Automatismes de Seconde : questions flash corrigées, bloc par bloc du programme

a) Au dénominateur commun $70$ : $\dfrac{50}{70}-\dfrac{49}{70}=\dfrac{1}{70}$. La différence est positive, donc $\dfrac{5}{7}>\dfrac{7}{10}$. Réflexe : on ne compare pas les dénominateurs à l'œil, on calcule le SIGNE de la différence. Piège : conclure que $\dfrac{7}{10}$ est plus grand parce que $7$ et $10$ sont plus grands que $5$ et $7$ ; les deux fractions ne diffèrent que d'un soixante-dixième, et seul le calcul tranche.

b) $3^{20}=(3^{2})^{10}=9^{10}$ et $2^{30}=(2^{3})^{10}=8^{10}$, donc le quotient vaut $\left(\dfrac{9}{8}\right)^{10}$, avec $q=\dfrac{9}{8}=1{,}125$. Un nombre supérieur à $1$ élevé à une puissance positive reste supérieur à $1$ : $3^{20}>2^{30}$. Réflexe : comparer par le quotient deux nombres strictement positifs écrits en puissances. Piège : comparer les exposants, $30>20$, et conclure à l'envers ; l'exposant ne dit rien tant que les bases diffèrent.

c) Le plus petit dénominateur commun est $36$, et non $12\times 18=216$ : $\dfrac{21}{36}+\dfrac{10}{36}=\dfrac{31}{36}$, irréductible puisque $31$ est premier. Réflexe : chercher le plus petit multiple commun pour garder des nombres qui se calculent de tête. Piège : additionner numérateurs et dénominateurs, $\dfrac{12}{30}$, résultat plus petit que $\dfrac{7}{12}$ seul, ce qui est absurde pour une somme de deux nombres positifs.

d) $\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{14}{35}=\dfrac{2}{5}$ : on simplifie en croix, $\dfrac{6\times 14}{35\times 9}=\dfrac{2\times 2}{5\times 3}=\dfrac{4}{15}$. Réflexe : décomposer avant de multiplier, ce qui évite $\dfrac{84}{315}$ qu'il faudrait réduire par $21$. Piège : ne simplifier qu'une des deux paires et rendre $\dfrac{12}{45}$, qui n'est pas irréductible.

e) Diviser par $\dfrac{9}{4}$, c'est multiplier par son inverse $\dfrac{4}{9}$ : $\dfrac{3}{8}\times\dfrac{4}{9}=\dfrac{12}{72}=\dfrac{1}{6}$. Réflexe : on inverse le DIVISEUR, jamais le dividende. Piège : inverser la première fraction, $\dfrac{8}{3}\times\dfrac{9}{4}=6$, exactement l'inverse de la bonne réponse. Contrôle : $\dfrac{3}{8}$ est plus petit que $\dfrac{9}{4}$, donc le quotient est plus petit que $1$.

f) $(7^{2})^{4}=7^{8}$, puis $7^{-3}\times 7^{8}=7^{5}$, puis $\dfrac{7^{5}}{7^{6}}=7^{-1}$ : $n=-1$. Réflexe : puissance de puissance, on MULTIPLIE les exposants ; produit, on les ADDITIONNE ; quotient, on les SOUSTRAIT. Piège : écrire $(7^{2})^{4}=7^{6}$ en additionnant, ce qui donne $n=-3$.

g) $2^{3}\times 5^{3}=(2\times 5)^{3}=10^{3}=1\,000$. Réflexe : deux puissances de MÊME EXPOSANT se multiplient en multipliant les bases. Piège : écrire $10^{6}$ en additionnant les exposants, règle qui ne vaut que pour une MÊME BASE.

h) $2^{10}+2^{10}=2\times 2^{10}=2^{11}$ : $n=11$. Réflexe : une somme de termes égaux est un produit. Piège double : $2^{20}$, en additionnant les exposants d'une SOMME, ou $4^{10}$, en additionnant les bases ; or $4^{10}=2^{20}$, qui vaut plus de cinq cents fois $2^{11}$.

a) Quatre intervalles séparent deux entiers, donc chaque graduation vaut $\dfrac{1}{4}=0{,}25$. $A$ est une graduation à gauche de $-1$ : $-1-0{,}25=-1{,}25$. Réflexe : lire d'abord le pas, en comptant les INTERVALLES entre deux entiers, jamais les traits. Piège : partir de $-1$ vers la droite et lire $-0{,}75$ ; à gauche de zéro, on s'éloigne de zéro en allant vers la gauche.

b) $B$ est trois graduations après $1$ : $1+\dfrac{3}{4}=\dfrac{7}{4}=1{,}75$, soit $175\,\%$. Réflexe : un pourcentage est un nombre de centièmes, $1{,}75=\dfrac{175}{100}$. Piège : croire qu'un pourcentage ne dépasse jamais $100$ ; il le dépasse dès que le nombre dépasse $1$.

c) $0{,}045=\dfrac{4{,}5}{100}=4{,}5\,\%$ : on décale la virgule de DEUX rangs, pas d'un seul, ce qui donnerait $0{,}45\,\%$, dix fois trop peu. Et $12{,}5\,\%=0{,}125=\dfrac{125}{1\,000}=\dfrac{1}{8}$, donc $d=8$. Réflexe : connaître les huitièmes par cœur, $\dfrac{1}{8}=12{,}5\,\%$, $\dfrac{3}{8}=37{,}5\,\%$ ; ils reviennent sans cesse.

d) $4\,875\approx 5\,000$ et $0{,}021\approx 0{,}02$, donc le produit est proche de $5\,000\times 0{,}02=100$. La valeur exacte, $102{,}375$, le confirme. Réflexe : arrondir chaque facteur à un seul chiffre significatif. Piège : mal compter les zéros de $0{,}02$ et répondre $10$ ou $1\,000$ ; multiplier par $0{,}02$, c'est prendre $2\,\%$, donc diviser par cinquante.

e) Non. Multiplier un nombre positif par un facteur inférieur à $1$ le fait DIMINUER : le résultat doit être inférieur à $38$. Il vaut $38-38\times 0{,}03=38-1{,}14=36{,}86$. Réflexe : situer le facteur par rapport à $1$ avant tout calcul. Piège : ne regarder que les décimales, qui ont l'air plausibles, sans regarder le sens de variation.

f) $1\ \text{m}=100\ \text{cm}$, donc $1\ \text{m}^{2}=100\times 100=10\,000\ \text{cm}^{2}$, et $2{,}4\ \text{m}^{2}=24\,000\ \text{cm}^{2}$. Réflexe : pour une aire, le facteur de conversion des longueurs est ÉLEVÉ AU CARRÉ. Piège : multiplier par $100$ et trouver $240\ \text{cm}^{2}$, l'aire d'une carte postale au lieu de celle d'une table.

g) $1\ \text{L}=1\ \text{dm}^{3}$ et $1\ \text{m}^{3}=10^{3}\ \text{dm}^{3}=1\,000\ \text{L}$, donc $0{,}6\ \text{m}^{3}=600\ \text{L}$. Réflexe : passer par le décimètre cube, pont entre volumes et contenances. Piège : croire que $1\ \text{m}^{3}=100\ \text{L}$ ; pour un volume, le facteur $10$ des longueurs est élevé au CUBE.

h) $54\ \text{km}$ en une heure, c'est $54\,000\ \text{m}$ en $3\,600\ \text{s}$, soit $\dfrac{54\,000}{3\,600}=15\ \text{m/s}$ ; raccourci, diviser par $3{,}6$. Réflexe de contrôle : une vitesse en m/s est toujours PLUS PETITE que la même en km/h. Piège : multiplier par $3{,}6$ et annoncer $194{,}4\ \text{m/s}$, la vitesse d'un avion au décollage pour une voiture en ville.

i) $0{,}3\ \text{h}=0{,}3\times 60=18$ minutes, donc $2{,}3\ \text{h}=2\ \text{h}\,18\ \text{min}$. Réflexe : une heure compte soixante minutes, pas cent ; la partie décimale se multiplie par $60$. Piège : lire $2\ \text{h}\,30$, confusion entre écriture décimale et écriture en heures et minutes qui fausse tous les horaires.

j) $1\ \text{t}=1\,000\ \text{kg}$, donc $0{,}35\ \text{t}=350\ \text{kg}$. Réflexe : quand on passe d'une grande unité à une petite, le nombre GRANDIT. Piège : diviser au lieu de multiplier et écrire $0{,}000\,35\ \text{kg}$, un tiers de gramme pour une charge de plusieurs adultes.

a) $-(2a-5)=-2a+5$ : le signe moins change le signe de CHAQUE terme de la parenthèse. Puis $-2a+5+a-3=-a+2$, donc $k=-1$ et $m=2$. Piège : ne changer que le premier terme, $-2a-5$, ce qui donne $m=-8$. Vérification avec $a=1$ : $-(2-5)+(1-3)=3-2=1$, et $-1+2=1$.

b) $\dfrac{3x}{5}=\dfrac{3}{5}\times x=0{,}6x$ : c'est la règle $\dfrac{ab}{c}=\dfrac{a}{c}\times b$. Réflexe : un quotient par un nombre est un produit par son inverse, donc $x\mapsto\dfrac{3x}{5}$ est linéaire, de coefficient $0{,}6$. Piège : confondre avec $\dfrac{3}{5x}$, où $x$ est au dénominateur et qui n'a rien de linéaire.

c) Diviser $1$ par une fraction, c'est multiplier par son inverse : $\dfrac{1}{\frac{1}{8}}=8$ et $\dfrac{1}{\frac{2}{7}}=\dfrac{7}{2}=3{,}5$. Réflexe de sens : combien de huitièmes dans une unité ? Huit. Piège : répondre $\dfrac{1}{8}$ ou $\dfrac{2}{7}$, en lisant le trait principal comme une multiplication.

d) $\dfrac{\frac{4}{5}}{\frac{2}{15}}=\dfrac{4}{5}\times\dfrac{15}{2}=\dfrac{60}{10}=6$. Réflexe : repérer le trait de fraction PRINCIPAL, le plus long, puis multiplier la fraction du haut par l'inverse de celle du bas. Piège : multiplier les deux fractions et trouver $\dfrac{8}{75}$ ; contrôle, $\dfrac{4}{5}$ est bien plus grand que $\dfrac{2}{15}$, donc le quotient dépasse $1$.

e) $\dfrac{0}{7}=0$, car $0=7\times 0$. En revanche $\dfrac{7}{0}$ n'existe pas : aucun nombre multiplié par $0$ ne donne $7$. Réflexe : zéro peut être divisé, il ne divise jamais. Piège : écrire $\dfrac{7}{0}=0$ ou $\dfrac{7}{0}=7$ ; c'est cette confusion qui fait oublier les valeurs interdites d'une équation.

f) On remplace $x$ par $(-3)$ AVEC ses parenthèses : $-(-3)^{2}+(-3)$. Le carré passe avant le signe moins placé devant, car $-x^{2}=(-1)\times x^{2}$ : $(-3)^{2}=9$, puis $-9$. Donc $-9-3=-12$. Piège : calculer $(-x)^{2}=9$ au lieu de $-x^{2}$, et trouver $9-3=6$.

g) $\dfrac{x}{2}=\dfrac{1}{2}x$ et $\dfrac{x}{3}=\dfrac{1}{3}x$, donc la somme vaut $\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\right)x=\dfrac{5}{6}x$. Réflexe : la règle $\dfrac{x}{a}=\dfrac{1}{a}x$ transforme une somme de quotients en une factorisation par $x$. Piège : additionner les dénominateurs et écrire $\dfrac{x}{5}$ ; test avec $x=6$ : $3+2=5$, et $\dfrac{5}{6}\times 6=5$, alors que $\dfrac{6}{5}$ ne vaut pas $5$.

h) Faux. $\dfrac{x+6}{2}=\dfrac{x}{2}+\dfrac{6}{2}=\dfrac{x}{2}+3$ : c'est TOUT le numérateur qui est divisé par $2$. Contre-exemple : pour $x=2$, $\dfrac{8}{2}=4$ alors que $x+3=5$. Réflexe : un contre-exemple chiffré règle la question en cinq secondes. Piège : « simplifier » par $2$ un seul terme d'une somme.

a) $(3x-1)^{2}=(3x)^{2}-2\times 3x\times 1+1^{2}=9x^{2}-6x+1$. Réflexe : le double produit, avec le signe de la parenthèse. Piège : $9x^{2}+1$, double produit oublié, ou $3x^{2}$, coefficient non élevé au carré. Contrôle avec $x=1$ : $(3-1)^{2}=4$ et $9-6+1=4$.

b) C'est $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$ avec $a=5y$ et $b=2$ : $25y^{2}-4$. Réflexe : reconnaître la forme avant de distribuer ; les deux termes en $y$ s'annulent d'eux-mêmes. Piège : $5y^{2}-4$, le coefficient $5$ oublié dans le carré.

c) $49=7^{2}$ et $14x=2\times x\times 7$ : c'est $(a-b)^{2}$ avec $a=x$ et $b=7$, donc $x^{2}-14x+49=(x-7)^{2}$ et $k=-7$. Réflexe : vérifier le double produit AVANT de conclure. Piège : $(x+7)^{2}$, qui redonnerait $+14x$ en développant.

d) Le facteur commun est $5x$ : $5x^{2}-15x=5x\times x-5x\times 3=5x(x-3)$, d'où $a=5$ et $b=-3$. Réflexe : mettre en facteur le nombre ET la lettre. Piège : factoriser seulement par $5$, $5(x^{2}-3x)$, ou seulement par $x$, ce qui laisse la factorisation incomplète.

e) $x^{2}=64$ a deux solutions, $8$ et $-8$, puisque $(-8)^{2}=64$ aussi. Réflexe : $x^{2}=a$ avec $a>0$ donne toujours $\sqrt{a}$ ET $-\sqrt{a}$. Piège : ne garder que $8$ et perdre la moitié des points.

f) Un carré n'est jamais négatif, donc $x^{2}=-9$ n'a AUCUNE solution réelle ; $x^{2}=0$ n'en a qu'une, $x=0$. Réflexe : le signe de $a$ décide du nombre de solutions de $x^{2}=a$, deux, une ou zéro. Piège : répondre $3$ ou $-3$ pour la première, alors que $3^{2}$ et $(-3)^{2}$ valent tous deux $+9$.

g) Les $x$ à gauche, les nombres à droite : $7x-2x=11+4$, soit $5x=15$ et $x=3$. Vérification : $7\times 3-4=17$ et $2\times 3+11=17$. Piège : faire passer un terme de l'autre côté sans changer son signe, $7x+2x=11-4$, ce qui donne $x=\dfrac{7}{9}$.

h) Pour $x\neq 0$, $\dfrac{12}{x}=-3$ équivaut à $12=-3x$, donc $x=\dfrac{12}{-3}=-4$. Vérification : $\dfrac{12}{-4}=-3$. Réflexe : poser $x\neq 0$, puis multiplier par $x$. Piège : renverser le quotient, $x=\dfrac{-3}{12}=-\dfrac{1}{4}$ ; le test $12\div\left(-\dfrac{1}{4}\right)=-48$ le dément aussitôt.

i) $6-5x<-9$ donne $-5x<-15$. On divise par $-5$, nombre NÉGATIF, donc le sens de l'inégalité s'inverse : $x>3$. L'ensemble des solutions est $]3\,;+\infty[$, crochet ouvert en $3$ car l'inégalité est stricte. Contrôle avec $x=4$ : $6-20=-14<-9$, vrai. Piège : garder le sens et écrire $x<3$, exactement le mauvais côté.

a) $v=\dfrac{d}{t}$ donne $vt=d$, puis $t=\dfrac{d}{v}=\dfrac{150}{60}=2{,}5\ \text{h}$, soit $2\ \text{h}\,30\ \text{min}$. Réflexe : multiplier par $t$ pour le faire remonter, puis diviser par $v$. Piège : $t=v\times d$, qui donnerait $9\,000$ ; les unités le démentent, des kilomètres fois des km/h ne font pas des heures.

b) $I=\dfrac{U}{R}=\dfrac{12}{48}=\dfrac{1}{4}=0{,}25\ \text{A}$. Réflexe : dans un produit, on isole un facteur en divisant par l'autre. Piège : $I=\dfrac{R}{U}=4\ \text{A}$, seize fois trop.

c) $E_{c}=\dfrac{1}{2}\times 2\times 3^{2}=9\ \text{J}$ : le carré porte sur $v$ seul. Pour isoler $m$ : $2E_{c}=mv^{2}$, puis $m=\dfrac{2E_{c}}{v^{2}}=\dfrac{100}{25}=4\ \text{kg}$. Piège : oublier le facteur $2$ et trouver $2\ \text{kg}$, ou diviser par $v$ au lieu de $v^{2}$ et trouver $20\ \text{kg}$.

d) $V=\dfrac{m}{\rho}=\dfrac{540}{2{,}7}=\dfrac{5\,400}{27}=200\ \text{cm}^{3}$. Réflexe : pour diviser par un décimal, multiplier les deux termes par $10$. Piège : $V=m\times\rho=1\,458$ ; contrôle de sens, un métal plus dense que l'eau occupe MOINS de centimètres cubes que sa masse en grammes.

e) $n=C\times V=0{,}2\times 0{,}25=0{,}05\ \text{mol}$. Réflexe : $0{,}25$, c'est un quart, et le quart de $0{,}2$ est $0{,}05$. Piège : $n=\dfrac{C}{V}=0{,}8$ ; en isolant $n$ on multiplie, on ne divise pas.

f) $2\mathcal{A}=(B+b)h$, donc $h=\dfrac{2\mathcal{A}}{B+b}=\dfrac{60}{12}=5\ \text{cm}$. Réflexe : la parenthèse $(B+b)$ reste un seul bloc, on divise par la SOMME. Piège : oublier le $2$ et trouver $2{,}5\ \text{cm}$.

g) On retranche $32$, puis on divise par $1{,}8$ : $C=\dfrac{F-32}{1{,}8}=\dfrac{54}{1{,}8}=30\ ^{\circ}\text{C}$. Réflexe : défaire les opérations dans l'ordre INVERSE de celui de la formule, donc l'addition de $32$ en premier. Piège : diviser d'abord, $\dfrac{86}{1{,}8}-32$, qui ne donne même pas un nombre simple.

h) $m=\dfrac{P}{g}=\dfrac{490}{9{,}8}=\dfrac{4\,900}{98}=50\ \text{kg}$. Réflexe de contrôle : $g$ est proche de $10$, donc la masse est un peu plus que le dixième du poids, $49$ ; $50$ est cohérent. Piège : confondre poids et masse et répondre $490\ \text{kg}$.