Contrôle corrigé de Cinquième : nombres et calculs

1) La multiplication passe avant l'addition : $3\times 4=12$, puis $A=7+12=19$. Écrire les étapes l'une sous l'autre, en ne modifiant qu'un morceau à la fois, est ce qui rapporte les points de méthode.

2) Les parenthèses d'abord : $7+3=10$, puis $B=10\times 4=40$. Comparez avec la question 1 : les mêmes trois nombres et les mêmes deux opérations donnent $19$ ou $40$ selon les parenthèses. C'est exactement ce que les parenthèses servent à dire.

3) Parenthèses d'abord : $2+3=5$. Puis la multiplication : $4\times 5=20$. Enfin la soustraction : $C=25-20=5$. Le piège est de calculer $25-4=21$ en premier parce que c'est écrit à gauche : la multiplication reste prioritaire quelle que soit sa position.

4) La barre de fraction joue le rôle d'une parenthèse : elle regroupe tout son numérateur. On calcule donc $18+6=24$, puis $24\div 3=8$. À côté, $2\times 5=10$. Enfin $D=8+10=18$. Beaucoup d'élèves écrivent $18+6\div 3=18+2=20$ : c'est oublier que la barre de fraction est déjà une parenthèse.

5) On veut $16$. En plaçant les parenthèses autour de la soustraction, $(12-4)\times 2=8\times 2=16$. C'est la bonne réponse. Vérifions l'autre placement possible : $12-(4\times 2)=12-8=4$, ce qui ne convient pas, et n'est d'ailleurs que le calcul de départ, puisque ces parenthèses-là ne font que répéter la priorité naturelle.

1) Sur la droite graduée, plus on va vers la droite, plus le nombre est grand. Les négatifs sont donc rangés à l'envers de leur apparence : $-7{,}5<-7<-2<0<3$. L'erreur classique est d'écrire $-7<-7{,}5$ parce que $7<7{,}5$ ; il faut à chaque fois se ramener à la position sur la droite.

2) L'opposé de $-6$ est $+6$ : deux nombres opposés sont à la même distance de zéro, de part et d'autre. La distance à zéro de $-6$ vaut $6$, et non $-6$ : une distance est toujours positive. Ces deux notions se ressemblent mais ne répondent pas à la même question, l'une donne un nombre signé, l'autre une longueur.

3) $(-8)+(+3)$ : les signes sont contraires, on soustrait les distances à zéro, $8-3=5$, et on garde le signe du plus éloigné de zéro, ici le moins. Résultat : $-5$. $(-8)+(-3)$ : les signes sont les mêmes, on ajoute les distances, $8+3=11$, et on garde le signe commun. Résultat : $-11$. L'image des dettes aide : devoir $8$ dollars puis en rembourser $3$ laisse une dette de $5$ ; devoir $8$ puis $3$ de plus fait une dette de $11$.

4) Soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé. Donc $(-5)-(-9)=(-5)+(+9)=+4$. Retirer une dette de $9$ dollars, c'est bien gagner $9$ dollars. De même $4-(+11)=4+(-11)=-7$. Réécrire la soustraction en addition AVANT de calculer est la seule méthode qui ne se trompe pas de signe.

5) On regroupe les positifs d'un côté et les négatifs de l'autre : $(+12)+(+3)=+15$ et $(-7)+(-5)=-12$. Puis $S=(+15)+(-12)=+3$. Regrouper par signes est autorisé parce qu'une somme peut se réorganiser librement, et cela réduit une longue chaîne à une seule soustraction.

1) $42$ et $56$ sont tous deux dans la table de $14$ : $42=14\times 3$ et $56=14\times 4$. Donc $\frac{42}{56}=\frac{3}{4}$. Si le diviseur $14$ ne saute pas aux yeux, on procède par étapes, d'abord par $2$ pour obtenir $\frac{21}{28}$, puis par $7$ pour arriver à $\frac{3}{4}$. Le résultat est le même.

2) Le plus petit dénominateur commun à $6$ et $9$ est $18$. On écrit $\frac{5}{6}=\frac{15}{18}$ et $\frac{7}{9}=\frac{14}{18}$. Comme $15>14$, on conclut $\frac{5}{6}>\frac{7}{9}$. Vérification décimale : environ $0{,}833$ contre environ $0{,}778$. Prendre $54$, le produit des dénominateurs, aurait aussi marché, mais avec des nombres trois fois plus gros.

3) Dénominateur commun $12$ : $\frac{3}{4}=\frac{9}{12}$ et $\frac{5}{6}=\frac{10}{12}$. La somme vaut $\frac{19}{12}$, irréductible car $19$ est premier. Contrôle de bon sens : les deux fractions sont proches de $1$ sans l'atteindre, leur somme doit donc dépasser $1{,}5$, et $19\div 12\approx 1{,}58$.

4) Dénominateur commun $30$ : $\frac{7}{10}=\frac{21}{30}$ et $\frac{2}{15}=\frac{4}{30}$. La différence vaut $\frac{17}{30}$, irréductible. Seuls les numérateurs se soustraient ; écrire $\frac{21-4}{30-30}$ n'a évidemment aucun sens, mais c'est exactement le réflexe qu'il faut éteindre.

5) $\frac{4}{9}\times\frac{3}{8}$ : on simplifie $3$ avec $9$, il reste $3$ en bas, et $4$ avec $8$, il reste $2$ en bas. Le produit vaut donc $\frac{1}{3\times 2}=\frac{1}{6}$. Pour les $\frac{5}{6}$ de $54$, on divise d'abord, $54\div 6=9$, puis on multiplie, $9\times 5=45$. Diviser avant de multiplier garde les nombres petits et évite de manipuler $270$.

1) On regroupe les termes en $x$ entre eux et les nombres entre eux : $5x-2x=3x$ et $3+8=11$. Donc $E=3x+11$. On n'a pas le droit d'additionner $3x$ et $11$ : ce sont des termes de natures différentes, comme des pommes et des poires. Le résultat d'une réduction comporte donc souvent deux morceaux et non un seul.

2) Développer, c'est distribuer le facteur à CHAQUE terme de la parenthèse. $F=4\times 2x+4\times 7=8x+28$. Pour $G$, attention au signe : $G=3\times 5-3\times 2x=15-6x$. L'erreur la plus fréquente est de n'écrire que $8x+7$, en oubliant de multiplier le second terme.

3) On remplace $x$ par $6$ dans la forme réduite : $E=3\times 6+11=18+11=29$. Vérification avec l'expression de départ : $5\times 6+3-2\times 6+8=30+3-12+8=29$. Les deux formes donnent le même nombre, ce qui confirme la réduction de la question 1. C'est le meilleur contrôle possible d'un calcul littéral.

4) Retirer la même quantité des deux plateaux conserve l'équilibre. Le plateau gauche, $3x+5$, devient $2x+5$ ; le plateau droit, $x+17$, devient $17$. La balance reste en équilibre, avec $2x+5$ à gauche et $17$ à droite. C'est le principe fondamental des équations : ce qu'on fait d'un côté, on le fait de l'autre.

5) On retire maintenant $5$ de chaque plateau : à gauche il reste $2x$, à droite $17-5=12$. Deux fois $x$ pèse donc $12$, d'où $x=6$. Vérification dans la situation de départ : le plateau gauche vaut $3\times 6+5=23$, le plateau droit $6+17=23$. Les deux plateaux pèsent bien la même chose, la valeur trouvée est correcte.

1) Le solde passe de $-45$ à $-45+180$. Les signes sont contraires, on soustrait les distances à zéro, $180-45=135$, et on garde le signe du plus éloigné de zéro, ici le plus. Le solde vaut donc $+135$ dollars. Concrètement, les $180$ dollars comblent d'abord la dette de $45$ dollars, et il en reste $135$.

2) Les livres coûtent $\frac{2}{5}$ de $180$ dollars. On divise d'abord : $180\div 5=36$, puis on multiplie : $36\times 2=72$ dollars. Attention, la fraction porte sur les $180$ dollars reçus, pas sur le solde de $135$ dollars : relire l'énoncé pour savoir fraction DE QUOI est ici décisif, l'autre lecture donnerait $54$ dollars.

3) Après les livres : $135-72=63$ dollars. Après l'abonnement : $63-28=35$ dollars. Le compte reste positif, Nadia finit le mois avec $35$ dollars. On enchaîne les opérations dans l'ordre chronologique de l'énoncé, en écrivant le solde après chaque étape : c'est ce qui permet de retrouver une erreur sans tout refaire.

4) Elle a dépensé $\frac{2}{5}$ des $180$ dollars, il lui en reste donc $1-\frac{2}{5}=\frac{5}{5}-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$. En dollars : $36\times 3=108$, ce qui correspond bien à $180-72$. Les deux calculs concordent, ce qui valide la réponse.

5) Nadia finit à $+35$ dollars alors qu'elle a commencé à $-45$ dollars. Pour finir exactement à zéro, il aurait fallu partir de $35$ dollars plus bas, c'est-à-dire de $-45-35=-80$ dollars. Vérification : $-80+180-72-28=0$. Une autre façon de le voir : le mois entier a rapporté $180-72-28=+80$ dollars, donc un solde de départ de $-80$ dollars ramène exactement à zéro.