Le champ électrique PHS0102 : fiche de révision

Q: Comment savoir si une composante du champ s'annule par symétrie ?

Cherchez, pour chaque petit morceau de charge, un partenaire placé symétriquement par rapport à un axe qui passe par le point étudié et qui porte la même charge. Si chaque morceau a le sien, la composante perpendiculaire à cet axe s'annule. Si la densité varie, ou si la tige dépasse d'un côté, la symétrie tombe et il faut intégrer les deux composantes.

Q: Pourquoi le champ n'est-il pas nul si la charge totale est nulle ?

La charge totale ne dit que ce que le champ devient loin de l'objet. Près de lui, les morceaux positifs repoussent et les morceaux négatifs attirent, souvent dans le même sens : au centre d'un demi-cercle chargé positivement d'un côté et négativement de l'autre, le champ est intense et pointe vers la partie négative.

Q: Quelle est la différence entre un fil infini et un fil semi-infini ?

Un fil infini s'étend des deux côtés du point étudié : ses composantes parallèles s'annulent et le champ vaut deux k lambda sur d, perpendiculaire au fil. Un fil semi-infini ne part que d'un côté : la composante perpendiculaire est divisée par deux, et une composante parallèle de même valeur apparaît, orientée en s'éloignant du fil quand il est chargé positivement.

Q: Faut-il apprendre les formules de la tige et de l'arc pour le contrôle de PHS0102 ?

Il faut savoir les retrouver, pas les réciter : le contrôle note le dessin de l'élément de champ, l'écriture de dq, la projection, la symétrie justifiée et l'intégrale avec ses bornes. Une formule recopiée sans démarche rapporte peu, et elle ne sert à rien dès que la densité varie ou que la géométrie change.

Le fil du chapitre

On n'intègre jamais un module : on écrit $d\vec E$ en composantes, on projette, et une composante ne disparaît que si la géométrie ET la densité la font disparaître par paires.

Notions couvertes

Champ électrique
Principe de superposition
Lignes de champ électrique
Distribution continue de charge
Densité linéique de charge
Densité surfacique de charge
Champ d'un arc de cercle
Fil infini et fil semi-infini
Dipôle électrique
Moment dipolaire
Charge dans un champ uniforme

L'essentiel

Le champ d'une charge, puis de plusieurs : une somme de VECTEURS

• Charge ponctuelle : $\vec E=\dfrac{kq}{r^{2}}\,\vec u$ , $\vec u$ unitaire de la charge vers le point. Pour $q<0$ , le vecteur pointe VERS la charge.
• Plusieurs charges : on écrit chaque $\vec E_i$ en composantes, puis $E_x=\sum E_{ix}$ et $E_y=\sum E_{iy}$ . Le module et l'angle viennent à la fin.
• Une ligne de champ est tangente à $\vec E$ : elle donne la direction de la force sur une charge positive, pas sa trajectoire.

P

\vec E_1

s'éloigne de

+2q

\vec E_2

va vers

-q

, et

\vec E

est la diagonale du parallélogramme : sa longueur n'est pas la somme des deux autres.

Les distances se convertissent en mètres AVANT le carré : une distance laissée en centimètres divise le champ par $10^{4}$ .

Une distribution continue : cinq étapes, toujours les mêmes

• (1) Dessiner un élément $dq$ quelconque et son $d\vec E$ au point étudié, dans le bon sens selon le signe de $dq$ .
• (2) Écrire $dq$ : $\lambda\,dx$ pour une tige, $\lambda R\,d\theta$ pour un arc, $\sigma\,2\pi r\,dr$ pour un anneau de disque. Si $\lambda$ dépend de la position, elle reste DANS l'intégrale.
• (3) Projeter : $dE_x$ et $dE_y$ avec les cosinus et sinus lus sur la figure.
• (4) Symétrie : à chaque élément, un partenaire de même charge placé symétriquement ? Alors une composante s'annule, et on le DIT. Sinon, on intègre les deux.
• (5) Intégrer avec les bornes de la figure, puis vérifier le sens obtenu sur le dessin.

Au contrôle, l'intégrale posée correctement rapporte la moitié des points de la question, même si le calcul déraille ensuite.

Les résultats qu'on retrouve en deux lignes

• Tige de longueur $2L$ , point sur sa médiatrice à la distance $d$ : $E=\dfrac{2k\lambda L}{d\sqrt{L^{2}+d^{2}}}$ ; fil infini : $E=\dfrac{2k\lambda}{d}$ .
• Fil semi-infini, point en face de son extrémité à la distance $R$ : deux composantes de module $\dfrac{k\lambda}{R}$ chacune.
• Arc d'angle $\alpha$ et de rayon $R$ , au centre : $E=\dfrac{2k\lambda}{R}\sin\dfrac{\alpha}{2}$ , porté par la bissectrice (densité uniforme).
• Anneau sur l'axe : $E=\dfrac{kQz}{(z^{2}+R^{2})^{3/2}}$ ; disque : $E=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1-\dfrac{z}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}\right)$ ; plan infini : $\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ .
• Dipôle : $\vec p=q\vec d$ de $-q$ vers $+q$ , couple $\vec p\times\vec E$ , énergie $-\vec p\cdot\vec E$ , champ sur l'axe $\approx\dfrac{2kp}{r^{3}}$ .

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Le champ de plusieurs charges en un point

toute la question, 5 à 8 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $E=E_1+E_2=21{,}6+14{,}4=36{,}0\ \mathrm{kN/C}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\vec E=(17{,}28+11{,}52)\,\vec i+(12{,}96-8{,}64)\,\vec j=(28{,}8\,\vec i+4{,}32\,\vec j)\ \mathrm{kN/C}$ , donc $E=29{,}1\ \mathrm{kN/C}$ . »

Pourquoi : Les modules ne s'additionnent que pour des vecteurs de même direction et de même sens. Ici l'erreur gonfle le champ de 24 %.

2. Garder une symétrie après avoir modifié la distribution

3 à 4 points, plus la suite de la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La tige est au-dessus de $O$ , donc $E_x=0$ par symétrie. » (alors qu'elle va de $-9$ à $+21\ \mathrm{cm}$ )

Ce qu'il faut écrire

« L'élément en $x=15\ \mathrm{cm}$ n'a pas de partenaire en $-15\ \mathrm{cm}$ : la symétrie est rompue, j'intègre $E_x$ et $E_y$ . »

À gauche, les deux

d\vec E

orange se compensent horizontalement et la somme noire est verticale. À droite, le

d\vec E

bleu de l'élément ajouté n'a pas de partenaire : la somme penche.

Pourquoi : La symétrie se vérifie élément par élément sur la figure. Pour la tige de $-9$ à $21\ \mathrm{cm}$ à $12\ \mathrm{cm}$ de $O$ , la composante jetée vaut $57\ \mathrm{kN/C}$ , un cinquième du champ.

3. Une distribution de charge totale nulle

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $Q=\int_0^{\pi}\lambda_0\cos\theta\,R\,d\theta=0$ , donc le champ au centre est nul. »

Ce qu'il faut écrire

« Les éléments en $\theta$ et $\pi-\theta$ ont des charges opposées : les $dE_y$ s'annulent, les $dE_x$ s'ajoutent, et $E_x=-\dfrac{\pi k\lambda_0}{2R}$ . »

Même demi-cercle, deux densités : la densité uniforme donne un champ vertical, la densité en

\cos\theta

, de charge totale nulle, un champ horizontal non nul.

Pourquoi : Une charge totale nulle règle le champ LOIN de l'objet, pas au centre. Avec $\lambda_0=4{,}0\ \mu\mathrm{C/m}$ et $R=5{,}0\ \mathrm{cm}$ , le champ vaut $1{,}13\times 10^{6}\ \mathrm{N/C}$ .

4. La longueur et la charge d'un arc

1 à 2 points, et tous les nombres qui suivent

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $Q=\lambda R\alpha=(-0{,}80\times 10^{-6})(0{,}060)(135)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\alpha=135^{\circ}=\dfrac{3\pi}{4}\ \mathrm{rad}$ , donc $Q=\lambda R\alpha=-113\ \mathrm{nC}$ . »

Pourquoi : $R\alpha$ n'est une longueur que si $\alpha$ est en radians ; en degrés, la charge est $57$ fois trop grande. Les bornes d'une intégrale en $d\theta$ sont aussi en radians.

5. Le fil semi-infini

3 à 5 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le fil part de $B$ vers l'infini, donc $E=\dfrac{2k\lambda}{R}$ , perpendiculaire au fil. »

Ce qu'il faut écrire

« Fil semi-infini : $E_\perp=\dfrac{k\lambda}{R}$ et $E_\parallel=\dfrac{k\lambda}{R}$ , la composante parallèle orientée en s'éloignant du fil. »

Pourquoi : $\frac{2k\lambda}{R}$ suppose du fil des DEUX côtés du pied de la perpendiculaire. Un seul côté divise la composante perpendiculaire par deux et crée une composante parallèle que rien ne compense.

6. Remplacer une tige par une charge ponctuelle

toute l'intégrale, 8 à 12 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La tige porte $180\ \mathrm{nC}$ et son milieu est à $6{,}0\ \mathrm{cm}$ : $E=\dfrac{kQ}{(0{,}060)^{2}}=450\ \mathrm{kN/C}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $E=\displaystyle\int_{0{,}03}^{0{,}09}\frac{k\,a\,y\,dy}{y^{2}}=ka\ln 3=494\ \mathrm{kN/C}$ . »

Pourquoi : Le champ en $\frac{1}{r^{2}}$ favorise les éléments proches : la moyenne des contributions n'est pas la contribution de la charge moyenne. L'approximation ponctuelle ne vaut que loin de l'objet.

7. La force sur un électron

2 points, et la trajectoire entière

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le champ est vers le haut, donc l'électron est accéléré vers le haut. »

Ce qu'il faut écrire

« $\vec F=-e\vec E$ : la force sur l'électron est opposée au champ, ici vers le bas. »

Pourquoi : Le champ est défini par la force sur une charge POSITIVE. Pour une charge négative, on change le sens, jamais le module.

Quelle méthode choisir

Quelle méthode selon la forme de la distribution

Regardez ce que porte la charge et où se trouve le point.

Si quelques charges ponctuelles → somme vectorielle des $\vec E_i$ en composantes

Exemple : trois charges à $5{,}0\ \mathrm{cm}$ de $P$ : $\vec E=(28{,}8\,\vec i+11{,}5\,\vec j)\ \mathrm{kN/C}$
Si tige, point sur son prolongement → tous les $d\vec E$ sont colinéaires : une seule intégrale, sans projection

Exemple : $E=k\lambda\left(\frac{1}{d}-\frac{1}{d+L}\right)$ , ou $ka\ln\frac{y_2}{y_1}$ si $\lambda=ay$
Si tige ou arc, densité uniforme, point sur un axe de symétrie → annuler la composante perpendiculaire à l'axe, intégrer l'autre

Exemple : arc de $135^{\circ}$ : $E=\frac{2k\lvert\lambda\rvert}{R}\sin 67{,}5^{\circ}$ selon la bissectrice
Si densité non uniforme, ou point hors de tout axe de symétrie → intégrer $E_x$ ET $E_y$ ; chercher une symétrie de la DENSITÉ avant d'en jeter une

Exemple : $\lambda_0\sin\theta$ sur un quart : $E_x=-\frac{k\lambda_0}{2R}$ , $E_y=-\frac{\pi k\lambda_0}{4R}$
Si anneau ou disque, point sur l'axe → découper en anneaux : champ axial, intégrale scalaire en $r$

Exemple : disque : $E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1-\frac{z}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}\right)$
Si fil ou plan infini annoncé → résultat direct $\frac{2k\lambda}{d}$ ou $\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ , en disant pourquoi le modèle vaut

Exemple : tige de $18\ \mathrm{cm}$ à $12\ \mathrm{cm}$ : seulement $60\ \%$ du fil infini

le modèle infini demande une longueur grande DEVANT la distance

Le théorème de Gauss, au chapitre suivant, donne plus vite le fil et le plan infinis ; ici on les obtient comme limites d'une intégrale.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Le champ d'une distribution continue, comme au contrôle

Quand l'utiliser : « Trouvez le vecteur champ électrique créé par la tige (l'arc, le fil) au point O. »

1 Dessiner un $dq$ quelconque, son $d\vec E$ au point, la distance $r$ et l'angle utile.
2 Écrire $dq$ avec la densité de l'énoncé, telle quelle si elle varie.
3 Écrire $d\vec E$ en composantes, avec le vecteur unitaire qui va de $dq$ vers le point.
4 Dire quelle composante s'annule et POURQUOI (paires d'éléments symétriques de même charge), ou dire qu'aucune ne s'annule.
5 Écrire l'intégrale avec ses bornes, la calculer, puis donner $\vec E$ en composantes, son module et son orientation.

Phrase de conclusion

« À l'élément $dq$ en $\theta$ correspond l'élément en $\pi-\theta$ , de même charge ; leurs composantes selon $x$ sont opposées, donc $E_x=0$ et $\vec E=E_y\,\vec j$ . »

Le piège : Écrire la formule du résultat sans l'intégrale : au contrôle, la démarche est notée avant le nombre.

Barème : Sur une question de 12 points : dessin de dE 2, dq 2, projection et symétrie justifiée 3, intégrale posée 3, résultat vectoriel 2.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le sens sur le dessin

Le vecteur trouvé doit s'éloigner des régions positives et pointer vers les régions négatives. Comparez le signe de chaque composante au dessin.

Une tige négative au-dessus de $O$ et un $E_y<0$ trouvé : un signe s'est perdu dans $d\vec E$ .
La limite lointaine

Loin de l'objet, le champ doit redevenir $\frac{kQ}{r^{2}}$ si $Q\ne 0$ . Remplacez la distance par une grande valeur dans votre formule.

Le disque de $5\ \mathrm{cm}$ de rayon, à $40\ \mathrm{cm}$ , donne $1{,}31\ \mathrm{kN/C}$ contre $1{,}33$ pour la charge ponctuelle : cohérent.
L'ordre de grandeur et l'unité

Quelques nanocoulombs à quelques centimètres donnent des dizaines de kilonewtons par coulomb. Un résultat $10^{4}$ fois plus petit trahit des centimètres non convertis.

$\frac{(9\times 10^{9})(6\times 10^{-9})}{(0{,}05)^{2}}=2{,}2\times 10^{4}\ \mathrm{N/C}$ ; avec $5$ au lieu de $0{,}05$ , on trouve $2{,}2\ \mathrm{N/C}$ .
La calculatrice pour l'intégrale

Une calculatrice non programmable qui intègre numériquement (fonction d'intégrale de la Casio fx-991 ou de la TI-36X Pro) contrôle une primitive en dix secondes : intégrez $dE_x$ et $dE_y$ entre vos bornes.

$\int_0^{\pi/2}\sin\theta\cos\theta\,d\theta$ doit afficher $0{,}5$ ; si votre primitive donne autre chose, elle est fausse.

L'exercice type décortiqué

Un quart de cercle de densité variable

Un fil mince en forme de quart de cercle, de rayon $R=10\ \mathrm{cm}$ et de centre $O$ , va de $\theta=0$ à $\theta=90^{\circ}$ . Sa densité est $\lambda=\lambda_0\sin\theta$ avec $\lambda_0=3{,}0\ \mu\mathrm{C/m}$ . Trouvez le vecteur champ électrique en $O$ ( $k=9{,}00\times 10^{9}\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}$ ).

Le quart est symétrique par rapport à sa bissectrice, mais sa densité, nulle sur l'axe des

x

et maximale sur l'axe des

y

, ne l'est pas.

Étape 1

$dq=\lambda_0\sin\theta\,R\,d\theta$ , à la distance $R$ de $O$ ; le vecteur unitaire de $dq$ vers $O$ est $(-\cos\theta\ ;-\sin\theta)$ .

Pourquoi

Étapes 1 et 2 : c'est le dessin et l'élément, notés à eux seuls près de la moitié de la question.

Étape 2

$d\vec E=\dfrac{k\lambda_0}{R}\sin\theta\,(-\cos\theta\,\vec i-\sin\theta\,\vec j)\,d\theta$

Pourquoi

Étape 3 : la projection se fait AVANT d'intégrer. Intégrer le module puis projeter le résultat n'a pas de sens, chaque élément a sa direction.

Étape 3

Aucune composante ne s'annule : l'élément en $\theta$ et son symétrique en $90^{\circ}-\theta$ portent $\sin\theta$ et $\cos\theta$ , des charges différentes.

Pourquoi

Étape 4 : c'est le piège de l'exemple. La forme invite à dire « champ sur la bissectrice », la densité l'interdit.

Étape 4

$E_x=-\dfrac{k\lambda_0}{R}\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin\theta\cos\theta\,d\theta=-\frac{k\lambda_0}{2R}=-1{,}35\times 10^{5}\ \mathrm{N/C}$

Pourquoi

Étape 5 : bornes en radians. $\frac{k\lambda_0}{R}=2{,}70\times 10^{5}\ \mathrm{N/C}$ sert aux deux composantes.

Étape 5

$E_y=-\dfrac{k\lambda_0}{R}\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^{2}\theta\,d\theta=-\frac{\pi k\lambda_0}{4R}=-2{,}12\times 10^{5}\ \mathrm{N/C}$

Pourquoi

$E_y$ l'emporte sur $E_x$ parce que la charge est concentrée près de l'axe des $y$ : c'est cohérent avec la densité.

Étape 6

$E=\sqrt{1{,}35^{2}+2{,}12^{2}}\times 10^{5}=2{,}51\times 10^{5}\ \mathrm{N/C}$ , à $57{,}5^{\circ}$ sous l'axe des $x$ négatifs.

Pourquoi

Vérification : la bissectrice donnerait $45^{\circ}$ ; on trouve plus, du côté de l'axe des $y$ où la charge se concentre.

Conclusion rédigée

$\vec E=(-1{,}35\,\vec i-2{,}12\,\vec j)\times 10^{5}\ \mathrm{N/C}$ , de module $2{,}51\times 10^{5}\ \mathrm{N/C}$ , à $57{,}5^{\circ}$ sous l'axe des $x$ négatifs.

L'erreur classique sur cet exercice : Affirmer que le champ est porté par la bissectrice parce que le quart de cercle est symétrique : on trouverait $E_x=E_y$ , faux de $57\ \%$ sur $E_y$ .

À savoir par cœur

• Le champ s'éloigne d'une charge positive, pointe vers une charge négative ; $\vec F=q\vec E$ , opposée à $\vec E$ pour un électron.
• On additionne des COMPOSANTES, jamais des modules ; le module et l'angle viennent à la fin.
• Distribution continue : dessiner $d\vec E$ , écrire $dq$ , projeter, symétrie justifiée, intégrer avec les bornes.
• Une composante s'annule seulement si chaque élément a un partenaire symétrique de MÊME charge.
• Arc : $d\ell=R\,d\theta$ , angles en radians ; au centre d'un arc uniforme, $E=\dfrac{2k\lambda}{R}\sin\dfrac{\alpha}{2}$ .
• Fil semi-infini : deux composantes de $\dfrac{k\lambda}{R}$ ; fil infini : $\dfrac{2k\lambda}{d}$ .
• Dipôle dans un champ uniforme : force nette nulle, couple $\vec p\times\vec E$ , énergie $-\vec p\cdot\vec E$ .

Questions fréquentes

Comment savoir si une composante du champ s'annule par symétrie ?

Cherchez, pour chaque petit morceau de charge, un partenaire placé symétriquement par rapport à un axe qui passe par le point étudié et qui porte la même charge. Si chaque morceau a le sien, la composante perpendiculaire à cet axe s'annule. Si la densité varie, ou si la tige dépasse d'un côté, la symétrie tombe et il faut intégrer les deux composantes.

Pourquoi le champ n'est-il pas nul si la charge totale est nulle ?

La charge totale ne dit que ce que le champ devient loin de l'objet. Près de lui, les morceaux positifs repoussent et les morceaux négatifs attirent, souvent dans le même sens : au centre d'un demi-cercle chargé positivement d'un côté et négativement de l'autre, le champ est intense et pointe vers la partie négative.

Quelle est la différence entre un fil infini et un fil semi-infini ?

Un fil infini s'étend des deux côtés du point étudié : ses composantes parallèles s'annulent et le champ vaut deux k lambda sur d, perpendiculaire au fil. Un fil semi-infini ne part que d'un côté : la composante perpendiculaire est divisée par deux, et une composante parallèle de même valeur apparaît, orientée en s'éloignant du fil quand il est chargé positivement.

Faut-il apprendre les formules de la tige et de l'arc pour le contrôle de PHS0102 ?

Il faut savoir les retrouver, pas les réciter : le contrôle note le dessin de l'élément de champ, l'écriture de dq, la projection, la symétrie justifiée et l'intégrale avec ses bornes. Une formule recopiée sans démarche rapporte peu, et elle ne sert à rien dès que la densité varie ou que la géométrie change.

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Le théorème de Gauss

© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/phs0102-champ-electrique. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

Voir aussi

Toutes les fiches Tous les exercices Contrôle périodique blanc de PHS0102 Cours préparatoires de Polytechnique

Fiche de révision : le champ électrique (PHS0102, Polytechnique)

L'essentiel

Le champ d'une charge, puis de plusieurs : une somme de VECTEURS

Une distribution continue : cinq étapes, toujours les mêmes

Les résultats qu'on retrouve en deux lignes

Les pièges qui coûtent des points

1. Le champ de plusieurs charges en un point

2. Garder une symétrie après avoir modifié la distribution

3. Une distribution de charge totale nulle

4. La longueur et la charge d'un arc

5. Le fil semi-infini

6. Remplacer une tige par une charge ponctuelle

7. La force sur un électron

Quelle méthode choisir

Quelle méthode selon la forme de la distribution

La rédaction attendue

Le champ d'une distribution continue, comme au contrôle

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Un quart de cercle de densité variable

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Comment savoir si une composante du champ s'annule par symétrie ?

Pourquoi le champ n'est-il pas nul si la charge totale est nulle ?

Quelle est la différence entre un fil infini et un fil semi-infini ?

Faut-il apprendre les formules de la tige et de l'arc pour le contrôle de PHS0102 ?

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