Rappel de cours

6 points à avoir en tête

• Constantes : $k=9{,}00\times 10^{9}\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}$ , $\varepsilon_0=8{,}85\times 10^{-12}\ \mathrm{C^{2}/(N\cdot m^{2})}$ , $\mu_0=4\pi\times 10^{-7}\ \mathrm{T\cdot m/A}$ , $e=1{,}60\times 10^{-19}\ \mathrm{C}$ , $m_e=9{,}11\times 10^{-31}\ \mathrm{kg}$ , $m_p=1{,}67\times 10^{-27}\ \mathrm{kg}$ , $g=9{,}80\ \mathrm{m/s^{2}}$ .
• Circuits RC et RL : $q(t)=Q_f\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ ou $Q_0e^{-t/\tau}$ avec $\tau=RC$ ; $i(t)=I_f\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ ou $I_0e^{-t/\tau}$ avec $\tau=L/R$ , où $R$ est la résistance vue par le condensateur ou la bobine.
• Force magnétique : $\vec F=q\vec v\times\vec B$ et $\vec F=I\vec\ell\times\vec B$ ; mouvement circulaire $r=\dfrac{mv}{|q|B}$ ; sélecteur de vitesse $v=\dfrac{E}{B}$ .
• Théorème d'Ampère : $\displaystyle\oint\vec B\cdot d\vec\ell=\mu_0I_{\text{enl}}$ ; long fil $B=\dfrac{\mu_0I}{2\pi r}$ ; solénoïde $B=\mu_0nI$ .
• Induction : $\mathcal{E}=-N\dfrac{d\Phi_B}{dt}$ avec $\Phi_B=\displaystyle\int\vec B\cdot d\vec A$ ; $L=\dfrac{N\Phi_B}{I}$ , $U_B=\dfrac{1}{2}LI^{2}$ , $u_B=\dfrac{B^{2}}{2\mu_0}$ .
• Courant alternatif : $X_L=\omega L$ , $X_C=\dfrac{1}{\omega C}$ , $Z=\sqrt{R^{2}+(X_L-X_C)^{2}}$ , $\tan\varphi=\dfrac{X_L-X_C}{R}$ , $\langle P\rangle=\dfrac{1}{2}RI_0^{2}=V_{\text{eff}}I_{\text{eff}}\cos\varphi$ , $\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$ .

Partie A : problèmes (/85)

Exercice 1 : Un circuit RC à deux branches : avant, pendant et après la charge

12 réponses vérifiables

15 points Circuits à courant continu et circuits RC Condensateurs et diélectriques

Le circuit de la figure est alimenté par une source idéale de f.é.m. $\mathcal{E}=32{,}0\ \mathrm{V}$ , avec $R_1=4{,}00\ \mathrm{k\Omega}$ , $R_2=12{,}0\ \mathrm{k\Omega}$ , $R_3=5{,}00\ \mathrm{k\Omega}$ et un condensateur de $40{,}0\ \mathrm{\mu F}$ , vide de toute charge au départ. L'interrupteur S, ouvert jusque-là, est fermé à $t=0$ . Les flèches de $I_1$ , $I_2$ et $I_3$ fixent les sens positifs.

a) (4 points) Calculez $I_1$ , $I_2$ et $I_3$ à l'instant qui suit immédiatement la fermeture de S ( $t=0^{+}$ ).
b) (3 points) Calculez ces trois courants une fois le régime permanent établi, puis la tension $V_C$ et la charge $Q$ du condensateur.
c) (3 points) Quelle est la constante de temps de la charge ? À quel instant la tension du condensateur vaut-elle $18{,}0\ \mathrm{V}$ ?
d) (3 points) À $t_1=2{,}50\ \mathrm{s}$ , le condensateur étant pratiquement chargé, on ouvre S. Donnez la constante de temps de la décharge et l'intensité dans $R_3$ juste après l'ouverture. Ce courant a-t-il le sens de $I_3$ ou le sens contraire ?
e) (2 points) Pendant toute la décharge, quelle énergie est transformée en chaleur dans $R_2$ ?

Voir la correction

Réponses

a) $I_1=4{,}25\ \mathrm{mA}$ , $I_2=1{,}25\ \mathrm{mA}$ , $I_3=3{,}00\ \mathrm{mA}$
b) $I_1=I_2=2{,}00\ \mathrm{mA}$ , $I_3=0$ ; $V_C=24{,}0\ \mathrm{V}$ , $Q=960\ \mathrm{\mu C}$
c) $\tau=(R_3+R_1\parallel R_2)\,C=0{,}320\ \mathrm{s}$ ; $t=\tau\ln 4=0{,}444\ \mathrm{s}$
d) $\tau'=(R_2+R_3)\,C=0{,}680\ \mathrm{s}$ ; $1{,}41\ \mathrm{mA}$ dans $R_3$ , sens contraire de $I_3$
e) $W_{R_2}=\frac{12}{17}\times 11{,}5\ \mathrm{mJ}=8{,}13\ \mathrm{mJ}$

Juste après la fermeture, le condensateur est encore vide : $V_C(0^{+})=0$ , car sa tension est continue (sa charge ne peut pas changer en un instant).

Il se comporte donc comme un fil : $R_3$ se retrouve en parallèle avec $R_2$ entre A et B.

\displaystyle R_2\parallel R_3=\dfrac{R_2R_3}{R_2+R_3}=\dfrac{12{,}0\times 5{,}00}{17{,}0}=3{,}53\ \mathrm{k\Omega}

\displaystyle I_1=\dfrac{\mathcal{E}}{R_1+R_2\parallel R_3}=\dfrac{32{,}0}{7{,}53\times 10^{3}}=4{,}25\ \mathrm{mA}

\displaystyle V_{AB}=\mathcal{E}-R_1I_1=32{,}0-17{,}0=15{,}0\ \mathrm{V}

$I_2=\dfrac{V_{AB}}{R_2}=1{,}25\ \mathrm{mA}$ et $I_3=\dfrac{V_{AB}}{R_3}=3{,}00\ \mathrm{mA}$

Contrôle par la loi des nœuds en A : $I_2+I_3=4{,}25\ \mathrm{mA}=I_1$ .

Piège : écrire $I_3=0$ parce qu'un condensateur « bloque le courant ». C'est vrai en régime permanent, pas à $t=0^{+}$ : c'est sa TENSION qui est continue, pas son courant.

En régime permanent, le condensateur est chargé et plus aucun courant ne le traverse : $I_3=0$ , la branche de droite est coupée.

\displaystyle I_1=I_2=\dfrac{\mathcal{E}}{R_1+R_2}=\dfrac{32{,}0}{16{,}0\times 10^{3}}=2{,}00\ \mathrm{mA}

Aucun courant dans $R_3$ , donc aucune chute de tension à ses bornes : $V_C=V_{AB}=R_2I_2=24{,}0\ \mathrm{V}$ .

\displaystyle Q=CV_C=40{,}0\times 10^{-6}\times 24{,}0=9{,}60\times 10^{-4}\ \mathrm{C}=960\ \mathrm{\mu C}

La constante de temps vaut $R_{\text{éq}}C$ , où $R_{\text{éq}}$ est la résistance VUE par le condensateur : on remplace la source idéale par un fil et l'on regarde le circuit depuis les bornes de C.

Vu de C : $R_3$ en série avec l'association parallèle de $R_1$ et $R_2$ .

\displaystyle R_{\text{éq}}=R_3+\dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}=5{,}00+3{,}00=8{,}00\ \mathrm{k\Omega}

\displaystyle \tau=R_{\text{éq}}C=8{,}00\times 10^{3}\times 40{,}0\times 10^{-6}=0{,}320\ \mathrm{s}

La tension monte vers sa valeur finale : $V_C(t)=24{,}0\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ .

\displaystyle 18{,}0=24{,}0\left(1-e^{-t/\tau}\right)\Rightarrow e^{-t/\tau}=0{,}250\Rightarrow t=\tau\ln 4=0{,}444\ \mathrm{s}

Piège : prendre $\tau=(R_1+R_3)C=0{,}360\ \mathrm{s}$ , ou $R_3C=0{,}200\ \mathrm{s}$ . La branche de $R_2$ dérive une partie du courant de charge : seule la résistance équivalente vue par C donne le bon temps.

Quand S s'ouvre, la source et $R_1$ sont hors circuit. Le condensateur se décharge dans la seule boucle qui reste : $R_3$ puis $R_2$ , en série.

\displaystyle \tau'=(R_2+R_3)\,C=17{,}0\times 10^{3}\times 40{,}0\times 10^{-6}=0{,}680\ \mathrm{s}

À $t_1$ , $V_C=24{,}0\left(1-e^{-2{,}50/0{,}320}\right)=24{,}0\ \mathrm{V}$ à $0{,}01\ \mathrm{V}$ près, et cette tension est continue : $I=\dfrac{24{,}0}{17{,}0\times 10^{3}}=1{,}41\ \mathrm{mA}$ .

Pendant la charge, $I_3$ descendait dans $R_3$ : l'armature du haut est positive. À la décharge, le courant sort de cette armature, REMONTE dans $R_3$ vers A, puis descend dans $R_2$ .

Dans $R_3$ , il circule donc en sens contraire de $I_3$ ( $I_3=-1{,}41\ \mathrm{mA}$ ) ; dans $R_2$ , il garde le sens de $I_2$ .

La figure du corrigé montre $V_C(t)$ pendant la charge puis la décharge.

L'énergie stockée est entièrement dissipée dans $R_2$ et $R_3$ , parcourues par le MÊME courant : elle se partage dans le rapport des résistances.

\displaystyle U_C=\dfrac{1}{2}CV_C^{2}=\dfrac{1}{2}\times 40{,}0\times 10^{-6}\times 24{,}0^{2}=11{,}5\ \mathrm{mJ}

\displaystyle W_{R_2}=\dfrac{R_2}{R_2+R_3}\,U_C=\dfrac{12{,}0}{17{,}0}\times 11{,}52=8{,}13\ \mathrm{mJ}

Contrôle par l'intégrale de la puissance, avec $i=I_0e^{-t/\tau'}$ :

\displaystyle W_{R_2}=\displaystyle\int_0^{\infty}R_2I_0^{2}e^{-2t/\tau'}\,dt=R_2I_0^{2}\,\frac{\tau'}{2}=12{,}0\times 10^{3}\times(1{,}412\times 10^{-3})^{2}\times 0{,}340=8{,}13\ \mathrm{mJ}

Tension du condensateur : charge vers 24,0 V avec τ = 0,320 s, puis décharge dans R₂ et R₃ avec τ′ = 0,680 s après l'ouverture de S à 2,50 s.

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Exercice 2 : Sélecteur de vitesse et spectromètre de masse : les isotopes du magnésium

10 réponses vérifiables

15 points Le champ magnétique

Une source produit des ions magnésium de charge $+e$ , dont les vitesses sont dispersées. Ils montent dans un sélecteur de vitesse formé de deux plaques parallèles P₁ et P₂, séparées de $d=1{,}80\ \mathrm{cm}$ et soumises à une différence de potentiel de $1350\ \mathrm{V}$ , et un champ magnétique uniforme $\vec B_1$ de module $0{,}150\ \mathrm{T}$ , perpendiculaire à la feuille et entrant. Les ions qui traversent sans être déviés passent par une fente et entrent dans une région où règne un champ uniforme $\vec B_2$ , entrant, de module $0{,}400\ \mathrm{T}$ . Après un demi-tour, ils frappent la plaque de détection.

Données : $^{24}\mathrm{Mg}$ : $23{,}985\ \mathrm{u}$ ; $^{26}\mathrm{Mg}$ : $25{,}983\ \mathrm{u}$ ; $^{12}\mathrm{C}$ : $12{,}000\ \mathrm{u}$ ; $1\ \mathrm{u}=1{,}66\times 10^{-27}\ \mathrm{kg}$ ; $e=1{,}60\times 10^{-19}\ \mathrm{C}$ . On néglige le poids des ions. Repère : $\vec i$ vers la droite de la feuille, $\vec j$ vers le haut, $\vec k$ vers le lecteur. Schéma sans échelle.

a) (3 points) Écrivez en composantes la force magnétique $\vec F_B=q\vec v\times\vec B_1$ sur un ion de vitesse $\vec v=v\,\vec j$ dans le sélecteur. Quelle plaque doit être positive pour qu'un ion puisse le traverser sans être dévié ?
b) (3 points) Calculez le module du champ électrique entre les plaques, puis la vitesse $v_0$ des ions qui traversent le sélecteur sans être déviés.
c) (4 points) Calculez la distance entre la fente et le point d'impact des ions $^{24}\mathrm{Mg}^{+}$ , puis l'écart entre les points d'impact des ions $^{24}\mathrm{Mg}^{+}$ et $^{26}\mathrm{Mg}^{+}$ .
d) (2 points) Un ion $^{24}\mathrm{Mg}^{+}$ entre dans le sélecteur avec une vitesse supérieure à $v_0$ . Vers quelle plaque est-il dévié ? Justifiez.
e) (3 points) La source produit aussi quelques ions $^{24}\mathrm{Mg}^{2+}$ , de charge $+2e$ . Traversent-ils le sélecteur ? À quelle distance de la fente frappent-ils la plaque ? Ce point d'impact peut-il être attribué à tort à des ions $^{12}\mathrm{C}^{+}$ ? Chiffrez l'écart entre les deux points d'impact.

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/10

Sens de la force magnétique

Plaque positive

E

kV/m

v_0

km/s

Distance fente-impact de ²⁴Mg⁺ cm

Écart ²⁴Mg⁺ et ²⁶Mg⁺ cm

L'ion plus rapide est dévié

Les ions ²⁴Mg²⁺ traversent-ils ?

Distance fente-impact de ²⁴Mg²⁺ cm

Écart avec ¹²C⁺ mm

Voir la correction

Réponses

a) $\vec F_B=-evB_1\,\vec i$ , vers P₁ ; il faut $\vec E$ vers P₂ : P₁ est positive
b) $E=7{,}50\times 10^{4}\ \mathrm{V/m}$ ; $v_0=E/B_1=5{,}00\times 10^{5}\ \mathrm{m/s}$
c) $2r_{24}=62{,}2\ \mathrm{cm}$ ; écart $5{,}18\ \mathrm{cm}$
d) Vers P₁, la plaque positive : $evB_1>eE$
e) Oui ; $2r=31{,}1\ \mathrm{cm}$ ; $^{12}\mathrm{C}^{+}$ à $0{,}19\ \mathrm{mm}$ de là : confusion possible

\displaystyle \vec F_B=q\vec v\times\vec B_1=e\,(v\,\vec j)\times(-B_1\,\vec k)=-evB_1\,(\vec j\times\vec k)=-evB_1\,\vec i

La force magnétique pousse l'ion vers la GAUCHE, vers P₁.

Pour que l'ion file droit, la force électrique $e\vec E$ doit la compenser : $\vec E$ pointe vers la droite, de P₁ vers P₂.

Le champ électrique va de la plaque positive vers la plaque négative : P₁ est positive.

Piège : appliquer la règle de la main droite sans écrire le produit vectoriel, ou oublier que $\vec B_1$ entre dans la feuille (composante $-B_1$ selon $\vec k$ ). L'écriture en composantes ne laisse aucune place au doute.

\displaystyle E=\dfrac{\Delta V}{d}=\dfrac{1350}{1{,}80\times 10^{-2}}=7{,}50\times 10^{4}\ \mathrm{V/m}

Ion non dévié : $eE=ev_0B_1$ , soit $v_0=\dfrac{E}{B_1}=\dfrac{7{,}50\times 10^{4}}{0{,}150}=5{,}00\times 10^{5}\ \mathrm{m/s}$ .

La charge et la masse se simplifient : le sélecteur trie par la VITESSE seule, quels que soient la masse et le nombre de charges de l'ion.

Dans $\vec B_2$ , la force magnétique reste perpendiculaire à la vitesse : mouvement circulaire uniforme.

\displaystyle ev_0B_2=\dfrac{mv_0^{2}}{r}\Rightarrow r=\dfrac{mv_0}{eB_2}

\displaystyle r_{24}=\dfrac{23{,}985\times 1{,}66\times 10^{-27}\times 5{,}00\times 10^{5}}{1{,}60\times 10^{-19}\times 0{,}400}=0{,}311\ \mathrm{m}

Après un demi-tour, l'ion frappe la plaque à un DIAMÈTRE de la fente : $2r_{24}=0{,}622\ \mathrm{m}=62{,}2\ \mathrm{cm}$ .

À vitesse et charge égales, le rayon est proportionnel à la masse :

\displaystyle \Delta x=\dfrac{2\,(m_{26}-m_{24})\,v_0}{eB_2}=\dfrac{2\times 1{,}998\times 1{,}66\times 10^{-27}\times 5{,}00\times 10^{5}}{6{,}40\times 10^{-20}}=5{,}18\ \mathrm{cm}

Sens de la courbure : à l'entrée, $\vec v=v_0\,\vec j$ et $\vec B_2=-B_2\,\vec k$ , donc $\vec F=-ev_0B_2\,\vec i$ ; les ions tournent vers la gauche, du côté de la plaque.

Piège : donner le rayon pour la distance à la fente. Le point d'impact est à $2r$ .

Si $v>v_0$ , la force magnétique $evB_1$ dépasse la force électrique $eE$ , qui, elle, ne dépend pas de la vitesse.

La résultante pointe du côté de la force magnétique : l'ion est dévié vers P₁, la plaque POSITIVE, et manque la fente.

Un ion plus lent que $v_0$ serait dévié vers P₂. C'est ce que montre la première figure du corrigé.

Oui : la condition $qE=qvB_1$ ne dépend pas de la charge, les ions $^{24}\mathrm{Mg}^{2+}$ sortent eux aussi à $v_0$ .

Dans $\vec B_2$ , la charge double, donc le rayon est divisé par deux :

\displaystyle 2r=\dfrac{2\,m_{24}v_0}{2eB_2}=\dfrac{62{,}2}{2}=31{,}1\ \mathrm{cm}

Pour $^{12}\mathrm{C}^{+}$ : $2r=\dfrac{2\times 12{,}000\times 1{,}66\times 10^{-27}\times 5{,}00\times 10^{5}}{1{,}60\times 10^{-19}\times 0{,}400}=31{,}1\ \mathrm{cm}$ aussi.

\displaystyle \Delta x=\dfrac{2\,(12{,}000-11{,}9925)\times 1{,}66\times 10^{-27}\times 5{,}00\times 10^{5}}{6{,}40\times 10^{-20}}=1{,}9\times 10^{-4}\ \mathrm{m}\approx 0{,}19\ \mathrm{mm}

Les deux points sont pratiquement confondus : la confusion est possible. Un spectromètre mesure le rapport $m/q$ , pas la masse ; avant de conclure, on cherche le pic de $^{24}\mathrm{Mg}^{+}$ qui accompagne celui de $^{24}\mathrm{Mg}^{2+}$ .

Dans le sélecteur : P₁ positive, E vers P₂. Sur l'ion sélectionné, qE et qvB s'équilibrent ; un ion plus rapide est dévié vers P₁.

Dans B₂ : demi-cercles à l'échelle, deux croix voisines étant distantes de 6 cm. ²⁴Mg²⁺ et ¹²C⁺ tombent au même endroit, à 31,1 cm de la fente.

Exercice 3 : Un fil sur l'axe d'un tube conducteur : Ampère en trois régions

9 réponses vérifiables

15 points Les sources du champ magnétique Le champ magnétique

Un long tube conducteur, de rayon intérieur $a=5{,}00\ \mathrm{mm}$ et de rayon extérieur $b=9{,}00\ \mathrm{mm}$ , porte un courant $I_2=30{,}0\ \mathrm{A}$ qui entre dans la feuille, uniformément réparti sur sa section. Un fil fin, tendu sur l'axe du tube et isolé de lui, porte un courant $I_1=12{,}0\ \mathrm{A}$ qui sort de la feuille (figure, vue en coupe). $\mu_0=4\pi\times 10^{-7}\ \mathrm{T\cdot m/A}$ ; $e=1{,}60\times 10^{-19}\ \mathrm{C}$ . Les sens de rotation se lisent sur la figure, le courant $I_1$ venant vers le lecteur.

a) (3 points) Justifiez la forme des lignes de champ, puis calculez, par le théorème d'Ampère, le module du champ à $r=3{,}00\ \mathrm{mm}$ de l'axe. Les lignes de champ y tournent-elles dans le sens horaire ou antihoraire ?
b) (4 points) Établissez l'expression de $B(r)$ dans la matière du tube ( $a < r < b$ ), puis calculez le champ à $r=8{,}00\ \mathrm{mm}$ et donnez son sens de rotation.
c) (3 points) À quelle distance de l'axe le champ est-il nul ?
d) (3 points) Calculez le champ à $r=15{,}0\ \mathrm{mm}$ , hors du tube. À quel fil unique l'ensemble équivaut-il vu de l'extérieur ?
e) (2 points) Un électron passe au point $P(15{,}0\ \mathrm{mm}\,;0)$ avec la vitesse $\vec v=2{,}00\times 10^{6}\,\vec k\ \mathrm{m/s}$ , parallèle à l'axe et dirigée vers le lecteur. Calculez la force magnétique qu'il subit, en composantes.

Voir la correction

Réponses

a) Cercles centrés sur l'axe ; $B=0{,}800\ \mathrm{mT}$ ; sens antihoraire
b) $B=\dfrac{\mu_0}{2\pi r}\left[I_1-I_2\dfrac{r^{2}-a^{2}}{b^{2}-a^{2}}\right]$ ; $|B|=0{,}222\ \mathrm{mT}$ , sens horaire
c) $r_0=\sqrt{a^{2}+\frac{I_1}{I_2}(b^{2}-a^{2})}=6{,}88\ \mathrm{mm}$
d) $B=0{,}240\ \mathrm{mT}$ , sens horaire : un fil de $18{,}0\ \mathrm{A}$ entrant
e) $\vec F=-7{,}68\times 10^{-17}\,\vec i\ \mathrm{N}$ , vers l'axe

Symétrie : la distribution est invariante par rotation autour de l'axe et par translation le long de l'axe. Les lignes de $\vec B$ sont des cercles centrés sur l'axe, et $B$ ne dépend que de $r$ .

Contour d'Ampère : un cercle de rayon $r$ centré sur l'axe, orienté dans le sens antihoraire, celui que la règle de la main droite associe à un courant SORTANT. Sur ce cercle, la composante tangentielle $B_t$ est constante :

$\displaystyle\oint\vec B\cdot d\vec\ell=B_t\cdot 2\pi r=\mu_0I_{\text{enl}}$ , où $I_{\text{enl}}$ compte positivement le courant sortant.

Pour $r < a$ , le cercle n'enlace que le fil : $I_{\text{enl}}=I_1$ .

\displaystyle B_t=\dfrac{\mu_0I_1}{2\pi r}=\dfrac{2\times 10^{-7}\times 12{,}0}{3{,}00\times 10^{-3}}=8{,}00\times 10^{-4}\ \mathrm{T}=0{,}800\ \mathrm{mT}

$B_t > 0$ : les lignes tournent dans le sens antihoraire. Le tube ne crée aucun champ dans sa cavité, puisqu'aucun de ses courants n'y est enlacé.

Densité de courant du tube, uniforme : $J=\dfrac{I_2}{\pi(b^{2}-a^{2})}$ . Pour $a < r < b$ , le cercle enlace le fil et la partie du tube comprise entre $a$ et $r$ :

\displaystyle I_{\text{enl}}=I_1-J\,\pi(r^{2}-a^{2})=I_1-I_2\,\dfrac{r^{2}-a^{2}}{b^{2}-a^{2}}

\displaystyle B_t=\dfrac{\mu_0}{2\pi r}\left[I_1-I_2\,\dfrac{r^{2}-a^{2}}{b^{2}-a^{2}}\right]

À $r=8{,}00\ \mathrm{mm}$ : $I_{\text{enl}}=12{,}0-30{,}0\times\dfrac{64{,}0-25{,}0}{81{,}0-25{,}0}=12{,}0-20{,}9=-8{,}89\ \mathrm{A}$

\displaystyle B_t=\dfrac{2\times 10^{-7}\times(-8{,}89)}{8{,}00\times 10^{-3}}=-2{,}22\times 10^{-4}\ \mathrm{T}

Le signe moins dit que le champ tourne dans le sens HORAIRE, avec un module de $0{,}222\ \mathrm{mT}$ .

Piège : prendre la fraction $\dfrac{r-a}{b-a}$ ou $\dfrac{r^{2}}{b^{2}}$ . Le courant du tube se répartit sur une AIRE, d'où les carrés, et cette aire commence en $a$ , d'où le $a^{2}$ retranché.

Le champ s'annule là où le courant enlacé est nul, forcément dans le tube :

\displaystyle I_1=I_2\,\dfrac{r_0^{2}-a^{2}}{b^{2}-a^{2}}\Rightarrow r_0^{2}=a^{2}+\dfrac{I_1}{I_2}\left(b^{2}-a^{2}\right)=25{,}0+0{,}400\times 56{,}0=47{,}4\ \mathrm{mm^{2}}

\displaystyle r_0=6{,}88\ \mathrm{mm}

Le graphe du corrigé montre le module du champ : il s'annule en $r_0$ , où les lignes changent de sens de rotation.

Pour $r > b$ , le cercle enlace tout : $I_{\text{enl}}=I_1-I_2=-18{,}0\ \mathrm{A}$ .

$B_t=\dfrac{2\times 10^{-7}\times(-18{,}0)}{15{,}0\times 10^{-3}}=-2{,}40\times 10^{-4}\ \mathrm{T}$ : $0{,}240\ \mathrm{mT}$ , sens horaire.

Vu de l'extérieur, l'ensemble équivaut à un fil unique sur l'axe, parcouru par $18{,}0\ \mathrm{A}$ ENTRANT dans la feuille.

En $P(15{,}0\ \mathrm{mm}\,;0)$ , sur l'axe des $x$ , la tangente au cercle dans le sens horaire pointe vers $-\vec j$ : $\vec B=-2{,}40\times 10^{-4}\,\vec j\ \mathrm{T}$ .

\displaystyle \vec F=q\vec v\times\vec B=(-e)\,v\,\vec k\times(-B\,\vec j)=(-e)(-vB)(\vec k\times\vec j)=(-e)(-vB)(-\vec i)=-evB\,\vec i

\displaystyle evB=1{,}60\times 10^{-19}\times 2{,}00\times 10^{6}\times 2{,}40\times 10^{-4}=7{,}68\times 10^{-17}\ \mathrm{N}

$\vec F=-7{,}68\times 10^{-17}\,\vec i\ \mathrm{N}$ : l'électron est poussé vers l'axe.

Contrôle qualitatif : un électron qui sort de la feuille est un courant qui ENTRE ; l'ensemble fil et tube équivaut à un courant entrant ; deux courants de même sens s'attirent.

Module du champ et sens de rotation des lignes : antihoraire autour du fil, nul à 6,88 mm dans le tube, horaire et en 1/r au-dehors, comme pour un fil unique de 18,0 A entrant.

Exercice 4 : La tige qui tombe entre deux rails verticaux

7 réponses vérifiables

10 points L'induction électromagnétique

Une tige conductrice horizontale de masse $m=25{,}0\ \mathrm{g}$ peut descendre, sans frottement et sans perdre le contact, le long de deux rails conducteurs verticaux écartés de $\ell=40{,}0\ \mathrm{cm}$ . En haut, une résistance $R=0{,}180\ \Omega$ ferme le circuit. Tout le dispositif baigne dans un champ magnétique uniforme de $0{,}600\ \mathrm{T}$ , perpendiculaire au plan des rails et entrant dans la feuille. La tige part du repos à $t=0$ . On néglige la résistance des rails et de la tige, ainsi que l'auto-inductance du circuit ; $g=9{,}80\ \mathrm{m/s^{2}}$ .

a) (3 points) La tige descend à la vitesse $v$ . Exprimez la f.é.m. induite puis le courant. Indiquez, par la loi de Lenz, le sens du courant dans la tige, et montrez que la force magnétique sur la tige freine la chute.
b) (3 points) Montrez que la vitesse de la tige tend vers une vitesse limite $v_t$ , et calculez-la.
c) (2 points) Quand la vitesse est pratiquement égale à la vitesse limite, quelle est l'intensité du courant et quelle puissance la résistance reçoit-elle ? D'où vient cette énergie ?
d) (2 points) Écrivez l'équation différentielle vérifiée par $v(t)$ , déduisez-en la constante de temps, puis l'instant où la tige atteint $90\ \%$ de $v_t$ .

Voir la correction

Réponses

a) $\mathcal{E}=B\ell v$ , $I=B\ell v/R$ ; courant de gauche à droite dans la tige ; $\vec F=I\ell B\,\vec j$ , vers le haut
b) $v_t=\dfrac{mgR}{B^{2}\ell^{2}}=0{,}766\ \mathrm{m/s}$
c) $I=1{,}02\ \mathrm{A}$ , $P=0{,}188\ \mathrm{W}=mgv_t$ : l'énergie potentielle de pesanteur
d) $\dfrac{dv}{dt}=g-\dfrac{v}{\tau}$ , $\tau=\dfrac{v_t}{g}=78{,}1\ \mathrm{ms}$ ; $t=\tau\ln 10=0{,}180\ \mathrm{s}$

Le circuit fermé est le rectangle formé par $R$ , les deux rails et la tige. Notons $y$ la distance de la résistance à la tige : quand la tige descend, $\dfrac{dy}{dt}=v$ et l'aire $\ell y$ augmente.

$\Phi_B=B\ell y\Rightarrow|\mathcal{E}|=\left|\dfrac{d\Phi_B}{dt}\right|=B\ell v$ et $I=\dfrac{B\ell v}{R}$

Lenz : le flux ENTRANT augmente ; le courant induit crée un champ SORTANT à l'intérieur du rectangle : il circule dans le sens antihoraire.

Dans la tige, côté bas du rectangle, le courant va donc de gauche à droite : $\vec I=I\,\vec i$ .

\displaystyle \vec F=I\vec\ell\times\vec B=I\ell\,\vec i\times(-B\,\vec k)=I\ell B\,\vec j

La force est dirigée vers le HAUT : elle freine la chute, comme l'annonce la loi de Lenz.

Contrôle par la force de Lorentz sur les charges de la tige : $\vec v\times\vec B=(-v\,\vec j)\times(-B\,\vec k)=vB\,\vec i$ . Les charges positives sont poussées vers la droite : même sens.

Deuxième loi de Newton sur la tige, axe orienté vers le bas :

\displaystyle m\dfrac{dv}{dt}=mg-I\ell B=mg-\dfrac{B^{2}\ell^{2}}{R}\,v

La force de freinage croît avec $v$ ; l'accélération s'annule quand elle égale le poids :

\displaystyle v_t=\dfrac{mgR}{B^{2}\ell^{2}}=\dfrac{0{,}0250\times 9{,}80\times 0{,}180}{0{,}600^{2}\times 0{,}400^{2}}=0{,}766\ \mathrm{m/s}

À la vitesse limite, la force magnétique équilibre le poids :

\displaystyle I=\dfrac{mg}{\ell B}=\dfrac{0{,}245}{0{,}400\times 0{,}600}=1{,}02\ \mathrm{A}

\displaystyle P=RI^{2}=0{,}180\times 1{,}021^{2}=0{,}188\ \mathrm{W}

Contrôle : $P=mgv_t=0{,}245\times 0{,}7656=0{,}188\ \mathrm{W}$ . À vitesse constante, l'énergie cinétique ne change plus : toute l'énergie potentielle de pesanteur perdue devient de la chaleur dans $R$ .

On divise l'équation de b) par $m$ :

$\dfrac{dv}{dt}=g-\dfrac{v}{\tau}$ , avec $\tau=\dfrac{mR}{B^{2}\ell^{2}}=\dfrac{v_t}{g}=\dfrac{0{,}7656}{9{,}80}=0{,}0781\ \mathrm{s}$

Avec $v(0)=0$ , la solution est $v(t)=v_t\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ .

\displaystyle 0{,}90\,v_t=v_t\left(1-e^{-t/\tau}\right)\Rightarrow t=\tau\ln 10=0{,}180\ \mathrm{s}

La tige approche sa vitesse limite en une fraction de seconde : elle en atteint $90$ % après une chute d'environ $8\ \mathrm{cm}$ , sans jamais l'atteindre exactement.

Exercice 5 : Le solénoïde qui passe d'un circuit RL à un circuit LC

13 réponses vérifiables

15 points L'inductance Les sources du champ magnétique

Un solénoïde à air, de longueur $\ell=25{,}0\ \mathrm{cm}$ et de rayon $2{,}00\ \mathrm{cm}$ , compte $N=900$ spires ; on néglige les effets de bord et, sauf en e), la résistance de son fil. L'inverseur K étant en position 1, le solénoïde est alimenté par une source idéale $\mathcal{E}=9{,}00\ \mathrm{V}$ à travers $R=4{,}50\ \Omega$ , depuis assez longtemps pour que le courant ne varie plus. À $t=0$ , K passe en position 2 : le solénoïde n'est plus relié qu'au condensateur $C=2{,}00\ \mathrm{\mu F}$ , vide de toute charge. $\mu_0=4\pi\times 10^{-7}\ \mathrm{T\cdot m/A}$ .

a) (3 points) Montrez que l'inductance du solénoïde vaut $L=\dfrac{\mu_0N^{2}A}{\ell}$ et calculez-la. En position 1, quelle est la constante de temps de l'établissement du courant, et combien de temps faut-il pour atteindre $99\ \%$ du courant final ?
b) (3 points) Juste avant la bascule, calculez le courant, le module du champ magnétique dans le solénoïde et l'énergie qu'il emmagasine.
c) (4 points) Après la bascule, établissez l'équation différentielle vérifiée par la charge $q(t)$ du condensateur, puis calculez la pulsation et la période des oscillations. Que valent $q$ et $i$ à $t=0^{+}$ ?
d) (3 points) Calculez la tension maximale aux bornes du condensateur et le premier instant où elle est atteinte. Comparez-la à la f.é.m. de la source.
e) (2 points) Le fil du solénoïde a en réalité une résistance $r=0{,}500\ \Omega$ : l'amplitude des oscillations décroît alors comme $e^{-rt/2L}$ . Au bout de combien de temps l'amplitude de la tension du condensateur est-elle divisée par deux ? Combien d'oscillations cela représente-t-il ?

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Réponses

a) $L=5{,}12\ \mathrm{mH}$ ; $\tau=L/R=1{,}14\ \mathrm{ms}$ ; $99\ \%$ après $\tau\ln 100=5{,}24\ \mathrm{ms}$
b) $I_0=2{,}00\ \mathrm{A}$ ; $B=9{,}05\ \mathrm{mT}$ ; $U_B=10{,}2\ \mathrm{mJ}$
c) $\dfrac{d^{2}q}{dt^{2}}=-\dfrac{q}{LC}$ ; $\omega_0=9{,}89\times 10^{3}\ \mathrm{rad/s}$ , $T=0{,}636\ \mathrm{ms}$ ; $q(0^{+})=0$ , $i(0^{+})=2{,}00\ \mathrm{A}$
d) $V_{\max}=\dfrac{I_0}{\omega_0C}=101\ \mathrm{V}$ à $t=T/4=0{,}159\ \mathrm{ms}$ : plus de onze fois $\mathcal{E}$
e) $t=\dfrac{2L}{r}\ln 2=14{,}2\ \mathrm{ms}$ , soit environ $22$ oscillations

Champ dans un long solénoïde (théorème d'Ampère) : $B=\mu_0nI=\mu_0\dfrac{N}{\ell}I$ , uniforme à l'intérieur.

Flux à travers une spire : $\Phi_B=BA$ ; à travers les $N$ spires : $N\Phi_B=\mu_0\dfrac{N^{2}}{\ell}AI$ .

$L=\dfrac{N\Phi_B}{I}=\dfrac{\mu_0N^{2}A}{\ell}$ , avec $A=\pi(2{,}00\times 10^{-2})^{2}=1{,}257\times 10^{-3}\ \mathrm{m^{2}}$

\displaystyle L=\dfrac{4\pi\times 10^{-7}\times 900^{2}\times 1{,}257\times 10^{-3}}{0{,}250}=5{,}12\times 10^{-3}\ \mathrm{H}

En position 1, le solénoïde est en série avec $R$ : $\tau=\dfrac{L}{R}=\dfrac{5{,}12\times 10^{-3}}{4{,}50}=1{,}14\ \mathrm{ms}$ .

\displaystyle 1-e^{-t/\tau}=0{,}99\Rightarrow t=\tau\ln 100=5{,}24\ \mathrm{ms}

L'inductance croît comme $N^{2}$ : $N$ intervient une fois dans le champ, une fois dans le nombre de spires que ce champ traverse.

En régime permanent, la bobine idéale n'a plus de tension à ses bornes : $I_0=\dfrac{\mathcal{E}}{R}=\dfrac{9{,}00}{4{,}50}=2{,}00\ \mathrm{A}$ .

\displaystyle B=\mu_0\dfrac{N}{\ell}I_0=4\pi\times 10^{-7}\times\dfrac{900}{0{,}250}\times 2{,}00=9{,}05\times 10^{-3}\ \mathrm{T}

\displaystyle U_B=\dfrac{1}{2}LI_0^{2}=\dfrac{1}{2}\times5{,}12\times 10^{-3}\times 2{,}00^{2}=1{,}02\times 10^{-2}\ \mathrm{J}=10{,}2\ \mathrm{mJ}

Contrôle par la densité d'énergie : $\dfrac{B^{2}}{2\mu_0}\,A\ell=\dfrac{(9{,}05\times 10^{-3})^{2}}{2\times 4\pi\times 10^{-7}}\times 1{,}257\times 10^{-3}\times 0{,}250=10{,}2\ \mathrm{mJ}$ .

On note $q$ la charge de l'armature vers laquelle circule $i$ , de sorte que $i=\dfrac{dq}{dt}$ . Loi des mailles dans la boucle solénoïde et condensateur :

\displaystyle -L\dfrac{di}{dt}-\dfrac{q}{C}=0\Rightarrow\dfrac{d^{2}q}{dt^{2}}=-\dfrac{1}{LC}\,q

\displaystyle \omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}=\dfrac{1}{\sqrt{5{,}12\times 10^{-3}\times 2{,}00\times 10^{-6}}}=9{,}89\times 10^{3}\ \mathrm{rad/s}

\displaystyle T=\dfrac{2\pi}{\omega_0}=6{,}36\times 10^{-4}\ \mathrm{s}=0{,}636\ \mathrm{ms}

Conditions initiales : le condensateur est vide, $q(0^{+})=0$ ; le courant dans la bobine est continu, $i(0^{+})=I_0=2{,}00\ \mathrm{A}$ .

D'où $q(t)=\dfrac{I_0}{\omega_0}\sin(\omega_0t)$ et $i(t)=I_0\cos(\omega_0t)$ : l'oscillation part du courant maximal.

Piège : partir de $q(0)=Q_{\max}$ , comme pour un condensateur chargé. Ici, c'est la bobine qui porte toute l'énergie au départ.

La tension est maximale quand toute l'énergie est passée dans le condensateur :

\displaystyle \dfrac{1}{2}LI_0^{2}=\dfrac{1}{2}CV_{\max}^{2}\Rightarrow V_{\max}=I_0\sqrt{\dfrac{L}{C}}=\dfrac{I_0}{\omega_0C}=\dfrac{2{,}00}{9{,}89\times 10^{3}\times 2{,}00\times 10^{-6}}=101\ \mathrm{V}

Premier maximum quand $\sin(\omega_0t)=1$ : $t=\dfrac{T}{4}=0{,}159\ \mathrm{ms}$ .

$101\ \mathrm{V}$ , c'est plus de onze fois la f.é.m. de $9{,}00\ \mathrm{V}$ : un courant établi dans une bobine, brusquement dérouté vers une petite capacité, produit une forte surtension. C'est le principe des circuits d'allumage et des alimentations à découpage.

La figure du corrigé montre $v_C(t)$ sur deux périodes.

L'amplitude décroît comme $e^{-rt/2L}$ ; elle est divisée par deux quand $\dfrac{rt}{2L}=\ln 2$ :

\displaystyle t=\dfrac{2L}{r}\ln 2=\dfrac{2\times5{,}12\times 10^{-3}}{0{,}500}\times 0{,}693=14{,}2\ \mathrm{ms}

$\dfrac{14{,}2}{0{,}636}\approx 22$ oscillations : l'amortissement est faible, et la pulsation reste pratiquement $\omega_0$ , puisque $\dfrac{r}{2L}=48{,}9\ \mathrm{s^{-1}}$ est négligeable devant $\omega_0$ .

Tension du condensateur après la bascule : sinusoïde d'amplitude 101 V et de période 0,636 ms, partie de zéro, la bobine portant au départ toute l'énergie.

Exercice 6 : Le circuit RLC série en régime sinusoïdal : déphasage, puissance et résonance

14 réponses vérifiables

15 points Les circuits en courant alternatif

Un circuit série formé de $R=36{,}0\ \Omega$ , d'une bobine idéale $L=53{,}6\ \mathrm{mH}$ et d'un condensateur $C=20{,}0\ \mathrm{\mu F}$ est branché sur une source qui impose $\Delta v(t)=90{,}0\sin(1250\,t)$ , en volts et en secondes. On écrit le courant $i(t)=I_0\sin(\omega t-\varphi)$ .

a) (3 points) Déterminez la réactance de la bobine, celle du condensateur, et l'impédance du circuit.
b) (4 points) Trouvez $I_0$ et l'angle $\varphi$ . Le courant précède-t-il la tension ou la suit-il, et avec quel décalage dans le temps ? Donnez l'expression de $i(t)$ .
c) (3 points) Quelle puissance moyenne la source cède-t-elle au circuit, et quel est le facteur de puissance ? Représentez les amplitudes des trois tensions par un diagramme de phaseurs.
d) (3 points) Calculez la pulsation de résonance $\omega_0$ et la fréquence correspondante. À la résonance, que valent l'amplitude du courant et l'amplitude de la tension aux bornes du condensateur ?
e) (2 points) Pour une seconde pulsation $\omega'$ , l'amplitude du courant reprend la valeur $I_0$ de b). Calculez $\omega'$ . À cette pulsation, le courant précède-t-il la tension ou la suit-il ?

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Réponses

a) $X_L=67{,}0\ \Omega$ , $X_C=40{,}0\ \Omega$ , $Z=45{,}0\ \Omega$
b) $I_0=2{,}00\ \mathrm{A}$ , $\varphi=0{,}644\ \mathrm{rad}=36{,}9^{\circ}$ ; le courant suit la tension de $0{,}515\ \mathrm{ms}$ ; $i(t)=2{,}00\sin(1250\,t-0{,}644)$
c) $\langle P\rangle=72{,}0\ \mathrm{W}$ , $\cos\varphi=0{,}800$
d) $\omega_0=966\ \mathrm{rad/s}$ , $f_0=154\ \mathrm{Hz}$ ; $I_0=2{,}50\ \mathrm{A}$ , $V_C=129\ \mathrm{V}$
e) $\omega'=746\ \mathrm{rad/s}$ ( $\omega\omega'=\omega_0^{2}$ ) ; le courant précède la tension

La pulsation se lit dans l'argument du sinus : $\omega=1250\ \mathrm{rad/s}$ .

$X_L=\omega L=1250\times 0{,}0536=67{,}0\ \Omega$ et $X_C=\dfrac{1}{\omega C}=\dfrac{1}{1250\times 20{,}0\times 10^{-6}}=40{,}0\ \Omega$

\displaystyle Z=\sqrt{R^{2}+(X_L-X_C)^{2}}=\sqrt{36{,}0^{2}+27{,}0^{2}}=45{,}0\ \Omega

Piège : additionner $X_L$ et $X_C$ . Les tensions de la bobine et du condensateur sont en opposition de phase : leurs réactances se RETRANCHENT.

\displaystyle I_0=\dfrac{V_0}{Z}=\dfrac{90{,}0}{45{,}0}=2{,}00\ \mathrm{A}

\displaystyle \tan\varphi=\dfrac{X_L-X_C}{R}=\dfrac{27{,}0}{36{,}0}=0{,}750\Rightarrow\varphi=0{,}644\ \mathrm{rad}=36{,}9^{\circ}

$\varphi > 0$ : $X_L > X_C$ , le circuit est inductif et le courant SUIT la tension (il est en retard).

\displaystyle \Delta t=\dfrac{\varphi}{\omega}=\dfrac{0{,}644}{1250}=5{,}15\times 10^{-4}\ \mathrm{s}=0{,}515\ \mathrm{ms}

$i(t)=2{,}00\sin(1250\,t-0{,}644)$ , en ampères.

\displaystyle \langle P\rangle=\dfrac{1}{2}RI_0^{2}=\dfrac{1}{2}\times 36{,}0\times 2{,}00^{2}=72{,}0\ \mathrm{W}

Facteur de puissance : $\cos\varphi=\dfrac{R}{Z}=0{,}800$ . Contrôle : $V_{\text{eff}}I_{\text{eff}}\cos\varphi=\dfrac{90{,}0}{\sqrt 2}\times\dfrac{2{,}00}{\sqrt 2}\times 0{,}800=72{,}0\ \mathrm{W}$ .

Amplitudes : $V_R=RI_0=72{,}0\ \mathrm{V}$ , $V_L=X_LI_0=134\ \mathrm{V}$ , $V_C=X_CI_0=80{,}0\ \mathrm{V}$ .

Diagramme : $V_R$ en phase avec le courant, $V_L$ en avance de $90^{\circ}$ , $V_C$ en retard de $90^{\circ}$ . Leur somme vectorielle a pour module $\sqrt{72{,}0^{2}+54{,}0^{2}}=90{,}0\ \mathrm{V}$ , l'amplitude de la source, alors que $72{,}0+134+80{,}0=286\ \mathrm{V}$ .

Seule la résistance consomme de la puissance en moyenne : la bobine et le condensateur stockent puis rendent leur énergie à chaque période.

$\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}=\dfrac{1}{\sqrt{0{,}0536\times 20{,}0\times 10^{-6}}}=966\ \mathrm{rad/s}$ et $f_0=\dfrac{\omega_0}{2\pi}=154\ \mathrm{Hz}$

À la résonance, $X_L=X_C$ et $Z=R$ : $I_{0,\text{rés}}=\dfrac{V_0}{R}=\dfrac{90{,}0}{36{,}0}=2{,}50\ \mathrm{A}$ .

\displaystyle V_{C,\text{rés}}=\dfrac{I_{0,\text{rés}}}{\omega_0C}=\dfrac{2{,}50}{966\times 20{,}0\times 10^{-6}}=129\ \mathrm{V}

La tension du condensateur dépasse celle de la source : à la résonance, $V_L$ et $V_C$ sont égales et opposées, elles s'annulent dans la somme sans être petites. Un condensateur se choisit pour supporter cette surtension.

Même amplitude de courant signifie même impédance, donc $|X_L-X_C|=27{,}0\ \Omega$ . Sous $\omega_0$ , le circuit est capacitif :

\displaystyle \dfrac{1}{\omega'C}-\omega'L=27{,}0\Rightarrow 0{,}0536\,\omega'^{2}+27{,}0\,\omega'-50\,000=0

\displaystyle \omega'=\dfrac{-27{,}0+\sqrt{729+10\,720}}{0{,}1072}=\dfrac{-27{,}0+107}{0{,}1072}=746\ \mathrm{rad/s}

Contrôle : $\omega\,\omega'=1250\times 746=9{,}33\times 10^{5}=\omega_0^{2}$ . Les deux pulsations sont symétriques autour de $\omega_0$ en échelle logarithmique.

À $\omega'$ , $X_C > X_L$ : $\varphi < 0$ , le courant PRÉCÈDE la tension, de $36{,}9^{\circ}$ .

Phaseurs des amplitudes (1 unité pour 40 V). À gauche, les trois tensions par rapport au courant ; à droite, leur somme V₀ = 90 V, en avance de φ = 36,9° sur le courant.

Partie B : questions courtes (/15)

Exercice 7 : Deux sphères identiques mises en contact

2 réponses vérifiables

3 points La charge électrique et la loi de Coulomb

Deux petites sphères conductrices identiques portent $q_1=+6{,}0\ \mathrm{nC}$ et $q_2=-2{,}0\ \mathrm{nC}$ . Placées à la distance $d$ l'une de l'autre, elles s'attirent avec une force de module $F$ . On les fait se toucher un instant, puis on les ramène à la distance $d$ . $e=1{,}60\times 10^{-19}\ \mathrm{C}$ .

a) La nouvelle force entre les sphères est :A)attractive, de module $F/3$ B)répulsive, de module $F/3$ C)répulsive, de module $3F$ D)nulleE)répulsive, de module $F$
b) Combien d'électrons ont été transférés d'une sphère à l'autre pendant le contact ?

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Réponses

a) B : $+2{,}0\ \mathrm{nC}$ chacune, répulsion, $F'=F/3$
b) $N=2{,}5\times 10^{10}$ électrons, de la sphère 2 vers la sphère 1

Au contact, les deux sphères forment un seul conducteur de charge totale $q_1+q_2=+4{,}0\ \mathrm{nC}$ ; identiques, elles se la partagent également : $+2{,}0\ \mathrm{nC}$ chacune.

Les charges sont maintenant de même signe : la force est RÉPULSIVE.

$\dfrac{F'}{F}=\dfrac{|q_1'q_2'|}{|q_1q_2|}=\dfrac{2{,}0\times 2{,}0}{6{,}0\times 2{,}0}=\dfrac{1}{3}$ : réponse B.

Piège : partager la somme des valeurs absolues, $4{,}0\ \mathrm{nC}$ chacune, en oubliant le signe de $q_2$ .

La sphère 2 passe de $-2{,}0$ à $+2{,}0\ \mathrm{nC}$ : elle perd $4{,}0\ \mathrm{nC}$ de charge négative, qui passent sur la sphère 1.

$N=\dfrac{4{,}0\times 10^{-9}}{1{,}60\times 10^{-19}}=2{,}5\times 10^{10}$ électrons

Exercice 8 : Une charge excentrée dans une coquille conductrice

2 réponses vérifiables

3 points Le théorème de Gauss

Une coquille sphérique conductrice, isolée, porte une charge totale $Q=+5{,}00\ \mathrm{\mu C}$ . On place dans sa cavité, loin du centre, une charge ponctuelle $q=-3{,}00\ \mathrm{\mu C}$ qui ne touche pas la paroi (figure, en coupe). L'équilibre électrostatique est atteint.

a) Les charges portées par la face intérieure et par la face extérieure de la coquille sont :A)intérieure $+3{,}00\ \mathrm{\mu C}$ , extérieure $+2{,}00\ \mathrm{\mu C}$ B)intérieure $-3{,}00\ \mathrm{\mu C}$ , extérieure $+8{,}00\ \mathrm{\mu C}$ C)intérieure $+3{,}00\ \mathrm{\mu C}$ , extérieure $+5{,}00\ \mathrm{\mu C}$ D)intérieure $0$ , extérieure $+5{,}00\ \mathrm{\mu C}$ E)intérieure $+3{,}00\ \mathrm{\mu C}$ , extérieure $+8{,}00\ \mathrm{\mu C}$
b) La charge de la face extérieure est-elle répartie uniformément, bien que $q$ soit excentrée ?

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Réponses

a) A : $+3{,}00\ \mathrm{\mu C}$ à l'intérieur, $+2{,}00\ \mathrm{\mu C}$ à l'extérieur
b) Oui : seule la face intérieure se resserre près de $q$

Surface de Gauss fermée tracée DANS le métal de la coquille : à l'équilibre, $\vec E=\vec 0$ dans un conducteur, donc le flux est nul et la charge enfermée aussi.

\displaystyle q+Q_{\text{int}}=0\Rightarrow Q_{\text{int}}=+3{,}00\ \mathrm{\mu C}

Conservation de la charge de la coquille : $Q_{\text{ext}}=Q-Q_{\text{int}}=5{,}00-3{,}00=+2{,}00\ \mathrm{\mu C}$ . Réponse A.

Oui. La face intérieure se répartit de façon NON uniforme, plus dense près de $q$ , de sorte que $q$ et elle produisent ensemble un champ nul dans le métal et au-delà.

La face extérieure ne garde donc aucune trace de la position de $q$ : sur cette sphère isolée, elle se répartit uniformément, et le champ extérieur est celui d'une charge ponctuelle de $+2{,}00\ \mathrm{\mu C}$ placée au CENTRE de la coquille.

Piège : croire que le champ extérieur reste centré sur $q$ . Le conducteur masque la position de la charge intérieure, pas sa valeur.

Exercice 9 : Le champ électrique tiré d'un potentiel

3 réponses vérifiables

3 points Le potentiel électrique

Dans une région de l'espace, le potentiel électrique vaut $V(x,y)=6x^{2}y-2y^{3}$ , en volts, avec $x$ et $y$ en mètres.

a) Calculez les composantes $E_x$ et $E_y$ du champ électrique au point $P(2{,}00\ \mathrm{m}\,;1{,}00\ \mathrm{m})$ , puis son module.

Voir la correction

Réponses

a) $\vec E=(-24{,}0\,\vec i-18{,}0\,\vec j)\ \mathrm{V/m}$ ; $E=30{,}0\ \mathrm{V/m}$

$\vec E=-\vec\nabla V$ : chaque composante est l'opposé d'une dérivée partielle.

$E_x=-\dfrac{\partial V}{\partial x}=-12xy$ et $E_y=-\dfrac{\partial V}{\partial y}=-(6x^{2}-6y^{2})$

Au point $P$ : $E_x=-12\times 2{,}00\times 1{,}00=-24{,}0\ \mathrm{V/m}$ et $E_y=-(24{,}0-6{,}00)=-18{,}0\ \mathrm{V/m}$ .

\displaystyle E=\sqrt{24{,}0^{2}+18{,}0^{2}}=30{,}0\ \mathrm{V/m}

Piège : oublier le signe moins. Le champ pointe vers les potentiels DÉCROISSANTS ; sans le signe, il serait dessiné à l'envers.

Exercice 10 : Un fil de cuivre qu'on étire

2 réponses vérifiables

3 points Courant et résistance

Un fil de cuivre cylindrique, de section $1{,}00\ \mathrm{mm^{2}}$ , a une résistance $R$ . On l'étire uniformément jusqu'à ce que sa longueur soit multipliée par $1{,}5$ , sans changer son volume ni sa résistivité.

a) Sa nouvelle résistance est :A) $1{,}5\,R$ B) $2{,}25\,R$ C) $3\,R$ D) $R/1{,}5$ E) $R$
b) Le fil étiré est parcouru par un courant de $2{,}00\ \mathrm{A}$ . Le cuivre compte $8{,}50\times 10^{28}$ électrons libres par mètre cube. Calculez la vitesse de dérive des électrons ; $e=1{,}60\times 10^{-19}\ \mathrm{C}$ .

Voir la correction

Réponses

a) B : $R'=1{,}5^{2}\,R=2{,}25\,R$
b) $v_d=2{,}21\times 10^{-4}\ \mathrm{m/s}=0{,}221\ \mathrm{mm/s}$

Volume constant : $A'\ell'=A\ell$ , donc si $\ell'=1{,}5\,\ell$ , alors $A'=\dfrac{A}{1{,}5}$ .

$R'=\rho\dfrac{\ell'}{A'}=\rho\dfrac{1{,}5\,\ell}{A/1{,}5}=1{,}5^{2}\,R=2{,}25\,R$ : réponse B.

Piège : ne faire varier que la longueur (réponse A). L'étirement amincit aussi le fil, et les deux effets se multiplient.

\displaystyle A'=\dfrac{1{,}00}{1{,}5}=0{,}667\ \mathrm{mm^{2}}=6{,}67\times 10^{-7}\ \mathrm{m^{2}}

\displaystyle v_d=\dfrac{I}{neA'}=\dfrac{2{,}00}{8{,}50\times 10^{28}\times 1{,}60\times 10^{-19}\times 6{,}67\times 10^{-7}}=2{,}21\times 10^{-4}\ \mathrm{m/s}

Les électrons avancent d'à peine $0{,}2\ \mathrm{mm}$ par seconde. Une lampe s'allume pourtant dès qu'on ferme l'interrupteur : le champ électrique s'établit presque instantanément dans tout le circuit et met tous les électrons en mouvement à la fois.

Exercice 11 : L'aimant qu'on éloigne d'un anneau

2 réponses vérifiables

3 points L'induction électromagnétique

Un aimant droit vertical, pôle nord vers le bas, est placé au-dessus d'un anneau conducteur horizontal. On l'éloigne vers le haut (figure).

a) Vu de dessus, le courant induit dans l'anneau circule :A)dans le sens horaireB)dans le sens antihoraireC)nulle part, puisque l'aimant s'éloigne
b) Pendant que l'aimant s'éloigne, l'anneau est :A)attiré vers l'aimantB)repoussé par l'aimantC)soumis à une force nulle

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Réponses

a) A : sens horaire, vu de dessus
b) A : attiré vers l'aimant

Sous le pôle nord, le champ de l'aimant sort du pôle et traverse l'anneau vers le BAS.

L'aimant s'éloigne : ce flux dirigé vers le bas DIMINUE.

Loi de Lenz : le courant induit s'oppose à cette diminution ; il crée dans l'anneau un champ dirigé lui aussi vers le bas.

Règle de la main droite, pouce vers le bas : vu de dessus, le courant tourne dans le sens horaire. Réponse A.

Avec un champ induit vers le bas, l'anneau se comporte comme un petit aimant dont le pôle nord est en bas et le pôle sud en haut, face au pôle nord de l'aimant : il est attiré. Réponse A.

C'est la loi de Lenz sous sa forme mécanique : l'induction s'oppose au mouvement RELATIF, elle retient l'aimant qui s'éloigne.

Piège : répondre « repoussé » par habitude. L'anneau repousse un aimant qui approche ; il attire un aimant qui s'éloigne.

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© Ahmed Squalli Houssaini. Série publiée sur www.letuteurscientifique.ca/exercices/phs0102-examen-final-blanc. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

Voir aussi

Tous les exercices Contrôle périodique blanc (PHS0102)Condensateurs et diélectriques (PHS0102)Circuits à courant continu et circuits RC (PHS0102)Le champ magnétique (PHS0102)Les sources du champ magnétique (PHS0102)L'induction électromagnétique (PHS0102)L'inductance (PHS0102)Les circuits en courant alternatif (PHS0102)

Examen final blanc corrigé de PHS0102 (Polytechnique)

Rappel de cours

Partie A : problèmes (/85)

Exercice 1 : Un circuit RC à deux branches : avant, pendant et après la charge

Exercice 2 : Sélecteur de vitesse et spectromètre de masse : les isotopes du magnésium

Exercice 3 : Un fil sur l'axe d'un tube conducteur : Ampère en trois régions

Exercice 4 : La tige qui tombe entre deux rails verticaux

Exercice 5 : Le solénoïde qui passe d'un circuit RL à un circuit LC

Exercice 6 : Le circuit RLC série en régime sinusoïdal : déphasage, puissance et résonance

Partie B : questions courtes (/15)

Exercice 7 : Deux sphères identiques mises en contact

Exercice 8 : Une charge excentrée dans une coquille conductrice

Exercice 9 : Le champ électrique tiré d'un potentiel

Exercice 10 : Un fil de cuivre qu'on étire

Exercice 11 : L'aimant qu'on éloigne d'un anneau

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