $3x^{2}-12x+12-x^{2}+1=2x^{2}-12x+13$. Deux pièges : multiplier par $3$ avant d'élever au carré, $(3x-6)^{2}$, et oublier que le signe moins devant $(x^{2}-1)$ change $-1$ en $+1$. Contrôle avec $x=0$ : $3\times 4-(-1)=13$.

C'est $A^{2}-B^{2}$ avec $A=x+5$ et $B=4$ : $(x+5-4)(x+5+4)=(x+1)(x+9)$, donc $p=1$ et $q=9$. Réflexe : reconnaître la différence de deux carrés AVANT de développer. Contrôle avec $x=0$ : $25-16=9$ et $1\times 9=9$.

Le facteur commun est $(2x-1)$ : $(2x-1)\big[(x+4)+(3-x)\big]=(2x-1)\times 7$, donc $k=7$. Les $x$ du crochet s'annulent, et l'expression, qui avait l'air du second degré, est du premier. Piège : développer les deux produits, ce qui marche mais coûte trois lignes et deux occasions d'erreur.

$9x^{2}=(3x)^{2}$, $4=2^{2}$ et $12x=2\times 3x\times 2$ : c'est $(3x-2)^{2}$, donc $a=3$ et $b=-2$. Réflexe : vérifier le double produit avant de conclure. Piège : $(3x+2)^{2}$, qui redonne $+12x$, ou $(9x-4)^{2}$, sans prendre les racines carrées.

$x\times(x^{2}+3x+9)=x^{3}+3x^{2}+9x$ et $-3\times(x^{2}+3x+9)=-3x^{2}-9x-27$. Tout se compense sauf deux termes : $x^{3}-27$. Le coefficient de $x^{2}$ est $0$, le terme constant $-27$. Piège : oublier un des six produits ; on en compte $2\times 3=6$ avant de réduire.

$(2^{3})^{4}=2^{12}$, puis $2^{12}\times 2^{-5}=2^{7}$, et $4^{3}=(2^{2})^{3}=2^{6}$ : $\dfrac{2^{7}}{2^{6}}=2^{1}$, donc $n=1$. Réflexe : tout réécrire dans la MÊME base avant d'appliquer les règles. Piège : diviser par $2^{3}$ en recopiant l'exposant de $4^{3}$.

La multiplication passe avant la soustraction : $\dfrac{3}{4}\times\dfrac{2}{9}=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}$, puis $\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$. Piège : calculer d'abord $\dfrac{5}{6}-\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{12}$, puis $\dfrac{1}{12}\times\dfrac{2}{9}=\dfrac{1}{54}$ ; priorités non respectées.

Vraie. $(x-2)^{2}=x^{2}-4x+4$ et $(x+2)^{2}=x^{2}+4x+4$ : la différence vaut $-8x$. Autre voie, plus rapide : $A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B)=(-4)(2x)=-8x$. Contrôle avec $x=1$ : $1-9=-8$. Piège : $(x-2)^{2}=x^{2}-4$, double produit oublié, qui ferait croire à une différence nulle.