Exercices corrigés : tests d'hypothèse (201-SN1-RE)

$n\geq 30$ : on remplace $\sigma$ par $s$ et on utilise la loi normale.

Le signe dit de quel côté de $\mu_{0}$ tombe l'échantillon ; on le garde.

$n<30$ et population normale : loi de Student à $n-1=8$ degrés de liberté.

$\hat{p}=\dfrac{230}{500}=0{,}46$ et, sous $H_{0}$, $\sigma_{\hat{P}}=\sqrt{\dfrac{0{,}40\times 0{,}60}{500}}\approx 0{,}02191$.

Toute l'aire $\alpha=0{,}025$ est dans la queue gauche : la valeur critique laisse $2{,}5\,\%$ à sa gauche, c'est $-z_{0{,}025}=-1{,}96$.

Piège : prendre $-1{,}645$ parce que le test est unilatéral. $1{,}645$ correspond à $5\,\%$ dans une queue, pas à $2{,}5\,\%$.

$P(Z<-2{,}15)=1-0{,}9842=0{,}0158$, et le test est bilatéral :

$|z|=2{,}05>1{,}96$ : $z$ tombe dans la région critique, on rejette $H_{0}$ au seuil de $5\,\%$.

On rejette quand $\dfrac{\overline{x}-200}{15/\sqrt{25}}>1{,}645$, c'est-à-dire quand

Donc $c\approx 204{,}94$.

Loi de Student à $14$ degrés de liberté : on rejette quand $|t|>2{,}145$. Ici $|t|=2{,}40>2{,}145$ : on rejette $H_{0}$.

Paramètre $\mu$, rendement moyen de toutes les parcelles traitées.

$H_{0}:\mu=3{,}20$ et $H_{1}:\mu>3{,}20$.

Test unilatéral à droite, car seule une HAUSSE du rendement intéresse l'agronome ; une baisse ne ferait pas adopter l'engrais non plus, mais ce n'est pas ce qu'il cherche à établir.

Paramètre $\mu$, concentration moyenne en plomb au robinet du réseau.

$H_{0}:\mu=8$ et $H_{1}:\mu<8$.

Test unilatéral à gauche, car c'est la conformité qui doit être PROUVÉE : on ne déclare l'eau sûre que si les données placent la moyenne sous la norme.

Paramètre $\mu$, concentration moyenne de phosphore total du lac cet été.

$H_{0}:\mu=20$ et $H_{1}:\mu>20$.

Test unilatéral à droite, car l'association ne s'inquiète que d'un dépassement : une concentration plus basse que le seuil ne demande aucune action.

Paramètre $\mu$, moyenne de toutes les mesures que donnerait le montage.

$H_{0}:\mu=9{,}81$ et $H_{1}:\mu\neq9{,}81$.

Test bilatéral, car un biais dans un sens ou dans l'autre est un défaut du montage : on ne sait pas d'avance de quel côté il tombe.

Paramètre $\mu$, durée moyenne de la réaction avec catalyseur.

$H_{0}:\mu=120$ et $H_{1}:\mu<120$.

Test unilatéral à gauche, car le catalyseur doit RÉDUIRE la durée ; une durée plus longue ne le rendrait pas utile.

Paramètre $p$, proportion de grenouilles malformées dans l'étang.

$H_{0}:p=0{,}05$ et $H_{1}:p>0{,}05$.

Test unilatéral à droite, car le soupçon porte sur un taux plus élevé que celui des étangs témoins.

Paramètre $\mu$, durée moyenne de floraison actuelle.

$H_{0}:\mu=18$ et $H_{1}:\mu<18$.

Test unilatéral à gauche, car la question est une diminution ; une durée allongée serait une autre étude.

Les hypothèses portent sur un PARAMÈTRE de la population, inconnu : ici $\mu$, le rendement moyen de toutes les parcelles qu'on traiterait avec l'engrais.

$\overline{x}$ est une statistique de l'échantillon : une fois la récolte pesée, sa valeur est connue, et une hypothèse sur elle n'a pas de sens.

Il faut écrire $H_{0}:\mu=3{,}20$ et $H_{1}:\mu>3{,}20$. On écrit l'égalité dans $H_{0}$ même si l'on pense « $\mu\leq 3{,}20$ » : c'est la valeur sous laquelle on fera tous les calculs, le cas limite entre les deux hypothèses.

Piège : écrire l'affirmation à établir dans $H_{0}$. Un test ne peut que rejeter $H_{0}$ ou ne pas la rejeter ; ce qu'on veut établir va donc dans $H_{1}$.

Un test ne rejette $H_{0}$ que si les données sont nettement incompatibles avec elle. Avec $H_{1}:\mu>8$, un petit échantillon peu concluant mène à ne pas rejeter $\mu=8$ : on ne prouve pas la contamination, et l'eau reste en service.

L'eau serait donc déclarée acceptable PAR DÉFAUT, simplement faute de données. Avec $H_{1}:\mu<8$, c'est l'inverse : tant que la conformité n'est pas établie, l'eau n'est pas déclarée conforme.

Le choix de $H_{1}$ décide qui porte la charge de la preuve. En santé publique, c'est à la conformité d'être prouvée, et l'exercice 6 chiffre les deux erreurs que ce choix répartit.

Le paramètre est $\mu$, le rendement moyen de TOUTES les parcelles de la station qu'on traiterait avec l'engrais.

$H_{0}:\mu=3{,}20$ t/ha (l'engrais ne change rien) et $H_{1}:\mu>3{,}20$ t/ha (il augmente le rendement moyen). Test unilatéral à droite.

Le théorème central limite porte sur la MOYENNE : pour $n\geq 30$ tirages indépendants, $\overline{X}$ suit approximativement une loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart-type $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$, quelle que soit la forme de la distribution des rendements, pourvu que $\sigma$ soit fini.

L'asymétrie de l'histogramme décrit les DONNÉES ; elle ne dit rien d'interdit sur la loi de $\overline{X}$. Avec $n=40$, l'approximation normale est raisonnable, d'autant que l'asymétrie reste modérée.

Pour la même raison, avec $n\geq 30$, $s$ estime $\sigma$ avec assez de précision pour qu'on garde la loi normale : c'est la convention du cours pour une moyenne avec $n\geq 30$.

Piège : conclure qu'un test est impossible parce que les données ne sont pas normales. Cette condition ne sert que pour $n<30$ (exercice 3).

$\sigma_{\overline{X}}\approx\dfrac{s}{\sqrt{n}}=\dfrac{0{,}52}{\sqrt{40}}\approx 0{,}0822$ t/ha

Le calcul se fait SOUS $H_{0}$ : la loi de $\overline{X}$ est centrée sur $\mu_{0}=3{,}20$, et c'est l'écart à cette valeur qu'on mesure en erreurs types.

Test unilatéral à droite au seuil de $5\,\%$ : on rejette $H_{0}$ quand $z>1{,}645$.

En rendement : $\dfrac{\overline{x}-3{,}20}{0{,}0822}>1{,}645 \iff \overline{x}>3{,}20+1{,}645\times 0{,}0822\approx 3{,}335$ t/ha.

La région critique se fixe AVANT de regarder $\overline{x}$ : elle ne dépend que de $\mu_{0}$, de l'erreur type et du seuil.

$z\approx 2{,}19>1{,}645$, ou encore $\overline{x}=3{,}38>3{,}335$ : on rejette $H_{0}$.

Conclusion : au seuil de $5\,\%$, les données des $40$ parcelles permettent de conclure que l'engrais augmente le rendement moyen de cette variété dans cette station.

La conclusion parle du rendement moyen et de la station étudiée ; elle ne dit rien d'une autre variété ni d'un autre sol.

Si l'engrais était sans effet, un rendement moyen d'au moins $3{,}38$ t/ha sur $40$ parcelles n'apparaîtrait que dans environ $1{,}4\,\%$ des échantillons.

$p=0{,}0143<0{,}05$ : on rejette $H_{0}$, comme en e). Les deux règles, région critique et valeur $p$, donnent toujours la même décision.

Au seuil de $1\,\%$, on rejette quand $z>2{,}326$, soit $\overline{x}>3{,}20+2{,}326\times 0{,}0822\approx 3{,}391$ t/ha.

$\overline{x}=3{,}38<3{,}391$ (ou $p=0{,}0143>0{,}01$) : on ne rejette pas $H_{0}$.

Conclusion : au seuil de $1\,\%$, les données ne permettent pas de conclure à une hausse du rendement moyen.

Piège : écrire « au seuil de $1\,\%$, l'engrais est sans effet ». Ne pas rejeter $H_{0}$ ne la démontre pas : les mêmes données montrent un effet probable, simplement pas assez net pour un seuil aussi exigeant.

$\overline{x}=\dfrac{211{,}0}{10}=21{,}10$ µg/L.

$s=\sqrt{\dfrac{\sum (x_{i}-\overline{x})^{2}}{n-1}}=\sqrt{\dfrac{42{,}02}{9}}\approx 2{,}16$ µg/L

À la calculatrice : mode statistique, liste des dix valeurs, et lire $s_{x}$ (et non $\sigma_{x}$, qui divise par $n$).

Avec $n=10<30$, le théorème central limite ne garantit plus que $\overline{X}$ soit normale, et $s$, calculé sur dix valeurs, est une estimation incertaine de $\sigma$.

Si la population des concentrations est NORMALE, la statistique $T=\dfrac{\overline{X}-\mu_{0}}{S/\sqrt{n}}$ suit exactement une loi de Student à $n-1=9$ degrés de liberté : c'est la condition qui remplace $n\geq 30$.

Le diagramme ne prouve pas la normalité, mais il la rend plausible : une seule bosse, pas de forte asymétrie, aucune valeur isolée loin des autres.

Piège : utiliser $z_{0{,}05}=1{,}645$. Les queues de la loi de Student sont plus lourdes ; sa valeur critique, $1{,}833$, est plus grande.

Test unilatéral à droite, $9$ degrés de liberté : on rejette $H_{0}$ si $t>1{,}833$.

$t\approx 1{,}61<1{,}833$ : on ne rejette pas $H_{0}$.

Conclusion : au seuil de $5\,\%$, ces dix mesures ne permettent pas de conclure que la concentration moyenne de phosphore de l'été dépasse $20$ µg/L.

Piège : écrire « le lac respecte le seuil ». La moyenne observée, $21{,}10$, est au-dessus de $20$ ; le test dit seulement que cet écart peut venir du hasard de dix prélèvements.

La valeur $p$ est l'aire à droite de $t=1{,}61$ sous la loi de Student à $9$ degrés de liberté.

$1{,}383<1{,}61<1{,}833$, donc $0{,}05<p<0{,}10$.

Une table de Student ne donne qu'un encadrement ; un logiciel donnerait $p\approx 0{,}071$, cohérent avec l'encadrement.

Sans $17{,}2$ : $\overline{x}\approx 21{,}53$, $s\approx 1{,}77$, $n=9$, donc $8$ degrés de liberté et

Ce second test rejetterait $H_{0}$, mais il n'a aucune valeur : la mesure a été retirée APRÈS avoir vu qu'elle gênait la conclusion souhaitée. On a choisi les données pour obtenir le résultat.

Une mesure ne s'écarte que pour une raison expérimentale documentée (flacon contaminé, erreur de protocole), décidée sans regarder l'effet sur le test. Sinon, la décision reste celle de d).

Paramètre : $p$, proportion de grenouilles malformées dans tout l'étang.

$H_{0}:p=0{,}05$ et $H_{1}:p>0{,}05$ : unilatéral à droite.

$np_{0}=220\times 0{,}05=11\geq 5$ et $n(1-p_{0})=220\times 0{,}95=209\geq 5$ : sous $H_{0}$, $\hat{P}$ suit approximativement une loi normale.

Les conditions se vérifient avec $p_{0}$, la valeur sous laquelle on calcule. Il faut aussi des captures au hasard et indépendantes : si l'équipe n'avait capturé que les grenouilles lentes, plus souvent malformées, la proportion serait biaisée, et aucun calcul ne le corrigerait.

On rejette $H_{0}$ si $z>2{,}326$. Ici $z\approx 2{,}47>2{,}326$ : on rejette $H_{0}$.

Conclusion : au seuil de $1\,\%$, les données permettent de conclure que la proportion de grenouilles malformées dans cet étang dépasse le taux de $5\,\%$ des étangs témoins.

Si le taux de l'étang était de $5\,\%$, on ne trouverait $19$ malformées ou plus sur $220$ que dans environ $0{,}7\,\%$ des échantillons. $p<0{,}01$ : même décision qu'en d).

Avec $\hat{p}$ : $\sqrt{\dfrac{0{,}0864\times 0{,}9136}{220}}\approx 0{,}0189$ et $z\approx\dfrac{0{,}0364}{0{,}0189}\approx 1{,}92<2{,}326$ : il ne rejetterait pas $H_{0}$.

Or tout le test raisonne SOUS $H_{0}$ : on calcule la loi de $\hat{P}$ en supposant $p=0{,}05$, et dans ce monde l'erreur type vaut $\sqrt{\frac{0{,}05\times 0{,}95}{220}}$. Mettre $\hat{p}$, c'est mélanger deux hypothèses dans un même calcul.

Piège : la formule de l'intervalle de confiance, qui utilise $\hat{p}$ parce qu'il n'y a pas de valeur supposée. Ici l'erreur coûte toute la conclusion, comme le montre la figure.

Plus $\hat{p}$ s'éloigne de $p_{0}$, plus les deux erreurs types diffèrent, et plus ce choix pèse sur la décision.

Le test établit une seule chose : dans cet étang, la proportion de malformées dépasse $5\,\%$, avec un risque de première espèce de $1\,\%$.

Il ne dit rien de la CAUSE : l'étude est observationnelle. L'étang diffère des étangs témoins par les cultures voisines, mais peut-être aussi par sa température, ses parasites (certains trématodes provoquent des malformations des membres) ou sa faune.

Pour attribuer la hausse aux pesticides, il faudrait mesurer leur concentration dans plusieurs étangs, ou une expérience contrôlée en laboratoire. Le rapport doit écrire « est associée à la proximité des cultures, sans que la cause soit établie ».

Paramètre : $\mu$, la moyenne de toutes les valeurs de $g$ que donnerait ce montage. $H_{0}:\mu=9{,}81$ m/s² (pas de biais) et $H_{1}:\mu\neq 9{,}81$ m/s².

Bilatéral : on cherche un défaut du montage, et l'on ne sait pas d'avance s'il surestime ou sous-estime $g$. Le choix se fait AVANT de voir que $\overline{x}<9{,}81$.

$n=50\geq 30$ : $\sigma_{\overline{X}}\approx\dfrac{0{,}092}{\sqrt{50}}\approx 0{,}0130$ m/s².

Bilatéral au seuil de $5\,\%$ : on rejette si $|z|>1{,}96$. Ici $|z|\approx 2{,}77>1{,}96$ : on rejette $H_{0}$.

Si le montage n'avait aucun biais, une moyenne de $50$ mesures au moins aussi éloignée de $9{,}81$, d'un côté ou de l'autre, n'apparaîtrait que dans environ $0{,}56\,\%$ des cas.

L'intervalle est $[9{,}748\,;\,9{,}800]$ m/s² : il ne contient pas $9{,}81$, ce qui donne la même décision qu'en b).

Notons $e=\sigma_{\overline{X}}$ l'erreur type, la même dans le test et dans l'intervalle. Le test bilatéral rejette $H_{0}$ si et seulement si

C'est exactement l'intervalle de confiance de niveau $1-\alpha$. Chaque étape est une équivalence, donc les deux règles donnent toujours la même décision.

Deux conditions tiennent cette équivalence : un test BILATÉRAL, et la même erreur type des deux côtés. Pour une proportion, le test utilise $p_{0}$ et l'intervalle $\hat{p}$ (exercice 4) : l'équivalence n'est alors qu'approximative.

$\overline{x}\pm 2{,}576\times 0{,}01301=9{,}774\pm 0{,}0335$, soit $[9{,}740\,;\,9{,}808]$ m/s².

$9{,}81>9{,}808$ : la valeur de référence est hors de l'intervalle à $99\,\%$, donc on rejette $H_{0}$ au seuil de $1\,\%$, sans autre calcul. C'est cohérent avec $p=0{,}0056<0{,}01$.

La marge est mince : $9{,}81$ n'est qu'à $0{,}002$ m/s² de la borne. Arrondir trop tôt l'erreur type à $0{,}013$ suffirait à brouiller la lecture.

Conclusion : au seuil de $1\,\%$, les données des $50$ mesures permettent de conclure que le montage donne en moyenne une valeur de $g$ différente de $9{,}81$ m/s², et plus faible.

$g=\frac{4\pi^{2}L}{T^{2}}$ sous-estime $g$ si $T$ est trop grand. La formule n'est valable que pour de petites oscillations : à grande amplitude, la période réelle s'allonge, ce qui baisse $g$ à chaque mesure, dans le même sens.

Une erreur aléatoire de chronométrage disperse les mesures sans les décaler toutes du même côté : elle augmente $s$, pas l'écart moyen. Mesurer $L$ jusqu'au centre de la masse est la bonne pratique.

Piège : conclure que $g$ vaut $9{,}774$ m/s² au laboratoire. Le test juge le MONTAGE, pas la valeur de $g$.