Le théorème de Gauss PHS0102 : fiche de révision

Le fil du chapitre

La charge qui compte est celle qu'enferme la surface de Gauss qui passe PAR LE POINT : on la recalcule dans chaque région, par une intégrale si la densité varie, et jamais avec la charge totale de l'objet tant que le point est à l'intérieur.

Notions couvertes

Flux électrique
Théorème de Gauss
Surface de Gauss
Charge intérieure
Symétrie sphérique
Symétrie cylindrique
Symétrie plane
Densité volumique non uniforme
Conducteur en équilibre électrostatique
Charges induites
Principe de superposition
Discontinuité du champ électrique

Le tableau du chapitre

Les trois symétries qui rendent le théorème utile

Une colonne par symétrie. On reconnaît la distribution, on prend la surface de la même colonne, et tout le reste suit.

Critère	Sphérique boule, coquille	Cylindrique fil, tige, tube infinis	Plane nappe, plaque infinies
Surface de Gauss	sphère concentrique de rayon $r$	cylindre coaxial de rayon $r$ et de longueur $L$	boîte qui traverse le plan, section $A$
Flux sortant	$E\cdot 4\pi r^{2}$	$E\cdot 2\pi rL$ , les deux disques donnent $0$	$2EA$ , la paroi latérale donne $0$
Charge enfermée, densité uniforme	$\rho\,\frac{4}{3}\pi r^{3}$	$\rho\,\pi r^{2}L$	$\rho\cdot 2xA$ (boîte de $-x$ à $x$ )
Champ hors de la distribution	$\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^{2}}$	$\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}$	$\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ , uniforme
Champ dans la distribution	$\frac{\rho r}{3\varepsilon_0}$	$\frac{\rho r}{2\varepsilon_0}$	$\frac{\rho x}{\varepsilon_0}$

Sphérique boule, coquille

Surface de Gauss: sphère concentrique de rayon $r$
Flux sortant: $E\cdot 4\pi r^{2}$
Charge enfermée, densité uniforme: $\rho\,\frac{4}{3}\pi r^{3}$
Champ hors de la distribution: $\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^{2}}$
Champ dans la distribution: $\frac{\rho r}{3\varepsilon_0}$

Cylindrique fil, tige, tube infinis

Surface de Gauss: cylindre coaxial de rayon $r$ et de longueur $L$
Flux sortant: $E\cdot 2\pi rL$ , les deux disques donnent $0$
Charge enfermée, densité uniforme: $\rho\,\pi r^{2}L$
Champ hors de la distribution: $\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}$
Champ dans la distribution: $\frac{\rho r}{2\varepsilon_0}$

Plane nappe, plaque infinies

Surface de Gauss: boîte qui traverse le plan, section $A$
Flux sortant: $2EA$ , la paroi latérale donne $0$
Charge enfermée, densité uniforme: $\rho\cdot 2xA$ (boîte de $-x$ à $x$ )
Champ hors de la distribution: $\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ , uniforme
Champ dans la distribution: $\frac{\rho x}{\varepsilon_0}$

Légende : les mots du tableau

Sphère: Surface fermée centrée sur le centre de symétrie, qui passe par le point où l'on cherche le champ.
Cylindre coaxial: Cylindre fermé de même axe que la distribution : une paroi latérale et deux disques.
Boîte: Cylindre ou pavé fermé dont deux faces sont parallèles au plan, de part et d'autre.
Disques: Les deux bouts du cylindre ; le champ radial leur est parallèle, leur flux est nul.
Paroi latérale: Le tour de la boîte ; le champ perpendiculaire au plan lui est parallèle.

Hors de ces trois symétries (un cube chargé, un disque fini), le théorème reste vrai mais ne donne pas le champ : $E$ n'est constant sur aucune surface simple.

L'essentiel

La méthode en cinq gestes

• (1) Symétrie : direction de $\vec E$ et variable dont dépend $E$ ( $r$ ou $x$ ), justifiées par l'invariance de la distribution.
• (2) Surface de Gauss fermée, de la même symétrie, qui passe PAR LE POINT.
• (3) Flux : $E\times$ l'aire où $\vec E$ est normal ; les parties où $\vec E$ est tangent donnent $0$ .
• (4) $Q_{\text{int}}$ : la charge de la région enfermée, intégrale si $\rho$ varie.
• (5) On égale à $\dfrac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}$ et on isole $E$ , puis on donne le sens.

La surface suit la symétrie : sphère, cylindre dont seuls les côtés comptent, boîte dont seules les deux faces comptent.

Au contrôle, l'étape (1) et le dessin de la surface valent des points à eux seuls.

La charge enfermée, région par région

• Dans une boule uniforme de rayon $R$ : $Q_{\text{int}}=Q\dfrac{r^{3}}{R^{3}}$ ; dans un cylindre plein : $\lambda_{\text{int}}=\lambda\dfrac{r^{2}}{R^{2}}$ .
• Dans une coquille ou un tube, entre $R_1$ et $r$ : $\rho\,\frac{4}{3}\pi(r^{3}-R_1^{3})$ ou $\rho\,\pi(r^{2}-R_1^{2})L$ .
• Densité variable : $Q_{\text{int}}=\displaystyle\int_0^{r}\rho(r')\,4\pi r'^{2}\,dr'$ (sphère) ou $\displaystyle\int_0^{r}\rho(r')\,2\pi r'L\,dr'$ (cylindre).
• Dans le métal d'un conducteur à l'équilibre : $E=0$ , donc $Q_{\text{int}}=0$ .
• À l'extérieur de tout : la charge totale, et seulement là.

Conducteur à l'équilibre : ce que Gauss impose

• $E=0$ dans le métal ; la charge nette est en surface.
• La face d'une cavité porte l'opposé de la charge qu'elle entoure : $-q$ .
• La face extérieure porte le reste : $Q_{\text{cond}}+q$ .
• Juste à l'extérieur de la surface : $E=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}$ , perpendiculaire à la surface.

Le champ saute à la traversée d'une charge de surface, et reste continu à travers une charge volumique.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Champ à l'intérieur d'une boule uniformément chargée de rayon $R$

toute la région, soit 5 à 8 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^{2}}$ en $r=R/2$ , puisque la boule porte $Q$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La sphère de Gauss de rayon $r$ n'enferme que $Q\frac{r^{3}}{R^{3}}$ : $E=\dfrac{Qr}{4\pi\varepsilon_0R^{3}}$ . »

En orange, le vrai champ, nul au centre et maximal en

R

; en rouge,

Q

totale prise à l'intérieur, qui diverge.

Pourquoi : En $r=R/2$ , la formule fausse donne huit fois la bonne valeur, et elle diverge au centre où le vrai champ est nul.

2. Sphère de rayon $R=15{,}0$ cm dont la densité vaut $\rho=ar$ , avec $a=4{,}00\ \mu\mathrm{C/m^{4}}$

2 à 4 points, et toutes les valeurs qui en dépendent

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $Q=\rho(R)\cdot\frac{4}{3}\pi R^{3}=8{,}48$ nC. »

Ce qu'il faut écrire

« $Q=\displaystyle\int_0^{R}ar\cdot 4\pi r^{2}\,dr=\pi aR^{4}=6{,}36$ nC. »

Pourquoi : Une densité variable ne se multiplie pas par un volume : il faut sommer des coquilles minces. L'erreur donne ici $\frac{4}{3}$ fois trop.

3. Tube isolant de rayons $1{,}00$ et $2{,}00$ cm, $\rho=3{,}00\ \mu\mathrm{C/m^{3}}$ , champ en $r=1{,}50$ cm

la région entière

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\lambda_{\text{int}}=\rho\pi r^{2}=2{,}12$ nC/m. »

Ce qu'il faut écrire

« $\lambda_{\text{int}}=\rho\pi(r^{2}-R_1^{2})=1{,}18$ nC/m : le creux ne porte rien. »

Pourquoi : La surface de Gauss passe par le creux, mais le creux est vide : on ne compte que la couronne entre $R_1$ et $r$ .

4. Charge $+3$ nC au centre d'une coquille conductrice qui porte $-1$ nC

2 à 3 points, plus le champ extérieur faux

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La coquille porte $-1$ nC sur sa face extérieure, puisque c'est sa charge. »

Ce qu'il faut écrire

« Gauss dans le métal : face intérieure $-3$ nC ; face extérieure $-1-(-3)=+2$ nC. »

La surface de Gauss dans le métal voit

E=0

: la face intérieure porte

-3

nC, la face extérieure

+2

nC, et le champ dehors est celui de

+2

nC.

Pourquoi : La surface de Gauss tracée dans le métal enferme une charge nulle : c'est elle qui fixe la face intérieure, la face extérieure prend le reste.

5. Grande plaque uniformément chargée, $\sigma=0{,}120\ \mu\mathrm{C/m^{2}}$ , champ à $3$ cm puis à $6$ cm

1 à 3 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« À $6$ cm, le champ est quatre fois plus faible qu'à $3$ cm. »

Ce qu'il faut écrire

« $E=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}=6{,}78\times 10^{3}$ N/C aux deux distances, tant qu'elles restent petites devant la plaque. »

Pourquoi : La boîte de Gauss donne $2EA=\frac{\sigma A}{\varepsilon_0}$ sans aucune distance. La loi en $1/r^{2}$ est celle d'une charge ponctuelle.

6. Superposition : $3{,}00\times 10^{4}$ N/C selon $x$ et $4{,}00\times 10^{4}$ N/C selon $y$

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le champ total vaut $7{,}00\times 10^{4}$ N/C. »

Ce qu'il faut écrire

« $\vec E=(3{,}00\,\vec i+4{,}00\,\vec j)\times 10^{4}$ N/C, de module $5{,}00\times 10^{4}$ N/C à $53{,}1°$ de l'axe $x$ . »

Pourquoi : Chaque distribution se traite par Gauss séparément, mais les champs obtenus s'additionnent en composantes.

7. Disque d'aire $0{,}0300\ \mathrm{m^{2}}$ dont le plan fait $20{,}0°$ avec un champ de $500$ N/C

1 point par flux

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\Phi=EA\cos 20{,}0°=14{,}1$ N·m²/C. »

Ce qu'il faut écrire

« La normale fait $70{,}0°$ avec le champ : $\Phi=EA\cos 70{,}0°=5{,}13$ N·m²/C. »

Pourquoi : Le cosinus du flux se prend avec la normale. Un angle donné avec le plan se convertit d'abord.

Quelle méthode choisir

Quelle surface de Gauss, selon la distribution

On regarde ce qui est infini ou centré, pas le nom de l'objet.

Si tout est centré sur un point (boule, coquilles concentriques) → sphère concentrique de rayon $r$

Exemple : boule isolante dans une coquille conductrice : $E\cdot 4\pi r^{2}$
Si tout est centré sur une droite infinie (fil, tige, tube, câble) → cylindre coaxial de longueur $L$

Exemple : fil sur l'axe d'un tube : $E\cdot 2\pi rL=\frac{\lambda_{\text{int}}L}{\varepsilon_0}$
Si tout est parallèle à un plan infini (nappe, plaque épaisse) → boîte symétrique qui traverse le plan

Exemple : plaque épaisse : $2EA=\frac{\rho\cdot 2xA}{\varepsilon_0}$
Si deux distributions de symétries différentes (plan et fil, plan et sphère) → une surface par distribution, puis superposition des champs en composantes

Exemple : plan $\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\vec i$ plus fil $\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}\vec u$

Aucune branche ne s'applique (cube, disque fini) : le théorème ne donne pas le champ ; on revient à l'intégrale de Coulomb du chapitre 2.

Quelle charge enfermée, selon où tombe le point

On place le point, on trace la surface qui passe par lui, et on liste ce qu'elle contient.

Si le point est dans une distribution volumique → seulement la partie située à l'intérieur de la surface

Exemple : $Q\frac{r^{3}}{R^{3}}$ dans une boule uniforme
Si le point est dans un creux ou un vide → tout ce qui est plus près du centre, le creux comptant pour zéro

Exemple : fil seul : $\lambda_0$
Si le point est dans le métal d'un conducteur → zéro, et c'est ce qui donne la charge de la face intérieure

Exemple : face intérieure $=-q_{\text{cavité}}$
Si le point est à l'extérieur de tout → la charge totale, signes compris

Exemple : $Q_1+Q_2$ , qui peut changer le sens du champ

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Gauss par régions, la copie attendue

Quand l'utiliser : « À l'aide du théorème de Gauss, déterminez le module du champ électrique dans les régions suivantes. »

1 Dire la symétrie et ce qu'elle impose : « par symétrie sphérique, $\vec E$ est radial et son module ne dépend que de $r$ ».
2 Dessiner la surface de Gauss sur la figure, avec son rayon, pour chaque région.
3 Écrire le flux en une ligne : $\oint\vec E\cdot d\vec A=E\cdot 4\pi r^{2}$ .
4 Calculer $Q_{\text{int}}$ pour CETTE région, en montrant la fraction de volume ou l'intégrale.
5 Isoler $E$ , donner l'expression, puis la valeur numérique avec ses unités et le sens du champ.

Phrase de conclusion

« Par symétrie sphérique, $\vec E$ est radial et ne dépend que de $r$ ; sur la sphère de Gauss de rayon $r$ , $E\cdot 4\pi r^{2}=\dfrac{Q_{\text{int}}(r)}{\varepsilon_0}$ , donc $E(r)=\dfrac{Q_{\text{int}}(r)}{4\pi\varepsilon_0r^{2}}$ . »

Le piège : Recopier la même charge dans toutes les régions : chaque région a sa propre surface, donc sa propre charge enfermée.

Les charges des faces d'un conducteur creux

Quand l'utiliser : « Déterminez la charge des surfaces intérieure et extérieure de la coquille (ou du cylindre creux). »

1 Tracer une surface de Gauss entièrement dans le métal.
2 Écrire : $E=0$ dans le métal à l'équilibre, donc flux nul, donc $Q_{\text{int}}=0$ .
3 En déduire la face intérieure : $q_{\text{int. face}}=-q_{\text{cavité}}$ .
4 La face extérieure prend le reste : $q_{\text{ext. face}}=Q_{\text{conducteur}}-q_{\text{int. face}}$ .

Phrase de conclusion

« La surface de Gauss tracée dans le métal enferme une charge nulle, car $E=0$ dans un conducteur à l'équilibre ; la face intérieure porte donc $-q$ , et la face extérieure $Q+q$ . »

Le piège : Répartir la charge du conducteur moitié-moitié entre les faces, ou laisser la face extérieure neutre.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Continuité à travers une charge volumique

Calculer $E$ à la frontière d'une région volumique par les DEUX expressions voisines : elles doivent coïncider.

Tige de rayon $1{,}00$ cm, $\rho=5{,}00\ \mu\mathrm{C/m^{3}}$ : $\frac{\rho a}{2\varepsilon_0}$ et $\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0a}$ donnent tous deux $2{,}82\times 10^{3}$ N/C. Deux valeurs différentes signalent une charge enfermée fausse.
Le saut à travers une charge de surface

À la traversée d'une face qui porte $\sigma$ , le champ normal saute de $\frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ : un saut là où il n'y a qu'une charge volumique est une erreur.

Face intérieure d'une coquille conductrice : le champ tombe de sa valeur à $0$ d'un seul coup, c'est attendu.
Le comportement lointain

Très loin, toute distribution de charge totale non nulle ressemble à une charge ponctuelle (sphère), à un fil (cylindre) ou à une nappe (plan).

Un résultat extérieur qui ne fait pas apparaître $Q_{\text{tot}}$ , $\lambda_{\text{tot}}$ ou $\sigma_{\text{tot}}$ est faux.
Le signe et le sens

Une charge enfermée négative donne $E_r<0$ : le champ pointe vers le centre ou vers l'axe. Le dire en toutes lettres.

Coquille plus chargée négativement que la boule positive : au-dehors, $E_r<0$ , champ dirigé vers le centre.

L'exercice type décortiqué

Une tige chargée en volume dans une gaine conductrice

Une longue tige isolante de rayon $a=1{,}00$ cm porte une charge volumique uniforme $\rho=5{,}00\ \mu\mathrm{C/m^{3}}$ . Elle est entourée d'une gaine conductrice coaxiale de rayons $b=3{,}00$ cm et $c=3{,}50$ cm, qui porte $-0{,}500$ nC/m. Déterminer le champ en $r=0{,}500$ cm, $1{,}50$ cm, $3{,}20$ cm et $5{,}00$ cm, et les charges des deux faces de la gaine.

Coupe : tige chargée de rayon

a

, vide jusqu'à

b

, gaine métallique de

b

c

; quatre régions, quatre charges enfermées.

Étape 1

Symétrie cylindrique : $\vec E$ radial, $E(r)$ ; surface : cylindre coaxial de rayon $r$ , longueur $L$ , flux $E\cdot 2\pi rL$ .

Pourquoi

C'est l'étape qui rapporte les premiers points et qui justifie d'avoir sorti E de l'intégrale.

Étape 2

$r<a$ : $\lambda_{\text{int}}=\rho\pi r^{2}$ , donc $E=\dfrac{\rho r}{2\varepsilon_0}=\dfrac{5{,}00\times 10^{-6}\times 0{,}00500}{2\times 8{,}85\times 10^{-12}}=1{,}41\times 10^{3}$ N/C.

Pourquoi

Dans la tige, la surface n'enferme qu'une fraction de la charge : c'est le piège de la charge totale évité.

Étape 3

$a<r<b$ : $\lambda=\rho\pi a^{2}=1{,}57$ nC/m, donc $E(1{,}50\ \mathrm{cm})=\dfrac{1{,}57\times 10^{-9}}{2\pi\times 8{,}85\times 10^{-12}\times 0{,}0150}=1{,}88\times 10^{3}$ N/C.

Pourquoi

Toute la tige est enfermée, la gaine ne l'est pas encore.

Étape 4

$b<r<c$ , en $3{,}20$ cm : $E=0$ dans le métal ; d'où la face intérieure $-1{,}57$ nC/m et la face extérieure $-0{,}500+1{,}57=+1{,}07$ nC/m.

Pourquoi

La surface de Gauss dans le métal donne à la fois le champ et la répartition des charges.

Étape 5

$r>c$ : $\lambda_{\text{tot}}=1{,}07$ nC/m, $E(5{,}00\ \mathrm{cm})=\dfrac{1{,}07\times 10^{-9}}{2\pi\times 8{,}85\times 10^{-12}\times 0{,}0500}=385$ N/C, vers l'extérieur.

Pourquoi

Dehors, toute la charge compte, celle de la gaine comprise, et elle peut changer le sens.

Étape 6

Vérification en $r=a$ : $\dfrac{\rho a}{2\varepsilon_0}=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0a}=2{,}82\times 10^{3}$ N/C.

Pourquoi

Le champ est continu à la frontière d'une charge volumique : les deux expressions doivent se raccorder.

Conclusion rédigée

$E=1{,}41\times 10^{3}$ N/C en $0{,}500$ cm, $1{,}88\times 10^{3}$ N/C en $1{,}50$ cm, $0$ dans la gaine et $385$ N/C vers l'extérieur en $5{,}00$ cm ; la gaine porte $-1{,}57$ nC/m dedans et $+1{,}07$ nC/m dehors.

L'erreur classique sur cet exercice : Prendre $-0{,}500$ nC/m pour la face extérieure de la gaine, ce qui donne un champ extérieur dirigé vers l'axe : la face intérieure a déjà pris $-1{,}57$ nC/m.

À savoir par cœur

• $\oint\vec E\cdot d\vec A=\dfrac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}$ : toujours vrai, utile seulement avec une symétrie sphérique, cylindrique ou plane.
• $Q_{\text{int}}$ est la charge de la surface qui passe PAR LE POINT, jamais celle de l'objet entier tant qu'on est dedans.
• Densité variable : on intègre des coquilles, $dq=\rho\,4\pi r^{2}dr$ ou $\rho\,2\pi rL\,dr$ .
• Sphère : $\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^{2}}$ dehors ; fil : $\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}$ ; nappe : $\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ ; surface de conducteur : $\frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ .
• Conducteur à l'équilibre : $E=0$ dans le métal, face de cavité $-q$ , face extérieure $Q+q$ .
• Le champ saute à travers une charge de SURFACE, il est continu à travers une charge VOLUMIQUE.

Questions fréquentes

Comment choisir la surface de Gauss en PHS0102 ?

On regarde la symétrie de la distribution, pas le nom de l'objet. Tout centré sur un point : une sphère concentrique. Tout centré sur une droite infinie : un cylindre coaxial, dont les deux disques ne donnent aucun flux. Tout parallèle à un plan infini : une boîte qui traverse le plan. Dans tous les cas, la surface passe par le point où l'on cherche le champ.

Quelle charge mettre dans le théorème de Gauss quand le point est à l'intérieur de la sphère ?

Seulement la charge enfermée par la sphère de Gauss qui passe par le point. Pour une boule uniforme, c'est la charge totale multipliée par le cube du rapport du rayon du point au rayon de la boule. Prendre la charge totale donne un champ huit fois trop grand à mi-rayon et infini au centre, où le vrai champ est nul.

Comment trouver la charge sur les faces d'un cylindre métallique creux qui entoure un fil ?

On trace une surface de Gauss dans le métal du cylindre. Le champ y est nul à l'équilibre, donc la charge enfermée aussi : la face intérieure porte l'opposé de la charge du fil. La face extérieure porte le reste, c'est-à-dire la charge totale du cylindre moins celle de sa face intérieure.

Pourquoi le champ d'une plaque infinie ne dépend-il pas de la distance ?

La boîte de Gauss qui traverse la plaque reçoit le même flux quelle que soit sa longueur, puisque le champ est perpendiculaire à la plaque et que la paroi latérale ne compte pas. On obtient sigma sur deux epsilon zéro, sans distance. Pour une vraie plaque, cela vaut tant que la distance reste petite devant ses dimensions.

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Exercices corrigés : Le théorème de Gauss

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Le potentiel électrique

© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/phs0102-theoreme-gauss. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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Les trois symétries qui rendent le théorème utile

Légende : les mots du tableau

L'essentiel

La méthode en cinq gestes

La charge enfermée, région par région

Conducteur à l'équilibre : ce que Gauss impose

Les pièges qui coûtent des points

1. Champ à l'intérieur d'une boule uniformément chargée de rayon $R$

2. Sphère de rayon $R=15{,}0$ cm dont la densité vaut $\rho=ar$ , avec $a=4{,}00\ \mu\mathrm{C/m^{4}}$

3. Tube isolant de rayons $1{,}00$ et $2{,}00$ cm, $\rho=3{,}00\ \mu\mathrm{C/m^{3}}$ , champ en $r=1{,}50$ cm

4. Charge $+3$ nC au centre d'une coquille conductrice qui porte $-1$ nC

5. Grande plaque uniformément chargée, $\sigma=0{,}120\ \mu\mathrm{C/m^{2}}$ , champ à $3$ cm puis à $6$ cm

6. Superposition : $3{,}00\times 10^{4}$ N/C selon $x$ et $4{,}00\times 10^{4}$ N/C selon $y$

7. Disque d'aire $0{,}0300\ \mathrm{m^{2}}$ dont le plan fait $20{,}0°$ avec un champ de $500$ N/C

Quelle méthode choisir

Quelle surface de Gauss, selon la distribution

Quelle charge enfermée, selon où tombe le point

La rédaction attendue

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Les charges des faces d'un conducteur creux

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Questions fréquentes

Comment choisir la surface de Gauss en PHS0102 ?

Quelle charge mettre dans le théorème de Gauss quand le point est à l'intérieur de la sphère ?

Comment trouver la charge sur les faces d'un cylindre métallique creux qui entoure un fil ?

Pourquoi le champ d'une plaque infinie ne dépend-il pas de la distance ?

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Légende : les mots du tableau

L'essentiel

La méthode en cinq gestes

La charge enfermée, région par région

Conducteur à l'équilibre : ce que Gauss impose

Les pièges qui coûtent des points

1. Champ à l'intérieur d'une boule uniformément chargée de rayon RRR

2. Sphère de rayon R=15,0R=15{,}0R=15,0 cm dont la densité vaut ρ=ar\rho=arρ=ar, avec a=4,00 μC/m4a=4{,}00\ \mu\mathrm{C/m^{4}}a=4,00 μC/m4

3. Tube isolant de rayons 1,001{,}001,00 et 2,002{,}002,00 cm, ρ=3,00 μC/m3\rho=3{,}00\ \mu\mathrm{C/m^{3}}ρ=3,00 μC/m3, champ en r=1,50r=1{,}50r=1,50 cm

4. Charge +3+3+3 nC au centre d'une coquille conductrice qui porte −1-1−1 nC

5. Grande plaque uniformément chargée, σ=0,120 μC/m2\sigma=0{,}120\ \mu\mathrm{C/m^{2}}σ=0,120 μC/m2, champ à 333 cm puis à 666 cm

6. Superposition : 3,00×1043{,}00\times 10^{4}3,00×104 N/C selon xxx et 4,00×1044{,}00\times 10^{4}4,00×104 N/C selon yyy

7. Disque d'aire 0,0300 m20{,}0300\ \mathrm{m^{2}}0,0300 m2 dont le plan fait 20,0°20{,}0°20,0° avec un champ de 500500500 N/C

Quelle méthode choisir

Quelle surface de Gauss, selon la distribution

Quelle charge enfermée, selon où tombe le point

La rédaction attendue

Gauss par régions, la copie attendue

Les charges des faces d'un conducteur creux

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Une tige chargée en volume dans une gaine conductrice

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Comment choisir la surface de Gauss en PHS0102 ?

Quelle charge mettre dans le théorème de Gauss quand le point est à l'intérieur de la sphère ?

Comment trouver la charge sur les faces d'un cylindre métallique creux qui entoure un fil ?

Pourquoi le champ d'une plaque infinie ne dépend-il pas de la distance ?

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1. Champ à l'intérieur d'une boule uniformément chargée de rayon $R$

2. Sphère de rayon $R=15{,}0$ cm dont la densité vaut $\rho=ar$ , avec $a=4{,}00\ \mu\mathrm{C/m^{4}}$

3. Tube isolant de rayons $1{,}00$ et $2{,}00$ cm, $\rho=3{,}00\ \mu\mathrm{C/m^{3}}$ , champ en $r=1{,}50$ cm

4. Charge $+3$ nC au centre d'une coquille conductrice qui porte $-1$ nC

5. Grande plaque uniformément chargée, $\sigma=0{,}120\ \mu\mathrm{C/m^{2}}$ , champ à $3$ cm puis à $6$ cm

6. Superposition : $3{,}00\times 10^{4}$ N/C selon $x$ et $4{,}00\times 10^{4}$ N/C selon $y$

7. Disque d'aire $0{,}0300\ \mathrm{m^{2}}$ dont le plan fait $20{,}0°$ avec un champ de $500$ N/C