Condensateurs et diélectriques PHS0102 : fiche de révision

Q: Que se passe-t-il quand on insère un diélectrique dans un condensateur branché à une pile ?

La capacité est multipliée par la constante diélectrique kappa. Comme la pile maintient la tension, la charge est elle aussi multipliée par kappa, le champ entre les armatures ne change pas et l'énergie emmagasinée est multipliée par kappa. La pile fournit le double de ce gain d'énergie, et la plaque est aspirée.

Q: Et si le condensateur est débranché avant d'insérer le diélectrique ?

Isolé, le condensateur garde sa charge. La capacité est multipliée par kappa, donc la tension et le champ sont divisés par kappa, et l'énergie aussi. La différence vient de la charge liée qui apparaît sur les faces du diélectrique et réduit le champ à l'intérieur.

Q: Comment trouver la tension finale quand on relie deux condensateurs chargés ?

On repère le conducteur isolé formé par les armatures reliées et on additionne ses charges avec leur signe : plus si les armatures reliées sont de même signe, moins sinon. On divise ce total par la somme des deux capacités. L'énergie finale est toujours plus petite que l'énergie de départ.

Q: Comment savoir si des diélectriques sont en série ou en parallèle dans un condensateur ?

On regarde l'interface entre les deux matériaux. Si elle est perpendiculaire aux armatures, chaque matériau touche les deux armatures : même tension, ils sont en parallèle. Si elle est parallèle aux armatures, les couches sont empilées et portent la même charge : elles sont en série.

Q: Pourquoi la force entre les armatures contient-elle un facteur un demi ?

Une armature ne subit pas son propre champ, seulement celui de l'autre armature, qui vaut sigma sur deux epsilon zéro. La force vaut donc la charge fois ce champ, soit Q au carré sur deux epsilon zéro fois l'aire, la moitié de ce que donnerait le champ total entre les armatures.

Le fil du chapitre

Avant tout calcul, nommer ce qui est imposé : la tension tant que la pile est branchée, la charge dès qu'un conducteur est isolé. Le champ, l'énergie et le travail se déduisent de cette seule donnée.

Notions couvertes

Capacité d'un condensateur
Condensateur plan
Condensateur cylindrique
Condensateur sphérique
Associations de condensateurs
Énergie emmagasinée dans un condensateur
Densité d'énergie du champ électrique
Constante diélectrique
Charge liée
Rigidité diélectrique

Le tableau du chapitre

Pile branchée ou condensateur isolé : le tableau des deux cas

On glisse un diélectrique de constante $\kappa$ qui remplit tout l'espace, ou on change l'écartement. Lisez d'abord la ligne « ce qui est imposé », puis descendez la colonne de votre cas.

Grandeur	Pile branchée la pile reste reliée pendant le changement	Condensateur isolé débranché avant le changement
Ce qui est imposé	la tension $\Delta V$	la charge $Q$
Capacité, diélectrique inséré	$\kappa C_{0}$	$\kappa C_{0}$
Charge	$\kappa Q_{0}$ : la pile en fournit	$Q_{0}$ , inchangée
Tension	$\Delta V_{0}$ , inchangée	$\frac{\Delta V_{0}}{\kappa}$
Champ dans le diélectrique	$E_{0}$ , inchangé	$\frac{E_{0}}{\kappa}$
Énergie	$\kappa U_{0}$ , avec $\frac{1}{2}C\Delta V^{2}$	$\frac{U_{0}}{\kappa}$ , avec $\frac{Q^{2}}{2C}$
Travail de l'opérateur	$W_{\text{ext}}=\Delta U-W_{\text{pile}}<0$	$W_{\text{ext}}=\Delta U<0$

Pile branchée la pile reste reliée pendant le changement

Ce qui est imposé: la tension $\Delta V$
Capacité, diélectrique inséré: $\kappa C_{0}$
Charge: $\kappa Q_{0}$ : la pile en fournit
Tension: $\Delta V_{0}$ , inchangée
Champ dans le diélectrique: $E_{0}$ , inchangé
Énergie: $\kappa U_{0}$ , avec $\frac{1}{2}C\Delta V^{2}$
Travail de l'opérateur: $W_{\text{ext}}=\Delta U-W_{\text{pile}}<0$

Condensateur isolé débranché avant le changement

Ce qui est imposé: la charge $Q$
Capacité, diélectrique inséré: $\kappa C_{0}$
Charge: $Q_{0}$ , inchangée
Tension: $\frac{\Delta V_{0}}{\kappa}$
Champ dans le diélectrique: $\frac{E_{0}}{\kappa}$
Énergie: $\frac{U_{0}}{\kappa}$ , avec $\frac{Q^{2}}{2C}$
Travail de l'opérateur: $W_{\text{ext}}=\Delta U<0$

Légende : les mots du tableau

Pile branchée: La source reste reliée aux armatures pendant toute la transformation : elle maintient la tension et fournit ou reprend de la charge.
Condensateur isolé: Aucun fil ne relie plus les armatures à quoi que ce soit : la charge de chaque armature ne peut pas changer.
Diélectrique: Isolant (verre, plastique, huile) dont les molécules se polarisent dans le champ ; sa constante κ, plus grande que 1, mesure de combien il multiplie la capacité.
Travail de l'opérateur: Travail de la main qui glisse la plaque ou écarte les armatures, lentement ; négatif quand elle doit retenir ce qui est attiré.

Les deux colonnes ont la même capacité finale : c'est la ligne « ce qui est imposé » qui fait toute la différence, et un diélectrique est aspiré entre les armatures dans les deux cas.

L'essentiel

Démontrer une capacité : trois temps, toujours les mêmes

• Le champ par le théorème de Gauss, entre les armatures seulement : plan $E=\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}$ ; cylindre $E=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}r}$ ; sphère $E=\frac{kQ}{r^{2}}$ .
• La tension par l'intégrale d'une armature à l'autre : $\Delta V=-\int\vec E\cdot d\vec s$ , soit $Ed$ , $\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}}\ln\frac{b}{a}$ , $kQ\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)$ .
• La capacité $C=\frac{Q}{\Delta V}$ : $\frac{\varepsilon_{0}A}{d}$ , $\frac{2\pi\varepsilon_{0}L}{\ln(b/a)}$ , $4\pi\varepsilon_{0}\frac{ab}{b-a}$ . La charge doit avoir disparu.
• Avec un diélectrique qui remplit l'espace, chaque capacité est multipliée par $\kappa$ .

Écrire l'intégrale avec ses bornes avant de la calculer : c'est souvent la moitié des points de la question.

Série ou parallèle : on lit l'interface

• En parallèle : même tension, les capacités s'additionnent, $C_{\text{éq}}=\sum C_{i}$ .
• En série : même charge (le conducteur entre deux condensateurs est isolé et neutre), $\frac{1}{C_{\text{éq}}}=\sum\frac{1}{C_{i}}$ .
• Diélectrique partiel : une interface PERPENDICULAIRE aux armatures découpe des condensateurs en parallèle ; une interface PARALLÈLE aux armatures découpe des couches en série.
• Chaque morceau se calcule comme un condensateur plan : $\kappa\varepsilon_{0}\frac{\text{aire}}{\text{épaisseur}}$ .

À gauche, chaque diélectrique touche les deux armatures : même

\Delta V

, parallèle. À droite, les couches sont empilées : même charge, série, et la couche de faible

\kappa

prend le plus de tension.

Énergie : trois écritures, une seule à choisir

• $U=\frac{1}{2}Q\Delta V=\frac{Q^{2}}{2C}=\frac{1}{2}C\Delta V^{2}$ , logée dans le champ avec la densité $u_{E}=\frac{1}{2}\kappa\varepsilon_{0}E^{2}$ .
• À charge constante, on prend $\frac{Q^{2}}{2C}$ ; à tension constante, $\frac{1}{2}C\Delta V^{2}$ .
• Bilan d'une transformation lente : $W_{\text{ext}}+W_{\text{pile}}=\Delta U$ , avec $W_{\text{pile}}=\mathcal{E}\,\Delta Q$ .
• Deux condensateurs qu'on relie : la charge du conducteur isolé se conserve, l'énergie diminue.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Prendre le champ d'une seule nappe pour celui du condensateur

toute la question, et la suite

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Entre les armatures, $E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}$ , donc $C=\frac{2\varepsilon_{0}A}{d}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Les deux nappes créent chacune $\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}$ ; entre elles ces champs s'ajoutent : $E=\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}$ , et dehors ils s'annulent. »

Pourquoi : Le facteur 2 se propage : capacité doublée, énergie divisée par deux. Seule la FORCE sur une armature utilise $\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}$ , le champ de l'autre armature.

2. Diviser le champ par κ alors que la pile reste branchée

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« On insère le verre, $\kappa=5{,}00$ : le champ passe de $1{,}33\times 10^{5}$ à $2{,}67\times 10^{4}\ \mathrm{V/m}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La pile impose $\Delta V=200\ \mathrm{V}$ sur la même épaisseur : $E=\frac{\Delta V}{d}=1{,}33\times 10^{5}\ \mathrm{V/m}$ , inchangé ; c'est la charge libre qui est multipliée par 5. »

Condensateur isolé : les charges liées (petits signes) des faces du diélectrique arrêtent une partie des lignes ; avec

\kappa=3

, une ligne sur trois traverse, et

E=\frac{E_{0}}{3}

dans la plaque.

Pourquoi : $E=\frac{E_{0}}{\kappa}$ suppose la charge libre fixée. Pile branchée, la pile apporte exactement la charge qui compense la charge liée.

3. Moyenner les constantes diélectriques de couches empilées

3 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Une couche $\kappa=3{,}00$ sur $d/3$ et une couche $\kappa=6{,}00$ sur $2d/3$ : $\kappa_{\text{moy}}=5{,}00$ , donc $C=5{,}00\,C_{0}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Les couches sont en série : $9{,}00\,C_{0}$ et $9{,}00\,C_{0}$ donnent $C=4{,}50\,C_{0}$ . »

Pourquoi : La moyenne pondérée ne vaut que pour des régions côte à côte de même épaisseur. En série, ce sont les inverses qui s'additionnent.

4. Additionner les charges sans leur signe quand on relie des armatures opposées

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $Q_{1}=90{,}0\ \mu\mathrm{C}$ et $Q_{2}=50{,}0\ \mu\mathrm{C}$ se partagent : $\Delta V=\frac{140}{8{,}00}=17{,}5\ \mathrm{V}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« L'armature $+$ de $C_{1}$ est reliée à l'armature $-$ de $C_{2}$ : le conducteur isolé porte $90{,}0-50{,}0=40{,}0\ \mu\mathrm{C}$ , donc $\Delta V=5{,}00\ \mathrm{V}$ . »

Pourquoi : Ce qui se conserve, c'est la charge ALGÉBRIQUE du conducteur isolé formé par les armatures reliées, pas la somme des charges des condensateurs.

5. Conserver l'énergie quand on relie deux condensateurs

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La charge se conserve, donc l'énergie aussi : toujours $200\ \mu\mathrm{J}$ après le transfert. »

Ce qu'il faut écrire

« La charge se conserve, l'énergie non : $\frac{1}{2}\times 8{,}00\ \mu\mathrm{F}\times(5{,}00\ \mathrm{V})^{2}=100\ \mu\mathrm{J}$ ; l'autre moitié est dissipée dans les fils et rayonnée. »

Pourquoi : La perte vaut un demi fois C1C2 sur C1 plus C2 fois le carré de la différence des tensions de départ : elle ne s'annule que si les deux tensions sont égales.

6. Oublier le travail de la pile dans le bilan d'énergie

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'énergie du condensateur augmente de $17{,}0\ \mathrm{nJ}$ , donc l'opérateur fournit $+17{,}0\ \mathrm{nJ}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $W_{\text{ext}}=\Delta U-W_{\text{pile}}=17{,}0-34{,}0=-17{,}0\ \mathrm{nJ}$ : la pile fournit $2\Delta U$ , et l'opérateur retient l'armature attirée. »

Pourquoi : À tension constante, la pile fournit toujours exactement le double de la variation d'énergie du condensateur : $W_{\text{pile}}=\Delta V\,\Delta Q=\Delta C\,\Delta V^{2}$ .

7. Donner la même tension à deux condensateurs en série

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $2{,}00\ \mu\mathrm{F}$ et $6{,}00\ \mu\mathrm{F}$ en série sous $12{,}0\ \mathrm{V}$ : $6{,}00\ \mathrm{V}$ chacun. »

Ce qu'il faut écrire

« Même charge, $Q=1{,}50\times 12{,}0=18{,}0\ \mu\mathrm{C}$ : $9{,}00\ \mathrm{V}$ sur le $2{,}00\ \mu\mathrm{F}$ et $3{,}00\ \mathrm{V}$ sur le $6{,}00\ \mu\mathrm{F}$ . »

Pourquoi : En série, le plus petit condensateur prend la plus grande tension : c'est lui qui claque le premier, et c'est lui qui fixe la tension maximale d'un réseau.

8. Calculer la tension de claquage comme si le champ était uniforme

1 à 2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'air claque à $3{,}00\times 10^{6}\ \mathrm{V/m}$ sur $3{,}00\ \mathrm{mm}$ : $\Delta V_{\max}=9{,}00\ \mathrm{kV}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Avec une couche $\kappa_{2}=6{,}00$ sur $d/3$ , l'air restant subit $\frac{18}{13}\frac{\Delta V}{d}$ : $\Delta V_{\max}=6{,}50\ \mathrm{kV}$ . »

Pourquoi : Dans des couches en série, la charge libre est la même et le champ est κ fois plus faible dans le diélectrique : l'air qui reste porte plus de tension que si tout était vide.

Quelle méthode choisir

Qu'est-ce qui reste constant ? Décider sur la phrase de l'énoncé

Lisez ce que l'énoncé dit de la pile et des fils AVANT la transformation.

Même montage, deux branchements : armatures de même signe reliées, la charge partagée vaut

Q_{1}+Q_{2}

; signes opposés, elle vaut

|Q_{1}-Q_{2}|

, et le plus faible des deux peut s'inverser.

Si « en gardant la pile branchée », « relié à la source » → $\Delta V$ constante ; énergie par $\frac{1}{2}C\Delta V^{2}$ ; la pile fournit $\Delta V\,\Delta Q$

Exemple : diélectrique $\kappa=5{,}00$ inséré sous $200\ \mathrm{V}$ : $Q$ passe de $14{,}2$ à $70{,}8\ \mathrm{nC}$
Si « on débranche la pile, puis... », « armatures isolées » → $Q$ constante ; énergie par $\frac{Q^{2}}{2C}$ ; $W_{\text{ext}}=\Delta U$

Exemple : écartement doublé : $C$ divisée par 2, $U$ doublée
Si « on relie le condensateur chargé à un autre » → charge ALGÉBRIQUE du conducteur formé par les armatures reliées conservée ; tension commune à la fin

Exemple : $\Delta V_{f}=\frac{Q_{1}\pm Q_{2}}{C_{1}+C_{2}}$ , signe moins si les armatures reliées sont de signes opposés
Si « on ouvre l'interrupteur » dans un réseau → chaque conducteur isolé (armature, nœud) garde sa charge ; on réécrit le réseau à partir de là

Exemple : nœud neutre entre $C_{1}$ et $C_{2}\parallel C_{3}$ : $Q_{2}'+Q_{3}'=Q_{1}$

le réseau peut alors porter une tension différente de celle de la pile

Si aucune branche ne semble s'appliquer, cherchez la phrase qui débranche la pile ou ouvre un interrupteur : sans elle, la pile est restée branchée pendant la transformation.

Quelle surface de Gauss pour démontrer la capacité ?

Regardez la forme des armatures.

Si deux plans parallèles → cylindre qui traverse une armature, une base où E est nul

Exemple : $E=\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}$ , $C=\frac{\varepsilon_{0}A}{d}$
Si deux cylindres coaxiaux → cylindre coaxial de rayon r entre les armatures

Exemple : $\frac{C}{L}=\frac{2\pi\varepsilon_{0}}{\ln(b/a)}=40{,}1\ \mathrm{pF/m}$ pour $b/a=4$
Si deux sphères concentriques → sphère de rayon r entre les armatures

Exemple : $C=\frac{ab}{k(b-a)}=6{,}67\ \mathrm{pF}$ pour $2{,}00$ et $3{,}00\ \mathrm{cm}$

Une seule armature sphérique (l'autre à l'infini) : faire tendre b vers l'infini dans le résultat sphérique, C = 4πε₀a.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Démontrer la capacité d'un condensateur

Quand l'utiliser : « Montrez que la capacité vaut... », ou toute géométrie autre que les formules du formulaire.

1 Poser la charge $+Q$ (ou $\lambda$ ) sur l'armature intérieure, $-Q$ sur l'autre.
2 Énoncer la symétrie, en déduire la direction du champ, choisir et DESSINER la surface de Gauss entre les armatures.
3 Écrire le flux et la charge intérieure, en tirer $E(r)$ dans la région entre les armatures seulement.
4 Poser $\Delta V=-\int\vec E\cdot d\vec s$ avec ses bornes, de l'armature $-$ à l'armature $+$ , puis l'intégrer.
5 Conclure par $C=\frac{Q}{\Delta V}$ et vérifier que $Q$ a disparu et que l'unité est le farad.

Phrase de conclusion

« La charge $Q$ se simplifie : $C=\frac{Q}{\Delta V}$ ne dépend que de la géométrie et du milieu, ce qui confirme le calcul. »

Le piège : Écrire $\Delta V=E\,(b-a)$ pour un cylindre ou une sphère : le champ n'y est pas uniforme.

Barème : Typiquement : symétrie et surface 1 point, champ 1 point, intégrale posée et calculée 2 points, capacité 1 point.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

La charge a disparu

Dans toute capacité démontrée, $Q$ ou $\lambda$ doit s'être simplifiée. S'il en reste, l'intégrale ou le champ est faux.

$C=\frac{ab}{k(b-a)}$ : aucune charge. Un résultat en $\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}}$ signale une erreur.
L'ordre de grandeur du farad

Un condensateur de laboratoire en vide ou en air vaut quelques picofarads à quelques centaines de picofarads ; les microfarads demandent un diélectrique et des armatures enroulées.

$\frac{\varepsilon_{0}A}{d}$ avec $4{,}00\ \mathrm{cm^{2}}$ et $0{,}100\ \mathrm{mm}$ donne $35{,}4\ \mathrm{pF}$ ; un résultat en farads trahit une conversion oubliée.
Les deux contrôles d'un réseau

Additionner les charges des branches parallèles (elles redonnent la charge totale) et les tensions d'une maille (elles redonnent la tension de la pile).

$24{,}0+16{,}0=40{,}0\ \mu\mathrm{C}$ et $10{,}0+8{,}00=18{,}0\ \mathrm{V}$ : le réseau est juste. Un écart dit quelle étape reprendre.
Le signe du travail de l'opérateur

Un diélectrique est toujours aspiré, des armatures de signes opposés s'attirent toujours : rapprocher ou insérer lentement donne un travail extérieur NÉGATIF, écarter ou retirer un travail positif.

Retirer les couches de $C_{3}$ , pile coupée : $W_{\text{ext}}=+67{,}2\ \mu\mathrm{J}$ . Un signe négatif ici signalerait un bilan mal écrit.

L'exercice type décortiqué

Un condensateur chargé relié à un condensateur à moitié rempli

$C_{1}=8{,}00\ \mu\mathrm{F}$ est chargé sous $30{,}0\ \mathrm{V}$ , puis la pile est retirée. Un condensateur plan $C_{2}$ , de capacité $4{,}00\ \mu\mathrm{F}$ à vide et initialement déchargé, est rempli sur la moitié de son aire d'un diélectrique $\kappa=2{,}00$ qui occupe toute l'épaisseur. On ferme K. Trouver $C_{2}$ , la tension finale, les charges finales et l'énergie perdue.

Le diélectrique occupe la moitié gauche de

C_{2}

sur toute l'épaisseur : son interface est perpendiculaire aux armatures.

Étape 1

Interface perpendiculaire aux armatures : deux moitiés en parallèle. $C_{2}=\kappa\frac{C_{2}^{\text{vide}}}{2}+\frac{C_{2}^{\text{vide}}}{2}=2{,}00\times 2{,}00+2{,}00=6{,}00\ \mu\mathrm{F}$ .

Pourquoi

Décider série ou parallèle sur la géométrie d'abord, sinon la moyenne des constantes vient toute seule sous le crayon.

Étape 2

Ce qui est conservé : la charge du conducteur isolé formé des armatures du haut. $Q=C_{1}\times 30{,}0=240\ \mu\mathrm{C}$ , et $C_{2}$ n'apporte rien.

Pourquoi

C'est la ligne qui rapporte le plus : elle nomme la grandeur constante avant toute formule.

Étape 3

Tension commune : $\Delta V_{f}=\frac{240}{8{,}00+6{,}00}=17{,}1\ \mathrm{V}$ ; $Q_{1}'=8{,}00\times 17{,}14=137\ \mu\mathrm{C}$ et $Q_{2}'=6{,}00\times 17{,}14=103\ \mu\mathrm{C}$ .

Pourquoi

Sans source, deux condensateurs reliés borne à borne ont la même tension : c'est le parallèle, quelle que soit l'allure du dessin.

Étape 4

Énergies : $U_{i}=\frac{1}{2}\times 8{,}00\times 10^{-6}\times 30{,}0^{2}=3{,}60\ \mathrm{mJ}$ , $U_{f}=\frac{(240\times 10^{-6})^{2}}{2\times 14{,}0\times 10^{-6}}=2{,}06\ \mathrm{mJ}$ ; perdue : $1{,}54\ \mathrm{mJ}$ .

Pourquoi

À charge totale connue, $\frac{Q^{2}}{2C}$ évite d'arrondir la tension deux fois.

Étape 5

Vérification : $137+103=240\ \mu\mathrm{C}$ , et la perte vaut $\frac{1}{2}\frac{C_{1}C_{2}}{C_{1}+C_{2}}(30{,}0-0)^{2}=\frac{1}{2}\times 3{,}43\times 10^{-6}\times 900=1{,}54\ \mathrm{mJ}$ .

Pourquoi

Deux contrôles indépendants en dix secondes : la charge totale, puis la formule de la perte.

Conclusion rédigée

$C_{2}=6{,}00\ \mu\mathrm{F}$ , $\Delta V_{f}=17{,}1\ \mathrm{V}$ , $Q_{1}'=137\ \mu\mathrm{C}$ , $Q_{2}'=103\ \mu\mathrm{C}$ , et $1{,}54\ \mathrm{mJ}$ dissipés pendant le transfert.

L'erreur classique sur cet exercice : Prendre $C_{2}=\kappa\,C_{2}^{\text{vide}}=8{,}00\ \mu\mathrm{F}$ comme si le diélectrique remplissait tout, ou garder $30{,}0\ \mathrm{V}$ sur $C_{1}$ « puisqu'il était chargé sous 30 V ».

À savoir par cœur

• $C=\frac{Q}{\Delta V}$ ne dépend que de la GÉOMÉTRIE et du milieu ; un diélectrique qui remplit l'espace la multiplie par $\kappa$ .
• Plan $\frac{\varepsilon_{0}A}{d}$ ; cylindrique $\frac{2\pi\varepsilon_{0}L}{\ln(b/a)}$ ; sphérique $4\pi\varepsilon_{0}\frac{ab}{b-a}$ ; sphère seule $4\pi\varepsilon_{0}R$ .
• Parallèle : même TENSION, capacités additionnées. Série : même CHARGE, inverses additionnés.
• Pile branchée : TENSION constante. Condensateur isolé : CHARGE constante. Condensateurs reliés : charge ALGÉBRIQUE du conducteur isolé constante.
• $U=\frac{1}{2}Q\Delta V=\frac{Q^{2}}{2C}=\frac{1}{2}C\Delta V^{2}$ ; $u_{E}=\frac{1}{2}\kappa\varepsilon_{0}E^{2}$ ; $W_{\text{ext}}+W_{\text{pile}}=\Delta U$ .
• Charge liée : $\sigma_{\text{liée}}=\sigma_{\text{libre}}\left(1-\frac{1}{\kappa}\right)$ , de signe opposé à l'armature voisine.

Questions fréquentes

Que se passe-t-il quand on insère un diélectrique dans un condensateur branché à une pile ?

La capacité est multipliée par la constante diélectrique kappa. Comme la pile maintient la tension, la charge est elle aussi multipliée par kappa, le champ entre les armatures ne change pas et l'énergie emmagasinée est multipliée par kappa. La pile fournit le double de ce gain d'énergie, et la plaque est aspirée.

Et si le condensateur est débranché avant d'insérer le diélectrique ?

Isolé, le condensateur garde sa charge. La capacité est multipliée par kappa, donc la tension et le champ sont divisés par kappa, et l'énergie aussi. La différence vient de la charge liée qui apparaît sur les faces du diélectrique et réduit le champ à l'intérieur.

Comment trouver la tension finale quand on relie deux condensateurs chargés ?

On repère le conducteur isolé formé par les armatures reliées et on additionne ses charges avec leur signe : plus si les armatures reliées sont de même signe, moins sinon. On divise ce total par la somme des deux capacités. L'énergie finale est toujours plus petite que l'énergie de départ.

Comment savoir si des diélectriques sont en série ou en parallèle dans un condensateur ?

On regarde l'interface entre les deux matériaux. Si elle est perpendiculaire aux armatures, chaque matériau touche les deux armatures : même tension, ils sont en parallèle. Si elle est parallèle aux armatures, les couches sont empilées et portent la même charge : elles sont en série.

Pourquoi la force entre les armatures contient-elle un facteur un demi ?

Une armature ne subit pas son propre champ, seulement celui de l'autre armature, qui vaut sigma sur deux epsilon zéro. La force vaut donc la charge fois ce champ, soit Q au carré sur deux epsilon zéro fois l'aire, la moitié de ce que donnerait le champ total entre les armatures.

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© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/phs0102-condensateurs-dielectriques. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

Voir aussi

Toutes les fiches Tous les exercices Examen final blanc (PHS0102)

Fiche de révision : condensateurs et diélectriques (PHS0102, Polytechnique)

Pile branchée ou condensateur isolé : le tableau des deux cas

Légende : les mots du tableau

L'essentiel

Démontrer une capacité : trois temps, toujours les mêmes

Série ou parallèle : on lit l'interface

Énergie : trois écritures, une seule à choisir

Les pièges qui coûtent des points

1. Prendre le champ d'une seule nappe pour celui du condensateur

2. Diviser le champ par κ alors que la pile reste branchée

3. Moyenner les constantes diélectriques de couches empilées

4. Additionner les charges sans leur signe quand on relie des armatures opposées

5. Conserver l'énergie quand on relie deux condensateurs

6. Oublier le travail de la pile dans le bilan d'énergie

7. Donner la même tension à deux condensateurs en série

8. Calculer la tension de claquage comme si le champ était uniforme

Quelle méthode choisir

Qu'est-ce qui reste constant ? Décider sur la phrase de l'énoncé

Quelle surface de Gauss pour démontrer la capacité ?

La rédaction attendue

Démontrer la capacité d'un condensateur

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Un condensateur chargé relié à un condensateur à moitié rempli

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Que se passe-t-il quand on insère un diélectrique dans un condensateur branché à une pile ?

Et si le condensateur est débranché avant d'insérer le diélectrique ?

Comment trouver la tension finale quand on relie deux condensateurs chargés ?

Comment savoir si des diélectriques sont en série ou en parallèle dans un condensateur ?

Pourquoi la force entre les armatures contient-elle un facteur un demi ?

Exercices corrigés : Condensateurs et diélectriques

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