Exercice 1 : Le flux : surfaces ouvertes, surface fermée et champ non uniforme

8 réponses vérifiables

Dans une région de l'espace règne un champ électrique uniforme $\vec E=420\,\vec i$ N/C. Les questions a) et b) se placent dans ce champ ; la question c) dans un champ non uniforme ; la question d) autour d'une charge ponctuelle.

Figures a) et b) : le disque est vu par la tranche ; l'hémisphère est coupé par un plan contenant le champ.
a) Une plaque circulaire de rayon $8{,}00$ cm est placée dans le champ, son plan faisant un angle de $35{,}0°$ avec les lignes de champ. Calculez le flux électrique à travers la plaque, orientée pour que ce flux soit positif.
b) Un hémisphère de rayon $6{,}00$ cm a sa base plane perpendiculaire au champ, le dôme du côté vers lequel pointe le champ. Calculez le flux sortant à travers le dôme sans calculer d'intégrale, en raisonnant sur la surface fermée formée du dôme et de sa base.
Figure c) : flèches du champ dessinées à l'échelle ; la face d'entrée et la face de sortie sont teintées.
c) Dans une autre région, le champ vaut $\vec E=(300+2500\,x)\,\vec i$ , en N/C avec $x$ en mètres. Une boîte rectangulaire a ses faces d'entrée et de sortie perpendiculaires à l'axe $x$ , en $x=10{,}0$ cm et $x=30{,}0$ cm, et une section de $10{,}0$ cm sur $15{,}0$ cm. Calculez le flux sortant à travers chacune des deux faces perpendiculaires à $x$ , puis la charge contenue dans la boîte.
d) On place une charge ponctuelle $q=-2{,}40$ nC au centre d'un tétraèdre régulier (quatre faces triangulaires identiques). Calculez le flux sortant total, puis le flux à travers une face. Le flux total change-t-il si l'on rapproche la charge d'un sommet, sans la sortir du tétraèdre ?

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/8

a)

\Phi_E

N·m²/C

b)

\Phi

à travers le dôme N·m²/C

c)

Flux par la face d'entrée N·m²/C

Flux par la face de sortie N·m²/C

Q_{\text{int}}

pC

d)

Flux total N·m²/C

Flux par une face N·m²/C

Si la charge se rapproche d'un sommet, le flux total

Voir la correction

Réponses

a) $\Phi_E=EA\cos 55{,}0°=4{,}84$ N·m²/C
b) $\Phi_{\text{dôme}}=E\pi R^{2}=4{,}75$ N·m²/C
c) $-8{,}25$ et $+15{,}75$ N·m²/C, total $7{,}50$ N·m²/C ; $Q_{\text{int}}=66{,}4$ pC
d) $-271$ N·m²/C au total, $-67{,}8$ N·m²/C par face ; le total ne change pas

a)

Pour un champ uniforme et une surface plane, $\Phi_E=EA\cos\theta$ , où $\theta$ est l'angle entre $\vec E$ et la NORMALE $\vec n$ à la surface.

Le plan du disque fait $35{,}0°$ avec le champ, donc sa normale fait $\theta=90°-35{,}0°=55{,}0°$ avec lui (figure du corrigé).

\displaystyle A=\pi R^{2}=\pi\times(0{,}0800)^{2}=2{,}011\times 10^{-2}\ \mathrm{m^{2}}

\displaystyle \Phi_E=420\times 2{,}011\times 10^{-2}\times\cos 55{,}0°=4{,}84\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}

Piège : écrire $\cos 35{,}0°$ donne $6{,}92\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}$ . Un angle donné avec le plan se convertit en angle avec la normale avant d'écrire le cosinus.

b)

Le dôme et sa base forment une surface fermée qui n'enferme aucune charge : par le théorème de Gauss, son flux total est nul.

\displaystyle \Phi_{\text{dôme}}+\Phi_{\text{base}}=0

La base est un disque perpendiculaire au champ. Sa normale SORTANTE pointe vers l'amont, à l'opposé de $\vec E$ : $\Phi_{\text{base}}=-E\pi R^{2}$ .

\displaystyle \Phi_{\text{dôme}}=+E\pi R^{2}=420\times\pi\times(0{,}0600)^{2}=4{,}75\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}

Le calcul direct sur le dôme demanderait une intégrale en coordonnées sphériques ; la surface fermée la remplace par l'aire d'un disque. Toutes les lignes qui entrent par la base ressortent par le dôme.

c)

Sur les quatre faces parallèles à l'axe $x$ , $\vec E$ est tangent à la face : $\vec E\cdot d\vec A=0$ , flux nul.

Sur une face perpendiculaire à $x$ , $E$ ne dépend que de $x$ , donc il est constant sur la face : le flux vaut $\pm E(x)\,A$ , avec $A=0{,}100\times 0{,}150=1{,}50\times 10^{-2}\ \mathrm{m^{2}}$ .

Face d'entrée, $x=0{,}100$ m, normale sortante $-\vec i$ : $\Phi_1=-(300+2500\times 0{,}100)\times 1{,}50\times 10^{-2}=-8{,}25\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}$

Face de sortie, $x=0{,}300$ m, normale $+\vec i$ : $\Phi_2=+(300+2500\times 0{,}300)\times 1{,}50\times 10^{-2}=+15{,}75\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}$

\displaystyle \Phi_{\text{total}}=-8{,}25+15{,}75=7{,}50\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}

\displaystyle Q_{\text{int}}=\varepsilon_0\,\Phi_{\text{total}}=8{,}85\times 10^{-12}\times 7{,}50=6{,}64\times 10^{-11}\ \mathrm{C}=66{,}4\ \mathrm{pC}

Le flux net est positif parce que le champ sort plus fort qu'il n'entre : c'est la signature d'une charge positive à l'intérieur. Elle est ici répartie, de densité $\dfrac{Q_{\text{int}}}{V}=\dfrac{6{,}64\times 10^{-11}}{3{,}00\times 10^{-3}}=2{,}21\times 10^{-8}\ \mathrm{C/m^{3}}$ .

Piège : écrire $+8{,}25$ pour la face d'entrée. La normale d'une surface fermée est toujours orientée vers l'extérieur ; sur la face d'entrée, elle s'oppose au champ.

d)

Le théorème de Gauss ne dépend pas de la forme de la surface fermée :

\displaystyle \Phi=\dfrac{q}{\varepsilon_0}=\dfrac{-2{,}40\times 10^{-9}}{8{,}85\times 10^{-12}}=-271\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}

Le flux est négatif : les lignes de champ ENTRENT vers la charge négative.

La charge est au centre : les quatre faces identiques jouent le même rôle par symétrie, et chacune reçoit le quart, $-67{,}8\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}$ .

Si la charge se rapproche d'un sommet, le flux total reste $-271\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}$ , puisqu'elle est toujours enfermée ; c'est le PARTAGE entre les faces qui change, car la symétrie qui donnait le quart a disparu.

La normale

\vec n

du disque fait

55{,}0°

avec le champ : c'est cet angle qui entre dans

\cos\theta

.

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Exercice 2 : La cellule chargée d'un nuage : une densité qui décroît vers le bord

9 réponses vérifiables

Dans un nuage d'orage, une cellule de charge positive est modélisée par une sphère de rayon $R=1{,}20$ km dans laquelle la densité volumique de charge décroît du centre vers le bord : $\rho(r)=\rho_0\left(1-\dfrac{r}{R}\right)$ , avec $\rho_0=2{,}50$ nC/m³. On traite l'air comme le vide et on ignore le sol et les autres charges du nuage. La figure est une coupe passant par le centre O ; la teinte suit la densité.

a) Justifiez que le champ est radial et que son module ne dépend que de la distance $r$ au centre, puis choisissez la surface de Gauss.
b) Montrez que la charge enfermée par une sphère de rayon $r\le R$ vaut $q(r)=4\pi\rho_0\left(\dfrac{r^{3}}{3}-\dfrac{r^{4}}{4R}\right)$ , puis calculez la charge totale $Q$ de la cellule.
c) Établissez l'expression de $E(r)$ pour $r\le R$ , puis calculez le champ en $r=600$ m et à la surface, en $r=R$ .
d) Montrez que le champ est maximal à l'intérieur de la cellule, en $r=\dfrac{2R}{3}$ , et calculez ce maximum.
e) Calculez le champ à $3{,}00$ km du centre. Un élève a calculé le champ en $r=600$ m par $E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^{2}}$ , avec la charge totale. Calculez la valeur qu'il obtient et le facteur d'erreur.

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/9

a)

Surface de Gauss

b)

Q

C

c)

E(600\ \mathrm{m})

(en

10^{4}

N/C)

E(R)

(en

10^{4}

N/C)

d)

r

du maximum m

E_{\max}

(en

10^{4}

N/C)

e)

E(3{,}00\ \mathrm{km})

kN/C

Valeur de l'élève (en

10^{5}

N/C)

Facteur d'erreur

Voir la correction

Réponses

a) Symétrie sphérique : sphère de Gauss de rayon $r$ centrée en O
b) $q(r)=4\pi\rho_0\left(\frac{r^{3}}{3}-\frac{r^{4}}{4R}\right)$ ; $Q=\frac{\pi\rho_0R^{3}}{3}=4{,}52$ C
c) $E=\frac{\rho_0}{\varepsilon_0}\left(\frac{r}{3}-\frac{r^{2}}{4R}\right)$ ; $3{,}53\times 10^{4}$ N/C en $600$ m, $2{,}82\times 10^{4}$ N/C en $R$
d) Maximum en $r=800$ m : $E_{\max}=3{,}77\times 10^{4}$ N/C
e) $4{,}52\times 10^{3}$ N/C à $3{,}00$ km ; l'élève trouve $1{,}13\times 10^{5}$ N/C, $3{,}20$ fois trop

a)

La distribution ne dépend que de $r$ : elle est invariante par toute rotation autour de O.

Tout plan passant par O et par le point M est un plan de symétrie de la charge : $\vec E$ en M appartient à chacun de ces plans, donc à leur intersection, la droite OM. Le champ est RADIAL.

Une rotation autour de O amène M en tout point de la sphère de rayon $OM$ sans changer la charge : $E$ ne dépend que de $r$ .

Surface de Gauss : la sphère de rayon $r$ centrée en O, sur laquelle $\vec E$ est normal et de module constant. Son flux vaut $E\cdot 4\pi r^{2}$ .

b)

La densité varie avec $r$ : on découpe la sphère en coquilles minces de rayon $r'$ et d'épaisseur $dr'$ , de volume $4\pi r'^{2}dr'$ .

\displaystyle dq=\rho(r')\,4\pi r'^{2}\,dr'=4\pi\rho_0\left(r'^{2}-\dfrac{r'^{3}}{R}\right)dr'

\displaystyle q(r)=\displaystyle\int_0^{r}4\pi\rho_0\left(r'^{2}-\frac{r'^{3}}{R}\right)dr'=4\pi\rho_0\left(\frac{r^{3}}{3}-\frac{r^{4}}{4R}\right)

En $r=R$ : $Q=4\pi\rho_0R^{3}\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{\pi\rho_0R^{3}}{3}$

\displaystyle Q=\dfrac{\pi\times 2{,}50\times 10^{-9}\times(1200)^{3}}{3}=4{,}52\ \mathrm{C}

Piège : écrire $Q=\rho\cdot\frac{4}{3}\pi R^{3}$ n'a pas de sens, $\rho$ n'est pas une constante. Avec $\rho_0$ , on obtiendrait $18{,}1$ C, quatre fois trop.

c)

Gauss sur la sphère de rayon $r\le R$ : $E\cdot 4\pi r^{2}=\dfrac{q(r)}{\varepsilon_0}$

\displaystyle E(r)=\dfrac{\rho_0}{\varepsilon_0}\left(\dfrac{r}{3}-\dfrac{r^{2}}{4R}\right)

\displaystyle \dfrac{\rho_0}{\varepsilon_0}=\dfrac{2{,}50\times 10^{-9}}{8{,}85\times 10^{-12}}=282{,}5\ \mathrm{V/m^{2}}

\displaystyle E(600)=282{,}5\times\left(200-\dfrac{600^{2}}{4800}\right)=282{,}5\times 125=3{,}53\times 10^{4}\ \mathrm{N/C}

\displaystyle E(R)=282{,}5\times(400-300)=2{,}82\times 10^{4}\ \mathrm{N/C}

Le champ à la surface est PLUS FAIBLE qu'à mi-rayon : la couche extérieure, peu chargée, ajoute de la surface sans ajouter beaucoup de charge.

d)

On dérive l'expression intérieure : $\dfrac{dE}{dr}=\dfrac{\rho_0}{\varepsilon_0}\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{r}{2R}\right)$

Elle s'annule en $r=\dfrac{2R}{3}=800$ m, en passant du positif au négatif : c'est un maximum, situé DANS la cellule.

\displaystyle E_{\max}=282{,}5\times\left(\dfrac{800}{3}-\dfrac{800^{2}}{4800}\right)=282{,}5\times 133{,}3=3{,}77\times 10^{4}\ \mathrm{N/C}

Pour une sphère uniforme, le maximum serait à la surface ; ici la densité qui décroît le fait rentrer à l'intérieur (graphe du corrigé).

e)

Hors de la cellule, la sphère de Gauss enferme toute la charge : $E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^{2}}$

\displaystyle E(3000)=\dfrac{4{,}52}{4\pi\times 8{,}85\times 10^{-12}\times(3000)^{2}}=4{,}52\times 10^{3}\ \mathrm{N/C}

Vérification : $E(R)\left(\dfrac{R}{r}\right)^{2}=2{,}82\times 10^{4}\times 0{,}160=4{,}52\times 10^{3}\ \mathrm{N/C}$ , le champ est continu en $r=R$ .

L'élève trouve $\dfrac{4{,}52}{4\pi\times 8{,}85\times 10^{-12}\times 600^{2}}=1{,}13\times 10^{5}\ \mathrm{N/C}$ , soit $3{,}20$ fois la bonne valeur : $\dfrac{Q}{q(600)}=\dfrac{4{,}52}{1{,}41}=3{,}20$ .

Piège : à l'intérieur, la charge qui compte est celle qu'enferme la sphère qui passe PAR LE POINT. La couche située au-delà de $r$ n'apporte aucun champ en M.

Le champ croît, culmine en

r=2R/3=800

m, redescend jusqu'à la surface, puis décroît en

1/r^{2}

: il est continu en

r=R

.

Exercice 3 : Une boule isolante dans une coquille conductrice : quatre régions

7 réponses vérifiables

Une boule ISOLANTE de rayon $R_1=2{,}00$ cm porte une charge $Q_1=+6{,}00$ nC répartie uniformément dans son volume. Autour d'elle, une coquille CONDUCTRICE concentrique, de rayon intérieur $R_2=4{,}00$ cm et de rayon extérieur $R_3=5{,}00$ cm, porte une charge totale $Q_2=-10{,}0$ nC. L'ensemble est dans le vide, à l'équilibre électrostatique.

a) Déterminez la charge portée par la surface intérieure de la coquille, puis par sa surface extérieure. Justifiez à l'aide d'une surface de Gauss tracée dans le métal.
b) Établissez l'expression du champ pour $r<R_1$ , puis calculez-le en $r=1{,}00$ cm.
c) Calculez le champ en $r=3{,}00$ cm.
d) Que vaut le champ en $r=4{,}50$ cm ? Justifiez par le théorème de Gauss.
e) Calculez le module du champ en $r=8{,}00$ cm et précisez son sens.
f) Tracez l'allure de la composante radiale $E_r(r)$ de $0$ à $10$ cm, en indiquant les discontinuités.

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/7

a)

Charge de la surface intérieure nC

Charge de la surface extérieure nC

b)

E(1{,}00\ \mathrm{cm})

(en

10^{4}

N/C)

c)

E(3{,}00\ \mathrm{cm})

(en

10^{4}

N/C)

d)

E(4{,}50\ \mathrm{cm})

N/C

e)

E(8{,}00\ \mathrm{cm})

kN/C

Sens du champ

Voir la correction

Réponses

a) $-6{,}00$ nC sur la surface intérieure, $-4{,}00$ nC sur la surface extérieure
b) $E=\frac{Q_1r}{4\pi\varepsilon_0R_1^{3}}=6{,}74\times 10^{4}$ N/C
c) $E=\frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0r^{2}}=5{,}99\times 10^{4}$ N/C
d) $E=0$ dans le métal
e) $5{,}62\times 10^{3}$ N/C, dirigé vers le centre
f) Droite croissante jusqu'à $1{,}35\times 10^{5}$ N/C en $R_1$ , décroissance en $1/r^{2}$ , chute à $0$ en $R_2$ , saut à $-1{,}44\times 10^{4}$ N/C en $R_3$

a)

À l'équilibre, le champ est nul dans le métal. Une sphère de Gauss de rayon $4{,}00<r<5{,}00$ cm, entièrement dans le métal, a donc un flux nul, et enferme une charge nulle.

\displaystyle Q_1+Q_{\text{int. coquille}}=0\ \Rightarrow\ Q_{\text{int. coquille}}=-Q_1=-6{,}00\ \mathrm{nC}

La coquille porte $Q_2$ au total, répartie sur ses deux surfaces :

\displaystyle Q_{\text{ext. coquille}}=Q_2-(-Q_1)=-10{,}0+6{,}00=-4{,}00\ \mathrm{nC}

La boule est centrée et la cavité sphérique : la charge $-6{,}00$ nC se répartit uniformément sur la surface intérieure (figure du corrigé).

b)

Symétrie sphérique : $\vec E$ radial, de module $E(r)$ ; surface de Gauss, la sphère de rayon $r$ .

Pour $r<R_1$ , la charge enfermée est une fraction du volume de la boule : $Q_{\text{int}}=Q_1\dfrac{r^{3}}{R_1^{3}}$ .

\displaystyle E\cdot 4\pi r^{2}=\dfrac{Q_1r^{3}}{\varepsilon_0R_1^{3}}\ \Rightarrow\ E=\dfrac{Q_1\,r}{4\pi\varepsilon_0R_1^{3}}

\displaystyle E(0{,}0100)=\dfrac{6{,}00\times 10^{-9}\times 0{,}0100}{4\pi\times 8{,}85\times 10^{-12}\times(0{,}0200)^{3}}=6{,}74\times 10^{4}\ \mathrm{N/C}

Le champ croît linéairement de $0$ au centre jusqu'à $1{,}35\times 10^{5}$ N/C en $R_1$ .

c)

Pour $R_1<r<R_2$ , la sphère de Gauss enferme toute la boule et rien d'autre : $Q_{\text{int}}=Q_1$ .

\displaystyle E=\dfrac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0r^{2}}=\dfrac{6{,}00\times 10^{-9}}{4\pi\times 8{,}85\times 10^{-12}\times(0{,}0300)^{2}}=5{,}99\times 10^{4}\ \mathrm{N/C}

La coquille n'intervient pas : sa charge est entièrement à l'extérieur de la surface de Gauss, et sa symétrie sphérique fait que son champ propre y est nul.

d)

$r=4{,}50$ cm est dans le métal de la coquille.

La sphère de Gauss de ce rayon enferme $Q_1+(-Q_1)=0$ : $E\cdot 4\pi r^{2}=0$ , donc $E=0$ .

Attention à l'ordre des arguments : $E=0$ dans le métal vient de ce que le conducteur est à l'équilibre, et c'est ce résultat qui a fixé la charge de la face intérieure en a). Le théorème de Gauss n'en est pas la preuve, il en vérifie la cohérence.

e)

Pour $r>R_3$ , la sphère de Gauss enferme toute la distribution : $Q_{\text{int}}=Q_1+Q_2=-4{,}00$ nC.

\displaystyle E_r=\dfrac{Q_1+Q_2}{4\pi\varepsilon_0r^{2}}=\dfrac{-4{,}00\times 10^{-9}}{4\pi\times 8{,}85\times 10^{-12}\times(0{,}0800)^{2}}=-5{,}62\times 10^{3}\ \mathrm{N/C}

Le module vaut $5{,}62\times 10^{3}$ N/C et le signe négatif dit que le champ est dirigé VERS le centre.

Piège : garder $Q_1$ seule parce que « la boule est la source ». Au-delà de $R_3$ , toute la charge est enfermée, et le champ change même de sens.

f)

$E_r$ croît linéairement jusqu'à $1{,}35\times 10^{5}$ N/C en $R_1$ , puis décroît en $1/r^{2}$ jusqu'à $3{,}37\times 10^{4}$ N/C en $R_2$ .

En $R_2$ , chute brutale à $0$ (face chargée $-6{,}00$ nC) ; $E_r=0$ dans le métal.

En $R_3$ , saut à $-1{,}44\times 10^{4}$ N/C (face chargée $-4{,}00$ nC), puis $E_r$ tend vers $0$ en $-1/r^{2}$ .

Les discontinuités se trouvent exactement sur les surfaces chargées ; à travers une charge VOLUMIQUE, en $R_1$ , le champ reste continu.

Charges induites :

-6{,}00

nC sur la surface intérieure,

-4{,}00

nC sur l'extérieure. La sphère de Gauss tracée dans le métal enferme une charge nulle.

Le champ est continu en

R_1

(charge volumique) et saute en

R_2

et

R_3

(charges de surface) ; il est négatif, donc dirigé vers O, au-delà de

R_3

.

Exercice 4 : Un cylindre creux chargé en volume et un fil sur son axe

5 réponses vérifiables

Un long cylindre ISOLANT creux, de rayon intérieur $R_1=1{,}50$ cm et de rayon extérieur $R_2=3{,}00$ cm, porte une charge volumique uniforme $\rho=+2{,}00\ \mu\mathrm{C/m^{3}}$ . Sur son axe est tendu un fil fin de densité linéique $\lambda_0=-1{,}20$ nC/m. Le cylindre et le fil sont assez longs pour être traités comme infinis. La figure est une coupe perpendiculaire à l'axe. On note $E_r$ la composante radiale du champ, positive vers l'extérieur.

a) Calculez la charge du cylindre par mètre de longueur, $\lambda_{\text{cyl}}$ .
b) Établissez le champ dans le creux, pour $r<R_1$ , puis calculez $E_r$ en $r=1{,}00$ cm.
c) Établissez le champ dans la matière du cylindre, pour $R_1<r<R_2$ , puis calculez $E_r$ en $r=2{,}00$ cm.
d) Calculez $E_r$ en $r=5{,}00$ cm.
e) Déterminez la distance $r_0$ à l'axe où le champ s'annule.

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/5

a)

\lambda_{\text{cyl}}

nC/m

b)

E_r(1{,}00\ \mathrm{cm})

kN/C

c)

E_r(2{,}00\ \mathrm{cm})

N/C

d)

E_r(5{,}00\ \mathrm{cm})

kN/C

e)

r_0

cm

Voir la correction

Réponses

a) $\lambda_{\text{cyl}}=\rho\pi(R_2^{2}-R_1^{2})=4{,}24$ nC/m
b) $E_r=\frac{\lambda_0}{2\pi\varepsilon_0r}=-2{,}16\times 10^{3}$ N/C, vers l'axe
c) $E_r=\frac{\lambda_0+\rho\pi(r^{2}-R_1^{2})}{2\pi\varepsilon_0r}=-90{,}3$ N/C
d) $E_r=+1{,}09\times 10^{3}$ N/C, vers l'extérieur
e) $r_0=\sqrt{R_1^{2}+\frac{|\lambda_0|}{\pi\rho}}=2{,}04$ cm

a)

Sur une longueur $L$ , le volume chargé est une couronne de section $\pi(R_2^{2}-R_1^{2})$ .

\displaystyle \lambda_{\text{cyl}}=\rho\,\pi(R_2^{2}-R_1^{2})=2{,}00\times 10^{-6}\times\pi\times(9{,}00-2{,}25)\times 10^{-4}=4{,}24\times 10^{-9}\ \mathrm{C/m}

b)

Symétrie cylindrique : invariance par translation le long de l'axe et par rotation autour de lui. Le champ est radial et ne dépend que de $r$ .

Surface de Gauss : un cylindre coaxial de rayon $r$ et de longueur $L$ . Sur les deux disques, $\vec E$ est radial donc parallèle à la surface : flux nul. Sur la paroi latérale, flux $E_r\cdot 2\pi rL$ .

Pour $r<R_1$ , seul le fil est enfermé : $E_r\cdot 2\pi rL=\dfrac{\lambda_0L}{\varepsilon_0}$

\displaystyle E_r=\dfrac{\lambda_0}{2\pi\varepsilon_0r}=\dfrac{-1{,}20\times 10^{-9}}{2\pi\times 8{,}85\times 10^{-12}\times 0{,}0100}=-2{,}16\times 10^{3}\ \mathrm{N/C}

Le signe négatif : le champ pointe vers l'axe, vers le fil négatif.

c)

Pour $R_1<r<R_2$ , la surface de Gauss enferme le fil et la partie de la couronne comprise entre $R_1$ et $r$ :

\displaystyle \lambda_{\text{int}}(r)=\lambda_0+\rho\,\pi(r^{2}-R_1^{2})

\displaystyle E_r=\dfrac{\lambda_0+\rho\,\pi(r^{2}-R_1^{2})}{2\pi\varepsilon_0r}

En $r=0{,}0200$ m : $\lambda_{\text{int}}=-1{,}20\times 10^{-9}+2{,}00\times 10^{-6}\times\pi\times(4{,}00-2{,}25)\times 10^{-4}=-1{,}00\times 10^{-10}\ \mathrm{C/m}$

\displaystyle E_r=\dfrac{-1{,}00\times 10^{-10}}{2\pi\times 8{,}85\times 10^{-12}\times 0{,}0200}=-90{,}3\ \mathrm{N/C}

La charge positive de la couronne compense déjà presque tout le fil : le champ est encore dirigé vers l'axe, mais environ vingt-quatre fois plus faible qu'en b).

Piège : écrire $\rho\pi r^{2}$ pour la charge enfermée, comme pour un cylindre plein. On compterait une charge dans le creux, où il n'y en a pas.

d)

Pour $r>R_2$ , la surface enferme tout : $\lambda_{\text{tot}}=\lambda_0+\lambda_{\text{cyl}}=-1{,}20+4{,}24=3{,}04$ nC/m.

\displaystyle E_r=\dfrac{3{,}04\times 10^{-9}}{2\pi\times 8{,}85\times 10^{-12}\times 0{,}0500}=+1{,}09\times 10^{3}\ \mathrm{N/C}

Le champ est dirigé vers l'extérieur : vu de loin, l'ensemble se comporte comme un fil unique de densité $+3{,}04$ nC/m.

e)

Le champ change de signe entre $1{,}00$ cm (négatif) et $5{,}00$ cm (positif) ; il ne s'annule que là où $\lambda_{\text{int}}(r)=0$ , donc dans la couronne.

\displaystyle \lambda_0+\rho\,\pi(r_0^{2}-R_1^{2})=0\ \Rightarrow\ r_0=\sqrt{R_1^{2}+\dfrac{|\lambda_0|}{\pi\rho}}

\displaystyle r_0=\sqrt{2{,}25\times 10^{-4}+\dfrac{1{,}20\times 10^{-9}}{\pi\times 2{,}00\times 10^{-6}}}=\sqrt{4{,}16\times 10^{-4}}=2{,}04\times 10^{-2}\ \mathrm{m}

Vérification : $1{,}50<2{,}04<3{,}00$ cm, la valeur est bien dans la couronne, et proche de $2{,}00$ cm où le champ n'était que de $-90{,}3$ N/C.

La composante radiale est négative dans le creux, s'annule en

r_0=2{,}04

cm dans la couronne, puis décroît en

1/r

au-dehors.

Exercice 5 : La plaque épaisse chargée en volume, puis la nappe qui l'équilibre

8 réponses vérifiables

Une plaque isolante très étendue, d'épaisseur $2d=4{,}00$ cm, occupe la région $-d\le x\le d$ et porte une charge volumique uniforme $\rho=+4{,}50\ \mu\mathrm{C/m^{3}}$ . Ses autres dimensions sont grandes devant $d$ : on la traite comme infinie. Les points M et N sont en $x=1{,}20$ cm et $x=-1{,}00$ cm. La nappe de la figure n'intervient qu'à partir de la question d).

a) À l'aide de la symétrie de la plaque, montrez que $\vec E$ est parallèle à l'axe $x$ et que $E_x(-x)=-E_x(x)$ . Que vaut le champ dans le plan médian $x=0$ ?
b) À l'aide d'une boîte de Gauss symétrique par rapport au plan médian, établissez $E_x$ à l'intérieur de la plaque, puis calculez-le au point M.
c) Établissez le champ à l'extérieur de la plaque et calculez-le. Dépend-il de la distance à la plaque ?
d) On ajoute une nappe chargée infinie, parallèle à la plaque, en $x=5{,}00$ cm. Déterminez sa densité surfacique $\sigma$ pour que le champ soit nul pour $x>5{,}00$ cm, puis calculez le champ entre la plaque et la nappe.
e) En présence de la nappe, calculez $E_x$ au point N, puis le champ pour $x<-d$ .

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/8

a)

Champ dans le plan médian

b)

E_x

en M kN/C

c)

E

hors de la plaque kN/C

Dépend-il de la distance ?

d)

\sigma

μC/m²

Champ entre plaque et nappe kN/C

e)

E_x

en N kN/C

E_x

pour

x<-d

N/C

Voir la correction

Réponses

a) $\vec E=E_x\,\vec i$ , impair en $x$ : $E_x(0)=0$
b) $E_x=\frac{\rho x}{\varepsilon_0}=6{,}10\times 10^{3}$ N/C en M
c) $E=\frac{\rho d}{\varepsilon_0}=1{,}02\times 10^{4}$ N/C, indépendant de la distance
d) $\sigma=-2\rho d=-0{,}180\ \mu\mathrm{C/m^{2}}$ ; $E=\frac{2\rho d}{\varepsilon_0}=2{,}03\times 10^{4}$ N/C entre les deux
e) $E_x=+5{,}08\times 10^{3}$ N/C en N ; $E=0$ pour $x<-d$

a)

La plaque est invariante par toute translation parallèle à son plan : le champ ne dépend que de $x$ , et il ne peut avoir de composante parallèle au plan, aucune direction n'y étant privilégiée. Donc $\vec E=E_x(x)\,\vec i$ .

Le plan médian $x=0$ est un plan de symétrie de la charge : le champ en $-x$ est le symétrique du champ en $x$ , d'où $E_x(-x)=-E_x(x)$ .

En $x=0$ : $E_x(0)=-E_x(0)$ , donc $E_x(0)=0$ .

b)

Boîte de Gauss : un cylindre d'axe $x$ , de section $A$ , avec une face en $-x$ et l'autre en $+x$ (figure du corrigé, $S_1$ ).

La paroi latérale ne contribue pas ( $\vec E$ lui est parallèle). Par a), le champ sort par les DEUX faces avec le même module : flux $2E_xA$ .

Charge enfermée : le volume $2xA$ de plaque, $Q_{\text{int}}=\rho\cdot 2xA$ .

\displaystyle 2E_xA=\dfrac{2\rho xA}{\varepsilon_0}\ \Rightarrow\ E_x=\dfrac{\rho x}{\varepsilon_0}

\displaystyle E_x(\mathrm{M})=\dfrac{4{,}50\times 10^{-6}\times 0{,}0120}{8{,}85\times 10^{-12}}=6{,}10\times 10^{3}\ \mathrm{N/C}

Piège : prendre une boîte de $0$ à $x$ en comptant une seule face. Elle marche aussi, mais seulement si l'on écrit $E_x(0)=0$ sur la face médiane ; la boîte symétrique évite l'oubli.

c)

Pour $|x|>d$ , la boîte symétrique ( $S_2$ ) enferme toute l'épaisseur : $Q_{\text{int}}=\rho\cdot 2dA$ .

\displaystyle 2EA=\dfrac{2\rho dA}{\varepsilon_0}\ \Rightarrow\ E=\dfrac{\rho d}{\varepsilon_0}=\dfrac{4{,}50\times 10^{-6}\times 0{,}0200}{8{,}85\times 10^{-12}}=1{,}02\times 10^{4}\ \mathrm{N/C}

Le résultat ne contient pas $x$ : dans le modèle de la plaque infinie, le champ extérieur est uniforme, comme celui d'une nappe de densité $\sigma_{\text{éq}}=2\rho d$ . Pour une plaque réelle, cela vaut tant que la distance reste petite devant ses dimensions.

d)

Une nappe de densité $\sigma$ crée $\dfrac{|\sigma|}{2\varepsilon_0}$ de chaque côté, dirigé vers elle si $\sigma<0$ .

Pour $x>5{,}00$ cm, la plaque donne $+\dfrac{\rho d}{\varepsilon_0}$ ; la nappe doit donner $-\dfrac{\rho d}{\varepsilon_0}$ , donc pointer vers elle-même : $\sigma<0$ et $\dfrac{|\sigma|}{2\varepsilon_0}=\dfrac{\rho d}{\varepsilon_0}$ .

\displaystyle \sigma=-2\rho d=-2\times 4{,}50\times 10^{-6}\times 0{,}0200=-1{,}80\times 10^{-7}\ \mathrm{C/m^{2}}=-0{,}180\ \mu\mathrm{C/m^{2}}

Entre la plaque et la nappe, les deux champs pointent vers $+x$ :

\displaystyle E=\dfrac{\rho d}{\varepsilon_0}+\dfrac{|\sigma|}{2\varepsilon_0}=\dfrac{2\rho d}{\varepsilon_0}=2{,}03\times 10^{4}\ \mathrm{N/C}

La charge de la nappe est exactement l'opposée de celle de la plaque, par unité d'aire : l'ensemble est neutre, comme les armatures d'un condensateur.

e)

En N, $x=-0{,}0100$ m, on superpose les deux champs, chacun avec son signe :

\displaystyle E_x=\dfrac{\rho x}{\varepsilon_0}+\dfrac{|\sigma|}{2\varepsilon_0}=\dfrac{4{,}50\times 10^{-6}\times(-0{,}0100)}{8{,}85\times 10^{-12}}+1{,}02\times 10^{4}=-5{,}08\times 10^{3}+1{,}02\times 10^{4}=+5{,}08\times 10^{3}\ \mathrm{N/C}

Pour $x<-d$ : la plaque donne $-\dfrac{\rho d}{\varepsilon_0}$ , la nappe $+\dfrac{\rho d}{\varepsilon_0}$ (elle attire vers elle, donc vers $+x$ ) : $E=0$ .

Le champ est confiné entre $-d$ et la nappe (graphe du corrigé). Piège : appliquer $\frac{\rho x}{\varepsilon_0}$ sans le champ de la nappe, qui règne aussi DANS la plaque.

Les deux boîtes de Gauss symétriques :

S_1

dans la plaque enferme

\rho\cdot 2xA

,

S_2

toute l'épaisseur,

\rho\cdot 2dA

. Le champ sort par les deux faces.

En pointillé, la plaque seule :

E_x

linéaire dedans, uniforme dehors. En orange, avec la nappe : champ nul hors de la région

-d<x<5{,}00

cm.

Exercice 6 : Un plan chargé et un fil parallèle : le champ total en composantes

11 réponses vérifiables

Un plan isolant infini, confondu avec le plan $x=0$ , porte la densité surfacique uniforme $\sigma=+12{,}0\ \mu\mathrm{C/m^{2}}$ . Un fil rectiligne infini, parallèle à l'axe $z$ , passe par le point A $(0{,}400\ ;\ 0{,}300)$ m et porte la densité linéique $\lambda=-5{,}00\ \mu\mathrm{C/m}$ . La figure représente le plan $xy$ : le plan chargé y est vu par la tranche, le fil de bout. On étudie le champ au point P $(0{,}700\ ;\ 0{,}700)$ m. On donne $e=1{,}60\times 10^{-19}$ C.

a) Par le théorème de Gauss, établissez le champ créé par le plan seul, puis donnez-le en P en composantes.
b) Par le théorème de Gauss, établissez le champ créé par le fil seul à la distance $r$ du fil. Calculez son module en P, puis écrivez-le en composantes.
c) Donnez le champ total en P en composantes, puis son module et l'angle qu'il fait avec l'axe $x$ .
d) Sur la droite $y=0{,}300$ m, il existe un seul point Z où le champ total est nul. Justifiez de quel côté du fil il se trouve, puis calculez son abscisse.
e) Un électron est placé en P. Calculez la force électrique qu'il subit, en composantes.

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/11

a)

E_{\text{plan},x}

(en

10^{5}

N/C)

b)

Module

E_{\text{fil}}

(en

10^{5}

N/C)

E_{\text{fil},x}

(en

10^{5}

N/C)

E_{\text{fil},y}

(en

10^{5}

N/C)

c)

E_x

(en

10^{5}

N/C)

E_y

(en

10^{5}

N/C)

|\vec E|

(en

10^{5}

N/C)

Angle avec l'axe x °

d)

x_{\mathrm{Z}}

m

e)

F_x

(en

10^{-14}

N)

F_y

(en

10^{-14}

N)

Voir la correction

Réponses

a) $\vec E_{\text{plan}}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\vec i=6{,}78\times 10^{5}\,\vec i$ N/C
b) $E_{\text{fil}}=\frac{|\lambda|}{2\pi\varepsilon_0r}=1{,}80\times 10^{5}$ N/C ; $\vec E_{\text{fil}}=(-1{,}08\,\vec i-1{,}44\,\vec j)\times 10^{5}$ N/C
c) $\vec E=(5{,}70\,\vec i-1{,}44\,\vec j)\times 10^{5}$ N/C ; $5{,}88\times 10^{5}$ N/C à $-14{,}2°$ de l'axe $x$
d) $x_{\mathrm{Z}}=0{,}533$ m, au-delà du fil
e) $\vec F=(-9{,}12\,\vec i+2{,}30\,\vec j)\times 10^{-14}$ N

a)

Symétrie plane : le champ est perpendiculaire au plan, de même module de part et d'autre, dirigé vers l'extérieur puisque $\sigma>0$ .

Boîte de Gauss : un cylindre de section $A$ qui traverse le plan. Paroi latérale : flux nul. Deux faces : flux $2EA$ . Charge enfermée : $\sigma A$ .

\displaystyle 2EA=\dfrac{\sigma A}{\varepsilon_0}\ \Rightarrow\ E_{\text{plan}}=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}=\dfrac{12{,}0\times 10^{-6}}{2\times 8{,}85\times 10^{-12}}=6{,}78\times 10^{5}\ \mathrm{N/C}

P est du côté $x>0$ : $\vec E_{\text{plan}}=6{,}78\times 10^{5}\,\vec i$ N/C, la même valeur en tout point de ce côté.

b)

Symétrie cylindrique autour du fil : champ radial, module fonction de $r$ seul. Cylindre de Gauss coaxial de rayon $r$ , de longueur $L$ : $E\cdot 2\pi rL=\dfrac{|\lambda|L}{\varepsilon_0}$ .

\displaystyle E_{\text{fil}}=\dfrac{|\lambda|}{2\pi\varepsilon_0r}

$\vec{\mathrm{AP}}=(0{,}300\ ;\ 0{,}400)$ m, donc $r=\sqrt{0{,}300^{2}+0{,}400^{2}}=0{,}500$ m.

\displaystyle E_{\text{fil}}=\dfrac{5{,}00\times 10^{-6}}{2\pi\times 8{,}85\times 10^{-12}\times 0{,}500}=1{,}80\times 10^{5}\ \mathrm{N/C}

$\lambda<0$ : le champ pointe de P vers le fil, selon le vecteur unitaire $-\dfrac{\vec{\mathrm{AP}}}{r}=-(0{,}600\,\vec i+0{,}800\,\vec j)$ .

\displaystyle \vec E_{\text{fil}}=1{,}80\times 10^{5}\times(-0{,}600\,\vec i-0{,}800\,\vec j)=(-1{,}08\,\vec i-1{,}44\,\vec j)\times 10^{5}\ \mathrm{N/C}

c)

Le principe de superposition s'applique aux champs, composante par composante :

$E_x=6{,}78-1{,}08=5{,}70\times 10^{5}\ \mathrm{N/C}$ et $E_y=-1{,}44\times 10^{5}\ \mathrm{N/C}$

\displaystyle |\vec E|=\sqrt{5{,}70^{2}+1{,}44^{2}}\times 10^{5}=5{,}88\times 10^{5}\ \mathrm{N/C}

$\theta=\arctan\dfrac{-1{,}44}{5{,}70}=-14{,}2°$ , sous l'axe $x$ (figure du corrigé).

Piège : additionner les modules, $6{,}78+1{,}80=8{,}58\times 10^{5}$ N/C. Deux champs non colinéaires s'additionnent en composantes, jamais en modules.

d)

Sur la droite $y=0{,}300$ m, le champ du fil est horizontal et pointe vers A ; celui du plan vaut $+\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\vec i$ pour $x>0$ .

Entre le plan et le fil ( $0<x<0{,}400$ m), le champ du fil pointe vers $+x$ , comme celui du plan : ils s'ajoutent.

Pour $x<0$ , le plan donne $-\vec i$ et le fil $+\vec i$ ; l'égalité des modules demanderait $0{,}400-x=0{,}133$ m, soit $x>0$ : impossible.

Au-delà du fil ( $x>0{,}400$ m), le fil donne $-\vec i$ : $\dfrac{|\lambda|}{2\pi\varepsilon_0(x-0{,}400)}=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$

\displaystyle x-0{,}400=\dfrac{|\lambda|}{\pi\sigma}=\dfrac{5{,}00\times 10^{-6}}{\pi\times 12{,}0\times 10^{-6}}=0{,}133\ \mathrm{m}\ \Rightarrow\ x_{\mathrm{Z}}=0{,}533\ \mathrm{m}

e)

$\vec F=q\vec E=-e\vec E$ :

\displaystyle F_x=-1{,}60\times 10^{-19}\times 5{,}70\times 10^{5}=-9{,}12\times 10^{-14}\ \mathrm{N}

\displaystyle F_y=-1{,}60\times 10^{-19}\times(-1{,}44\times 10^{5})=+2{,}30\times 10^{-14}\ \mathrm{N}

La force est opposée au champ : elle pointe vers le plan positif et vers le haut. La répulsion du fil négatif, seule, écarterait l'électron de A ; l'attraction du plan l'emporte, et la force nette a une composante dirigée vers le fil. Module : $9{,}41\times 10^{-14}$ N.

En P, le champ du plan (horizontal) et celui du fil (vers A, en pointillé) donnent le champ total en noir, à

-14{,}2°

. Z est le seul point de la droite

y=0{,}300

m où

\vec E=\vec 0

.

Exercice 7 : Une boule chargée dans une coquille isolante de charge opposée

7 réponses vérifiables

Une boule isolante de rayon $R_1=3{,}00$ cm porte une charge volumique uniforme $\rho_1=+8{,}00\ \mu\mathrm{C/m^{3}}$ . Elle est entourée d'une coquille sphérique ISOLANTE concentrique, de rayon intérieur $R_2=5{,}00$ cm et de rayon extérieur $R_3=6{,}00$ cm, chargée uniformément dans son volume avec une densité $\rho_2$ négative. Entre les deux, le vide.

a) Calculez la charge $Q_1$ de la boule, puis la densité $\rho_2$ pour laquelle le champ est nul en tout point extérieur à la coquille ( $r>R_3$ ).
b) Établissez l'expression du champ pour $r<R_1$ en fonction de $\rho_1$ , puis calculez-le en $r=2{,}00$ cm.
c) Calculez le champ en $r=4{,}00$ cm.
d) Établissez la charge enfermée par une sphère de rayon $r$ compris entre $R_2$ et $R_3$ , puis calculez le champ en $r=5{,}50$ cm.
e) Tracez l'allure de $E(r)$ de $0$ à $9$ cm. Où le champ est-il maximal, et que vaut ce maximum ?

Voir la correction

Réponses

a) $Q_1=\rho_1\frac{4}{3}\pi R_1^{3}=0{,}905$ nC ; $\rho_2=-\rho_1\frac{R_1^{3}}{R_3^{3}-R_2^{3}}=-2{,}37\ \mu\mathrm{C/m^{3}}$
b) $E=\frac{\rho_1r}{3\varepsilon_0}=6{,}03\times 10^{3}$ N/C
c) $E=\frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0r^{2}}=5{,}08\times 10^{3}$ N/C
d) $Q_{\text{int}}=Q_1\frac{R_3^{3}-r^{3}}{R_3^{3}-R_2^{3}}$ ; $E=1{,}47\times 10^{3}$ N/C
e) Maximum en $r=R_1=3{,}00$ cm : $9{,}04\times 10^{3}$ N/C

a)

\displaystyle Q_1=\rho_1\cdot\dfrac{4}{3}\pi R_1^{3}=8{,}00\times 10^{-6}\times\dfrac{4}{3}\pi\times(0{,}0300)^{3}=9{,}05\times 10^{-10}\ \mathrm{C}=0{,}905\ \mathrm{nC}

Pour $r>R_3$ , Gauss sur une sphère de rayon $r$ : $E\cdot 4\pi r^{2}=\dfrac{Q_{\text{tot}}}{\varepsilon_0}$ . Le champ est nul partout dehors si et seulement si la charge totale est nulle.

\displaystyle Q_1+\rho_2\cdot\dfrac{4}{3}\pi(R_3^{3}-R_2^{3})=0\ \Rightarrow\ \rho_2=-\rho_1\dfrac{R_1^{3}}{R_3^{3}-R_2^{3}}

\displaystyle \rho_2=-8{,}00\times\dfrac{27{,}0}{216-125}=-8{,}00\times\dfrac{27{,}0}{91{,}0}=-2{,}37\ \mu\mathrm{C/m^{3}}

Piège : prendre le volume de la coquille égal à $\frac{4}{3}\pi(R_3-R_2)^{3}$ , qui est le volume d'une petite boule de $1$ cm de rayon, pas celui d'une couche.

b)

Symétrie sphérique, sphère de Gauss de rayon $r<R_1$ : elle enferme $\rho_1\cdot\dfrac{4}{3}\pi r^{3}$ .

\displaystyle E\cdot 4\pi r^{2}=\dfrac{4\pi\rho_1r^{3}}{3\varepsilon_0}\ \Rightarrow\ E=\dfrac{\rho_1r}{3\varepsilon_0}

$E(0{,}0200)=\dfrac{8{,}00\times 10^{-6}\times 0{,}0200}{3\times 8{,}85\times 10^{-12}}=6{,}03\times 10^{3}\ \mathrm{N/C}$ , dirigé vers l'extérieur.

c)

Pour $R_1<r<R_2$ , la sphère enferme toute la boule et rien de la coquille :

\displaystyle E=\dfrac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0r^{2}}=\dfrac{9{,}05\times 10^{-10}}{4\pi\times 8{,}85\times 10^{-12}\times(0{,}0400)^{2}}=5{,}08\times 10^{3}\ \mathrm{N/C}

La coquille négative, entièrement à l'extérieur de la surface, ne change rien au champ en ce point.

d)

Pour $R_2<r<R_3$ , la sphère enferme la boule et la partie de la coquille comprise entre $R_2$ et $r$ :

\displaystyle Q_{\text{int}}=Q_1+\rho_2\cdot\dfrac{4}{3}\pi(r^{3}-R_2^{3})

Avec $\rho_2$ de a), cela s'écrit $Q_{\text{int}}=Q_1\dfrac{R_3^{3}-r^{3}}{R_3^{3}-R_2^{3}}$ : la charge enfermée décroît de $Q_1$ en $R_2$ à $0$ en $R_3$ .

En $r=0{,}0550$ m : $Q_{\text{int}}=0{,}905\times\dfrac{216-166{,}4}{91{,}0}=0{,}493\ \mathrm{nC}$

\displaystyle E=\dfrac{4{,}93\times 10^{-10}}{4\pi\times 8{,}85\times 10^{-12}\times(0{,}0550)^{2}}=1{,}47\times 10^{3}\ \mathrm{N/C}

Piège : prendre toute la charge de la coquille dès qu'on entre dedans. La charge qui compte est celle de la sphère qui passe PAR LE POINT.

e)

$E$ croît linéairement jusqu'à $R_1$ , décroît en $1/r^{2}$ jusqu'à $R_2$ , puis plus vite dans la coquille, où la charge enfermée diminue, et s'annule en $R_3$ ; il reste nul au-delà (graphe du corrigé).

Le maximum est en $r=R_1=3{,}00$ cm : $E_{\max}=\dfrac{\rho_1R_1}{3\varepsilon_0}=\dfrac{8{,}00\times 10^{-6}\times 0{,}0300}{3\times 8{,}85\times 10^{-12}}=9{,}04\times 10^{3}\ \mathrm{N/C}$

Aucune discontinuité : toutes les charges sont VOLUMIQUES. Le champ est continu en $R_1$ , $R_2$ et $R_3$ , seule sa pente change.

Le champ culmine en

R_1

, décroît en

1/r^{2}

dans le vide, chute plus vite dans la coquille négative et s'annule en

R_3

, sans aucun saut.

Exercice 8 : Cinq affirmations à corriger

6 réponses vérifiables

Dites si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant, et corrigez celles qui sont fausses. Deux points chacune.

a) « Quand on double le rayon de la sphère de Gauss centrée sur une charge ponctuelle, le flux est multiplié par quatre, puisque l'aire l'est. »
b) « Une charge $q$ est suspendue au centre de la cavité d'une coquille conductrice. Le champ est nul dans la cavité, puisque le champ est nul à l'intérieur d'un conducteur. »
c) « Pour un fil infini, chacun des deux disques qui ferment le cylindre de Gauss apporte un flux $E\pi r^{2}$ , qu'il faut ajouter à celui de la paroi latérale. »
d) « Une grande plaque uniformément chargée crée un champ de $6{,}40\times 10^{3}$ N/C à $2{,}00$ cm de sa surface ; à $5{,}00$ cm, le champ n'est plus que de $1{,}02\times 10^{3}$ N/C. »
e) « Une charge $-Q$ est placée dans la cavité d'une coquille conductrice NEUTRE, sans la toucher : la surface extérieure de la coquille porte alors $-Q$ . »

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/6

a)

L'affirmation a) est

b)

L'affirmation b) est

c)

L'affirmation c) est

d)

L'affirmation d) est

Champ à

5{,}00

cm kN/C

e)

L'affirmation e) est

Voir la correction

Réponses

a) Faux : le flux reste $\frac{q}{\varepsilon_0}$
b) Faux : $E=0$ dans le métal, mais $E=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^{2}}\neq 0$ dans la cavité
c) Faux : le flux des deux disques est nul, $\vec E$ leur étant parallèle
d) Faux : le champ vaut encore $6{,}40\times 10^{3}$ N/C à $5{,}00$ cm
e) Vrai : $+Q$ sur la face intérieure, $-Q$ sur la face extérieure

a)

Faux. L'aire de la sphère est bien multipliée par quatre, mais le champ d'une charge ponctuelle est divisé par quatre :

$\Phi=E\cdot 4\pi r^{2}=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0r^{2}}\cdot 4\pi r^{2}=\dfrac{q}{\varepsilon_0}$ , indépendant de $r$ .

Correction : « Le flux à travers toute surface fermée qui entoure la charge vaut $\frac{q}{\varepsilon_0}$ , quels que soient sa taille et sa forme. » C'est tout le contenu du théorème de Gauss.

b)

Faux. Le champ est nul dans le MÉTAL de la coquille, à l'équilibre ; la cavité, elle, n'est pas du métal.

Une sphère de Gauss dans la cavité, de rayon $r$ , enferme $q$ : $E=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0r^{2}}\neq 0$ .

Correction : « Le champ est nul dans le métal ; la face intérieure se charge de $-q$ , et le champ dans la cavité n'est pas nul : pour une cavité sphérique centrée sur $q$ , c'est celui de $q$ seule. » Le champ n'est nul dans une cavité que si elle ne contient AUCUNE charge.

c)

Faux. Le champ d'un fil infini est radial : sur les disques, il est parallèle à la surface, perpendiculaire à leur normale, et $\vec E\cdot d\vec A=0$ .

Correction : « Les deux disques ont un flux nul ; seule la paroi latérale compte, $E\cdot 2\pi rL=\frac{\lambda L}{\varepsilon_0}$ . »

Ajouter $2E\pi r^{2}$ fausserait le résultat et ferait apparaître un $r^{2}$ qui n'a rien à faire dans le champ d'un fil.

d)

Faux, dans le modèle de la plaque infinie. Le théorème de Gauss avec une boîte qui traverse la plaque donne $E=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ , indépendant de la distance.

Le champ vaut donc encore $6{,}40\times 10^{3}$ N/C à $5{,}00$ cm. La valeur $1{,}02\times 10^{3}$ N/C vient d'une loi en $\frac{1}{r^{2}}$ : $6{,}40\times 10^{3}\times\left(\dfrac{2{,}00}{5{,}00}\right)^{2}=1{,}02\times 10^{3}$ , qui est celle d'une charge ponctuelle.

Condition du modèle : les distances restent petites devant les dimensions de la plaque, loin de ses bords. Très loin, la plaque redevient une charge quasi ponctuelle et le champ décroît.

e)

Vrai. Une sphère de Gauss dans le métal voit $E=0$ , donc enferme une charge nulle : la face intérieure porte $+Q$ .

La coquille étant neutre, sa face extérieure porte $0-(+Q)=-Q$ .

Vu de l'extérieur, tout se passe comme si la charge $-Q$ était répartie sur la surface extérieure : le conducteur ne cache pas la charge qu'il entoure, il en masque seulement la position.

Exercice 9 : Problème : le compteur Geiger-Müller et son fil d'anode

9 réponses vérifiables

Un compteur Geiger-Müller détecte un rayonnement ionisant : un électron libéré dans le gaz est accéléré vers l'anode et, si le champ est assez intense, ionise d'autres atomes, ce qui déclenche une avalanche. Le tube est formé d'une anode, fil métallique de rayon $a=50{,}0\ \mu\mathrm{m}$ , tendue sur l'axe d'une cathode, cylindre métallique creux de rayon intérieur $b=1{,}20$ cm et de rayon extérieur $c=1{,}30$ cm. Le gaz, à basse pression, se comporte comme le vide pour le champ électrostatique.

En fonctionnement, l'anode porte la densité linéique $\lambda=+5{,}00$ nC/m, et la cathode, au total, $\lambda_{\text{c}}=-3{,}50$ nC/m. Le tube est assez long pour être traité comme infini. On admet qu'une avalanche ne se déclenche que là où le champ atteint au moins $E^{*}=5{,}00\times 10^{5}$ N/C.

Vue en long et coupe du tube ; dans la coupe, le rayon de l'anode est très agrandi.

a) Déterminez les densités linéiques de charge portées par la surface intérieure et par la surface extérieure de la cathode. Justifiez par le théorème de Gauss.
b) Établissez le champ entre l'anode et la cathode, puis calculez-le à la surface de l'anode et en $r=1{,}00$ cm.
c) Déterminez le rayon $r^{*}$ de la zone où l'avalanche peut se déclencher. Expliquez pourquoi l'anode est un fil très fin.
d) Calculez le champ à l'extérieur du tube, en $r=2{,}00$ cm, avec son sens. La charge de la cathode modifie-t-elle le champ entre l'anode et la cathode ?
e) On remplace l'anode par un fil de rayon $0{,}500$ mm portant la même densité linéique. Calculez le champ à sa surface. Le tube peut-il encore déclencher une avalanche ? Justifiez.

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/9

a)

Surface intérieure nC/m

Surface extérieure nC/m

b)

E(a)

(en

10^{6}

N/C)

E(1{,}00\ \mathrm{cm})

kN/C

c)

r^{*}

mm

d)

E(2{,}00\ \mathrm{cm})

kN/C

Le champ entre anode et cathode dépend-il de la charge de la cathode ?

e)

Champ à la surface du gros fil (en

10^{5}

N/C)

Une avalanche est-elle encore possible ?

Voir la correction

Réponses

a) $-5{,}00$ nC/m sur la surface intérieure, $+1{,}50$ nC/m sur l'extérieure
b) $E=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}$ : $1{,}80\times 10^{6}$ N/C en $r=a$ , $8{,}99\times 10^{3}$ N/C en $1{,}00$ cm
c) $r^{*}=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0E^{*}}=0{,}180$ mm : l'avalanche n'a lieu que tout près d'un fil fin
d) $1{,}35\times 10^{3}$ N/C vers l'extérieur ; non, le champ intérieur ne dépend que de $\lambda$
e) $1{,}80\times 10^{5}$ N/C $<E^{*}$ : non, aucune avalanche

a)

À l'équilibre, $E=0$ dans le métal de la cathode. Un cylindre de Gauss coaxial de rayon $b<r<c$ , de longueur $L$ , a donc un flux nul et enferme une charge nulle :

\displaystyle \lambda L+\lambda_{\text{int}}L=0\ \Rightarrow\ \lambda_{\text{int}}=-\lambda=-5{,}00\ \mathrm{nC/m}

La cathode porte $\lambda_{\text{c}}$ au total : $\lambda_{\text{ext}}=\lambda_{\text{c}}-\lambda_{\text{int}}=-3{,}50+5{,}00=+1{,}50\ \mathrm{nC/m}$

La face extérieure est POSITIVE alors que la cathode est globalement négative : la face intérieure a pris plus que toute la charge de la cathode.

b)

Symétrie cylindrique : champ radial, cylindre de Gauss coaxial de rayon $a<r<b$ . Les disques ne contribuent pas, la paroi donne $E\cdot 2\pi rL$ , la charge enfermée est $\lambda L$ .

\displaystyle E=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}

\displaystyle E(a)=\dfrac{5{,}00\times 10^{-9}}{2\pi\times 8{,}85\times 10^{-12}\times 50{,}0\times 10^{-6}}=1{,}80\times 10^{6}\ \mathrm{N/C}

\displaystyle E(1{,}00\ \mathrm{cm})=\dfrac{5{,}00\times 10^{-9}}{2\pi\times 8{,}85\times 10^{-12}\times 0{,}0100}=8{,}99\times 10^{3}\ \mathrm{N/C}

Le rapport des deux vaut $\frac{0{,}0100}{50{,}0\times 10^{-6}}=200$ : le champ en $1/r$ est concentré près du fil.

c)

L'avalanche exige $E\ge E^{*}$ , soit $\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}\ge E^{*}$ :

\displaystyle r^{*}=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0E^{*}}=\dfrac{5{,}00\times 10^{-9}}{2\pi\times 8{,}85\times 10^{-12}\times 5{,}00\times 10^{5}}=1{,}80\times 10^{-4}\ \mathrm{m}=0{,}180\ \mathrm{mm}

La zone active est une gaine de $0{,}18$ mm de rayon autour de l'anode (figure du corrigé). Le champ y dépasse le seuil parce que $r$ est petit. À $\lambda$ donné, ce champ en $\frac{1}{r}$ ne dépend pas du rayon du fil, mais il faut une anode de rayon $a<r^{*}$ pour que cette zone existe hors du métal : c'est pourquoi l'anode est un fil fin (question e).

Partout ailleurs, l'électron dérive vers l'anode sans multiplier les charges, puis l'avalanche se produit au voisinage immédiat du fil.

d)

Pour $r>c$ , le cylindre de Gauss enferme $\lambda+\lambda_{\text{c}}=+1{,}50$ nC/m :

$E=\dfrac{1{,}50\times 10^{-9}}{2\pi\times 8{,}85\times 10^{-12}\times 0{,}0200}=1{,}35\times 10^{3}\ \mathrm{N/C}$ , vers l'extérieur.

Entre l'anode et la cathode, la surface de Gauss n'enferme que l'anode : le champ ne dépend que de $\lambda$ , quelle que soit la charge de la cathode. Celle-ci ne fait que changer la charge de sa face extérieure, et donc le champ AU-DEHORS du tube.

Piège : utiliser $\lambda$ seul à l'extérieur, en oubliant la cathode, ou $\lambda_{\text{c}}$ seul, en oubliant l'anode.

e)

À la surface d'un fil de rayon $0{,}500$ mm :

\displaystyle E=\dfrac{5{,}00\times 10^{-9}}{2\pi\times 8{,}85\times 10^{-12}\times 0{,}500\times 10^{-3}}=1{,}80\times 10^{5}\ \mathrm{N/C}

C'est le maximum du champ dans le tube, et il reste sous $E^{*}=5{,}00\times 10^{5}$ N/C : à densité linéique égale, aucune avalanche.

Un rayon dix fois plus grand divise le champ de surface par dix. Pour retrouver une avalanche, il faudrait que $E(a)$ atteigne $E^{*}$ , soit $\lambda\ge 2\pi\varepsilon_0aE^{*}\approx 13{,}9$ nC/m, près de trois fois plus, donc une tension appliquée plus élevée.

Coupe à l'échelle autour de l'anode : le champ dépasse le seuil seulement dans la gaine jaune, jusqu'à

r^{*}=0{,}180

mm, soit

3{,}6

fois le rayon du fil.

Exercice 10 : Problème : les plaques d'un séparateur électrostatique

12 réponses vérifiables

Dans un séparateur électrostatique de minerai, des grains chargés par frottement tombent entre deux plaques métalliques verticales, parallèles, de même aire $A=1{,}20\ \mathrm{m^{2}}$ , distantes de $8{,}00$ cm. Les grains positifs et négatifs sont déviés en sens opposés et tombent dans des bacs différents. Les plaques sont isolées : la plaque 1 porte $Q_1=+2{,}40\ \mu\mathrm{C}$ et la plaque 2 porte $Q_2=-0{,}600\ \mu\mathrm{C}$ . L'écart est petit devant les dimensions des plaques : on les traite comme infinies et on néglige les effets de bord. On prend $g=9{,}80\ \mathrm{m/s^{2}}$ .

Schéma de principe, sans échelle verticale : le grain part du repos à mi-distance des plaques.

a) Expliquez pourquoi la charge de chaque plaque se répartit sur ses deux faces, puis déterminez la charge de chacune des quatre faces, de gauche à droite.
b) Calculez le champ entre les plaques et donnez son sens.
c) Calculez le champ à l'extérieur des plaques. Est-il nul, comme on l'entend dire pour un condensateur ?
d) Un grain de masse $2{,}00$ mg porte une charge $q=+1{,}00\times 10^{-11}$ C. Calculez la force électrique qu'il subit entre les plaques et donnez son sens.
e) Le grain part du repos à mi-distance des plaques et tombe de $30{,}0$ cm entre elles. Calculez sa déviation horizontale à la sortie. Touche-t-il la plaque 2 ?

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/12

a)

Face extérieure de la plaque 1 μC

Face intérieure de la plaque 1 μC

Face intérieure de la plaque 2 μC

Face extérieure de la plaque 2 μC

b)

E

entre les plaques (en

10^{5}

N/C)

Sens du champ

c)

Champ à l'extérieur kN/C

Le champ extérieur est-il nul ?

d)

Force électrique μN

Sens de la force

e)

Déviation horizontale cm

Le grain touche-t-il la plaque 2 ?

Voir la correction

Réponses

a) $+0{,}900$ ; $+1{,}50$ ; $-1{,}50$ ; $+0{,}900\ \mu\mathrm{C}$
b) $E=\frac{\sigma_{\text{int}}}{\varepsilon_0}=1{,}41\times 10^{5}$ N/C, de la plaque 1 vers la plaque 2
c) $E=\frac{\sigma_{\text{ext}}}{\varepsilon_0}=8{,}47\times 10^{4}$ N/C de chaque côté : non nul
d) $F=qE=1{,}41\ \mu\mathrm{N}$ , vers la plaque 2
e) $2{,}16$ cm vers la plaque 2, qui est à $4{,}00$ cm : il ne la touche pas

a)

Dans chaque plaque, le champ est nul à l'équilibre. Les charges se placent en surface, et elles doivent se répartir entre les deux faces de façon que les champs de TOUTES les faces s'annulent dans le métal.

On note $q_1$ , $q_2$ , $q_3$ , $q_4$ les charges des faces, de gauche à droite : $q_1+q_2=Q_1$ et $q_3+q_4=Q_2$ .

Boîte de Gauss dont une face est dans le métal de la plaque 1 et l'autre dans le métal de la plaque 2 : $E=0$ sur ces faces, paroi latérale parallèle au champ, flux nul. Donc $q_2+q_3=0$ .

Dans le métal de la plaque 1, les quatre nappes doivent donner un champ nul ; la face 1 est à gauche du point, les trois autres à droite : $q_1-q_2-q_3-q_4=0$ , d'où $q_1=q_4$ .

\displaystyle q_1=q_4=\dfrac{Q_1+Q_2}{2}=\dfrac{2{,}40-0{,}600}{2}=+0{,}900\ \mu\mathrm{C}

$q_2=Q_1-q_1=+1{,}50\ \mu\mathrm{C}$ et $q_3=-q_2=-1{,}50\ \mu\mathrm{C}$

Piège : mettre toute la charge sur les faces en regard, « comme dans un condensateur ». Ce n'est vrai que pour des charges opposées.

b)

Juste à l'extérieur de la surface d'un conducteur, $E=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}$ ; entre les plaques, c'est la densité des faces en regard qui compte.

\displaystyle \sigma_{\text{int}}=\dfrac{1{,}50\times 10^{-6}}{1{,}20}=1{,}25\times 10^{-6}\ \mathrm{C/m^{2}}

$E=\dfrac{1{,}25\times 10^{-6}}{8{,}85\times 10^{-12}}=1{,}41\times 10^{5}\ \mathrm{N/C}$ , de la face positive vers la face négative, donc de la plaque 1 vers la plaque 2.

Même résultat par superposition des quatre nappes : $\dfrac{q_1+q_2-q_3-q_4}{2A\varepsilon_0}=\dfrac{Q_1-Q_2}{2A\varepsilon_0}$ .

c)

À l'extérieur, la face en regard est une face extérieure, de densité $\sigma_{\text{ext}}=\dfrac{0{,}900\times 10^{-6}}{1{,}20}=7{,}50\times 10^{-7}\ \mathrm{C/m^{2}}$ :

$E=\dfrac{7{,}50\times 10^{-7}}{8{,}85\times 10^{-12}}=8{,}47\times 10^{4}\ \mathrm{N/C}$ , dirigé vers l'extérieur de part et d'autre.

Il n'est pas nul : le champ extérieur ne s'annule que pour deux plaques de charges OPPOSÉES. Ici l'ensemble porte $+1{,}80\ \mu\mathrm{C}$ , et cette charge nette se loge sur les deux faces extérieures.

d)

\displaystyle F=qE=1{,}00\times 10^{-11}\times 1{,}41\times 10^{5}=1{,}41\times 10^{-6}\ \mathrm{N}=1{,}41\ \mu\mathrm{N}

$q>0$ : la force a le sens du champ, vers la plaque 2.

Le poids vaut $2{,}00\times 10^{-6}\times 9{,}80=1{,}96\times 10^{-5}$ N : quatorze fois la force électrique. Le grain tombe presque verticalement, en dérivant doucement.

e)

Verticalement, chute libre depuis le repos : $t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}=\sqrt{\dfrac{2\times 0{,}300}{9{,}80}}=0{,}247\ \mathrm{s}$

Horizontalement, accélération constante $a_x=\dfrac{F}{m}=\dfrac{1{,}41\times 10^{-6}}{2{,}00\times 10^{-6}}=0{,}706\ \mathrm{m/s^{2}}$ :

\displaystyle \Delta x=\dfrac{1}{2}a_xt^{2}=\dfrac{1}{2}\times 0{,}706\times(0{,}247)^{2}=2{,}16\times 10^{-2}\ \mathrm{m}=2{,}16\ \mathrm{cm}

Le grain part à $4{,}00$ cm de chaque plaque : il ne touche pas la plaque 2. Un grain négatif de même charge dévierait de $2{,}16$ cm de l'autre côté : les deux sortent séparés de $4{,}32$ cm, ce qui fait le tri.

Les charges se répartissent

+0{,}900

,

+1{,}50

,

-1{,}50

,

+0{,}900\ \mu\mathrm{C}

: champ de

1{,}41\times 10^{5}

N/C entre les plaques, et

8{,}47\times 10^{4}

N/C dehors, de chaque côté.

Le théorème de Gauss : exercices corrigés de PHS0102 (Polytechnique)

Rappel de cours

Partie A : les bases (/50)

Exercice 1 : Le flux : surfaces ouvertes, surface fermée et champ non uniforme

Exercice 2 : La cellule chargée d'un nuage : une densité qui décroît vers le bord

Exercice 3 : Une boule isolante dans une coquille conductrice : quatre régions

Exercice 4 : Un cylindre creux chargé en volume et un fil sur son axe

Exercice 5 : La plaque épaisse chargée en volume, puis la nappe qui l'équilibre

Partie B : problèmes de contrôle (/50)

Exercice 6 : Un plan chargé et un fil parallèle : le champ total en composantes

Exercice 7 : Une boule chargée dans une coquille isolante de charge opposée

Exercice 8 : Cinq affirmations à corriger

Exercice 9 : Problème : le compteur Geiger-Müller et son fil d'anode

Exercice 10 : Problème : les plaques d'un séparateur électrostatique

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