Épreuve anticipée de mathématiques blanche, spécialité Première (sujet corrigé)

a) Le produit passe AVANT la soustraction : $\dfrac{3}{4}\times\dfrac{2}{9}=\dfrac{3\times 2}{4\times 9}=\dfrac{1}{2\times 3}=\dfrac{1}{6}$, en simplifiant le $3$ avec le $9$ et le $2$ avec le $4$ avant de multiplier. Puis $\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{4}{6}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$. Réflexe : repérer la priorité des opérations avant de toucher au moindre dénominateur. Piège : calculer d'abord $\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{4}=-\dfrac{1}{12}$, puis multiplier par $\dfrac{2}{9}$, ce qui donne $-\dfrac{1}{54}$, un nombre négatif et minuscule qui aurait dû alerter.

b) On isole $v^{2}$ AVANT de remplacer : $v^{2}=\dfrac{2E_{c}}{m}=\dfrac{2\times 36}{2}=36$, donc $v=\sqrt{36}=6$ m/s, la valeur négative étant écartée par l'énoncé. Contrôle : $\dfrac{1}{2}\times 2\times 6^{2}=36$ ✓. Réflexe : pour une formule avec un carré, on isole le carré, puis on prend la racine en dernier. Piège : oublier le facteur $\dfrac{1}{2}$ et trouver $v^{2}=18$, ou diviser par $2$ deux fois et trouver $v=3$.

c) Tout s'écrit en puissances de $2$ : $4^{-2}=\left(2^{2}\right)^{-2}=2^{-4}$ et $8=2^{3}$. Donc $\dfrac{2^{7}\times 2^{-4}}{2^{3}}=2^{7-4-3}=2^{0}$, et $n=0$ : le nombre vaut $1$. Réflexe : ramener toutes les bases à la même avant d'appliquer une règle. Piège : lire $4^{-2}$ comme $2^{-2}$, c'est-à-dire oublier que $4=2^{2}$, et trouver $n=2$.

d) Une hausse de 10 % multiplie par $1{,}1$, une hausse de 20 % par $1{,}2$, et deux évolutions successives MULTIPLIENT leurs coefficients : $1{,}1\times 1{,}2=1{,}32$. Le loyer a donc augmenté de 32 % en deux ans. Réflexe : un pourcentage d'évolution se traduit en coefficient multiplicateur, et ce sont les coefficients qui se composent. Piège : additionner les taux et répondre 30 %, en oubliant que la seconde hausse s'applique à un loyer déjà augmenté.

e) Le coefficient de la hausse est $1{,}25$, et le coefficient qui ramène au départ est son INVERSE : $\dfrac{1}{1{,}25}=\dfrac{100}{125}=\dfrac{4}{5}=0{,}8$, soit une baisse de 20 %. Contrôle sur un prix de $100$ dollars : il passe à $125$, puis $125\times 0{,}8=100$ ✓. Réflexe : l'évolution réciproque se calcule sur le coefficient, jamais sur le taux. Piège : répondre 25 %, alors qu'une baisse de 25 % appliquée à $125$ ne ramène qu'à $93{,}75$.

f) Le produit s'annule en $-2$ et en $4$. Le facteur $x+2$ est positif à droite de $-2$ et le facteur $4-x$ est positif à gauche de $4$ : les deux sont positifs, donc le produit aussi, exactement ENTRE les deux racines. Autre lecture : développé, $(x+2)(4-x)=-x^{2}+2x+8$, trinôme de coefficient $-1$ négatif, donc positif entre ses racines. Les racines comptent puisque l'inégalité est large : $S=[-2\,;4]$. Piège : appliquer par habitude « le signe de $a$ à l'extérieur des racines » sans voir que le coefficient de $x^{2}$ est négatif, et répondre la réunion des deux demi-droites.

g) $m=\dfrac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}=\dfrac{-4-4}{3-(-1)}=\dfrac{-8}{4}=-2$. Puis $A$ est sur la droite : $4=-2\times(-1)+p$, d'où $p=2$, et la droite a pour équation $y=-2x+2$. Contrôle avec $B$ : $-2\times 3+2=-4$ ✓. Réflexe : différence des ordonnées sur différence des abscisses, dans le MÊME ordre. Piège : le signe de $x_{B}-x_{A}=3+1$, que l'on écrit $3-1$ par précipitation, ce qui donne $m=-4$.

h) On trace la droite horizontale d'équation $y=4$ : elle coupe la courbe aux points d'abscisses $1$ et $3$, lus sur le quadrillage, et la courbe est AU-DESSUS de cette droite entre ces deux abscisses. Donc $S=[1\,;3]$, bornes comprises puisque l'inégalité est large. Réflexe : une inéquation $f(x)\geq k$ se lit en abscisses, sur l'axe horizontal. Piège : répondre par des ordonnées, par exemple $[4\,;4{,}5]$, qui décrit les valeurs prises par $f$ et non les solutions.

i) La courbe coupe l'axe des abscisses en $-1$ et en $5$ et se trouve au-dessus de l'axe entre ces deux points ; aux bornes $-2$ et $6$ de l'intervalle d'étude, elle est en dessous. L'inégalité étant stricte, les zéros sont exclus : $S=\,]-1\,;5[$. Réflexe : le signe de $f(x)$ se lit par la position de la courbe par rapport à l'axe des abscisses. Piège : répondre $]0\,;4{,}5[$ en lisant l'intervalle sur l'axe des ordonnées, ou inclure $-1$ et $5$ alors que $f$ y vaut exactement $0$.

j) $P_{S}(D)$ se calcule PARMI les élèves de spécialité physique-chimie : $\dfrac{60}{100}=0{,}6$. $P_{D}(S)$ se calcule parmi les demi-pensionnaires : $\dfrac{60}{150}=0{,}4$. Le numérateur est le même, l'effectif $60$ de l'intersection ; c'est la population de référence, le dénominateur, qui change. Réflexe : l'événement placé en indice désigne la population dans laquelle on compte. Piège : répondre $\dfrac{60}{250}=0{,}24$, qui est $P(S\cap D)$ et non une probabilité conditionnelle.

k) Formule des probabilités totales, avec la partition $A$, $\overline{A}$ : $P(B)=P(A)\times P_{A}(B)+P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(B)=0{,}2\times 0{,}5+0{,}8\times 0{,}25=0{,}1+0{,}2=0{,}3$. Réflexe : dans l'arbre, on multiplie le long d'un chemin et on additionne les chemins qui mènent à $B$. Piège : additionner directement $0{,}5+0{,}25=0{,}75$, en oubliant que chaque probabilité conditionnelle doit être pondérée par la probabilité de sa branche.

l) Moyenne : $\dfrac{3+8+10+12+17+22}{6}=\dfrac{72}{6}=12$. Médiane : la série est rangée et compte six valeurs, nombre pair, donc la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales, la troisième et la quatrième : $\dfrac{10+12}{2}=11$. Réflexe : vérifier que la série est rangée avant de chercher la médiane. Piège : prendre la troisième valeur, $10$, comme pour une série impaire. Ici la moyenne dépasse la médiane parce que la valeur $22$ tire la moyenne vers le haut, alors que la médiane ne dépend pas de la taille des valeurs extrêmes.

Les automatismes rapportent 6 points sur 20 pour environ 30 minutes : c'est la partie la plus rentable de l'épreuve, à condition de ne pas s'y enliser. Chaque question se traite en deux minutes au plus ; si l'une résiste, on passe et on y revient à la fin. Sans calculatrice, le gain de temps vient toujours du même geste : simplifier avant de calculer, traduire un pourcentage en coefficient, écrire une puissance dans la bonne base. Et un contrôle de vraisemblance, en dix secondes, rattrape la plupart des erreurs de signe.

1) On compte sur la figure, colonne par colonne : $u_{1}=1$, $u_{2}=1+2=3$, $u_{3}=3+3=6$, $u_{4}=6+4=10$, puis, sans dessin, $u_{5}=10+5=15$. Pour passer de l'escalier de rang $n$ à celui de rang $n+1$, on garde les $n$ colonnes déjà posées et on ajoute à droite une colonne de $n+1$ cubes. D'où la relation de récurrence $u_{n+1}=u_{n}+(n+1)$, valable pour tout $n\geq 1$. Phrase attendue : « Chaque escalier s'obtient à partir du précédent en ajoutant une colonne de $n+1$ cubes, donc $u_{n+1}=u_{n}+n+1$. »

2) L'escalier de rang $n$ a des colonnes de $1$, $2$, ..., $n$ cubes, donc $u_{n}=1+2+\dots+n$. Pour calculer cette somme, on l'écrit dans les deux sens et on additionne terme à terme : $2u_{n}=(1+n)+(2+(n-1))+\dots+(n+1)$. Chaque parenthèse vaut $n+1$ et il y en a $n$, donc $2u_{n}=n(n+1)$ et $u_{n}=\dfrac{n(n+1)}{2}$. La figure donne la même preuve sans calcul : deux escaliers de rang $n$, dont l'un retourné, s'emboîtent en un rectangle de $n$ colonnes et de $n+1$ lignes, qui contient $n(n+1)$ cubes. Contrôle : $\dfrac{4\times 5}{2}=10=u_{4}$ ✓. Enfin $u_{20}=\dfrac{20\times 21}{2}=210$.

3) Les écarts successifs valent $u_{2}-u_{1}=2$ et $u_{3}-u_{2}=3$ : ils ne sont pas constants, donc la suite n'est PAS arithmétique. Les quotients valent $\dfrac{u_{2}}{u_{1}}=3$ et $\dfrac{u_{3}}{u_{2}}=2$ : ils ne sont pas constants non plus, donc la suite n'est PAS géométrique. Un seul contre-exemple suffit à réfuter chacune des deux propriétés, et c'est exactement ce qu'on écrit. Pour le sens de variation, la relation de la question 1 donne $u_{n+1}-u_{n}=n+1>0$ pour tout $n\geq 1$ : la suite est strictement croissante. Piège : conclure « croissante » en observant $1<3<6<10$, ce qui ne prouve rien pour TOUS les rangs ; c'est le signe de $u_{n+1}-u_{n}$ en fonction de $n$ qui démontre.

4) On cherche un entier $n\geq 1$ tel que $\dfrac{n(n+1)}{2}=465$, soit $n^{2}+n-930=0$. Le discriminant vaut $\Delta=1^{2}-4\times 1\times(-930)=1+3\,720=3\,721=61^{2}$. Les racines sont $\dfrac{-1-61}{2}=-31$ et $\dfrac{-1+61}{2}=30$. La valeur $-31$ est rejetée, car un rang est un entier positif ; il reste $n=30$. Contrôle par la somme et le produit des racines : $-31+30=-1$ ✓ et $-31\times 30=-930$ ✓, et $u_{30}=\dfrac{30\times 31}{2}=465$ ✓. Phrase attendue : « Oui : avec $465$ cubes, on construit exactement l'escalier de rang $30$. »

5) On cherche le plus grand entier $n$ tel que $u_{n}\leq 600$, c'est-à-dire $n(n+1)\leq 1\,200$. La suite étant croissante (question 3), il suffit de trouver le rang où elle franchit $600$. L'aide au calcul donne $34\times 35=1\,190\leq 1\,200$ et $35\times 36=1\,260>1\,200$, donc $u_{34}=595\leq 600<u_{35}=630$. Le plus grand escalier complet est celui de rang $34$, et il reste $600-595=5$ cubes. D'où venait l'idée de regarder vers $34$ ? De l'ordre de grandeur : $n(n+1)\approx n^{2}$, et $n^{2}\approx 1\,200$ donne $n$ un peu moins de $35$. Phrase attendue : « Avec $600$ cubes, on construit au plus l'escalier de rang $34$, et il reste $5$ cubes inutilisés. »

Cet exercice illustre deux points du programme de Première. D'abord, une même suite peut être donnée par un motif, par une relation de récurrence et par une formule explicite : la récurrence dit comment on passe d'un terme au suivant, la formule explicite permet de répondre aux questions 4 et 5 sans construire trente escaliers. Ensuite, une question de suite se ramène souvent à une équation du second degré, et le contexte trie les racines : un rang négatif n'a pas de sens, il se rejette par une phrase. Sans calculatrice, l'aide au calcul n'est pas décorative : elle signale le carré parfait $3\,721$ et encadre le seuil de la question 5, ce qui dit au candidat qu'il est sur la bonne piste.

1) $f(0)=\left(0-0-1\right)\mathrm{e}^{0}=-1\times 1=-1$. La fonction $f$ est le produit $uv$ avec $u(x)=x^{2}-x-1$, $u'(x)=2x-1$, et $v(x)=\mathrm{e}^{x}$, $v'(x)=\mathrm{e}^{x}$. La formule $(uv)'=u'v+uv'$ donne $f'(x)=(2x-1)\mathrm{e}^{x}+\left(x^{2}-x-1\right)\mathrm{e}^{x}$. On FACTORISE par $\mathrm{e}^{x}$ au lieu de développer : $f'(x)=\left(2x-1+x^{2}-x-1\right)\mathrm{e}^{x}=\left(x^{2}+x-2\right)\mathrm{e}^{x}$ ✓. Piège : dériver le produit comme le produit des dérivées, $(2x-1)\mathrm{e}^{x}$, en oubliant le second terme.

2) Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^{x}>0$ : le signe de $f'(x)$ est celui du trinôme $x^{2}+x-2$. Le réel $1$ est une racine évidente, puisque $1+1-2=0$ ; le produit des racines valant $\dfrac{c}{a}=-2$, l'autre racine est $-2$. Donc $x^{2}+x-2=(x-1)(x+2)$, positif à l'extérieur des racines puisque $a=1>0$. Ainsi $f'(x)>0$ sur $]-\infty\,;-2[$, $f'(x)<0$ sur $]-2\,;1[$ et $f'(x)>0$ sur $]1\,;+\infty[$ : $f$ est croissante sur $]-\infty\,;-2]$, décroissante sur $[-2\,;1]$, croissante sur $[1\,;+\infty[$. Maximum local en $-2$ : $f(-2)=(4+2-1)\mathrm{e}^{-2}=5\mathrm{e}^{-2}$. Minimum local en $1$ : $f(1)=(1-1-1)\mathrm{e}^{1}=-\mathrm{e}$. On ne place aucune limite dans le tableau : elles ne sont pas au programme de Première et la question ne les demande pas.

3) La tangente au point d'abscisse $a$ a pour équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$. Ici $f(0)=-1$ et $f'(0)=(0+0-2)\mathrm{e}^{0}=-2$, donc $T$ : $y=-2x-1$. C'est la fonction affine tangente à $f$ en $0$ : pour $h$ proche de $0$, $f(0+h)\approx f(0)+f'(0)h$. Avec $h=0{,}1$ : $f(0{,}1)\approx -1-2\times 0{,}1=-1{,}2$. Pour information, la valeur exacte est $-1{,}09\,\mathrm{e}^{0{,}1}\approx -1{,}205$ : l'approximation linéaire se trompe de moins d'un centième, et c'est tout son intérêt, remplacer un calcul impossible sans machine par un calcul affine. Phrase attendue : « Une valeur approchée de $f(0{,}1)$ est $-1{,}2$. »

4) Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul, et $\mathrm{e}^{x}$ ne s'annule jamais. Donc $f(x)=0$ équivaut à $x^{2}-x-1=0$. Le discriminant vaut $\Delta=(-1)^{2}-4\times 1\times(-1)=5>0$, d'où deux solutions : $x_{1}=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$ et $x_{2}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$. Avec l'aide au calcul, $x_{1}\approx\dfrac{1-2{,}24}{2}=-0{,}62$ et $x_{2}\approx\dfrac{1+2{,}24}{2}=1{,}62$. Contrôle par les relations entre coefficients et racines : $x_{1}+x_{2}=1$ ✓ et $x_{1}x_{2}=\dfrac{1-5}{4}=-1$ ✓. Cohérence avec le tableau : $x_{1}$ est dans $[-2\,;1]$, où $f$ décroît de $5\mathrm{e}^{-2}>0$ à $-\mathrm{e}<0$, et $x_{2}$ est au-delà de $1$, où $f$ remonte depuis $-\mathrm{e}$.

5) On raisonne par disjonction des cas, car le tableau de variation ne suffit pas seul. Sur $[-2\,;+\infty[$ : $f$ décroît sur $[-2\,;1]$ puis croît sur $[1\,;+\infty[$, donc son minimum sur cet intervalle est atteint en $1$ et vaut $-\mathrm{e}$ ; ainsi $f(x)\geq -\mathrm{e}$. Sur $]-\infty\,;-2]$ : le trinôme $x^{2}-x-1$ a pour racines $x_{1}\approx -0{,}62$ et $x_{2}\approx 1{,}62$ ; il est positif à l'extérieur de ses racines, en particulier pour $x\leq -2<x_{1}$. Comme $\mathrm{e}^{x}>0$, on a $f(x)>0>-\mathrm{e}$. Les deux cas couvrent $\mathbb{R}$ : pour tout réel $x$, $f(x)\geq -\mathrm{e}$, avec égalité seulement en $x=1$. Piège : conclure directement du tableau sans traiter $]-\infty\,;-2]$, où $f$ est croissante et où l'on ne sait pas, sans l'argument de signe, jusqu'où elle descend. Phrase attendue : « Le minimum de $f$ sur $\mathbb{R}$ est $-\mathrm{e}$, atteint en $1$. »

La figure de la correction montre la courbe, sa tangente en $0$ et la droite $y=-\mathrm{e}$ qui la soutient. Toute l'étude tient en deux gestes sans calculatrice. Le premier est de factoriser la dérivée par $\mathrm{e}^{x}$ pour que son signe devienne celui d'un trinôme, que l'on factorise ensuite par sa racine évidente. Le second est de lire le signe de $f$ elle-même dans le trinôme $x^{2}-x-1$ : c'est lui qui donne les zéros de la question 4 et qui ferme la démonstration de la question 5. Les valeurs $5\mathrm{e}^{-2}$ et $-\mathrm{e}$ restent exactes, comme l'exige un sujet sans calculatrice.

1) Chaque feu est une épreuve à deux issues : succès « le feu est rouge », de probabilité $0{,}3$, ou échec « le feu est vert », de probabilité $0{,}7$. C'est une épreuve de Bernoulli. Les trois feux ont la même probabilité d'être rouges, et l'énoncé les dit réglés indépendamment : on répète donc trois fois, de façon indépendante, la même épreuve de Bernoulli. L'arbre de la correction a trois niveaux et huit chemins ; chaque branche $V$ porte $0{,}7$ et chaque branche $R$ porte $0{,}3$, au troisième niveau comme aux deux premiers. Par indépendance, on multiplie le long du chemin : $P(V_{1}\cap V_{2}\cap V_{3})=0{,}7^{3}=0{,}343$. À la main : $0{,}7\times 0{,}7=0{,}49$ puis $0{,}49\times 0{,}7=0{,}343$.

2) $X$ prend les valeurs $0$, $1$, $2$ et $3$. Un chemin qui compte $k$ feux rouges a pour probabilité $0{,}3^{k}\times 0{,}7^{3-k}$, et on compte les chemins sur l'arbre. $P(X=0)=0{,}343$, un seul chemin. $P(X=1)$ : trois chemins, selon la position du feu rouge, $RVV$, $VRV$, $VVR$, d'où $3\times 0{,}3\times 0{,}49=0{,}441$. $P(X=2)$ : trois chemins, selon la position du feu vert, d'où $3\times 0{,}09\times 0{,}7=0{,}189$. $P(X=3)=0{,}3^{3}=0{,}027$, un seul chemin. Contrôle : $0{,}343+0{,}441+0{,}189+0{,}027=1$ ✓. Piège : oublier que « exactement un feu rouge » regroupe TROIS chemins, et répondre $0{,}147$.

3) $E(X)=0\times 0{,}343+1\times 0{,}441+2\times 0{,}189+3\times 0{,}027=0{,}441+0{,}378+0{,}081=0{,}9$. En moyenne, sur un grand nombre de trajets, Inès rencontre $0{,}9$ feu rouge par trajet ; ce n'est pas un nombre de feux possible, c'est une moyenne. La durée vaut $T=12+1{,}5X$. Par linéarité de l'espérance, $E(T)=12+1{,}5\,E(X)=12+1{,}5\times 0{,}9=12+1{,}35=13{,}35$ minutes. Phrase attendue : « Sur un grand nombre de trajets, la durée moyenne d'un trajet est de $13{,}35$ minutes, soit environ $13$ minutes et $21$ secondes. » On remarque que $0{,}9=3\times 0{,}3$ : trois feux, chacun rouge avec la probabilité $0{,}3$.

4) Si le premier feu est vert, Inès rencontre exactement un feu rouge lorsque l'un des DEUX feux restants est rouge et l'autre vert : deux chemins, $RV$ ou $VR$. Donc $P_{A}(B)=2\times 0{,}3\times 0{,}7=0{,}42$. Or $P(B)=P(X=1)=0{,}441$ d'après la question 2. Comme $P_{A}(B)=0{,}42\neq 0{,}441=P(B)$, savoir que le premier feu est vert modifie la probabilité de $B$ : les événements $A$ et $B$ ne sont PAS indépendants. Même conclusion par le critère du produit : $P(A\cap B)=0{,}7\times 0{,}42=0{,}294$ alors que $P(A)\times P(B)=0{,}7\times 0{,}441=0{,}3087$. Contrôle par les probabilités totales : $P(B)=P(A)P_{A}(B)+P(\overline{A})P_{\overline{A}}(B)=0{,}294+0{,}3\times 0{,}49=0{,}294+0{,}147=0{,}441$ ✓. Piège : croire que $A$ et $B$ sont indépendants parce que les FEUX le sont ; les feux sont indépendants entre eux, mais $B$ porte sur les trois feux à la fois, dont le premier.

Deux mots se croisent dans cet exercice et ne désignent pas la même chose. L'indépendance des TROIS FEUX est une hypothèse du modèle, donnée par l'énoncé : c'est elle qui autorise à multiplier le long des chemins de l'arbre. L'indépendance de deux ÉVÉNEMENTS $A$ et $B$ se démontre ou se réfute par le calcul, et elle peut être fausse même quand les épreuves sont indépendantes. La rédaction attendue sépare les deux : on cite l'hypothèse de l'énoncé pour construire l'arbre, on compare $P_{A}(B)$ à $P(B)$ pour conclure sur $A$ et $B$.