Exercice 1 : Fractions : la valeur exacte est la réponse

En seconde, la calculatrice cesse de donner la réponse attendue. Une fraction n'est pas un calcul en attente, c'est déjà un nombre, et $\dfrac{19}{12}$ est une réponse plus juste que $1{,}5833\ldots$ , qui est fausse au sens strict.

Toutes les réponses de cet exercice sont des fractions irréductibles ou des entiers. Aucune valeur décimale approchée n'est acceptée.

1) Calculez $A=\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{6}$ .
2) Calculez $B=\dfrac{7}{3}-\dfrac{5}{4}\times\dfrac{2}{15}$ .
3) Calculez $C=\dfrac{2}{5}\div\dfrac{8}{15}$ .
4) Calculez $D=\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{4}\div\dfrac{3}{2}$ .
5) Calculez $E=\dfrac{2}{3}\times\left(\dfrac{9}{4}-\dfrac{1}{2}\right)$ .
6) Rendez la fraction $\dfrac{252}{198}$ irréductible.
7) Comparez $\dfrac{7}{9}$ et $\dfrac{8}{11}$ sans calculatrice.
8) Un élève écrit $\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{6}=\dfrac{8}{10}$ . Trouvez son erreur, puis donnez le contrôle d'ordre de grandeur qui la détecte en deux secondes.

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1)

Numérateur

Dénominateur

2)

Numérateur

Dénominateur

3)

Numérateur

Dénominateur

4)

D

5)

Numérateur

Dénominateur

6)

Numérateur

Dénominateur

7)

Comparaison

8)

Erreur de l'élève

Contrôle rapide

Voir la correction

Réponses

1) $A=\dfrac{19}{12}$
2) $B=\dfrac{13}{6}$
3) $C=\dfrac{3}{4}$
4) $D=1$
5) $E=\dfrac{7}{6}$
6) $\dfrac{14}{11}$
7) $\dfrac{7}{9}>\dfrac{8}{11}$ ( $77>72$ )
8) Il a additionné numérateurs et dénominateurs ; la somme doit dépasser $1$ , or $\dfrac{8}{10}<1$

1)

On cherche un dénominateur commun, c'est-à-dire un multiple commun de $4$ et de $6$ : le plus petit est $12$ . On multiplie alors chaque fraction par ce qu'il faut, $\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{12}$ et $\dfrac{5}{6}=\dfrac{10}{12}$ , puis on additionne les numérateurs SEULEMENT : $A=\dfrac{19}{12}$ . Le dénominateur ne s'additionne jamais, il dit en combien de parts on a coupé, et couper en douzièmes des deux côtés est exactement ce que l'on vient de faire. Contrôle immédiat : $\dfrac{19}{12}$ dépasse $1$ , ce qui est cohérent puisque $\dfrac{3}{4}$ et $\dfrac{5}{6}$ valent chacun plus de $\dfrac{1}{2}$ .

2)

La multiplication passe avant la soustraction : $\dfrac{5}{4}\times\dfrac{2}{15}=\dfrac{10}{60}=\dfrac{1}{6}$ . On peut aussi simplifier AVANT de multiplier, ce qui évite les grands nombres : dans $\dfrac{5\times 2}{4\times 15}$ , le $5$ se simplifie avec le $15$ et le $2$ avec le $4$ , il reste $\dfrac{1}{2\times 3}=\dfrac{1}{6}$ . Ensuite $B=\dfrac{7}{3}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{14}{6}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{13}{6}$ . Simplifier avant de multiplier est un réflexe qui fait gagner un temps considérable en première, dans les calculs de dérivées.

3)

Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse : $C=\dfrac{2}{5}\times\dfrac{15}{8}=\dfrac{30}{40}=\dfrac{3}{4}$ . Le piège classique consiste à inverser la première fraction au lieu de la seconde. Le contrôle est immédiat : $\dfrac{2}{5}=0{,}4$ divisé par $\dfrac{8}{15}\approx 0{,}53$ doit donner un peu moins de $1$ , et $0{,}75$ convient. Diviser par un nombre plus petit que $1$ AGRANDIT le résultat, ce qui surprend encore beaucoup d'élèves en seconde.

4)

La division passe avant l'addition : $\dfrac{1}{4}\div\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{4}\times\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}$ . Puis $D=\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{6}{6}=1$ . Une réponse entière est fréquente et n'a rien de suspect, mais il faut aller jusqu'au bout et écrire $1$ , pas $\dfrac{6}{6}$ .

5)

La parenthèse d'abord : $\dfrac{9}{4}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{9}{4}-\dfrac{2}{4}=\dfrac{7}{4}$ . Puis $E=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{7}{4}=\dfrac{14}{12}=\dfrac{7}{6}$ . Écrire $\dfrac{14}{12}$ n'est pas faux mathématiquement, mais en seconde une fraction non simplifiée coûte des points, parce qu'elle empêche de reconnaître deux résultats égaux écrits différemment, ce qui est précisément ce qu'on demandera de faire.

6)

On cherche le plus grand diviseur commun de $252$ et de $198$ . Les deux nombres sont pairs : $\dfrac{252}{198}=\dfrac{126}{99}$ . Ensuite $126$ et $99$ ont pour sommes de chiffres $9$ et $18$ , toutes deux multiples de $9$ , donc $\dfrac{126}{99}=\dfrac{14}{11}$ . Comme $14=2\times 7$ et que $11$ est premier, la fraction est irréductible. Le PGCD valait donc $2\times 9=18$ , et l'exercice 4 montre comment l'obtenir directement au lieu de tâtonner.

7)

On compare les produits en croix : $7\times 11=77$ et $8\times 9=72$ . Comme $77>72$ et que les deux dénominateurs sont POSITIFS, $\dfrac{7}{9}>\dfrac{8}{11}$ . La précision sur le signe des dénominateurs n'est pas décorative : si l'un d'eux était négatif, l'inégalité changerait de sens, et c'est exactement le mécanisme des inéquations de l'exercice 8.

8)

L'élève a additionné les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, ce qui donne $\dfrac{3+5}{4+6}=\dfrac{8}{10}$ . Cette règle n'existe pas : elle vaut pour la multiplication, jamais pour l'addition. Le contrôle d'ordre de grandeur la détecte sans aucun calcul : $\dfrac{3}{4}$ et $\dfrac{5}{6}$ dépassent chacun $\dfrac{1}{2}$ , leur somme dépasse donc $1$ , alors que $\dfrac{8}{10}=0{,}8$ est plus petit que $1$ . Pire, une somme de deux nombres positifs ne peut pas être plus petite que chacun d'eux, et $0{,}8$ est plus petit que $\dfrac{5}{6}\approx 0{,}83$ . Situer le résultat AVANT de le calculer coûte cinq secondes et rattrape la moitié des erreurs de calcul d'une copie.

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Exercice 2 : Puissances, écriture scientifique et ordres de grandeur

Les trois règles des puissances, $a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$ , $\dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$ et $(a^{m})^{n}=a^{m\times n}$ , sont les mêmes en seconde, en première et en terminale. Ce qui change, c'est qu'on ne vous laissera plus le temps de les redécouvrir.

La frise ci-dessous porte les puissances de dix de $10^{-9}$ à $10^{9}$ , en mètres.

1) Écrivez sous la forme d'une seule puissance : $2^{5}\times 2^{-3}$ , puis $\dfrac{10^{7}\times 10^{-3}}{10^{2}}$ , puis $(3^{2})^{3}$ .
2) Calculez $\dfrac{5^{-2}\times 5^{4}}{5^{3}}$ et donnez le résultat en écriture décimale.
3) Donnez l'écriture scientifique de $A=\dfrac{12\times 10^{-5}\times 25\times 10^{8}}{15\times 10^{-2}}$ .
4) Donnez l'écriture scientifique de $B=(2\times 10^{3})^{4}$ .
5) Comparez $2^{10}$ et $10^{3}$ sans calculatrice, puis dites ce que vaut $(-3)^{4}$ et ce que vaut $-3^{4}$ .
6) Une bactérie mesure environ $2\times 10^{-6}$ m, un cheveu $7\times 10^{-5}$ m d'épaisseur. Combien de fois le cheveu est-il plus épais ?
7) Placez sur la frise, en justifiant chaque fois par une puissance de dix, la bactérie, le cheveu, un terrain de football (environ $100$ m) et le diamètre de la Terre (environ $12\,700$ km).
8) Un élève écrit $2^{3}\times 2^{4}=4^{7}$ . Corrigez, et expliquez en une phrase pourquoi la base ne se multiplie pas.

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1)

2^{5}\times 2^{-3}

\dfrac{10^{7}\times 10^{-3}}{10^{2}}

(3^{2})^{3}

2)

Écriture décimale

3)

Nombre devant la puissance de 10

Exposant de 10

4)

Nombre devant la puissance de 10

Exposant de 10

5)

Comparaison

(-3)^{4}

-3^{4}

6)

Combien de fois plus épais

7)

Bactérie

Cheveu

Exposant de 10 du terrain

Diamètre de la Terre

8)

2^{3}\times 2^{4}

Voir la correction

Réponses

1) $2^{2}=4$ ; $10^{2}=100$ ; $3^{6}=729$
2) $5^{-1}=0{,}2$
3) $A=2\times 10^{6}$
4) $B=1{,}6\times 10^{13}$
5) $2^{10}=1024>10^{3}$ ; $(-3)^{4}=81$ et $-3^{4}=-81$
6) $35$ fois
7) Bactérie entre $10^{-6}$ et $10^{-5}$ , cheveu entre $10^{-5}$ et $10^{-4}$ , terrain sur $10^{2}$ , Terre entre $10^{7}$ et $10^{8}$
8) $2^{3}\times 2^{4}=2^{7}=128$

1)

$2^{5}\times 2^{-3}=2^{5-3}=2^{2}=4$ : on ADDITIONNE les exposants, et additionner $-3$ revient à retrancher $3$ . Ensuite $\dfrac{10^{7}\times 10^{-3}}{10^{2}}=\dfrac{10^{4}}{10^{2}}=10^{2}=100$ . Enfin $(3^{2})^{3}=3^{6}=729$ : ici on MULTIPLIE les exposants. Confondre ces deux règles est l'erreur la plus fréquente du chapitre, et la seule façon de ne plus la faire est de se rappeler d'où elles viennent : $a^{m}\times a^{n}$ est un produit de $m+n$ facteurs, alors que $(a^{m})^{n}$ est un produit de $m\times n$ facteurs.

2)

$\dfrac{5^{-2}\times 5^{4}}{5^{3}}=\dfrac{5^{2}}{5^{3}}=5^{-1}=\dfrac{1}{5}=0{,}2$ . Un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif : il le RENVERSE. $5^{-1}$ vaut $0{,}2$ , un nombre bien positif. Cette confusion coûte chaque année des points en physique, où $10^{-3}$ signifie un millième et jamais moins mille.

3)

On sépare les nombres et les puissances de dix. Pour les nombres, $\dfrac{12\times 25}{15}=\dfrac{300}{15}=20$ . Pour les puissances, $\dfrac{10^{-5}\times 10^{8}}{10^{-2}}=10^{-5+8-(-2)}=10^{5}$ . Donc $A=20\times 10^{5}$ , ce qui n'est PAS l'écriture scientifique : celle-ci exige un nombre compris entre $1$ et $10$ devant la puissance. On corrige en $A=2\times 10^{6}$ , soit deux millions. Le signe moins devant le $-2$ du dénominateur devient un plus, et c'est là, presque uniquement là, que se perdent les points.

4)

La puissance porte sur le produit tout entier, donc sur ses deux facteurs : $B=2^{4}\times (10^{3})^{4}=16\times 10^{12}=1{,}6\times 10^{13}$ . Oublier d'élever $2$ à la puissance $4$ donne $2\times 10^{12}$ , huit fois trop petit. C'est la même structure que $(3x)^{2}=9x^{2}$ en calcul littéral : le coefficient est dans le paquet.

5)

$2^{10}=1024$ et $10^{3}=1000$ , donc $2^{10}>10^{3}$ , de très peu. Ce voisinage explique qu'en informatique un kilo-octet vaille $1024$ octets. Ensuite $(-3)^{4}=(-3)\times(-3)\times(-3)\times(-3)=81$ , positif car les signes vont par paires, tandis que $-3^{4}=-(3^{4})=-81$ : sans parenthèse, la puissance s'applique au $3$ seul et le signe moins reste devant. Deux écritures voisines, deux résultats opposés.

6)

On divise : $\dfrac{7\times 10^{-5}}{2\times 10^{-6}}=\dfrac{7}{2}\times 10^{-5+6}=3{,}5\times 10^{1}=35$ . Le cheveu est $35$ fois plus épais que la bactérie. Le résultat n'a pas d'unité, puisque l'on compare deux longueurs : un rapport n'a jamais d'unité, et une réponse en mètres signalerait ici une erreur de raisonnement.

7)

La bactérie, $2\times 10^{-6}$ m, se place entre $10^{-6}$ et $10^{-5}$ , tout près de $10^{-6}$ . Le cheveu, $7\times 10^{-5}$ m, se place entre $10^{-5}$ et $10^{-4}$ , plus près de $10^{-4}$ . Le terrain, $100=10^{2}$ m, tombe exactement sur une graduation. Le diamètre de la Terre vaut $12\,700$ km, soit $1{,}27\times 10^{7}$ m, entre $10^{7}$ et $10^{8}$ . Sur une frise de puissances de dix, ce qui compte est l'exposant, pas le chiffre de devant : passer d'une graduation à la suivante, c'est être dix fois plus grand, et la Terre se trouve treize graduations au-dessus de la bactérie.

8)

La bonne réponse est $2^{3}\times 2^{4}=2^{7}=128$ . La base ne bouge pas parce qu'elle dit QUEL nombre on répète, tandis que l'exposant dit COMBIEN de fois on le répète : en écrivant trois $2$ puis quatre $2$ , on obtient sept $2$ , pas sept $4$ . Le contrôle numérique tranche en une ligne, $8\times 16=128$ , alors que $4^{7}=16\,384$ , soit cent vingt-huit fois trop grand.

Exercice 3 : Racines carrées : simplifier, additionner, rendre le dénominateur entier

La racine carrée est le premier nombre du collège qui n'a pas d'écriture décimale exacte. On ne peut donc pas l'écrire autrement que sous la forme $\sqrt{\phantom{a}}$ , et toute la technique consiste à la manipuler telle quelle.

Deux règles seulement : $\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ et $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ , valables pour $a$ et $b$ positifs. Il n'en existe AUCUNE pour l'addition.

1) Écrivez $\sqrt{50}$ , $\sqrt{72}$ et $\sqrt{18}$ sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $b$ le plus petit possible.
2) Calculez $A=\sqrt{50}+\sqrt{72}-\sqrt{18}$ .
3) Calculez $B=\sqrt{45}\times\sqrt{5}$ et $C=\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}$ .
4) Écrivez $D=\dfrac{6}{\sqrt{3}}$ avec un dénominateur entier.
5) Développez $E=(2+\sqrt{3})^{2}$ .
6) Calculez $F=(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})$ .
7) Comparez $\sqrt{9+16}$ et $\sqrt{9}+\sqrt{16}$ . Que faut-il en conclure ?
8) Un élève affirme que $\sqrt{a^{2}}=a$ pour tout nombre $a$ . Testez avec $a=-4$ , puis corrigez l'énoncé.

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1)

a

dans

\sqrt{50}

a

dans

\sqrt{72}

a

dans

\sqrt{18}

Valeur commune de

b

2)

A

3)

B

C

4)

D

5)

E

6)

F

7)

\sqrt{9+16}

\sqrt{9}+\sqrt{16}

8)

\sqrt{(-4)^{2}}

Énoncé correct

Voir la correction

Réponses

1) $5\sqrt{2}$ , $6\sqrt{2}$ , $3\sqrt{2}$
2) $A=8\sqrt{2}$
3) $B=15$ , $C=5$
4) $D=2\sqrt{3}$
5) $E=7+4\sqrt{3}$
6) $F=3$
7) $5\neq 7$ : la racine ne se distribue pas sur une somme
8) $\sqrt{(-4)^{2}}=4\neq -4$ ; $\sqrt{a^{2}}=|a|$

1)

On cherche dans le nombre placé sous la racine le plus grand carré parfait qui le divise. $50=25\times 2$ , donc $\sqrt{50}=\sqrt{25}\times\sqrt{2}=5\sqrt{2}$ . $72=36\times 2$ , donc $\sqrt{72}=6\sqrt{2}$ . $18=9\times 2$ , donc $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ . La liste des carrés à connaître par cœur s'arrête à $144$ : $4$ , $9$ , $16$ , $25$ , $36$ , $49$ , $64$ , $81$ , $100$ , $121$ , $144$ . Un élève qui ne les reconnaît pas passe trois fois plus de temps sur ce chapitre.

2)

Une fois les trois racines ramenées à la même racine $\sqrt{2}$ , elles s'additionnent comme des $x$ : $A=5\sqrt{2}+6\sqrt{2}-3\sqrt{2}=(5+6-3)\sqrt{2}=8\sqrt{2}$ . C'est exactement le mécanisme de $5x+6x-3x=8x$ , et $\sqrt{2}$ joue le rôle de la lettre. Il ne faut donc surtout pas convertir en décimales avant : $7{,}07+8{,}49-4{,}24$ donne $11{,}32$ , une valeur approchée qui perd l'information utile, à savoir que la réponse vaut huit fois $\sqrt{2}$ .

3)

$B=\sqrt{45\times 5}=\sqrt{225}=15$ , un entier. $C=\sqrt{\dfrac{75}{3}}=\sqrt{25}=5$ . Ces deux résultats montrent qu'une racine peut disparaître complètement : il faut donc toujours regarder si le nombre obtenu sous la racine n'est pas un carré parfait avant de conclure.

4)

On multiplie en haut et en bas par $\sqrt{3}$ , ce qui ne change pas la valeur puisque cela revient à multiplier par $1$ : $D=\dfrac{6\times\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}}=\dfrac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$ . On a utilisé $\sqrt{3}\times\sqrt{3}=3$ , qui est la définition même de la racine carrée. Cette technique porte un nom, rendre le dénominateur rationnel, et elle sert dès la seconde pour reconnaître deux écritures d'un même nombre.

5)

C'est l'identité $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ avec $a=2$ et $b=\sqrt{3}$ : $E=4+2\times 2\times\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}=4+4\sqrt{3}+3=7+4\sqrt{3}$ . Le carré de $\sqrt{3}$ vaut $3$ , il n'y a plus de racine dans ce terme. Écrire $E=4+3=7$ reviendrait à oublier le double produit, l'erreur numéro un des identités remarquables.

6)

C'est $(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$ avec $a=\sqrt{5}$ et $b=\sqrt{2}$ : $F=(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{2})^{2}=5-2=3$ . Les deux racines disparaissent d'un coup, et le résultat est un entier. Cette configuration, appelée quantité conjuguée, est la méthode générale pour rendre entier un dénominateur du type $\sqrt{5}+\sqrt{2}$ , et elle revient en seconde puis en première.

7)

$\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$ , tandis que $\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7$ . Les deux nombres sont différents, donc la racine carrée ne se distribue PAS sur une addition. C'est le contre-exemple à retenir, parce qu'un seul contre-exemple réfute définitivement l'affirmation $\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ . En revanche, la racine se distribue bien sur un produit et sur un quotient : ce sont les deux seules règles, et il n'y en a pas de troisième.

8)

Avec $a=-4$ : $\sqrt{(-4)^{2}}=\sqrt{16}=4$ , alors que $a$ vaut $-4$ . L'affirmation est donc fausse dès que $a$ est négatif. L'énoncé correct est $\sqrt{a^{2}}=a$ SI $a$ est positif, et $\sqrt{a^{2}}=-a$ si $a$ est négatif, ce qui se résume en $\sqrt{a^{2}}=|a|$ , la valeur absolue de $a$ . La raison tient en une ligne : le symbole $\sqrt{\phantom{a}}$ désigne toujours le nombre POSITIF dont le carré est donné. En seconde, cette remarque devient un chapitre entier ; la voir arriver dès la troisième évite d'écrire des absurdités.

Exercice 4 : Diviseurs, nombres premiers et PGCD

L'arithmétique du collège sert à une seule chose, mais elle y sert tout le temps : rendre une fraction irréductible. Une expression algébrique de seconde ne se simplifie pas autrement.

Rappel de vocabulaire : un nombre premier a EXACTEMENT deux diviseurs, $1$ et lui-même. Le nombre $1$ n'est donc pas premier, puisqu'il n'en a qu'un seul.

1) Donnez la liste complète des diviseurs de $60$ , et dites combien il y en a.
2) Décomposez $360$ et $84$ en produits de facteurs premiers.
3) Calculez $\mathrm{PGCD}(360\,;84)$ par l'algorithme d'Euclide, puis retrouvez-le sur les décompositions.
4) Rendez $\dfrac{360}{84}$ irréductible.
5) Un fleuriste dispose de $360$ roses et de $84$ lys. Il veut composer le plus grand nombre possible de bouquets identiques, sans rien laisser. Combien de bouquets, et de quelle composition ?
6) Le nombre $211$ est-il premier ? Justifiez en indiquant précisément les divisions que vous avez testées.
7) Expliquez pourquoi il suffit de tester les diviseurs premiers jusqu'à $\sqrt{n}$ pour savoir si $n$ est premier.
8) Le nombre $91$ est-il premier ? Puis dites si $2\times 3\times 5\times 7+1$ est divisible par $2$ , par $3$ , par $5$ ou par $7$ , et pourquoi.

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1)

Nombre de diviseurs de

60

2)

360

84

3)

PGCD

4)

Numérateur

Dénominateur

5)

Bouquets

Roses par bouquet

Lys par bouquet

6)

211

est-il premier ?

Plus grand nombre premier à tester

7)

Raison

8)

91

est-il premier ?

2\times 3\times 5\times 7+1

Reste dans la division par

7

Voir la correction

Réponses

1) $12$ diviseurs : $1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60$
2) $360=2^{3}\times 3^{2}\times 5$ et $84=2^{2}\times 3\times 7$
3) $\mathrm{PGCD}(360\,;84)=12$
4) $\dfrac{30}{7}$
5) $12$ bouquets de $30$ roses et $7$ lys
6) Premier : aucun des premiers $2,3,5,7,11,13$ ne le divise
7) Si $n=a\times b$ , l'un des deux facteurs est au plus $\sqrt{n}$
8) $91=7\times 13$ n'est pas premier ; $211$ laisse le reste $1$ dans chaque division

1)

On teste $1$ , $2$ , $3$ , et ainsi de suite en s'arrêtant à $\sqrt{60}\approx 7{,}7$ , chaque diviseur trouvé en donnant un second : $1$ et $60$ , $2$ et $30$ , $3$ et $20$ , $4$ et $15$ , $5$ et $12$ , $6$ et $10$ . La liste est donc $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $10$ , $12$ , $15$ , $20$ , $30$ , $60$ , soit $12$ diviseurs. Chercher par paires évite d'en oublier, et c'est la seule méthode qui garantisse une liste complète.

2)

On divise par les nombres premiers dans l'ordre. $360=2\times 180=2^{2}\times 90=2^{3}\times 45=2^{3}\times 3^{2}\times 5$ . De même $84=2\times 42=2^{2}\times 21=2^{2}\times 3\times 7$ . Une décomposition est unique, à l'ordre des facteurs près : c'est la carte d'identité du nombre.

3)

Algorithme d'Euclide : $360=4\times 84+24$ , puis $84=3\times 24+12$ , puis $24=2\times 12+0$ . Le dernier reste non nul est $12$ , donc $\mathrm{PGCD}(360\,;84)=12$ . Sur les décompositions, on garde les facteurs COMMUNS affectés du plus petit exposant : $2$ apparaît au cube d'un côté et au carré de l'autre, on garde $2^{2}$ ; $3$ apparaît au carré d'un côté et à la puissance $1$ de l'autre, on garde $3$ ; le $5$ et le $7$ ne sont pas communs. Donc $2^{2}\times 3=12$ , la même réponse. L'algorithme d'Euclide est plus rapide sur de grands nombres, la décomposition est plus parlante.

4)

On divise en haut et en bas par le PGCD, ce qui donne du premier coup la fraction irréductible : $\dfrac{360}{84}=\dfrac{360\div 12}{84\div 12}=\dfrac{30}{7}$ . Vérification : $30=2\times 3\times 5$ et $7$ est premier, aucun facteur commun, la fraction est bien irréductible. C'est tout l'intérêt du PGCD, simplifier en une seule étape au lieu de tâtonner par $2$ , puis par $2$ , puis par $3$ .

5)

Le nombre de bouquets doit diviser $360$ et diviser $84$ , et on le veut le plus grand possible : c'est donc le PGCD, soit $12$ bouquets. Chacun contient $360\div 12=30$ roses et $84\div 12=7$ lys. On reconnaît la fraction $\dfrac{30}{7}$ de la question précédente : la fraction irréductible donne directement la composition d'un bouquet. Vérification : $12\times 30=360$ et $12\times 7=84$ .

6)

$\sqrt{211}\approx 14{,}5$ , il suffit donc de tester les nombres premiers inférieurs à $14{,}5$ , c'est-à-dire $2$ , $3$ , $5$ , $7$ , $11$ et $13$ . Le nombre $211$ est impair, donc pas divisible par $2$ . Sa somme des chiffres vaut $4$ , qui n'est pas multiple de $3$ . Il ne se termine ni par $0$ ni par $5$ . Ensuite $211=7\times 30+1$ , $211=11\times 19+2$ et $211=13\times 16+3$ : aucune division ne tombe juste. Donc $211$ est premier. Six divisions suffisent, contre deux cent neuf si l'on teste tout.

7)

Si $n$ n'est pas premier, il s'écrit $n=a\times b$ avec $a$ et $b$ tous deux différents de $1$ et de $n$ . Ces deux facteurs ne peuvent pas être tous les deux plus grands que $\sqrt{n}$ , sinon leur produit dépasserait $\sqrt{n}\times\sqrt{n}=n$ . L'un au moins est donc inférieur ou égal à $\sqrt{n}$ , et comme il possède lui-même un diviseur premier, ce diviseur premier est lui aussi inférieur ou égal à $\sqrt{n}$ . Autrement dit, si aucun nombre premier jusqu'à $\sqrt{n}$ ne divise $n$ , alors $n$ est premier.

8)

Le nombre $91$ n'est pas premier : $91=7\times 13$ . Il résiste aux tests par $2$ , par $3$ et par $5$ , ce qui le fait passer pour premier chez beaucoup d'élèves ; il faut aller jusqu'à $\sqrt{91}\approx 9{,}5$ , donc tester aussi $7$ . Ensuite $2\times 3\times 5\times 7+1=211$ . Il n'est divisible par aucun de ces quatre nombres, car la division par $2$ , par $3$ , par $5$ ou par $7$ tombe juste sur $210$ et laisse donc toujours le reste $1$ . C'est l'idée de la démonstration d'Euclide : à partir d'une liste finie de nombres premiers, on peut toujours en fabriquer un nouveau, donc il en existe une infinité.

Exercice 5 : Proportionnalité, pourcentages et évolutions successives

Un pourcentage n'est pas une quantité que l'on ajoute, c'est un COEFFICIENT par lequel on multiplie. Augmenter de $15\,\%$ , c'est multiplier par $1{,}15$ ; diminuer de $15\,\%$ , c'est multiplier par $0{,}85$ .

Toute la difficulté des évolutions successives vient de là : des coefficients se multiplient entre eux, alors que des pourcentages ne s'additionnent pas.

1) Un article coûte $80$ dollars. Son prix augmente de $15\,\%$ . Calculez le nouveau prix.
2) Le mois suivant, ce nouveau prix baisse de $15\,\%$ . Calculez le prix final. Revient-on à $80$ dollars ?
3) Donnez le coefficient multiplicateur global des deux évolutions, puis le pourcentage d'évolution correspondant.
4) Après une hausse de $20\,\%$ , un abonnement coûte $96$ dollars. Quel était son prix avant la hausse ?
5) La population d'un village passe de $2\,500$ à $2\,750$ habitants. Calculez le taux d'évolution en pourcentage.
6) Sur une carte à l'échelle $\dfrac{1}{25\,000}$ , deux écoles sont distantes de $3{,}6$ cm. Quelle est la distance réelle, en mètres ?
7) Un cycliste parcourt $15$ km en $12$ minutes. Calculez sa vitesse moyenne en kilomètres par heure.
8) Une recette pour $4$ personnes demande $250$ g de farine. Quelle masse faut-il pour $6$ personnes ? Puis expliquez pourquoi la relation entre le nombre de personnes et la masse de farine est une fonction linéaire.

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1)

Nouveau prix dollars

2)

Prix final dollars

Revient-on à

80

dollars ?

3)

Coefficient global

Évolution globale %

4)

Prix avant la hausse dollars

5)

Taux d'évolution %

6)

Distance réelle m

7)

Vitesse moyenne km/h

8)

Masse pour

6

personnes g

Pourquoi linéaire

Voir la correction

Réponses

1) $92$ dollars
2) $78{,}20$ dollars : on ne revient pas à $80$
3) $0{,}9775$ , soit une baisse de $2{,}25$ %
4) $80$ dollars
5) $+10$ %
6) $900$ m
7) $75$ km/h
8) $375$ g ; $f(n)=62{,}5\,n$ , coefficient fixe

1)

Augmenter de $15\,\%$ revient à multiplier par $1+\dfrac{15}{100}=1{,}15$ . Le nouveau prix vaut $80\times 1{,}15=92$ dollars. On peut aussi calculer la hausse puis l'ajouter, $80\times 0{,}15=12$ puis $80+12=92$ , mais le coefficient est préférable : c'est lui qui permet d'enchaîner les évolutions à la question 3.

2)

Baisser de $15\,\%$ revient à multiplier par $1-0{,}15=0{,}85$ , en partant du prix ACTUEL, c'est-à-dire de $92$ dollars et non de $80$ : $92\times 0{,}85=78{,}20$ dollars. On ne revient donc pas à $80$ dollars, mais un peu en dessous. La raison est que la hausse de $15\,\%$ portait sur $80$ dollars alors que la baisse de $15\,\%$ porte sur $92$ dollars, une base plus grande, donc une baisse plus grosse en valeur absolue.

3)

Les coefficients se multiplient : $1{,}15\times 0{,}85=0{,}9775$ . Comme $0{,}9775<1$ , il s'agit d'une BAISSE globale, et $1-0{,}9775=0{,}0225$ , soit une baisse de $2{,}25\,\%$ . Vérification directe : $80\times 0{,}9775=78{,}20$ dollars, le prix de la question 2. Le résultat serait le même dans l'autre ordre, puisque la multiplication est commutative : une baisse de $15\,\%$ suivie d'une hausse de $15\,\%$ conduit exactement au même prix final.

4)

Le prix initial, multiplié par $1{,}2$ , donne $96$ dollars. On remonte donc en DIVISANT : $\dfrac{96}{1{,}2}=80$ dollars. Retrancher $20\,\%$ de $96$ donnerait $76{,}80$ , ce qui est faux, parce que les $20\,\%$ portaient sur le prix initial et non sur le prix final. La vérification est obligatoire et immédiate : $80\times 1{,}2=96$ .

5)

Le taux d'évolution se calcule toujours par $\dfrac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}$ , soit $\dfrac{2\,750-2\,500}{2\,500}=\dfrac{250}{2\,500}=0{,}1$ , c'est-à-dire une hausse de $10\,\%$ . Le dénominateur est la valeur de DÉPART : c'est le point où tout se joue, et diviser par $2\,750$ donnerait $9{,}09\,\%$ , une réponse fausse mais très proche, donc difficile à repérer sans méthode.

6)

Une échelle de $\dfrac{1}{25\,000}$ signifie que $1$ cm sur la carte représente $25\,000$ cm dans la réalité. Donc $3{,}6$ cm représentent $3{,}6\times 25\,000=90\,000$ cm, soit $900$ m, ou encore $0{,}9$ km. La conversion est le seul risque du calcul : $90\,000$ cm font $900$ m parce qu'il y a $100$ cm dans un mètre. Une réponse en kilomètres sans conversion, du type $90\,000$ km, est absurde à l'échelle d'une carte de ville, et ce contrôle de bon sens suffit à la rejeter.

7)

On peut passer par la proportionnalité : en $12$ minutes il parcourt $15$ km, et $60$ minutes valent cinq fois $12$ minutes, donc il parcourt $5\times 15=75$ km en une heure. Sa vitesse moyenne est de $75$ km/h. Par la formule, $v=\dfrac{d}{t}$ avec $t=\dfrac{12}{60}=0{,}2$ h, soit $v=\dfrac{15}{0{,}2}=75$ km/h. Le point délicat n'est pas le calcul mais l'unité de temps : diviser $15$ par $12$ donnerait $1{,}25$ , qui est une vitesse en kilomètres par minute, pas par heure.

8)

On passe de $4$ à $6$ personnes en multipliant par $\dfrac{6}{4}=1{,}5$ , donc il faut $250\times 1{,}5=375$ g de farine. On peut aussi passer par une personne, $250\div 4=62{,}5$ g, puis $62{,}5\times 6=375$ g. La relation est linéaire parce que la masse s'obtient en multipliant le nombre de personnes par un coefficient FIXE, ici $62{,}5$ : on a $f(n)=62{,}5\,n$ . Deux fois plus de convives demandent exactement deux fois plus de farine, et zéro convive demande zéro farine, ce qui est la signature d'une fonction linéaire. C'est le lien direct avec l'exercice 12 : une situation de proportionnalité et une fonction linéaire sont deux façons de dire la même chose.

Exercice 6 : Développer : distributivité et identités remarquables

Développer, c'est transformer un produit en somme. En seconde, ce geste n'est plus une fin en soi : il sert à comparer deux expressions, à reconnaître une forme utile, à préparer une factorisation. Il doit donc être automatique et sans faute.

Le rectangle ci-dessous a pour dimensions $x+5$ et $x+2$ , où $x$ désigne un nombre positif.

1) En calculant l'aire des quatre morceaux du rectangle, écrivez l'aire totale sous la forme d'une somme, puis vérifiez ce résultat par le calcul littéral.
2) Développez et réduisez $A=3x(2x-5)$ .
3) Développez et réduisez $B=(2x+3)(x-4)$ .
4) Développez et réduisez $C=(3x+4)^{2}$ , puis $D=(5-2x)^{2}$ .
5) Développez et réduisez $E=(3x-7)(3x+7)$ .
6) Développez et réduisez $F=(2x+1)^{2}-(x-3)(x+3)$ .
7) Vérifiez le résultat de la question 6 pour $x=2$ , en calculant $F$ des deux façons.
8) Un élève écrit $(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}$ . Donnez un contre-exemple numérique, puis dites quel terme il a oublié et à quoi ce terme correspond sur la figure.

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1)

Aire totale

2)

A

3)

B

4)

C

D

5)

E

6)

F

7)

F

pour

x=2

8)

Terme oublié

Voir la correction

Réponses

1) $x^{2}+7x+10$
2) $A=6x^{2}-15x$
3) $B=2x^{2}-5x-12$
4) $C=9x^{2}+24x+16$ ; $D=4x^{2}-20x+25$
5) $E=9x^{2}-49$
6) $F=3x^{2}+4x+10$
7) $F(2)=30$ par les deux formes
8) $(1+1)^{2}=4\neq 2$ : il manque le double produit $2ab$

1)

Le trait vertical partage la largeur en $x$ et $5$ , le trait horizontal partage la hauteur en $x$ et $2$ . Les quatre morceaux ont pour aires $x\times x=x^{2}$ , $5\times x=5x$ , $x\times 2=2x$ et $5\times 2=10$ . Leur somme vaut $x^{2}+5x+2x+10=x^{2}+7x+10$ . Par le calcul, $(x+5)(x+2)=x^{2}+2x+5x+10=x^{2}+7x+10$ : les deux résultats coïncident. Développer, c'est donc lire une même aire de deux façons, et cette lecture explique la double distributivité mieux qu'une règle apprise par cœur.

2)

La simple distributivité multiplie le facteur de devant par CHAQUE terme de la parenthèse : $A=3x\times 2x-3x\times 5=6x^{2}-15x$ . Le premier produit vaut $6x^{2}$ et non $6x$ , parce que $x\times x=x^{2}$ . Oublier le carré est l'erreur la plus fréquente sur cette question, et elle se repère en testant $x=1$ : $A$ doit valoir $3\times(2-5)=-9$ , et $6-15=-9$ convient.

3)

$B=(2x+3)(x-4)=2x\times x+2x\times(-4)+3\times x+3\times(-4)=2x^{2}-8x+3x-12=2x^{2}-5x-12$ . Quatre produits, jamais deux : chaque terme de la première parenthèse rencontre chaque terme de la seconde. Le signe de $-4$ voyage avec lui, ce qui donne bien $-8x$ puis $-12$ . Contrôle pour $x=0$ : $B=3\times(-4)=-12$ , et le terme constant du développement vaut $-12$ .

4)

$C=(3x+4)^{2}=(3x)^{2}+2\times 3x\times 4+4^{2}=9x^{2}+24x+16$ . Le carré porte sur le BLOC $3x$ tout entier, donc $9x^{2}$ et non $3x^{2}$ . Ensuite $D=(5-2x)^{2}=5^{2}-2\times 5\times 2x+(2x)^{2}=25-20x+4x^{2}$ . Le dernier terme est positif même si le signe du milieu est négatif, puisque le carré d'un nombre négatif est positif.

5)

On reconnaît $(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$ avec $a=3x$ et $b=7$ : $E=(3x)^{2}-7^{2}=9x^{2}-49$ . Le terme en $x$ disparaît, et c'est justement la signature de cette identité : si l'on retrouve un terme en $x$ après développement, c'est qu'on s'est trompé d'identité.

6)

On développe chaque morceau séparément avant de soustraire : $(2x+1)^{2}=4x^{2}+4x+1$ et $(x-3)(x+3)=x^{2}-9$ . Puis $F=4x^{2}+4x+1-(x^{2}-9)$ . Le signe moins porte sur TOUTE la parenthèse, donc $F=4x^{2}+4x+1-x^{2}+9=3x^{2}+4x+10$ . Le $-9$ devient $+9$ : c'est ici que se perdent les points, et écrire la parenthèse avant de la supprimer coûte trois secondes et évite l'erreur.

7)

Par la forme développée, $F=3\times 2^{2}+4\times 2+10=12+8+10=30$ . Par la forme de départ, $F=(2\times 2+1)^{2}-(2-3)(2+3)=5^{2}-(-1)\times 5=25+5=30$ . Les deux chemins donnent $30$ , ce qui valide le développement. Cette vérification par une valeur numérique est le seul contrôle disponible en devoir, et elle attrape presque toutes les erreurs de signe. Une valeur comme $x=1$ ou $x=2$ suffit, mais éviter $x=0$ , qui ne teste que le terme constant.

8)

Avec $a=1$ et $b=1$ : $(1+1)^{2}=4$ , alors que $1^{2}+1^{2}=2$ . L'affirmation est donc fausse. Le terme oublié est le double produit $2ab$ , ici $2\times 1\times 1=2$ , qui rétablit l'égalité $4=1+2+1$ . Sur la figure, si l'on prend un carré de côté $x+5$ , le double produit correspond aux DEUX rectangles latéraux, celui de $5$ sur $x$ et celui de $x$ sur $5$ , que l'élève oublie en ne gardant que les deux carrés des coins. Un carré construit sur une somme n'est jamais la somme des carrés : c'est le résultat le plus utile, et le plus souvent maltraité, de tout le collège.

Exercice 7 : Factoriser : facteur commun, facteur caché, identité remarquable

Factoriser, c'est transformer une somme en produit. C'est le geste inverse du précédent, et de loin le plus difficile, parce qu'il faut RECONNAÎTRE une structure au lieu de dérouler un calcul.

L'ordre de recherche est toujours le même : on cherche d'abord un facteur commun, et seulement s'il n'y en a pas, on cherche une identité remarquable.

1) Factorisez $A=6x^{2}+9x$ .
2) Factorisez $B=(2x+1)(x-3)+(2x+1)(4x+5)$ .
3) Factorisez $C=(x-4)^{2}-(x-4)(3x+1)$ .
4) Factorisez $D=(5x-2)+(5x-2)(x+7)$ .
5) Factorisez $E=9x^{2}-25$ et $F=x^{2}+10x+25$ .
6) Factorisez $G=4x^{2}-12x+9$ , puis expliquez comment vous avez vérifié qu'il s'agissait bien d'un carré.
7) Factorisez $H=(3x+2)^{2}-16$ le plus complètement possible.
8) Peut-on factoriser $K=x^{2}+9$ ? Justifiez, et dites ce qui change avec $L=x^{2}-9$ .

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1)

A

2)

B

3)

C

4)

D

5)

E

F

6)

G

7)

H

factorisé au maximum

8)

K

se factorise-t-il ?

L

Voir la correction

Réponses

1) $A=3x(2x+3)$
2) $B=(2x+1)(5x+2)$
3) $C=-(x-4)(2x+5)$
4) $D=(5x-2)(x+8)$
5) $E=(3x-5)(3x+5)$ ; $F=(x+5)^{2}$
6) $G=(2x-3)^{2}$
7) $H=3(3x-2)(x+2)$
8) $K$ ne se factorise pas ; $L=(x-3)(x+3)$

1)

Les deux termes contiennent $3$ et contiennent $x$ , le facteur commun est donc $3x$ : $A=3x\times 2x+3x\times 3=3x(2x+3)$ . Pour vérifier, on redéveloppe mentalement, $3x\times 2x=6x^{2}$ et $3x\times 3=9x$ , on retrouve bien $A$ . Factoriser incomplètement, par exemple en écrivant $3(2x^{2}+3x)$ , n'est pas faux mais ne va pas jusqu'au bout, et coûte des points en seconde parce que la forme obtenue ne permet pas de résoudre l'équation $A=0$ .

2)

Le facteur commun est la parenthèse $(2x+1)$ tout entière. On la met devant, et l'on additionne ce qui restait : $B=(2x+1)\big[(x-3)+(4x+5)\big]=(2x+1)(5x+2)$ . Le facteur commun n'est pas obligé d'être un nombre ou une lettre : c'est n'importe quel bloc identique présent dans chaque terme. Reconnaître ce bloc est exactement l'apprentissage de la question.

3)

On écrit $(x-4)^{2}$ comme $(x-4)(x-4)$ , ce qui fait apparaître le facteur commun $(x-4)$ : $C=(x-4)\big[(x-4)-(3x+1)\big]$ . Le crochet vaut $x-4-3x-1=-2x-5$ , le signe moins ayant changé les deux termes de la seconde parenthèse. Donc $C=(x-4)(-2x-5)$ , ou encore $C=-(x-4)(2x+5)$ , forme plus lisible. Contrôle pour $x=0$ : $C=16-(-4)\times 1=20$ , et $(0-4)(-5)=20$ .

4)

Le premier terme est $(5x-2)$ tout seul, ce qui revient à $(5x-2)\times 1$ : le $1$ est invisible mais bien présent. Donc $D=(5x-2)\big[1+(x+7)\big]=(5x-2)(x+8)$ . Oublier ce $1$ et écrire $(5x-2)(x+7)$ est le piège classique de la question ; le contrôle pour $x=0$ le détecte, puisque $D=-2+(-2)\times 7=-16$ et que $(-2)\times 8=-16$ convient alors que $(-2)\times 7=-14$ ne convient pas.

5)

$E=9x^{2}-25=(3x)^{2}-5^{2}=(3x-5)(3x+5)$ , c'est la différence de deux carrés. Pour $F=x^{2}+10x+25$ , on vérifie les trois conditions du carré parfait : le premier terme est $x^{2}$ , le dernier est $5^{2}$ , et le terme du milieu vaut $2\times x\times 5=10x$ . Les trois sont remplies, donc $F=(x+5)^{2}$ .

6)

$G=4x^{2}-12x+9=(2x)^{2}-2\times 2x\times 3+3^{2}=(2x-3)^{2}$ . La vérification est celle des trois conditions : $4x^{2}$ est le carré de $2x$ , $9$ est le carré de $3$ , et le double produit vaut $2\times 2x\times 3=12x$ , qui est bien le terme du milieu au signe près. C'est ce troisième contrôle qui compte : sans lui, on écrirait $(2x-3)^{2}$ pour $4x^{2}-10x+9$ , qui n'est pas un carré. Le signe du milieu, négatif ici, donne le signe à l'intérieur de la parenthèse.

7)

On reconnaît d'abord une différence de deux carrés, $a=3x+2$ et $b=4$ : $H=\big[(3x+2)-4\big]\big[(3x+2)+4\big]=(3x-2)(3x+6)$ . Ce n'est pas fini : le second facteur admet le facteur commun $3$ , donc $H=3(3x-2)(x+2)$ . Factoriser le plus complètement possible signifie recommencer sur chaque facteur obtenu tant que quelque chose sort. Contrôle pour $x=0$ : $H=4-16=-12$ , et $3\times(-2)\times 2=-12$ .

8)

On ne peut pas factoriser $K=x^{2}+9$ : c'est une SOMME de deux carrés, et il n'existe aucune identité pour la somme. On peut le vérifier autrement : $K$ vaut au minimum $9$ , il ne s'annule donc jamais, alors qu'un produit factorisé s'annulerait pour au moins une valeur de $x$ . En revanche $L=x^{2}-9=(x-3)(x+3)$ , parce que la DIFFÉRENCE de deux carrés se factorise, et $L$ s'annule bien pour $x=3$ et pour $x=-3$ . Un signe change tout, et c'est la distinction la plus rentable du chapitre.

Exercice 8 : Équations, inéquations et mise en équation

Résoudre une équation, c'est isoler l'inconnue en faisant la même chose des deux côtés du signe égal. Une inéquation se résout de la même façon, avec une seule différence, mais elle est décisive : multiplier ou diviser par un nombre NÉGATIF renverse le sens de l'inégalité.

Attention aussi à deux cas que la seconde exige de savoir reconnaître : une équation peut n'avoir aucune solution, et une autre peut en avoir une infinité.

1) Résolvez $5x-7=3x+11$ .
2) Résolvez $\dfrac{2x-1}{3}=\dfrac{x+4}{5}$ .
3) Résolvez $3(x-2)-2(4-x)=5x+1$ et interprétez le résultat.
4) Résolvez $2(x+3)-1=2x+5$ et interprétez le résultat.
5) Résolvez $4x-3\le 9$ et représentez l'ensemble des solutions sur une droite graduée.
6) Résolvez $-2x+1>7$ .
7) Le périmètre d'un rectangle vaut $46$ cm et sa longueur dépasse sa largeur de $7$ cm. Calculez ses dimensions, puis son aire.
8) Un père a $42$ ans et son fils $12$ ans. Dans combien d'années l'âge du père sera-t-il exactement le double de celui du fils ?

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Réponses

1) $x=9$
2) $x=\dfrac{17}{7}$
3) $-14=1$ : aucune solution
4) $5=5$ : tout nombre est solution
5) $x\leq 3$ , soit $]-\infty\,;3]$
6) $x<-3$ , soit $]-\infty\,;-3[$
7) $8$ cm sur $15$ cm, aire $120$ cm²
8) Dans $18$ ans

1)

On regroupe les $x$ d'un côté et les nombres de l'autre : $5x-3x=11+7$ , donc $2x=18$ et $x=9$ . Vérification obligatoire dans l'équation de DÉPART : à gauche $5\times 9-7=38$ , à droite $3\times 9+11=38$ . La vérification n'est pas une politesse, c'est le seul moyen de détecter une erreur de signe pendant le devoir.

2)

On multiplie en croix, ce qui revient à multiplier les deux membres par $15$ : $5(2x-1)=3(x+4)$ , soit $10x-5=3x+12$ , puis $7x=17$ et $x=\dfrac{17}{7}$ . La réponse est une fraction, et elle reste sous cette forme : $2{,}428\ldots$ serait une valeur approchée, donc une réponse fausse. Vérification : $\dfrac{2\times\frac{17}{7}-1}{3}=\dfrac{\frac{27}{7}}{3}=\dfrac{9}{7}$ , et $\dfrac{\frac{17}{7}+4}{5}=\dfrac{\frac{45}{7}}{5}=\dfrac{9}{7}$ .

3)

On développe : $3x-6-8+2x=5x+1$ , soit $5x-14=5x+1$ . En retranchant $5x$ des deux côtés, il reste $-14=1$ , ce qui est faux quel que soit $x$ . L'équation n'a donc AUCUNE solution. Ce n'est pas une erreur de calcul : la disparition simultanée des $x$ signifie que les deux membres varient exactement de la même façon en restant décalés de $15$ , ils ne peuvent jamais se rejoindre. Graphiquement, ce sont deux droites parallèles distinctes.

4)

On développe : $2x+6-1=2x+5$ , soit $2x+5=2x+5$ . En retranchant $2x$ , il reste $5=5$ , qui est vrai quel que soit $x$ . TOUT nombre est donc solution. Les deux membres étaient en réalité la même expression écrite de deux façons ; graphiquement, les deux droites sont confondues. Avec la question 3, ce sont les deux situations que la seconde demande de reconnaître au premier coup d'œil, et qu'un élève non prévenu prend pour une erreur de sa part.

5)

On ajoute $3$ des deux côtés, $4x\le 12$ , puis on divise par $4$ , qui est POSITIF, donc le sens ne change pas : $x\le 3$ . L'ensemble des solutions est représenté ci-dessous par la demi-droite hachurée allant de $3$ vers la gauche, le nombre $3$ étant inclus. Contrôle par un essai : $x=0$ donne $-3\le 9$ , vrai ; $x=4$ donne $13\le 9$ , faux. Deux essais bien choisis valident la réponse et son sens.

6)

On retranche $1$ : $-2x>6$ . On divise par $-2$ , qui est NÉGATIF, donc l'inégalité change de sens : $x<-3$ . Le test tranche : $x=-4$ donne $8+1=9>7$ , vrai ; $x=0$ donne $1>7$ , faux. Si l'on avait conservé le sens, on aurait écrit $x>-3$ , et $x=0$ aurait dû convenir, ce qui n'est pas le cas. La raison profonde est que multiplier par un nombre négatif retourne l'axe des nombres : ce qui était à droite passe à gauche.

7)

On appelle $l$ la largeur en centimètres. La longueur vaut alors $l+7$ , et le périmètre s'écrit $2\big[l+(l+7)\big]=46$ , soit $2(2l+7)=46$ , puis $2l+7=23$ , donc $2l=16$ et $l=8$ . La longueur vaut $8+7=15$ cm. Vérification : $2\times(8+15)=46$ cm. L'aire vaut $8\times 15=120$ cm carrés. Le point de méthode est la première ligne : nommer l'inconnue AVEC son unité et écrire la phrase de l'énoncé en langage mathématique. C'est cette ligne, pas le calcul, qui est notée en seconde.

8)

On appelle $x$ le nombre d'années cherché. Dans $x$ années, le père aura $42+x$ ans et le fils $12+x$ ans. La condition s'écrit $42+x=2(12+x)$ , soit $42+x=24+2x$ , donc $x=18$ . Dans $18$ ans, le père aura $60$ ans et le fils $30$ ans, et $60=2\times 30$ . Le piège est d'écrire $42=2\times 12$ en ajoutant $x$ d'un seul côté, ou de doubler l'âge du père : il faut relire la phrase, c'est l'âge du PÈRE qui vaut le double, donc le facteur $2$ se place devant l'âge du fils.

Exercice 9 : Équation produit nul, carrés égaux à un nombre, et racines exactes

Une seule règle donne accès à toutes les équations qui ne sont pas du premier degré : un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul. Elle ne vaut que pour ZÉRO, et pour aucun autre nombre.

Conséquence pratique : avant d'appliquer cette règle, il faut tout ramener d'un seul côté, pour avoir zéro en face, puis factoriser.

1) Résolvez $(2x-6)(x+4)=0$ .
2) Résolvez $x^{2}=49$ , puis $x^{2}=5$ , puis $x^{2}=-4$ .
3) Résolvez $x^{2}-9=0$ en factorisant, et comparez avec la méthode de la question 2.
4) Résolvez $x^{2}=5x$ . Que se passe-t-il si l'on divise les deux membres par $x$ ?
5) Résolvez $(x-2)^{2}=16$ .
6) Résolvez $9x^{2}-30x+25=0$ .
7) Résolvez $(3x+1)(x-2)=(3x+1)(5x+7)$ .
8) Un élève résout $(x-3)(x+5)=9$ en écrivant $x-3=9$ ou $x+5=9$ . Expliquez pourquoi ce raisonnement est faux, puis résolvez correctement.

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1)

Plus petite solution

Plus grande solution

2)

Plus petite solution de

x^{2}=49

Plus grande solution de

x^{2}=49

x^{2}=5

x^{2}=-4

3)

Plus petite solution

Plus grande solution

4)

Plus petite solution

Plus grande solution

En divisant par

x

5)

Plus petite solution

Plus grande solution

6)

Unique solution

7)

Plus petite solution

Plus grande solution

8)

Pourquoi c'est faux

Plus petite solution

Plus grande solution

Voir la correction

Réponses

1) $x=3$ ou $x=-4$
2) $\pm 7$ ; $\pm\sqrt{5}$ ; aucune solution
3) $x=3$ ou $x=-3$
4) $x=0$ ou $x=5$ ; diviser par $x$ perd $0$
5) $x=6$ ou $x=-2$
6) $x=\dfrac{5}{3}$
7) $x=-\dfrac{1}{3}$ ou $x=-\dfrac{9}{4}$
8) Le produit nul ne vaut que pour $0$ ; $x=4$ ou $x=-6$

1)

Le produit est nul, donc $2x-6=0$ ou $x+4=0$ , ce qui donne $x=3$ ou $x=-4$ . Une équation de ce type a deux solutions, et il faut les donner toutes les deux : n'en donner qu'une, c'est répondre à moitié. Vérification : $(2\times 3-6)(3+4)=0\times 7=0$ et $(2\times(-4)-6)(-4+4)=(-14)\times 0=0$ .

2)

$x^{2}=49$ a deux solutions, $x=7$ et $x=-7$ , car $(-7)^{2}=49$ aussi. $x^{2}=5$ a également deux solutions, $x=\sqrt{5}$ et $x=-\sqrt{5}$ , qui restent sous forme de racines : écrire $2{,}24$ serait une valeur approchée. Enfin $x^{2}=-4$ n'a AUCUNE solution, parce qu'un carré n'est jamais négatif. Trois situations, trois réponses différentes selon le signe du second membre : c'est exactement ce que la seconde attend qu'on sache trancher sans hésiter.

3)

On factorise : $x^{2}-9=(x-3)(x+3)$ , donc l'équation devient $(x-3)(x+3)=0$ , d'où $x=3$ ou $x=-3$ . La méthode de la question 2 donnerait directement $x^{2}=9$ puis $x=\pm 3$ , le même résultat. La factorisation est plus longue ici, mais c'est la seule des deux qui fonctionne encore quand l'équation contient un terme en $x$ , comme aux questions 4 et 6. C'est donc elle qu'il faut savoir faire.

4)

On ramène tout d'un côté : $x^{2}-5x=0$ , puis on factorise par $x$ : $x(x-5)=0$ , donc $x=0$ ou $x=5$ . Si l'on divise les deux membres par $x$ , on obtient $x=5$ et l'on PERD la solution $x=0$ . La raison est qu'on n'a pas le droit de diviser par une quantité qui peut être nulle, et $x=0$ est précisément le cas oublié. C'est l'erreur la plus coûteuse du chapitre, parce qu'elle donne une réponse qui a l'air correcte. La règle est simple : on ne divise jamais par l'inconnue, on factorise.

5)

Le carré vaut $16$ , donc $x-2=4$ ou $x-2=-4$ , ce qui donne $x=6$ ou $x=-2$ . On peut aussi tout ramener d'un côté, $(x-2)^{2}-16=0$ , reconnaître une différence de deux carrés et factoriser en $\big[(x-2)-4\big]\big[(x-2)+4\big]=(x-6)(x+2)=0$ , ce qui donne les mêmes solutions. Vérification : $(6-2)^{2}=16$ et $(-2-2)^{2}=16$ .

6)

On reconnaît un carré parfait : $9x^{2}-30x+25=(3x)^{2}-2\times 3x\times 5+5^{2}=(3x-5)^{2}$ . L'équation devient $(3x-5)^{2}=0$ , donc $3x-5=0$ et $x=\dfrac{5}{3}$ . Il n'y a ici qu'une seule solution, parce que les deux facteurs sont identiques. Vérification : $9\times\dfrac{25}{9}-30\times\dfrac{5}{3}+25=25-50+25=0$ .

7)

On ne développe surtout pas. On ramène tout à gauche : $(3x+1)(x-2)-(3x+1)(5x+7)=0$ , puis on factorise par $(3x+1)$ : $(3x+1)\big[(x-2)-(5x+7)\big]=0$ , et le crochet vaut $x-2-5x-7=-4x-9$ . Donc $(3x+1)(-4x-9)=0$ , d'où $x=-\dfrac{1}{3}$ ou $x=-\dfrac{9}{4}$ . Le réflexe de simplifier par $(3x+1)$ des deux côtés ferait perdre la solution $x=-\dfrac{1}{3}$ , exactement comme à la question 4.

8)

Le raisonnement est faux parce que la règle du produit nul ne vaut QUE pour zéro. Un produit égal à $9$ peut s'obtenir de mille façons, $1\times 9$ , $3\times 3$ , $18\times 0{,}5$ , et rien n'oblige un facteur à valoir $9$ . La bonne méthode consiste à tout ramener d'un côté : $(x-3)(x+5)-9=0$ , soit $x^{2}+2x-15-9=0$ , donc $x^{2}+2x-24=0$ . On complète alors le carré, $x^{2}+2x=(x+1)^{2}-1$ , ce qui donne $(x+1)^{2}-25=0$ , une différence de deux carrés : $(x+1-5)(x+1+5)=(x-4)(x+6)=0$ , d'où $x=4$ ou $x=-6$ . Vérification : $(4-3)(4+5)=1\times 9=9$ et $(-6-3)(-6+5)=(-9)\times(-1)=9$ . Ce passage par la forme canonique est exactement la méthode que la seconde généralise pour tous les trinômes.

Exercice 10 : Démontrer avec des lettres

Voici le vrai saut de la seconde. Jusqu'ici, la lettre servait à trouver un nombre inconnu ; désormais elle sert à parler de TOUS les nombres à la fois, donc à démontrer.

Une règle en découle, et elle est absolue : des exemples, même nombreux, ne démontrent rien, alors qu'un seul contre-exemple suffit à réfuter.

1) Programme de calcul : choisir un nombre non nul, lui ajouter $3$ , élever le résultat au carré, retrancher $9$ , puis diviser par le nombre choisi au départ. Appliquez-le à $4$ puis à $5$ .
2) Conjecturez le résultat du programme en fonction du nombre choisi, puis démontrez cette conjecture.
3) Démontrez que la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de $3$ .
4) Démontrez que la somme de deux nombres impairs est toujours paire.
5) Démontrez que la différence des carrés de deux entiers consécutifs est égale à la somme de ces deux entiers.
6) Démontrez que le produit de deux entiers consécutifs est toujours pair.
7) Un élève affirme que $n^{2}+n+11$ est un nombre premier pour tout entier naturel $n$ . Il l'a vérifié pour $n$ allant de $0$ à $9$ . Que pensez-vous de sa démonstration ? Testez $n=11$ .
8) Expliquez en deux phrases pourquoi un contre-exemple suffit à réfuter, alors qu'aucun nombre d'exemples ne suffit à démontrer.

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1)

Résultat pour

4

Résultat pour

5

2)

Résultat du programme

3)

Somme de

n-1

,

n

et

n+1

4)

Somme de

2n+1

et

2p+1

5)

(n+1)^{2}-n^{2}

6)

Méthode

7)

Valeur pour

n=11

Est-elle première ?

Plus petit

n

qui réfute

8)

Pourquoi

Voir la correction

Réponses

1) $10$ et $11$
2) Résultat $n+6$ , car $\dfrac{(n+3)^{2}-9}{n}=\dfrac{n(n+6)}{n}$
3) $(n-1)+n+(n+1)=3n$
4) $(2n+1)+(2p+1)=2(n+p+1)$
5) $(n+1)^{2}-n^{2}=2n+1=n+(n+1)$
6) $n$ pair ou $n+1$ pair : le produit est pair
7) Démonstration sans valeur ; $121=11^{2}$ pour $n=10$ , $143=11\times 13$ pour $n=11$
8) « Pour tout » exclut toute exception : un seul contre-exemple suffit, aucune liste d'exemples ne couvre l'infini

1)

Avec $4$ : $4+3=7$ , puis $7^{2}=49$ , puis $49-9=40$ , puis $40\div 4=10$ . Avec $5$ : $5+3=8$ , puis $8^{2}=64$ , puis $64-9=55$ , puis $55\div 5=11$ . Deux résultats, $10$ et $11$ , obtenus à partir de $4$ et de $5$ .

2)

On remarque que $10=4+6$ et que $11=5+6$ : la conjecture est que le programme renvoie le nombre choisi augmenté de $6$ . Pour le démontrer, on appelle $n$ le nombre choisi, non nul, et l'on suit le programme : $n+3$ , puis $(n+3)^{2}$ , puis $(n+3)^{2}-9$ , puis $\dfrac{(n+3)^{2}-9}{n}$ . On développe le numérateur : $(n+3)^{2}-9=n^{2}+6n+9-9=n^{2}+6n=n(n+6)$ . Donc le résultat vaut $\dfrac{n(n+6)}{n}=n+6$ , la simplification par $n$ étant licite puisque $n$ est non nul. La conjecture est démontrée pour TOUS les nombres, ce que les deux essais de la question 1 ne pouvaient pas faire. On peut aussi factoriser directement $(n+3)^{2}-9$ comme une différence de deux carrés, $(n+3-3)(n+3+3)=n(n+6)$ , ce qui évite tout développement.

3)

On note $n$ l'entier du milieu, ce qui rend le calcul beaucoup plus simple que de partir du plus petit. Les trois entiers consécutifs sont alors $n-1$ , $n$ et $n+1$ , et leur somme vaut $(n-1)+n+(n+1)=3n$ . Comme $3n$ est le produit de $3$ par un entier, c'est un multiple de $3$ . Au passage, la démonstration prouve plus que l'énoncé : la somme vaut trois fois l'entier du milieu, ce qui permet de calculer de tête $19+20+21=60$ .

4)

Un nombre impair s'écrit $2n+1$ avec $n$ entier. Deux nombres impairs quelconques s'écrivent donc $2n+1$ et $2p+1$ , avec DEUX lettres différentes, faute de quoi on ne démontrerait le résultat que pour deux impairs égaux. Leur somme vaut $(2n+1)+(2p+1)=2n+2p+2=2(n+p+1)$ . Comme $n+p+1$ est un entier, cette somme est le double d'un entier, donc paire. Le choix de deux lettres distinctes est le point de méthode de la question.

5)

Les deux entiers consécutifs sont $n$ et $n+1$ . La différence de leurs carrés vaut $(n+1)^{2}-n^{2}=n^{2}+2n+1-n^{2}=2n+1$ . Or leur somme vaut $n+(n+1)=2n+1$ . Les deux expressions sont identiques, la propriété est démontrée. Exemple de contrôle : $8^{2}-7^{2}=64-49=15$ , et $7+8=15$ . Cette identité donne une méthode de calcul mental efficace, et elle explique pourquoi tout nombre impair est une différence de deux carrés.

6)

Soient $n$ et $n+1$ deux entiers consécutifs. De deux choses l'une : ou bien $n$ est pair, et le produit $n(n+1)$ est alors un multiple de $2$ ; ou bien $n$ est impair, et dans ce cas $n+1$ est pair, donc le produit est encore un multiple de $2$ . Dans les deux cas le produit est pair. Ce raisonnement par disjonction de cas est parfaitement rigoureux : il ne teste pas des nombres, il épuise toutes les situations possibles.

7)

La démonstration ne vaut rien : dix vérifications ne prouvent rien sur une infinité d'entiers. Et de fait, pour $n=11$ : $11^{2}+11+11=121+22=143$ , or $143=11\times 13$ , qui n'est donc pas premier. On pouvait même le prévoir sans calculer, car $n^{2}+n+11=n(n+1)+11$ , et pour $n=11$ chacun des deux termes est multiple de $11$ , donc la somme aussi. L'affirmation est réfutée. Le premier contre-exemple arrive même dès $n=10$ , juste après ses dix essais : $10^{2}+10+11=121=11^{2}$ . L'exemple est célèbre parce que le polynôme voisin $n^{2}+n+41$ résiste à quarante essais avant de tomber pour la même raison.

8)

Une affirmation du type « pour tout nombre, telle propriété est vraie » porte sur une infinité de cas ; en vérifier un million en laisse une infinité non vérifiés, donc aucun exemple ne démontre. En revanche, la même affirmation est mise en défaut dès qu'UN seul cas y échappe, puisqu'elle prétendait n'en laisser aucun de côté : un contre-exemple suffit donc à la réfuter définitivement. C'est cette asymétrie qui fait exister les démonstrations, et c'est elle qu'on utilise sans cesse en seconde.

Exercice 11 : Le vocabulaire des fonctions : image, antécédent, notation

Une fonction est une machine : on lui donne un nombre, elle en rend un seul. Le nombre rendu est l'IMAGE, le nombre donné est l'ANTÉCÉDENT. Une image est unique, un antécédent ne l'est pas forcément.

On considère la fonction $f$ qui, à tout nombre $x$ , associe $f(x)=x^{2}-2x-3$ . Sa courbe est tracée ci-dessous pour $x$ compris entre $-2$ et $4$ .

1) Lisez graphiquement $f(0)$ et $f(3)$ .
2) Lisez graphiquement les antécédents de $-3$ par $f$ .
3) Résolvez graphiquement l'équation $f(x)=0$ .
4) Combien le nombre $-4$ a-t-il d'antécédents par $f$ ? Et le nombre $-5$ ? Justifiez à l'aide de la courbe.
5) Calculez $f(-2)$ et $f(1)$ , puis vérifiez la cohérence avec la lecture graphique.
6) Dressez le tableau de valeurs de $f$ pour $x$ entier de $-2$ à $4$ .
7) Résolvez l'équation $f(x)=5$ , d'abord graphiquement, puis par le calcul.
8) Traduisez la phrase « l'image de $2$ par $f$ vaut $-3$ » en écriture mathématique, puis expliquez pourquoi $f(2)=-3$ et $f(-3)=2$ ne disent pas du tout la même chose.

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1)

f(0)

f(3)

2)

Plus petit antécédent

Plus grand antécédent

3)

Plus petite solution

Plus grande solution

4)

Antécédents de

-4

Antécédents de

-5

5)

f(-2)

f(1)

6)

f(-1)

f(2)

f(4)

7)

Plus petite solution

Plus grande solution

8)

Écriture

f(-3)

Voir la correction

Réponses

1) $f(0)=-3$ , $f(3)=0$
2) $0$ et $2$
3) $x=-1$ ou $x=3$
4) $-4$ : un antécédent ( $1$ ) ; $-5$ : aucun
5) $f(-2)=5$ , $f(1)=-4$
6) $5\,;0\,;-3\,;-4\,;-3\,;0\,;5$
7) $x=-2$ ou $x=4$
8) $f(2)=-3$ ; $f(-3)=12$

1)

On part de $0$ sur l'axe horizontal, on monte ou on descend jusqu'à la courbe, puis on lit à gauche : $f(0)=-3$ . De même à partir de $3$ , on trouve $f(3)=0$ . Le sens de lecture est donc toujours le même pour une image, on part de l'axe des abscisses et on arrive sur l'axe des ordonnées.

2)

Chercher les antécédents de $-3$ , c'est faire le trajet INVERSE : on part de $-3$ sur l'axe vertical, on trace l'horizontale, et l'on regarde en quels points elle coupe la courbe. Il y en a deux, aux abscisses $0$ et $2$ . Le nombre $-3$ a donc deux antécédents, $0$ et $2$ . C'est l'asymétrie centrale du chapitre : une image est unique, des antécédents peuvent être plusieurs, ou aucun.

3)

Résoudre $f(x)=0$ , c'est chercher les antécédents de $0$ , donc les points où la courbe coupe l'axe des abscisses. La lecture donne $x=-1$ et $x=3$ . Ces deux nombres sont les seules solutions de l'équation sur l'intervalle considéré.

4)

La droite horizontale d'ordonnée $-4$ touche la courbe en un SEUL point, tout en bas, d'abscisse $1$ : le nombre $-4$ a donc un unique antécédent. La droite d'ordonnée $-5$ , elle, passe entièrement sous la courbe et ne la coupe pas : le nombre $-5$ n'a AUCUN antécédent. Cela s'explique sans graphique : $f(x)=x^{2}-2x-3=(x-1)^{2}-4$ , or un carré est toujours positif ou nul, donc $f(x)$ ne descend jamais en dessous de $-4$ .

5)

$f(-2)=(-2)^{2}-2\times(-2)-3=4+4-3=5$ . Le double signe moins donne un plus, et écrire $4-4-3=-3$ est l'erreur classique. Ensuite $f(1)=1-2-3=-4$ , ce qui confirme le minimum lu à la question 4. Les deux valeurs se lisent bien sur la courbe, aux points d'abscisses $-2$ et $1$ .

6)

On calcule de proche en proche : $f(-2)=5$ , $f(-1)=1+2-3=0$ , $f(0)=-3$ , $f(1)=-4$ , $f(2)=4-4-3=-3$ , $f(3)=9-6-3=0$ , $f(4)=16-8-3=5$ . Le tableau met en évidence la symétrie autour de $x=1$ : les valeurs descendent jusqu'à $-4$ puis remontent à l'identique. Un tableau de valeurs sert justement à cela, repérer un comportement avant de le démontrer.

7)

Graphiquement, la droite d'ordonnée $5$ coupe la courbe en deux points, d'abscisses $-2$ et $4$ . Par le calcul, on résout $x^{2}-2x-3=5$ , soit $x^{2}-2x-8=0$ . On factorise en reconnaissant que $x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1$ , ce qui donne $(x-1)^{2}-9=0$ , une différence de deux carrés : $(x-1-3)(x-1+3)=(x-4)(x+2)=0$ , d'où $x=4$ ou $x=-2$ . Le calcul confirme la lecture, et il donne des valeurs EXACTES, ce que le graphique ne pourra jamais garantir. C'est la raison pour laquelle, en seconde, une lecture graphique ne vaut jamais démonstration.

8)

La phrase s'écrit $f(2)=-3$ . Elle signifie que la machine, alimentée par $2$ , rend $-3$ . L'écriture $f(-3)=2$ dirait l'inverse, que la machine alimentée par $-3$ rend $2$ , ce qui est faux ici : $f(-3)=9+6-3=12$ . Dans la notation $f(x)$ , le nombre entre parenthèses est TOUJOURS celui que l'on donne, et le résultat est toujours de l'autre côté du signe égal. Cette confusion, banale en troisième, devient bloquante en seconde dès qu'on enchaîne plusieurs fonctions.

Exercice 12 : Fonctions linéaires et affines : lire, calculer, comparer

Une fonction linéaire s'écrit $f(x)=ax$ et traduit une situation de proportionnalité : sa représentation graphique est une droite qui passe par l'origine. Une fonction affine s'écrit $f(x)=ax+b$ : sa droite ne passe par l'origine que si $b=0$ .

Une salle d'escalade propose deux tarifs. Tarif A : $4$ dollars la séance, sans abonnement. Tarif B : $30$ dollars d'abonnement annuel, puis $1{,}50$ dollar la séance. Les deux droites $d_{1}$ et $d_{2}$ ci-dessous représentent ces tarifs, $x$ désignant le nombre de séances.

1) Exprimez en fonction de $x$ le coût $f(x)$ du tarif A et le coût $g(x)$ du tarif B. Précisez la nature de chacune de ces deux fonctions.
2) Associez chaque tarif à sa droite, $d_{1}$ ou $d_{2}$ , en justifiant par l'ordonnée à l'origine.
3) Donnez le coefficient directeur de chaque droite et dites ce qu'il représente concrètement.
4) Calculez $f(8)$ et $g(8)$ , puis $f(20)$ et $g(20)$ . Quel tarif est le plus avantageux dans chaque cas ?
5) Résolvez graphiquement puis par le calcul l'équation $f(x)=g(x)$ , et interprétez la solution.
6) À partir de combien de séances le tarif B est-il strictement plus avantageux ?
7) Déterminez la fonction affine $h$ telle que $h(2)=7$ et $h(6)=19$ .
8) Une droite passe par les points de coordonnées $(0\,;-2)$ et $(4\,;0)$ . Donnez la fonction affine qu'elle représente.

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1)

f(x)

g(x)

Nature de

f

Nature de

g

2)

Droite du tarif A

3)

Coefficient de

d_{1}

Coefficient de

d_{2}

4)

f(8)

g(8)

f(20)

g(20)

5)

x

Coût commun dollars

6)

Nombre minimal de séances

7)

a

b

8)

a

b

Voir la correction

Réponses

1) $f(x)=4x$ linéaire, $g(x)=1{,}5x+30$ affine
2) $d_{1}$ : tarif A ; $d_{2}$ : tarif B
3) $4$ et $1{,}5$ : le prix d'une séance
4) $32$ et $42$ (A) ; $80$ et $60$ (B)
5) $x=12$ , coût commun $48$ dollars
6) À partir de $13$ séances
7) $h(x)=3x+1$
8) $k(x)=0{,}5x-2$

1)

Tarif A : on paie $4$ dollars par séance et rien d'autre, donc $f(x)=4x$ . C'est une fonction LINÉAIRE, car le coût est proportionnel au nombre de séances. Tarif B : on paie $30$ dollars quoi qu'il arrive, plus $1{,}50$ dollar par séance, donc $g(x)=1{,}5x+30$ . C'est une fonction AFFINE non linéaire : doubler le nombre de séances ne double pas la facture, à cause des $30$ dollars fixes.

2)

La droite $d_{1}$ part de l'origine, elle représente donc $f$ , c'est-à-dire le tarif A : pour zéro séance on ne paie rien. La droite $d_{2}$ coupe l'axe vertical à la hauteur $30$ , elle représente $g$ , le tarif B : pour zéro séance on a déjà payé l'abonnement. L'ordonnée à l'origine est exactement le nombre $b$ de l'écriture $ax+b$ , et elle se lit sans aucun calcul.

3)

Le coefficient directeur de $d_{1}$ vaut $4$ et celui de $d_{2}$ vaut $1{,}5$ . Concrètement, c'est le prix d'UNE séance supplémentaire : chaque séance de plus coûte $4$ dollars au tarif A et seulement $1{,}50$ dollar au tarif B. Graphiquement, c'est ce que l'on monte quand on avance de $1$ vers la droite, ce qui explique que $d_{1}$ soit la plus raide des deux.

4)

$f(8)=32$ dollars et $g(8)=1{,}5\times 8+30=42$ dollars : pour huit séances, le tarif A est plus avantageux. $f(20)=80$ dollars et $g(20)=1{,}5\times 20+30=60$ dollars : pour vingt séances, c'est le tarif B. Le meilleur tarif dépend donc de l'usage, et c'est précisément ce que la question 5 va préciser.

5)

Graphiquement, les deux droites se coupent au point de coordonnées $(12\,;48)$ , donc la solution lue est $x=12$ . Par le calcul, $4x=1{,}5x+30$ donne $2{,}5x=30$ , soit $x=12$ , et le coût commun vaut $4\times 12=48$ dollars. Pour douze séances exactement, les deux tarifs reviennent au même. Le calcul confirme la lecture et la rend exacte : sur un graphique, on ne saurait pas distinguer $12$ de $12{,}1$ .

6)

Avant le point d'intersection, la droite $d_{2}$ est au-dessus de $d_{1}$ , donc le tarif B coûte plus cher ; après, elle passe en dessous. Le tarif B devient strictement plus avantageux pour $x>12$ . Comme le nombre de séances est un entier, la réponse concrète est : à partir de $13$ séances. Vérification : $f(13)=52$ dollars et $g(13)=49{,}50$ dollars. Ne pas oublier ce retour au contexte, car un énoncé qui parle de séances n'admet pas $12{,}4$ comme réponse.

7)

On cherche $h(x)=ax+b$ . Le coefficient directeur se calcule par le rapport des variations : $a=\dfrac{h(6)-h(2)}{6-2}=\dfrac{19-7}{4}=3$ . On reporte ensuite dans l'une des deux conditions : $h(2)=3\times 2+b=7$ , donc $b=1$ . Donc $h(x)=3x+1$ . Vérification sur l'AUTRE point, celui qui n'a pas servi : $h(6)=18+1=19$ . Vérifier sur le point non utilisé est le seul contrôle qui vaille, car le point utilisé conviendra toujours.

8)

Le point $(0\,;-2)$ donne directement l'ordonnée à l'origine, $b=-2$ . Le coefficient directeur vaut $a=\dfrac{0-(-2)}{4-0}=\dfrac{2}{4}=0{,}5$ . La fonction est donc $k(x)=0{,}5x-2$ . Vérification : $k(4)=2-2=0$ , le second point est bien sur la droite. Lorsqu'un des deux points a pour abscisse $0$ , il donne $b$ gratuitement, et il ne reste qu'un quotient à calculer.

Exercice 13 : Statistiques : moyenne, médiane, étendue et quartiles

Un indicateur statistique résume une série par un seul nombre : il montre donc quelque chose, et il en cache le reste. Savoir lequel choisir, et ce qu'il masque, compte autant que savoir le calculer.

Voici les $25$ notes obtenues par une classe à un devoir, rangées dans l'ordre croissant : $4$ , $6$ , $7$ , $8$ , $8$ , $9$ , $10$ , $10$ , $10$ , $11$ , $11$ , $12$ , $12$ , $12$ , $13$ , $13$ , $14$ , $14$ , $15$ , $15$ , $16$ , $17$ , $18$ , $19$ , $20$ .

1) Donnez l'effectif total et l'étendue de la série.
2) Déterminez la médiane, en justifiant la position que vous utilisez.
3) Calculez la moyenne, arrondie au centième.
4) Déterminez le premier quartile $Q_{1}$ et le troisième quartile $Q_{3}$ , puis interprétez chacun par une phrase.
5) Quel pourcentage d'élèves a obtenu au moins $12$ ?
6) Le professeur ajoute $1$ point à chaque élève. Que deviennent la moyenne, la médiane et l'étendue ?
7) Le professeur décide plutôt de doubler toutes les notes. Mêmes questions.
8) Un élève absent, noté $0$ , est finalement ajouté à la série. Recalculez la moyenne et la médiane, puis expliquez ce que cet exemple montre sur le choix d'un indicateur.

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Réponses

1) Effectif $25$ , étendue $16$
2) Médiane $12$
3) Moyenne $12{,}16$
4) $Q_{1}=10$ , $Q_{3}=15$
5) $56$ %
6) Moyenne $13{,}16$ , médiane $13$ , étendue $16$
7) Moyenne $24{,}32$ , médiane $24$ , étendue $32$
8) Moyenne $\approx 11{,}69$ , médiane $12$ : la médiane résiste

1)

L'effectif total vaut $25$ , c'est le nombre de notes. L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : $20-4=16$ . L'étendue mesure la dispersion la plus grossière possible, puisqu'elle ne regarde que deux notes sur vingt-cinq et ignore tout ce qu'il y a entre les deux.

2)

L'effectif est impair, il y a donc une valeur exactement au milieu : celle de rang $\dfrac{25+1}{2}=13$ . En comptant les notes rangées dans l'ordre, la treizième vaut $12$ . La médiane vaut donc $12$ : au moins la moitié des élèves ont $12$ ou moins, et au moins la moitié ont $12$ ou plus. Si l'effectif avait été pair, il aurait fallu prendre la demi-somme des deux valeurs centrales.

3)

La somme des vingt-cinq notes vaut $304$ . La moyenne vaut donc $\dfrac{304}{25}=12{,}16$ . On peut aussi passer par le tableau des effectifs, ce qui évite d'additionner vingt-cinq nombres à la main : chaque note est multipliée par son effectif, on additionne, puis on divise par $25$ . La moyenne, $12{,}16$ , est ici très proche de la médiane, $12$ , ce qui indique une série assez équilibrée.

4)

Le premier quartile est la plus petite valeur telle qu'au moins un quart des notes lui soient inférieures ou égales. Comme $\dfrac{25}{4}=6{,}25$ , on prend la valeur de rang $7$ , soit $Q_{1}=10$ : au moins un quart de la classe a $10$ ou moins. Le troisième quartile correspond au rang $\dfrac{3\times 25}{4}=18{,}75$ , arrondi à $19$ , soit $Q_{3}=15$ : au moins trois quarts de la classe ont $15$ ou moins, donc au plus un quart dépasse $15$ . Entre $Q_{1}$ et $Q_{3}$ se trouve la moitié centrale de la classe, ici entre $10$ et $15$ . Les quartiles sont au programme de seconde : les rencontrer maintenant fait gagner le premier chapitre de l'année.

5)

On compte les notes supérieures ou égales à $12$ : à partir de la douzième note de la liste, il en reste $14$ . La proportion vaut $\dfrac{14}{25}=0{,}56$ , soit $56\,\%$ . Le piège est d'oublier le mot « au moins », qui inclut $12$ : ne compter que les notes strictement supérieures donnerait $11$ élèves, soit $44\,\%$ , une réponse fausse pour une raison de vocabulaire et non de calcul.

6)

Ajouter $1$ point à toutes les notes translate la série entière. La moyenne augmente de $1$ et vaut $13{,}16$ , la médiane augmente de $1$ et vaut $13$ . L'étendue, elle, ne change PAS et reste égale à $16$ , car les deux notes extrêmes ont augmenté de la même quantité et leur différence est inchangée. C'est la distinction utile : la moyenne et la médiane sont des indicateurs de POSITION, l'étendue est un indicateur de DISPERSION.

7)

Doubler toutes les notes multiplie par $2$ tout ce qui est proportionnel à une note. La moyenne devient $24{,}32$ , la médiane $24$ , et cette fois l'étendue est également doublée et vaut $32$ , puisque l'écart entre les extrêmes est doublé lui aussi. Une multiplication agit donc sur la dispersion, alors qu'une addition ne l'affectait pas.

8)

La nouvelle série compte $26$ notes et sa somme vaut $304+0=304$ , donc la moyenne devient $\dfrac{304}{26}\approx 11{,}69$ : elle perd presque un demi-point. Pour la médiane, l'effectif est maintenant pair, il faut la demi-somme des valeurs de rangs $13$ et $14$ ; comme le $0$ s'insère en tête, ces deux valeurs sont deux $12$ , et la médiane reste égale à $12$ . Une seule valeur extrême a donc déplacé la moyenne et laissé la médiane immobile. C'est la propriété la plus utile de tout le chapitre : la médiane RÉSISTE aux valeurs aberrantes, la moyenne non. C'est pourquoi on publie le salaire médian d'un pays, et non son salaire moyen.

Exercice 14 : Probabilités : arbre, deux tirages et événement contraire

Une probabilité est un nombre compris entre $0$ et $1$ : c'est le premier contrôle à faire sur toute réponse. Dans un arbre, on MULTIPLIE le long d'une branche et on ADDITIONNE entre les branches.

Une urne contient $10$ boules indiscernables au toucher : $3$ rouges, $5$ bleues et $2$ vertes. On tire une boule au hasard.

1) Calculez la probabilité de tirer une boule rouge, puis celle de tirer une boule bleue.
2) Calculez la probabilité de ne PAS tirer de rouge, de deux façons différentes.
3) On effectue maintenant deux tirages successifs AVEC remise. Complétez l'arbre ci-dessus en portant les probabilités sur chaque branche.
4) Calculez la probabilité d'obtenir deux boules rouges.
5) Calculez la probabilité d'obtenir au moins une boule rouge.
6) Reprenez la question 4 avec deux tirages SANS remise, et expliquez ce qui change.
7) On lance deux dés équilibrés à six faces et on additionne les résultats. Calculez la probabilité que la somme vaille $7$ .
8) Un joueur affirme qu'après cinq « pile » de suite, « face » a plus d'une chance sur deux de sortir au lancer suivant. Que lui répondez-vous ? Et si sur $1\,000$ lancers on obtient $480$ « pile », faut-il en conclure que la pièce est truquée ?

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/11

1)

P(\text{rouge})

P(\text{bleue})

2)

P(\text{non rouge})

3)

Branche « R »

Branche « non R »

4)

P(\text{RR})

5)

Probabilité

6)

P(\text{RR})

sans remise

7)

Probabilité

8)

Après cinq « pile »

480

« pile » sur

1\,000

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Réponses

1) $0{,}3$ et $0{,}5$
2) $0{,}7$
3) $0{,}3$ sur R, $0{,}7$ sur non R, aux deux niveaux
4) $0{,}09$
5) $0{,}51$
6) $\dfrac{1}{15}\approx 0{,}067$
7) $\dfrac{1}{6}$
8) Toujours $0{,}5$ ; $0{,}48$ est une fluctuation ordinaire

1)

Toutes les boules ont la même chance d'être tirées, on est donc dans une situation d'équiprobabilité et la probabilité d'un événement se calcule par $\dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$ . Ainsi $P(\text{rouge})=\dfrac{3}{10}=0{,}3$ et $P(\text{bleue})=\dfrac{5}{10}=0{,}5$ . Contrôle : les trois probabilités $0{,}3$ , $0{,}5$ et $\dfrac{2}{10}=0{,}2$ ont pour somme $1$ , ce qui est obligatoire puisque la boule tirée est nécessairement de l'une des trois couleurs.

2)

Première façon, en comptant directement : il y a $5+2=7$ boules non rouges, donc $\dfrac{7}{10}=0{,}7$ . Seconde façon, par l'événement CONTRAIRE : $P(\text{non rouge})=1-P(\text{rouge})=1-0{,}3=0{,}7$ . La seconde méthode est presque toujours la plus rapide, et elle devient indispensable dès que l'événement contraire est plus simple à décrire que l'événement lui-même, comme à la question 5.

3)

Avec remise, la composition de l'urne est identique aux deux tirages : les probabilités du second tirage ne dépendent pas du premier. On porte donc $0{,}3$ sur chaque branche « R » et $0{,}7$ sur chaque branche « non R », aux deux niveaux. Contrôle systématique : la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud doit valoir $1$ , et $0{,}3+0{,}7=1$ partout.

4)

On suit la branche « R » puis « R » et l'on multiplie : $P(\text{RR})=0{,}3\times 0{,}3=0{,}09$ . Le résultat est bien plus petit que $0{,}3$ , ce qui est logique : exiger deux conditions à la fois est plus difficile que d'en exiger une seule. Une réponse supérieure à $0{,}3$ signalerait une addition faite à la place d'une multiplication.

5)

L'événement contraire de « au moins une rouge » est « aucune rouge », c'est-à-dire « non R » puis « non R », dont la probabilité vaut $0{,}7\times 0{,}7=0{,}49$ . Donc $P(\text{au moins une rouge})=1-0{,}49=0{,}51$ . On peut vérifier en additionnant les trois branches favorables : $0{,}09+0{,}21+0{,}21=0{,}51$ . Le passage par le contraire remplace ici trois calculs par un seul, et l'écart se creuse encore avec trois tirages ou plus. C'est la technique à retenir de tout l'exercice.

6)

Sans remise, la première boule n'est pas remise dans l'urne : au second tirage il ne reste que $9$ boules, dont $2$ rouges si la première était rouge. Donc $P(\text{RR})=\dfrac{3}{10}\times\dfrac{2}{9}=\dfrac{6}{90}=\dfrac{1}{15}\approx 0{,}067$ . C'est moins qu'avec remise, ce qui se comprend : avoir retiré une rouge rend le second tirage moins favorable. Ce qui change, c'est que les probabilités du second niveau DÉPENDENT désormais de la branche empruntée, et il faut écrire un arbre différent pour chaque cas.

7)

Deux dés donnent $6\times 6=36$ issues équiprobables, à condition de considérer les dés comme distincts. Les issues dont la somme vaut $7$ sont $(1\,;6)$ , $(2\,;5)$ , $(3\,;4)$ , $(4\,;3)$ , $(5\,;2)$ et $(6\,;1)$ , soit $6$ issues. Donc $P=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}\approx 0{,}167$ . Le piège est de ne compter que trois cas en oubliant que $(1\,;6)$ et $(6\,;1)$ sont deux issues différentes ; on obtiendrait alors $\dfrac{3}{21}$ , une réponse fausse. La somme $7$ est d'ailleurs la plus probable des sommes, ce qui explique sa place au centre de bien des jeux de plateau.

8)

La pièce n'a pas de mémoire : les lancers sont indépendants, et la probabilité d'obtenir « face » reste $0{,}5$ au sixième lancer comme au premier. Croire le contraire porte un nom, l'erreur du joueur, et elle vient d'une confusion entre ce qui est déjà arrivé et ce qui va arriver. Sur les $1\,000$ lancers, la fréquence observée vaut $\dfrac{480}{1\,000}=0{,}48$ , soit un écart de $0{,}02$ avec la probabilité théorique. Cet écart est tout à fait ordinaire pour mille lancers : une fréquence est une donnée expérimentale qui fluctue, alors qu'une probabilité est un nombre fixe. Ce qui est vrai, c'est que la fréquence se rapproche de la probabilité quand le nombre d'essais augmente, et rien de plus.

Exercice 15 : Pythagore, sa réciproque et la valeur exacte

Le théorème de Pythagore CALCULE une longueur dans un triangle dont on sait déjà qu'il est rectangle. Sa réciproque, elle, DÉCIDE si un triangle est rectangle. Ce sont deux énoncés distincts, et les confondre coûte tous les points d'une démonstration.

Le triangle $ABC$ ci-dessous est rectangle en $A$ .

1) Calculez $BC$ dans le triangle $ABC$ de la figure.
2) $DEF$ est rectangle en $D$ , avec $EF=10$ cm et $DE=6$ cm. Calculez $DF$ .
3) $GHI$ a pour côtés $GH=7$ cm, $HI=24$ cm et $GI=25$ cm. Ce triangle est-il rectangle ? Si oui, précisez en quel sommet.
4) $JKL$ a pour côtés $JK=6$ cm, $KL=8$ cm et $JL=11$ cm. Ce triangle est-il rectangle ?
5) Calculez la longueur exacte de la diagonale d'un carré de côté $5$ cm, puis sa valeur arrondie au centième.
6) Un triangle rectangle isocèle a pour hypoténuse $10$ cm. Calculez la longueur exacte de ses deux autres côtés.
7) Une échelle de $4$ m est appuyée contre un mur vertical, son pied étant à $1{,}20$ m du mur. À quelle hauteur touche-t-elle le mur, au centimètre près ?
8) Dans un repère orthonormé, on donne $A(1\,;2)$ et $B(7\,;10)$ . Calculez la distance $AB$ .

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Réponses

1) $BC=13$ cm
2) $DF=8$ cm
3) Rectangle en $H$
4) $121\neq 100$ : non rectangle
5) $5\sqrt{2}\approx 7{,}07$ cm
6) $5\sqrt{2}$ cm
7) $\approx 3{,}82$ m
8) $AB=10$

1)

Le triangle est rectangle en $A$ , donc l'hypoténuse est $[BC]$ , le côté opposé à l'angle droit. Le théorème de Pythagore donne $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}=5^{2}+12^{2}=25+144=169$ , donc $BC=\sqrt{169}=13$ cm. Contrôle indispensable : l'hypoténuse doit être le plus grand côté, et $13>12>5$ . Un résultat inférieur à $12$ signalerait qu'on a soustrait au lieu d'additionner.

2)

Ici l'angle droit est en $D$ , donc l'hypoténuse est $[EF]$ , qui vaut $10$ cm : c'est la plus grande longueur, et elle est DONNÉE. On soustrait donc, au lieu d'additionner : $DF^{2}=EF^{2}-DE^{2}=100-36=64$ , d'où $DF=8$ cm. Repérer d'abord où est l'angle droit, ensuite seulement écrire l'égalité, est le seul ordre qui protège de l'erreur.

3)

On compare le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres. D'un côté $GI^{2}=25^{2}=625$ ; de l'autre $GH^{2}+HI^{2}=49+576=625$ . Les deux nombres sont égaux, donc d'après la RÉCIPROQUE du théorème de Pythagore, le triangle $GHI$ est rectangle. L'angle droit se trouve au sommet opposé au plus grand côté, c'est-à-dire en $H$ , puisque le plus grand côté est $[GI]$ . Préciser le sommet fait partie de la réponse.

4)

Le plus grand côté est $[JL]$ , et $JL^{2}=121$ , tandis que $JK^{2}+KL^{2}=36+64=100$ . Comme $121\ne 100$ , le triangle n'est PAS rectangle. La rédaction correcte compare deux nombres puis conclut ; écrire directement « le triangle n'est pas rectangle car $6^{2}+8^{2}\ne 11^{2}$ » sans avoir calculé les deux membres ne vaut pas démonstration.

5)

La diagonale $d$ d'un carré de côté $5$ partage celui-ci en deux triangles rectangles isocèles : $d^{2}=5^{2}+5^{2}=50$ , donc $d=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$ cm, valeur exacte. La valeur approchée vaut $7{,}07$ cm. C'est la valeur EXACTE qui est demandée en priorité : elle seule permettra plus tard de simplifier, par exemple de voir que le périmètre du carré construit sur cette diagonale vaut $20\sqrt{2}$ .

6)

Le triangle étant rectangle isocèle, ses deux côtés de l'angle droit ont la même longueur $c$ . Pythagore donne $c^{2}+c^{2}=10^{2}$ , soit $2c^{2}=100$ , donc $c^{2}=50$ et $c=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\approx 7{,}07$ cm. On retrouve la même longueur qu'à la question 5, ce qui n'a rien d'un hasard : un carré de côté $5\sqrt{2}$ a pour diagonale $10$ . Contrôle : $7{,}07$ est bien compris entre $5$ et $10$ , comme doit l'être un côté de l'angle droit face à une hypoténuse de $10$ .

7)

L'échelle, le mur et le sol forment un triangle rectangle dont l'échelle est l'hypoténuse. On cherche la hauteur $h$ : $h^{2}=4^{2}-1{,}20^{2}=16-1{,}44=14{,}56$ , donc $h=\sqrt{14{,}56}\approx 3{,}82$ m. Contrôle de bon sens : la hauteur atteinte est forcément plus petite que la longueur de l'échelle, et $3{,}82<4$ . Un résultat de $4{,}18$ m, obtenu en additionnant, serait absurde.

8)

On construit le triangle rectangle dont l'hypoténuse est $[AB]$ et dont les côtés de l'angle droit sont horizontal et vertical. Leurs longueurs valent $7-1=6$ et $10-2=8$ . Alors $AB^{2}=6^{2}+8^{2}=36+64=100$ , donc $AB=10$ . C'est exactement la formule de distance que la seconde écrit $AB=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}$ : elle n'est rien d'autre que Pythagore appliqué dans un repère, et un élève qui a compris cette question n'aura pas à apprendre la formule par cœur.

Exercice 16 : Thalès, sa réciproque et les triangles semblables

Le théorème de Thalès donne trois quotients ÉGAUX, à écrire dans le même ordre : les longueurs du petit triangle en haut, celles du grand en bas, en respectant la correspondance des sommets. Une seule fraction mal placée fait tout basculer.

Les deux configurations ci-dessous sont les seules que l'on rencontre au collège : le triangle emboîté et le papillon.

1) Configuration 1 : $M$ appartient à $[AB]$ , $N$ appartient à $[AC]$ , et $(MN)$ est parallèle à $(BC)$ . On donne $AM=4$ cm, $AB=10$ cm, $AN=6$ cm et $MN=5$ cm. Écrivez l'égalité des trois quotients, puis calculez $AC$ et $BC$ .
2) Configuration 2 : $(EF)$ est parallèle à $(GH)$ , les droites $(EG)$ et $(FH)$ se coupent en $O$ . On donne $OE=3$ cm, $OF=4$ cm, $EF=5$ cm et $OG=6$ cm. Calculez $OH$ et $GH$ .
3) Dans un triangle $ABC$ , $P$ appartient à $[AB]$ avec $AP=3$ cm et $AB=8$ cm, et $Q$ appartient à $[AC]$ avec $AQ=4{,}5$ cm et $AC=12$ cm. Les droites $(PQ)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ?
4) Dans le même triangle, $R$ appartient à $[AB]$ avec $AR=4$ cm et $S$ appartient à $[AC]$ avec $AS=5$ cm, sachant que $AB=10$ cm et $AC=15$ cm. Que peut-on dire de $(RS)$ et $(BC)$ ?
5) Expliquez pourquoi l'égalité des quotients ne suffit pas à conclure au parallélisme si les points ne sont pas dans le même ordre sur les deux droites.
6) Un bâton vertical de $1{,}50$ m projette une ombre de $2{,}40$ m. Au même instant, l'ombre d'un arbre mesure $12$ m. Calculez la hauteur de l'arbre.
7) Deux triangles sont semblables dans le rapport $k=1{,}5$ . Le plus petit a un périmètre de $20$ cm et une aire de $24$ cm carrés. Calculez le périmètre et l'aire du plus grand.
8) Deux triangles semblables ont pour rapport $k=\dfrac{2}{5}$ . Par quoi sont multipliés les longueurs, les aires et les volumes lorsqu'on passe du grand au petit ?

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Réponses

1) $AC=15$ cm, $BC=12{,}5$ cm
2) $OH=8$ cm, $GH=10$ cm
3) $0{,}375=0{,}375$ : parallèles
4) $0{,}4\neq 0{,}333$ : non parallèles
5) Il faut aussi les points dans le même ordre
6) $7{,}50$ m
7) Périmètre $30$ cm, aire $54$ cm²
8) $0{,}4$ ; $0{,}16$ ; $0{,}064$

1)

Comme $(MN)$ est parallèle à $(BC)$ , le théorème de Thalès donne $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$ . Le premier quotient est calculable : $\dfrac{4}{10}=0{,}4$ , c'est le rapport de réduction. Ensuite $\dfrac{6}{AC}=0{,}4$ donne $AC=\dfrac{6}{0{,}4}=15$ cm, et $\dfrac{5}{BC}=0{,}4$ donne $BC=\dfrac{5}{0{,}4}=12{,}5$ cm. Contrôle : le grand triangle doit avoir des côtés plus longs, et $15>6$ , $12{,}5>5$ . Une réponse plus petite que la donnée signalerait une multiplication faite à la place d'une division.

2)

La configuration papillon obéit au même théorème, avec $O$ à la place du sommet commun : $\dfrac{OE}{OG}=\dfrac{OF}{OH}=\dfrac{EF}{GH}$ . Le rapport vaut $\dfrac{3}{6}=0{,}5$ . Donc $\dfrac{4}{OH}=0{,}5$ donne $OH=8$ cm, et $\dfrac{5}{GH}=0{,}5$ donne $GH=10$ cm. Le triangle $OGH$ est l'agrandissement de $OEF$ dans le rapport $2$ , retourné autour de $O$ . Retenir que la correspondance des sommets se lit sur la figure, $E$ avec $G$ et $F$ avec $H$ , évite d'écrire $\dfrac{OE}{OH}$ , qui n'a aucun sens ici.

3)

On calcule les deux quotients séparément : $\dfrac{AP}{AB}=\dfrac{3}{8}=0{,}375$ et $\dfrac{AQ}{AC}=\dfrac{4{,}5}{12}=0{,}375$ . Ils sont égaux, et les points $P$ et $Q$ sont placés sur $[AB]$ et $[AC]$ dans le même ordre à partir de $A$ . D'après la RÉCIPROQUE du théorème de Thalès, les droites $(PQ)$ et $(BC)$ sont donc parallèles. La rédaction doit citer la réciproque, et non le théorème : c'est ici qu'on démontre le parallélisme au lieu de le supposer.

4)

Cette fois $\dfrac{AR}{AB}=\dfrac{4}{10}=0{,}4$ et $\dfrac{AS}{AC}=\dfrac{5}{15}\approx 0{,}333$ . Les quotients sont DIFFÉRENTS, donc les droites $(RS)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles. C'est la contraposée du théorème de Thalès : si les droites étaient parallèles, les quotients seraient égaux ; comme ils ne le sont pas, les droites ne peuvent pas l'être. C'est le seul moyen dont on dispose au collège pour démontrer qu'un parallélisme est FAUX.

5)

La réciproque exige deux conditions, l'égalité des quotients ET l'alignement des points dans le même ordre. Si $P$ est du même côté que $B$ par rapport à $A$ mais que $Q$ est de l'autre côté, sur la demi-droite opposée à $[AC)$ , les deux quotients de longueurs peuvent parfaitement rester égaux alors que la droite $(PQ)$ traverse le triangle en biais : elle n'est alors pas parallèle à $(BC)$ , mais parallèle à la droite qui joint $B$ au symétrique de $C$ par rapport à $A$ . Les longueurs ne portent aucune information de sens, c'est pourquoi la condition d'ordre doit être vérifiée sur la figure et mentionnée dans la rédaction.

6)

Les rayons du soleil arrivant avec la même inclinaison, le bâton et l'arbre forment avec leur ombre deux triangles rectangles semblables. Le rapport hauteur sur ombre est donc le même : $\dfrac{h}{12}=\dfrac{1{,}50}{2{,}40}$ , d'où $h=12\times\dfrac{1{,}50}{2{,}40}=12\times 0{,}625=7{,}50$ m. Contrôle : l'ombre du bâton est plus longue que le bâton, donc l'arbre doit être plus court que son ombre de $12$ m, et $7{,}50<12$ . Cette méthode est celle par laquelle on a mesuré la hauteur des pyramides, et elle ne demande aucun instrument.

7)

Dans un agrandissement de rapport $k$ , les longueurs sont multipliées par $k$ et les aires par $k^{2}$ . Le périmètre est une longueur, donc il vaut $20\times 1{,}5=30$ cm. L'aire vaut $24\times 1{,}5^{2}=24\times 2{,}25=54$ cm carrés. Multiplier l'aire par $1{,}5$ au lieu de $2{,}25$ est l'erreur la plus fréquente du chapitre ; elle se détecte en imaginant un carré de côté $2$ agrandi en un carré de côté $3$ , dont l'aire passe de $4$ à $9$ , et non de $4$ à $6$ .

8)

En passant du grand au petit avec $k=\dfrac{2}{5}=0{,}4$ , les longueurs sont multipliées par $0{,}4$ , les aires par $k^{2}=\dfrac{4}{25}=0{,}16$ et les volumes par $k^{3}=\dfrac{8}{125}=0{,}064$ . Autrement dit, une réduction de $60\,\%$ sur les longueurs réduit l'aire de $84\,\%$ et le volume de près de $94\,\%$ . Les exposants $1$ , $2$ et $3$ correspondent au nombre de dimensions concernées, et c'est cette idée, plus que la formule, qu'il faut emporter en seconde.

Exercice 17 : Trigonométrie du triangle rectangle

Trois rapports, et un seul geste : identifier ce que l'on connaît et ce que l'on cherche, puis choisir celui des trois qui relie exactement ces deux longueurs. $\cos=\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ , $\sin=\dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$ , $\tan=\dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$ .

Le triangle $ABC$ ci-dessous est rectangle en $A$ , avec $AB=6$ cm et un angle de $35°$ en $B$ . La calculatrice doit être en mode degrés.

1) Pour l'angle $\widehat{ABC}$ , nommez le côté adjacent, le côté opposé et l'hypoténuse, puis écrivez les trois rapports trigonométriques sous forme de quotients de longueurs.
2) Calculez $AC$ puis $BC$ , au dixième de centimètre.
3) $DEF$ est rectangle en $D$ , avec $DE=5$ cm et $DF=12$ cm. Calculez l'angle $\widehat{DEF}$ au dixième de degré, puis $EF$ .
4) Dans un triangle rectangle, on sait que le cosinus d'un angle aigu vaut $\dfrac{5}{8}$ . Calculez cet angle au dixième de degré.
5) Une rampe d'accès mesure $5$ m de long et s'élève de $40$ cm. Calculez l'angle qu'elle fait avec l'horizontale, au dixième de degré, puis sa pente en pourcentage. La norme impose une pente maximale de $5\,\%$ : cette rampe est-elle conforme ?
6) Un angle aigu a pour cosinus $0{,}6$ . Calculez son sinus, puis sa tangente, sans utiliser la touche inverse de la calculatrice.
7) Démontrez que, dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est égal au sinus de l'autre.
8) Sans calculatrice, rangez dans l'ordre croissant $\sin(20°)$ , $\sin(70°)$ , $\cos(20°)$ et $\cos(70°)$ , en justifiant.

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/15

1)

Côté adjacent à

\widehat{ABC}

Côté opposé

Hypoténuse

2)

AC

cm

BC

cm

3)

\widehat{DEF}

°

EF

cm

4)

Angle °

5)

Angle °

Pente %

Conforme ?

6)

\sin(\alpha)

\tan(\alpha)

7)

Les deux angles aigus sont

8)

Rangement croissant

Voir la correction

Réponses

1) Adjacent $[AB]$ , opposé $[AC]$ , hypoténuse $[BC]$
2) $AC\approx 4{,}2$ cm, $BC\approx 7{,}3$ cm
3) $\widehat{DEF}\approx 67{,}4^{\circ}$ , $EF=13$ cm
4) $\approx 51{,}3^{\circ}$
5) $\approx 4{,}6^{\circ}$ , pente $\approx 8{,}0$ % : non conforme
6) $\sin\alpha=0{,}8$ , $\tan\alpha=\dfrac{4}{3}$
7) $\cos\widehat{B}=\dfrac{AB}{BC}=\sin\widehat{C}$
8) $\sin 20^{\circ}=\cos 70^{\circ}<\sin 70^{\circ}=\cos 20^{\circ}$

1)

L'hypoténuse est $[BC]$ , opposée à l'angle droit. Vu depuis $B$ , le côté adjacent est $[AB]$ , celui qui part de $B$ sans être l'hypoténuse, et le côté opposé est $[AC]$ , celui qui ne touche pas $B$ . Donc $\cos(\widehat{ABC})=\dfrac{AB}{BC}$ , $\sin(\widehat{ABC})=\dfrac{AC}{BC}$ et $\tan(\widehat{ABC})=\dfrac{AC}{AB}$ . Le point crucial est que ces noms dépendent de l'ANGLE regardé : vu depuis $C$ , le segment $[AB]$ deviendrait le côté opposé.

2)

On cherche $AC$ , qui est le côté opposé à $\widehat{B}$ , et l'on connaît $AB$ , le côté adjacent : c'est donc la tangente. $\tan(35°)=\dfrac{AC}{6}$ donne $AC=6\times\tan(35°)\approx 6\times 0{,}7002\approx 4{,}2$ cm. Pour $BC$ , l'hypoténuse, on utilise le cosinus : $\cos(35°)=\dfrac{6}{BC}$ , donc $BC=\dfrac{6}{\cos(35°)}\approx\dfrac{6}{0{,}8192}\approx 7{,}3$ cm. L'inconnue était au numérateur dans le premier cas, on a multiplié ; elle était au dénominateur dans le second, on a divisé. Contrôle : $BC=7{,}3$ est bien la plus grande des trois longueurs.

3)

Vu depuis $E$ , le côté opposé est $[DF]=12$ et le côté adjacent est $[DE]=5$ : c'est la tangente. $\tan(\widehat{DEF})=\dfrac{12}{5}=2{,}4$ , donc $\widehat{DEF}=\arctan(2{,}4)\approx 67{,}4°$ . On obtient ensuite $EF$ par Pythagore, plus rapide et exact : $EF^{2}=25+144=169$ , donc $EF=13$ cm. Quand une longueur peut se calculer par Pythagore, il faut préférer Pythagore à la trigonométrie : le résultat est exact et n'accumule aucun arrondi.

4)

On utilise la touche inverse du cosinus, notée $\cos^{-1}$ ou $\mathrm{acos}$ : l'angle vaut $\arccos\left(\dfrac{5}{8}\right)=\arccos(0{,}625)\approx 51{,}3°$ . Contrôle : le cosinus vaut un peu plus que $0{,}5$ , l'angle doit donc être un peu moins que $60°$ , ce qui est le cas. Si la calculatrice affiche $0{,}895$ , elle est en radians et non en degrés, et il faut changer de mode avant de continuer.

5)

La rampe est l'hypoténuse et la hauteur, $0{,}40$ m, est le côté opposé à l'angle cherché : c'est le sinus. $\sin(\alpha)=\dfrac{0{,}40}{5}=0{,}08$ , donc $\alpha\approx 4{,}6°$ . La pente, elle, se définit comme le quotient de la hauteur par la longueur HORIZONTALE, et non par la longueur de la rampe. Cette longueur horizontale vaut $\sqrt{5^{2}-0{,}40^{2}}=\sqrt{24{,}84}\approx 4{,}984$ m, donc la pente vaut $\dfrac{0{,}40}{4{,}984}\approx 0{,}0803$ , soit environ $8{,}0\,\%$ . La rampe n'est donc PAS conforme, puisque $8{,}0\,\%$ dépasse $5\,\%$ . La confusion entre la longueur de la rampe et sa projection horizontale est exactement le piège de la question : elle donne $8\,\%$ contre $8{,}03\,\%$ , un écart minime ici parce que l'angle est petit, mais un raisonnement faux quand même.

6)

On utilise la relation $\cos^{2}(\alpha)+\sin^{2}(\alpha)=1$ , qui vient de Pythagore appliqué au triangle rectangle. Ici $\sin^{2}(\alpha)=1-0{,}6^{2}=1-0{,}36=0{,}64$ , donc $\sin(\alpha)=0{,}8$ , en gardant la racine positive puisque l'angle est aigu. Puis $\tan(\alpha)=\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}=\dfrac{0{,}8}{0{,}6}=\dfrac{4}{3}\approx 1{,}33$ . On reconnaît le triangle de côtés $3$ , $4$ et $5$ , celui qui revient sans cesse dans les exercices.

7)

Soit $ABC$ rectangle en $A$ . Les deux angles aigus $\widehat{B}$ et $\widehat{C}$ sont complémentaires, puisque la somme des angles d'un triangle vaut $180°$ et que l'angle droit en occupe $90°$ : donc $\widehat{C}=90°-\widehat{B}$ . Or $\cos(\widehat{B})=\dfrac{AB}{BC}$ , et $\sin(\widehat{C})=\dfrac{AB}{BC}$ également, car le côté $[AB]$ est adjacent à $\widehat{B}$ mais opposé à $\widehat{C}$ , l'hypoténuse restant la même. Les deux quotients sont donc identiques, ce qui prouve que $\cos(\widehat{B})=\sin(90°-\widehat{B})$ . Un seul segment portant deux noms selon l'angle regardé : c'est tout le contenu de cette formule.

8)

Le cosinus DÉCROÎT quand l'angle grandit, de $1$ en $0°$ à $0$ en $90°$ , tandis que le sinus CROÎT de $0$ à $1$ . Donc $\sin(20°)<\sin(70°)$ et $\cos(70°)<\cos(20°)$ . De plus, la relation de la question 7 donne $\cos(70°)=\sin(20°)$ et $\cos(20°)=\sin(70°)$ , car $20°$ et $70°$ sont complémentaires. Le rangement est donc $\sin(20°)=\cos(70°)<\sin(70°)=\cos(20°)$ , avec numériquement $0{,}342$ puis $0{,}940$ . Deux nombres seulement, écrits de quatre façons.

Exercice 18 : Repérage, transformations et solides : les rapports k, k² et k³

Un repère transforme la géométrie en calcul : un point devient un couple de nombres, et une propriété géométrique devient une égalité. C'est ce basculement, entamé en troisième, qui occupe toute la géométrie de seconde.

Le repère ci-dessous est orthonormé, l'unité valant un carreau. Le quadrilatère $ABCD$ y est tracé.

1) Lisez les coordonnées des points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ .
2) Calculez les coordonnées du milieu de $[AC]$ , puis celles du milieu de $[BD]$ . Qu'en déduisez-vous sur le quadrilatère $ABCD$ ?
3) Calculez les longueurs exactes $AB$ et $BC$ . Le quadrilatère $ABCD$ est-il un losange ?
4) Donnez les coordonnées de l'image de $A$ par la symétrie de centre $O$ , puis par la symétrie d'axe l'axe des ordonnées.
5) Donnez les coordonnées de l'image de $B$ par la rotation de centre $O$ et d'angle $90°$ dans le sens direct, puis par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $3$ .
6) Calculez l'aire exacte d'un disque de rayon $5$ cm, puis sa valeur arrondie au dixième.
7) Calculez le volume exact d'un cône de révolution de rayon $3$ cm et de hauteur $8$ cm, puis celui d'une boule de rayon $6$ cm.
8) Une maquette de voilier est à l'échelle $\dfrac{1}{20}$ . Le voilier réel mesure $12$ m de long, sa voile a une aire de $40$ m carrés et sa coque un volume de $6$ m cubes. Calculez les grandeurs correspondantes sur la maquette.
9) Un cube dont on triple l'arête : par combien sont multipliés son arête, son aire totale et son volume ?
10) Résumez en une phrase la règle des rapports $k$ , $k^{2}$ et $k^{3}$ , et dites pourquoi les exposants sont $1$ , $2$ et $3$ .

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/24

1)

A

B

C

D

2)

Abscisse du milieu commun

Ordonnée du milieu commun

Nature de

ABCD

3)

AB

BC

Losange ?

4)

Symétrie de centre

O

Symétrie d'axe des ordonnées

5)

Rotation de

90°

Homothétie de rapport

3

6)

Aire exacte (en multiples de

\pi

)

Aire arrondie cm²

7)

Cône (en multiples de

\pi

) cm³

Boule (en multiples de

\pi

) cm³

8)

Longueur de la maquette cm

Aire de la voile cm²

Volume de la coque L

9)

Arête multipliée par

Aire multipliée par

Volume multiplié par

Voir la correction

Réponses

1) $A(-3\,;2)$ , $B(1\,;4)$ , $C(3\,;-1)$ , $D(-1\,;-3)$
2) Milieu commun $(0\,;0{,}5)$ : parallélogramme
3) $AB=2\sqrt{5}$ , $BC=\sqrt{29}$ : pas un losange
4) $(3\,;-2)$ puis $(3\,;2)$
5) $(-4\,;1)$ puis $(3\,;12)$
6) $25\pi\approx 78{,}5$ cm²
7) Cône $24\pi$ cm³, boule $288\pi$ cm³
8) $60$ cm, $1\,000$ cm², $0{,}75$ L
9) $\times 3$ , $\times 9$ , $\times 27$
10) Longueurs $\times k$ , aires $\times k^{2}$ , volumes $\times k^{3}$ : une, deux ou trois dimensions

1)

On lit l'abscisse en premier, l'ordonnée ensuite : $A(-3\,;2)$ , $B(1\,;4)$ , $C(3\,;-1)$ et $D(-1\,;-3)$ . Inverser l'ordre des deux nombres est l'erreur de départ la plus commune, et elle rend faux tout ce qui suit.

2)

Les coordonnées d'un milieu sont les moyennes des coordonnées des extrémités. Milieu de $[AC]$ : $\left(\dfrac{-3+3}{2}\,;\dfrac{2+(-1)}{2}\right)=(0\,;0{,}5)$ . Milieu de $[BD]$ : $\left(\dfrac{1+(-1)}{2}\,;\dfrac{4+(-3)}{2}\right)=(0\,;0{,}5)$ . Les deux diagonales ont le MÊME milieu, donc elles se coupent en leur milieu, ce qui caractérise un parallélogramme : $ABCD$ est un parallélogramme. Ce raisonnement, purement calculatoire, ne demande aucune mesure sur la figure et vaut donc démonstration.

3)

Par Pythagore dans le repère, $AB=\sqrt{(1-(-3))^{2}+(4-2)^{2}}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ , et $BC=\sqrt{(3-1)^{2}+(-1-4)^{2}}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}$ . Comme $20\ne 29$ , ces deux côtés consécutifs n'ont pas la même longueur, donc $ABCD$ n'est PAS un losange : c'est un parallélogramme quelconque. Comparer $20$ et $29$ sous les racines évite tout calcul décimal, puisque deux racines de nombres positifs sont égales si et seulement si ces nombres le sont.

4)

La symétrie de centre $O$ change les deux coordonnées en leurs opposées : l'image de $A(-3\,;2)$ est le point $(3\,;-2)$ . La symétrie d'axe l'axe des ordonnées ne change que l'abscisse : l'image est $(3\,;2)$ . Un moyen sûr de ne pas les confondre est de se demander ce qui reste FIXE : dans une symétrie d'axe vertical, la hauteur est conservée, donc l'ordonnée ne bouge pas.

5)

La rotation de centre $O$ et d'angle $90°$ dans le sens direct, c'est-à-dire dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, envoie le point $(x\,;y)$ sur $(-y\,;x)$ : l'image de $B(1\,;4)$ est donc $(-4\,;1)$ . On peut le vérifier sur la figure, en constatant que $OB$ et $OB'$ ont même longueur $\sqrt{17}$ et forment un angle droit. L'homothétie de centre $O$ et de rapport $3$ multiplie les deux coordonnées par $3$ : l'image de $B$ est $(3\,;12)$ , trois fois plus loin de $O$ dans la même direction.

6)

L'aire d'un disque vaut $\pi r^{2}$ , soit $\pi\times 5^{2}=25\pi$ cm carrés, valeur exacte. La valeur approchée vaut $78{,}5$ cm carrés. C'est la valeur exacte, avec le symbole $\pi$ , qui est la réponse attendue ; l'arrondi ne sert qu'à se représenter la grandeur. Ne pas confondre avec le périmètre, $2\pi r=10\pi$ cm : l'aire porte un carré, le périmètre non.

7)

Le volume d'un cône vaut le tiers de celui du cylindre de même base et de même hauteur : $V=\dfrac{1}{3}\pi r^{2}h=\dfrac{1}{3}\times\pi\times 9\times 8=24\pi$ cm cubes, soit environ $75{,}4$ cm cubes. Le volume d'une boule vaut $\dfrac{4}{3}\pi r^{3}=\dfrac{4}{3}\times\pi\times 216=288\pi$ cm cubes, soit environ $904{,}8$ cm cubes. Dans les deux cas, le rayon est élevé au cube ou au carré AVANT toute multiplication par $\pi$ : c'est là que se glissent les erreurs de calculatrice.

8)

L'échelle $\dfrac{1}{20}$ signifie $k=\dfrac{1}{20}=0{,}05$ pour les longueurs. La longueur de la maquette vaut $\dfrac{12}{20}=0{,}60$ m, soit $60$ cm. L'aire de la voile est divisée par $k^{2}$ , c'est-à-dire par $400$ : $\dfrac{40}{400}=0{,}1$ m carré, soit $1\,000$ cm carrés. Le volume de la coque est divisé par $k^{3}$ , c'est-à-dire par $8\,000$ : $\dfrac{6}{8\,000}=0{,}00075$ m cube, soit $0{,}75$ litre. Diviser l'aire et le volume par $20$ au lieu de $400$ et de $8\,000$ donnerait une maquette de $2$ m carrés de voile pour $60$ cm de coque, ce qui est visiblement impossible : le contrôle de vraisemblance suffit à rejeter l'erreur.

9)

L'arête est multipliée par $3$ . L'aire totale, qui est une somme d'aires de faces carrées, est multipliée par $3^{2}=9$ . Le volume est multiplié par $3^{3}=27$ . On peut le vérifier sur un exemple : un cube d'arête $1$ a une aire totale de $6$ et un volume de $1$ ; un cube d'arête $3$ a une aire totale de $54$ et un volume de $27$ , soit bien $9$ fois et $27$ fois plus.

10)

Dans un agrandissement ou une réduction de rapport $k$ , les longueurs sont multipliées par $k$ , les aires par $k^{2}$ et les volumes par $k^{3}$ . Les exposants valent $1$ , $2$ et $3$ parce qu'une longueur se mesure dans une seule direction, une aire dans deux, un volume dans trois : chaque direction agrandie apporte un facteur $k$ de plus. C'est aussi la raison pour laquelle une fourmi géante ne pourrait pas exister, son poids augmentant en $k^{3}$ alors que la section de ses pattes n'augmenterait qu'en $k^{2}$ .

Exercice 19 : Dix affirmations à corriger

Chacune des dix affirmations suivantes est FAUSSE, et chacune porte sur un chapitre différent du programme de troisième. Pour chaque affirmation, dites pourquoi elle est fausse, si possible à l'aide d'un contre-exemple numérique, puis donnez l'énoncé correct.

Ces dix erreurs sont celles qui reviennent le plus souvent dans les copies de début de seconde. Les reconnaître ici vaut mieux que les découvrir au premier contrôle.

1) « $\dfrac{3}{4}+\dfrac{2}{5}=\dfrac{5}{9}$ . »
2) « $2^{3}\times 2^{4}=4^{7}$ . »
3) « $\sqrt{9+16}=\sqrt{9}+\sqrt{16}$ . »
4) « $(x+3)^{2}=x^{2}+9$ . »
5) « Si $x^{2}=25$ , alors $x=5$ . »
6) « Si $-2x>6$ , alors $x>-3$ . »
7) « Un prix qui augmente de $20\,\%$ puis diminue de $20\,\%$ revient à son montant de départ. »
8) « La représentation graphique d'une fonction affine passe toujours par l'origine du repère. »
9) « Le théorème de Pythagore permet de démontrer qu'un triangle est rectangle. »
10) « Dans un agrandissement de rapport $3$ , l'aire d'une figure est multipliée par $3$ . »

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/13

1)

Numérateur

Dénominateur

2)

2^{3}\times 2^{4}

3)

\sqrt{9+16}

\sqrt{9}+\sqrt{16}

4)

(x+3)^{2}

5)

Plus petite solution

Plus grande solution

6)

Ensemble des solutions ;

7)

Coefficient global

Évolution globale %

8)

La droite passe par l'origine

9)

Ce qui démontre qu'un triangle est rectangle

Voir la correction

Réponses

1) $\dfrac{23}{20}$
2) $2^{7}=128$
3) $5\neq 7$
4) $x^{2}+6x+9$
5) $x=5$ ou $x=-5$
6) $x<-3$
7) $\times 0{,}96$ : baisse de $4$ %
8) Seulement pour une fonction linéaire ( $b=0$ )
9) C'est la réciproque qui le démontre
10) L'aire est multipliée par $k^{2}=9$

1)

FAUX. On ne peut pas additionner les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : cette règle vaut pour la multiplication, jamais pour l'addition. Il faut réduire au même dénominateur, ici $20$ : $\dfrac{3}{4}+\dfrac{2}{5}=\dfrac{15}{20}+\dfrac{8}{20}=\dfrac{23}{20}$ . Le contrôle d'ordre de grandeur suffisait à rejeter la réponse proposée, car $\dfrac{5}{9}$ est plus petit que $\dfrac{3}{4}$ , alors qu'ajouter un nombre positif ne peut pas diminuer le résultat.

2)

FAUX. La base ne se multiplie pas, seuls les exposants s'additionnent : $2^{3}\times 2^{4}=2^{7}=128$ . Numériquement, $8\times 16=128$ , alors que $4^{7}=16\,384$ . L'énoncé correct est $a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$ , avec la même base des deux côtés.

3)

FAUX. À gauche, $\sqrt{25}=5$ ; à droite, $3+4=7$ . La racine carrée ne se distribue pas sur une addition. Elle se distribue en revanche sur un produit et sur un quotient : $\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}$ et $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ , pour $a$ et $b$ positifs, $b$ non nul.

4)

FAUX. Il manque le double produit : $(x+3)^{2}=x^{2}+2\times x\times 3+9=x^{2}+6x+9$ . Contre-exemple avec $x=1$ : à gauche $(1+3)^{2}=16$ , à droite $1+9=10$ . L'énoncé correct est l'identité $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ .

5)

FAUX, ou plutôt incomplet, ce qui revient au même en mathématiques. Le nombre $-5$ convient aussi, puisque $(-5)^{2}=25$ . L'énoncé correct est : si $x^{2}=25$ , alors $x=5$ ou $x=-5$ . Plus généralement, $x^{2}=k$ admet deux solutions si $k>0$ , une seule si $k=0$ , et aucune si $k<0$ .

6)

FAUX. On a divisé par $-2$ sans changer le sens de l'inégalité. Multiplier ou diviser une inégalité par un nombre NÉGATIF renverse son sens : la solution est $x<-3$ . Le test le confirme : pour $x=0$ , on aurait $-2\times 0=0$ , qui n'est pas supérieur à $6$ , donc $0$ n'est pas solution, alors que la réponse proposée l'inclurait.

7)

FAUX. Les coefficients se multiplient : $1{,}20\times 0{,}80=0{,}96$ , donc le prix final vaut $96\,\%$ du prix initial, soit une baisse globale de $4\,\%$ . Sur un article à $100$ dollars : $100\to 120\to 96$ . La raison est que la hausse porte sur le prix initial et la baisse sur un prix plus grand. L'énoncé correct est que deux évolutions successives se composent par le produit de leurs coefficients, jamais par la somme de leurs pourcentages.

8)

FAUX. Cela vaut pour une fonction LINÉAIRE, $f(x)=ax$ , dont la droite passe par l'origine. Une fonction affine s'écrit $f(x)=ax+b$ , et sa droite coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée $b$ : par exemple $f(x)=2x+3$ passe par $(0\,;3)$ et non par l'origine. Les fonctions linéaires sont exactement les fonctions affines pour lesquelles $b=0$ .

9)

FAUX. C'est la RÉCIPROQUE du théorème de Pythagore qui démontre qu'un triangle est rectangle, à partir de l'égalité $a^{2}=b^{2}+c^{2}$ vérifiée sur les longueurs. Le théorème direct, lui, part d'un triangle dont on SAIT déjà qu'il est rectangle et sert à calculer une longueur manquante. Confondre les deux revient à supposer ce qu'on veut démontrer, et une démonstration construite ainsi ne vaut rien.

10)

FAUX. Dans un agrandissement de rapport $k$ , les longueurs sont multipliées par $k$ , mais les aires le sont par $k^{2}$ et les volumes par $k^{3}$ . Ici l'aire est donc multipliée par $9$ . Contre-exemple immédiat : un carré de côté $2$ , d'aire $4$ , devient un carré de côté $6$ , d'aire $36$ , et $36=9\times 4$ .

Exercice 20 : Problème de synthèse : le chalet de montagne

Ce dernier problème enchaîne, sur une seule situation, presque tout ce que la série a repris : Pythagore, la trigonométrie, les aires et les volumes, les pourcentages, les fonctions affines, une équation et un agrandissement.

Un chalet a une base rectangulaire de $8$ m sur $6$ m et des murs de $2{,}50$ m de haut. Son toit à deux pans a un faîtage situé $2$ m au-dessus du haut des murs, parallèle au côté de $8$ m. Le pignon est représenté ci-dessous.

1) Calculez la longueur exacte d'un rampant du toit, c'est-à-dire de l'arête inclinée visible sur le pignon, puis sa valeur arrondie au centimètre.
2) Calculez l'angle que fait le toit avec l'horizontale, au dixième de degré.
3) Calculez l'aire totale du toit, en valeur exacte puis arrondie au dixième de mètre carré.
4) Les bardeaux coûtent $32$ dollars le mètre carré, et l'on prévoit $10\,\%$ de perte à la découpe. Calculez le coût des bardeaux, arrondi au dollar.
5) Calculez le volume total du chalet, combles compris.
6) Deux tarifs d'électricité sont proposés. Tarif A : $0{,}09$ dollar le kilowattheure, sans frais fixes. Tarif B : $25$ dollars par mois, puis $0{,}06$ dollar le kilowattheure. Exprimez en fonction de la consommation mensuelle $x$ , en kilowattheures, le coût $f(x)$ du tarif A et le coût $g(x)$ du tarif B.
7) Résolvez $f(x)=g(x)$ et interprétez le résultat.
8) Le chalet consomme $1\,200$ kWh par mois. Quel tarif faut-il choisir, et quelle économie mensuelle réalise-t-on ?
9) Une facture au tarif B s'élève à $121$ dollars pour un mois. Quelle a été la consommation ?
10) On réalise une maquette du chalet à l'échelle $\dfrac{1}{50}$ . Calculez son volume, en litres.

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/13

1)

Valeur exacte

Valeur arrondie m

2)

Angle °

3)

Aire exacte (en multiples de

\sqrt{13}

)

Aire arrondie m²

4)

Coût des bardeaux dollars

5)

Volume total m³

6)

f(x)

g(x)

7)

Consommation d'égalité kWh

8)

Tarif à choisir

Économie mensuelle dollars

9)

Consommation kWh

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Réponses

1) $\sqrt{13}\approx 3{,}61$ m
2) $\approx 33{,}7^{\circ}$
3) $16\sqrt{13}\approx 57{,}7$ m²
4) $\approx 2\,031$ dollars
5) $168$ m³
6) $f(x)=0{,}09x$ ; $g(x)=0{,}06x+25$
7) $x\approx 833{,}3$ kWh : même coût
8) Tarif B, $11$ dollars par mois
9) $1\,600$ kWh
10) $1{,}344$ L

1)

Le rampant est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit sont la demi-largeur du chalet, $\dfrac{6}{2}=3$ m, et la hauteur du comble, $2$ m. Pythagore donne $r^{2}=3^{2}+2^{2}=9+4=13$ , donc $r=\sqrt{13}$ m, valeur exacte, soit environ $3{,}61$ m. Contrôle : le rampant doit dépasser chacun des deux côtés, et $3{,}61>3>2$ . C'est la demi-largeur qu'il faut prendre, et non la largeur entière : l'erreur donnerait $\sqrt{40}\approx 6{,}32$ m, un rampant plus long que la largeur du chalet, ce qui est impossible.

2)

L'angle $\alpha$ du toit avec l'horizontale a pour côté opposé la hauteur $2$ m et pour côté adjacent la demi-largeur $3$ m : c'est la tangente. $\tan(\alpha)=\dfrac{2}{3}\approx 0{,}6667$ , donc $\alpha\approx 33{,}7°$ . Contrôle : la tangente est plus petite que $1$ , donc l'angle est plus petit que $45°$ , ce qui correspond bien à un toit moins haut que large.

3)

Chaque pan est un rectangle dont la largeur est le rampant, $\sqrt{13}$ m, et la longueur est la profondeur du chalet, $8$ m. Son aire vaut $8\sqrt{13}$ m carrés, et le toit en compte deux : $A=16\sqrt{13}$ m carrés, valeur exacte, soit environ $57{,}7$ m carrés. L'erreur à éviter est d'utiliser la largeur $6$ m au lieu du rampant : on obtiendrait $2\times 8\times 3=48$ m carrés, ce qui reviendrait à couvrir le chalet d'un toit plat.

4)

Avec $10\,\%$ de perte, il faut commander $57{,}689\times 1{,}10\approx 63{,}46$ m carrés de bardeaux. Le coût vaut alors $63{,}46\times 32\approx 2\,031$ dollars. Il est important de garder la valeur non arrondie de l'aire jusqu'au dernier calcul : partir de $57{,}7$ donnerait $2\,031$ dollars également ici, mais l'écart se creuse dès que les nombres sont plus grands. Prévoir la perte revient à multiplier par $1{,}10$ , et non à ajouter $10$ à l'aire.

5)

Le volume se décompose en deux morceaux. Les murs forment un pavé droit : $8\times 6\times 2{,}50=120$ m cubes. Le comble est un prisme droit dont la base est le triangle du pignon, d'aire $\dfrac{6\times 2}{2}=6$ m carrés, et dont la longueur est $8$ m : son volume vaut $6\times 8=48$ m cubes. Le volume total vaut donc $120+48=168$ m cubes. La formule du prisme, aire de la base multipliée par la longueur, s'applique ici avec une base triangulaire posée verticalement : c'est le pignon lui-même.

6)

Tarif A : $f(x)=0{,}09x$ , une fonction linéaire, car la facture est proportionnelle à la consommation. Tarif B : $g(x)=0{,}06x+25$ , une fonction affine, avec $25$ dollars dus même pour une consommation nulle.

7)

$0{,}09x=0{,}06x+25$ donne $0{,}03x=25$ , donc $x=\dfrac{25}{0{,}03}\approx 833{,}3$ kWh. Pour une consommation d'environ $833$ kWh par mois, les deux tarifs reviennent au même, à un peu moins de $75$ dollars. En dessous, le tarif A est plus avantageux, car les frais fixes du tarif B ne sont pas encore compensés ; au-dessus, c'est le tarif B, car son prix au kilowattheure est plus bas d'un tiers.

8)

$f(1\,200)=0{,}09\times 1\,200=108$ dollars et $g(1\,200)=0{,}06\times 1\,200+25=72+25=97$ dollars. Comme $1\,200$ dépasse le seuil de $833$ kWh, c'est bien le tarif B qu'il faut choisir, ce qui est cohérent avec la question 7. L'économie vaut $108-97=11$ dollars par mois, soit $132$ dollars sur une année.

9)

On résout $0{,}06x+25=121$ , soit $0{,}06x=96$ , donc $x=\dfrac{96}{0{,}06}=1\,600$ kWh. Vérification : $0{,}06\times 1\,600+25=96+25=121$ dollars. Le piège est d'oublier de retirer les $25$ dollars fixes avant de diviser : on obtiendrait $\dfrac{121}{0{,}06}\approx 2\,017$ kWh, une consommation surestimée de plus de $25\,\%$ .

10)

L'échelle $\dfrac{1}{50}$ divise les longueurs par $50$ , donc les volumes par $50^{3}=125\,000$ . Le volume de la maquette vaut $\dfrac{168}{125\,000}=0{,}001344$ m cube. Comme $1$ m cube vaut $1\,000$ litres, cela fait $1{,}344$ litre, à peine plus qu'une bouteille d'eau. Ce résultat est le meilleur résumé de la série : une maquette cinquante fois plus petite en longueur est cent vingt-cinq mille fois plus petite en volume, et c'est cette différence entre $k$ , $k^{2}$ et $k^{3}$ qui sépare une intuition de faux calcul d'un raisonnement juste.

Réviser tout le programme de troisième avant l'entrée en seconde : 20 exercices corrigés

Rappel de cours

Partie A : nombres et calcul exact (/50)

Exercice 1 : Fractions : la valeur exacte est la réponse

Exercice 2 : Puissances, écriture scientifique et ordres de grandeur

Exercice 3 : Racines carrées : simplifier, additionner, rendre le dénominateur entier

Exercice 4 : Diviseurs, nombres premiers et PGCD

Exercice 5 : Proportionnalité, pourcentages et évolutions successives

Partie B : calcul littéral, équations et démonstration (/50)

Exercice 6 : Développer : distributivité et identités remarquables

Exercice 7 : Factoriser : facteur commun, facteur caché, identité remarquable

Exercice 8 : Équations, inéquations et mise en équation

Exercice 9 : Équation produit nul, carrés égaux à un nombre, et racines exactes

Exercice 10 : Démontrer avec des lettres

Partie C : fonctions, données et hasard (/40)

Exercice 11 : Le vocabulaire des fonctions : image, antécédent, notation

Exercice 12 : Fonctions linéaires et affines : lire, calculer, comparer

Exercice 13 : Statistiques : moyenne, médiane, étendue et quartiles

Exercice 14 : Probabilités : arbre, deux tirages et événement contraire

Partie D : géométrie, synthèse et pièges (/60)

Exercice 15 : Pythagore, sa réciproque et la valeur exacte

Exercice 16 : Thalès, sa réciproque et les triangles semblables

Exercice 17 : Trigonométrie du triangle rectangle

Exercice 18 : Repérage, transformations et solides : les rapports k, k² et k³

Exercice 19 : Dix affirmations à corriger

Exercice 20 : Problème de synthèse : le chalet de montagne

Voir aussi

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