Courant et résistance PHS0102 : fiche de révision

Q: Comment calculer la vitesse de dérive des électrons dans un fil de cuivre ?

On compte d'abord les électrons libres par mètre cube : masse volumique en kilogrammes par mètre cube, fois le nombre d'Avogadro, divisé par la masse molaire en kilogrammes par mole, fois le nombre d'électrons libres par atome (un pour le cuivre). On divise ensuite le courant par ce nombre, par la charge élémentaire et par l'aire de la section. On trouve quelques dixièmes de millimètre par seconde.

Q: Pourquoi la résistance du carbone diminue-t-elle quand la température augmente ?

Dans un métal, les électrons libres sont déjà tous disponibles, et la chaleur fait surtout vibrer les ions, qui les freinent : la résistance monte. Dans le carbone et les semi-conducteurs, la chaleur libère de nouveaux porteurs plus vite qu'elle ne les freine : la résistance baisse, et le coefficient thermique de résistivité est négatif.

Q: Quelle formule de puissance utiliser quand la résistance change avec la température ?

Celle qui contient la grandeur imposée par le circuit. Sous une tension fixée, comme une prise ou une pile idéale, la puissance vaut la tension au carré divisée par la résistance, et elle baisse quand la résistance monte. À courant fixé, comme dans une ligne ou des résistances en série, elle vaut la résistance fois le courant au carré, et elle monte.

Q: Comment calculer une résistance quand la section du conducteur n'est pas constante ?

On découpe le conducteur en tranches perpendiculaires au courant, assez minces pour que leur aire soit constante. Chaque tranche a une résistance égale à la résistivité fois son épaisseur divisée par son aire. Les tranches étant en série, on additionne : c'est une intégrale. Pour un courant radial entre deux cylindres, l'aire d'une tranche est deux pi fois le rayon fois la hauteur.

Le fil du chapitre

Une résistance se construit, par le matériau ( $\rho$ ), la géométrie ( $\frac{L}{A}$ , ou une intégrale quand l'aire traversée varie) et la température ( $\alpha$ , avec son signe) ; et ce qu'on en tire dépend de ce que le circuit IMPOSE : à tension fixée $P=\frac{\Delta V^{2}}{R}$ , à courant fixé $P=R\,I^{2}$ .

Notions couvertes

Courant électrique
Densité de courant
Vitesse de dérive
Densité de porteurs de charge
Résistivité et conductivité
Coefficient thermique de résistivité
Loi d'Ohm
Loi d'Ohm locale
Résistance par intégration
Effet Joule
Puissance électrique

L'essentiel

Du fil aux porteurs : une seule relation

• $I=n\,e\,v_{d}\,A$ : pendant $\Delta t$ , les porteurs qui traversent la section sont ceux d'un cylindre de longueur $v_{d}\,\Delta t$ .
• $n=(\text{électrons libres par atome})\times\dfrac{\rho_{m}\,N_{A}}{M}$ , en SI : $\rho_{m}$ en $\mathrm{kg/m^{3}}$ , $M$ en $\mathrm{kg/mol}$ .
• Ordres de grandeur d'un métal : $n\sim 10^{28}$ à $10^{29}\ \mathrm{m^{-3}}$ , $v_{d}\sim 10^{-5}$ à $10^{-3}\ \mathrm{m/s}$ .
• Les électrons dérivent en sens OPPOSÉ au courant : $\vec J=-n\,e\,\vec v_{d}$ .

Les électrons (bleus) dérivent vers la gauche, à l'opposé de

I

et de

\vec E

; ceux de la tranche orange, de longueur

v_{d}\,\Delta t

, traversent la section

A

pendant

\Delta t

Écrire la relation littérale avant d'y mettre des nombres rapporte des points même si une conversion déraille.

Construire une résistance : trois ingrédients

• Le matériau : $\rho$ en $\Omega\cdot\mathrm{m}$ , ou $\sigma=\frac{1}{\rho}$ en $\mathrm{S/m}$ .
• La géométrie : $R=\dfrac{\rho L}{A}$ si l'aire traversée est constante ; sinon $R=\displaystyle\int\dfrac{\rho\,d\ell}{A(\ell)}$ , tranches en série.
• La température : $\rho=\rho_{0}\left[1+\alpha\,(T-T_{0})\right]$ , $T_{0}$ étant celle où $\rho_{0}$ est donnée ; $\alpha>0$ pour un métal, $\alpha<0$ pour le carbone.
• La loi d'Ohm $\Delta V=R\,I$ décrit l'objet ; sa forme locale $E=\rho\,J$ décrit chaque point du matériau.

Puissance : trois formules égales, une seule qui décide

• $P=\Delta V\,I=R\,I^{2}=\dfrac{\Delta V^{2}}{R}$ : à un instant donné, les trois donnent le même nombre.
• Quand $R$ change (température, autre fil), seule la forme qui contient la grandeur IMPOSÉE dit comment $P$ varie.
• Énergie : $E=P\,\Delta t$ ; $1\ \mathrm{kWh}=3{,}6\times 10^{6}\ \mathrm{J}$ .

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Qu'est-ce qui est imposé ? La formule suit

On lit l'énoncé, on nomme la grandeur que le circuit fixe, puis on garde la formule qui la contient.

Montage	Grandeur imposée	Formule à garder	Si R augmente
prise, pile idéale	$\Delta V$	$P=\frac{\Delta V^{2}}{R}$	P diminue
Exemple : Sous $120\ \mathrm{V}$ : $1200\ \mathrm{W}$ pour $12\ \Omega$ , $960\ \mathrm{W}$ pour $15\ \Omega$ .
ligne, résistances en série	$I$	$P=R\,I^{2}$	P augmente
Exemple : Avec $50\ \mathrm{A}$ : $500\ \mathrm{W}$ dans $0{,}20\ \Omega$ , $625\ \mathrm{W}$ dans $0{,}25\ \Omega$ .
capteur à source de courant	$I$	$U=R\,I$	U augmente
Exemple : Avec $2{,}00\ \mathrm{mA}$ : $0{,}200\ \mathrm{V}$ sur $100\ \Omega$ , $0{,}240\ \mathrm{V}$ sur $120\ \Omega$ .

Une même résistance dans une prise et dans une ligne ne réagit pas pareil à la chaleur : c'est le circuit qui tranche, pas la résistance.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Confondre masse volumique et résistivité

toute la question sur la vitesse de dérive

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $n=\dfrac{\rho\,N_{A}}{M}=\dfrac{1{,}7\times 10^{-8}\times 6{,}02\times 10^{23}}{63{,}55\times 10^{-3}}$ »

Ce qu'il faut écrire

« $n=\dfrac{\rho_{m}\,N_{A}}{M}$ avec $\rho_{m}=8{,}96\times 10^{3}\ \mathrm{kg/m^{3}}$ , la masse volumique ; la résistivité $\rho$ ne sert qu'à $R$ . »

Pourquoi : Le tableau du contrôle donne les deux dans des colonnes voisines, sous la même lettre grecque. Nommez-les $\rho_{m}$ et $\rho$ dès la première ligne.

2. Laisser les grammes par centimètre cube

1 à 2 points, et une vitesse de dérive fausse d'un facteur un million

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $n=\dfrac{8{,}96\times 6{,}02\times 10^{23}}{63{,}55}=8{,}49\times 10^{22}\ \mathrm{m^{-3}}$ »

Ce qu'il faut écrire

« $\rho_{m}=8{,}96\ \mathrm{g/cm^{3}}=8{,}96\times 10^{3}\ \mathrm{kg/m^{3}}$ et $M=63{,}55\times 10^{-3}\ \mathrm{kg/mol}$ , donc $n=8{,}49\times 10^{28}\ \mathrm{m^{-3}}$ . »

Pourquoi : Le calcul brut donne des atomes par centimètre cube, pas par mètre cube : $10^{6}$ d'écart que l'ordre de grandeur $n\sim 10^{28}$ trahit aussitôt.

3. Oublier les électrons libres par atome

1 point, puis une vitesse de dérive trois fois trop grande

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Aluminium : $n=\dfrac{2700\times 6{,}02\times 10^{23}}{26{,}98\times 10^{-3}}=6{,}02\times 10^{28}\ \mathrm{m^{-3}}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Trois électrons libres par atome : $n=3\times 6{,}02\times 10^{28}=1{,}81\times 10^{29}\ \mathrm{m^{-3}}$ . »

Pourquoi : $\frac{\rho_{m}N_{A}}{M}$ compte des ATOMES ; le courant est porté par des électrons libres. L'énoncé donne leur nombre par atome pour qu'on s'en serve.

4. Supposer que la résistance monte toujours avec la température

2 à 3 points : la résistance et la puissance qui suivent

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le filament chauffe, donc sa résistance augmente et le courant baisse. » (filament de carbone)

Ce qu'il faut écrire

« $\alpha=-2{,}5\times 10^{-4}\ \mathrm{^{\circ}C^{-1}}<0$ : la résistance du carbone DIMINUE quand il chauffe. »

À partir de

T_{0}=20\ \mathrm{^{\circ}C}

, la résistance du cuivre monte (

\alpha>0

) et celle du graphite descend (

\alpha<0

) : la droite part du même point, dans l'autre sens.

Pourquoi : Le signe de $\alpha$ fait partie de la donnée. Dans un métal, l'agitation thermique gêne les électrons ; dans le carbone et les semi-conducteurs, la chaleur libère plus de porteurs qu'elle n'en freine.

5. Prendre la mauvaise formule de puissance quand R change

toute la question de puissance, soit 3 à 5 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le courant de $10\ \mathrm{A}$ est donné, mais $I=\dfrac{\Delta V}{R}$ , donc je recalcule $I$ et $P=R\,I^{2}$ explose. »

Ce qu'il faut écrire

« L'énoncé impose $I=10\ \mathrm{A}$ : $P=R\,I^{2}$ avec ce $I$ . Si c'est $\Delta V$ qui est imposée, $P=\dfrac{\Delta V^{2}}{R}$ . »

Quand

R

double, la puissance est divisée par deux à tension fixée (bleu) et doublée à courant fixé (orange) : la grandeur imposée décide du sens de variation.

Pourquoi : Une copie réelle a trouvé $10^{8}\ \mathrm{W}$ dans un fil de cuivre en recalculant un courant déjà donné. Le circuit fixe UNE grandeur ; les autres en découlent.

6. Prendre le diamètre pour le rayon

1 point, et un facteur 4 sur R, J et la vitesse de dérive

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $A=\pi\,(0{,}50\times 10^{-3})^{2}$ pour un fil de $0{,}50\ \mathrm{mm}$ de diamètre. »

Ce qu'il faut écrire

« $r=0{,}25\ \mathrm{mm}$ , $A=\pi\,(0{,}25\times 10^{-3})^{2}=1{,}96\times 10^{-7}\ \mathrm{m^{2}}$ . »

Pourquoi : L'aire varie comme le carré du rayon : une erreur de facteur 2 sur la longueur devient un facteur 4 partout.

7. Utiliser une aire constante quand la section varie

4 à 6 points : la démarche d'intégration est le barème

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Cône de rayons $a$ et $b$ : $R=\dfrac{\rho L}{\pi\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2}}$ . » ou « Courant radial : $R=\dfrac{\rho\,(b-a)}{\pi b^{2}}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $dR=\dfrac{\rho\,dx}{\pi\,r(x)^{2}}$ intégrée donne $\dfrac{\rho L}{\pi a b}$ ; pour un courant radial, $dR=\dfrac{\rho\,dr}{2\pi r L}$ donne $\dfrac{\rho\ln(b/a)}{2\pi L}$ . »

Pourquoi : L'aire de $dR$ est celle que le courant TRAVERSE, perpendiculaire à lui. Avec $a=2$ et $b=6$ , le rayon moyen sous-estime la résistance du cône de $25\ \%$ .

8. Multiplier des joules par un prix au kilowattheure

1 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $E=1500\times 3600=5{,}4\times 10^{6}$ , donc le coût vaut $5{,}4\times 10^{6}\times 0{,}08$ dollars. »

Ce qu'il faut écrire

« $E=1{,}5\ \mathrm{kW}\times 1\ \mathrm{h}=1{,}5\ \mathrm{kWh}$ , soit $0{,}12$ dollar à $0{,}08$ dollar le kilowattheure. »

Pourquoi : $1\ \mathrm{kWh}=3{,}6\times 10^{6}\ \mathrm{J}$ : un coût faux d'un facteur $3{,}6$ millions ne se voit que si l'on se demande s'il est plausible.

Quelle méthode choisir

Quelle aire mettre dans la résistance ?

On regarde la direction du courant et la façon dont l'aire qu'il traverse change le long de son trajet.

À gauche le courant suit l'axe : la tranche orange est un disque d'aire

\pi r(x)^{2}

. À droite il est radial : la tranche est une coquille d'aire

2\pi r L

Si aire traversée constante (fil, tige, bloc traversé de face à face) → $R=\dfrac{\rho L}{A}$ , avec $L$ dans le sens du courant

Exemple : Bloc de $2\times 3\times 4\ \mathrm{cm}$ traversé selon les $4\ \mathrm{cm}$ : $A=6\ \mathrm{cm^{2}}$ , $L=4\ \mathrm{cm}$ .

le courant le plus fort passe dans la direction où L est courte et A grande
Si courant axial dans une section qui varie (cône, tige effilée) → tranches de disque : $dR=\dfrac{\rho\,dx}{\pi\,r(x)^{2}}$ , $r(x)$ affine, intégrée de $0$ à $L$

Exemple : Tronc de cône : $R=\dfrac{\rho L}{\pi a b}$ .
Si courant radial entre deux cylindres coaxiaux → coquilles cylindriques : $dR=\dfrac{\rho\,dr}{2\pi r L}$ , intégrée de $a$ à $b$

Exemple : $R=\dfrac{\rho\ln(b/a)}{2\pi L}$ ; avec $b=8a$ , $\ln 8\approx 2{,}08$ .
Si densité de courant non uniforme sur une section circulaire → anneaux : $dI=J(r)\,2\pi r\,dr$ , intégrée de $0$ à $R$

Exemple : $J=a\,r$ donne $I=\dfrac{2\pi a R^{3}}{3}$ et le disque $r<\frac{R}{2}$ ne porte que $\frac{I}{8}$ .

Les tranches sont toujours en SÉRIE (le même courant les traverse l'une après l'autre) : on additionne des $dR$ . Si l'énoncé coupe le conducteur en tubes parallèles, on additionne des $\frac{1}{dR}$ .

Quelle formule pour la puissance ?

On cherche dans l'énoncé la grandeur que la source ou la charge impose.

Si « branché sous », « tension maintenue à », prise, pile idéale → $P=\dfrac{\Delta V^{2}}{R}$

Exemple : $120\ \mathrm{V}$ sur $849\ \Omega$ puis $467\ \Omega$ : $17{,}0$ puis $30{,}8\ \mathrm{W}$ .
Si « parcouru par un courant de », courant fixé par la consommation, résistances en série → $P=R\,I^{2}$

Exemple : $220\ \mathrm{A}$ dans $0{,}415$ puis $0{,}553\ \Omega$ : $20{,}1$ puis $26{,}8\ \mathrm{kW}$ .
Si tension et courant mesurés au même instant → $P=\Delta V\,I$ , et les trois formules concordent

Exemple : $3{,}40\ \mathrm{V}$ et $12\ \mathrm{A}$ : $40{,}8\ \mathrm{W}$ .

Si l'énoncé donne à la fois un courant et une tension incompatibles avec $R$ , signalez-le en une phrase et gardez la grandeur que le montage impose.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

La quatrième question du contrôle : du fil réel à la puissance

Quand l'utiliser : Un fil de cuivre ou d'aluminium, un tableau de propriétés, un courant ou une tension, une autre température.

1 Section en mètres carrés, en partant du RAYON : $A=\pi r^{2}$ .
2 Porteurs : $n=k\,\dfrac{\rho_{m}N_{A}}{M}$ , avec $k$ électrons libres par atome, tout en SI.
3 Vitesse de dérive : $v_{d}=\dfrac{I}{n\,e\,A}$ , puis contrôle de l'ordre de grandeur.
4 Résistivité à la température demandée : $\rho(T)=\rho_{0}\left[1+\alpha\,(T-T_{0})\right]$ , puis $R=\dfrac{\rho(T)\,L}{A}$ .
5 Grandeur imposée nommée par écrit, puis la formule de puissance qui la contient.

Phrase de conclusion

« Le courant étant imposé, la puissance dissipée à $T$ vaut $P=R(T)\,I^{2}$ . »

Le piège : L'étape 5 est celle qu'on saute : on écrit P sans dire ce qui est fixé, et la moitié des copies prend la mauvaise formule.

Une résistance par intégration

Quand l'utiliser : La section varie le long du courant, ou le courant est radial.

1 Dessiner une tranche perpendiculaire au courant et nommer son épaisseur (dx ou dr).
2 Écrire l'aire $A$ de cette tranche en fonction de la position, puis $dR=\dfrac{\rho\,d\ell}{A}$ .
3 Justifier que les tranches sont en série, puis poser l'intégrale avec ses bornes.
4 Calculer, puis vérifier un cas limite (a = b redonne le cylindre) et les unités.

Phrase de conclusion

« Les tranches étant traversées par le même courant, elles sont en série : $R=\displaystyle\int_{a}^{b}\dfrac{\rho\,dr}{2\pi r L}=\dfrac{\rho\ln(b/a)}{2\pi L}$ . »

Le piège : Écrire la formule finale sans l'intégrale : au contrôle, c'est la démarche qui porte les points.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Ordre de grandeur de n et de la vitesse de dérive

Un métal a $n$ entre $10^{28}$ et $10^{29}\ \mathrm{m^{-3}}$ et $v_{d}$ entre $10^{-5}$ et $10^{-3}\ \mathrm{m/s}$ .

Un $n$ de $10^{22}$ trahit des grammes par centimètre cube ; une $v_{d}$ de $300\ \mathrm{m/s}$ , une puissance de dix perdue sur l'aire.
Le sens de variation de R

Le signe de $\alpha$ et celui de $T-T_{0}$ disent d'avance si $R$ doit monter ou descendre.

Un fil de cuivre à $-25\ \mathrm{^{\circ}C}$ dont la résistance a augmenté : le $-45$ est devenu $+45$ .
La puissance réagit dans le bon sens

Sous tension fixée, une résistance plus grande dissipe moins ; à courant fixé, plus.

Une bouilloire dont la puissance monte en chauffant sous $120\ \mathrm{V}$ : la formule $R\,I^{2}$ a été prise avec le mauvais courant.
Les unités d'une constante de profil

Dans $J=a\,r$ , $a$ est en $\mathrm{A/m^{3}}$ ; dans $\rho=b\,x$ , $b$ est en $\Omega$ .

Un $a$ trouvé en $\mathrm{A/m^{2}}$ signale une intégrale oubliée : on a écrit $I=J\,A$ .

L'exercice type décortiqué

Une rallonge de 15 m sous 12 A, un jour de canicule

Une rallonge de $15{,}0\ \mathrm{m}$ contient deux conducteurs de cuivre (aller et retour) de diamètre $1{,}6\ \mathrm{mm}$ . Elle alimente un appareil qui tire $12{,}0\ \mathrm{A}$ , et ses conducteurs sont à $50\ \mathrm{^{\circ}C}$ . Cuivre : $\rho_{m}=8{,}96\ \mathrm{g/cm^{3}}$ , $M=63{,}55\ \mathrm{g/mol}$ , un électron libre par atome, $\rho_{0}=1{,}7\times 10^{-8}\ \Omega\cdot\mathrm{m}$ à $20\ \mathrm{^{\circ}C}$ , $\alpha=3{,}9\times 10^{-3}\ \mathrm{^{\circ}C^{-1}}$ . Trouver la vitesse de dérive, la résistance de la rallonge, la puissance qu'elle dissipe et la chute de tension.

Étape 1

$A=\pi\,(0{,}80\times 10^{-3})^{2}=2{,}01\times 10^{-6}\ \mathrm{m^{2}}$ .

Pourquoi

Le diamètre est donné : on divise par deux AVANT de mettre au carré.

Étape 2

$n=\dfrac{8{,}96\times 10^{3}\times 6{,}02\times 10^{23}}{63{,}55\times 10^{-3}}=8{,}49\times 10^{28}\ \mathrm{m^{-3}}$ .

Pourquoi

$\rho_{m}$ en $\mathrm{kg/m^{3}}$ et $M$ en $\mathrm{kg/mol}$ : le résultat tombe dans la fourchette des métaux, première vérification.

Étape 3

$v_{d}=\dfrac{I}{n\,e\,A}=\dfrac{12{,}0}{8{,}49\times 10^{28}\times 1{,}60\times 10^{-19}\times 2{,}01\times 10^{-6}}\approx 4{,}39\times 10^{-4}\ \mathrm{m/s}$ .

Pourquoi

Moins d'un demi-millimètre par seconde : l'ordre de grandeur attendu confirme les deux étapes précédentes.

Étape 4

$\rho_{50}=1{,}7\times 10^{-8}\times\left[1+3{,}9\times 10^{-3}\times 30\right]=1{,}90\times 10^{-8}\ \Omega\cdot\mathrm{m}$ .

Pourquoi

$T-T_{0}=50-20=30\ \mathrm{^{\circ}C}$ : $T_{0}$ est la température où $\rho_{0}$ est donnée, pas zéro.

Étape 5

$R=\dfrac{\rho_{50}\times 30{,}0}{A}=\dfrac{1{,}90\times 10^{-8}\times 30{,}0}{2{,}01\times 10^{-6}}\approx 0{,}283\ \Omega$ .

Pourquoi

Le courant fait l'aller ET le retour : la longueur parcourue est 30,0 m, pas 15,0 m.

Étape 6

$P=R\,I^{2}=0{,}283\times 12{,}0^{2}\approx 40{,}8\ \mathrm{W}$ et $\Delta V=R\,I\approx 3{,}40\ \mathrm{V}$ .

Pourquoi

C'est l'appareil qui impose le courant : on garde $R\,I^{2}$ . Les $120\ \mathrm{V}$ de la prise ne sont pas aux bornes de la rallonge.

Conclusion rédigée

« Le courant étant imposé par l'appareil, la rallonge à $50\ \mathrm{^{\circ}C}$ dissipe $P=R\,I^{2}\approx 40{,}8\ \mathrm{W}$ , avec une chute de tension de $3{,}40\ \mathrm{V}$ ; les électrons y dérivent à $4{,}39\times 10^{-4}\ \mathrm{m/s}$ . »

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire $P=\frac{120^{2}}{0{,}283}\approx 51\ \mathrm{kW}$ : la tension de la prise n'est pas celle de la rallonge, et le fusible du logement aurait fondu bien avant.

À savoir par cœur

• $I=\dfrac{dq}{dt}$ , $Q=\displaystyle\int I\,dt$ , $I=\displaystyle\int\vec J\cdot d\vec A$ .
• $I=n\,e\,v_{d}\,A$ et $n=k\,\dfrac{\rho_{m}N_{A}}{M}$ , tout en SI.
• $R=\dfrac{\rho L}{A}$ à section constante, sinon $R=\displaystyle\int\dfrac{\rho\,d\ell}{A}$ sur des tranches en série.
• $\rho=\rho_{0}\left[1+\alpha\,(T-T_{0})\right]$ ; $\alpha>0$ métaux, $\alpha<0$ carbone et semi-conducteurs.
• $E=\rho\,J$ en chaque point ; $\Delta V=R\,I$ pour l'objet.
• $P=\Delta V\,I=R\,I^{2}=\dfrac{\Delta V^{2}}{R}$ : quand $R$ change, garder la forme de la grandeur IMPOSÉE.

Questions fréquentes

Comment calculer la vitesse de dérive des électrons dans un fil de cuivre ?

On compte d'abord les électrons libres par mètre cube : masse volumique en kilogrammes par mètre cube, fois le nombre d'Avogadro, divisé par la masse molaire en kilogrammes par mole, fois le nombre d'électrons libres par atome (un pour le cuivre). On divise ensuite le courant par ce nombre, par la charge élémentaire et par l'aire de la section. On trouve quelques dixièmes de millimètre par seconde.

Pourquoi la résistance du carbone diminue-t-elle quand la température augmente ?

Dans un métal, les électrons libres sont déjà tous disponibles, et la chaleur fait surtout vibrer les ions, qui les freinent : la résistance monte. Dans le carbone et les semi-conducteurs, la chaleur libère de nouveaux porteurs plus vite qu'elle ne les freine : la résistance baisse, et le coefficient thermique de résistivité est négatif.

Quelle formule de puissance utiliser quand la résistance change avec la température ?

Celle qui contient la grandeur imposée par le circuit. Sous une tension fixée, comme une prise ou une pile idéale, la puissance vaut la tension au carré divisée par la résistance, et elle baisse quand la résistance monte. À courant fixé, comme dans une ligne ou des résistances en série, elle vaut la résistance fois le courant au carré, et elle monte.

Comment calculer une résistance quand la section du conducteur n'est pas constante ?

On découpe le conducteur en tranches perpendiculaires au courant, assez minces pour que leur aire soit constante. Chaque tranche a une résistance égale à la résistivité fois son épaisseur divisée par son aire. Les tranches étant en série, on additionne : c'est une intégrale. Pour un courant radial entre deux cylindres, l'aire d'une tranche est deux pi fois le rayon fois la hauteur.

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Exercices corrigés : Courant et résistance

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Circuits à courant continu et circuits RC Le champ magnétique

© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/phs0102-courant-resistance. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

Voir aussi

Toutes les fiches Tous les exercices Contrôle périodique blanc (PHS0102)

Fiche de révision : courant et résistance (PHS0102, Polytechnique)

L'essentiel

Du fil aux porteurs : une seule relation

Construire une résistance : trois ingrédients

Puissance : trois formules égales, une seule qui décide

Les règles de calcul en tableau

Qu'est-ce qui est imposé ? La formule suit

Les pièges qui coûtent des points

1. Confondre masse volumique et résistivité

2. Laisser les grammes par centimètre cube

3. Oublier les électrons libres par atome

4. Supposer que la résistance monte toujours avec la température

5. Prendre la mauvaise formule de puissance quand R change

6. Prendre le diamètre pour le rayon

7. Utiliser une aire constante quand la section varie

8. Multiplier des joules par un prix au kilowattheure

Quelle méthode choisir

Quelle aire mettre dans la résistance ?

Quelle formule pour la puissance ?

La rédaction attendue

La quatrième question du contrôle : du fil réel à la puissance

Une résistance par intégration

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Une rallonge de 15 m sous 12 A, un jour de canicule

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Comment calculer la vitesse de dérive des électrons dans un fil de cuivre ?

Pourquoi la résistance du carbone diminue-t-elle quand la température augmente ?

Quelle formule de puissance utiliser quand la résistance change avec la température ?

Comment calculer une résistance quand la section du conducteur n'est pas constante ?

Exercices corrigés : Courant et résistance

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