Condensateurs et diélectriques : exercices corrigés de PHS0102 (Polytechnique)

Symétrie sphérique : $\vec E$ est radial et son module ne dépend que de $r$. Surface de Gauss : une sphère de rayon $r$ centrée en O (cyan sur la figure du corrigé).

Flux : $\oint\vec E\cdot d\vec A=E(r)\,4\pi r^{2}=\dfrac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}$.

$r<a$ : on est dans la matière du conducteur, à l'équilibre électrostatique : la charge $+Q$ est en surface, $Q_{\text{int}}=0$ et $E=0$.

$a<r<b$ : $Q_{\text{int}}=+Q$, donc $E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}=\dfrac{kQ}{r^{2}}$, dirigé vers l'extérieur.

$r>b$ : $Q_{\text{int}}=+Q-Q=0$, donc $E=0$ : le condensateur ne crée aucun champ au dehors.

Piège : traiter le champ comme uniforme entre les armatures, comme dans un condensateur plan. Il varie en $1/r^{2}$ : $4{,}50\times 10^{4}\ \mathrm{V/m}$ contre la sphère, $2{,}00\times 10^{4}\ \mathrm{V/m}$ contre la coquille.

On intègre le long d'un rayon, de la coquille ($r=b$) vers la sphère ($r=a$) :

Le signe se contrôle : $V_{a}>V_{b}$, puisque le champ va de la sphère vers la coquille et que le potentiel décroît le long d'une ligne de champ.

La charge $Q$ s'est simplifiée : une capacité ne dépend que de la géométrie et du milieu. C'est le contrôle de toute démonstration de capacité : si $Q$ ou $\Delta V$ reste dans le résultat, il y a une erreur.

Vérification : $\dfrac{Q}{C}=\dfrac{2{,}00\times 10^{-9}}{6{,}67\times 10^{-12}}=300\ \mathrm{V}$, la tension de b).

$\dfrac{ab}{b-a}=\dfrac{a}{1-a/b}\longrightarrow a$ quand $b\to\infty$, donc $C_{\infty}=\dfrac{a}{k}=4\pi\varepsilon_{0}a$.

Une sphère seule a donc une capacité : sa seconde armature est rejetée à l'infini. Ramener la coquille à $3{,}00\ \mathrm{cm}$ multiplie la capacité par $\dfrac{b}{b-a}=3$ : plus les armatures sont proches, plus il faut de charge pour la même tension.

Par la formule du condensateur : $U=\dfrac{Q^{2}}{2C}=\dfrac{(2{,}00\times 10^{-9})^{2}}{2\times 6{,}67\times 10^{-12}}=3{,}00\times 10^{-7}\ \mathrm{J}=0{,}300\ \mu\mathrm{J}$

Par le champ : une coquille de rayon $r$ et d'épaisseur $dr$ a le volume $4\pi r^{2}\,dr$ et contient l'énergie $dU=\frac{1}{2}\varepsilon_{0}E^{2}\,4\pi r^{2}\,dr$.

Les deux calculs concordent : l'énergie du condensateur est logée dans le champ, entre les armatures, et nulle part ailleurs puisque $E=0$ hors de $a<r<b$.

Une nappe plane infinie de densité $\sigma$ crée de part et d'autre le champ $\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}$, dirigé en s'éloignant de la nappe si $\sigma>0$.

À l'extérieur, les champs des deux nappes sont opposés : $\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}-\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}=0$. Entre elles, ils s'ajoutent, de la nappe $+$ vers la nappe $-$.

Gauss : cylindre de base $A_{b}$ dont une base est au-dessus de l'armature $+$ (où $E=0$) et l'autre entre les armatures ; la surface latérale est parallèle à $\vec E$ et ne reçoit aucun flux.

$\oint\vec E\cdot d\vec A=E\,A_{b}=\dfrac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}=\dfrac{\sigma A_{b}}{\varepsilon_{0}}$, donc $E=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_{0}}$, uniforme.

Piège : écrire $E=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}$ entre les armatures. C'est le champ d'UNE nappe ; le condensateur en a deux, et le facteur 2 coûte toute la suite (capacité divisée par deux).

Le champ est uniforme : $\Delta V=V_{+}-V_{-}=E\,d=\dfrac{\sigma d}{\varepsilon_{0}}=\dfrac{Q\,d}{\varepsilon_{0}A}$.

Les unités se convertissent AVANT : $4{,}00\ \mathrm{cm^{2}}=4{,}00\times 10^{-4}\ \mathrm{m^{2}}$ et $0{,}100\ \mathrm{mm}=1{,}00\times 10^{-4}\ \mathrm{m}$.

Avec le diélectrique, $E=\dfrac{\sigma}{\kappa\varepsilon_{0}}$, donc $\Delta V=\dfrac{\sigma d}{\kappa\varepsilon_{0}}$ et $\dfrac{C}{A}=\dfrac{\sigma}{\Delta V}=\dfrac{\kappa\varepsilon_{0}}{d}$.

Conversion : $1\ \mathrm{m^{2}}=10^{4}\ \mathrm{cm^{2}}$, donc $9{,}44\times 10^{-3}\ \mathrm{F/m^{2}}=9{,}44\times 10^{-7}\ \mathrm{F/cm^{2}}=0{,}944\ \mu\mathrm{F/cm^{2}}$.

C'est l'ordre de grandeur mesuré sur les cellules, environ $1\ \mu\mathrm{F/cm^{2}}$ : une épaisseur de quelques nanomètres donne une capacité surfacique énorme.

Sur $1\ \mu\mathrm{m^{2}}=10^{-12}\ \mathrm{m^{2}}$ : $N=\dfrac{\sigma\times 10^{-12}}{e}=\dfrac{6{,}61\times 10^{-16}}{1{,}60\times 10^{-19}}=4{,}13\times 10^{3}$ ions.

Le champ dépasse de loin la rigidité de l'air ($3\times 10^{6}\ \mathrm{V/m}$) sans claquage : la bicouche n'est pas de l'air, et sur $7{,}5\ \mathrm{nm}$ la tension reste de $70\ \mathrm{mV}$.

Piège : calculer $\sigma=\varepsilon_{0}E$ en oubliant $\kappa$ ; on trouverait $8{,}26\times 10^{-5}\ \mathrm{C/m^{2}}$, huit fois trop peu. Dans un diélectrique, $\sigma_{\text{libre}}=\kappa\varepsilon_{0}E$.

Par la capacité : $\dfrac{U}{A}=\dfrac{1}{2}\,\dfrac{C}{A}\,\Delta V^{2}=\dfrac{1}{2}\times 9{,}44\times 10^{-3}\times(0{,}0700)^{2}=2{,}31\times 10^{-5}\ \mathrm{J/m^{2}}$

Par le champ : $u_{E}=\dfrac{1}{2}\kappa\varepsilon_{0}E^{2}=\dfrac{1}{2}\times 8{,}00\times 8{,}85\times 10^{-12}\times(9{,}33\times 10^{6})^{2}=3{,}08\times 10^{3}\ \mathrm{J/m^{3}}$

$\dfrac{U}{A}=u_{E}\,d=3{,}08\times 10^{3}\times 7{,}50\times 10^{-9}=2{,}31\times 10^{-5}\ \mathrm{J/m^{2}}$, soit $23{,}1\ \mu\mathrm{J/m^{2}}$.

Les deux voies donnent le même nombre, à condition de garder le $\kappa$ dans la densité d'énergie d'un diélectrique.

$C_{3}$ et $C_{4}$ sont dans la même branche, sans nœud entre eux qui mène ailleurs : ils sont en SÉRIE. Cette branche est entre A et B, comme $C_{2}$ : elles sont en PARALLÈLE. Le bloc est en SÉRIE avec $C_{1}$.

Piège : appliquer les règles des résistances. Pour des condensateurs, le PARALLÈLE additionne les capacités (on élargit les armatures) et la SÉRIE additionne les inverses (on empile les épaisseurs).

$C_{1}$ est en série avec tout le reste : il porte la charge entière, $U_{1}=\dfrac{Q}{C_{1}}=\dfrac{40{,}0}{4{,}00}=10{,}0\ \mathrm{V}$.

$U_{AB}=\dfrac{Q}{C_{AB}}=\dfrac{40{,}0}{5{,}00}=8{,}00\ \mathrm{V}$, et la maille se vérifie : $10{,}0+8{,}00=18{,}0\ \mathrm{V}$.

Ce qui est COMMUN en série, c'est la charge : l'armature droite de $C_{1}$ et les armatures du haut du bloc forment un conducteur isolé, neutre au départ, qui reste neutre.

$C_{2}$ voit $U_{AB}$ : $Q_{2}=C_{2}U_{AB}=3{,}00\times 8{,}00=24{,}0\ \mu\mathrm{C}$.

La branche $C_{3}C_{4}$ voit aussi $U_{AB}$ : $Q_{3}=Q_{4}=C_{34}U_{AB}=2{,}00\times 8{,}00=16{,}0\ \mu\mathrm{C}$.

$U_{3}=\dfrac{16{,}0}{6{,}00}=2{,}67\ \mathrm{V}$ et $U_{4}=\dfrac{16{,}0}{3{,}00}=5{,}33\ \mathrm{V}$

Contrôles : $Q_{2}+Q_{3}=24{,}0+16{,}0=40{,}0\ \mu\mathrm{C}=Q$, et $U_{3}+U_{4}=8{,}00\ \mathrm{V}=U_{AB}$.

À charge égale, $U=\dfrac{Q}{C}$ : dans une série, le PLUS PETIT condensateur prend la plus grande tension ($C_{4}$ ici).

Un par un, avec $\frac{1}{2}QU$ en microjoules : $C_{1}$ : $\frac{1}{2}\times 40{,}0\times 10{,}0=200$ ; $C_{2}$ : $\frac{1}{2}\times 24{,}0\times 8{,}00=96{,}0$ ; $C_{3}$ : $\frac{1}{2}\times 16{,}0\times 2{,}67=21{,}3$ ; $C_{4}$ : $\frac{1}{2}\times 16{,}0\times 5{,}33=42{,}7$.

Somme : $200+96{,}0+21{,}3+42{,}7=360\ \mu\mathrm{J}$. L'énergie d'un réseau est la somme des énergies de ses éléments.

Les tensions sont proportionnelles à $U$ : $U_{1}=\dfrac{10{,}0}{18{,}0}U$, $U_{2}=\dfrac{8{,}00}{18{,}0}U$, $U_{4}=\dfrac{5{,}33}{18{,}0}U$, $U_{3}=\dfrac{2{,}67}{18{,}0}U$.

La plus grande fraction est celle de $C_{1}$ : $U_{1}=15{,}0\ \mathrm{V}$ quand $U=15{,}0\times\dfrac{18{,}0}{10{,}0}=27{,}0\ \mathrm{V}$.

À $27{,}0\ \mathrm{V}$, les autres sont sous le seuil : $U_{2}=12{,}0\ \mathrm{V}$, $U_{4}=8{,}00\ \mathrm{V}$, $U_{3}=4{,}00\ \mathrm{V}$.

Piège : répondre $4\times 15{,}0=60{,}0\ \mathrm{V}$, comme si chaque condensateur prenait sa part maximale en même temps. C'est le condensateur le plus chargé en TENSION qui fixe la limite, et $C_{1}$, seul en série avec tout le réseau, porte toute la charge.

$E_{0}=\dfrac{\Delta V}{d}=\dfrac{200}{1{,}50\times 10^{-3}}=1{,}33\times 10^{5}\ \mathrm{V/m}$ et $U_{0}=\dfrac{1}{2}C_{0}\Delta V^{2}=1{,}42\times 10^{-6}\ \mathrm{J}=1{,}42\ \mu\mathrm{J}$

Avant toute formule, on nomme ce qui est IMPOSÉ : dans (1), la pile impose $\Delta V=200\ \mathrm{V}$ ; dans (2), les armatures isolées gardent $Q_{0}$. Dans les deux, $C=\kappa C_{0}=354\ \mathrm{pF}$.

$\Delta V$ reste $200\ \mathrm{V}$ : $Q_{1}=\kappa C_{0}\,\Delta V=5{,}00\times 14{,}16\ \mathrm{nC}=70{,}8\ \mathrm{nC}$.

$E_{1}=\dfrac{\Delta V}{d}=1{,}33\times 10^{5}\ \mathrm{V/m}$, INCHANGÉ : la pile a fourni la charge qui compense exactement la charge liée.

Piège : diviser le champ par $\kappa$ par réflexe. $E=E_{0}/\kappa$ n'est vrai qu'à charge libre constante ; ici c'est la tension qui est constante, et sur la même épaisseur, $E=\Delta V/d$ ne change pas.

$Q_{0}$ reste $14{,}2\ \mathrm{nC}$ : $\Delta V_{2}=\dfrac{Q_{0}}{\kappa C_{0}}=\dfrac{200}{5{,}00}=40{,}0\ \mathrm{V}$.

Même plaque, même capacité finale, et pourtant l'énergie est multipliée par 5 dans (1) et divisée par 5 dans (2) : tout dépend de ce qui est conservé.

Cas (1) : $\sigma_{\text{libre}}=\dfrac{Q_{1}}{A}=\dfrac{7{,}08\times 10^{-8}}{0{,}0120}=5{,}90\times 10^{-6}\ \mathrm{C/m^{2}}$, donc $\sigma_{\text{liée}}=5{,}90\times 10^{-6}\times 0{,}800=4{,}72\ \mu\mathrm{C/m^{2}}$.

Cas (2) : $\sigma_{\text{libre}}=\dfrac{Q_{0}}{A}=1{,}18\times 10^{-6}\ \mathrm{C/m^{2}}$, donc $\sigma_{\text{liée}}=1{,}18\times 10^{-6}\times 0{,}800=0{,}944\ \mu\mathrm{C/m^{2}}$.

La charge liée est de signe opposé à l'armature qu'elle touche : sous l'armature $+$, la face du verre porte $-\sigma_{\text{liée}}$. Elle réduit le champ dans le verre à $\dfrac{\sigma_{\text{libre}}-\sigma_{\text{liée}}}{\varepsilon_{0}}=\dfrac{\sigma_{\text{libre}}}{\kappa\varepsilon_{0}}$.

Contrôle du cas (2) : $\dfrac{1{,}18\times 10^{-6}-0{,}944\times 10^{-6}}{8{,}85\times 10^{-12}}=2{,}67\times 10^{4}\ \mathrm{V/m}$, le champ de c).

Bilan d'énergie : $W_{\text{ext}}+W_{\text{pile}}=\Delta U$.

Cas (2), pas de pile : $W_{\text{ext}}=U_{2}-U_{0}=0{,}283-1{,}416=-1{,}13\ \mu\mathrm{J}$.

Cas (1) : $\Delta Q=70{,}8-14{,}2=56{,}6\ \mathrm{nC}$, $W_{\text{pile}}=200\times 5{,}66\times 10^{-8}=11{,}3\ \mu\mathrm{J}$ et $\Delta U=7{,}08-1{,}42=5{,}66\ \mu\mathrm{J}$.

$W_{\text{ext}}=\Delta U-W_{\text{pile}}=5{,}66-11{,}33=-5{,}66\ \mu\mathrm{J}$ : la pile fournit exactement le double de ce que gagne le condensateur.

Dans les deux cas $W_{\text{ext}}<0$ : l'opérateur RETIENT la plaque, qui est aspirée entre les armatures. Le bilan d'énergie donne ce sens sans décrire le mécanisme : c'est le champ de bord, négligé dans le calcul de $C$, qui tire sur les charges liées de la plaque.

Piège : conclure « l'énergie augmente dans (1), donc il faut pousser la plaque ». C'est oublier le travail de la pile.

La région de gauche et la région de droite touchent TOUTES DEUX les deux armatures : elles ont la même tension, elles sont en PARALLÈLE.

Dans la région de droite, l'interface entre l'air et $\kappa_{2}$ est PARALLÈLE aux armatures : dans le modèle sans effets de bord, dans le modèle sans effets de bord, on peut y glisser une feuille conductrice sans rien changer, et les deux couches deviennent deux condensateurs empilés, qui portent la même charge : elles sont en SÉRIE.

Règle de reconnaissance : interface perpendiculaire aux armatures, parallèle ; interface parallèle aux armatures, série. Ce découpage est un modèle : près de la frontière entre les deux régions, le champ est déformé, et on néglige cet effet comme les effets de bord. Ce découpage est un modèle : près de la frontière entre les deux régions, le champ est déformé, et on néglige cet effet comme les effets de bord.

Schéma équivalent : $C_{1}\ \parallel\ \left(C_{2}\ \text{série}\ C_{\text{air}}\right)$.

Chaque morceau est un condensateur plan : $C=\kappa\,\varepsilon_{0}\,\dfrac{\text{aire}}{\text{épaisseur}}$, et $C_{0}=\dfrac{\varepsilon_{0}A}{d}$.

$C_{1}=\kappa_{1}\varepsilon_{0}\dfrac{A/3}{d}=\dfrac{4{,}00}{3}C_{0}$ ; $C_{2}=\kappa_{2}\varepsilon_{0}\dfrac{2A/3}{d/3}=2\kappa_{2}C_{0}=12{,}0\,C_{0}$ ; $C_{\text{air}}=\varepsilon_{0}\dfrac{2A/3}{2d/3}=C_{0}$.

Piège : moyenner les constantes, $\frac{1}{3}\times 4{,}00+\frac{2}{3}\times\frac{6{,}00+1{,}00}{2}=3{,}67$. Une moyenne ne vaut que pour des régions en parallèle de même épaisseur ; la couche d'air, en série, pèse beaucoup plus lourd que sa part de volume.