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Cégep • Montréal

Probabilités et statistique 201-SN1-RE

Le cours de probabilités et statistique 201-SN1-RE est le quatrième cours obligatoire de mathématiques du programme révisé de Sciences de la nature. Il change la question posée : on ne cherche plus la valeur exacte d'une grandeur, on mesure ce qu'un échantillon permet d'affirmer sur une population, et avec quelle confiance. Chaque chapitre a ici sa série corrigée et sa fiche, de la statistique descriptive au test d'indépendance du khi-carré.

8 séries d'exercices entièrement corrigés (88 exercices), 8 fiches de révision, un examen blanc. Gratuit, sans compte. Le même cours en anglais.

Statistique descriptive

  1. 1 Statistique descriptive : tendance centrale, dispersion et position Population et échantillon, types de variables, données condensées et groupées en classes, moyenne, médiane et mode, variance et écart-type, cote z, rang centile, quartiles et boîte à moustaches, sur des données de sciences de la nature : particules fines, débit d'une rivière, truites, glace, nitrates, précipitations. Avec les démonstrations du cours : formule de calcul, moyenne qui minimise les carrés des écarts, diviseur n moins 1. Fiche

Probabilités et variables aléatoires

  1. 2 Dénombrement : permutations, arrangements, combinaisons, Pascal et binôme Choisir entre permutation, arrangement et combinaison en une phrase, compter au moins un par le contraire, dénombrer des ensembles qui se recoupent par inclusion-exclusion, lire un coefficient du binôme de Newton et démontrer la formule de Pascal en comptant des configurations de spins. Puis des problèmes de sciences de la nature : séquences d'ADN et codons, plan de criblage d'additifs sur microplaques, et deux loteries fictives comparées. Fiche
  2. 3 Probabilités et probabilités conditionnelles : axiomes, indépendance, Bayes Des axiomes aux règles de calcul, démontrées. Incompatibles contre indépendants, tableau de contingence, arbre pondéré, probabilités totales et formule de Bayes démontrée, sur des données de sciences de la nature : génétique mendélienne, ADN environnemental, puits contaminés, télescope à muons, fiabilité d'une station isolée. Puis Monty Hall selon ce que sait celle qui ouvre, et un test de potabilité mené jusqu'à la décision. Fiche
  3. 4 Variables aléatoires discrètes et continues : loi, densité, espérance et variance La loi d'une variable discrète et sa fonction de répartition en escalier, l'espérance et la variance, et les propriétés de E(aX+b) et V(aX+b) démontrées. Puis la variable continue avec le calcul intégral : densité et constante de normalisation, probabilité par intégrale, fonction de répartition, médiane, espérance et variance par substitution et par parties, loi uniforme démontrée. Des données de terrain : nids d'hirondelles, mutations, grêlons, germination, sondeur de lac, dispersion des graines. Fiche
  4. 5 Loi binomiale et loi normale : conditions, table, approximation Reconnaître une loi binomiale et voir ses conditions tomber, démontrer E(X) = np et V(X) = np(1 - p), étudier la densité normale et lire sa table dans les deux sens, standardiser par un changement de variable, approcher une binomiale par une normale avec la correction de continuité. Contextes de sciences de la nature : germination, pH de la pluie, ailes d'abeilles, oïdium, colonies bactériennes. Fiche

Inférence statistique

  1. 6 Intervalles de confiance : moyenne, Student et proportion La moyenne d'un échantillon comme variable aléatoire, avec son espérance et sa variance démontrées, le théorème central limite et ses conditions, puis les trois intervalles du cours : moyenne d'un grand échantillon, moyenne d'un petit échantillon par la loi de Student, proportion. Taille d'échantillon pour une marge visée, vingt intervalles simulés pour comprendre ce que veut dire 95 %, et deux études de terrain : le mercure des dorés d'un lac et l'effectif des bernaches d'une aire de halte. Fiche
  2. 7 Tests d'hypothèse : moyenne, Student et proportion Poser H0 et H1 sur sept études de sciences de la nature, puis mener les trois tests du cours : une moyenne avec un grand échantillon (un engrais), une moyenne avec la loi de Student (le phosphore d'un lac, une floraison), une proportion (des grenouilles malformées). Région critique, valeur p, lien avec l'intervalle de confiance démontré, erreurs de première et de seconde espèce chiffrées sur le plomb de l'eau potable, et la table de Student retrouvée par une intégrale. Fiche

Lien entre deux variables

  1. 8 Régression linéaire et test d'indépendance du khi-carré Le lien entre deux variables, sur des données de sciences de la nature : nuage de points, covariance, coefficient de corrélation, droite des moindres carrés démontrée, coefficient de détermination, interpolation et extrapolation, point influent et résidus. Puis les variables qualitatives : tableau de contingence, effectifs théoriques, degrés de liberté et test d'indépendance du khi-carré, jusqu'à une étude complète sur les salamandres d'une forêt. Fiche

Quand les chapitres sont faits

Une épreuve complète, en conditions d'examen. À faire une fois derrière vous les chapitres qu'elle couvre : elle mesure ce que vous savez faire sur une question jamais vue.

Examen blanc

Épreuve de synthèse

Un examen final de trois heures, onze exercices sur 100 points, calqué sur le devis du cours de probabilités et statistique de Sciences de la nature : données groupées d'un inventaire forestier, pièges photographiques et formule de Bayes, analyses regroupées, densité de la superficie des feux, saumoneaux et loi binomiale, radon et test sur une moyenne, loi de Student sur une source, tiques et proportion, régression de l'oxygène dissous, et un problème complet sur le sel de déglaçage et les grenouilles des bois.

  • 11 exercices
  • 100 points
  • 180 minutes
Passer l'épreuve

Ce qu'il faut tenir avant

Le programme de Probabilités et statistique 201-SN1-RE s'appuie sur 3 chapitres venus d'avant. Ce ne sont pas des révisions de confort : chacun est le point d'appui d'un chapitre listé ci-dessus, et un élève qui décroche en cours d'année décroche presque toujours sur l'un d'eux. Tous ont leur fiche de révision, à lire d'une traite avant la rentrée.

Secondaire 3

Secondaire 4

Calcul intégral 201-SN3-RE (ancien 201-NYB)

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