Contrôle corrigé de Cinquième : données et géométrie

1) On divise le prix par la masse : $7\div 250=0{,}028$. Le coefficient vaut $0{,}028$ dollar par gramme, autrement dit le prix d'UN gramme de café. On peut aussi raisonner au kilogramme, ce qui est plus parlant : $250$ grammes coûtent $7$ dollars, donc $1\,000$ grammes coûtent quatre fois plus, soit $28$ dollars le kilogramme.

2) Pour $400$ grammes : $400\times 0{,}028=11{,}20$ dollars. Pour $21$ dollars : on remonte, donc on divise, $21\div 0{,}028=750$ grammes. On peut le voir plus simplement : $21$ dollars, c'est trois fois $7$ dollars, donc trois fois $250$ grammes. Pour $1\,000$ grammes : $1\,000\times 0{,}028=28$ dollars.

3) On divise par le coefficient : $12{,}60\div 0{,}028=450$ grammes. Vérification : $450\times 0{,}028=12{,}60$ dollars. Le sens de l'opération se contrôle par le bon sens, $12{,}60$ dollars est un peu moins que le double de $7$ dollars, donc la masse doit être un peu moins que le double de $250$ grammes.

4) Le kilogramme coûte $28$ dollars. Augmenter de $15$ pour cent, c'est multiplier par $\frac{115}{100}=1{,}15$ : $28\times 1{,}15=32{,}20$ dollars. On peut aussi calculer la hausse à part, $28\times 0{,}15=4{,}20$ dollars, puis $28+4{,}20=32{,}20$ dollars. Les deux chemins donnent le même prix.

5) Non. La remise de $10$ pour cent s'applique au prix DÉJÀ augmenté, pas au prix d'origine : $32{,}20\times 0{,}9=28{,}98$ dollars, ce qui reste au-dessus des $28$ dollars de départ. En une seule ligne, $1{,}15\times 0{,}9=1{,}035$, soit une hausse nette de $3{,}5$ pour cent. Un pourcentage ne veut rien dire tant qu'on n'a pas nommé la valeur sur laquelle il porte.

1) On additionne les effectifs lus au-dessus des barres : $2+3+7+6+2=20$ élèves. Le total annoncé est correct. C'est toujours la première chose à faire : l'effectif total est le dénominateur de toutes les fréquences qui suivront.

2) La moyenne est pondérée par les effectifs : $\frac{6\times 2+8\times 3+11\times 7+14\times 6+17\times 2}{20}$. On calcule les produits : $12$, $24$, $77$, $84$ et $34$. Leur somme vaut $12+24+77+84+34=231$. Donc la moyenne vaut $\frac{231}{20}=11{,}55$. Le dénominateur est l'effectif total, $20$, et non le nombre de notes différentes, $5$.

3) L'étendue vaut $17-6=11$ points. Elle mesure l'écart entre le meilleur et le moins bon résultat, autrement dit la dispersion de la classe, et non son niveau. Une étendue de $11$ points sur $20$ décrit une classe très hétérogène.

4) Au moins $11$, cela signifie $11$ ou plus : $7+6+2=15$ élèves. La fréquence vaut $\frac{15}{20}=0{,}75$, soit $75$ pour cent de la classe. Le mot « au moins » inclut la valeur $11$ ; s'il avait été écrit « plus de $11$ », il aurait fallu compter seulement $8$ élèves.

5) La note ajoutée, $6$, est inférieure à la moyenne actuelle, $11{,}55$, donc la moyenne DIMINUE. On peut le prévoir avant tout calcul : une valeur ajoutée en dessous de la moyenne tire la moyenne vers le bas. La nouvelle somme vaut $231+6=237$ pour $21$ élèves, soit $\frac{237}{21}\approx 11{,}29$. La classe perd environ $0{,}26$ point de moyenne.

1) L'angle de $58$ degrés marqué en $A$ est l'angle entre la droite $(d)$ et la droite $(AC)$, du côté de $B$. C'est précisément l'angle $\widehat{BAC}$ du triangle, puisque $B$ est sur $(d)$ du même côté. Donc $\widehat{BAC}=58$ degrés. Le travail ici est de lire correctement la figure : un angle marqué ne devient un angle du triangle que si ses deux côtés portent bien les deux sommets voulus.

2) Dans le triangle $ABC$, la somme des trois angles vaut $180$ degrés. On connaît $\widehat{BAC}=58$ degrés et $\widehat{ABC}=41$ degrés, dont la somme fait $99$ degrés. Donc $\widehat{ACB}=180-99=81$ degrés. Additionner les deux angles connus avant de soustraire une seule fois limite les erreurs de calcul mental.

3) La droite $(AC)$ est une sécante des deux parallèles $(d)$ et $(d')$. L'angle $\widehat{BAC}=58$ degrés en $A$ et l'angle en $C$ situé de l'autre côté de la sécante, entre les deux parallèles, sont ALTERNES-INTERNES. Comme $(d)$ et $(d')$ sont parallèles, ils sont égaux : cet angle mesure $58$ degrés. C'est bien la condition de parallélisme qui autorise la conclusion, il faut la citer.

4) Les trois angles valent $58$, $41$ et $81$ degrés. Ils sont tous différents, donc le triangle n'est pas isocèle : dans un triangle isocèle, deux angles au moins seraient égaux. Aucun ne vaut $90$ degrés, donc il n'est pas rectangle non plus. Le triangle $ABC$ est quelconque. Justifier une réponse négative demande de rappeler la propriété qui n'est pas vérifiée, pas seulement de dire non.

5) On compare le plus grand côté à la somme des deux autres : $5+6=11$, or $12>11$. L'inégalité triangulaire n'est pas respectée, le triangle est donc IMPOSSIBLE à construire. Concrètement, deux tiges de $5$ et $6$ centimètres fixées aux extrémités d'une tige de $12$ centimètres ne se rejoindraient pas, il manquerait un centimètre.

1) Les diagonales d'un losange se coupent en leur milieu, car un losange est en particulier un parallélogramme. Donc $O$ est le milieu de $[EG]$ et de $[FH]$, ce qui donne $OE=12\div 2=6$ centimètres et $OF=8\div 2=4$ centimètres. Citer la propriété du parallélogramme, et non la simple apparence de la figure, est ce qui est attendu.

2) Les diagonales d'un losange sont de plus PERPENDICULAIRES. L'angle en $O$ mesure donc $90$ degrés, et le triangle $OEF$ est RECTANGLE en $O$. Il n'est pas isocèle, puisque ses deux côtés de l'angle droit mesurent $6$ et $4$ centimètres, deux longueurs différentes.

3) L'aire vaut $\frac{12\times 8}{2}=\frac{96}{2}=48$ centimètres carrés. La formule ne s'applique qu'aux quadrilatères dont les diagonales sont perpendiculaires, ce qui est le cas du losange et du carré, mais pas du parallélogramme quelconque.

4) Les deux diagonales découpent le losange en quatre triangles rectangles superposables, de côtés $6$ et $4$ centimètres. Chacun a pour aire $\frac{6\times 4}{2}=12$ centimètres carrés, et les quatre totalisent $4\times 12=48$ centimètres carrés. On retrouve bien le résultat de la question précédente, ce qui valide les deux calculs et explique d'où vient la formule.

5) Oui, le losange possède un centre de symétrie : le point $O$, intersection des diagonales, comme tout parallélogramme. Il possède aussi DEUX axes de symétrie, qui sont précisément ses deux diagonales, les droites $(EG)$ et $(FH)$. Attention à ne pas confondre les deux notions : le carré, lui, a quatre axes de symétrie, car ses médiatrices de côtés en sont aussi.

1) L'aire d'un disque vaut $\pi\times r^2$, avec $r=5$ centimètres. Donc l'aire de la base vaut $\pi\times 5^2=25\pi$ centimètres carrés, ce qui est la valeur EXACTE. Avec la calculatrice, $25\pi\approx 78{,}54$ centimètres carrés. On écrit la valeur exacte d'abord, puis la valeur approchée avec le symbole d'approximation, jamais le signe égal.

2) Le volume d'un cylindre vaut aire de la base multipliée par la hauteur : $25\pi\times 18=450\pi$ centimètres cubes. En valeur approchée, $450\pi\approx 1\,414$ centimètres cubes. L'unité est bien le centimètre CUBE, puisqu'on a multiplié des centimètres carrés par des centimètres.

3) Un litre vaut $1\,000$ centimètres cubes. Donc $1\,414\div 1\,000\approx 1{,}41$ litre. La boîte contient donc un peu moins d'un litre et demi, ce qui est cohérent avec ses dimensions, une grosse conserve. Ce contrôle de vraisemblance est ce qui permet de repérer une erreur de conversion d'un facteur $1\,000$.

4) Les $\frac{3}{4}$ de $450\pi$ valent $\frac{3\times 450\pi}{4}=337{,}5\pi$ centimètres cubes, soit environ $1\,060$ centimètres cubes, ou encore environ $1{,}06$ litre. On peut aussi calculer $1\,414\times 0{,}75\approx 1\,060$ centimètres cubes, ce qui donne le même résultat.

5) Si la hauteur double, le volume DOUBLE : la hauteur intervient au premier degré dans la formule, $25\pi\times 36=900\pi$ centimètres cubes, exactement le double de $450\pi$. Si c'était le rayon qu'on doublait, le volume serait QUADRUPLÉ, car le rayon intervient au carré : $\pi\times 10^2\times 18=1\,800\pi$ centimètres cubes, soit quatre fois $450\pi$. C'est le piège le plus fréquent du chapitre des volumes, et il tient à cette seule différence entre $r^2$ et $h$.