Intervalles de confiance 201-SN1-RE : fiche de révision

Le fil du chapitre

L'écart-type des individus n'est pas celui de la moyenne : l'intervalle se construit avec l'erreur type $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ (ou $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ ), son 95 % qualifie la méthode et non le paramètre, et il ne vaut que sous ses conditions.

Notions couvertes

Distribution d'échantillonnage
Erreur type
Théorème central limite
Échantillonnage avec remise
Intervalle de confiance
Niveau de confiance
Marge d'erreur
Loi de Student
Degrés de liberté
Estimation d'une proportion
Taille d'échantillon

Le tableau du chapitre

Les trois intervalles du devis, reconnus en un coup d'œil

Lisez la ligne « Ce qu'on estime », puis la taille de l'échantillon : la colonne est choisie. Le reste de la colonne se recopie sur la copie, conditions comprises.

Critère	Moyenne, $n\ge 30$ grand échantillon	Moyenne, $n<30$ petit échantillon	Proportion, $n\ge 30$ succès sur n
Ce qu'on estime	la moyenne $\mu$ d'une mesure (teneur, masse, concentration)	la moyenne $\mu$ d'une mesure, avec peu de données	la proportion $p$ d'individus qui ont un caractère
Conditions	échantillon aléatoire, observations indépendantes, $n\ge 30$	échantillon aléatoire, population supposée normale (ni forte asymétrie ni valeur aberrante)	échantillon aléatoire, $n\ge 30$ , $n\hat{p}\ge 5$ et $n(1-\hat{p})\ge 5$
Erreur type	$\dfrac{s}{\sqrt{n}}$	$\dfrac{s}{\sqrt{n}}$	$\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$
Valeur critique	$z$ : $1{,}645$ ; $1{,}96$ ; $2{,}576$	$t$ de Student à $n-1$ degrés de liberté, lu dans la table	$z$ : $1{,}645$ ; $1{,}96$ ; $2{,}576$
Intervalle	$\overline{x}\pm z\dfrac{s}{\sqrt{n}}$	$\overline{x}\pm t\dfrac{s}{\sqrt{n}}$	$\hat{p}\pm z\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$
Piège typique	diviser par $s$ au lieu de $\frac{s}{\sqrt{n}}$	prendre $1{,}96$ : l'intervalle est trop étroit	la racine qui ne couvre pas le $n$

Moyenne,

n\ge 30

grand échantillon

Ce qu'on estime: la moyenne $\mu$ d'une mesure (teneur, masse, concentration)
Conditions: échantillon aléatoire, observations indépendantes, $n\ge 30$
Erreur type: $\dfrac{s}{\sqrt{n}}$
Valeur critique: $z$ : $1{,}645$ ; $1{,}96$ ; $2{,}576$
Intervalle: $\overline{x}\pm z\dfrac{s}{\sqrt{n}}$
Piège typique: diviser par $s$ au lieu de $\frac{s}{\sqrt{n}}$

Moyenne,

n<30

petit échantillon

Ce qu'on estime: la moyenne $\mu$ d'une mesure, avec peu de données
Conditions: échantillon aléatoire, population supposée normale (ni forte asymétrie ni valeur aberrante)
Erreur type: $\dfrac{s}{\sqrt{n}}$
Valeur critique: $t$ de Student à $n-1$ degrés de liberté, lu dans la table
Intervalle: $\overline{x}\pm t\dfrac{s}{\sqrt{n}}$
Piège typique: prendre $1{,}96$ : l'intervalle est trop étroit

Proportion,

n\ge 30

succès sur n

Ce qu'on estime: la proportion $p$ d'individus qui ont un caractère
Conditions: échantillon aléatoire, $n\ge 30$ , $n\hat{p}\ge 5$ et $n(1-\hat{p})\ge 5$
Erreur type: $\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$
Valeur critique: $z$ : $1{,}645$ ; $1{,}96$ ; $2{,}576$
Intervalle: $\hat{p}\pm z\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$
Piège typique: la racine qui ne couvre pas le $n$

Légende : les mots du tableau

Échantillon aléatoire: Chaque individu de la population a la même chance d'être tiré. Sans lui, aucune marge ne veut rien dire.
Population supposée normale: Hypothèse que les valeurs de la population suivent une loi normale ; on la juge plausible sur un graphique des données.
Student: Loi de $T=\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}$ quand la population est normale : plus étalée que la normale, elle s'en rapproche quand $n$ grandit.
Degrés de liberté: $n-1$ pour un intervalle sur une moyenne : un degré est consommé par $\overline{x}$ , qui sert à calculer $s$ .

Le cas « moyenne, $n<30$ » sur des données très asymétriques n'a pas de méthode dans ce cours : on le dit, et on augmente l'échantillon.

L'essentiel

Deux écarts-types à ne jamais confondre

• $\sigma$ (estimé par $s$ ) mesure la dispersion des INDIVIDUS : un grain, un poisson, un jour.
• $\sigma_{\overline{X}}=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ , l'ERREUR TYPE, mesure la dispersion de la MOYENNE d'un échantillon de taille $n$ d'un échantillon à l'autre.
• Démonstration avec remise : $E(\overline{X})=\frac{1}{n}\sum E(X_{i})=\mu$ (linéarité) et $V(\overline{X})=\frac{1}{n^{2}}\sum V(X_{i})=\frac{\sigma^{2}}{n}$ (indépendance).
• Pour une proportion, $\hat{P}=\frac{X}{n}$ avec $X$ binomiale : $E(\hat{P})=p$ et $V(\hat{P})=\frac{p(1-p)}{n}$ .

Même centre

5{,}0

ng, mais la moyenne de

36

grains est six fois moins dispersée qu'un grain seul :

\frac{0{,}9}{\sqrt{36}}=0{,}15

ng.

Sans remise, le résultat reste bon tant que n est une petite fraction de la population (règle usuelle : moins de 5 %).

Le théorème central limite, et ce qu'il ne dit pas

• Observations indépendantes, de même loi, $n$ assez grand ( $n\ge 30$ en pratique) : $\overline{X}$ suit approximativement $N\left(\mu\,;\frac{\sigma^{2}}{n}\right)$ , quelle que soit la forme de la population.
• Il porte sur la MOYENNE. Les données gardent leur forme : un histogramme asymétrique reste asymétrique avec $1\,000$ observations.
• Il exige l'indépendance : des individus pris ensemble (même filet, mêmes jours, même famille) donnent une erreur type trop optimiste.
• Sous $30$ observations, il ne suffit plus : la méthode de Student remplace le théorème par l'hypothèse d'une population normale.

Ce que « 95 % » veut dire

• $\mu$ est un nombre FIXE. Ce qui varie d'un échantillon à l'autre, c'est l'intervalle, par son centre $\overline{x}$ et sa largeur, qui dépend de $s$ .
• 95 % est la proportion des échantillons pour lesquels la MÉTHODE produit un intervalle qui contient $\mu$ .
• Un intervalle calculé contient $\mu$ ou ne le contient pas ; on ne sait pas lequel.
• Plus de confiance, intervalle plus large ; plus de données, intervalle plus étroit, en $\frac{1}{\sqrt{n}}$ .

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Attribuer au paramètre la probabilité de la méthode

1 à 2 points, à chaque interprétation demandée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Il y a 95 % de chances que la teneur moyenne soit entre $0{,}40$ et $0{,}52$ mg/kg. »

Ce qu'il faut écrire

« Au niveau de confiance 95 %, la teneur moyenne est comprise entre $0{,}40$ et $0{,}52$ mg/kg : la méthode employée capture la vraie moyenne dans 95 % des échantillons. »

Pourquoi : La moyenne de la population ne bouge pas : une fois l'intervalle calculé, il n'y a plus de hasard. La probabilité appartenait au tirage de l'échantillon.

2. Prendre l'intervalle de la moyenne pour la plage des individus

toute la question d'interprétation

Ce qu'il ne faut pas écrire

« 95 % des grains de pollen pèsent entre $4{,}80$ et $5{,}39$ ng. »

Ce qu'il faut écrire

« La masse MOYENNE des grains est comprise entre $4{,}80$ et $5{,}39$ ng au niveau 95 % ; les grains eux-mêmes sont environ $\sqrt{36}=6$ fois plus dispersés. »

Les

36

grains s'étalent de

3{,}3

6{,}9

ng ; l'intervalle à 95 % de la moyenne,

[4{,}80\,;5{,}39]

, n'en couvre qu'une petite partie, et c'est normal (grains regroupés par

0{,}2

ng).

Pourquoi : L'intervalle est bâti sur l'erreur type, pas sur l'écart-type des individus. C'est le fil du chapitre, et la figure le rend indiscutable.

3. Diviser par l'écart-type au lieu de l'erreur type

2 points et toute la suite de l'exercice

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $z=\dfrac{0{,}5-0{,}42}{0{,}22}\approx 0{,}36$ , donc $P(\overline{X}>0{,}5)\approx 0{,}36$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\sigma_{\overline{X}}=\dfrac{0{,}22}{\sqrt{40}}\approx 0{,}0348$ , donc $z\approx 2{,}30$ et $P(\overline{X}>0{,}5)\approx 0{,}0107$ . »

Pourquoi : Une question sur $\overline{X}$ se standardise avec l'écart-type de $\overline{X}$ . Écrire l'erreur type seule, sur sa ligne, avant toute marge, évite l'oubli.

4. Prendre 1,96 sur un petit échantillon

1 à 2 points, plus l'interprétation

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $n=12$ : $\overline{x}\pm 1{,}96\dfrac{s}{\sqrt{12}}$ au niveau 95 %. »

Ce qu'il faut écrire

« $\sigma$ inconnu et $n=12<30$ , population supposée normale : $\overline{x}\pm t_{0{,}025\,;11}\dfrac{s}{\sqrt{12}}$ , avec $t=2{,}201$ . »

Pourquoi : Avec $1{,}96$ , la méthode ne capture $\mu$ qu'environ 92,4 % du temps à 11 degrés de liberté : on annonce une précision qu'on n'a pas. Le $t$ est TOUJOURS plus grand que $z$ .

5. Croire que n ≥ 30 rend les données normales

1 point de justification

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Comme $n=45\ge 30$ , les teneurs en mercure suivent une loi normale. »

Ce qu'il faut écrire

« Comme $n=45\ge 30$ et que les dorés ont été tirés au hasard, la teneur MOYENNE $\overline{X}$ suit approximativement une loi normale. »

Pourquoi : Le théorème central limite parle de la moyenne. Une population asymétrique le reste ; c'est la moyenne qui devient normale.

6. Arrondir la taille d'échantillon vers le bas

1 point, la réponse finale

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $n\ge 150{,}06$ , donc $n=150$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $n\ge 150{,}06$ , donc $n=151$ : avec $150$ , la marge vaudrait $2{,}0004$ mm, au-dessus de la cible. »

Pourquoi : La condition est une inégalité : le premier entier qui la satisfait est au-dessus. On arrondit TOUJOURS vers le haut, même 150,06.

7. Doubler n pour diviser la marge par deux

1 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Avec deux fois plus de jours de mesure, la marge sera deux fois plus petite. »

Ce qu'il faut écrire

« La marge est en $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ : la diviser par $2$ demande $4$ fois plus de données ; deux fois plus ne la divise que par $\sqrt{2}\approx 1{,}41$ . »

Pourquoi : La précision d'une moyenne progresse comme la racine de l'effort ; c'est ce qui rend les grands échantillons chers.

8. Inverser les bornes après une transformation décroissante

1 point, et un intervalle absurde

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $0{,}111\le p\le 0{,}189$ , donc $\dfrac{600}{0{,}111}\le N\le\dfrac{600}{0{,}189}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $N=\dfrac{600}{p}$ décroît avec $p$ : $\dfrac{600}{0{,}189}\le N\le\dfrac{600}{0{,}111}$ , soit environ $3\,170\le N\le 5\,410$ . »

Pourquoi : Une fonction décroissante échange les bornes. Le niveau de confiance est conservé, puisque les deux encadrements décrivent le même événement.

Quelle méthode choisir

Quel intervalle, z ou t ?

On regarde ce qu'on estime, puis la taille de l'échantillon, puis ce qu'on sait de la population.

4

degrés de liberté, la loi de Student a des queues bien plus épaisses : il faut aller jusqu'à

2{,}776

, et non

1{,}96

, pour laisser

2{,}5\,\%

dans la queue (moitié droite, la figure est symétrique).

Si on compte des succès sur $n$ (une proportion) et $n\ge 30$ , $n\hat{p}\ge 5$ , $n(1-\hat{p})\ge 5$ → intervalle sur une proportion, avec $z$

Exemple : $85$ frênes atteints sur $250$ : $0{,}34\pm 1{,}96\times 0{,}0300$
Si on mesure une grandeur (une moyenne) et $n\ge 30$ → $\overline{x}\pm z\frac{s}{\sqrt{n}}$ , $s$ à la place de $\sigma$

Exemple : $36$ jours d'ozone : $45{,}9\pm 1{,}96\times\frac{10{,}9}{6}$
Si une moyenne, $n<30$ , $\sigma$ inconnu, et un graphique des données sans forte asymétrie ni valeur aberrante → loi de Student à $n-1$ degrés de liberté

Exemple : $12$ entailles d'érable : $2{,}30\pm 2{,}201\times\frac{0{,}316}{\sqrt{12}}$
Si une moyenne, $n<30$ , et des données très asymétriques ou une valeur aberrante → aucune méthode du cours ne s'applique : le dire, et augmenter l'échantillon

transformer la variable ou recourir à une méthode non paramétrique dépasse le devis

Si $\sigma$ est vraiment connu (rare : appareil calibré, population entière déjà mesurée), on garde $z$ avec $\sigma$ , même sur un petit échantillon issu d'une population normale.

Quelle taille d'échantillon ?

On regarde ce qu'on veut estimer et ce qu'on sait déjà.

Si une moyenne, avec un écart-type connu ou estimé par une étude pilote → $n\ge\left(\frac{z\sigma}{E}\right)^{2}$ , arrondi vers le haut

Exemple : $\sigma=12{,}5$ mm, $E=2$ mm : $n\ge 150{,}06$ , donc $n=151$
Si une proportion, sans aucune information → $p=0{,}5$ , le pire cas, car $p(1-p)\le\frac{1}{4}$

Exemple : $E=0{,}05$ : $n\ge 384{,}16$ , donc $n=385$
Si une proportion, avec une estimation antérieure fiable $p_{0}$ → $n\ge\frac{z^{2}p_{0}(1-p_{0})}{E^{2}}$ , arrondi vers le haut

Exemple : $p_{0}=0{,}2$ , $E=0{,}05$ : $n=246$

La taille de la population n'entre pas dans le calcul tant que l'échantillon en reste une petite fraction.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger un intervalle de confiance complet

Quand l'utiliser : « Estimez par un intervalle de confiance », « construisez l'intervalle à 95 % », « que peut-on dire de la moyenne ? »

1 Nommer le paramètre dans le contexte : « $\mu$ , la teneur moyenne en mercure des dorés adultes du lac ».
2 Choisir le cas et vérifier ses conditions par une phrase chacune : échantillon aléatoire, indépendance, $n\ge 30$ (ou normalité plausible, ou $n\hat{p}\ge 5$ et $n(1-\hat{p})\ge 5$ ).
3 Écrire l'erreur type seule, sur sa ligne : $\frac{s}{\sqrt{n}}$ ou $\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$ .
4 Écrire la valeur critique avec son origine : $z_{0{,}025}=1{,}96$ , ou $t_{0{,}025\,;n-1}$ lu dans la table.
5 Calculer la marge, puis les deux bornes, arrondies à la précision des données.
6 Conclure par la phrase type, dans les unités et le vocabulaire du problème.

Phrase de conclusion

« Au niveau de confiance 95 %, la teneur moyenne en mercure des dorés adultes du lac est comprise entre 0,40 et 0,52 mg/kg. »

Le piège : Sauter les conditions : sans elles, le 95 % n'est pas justifié, et le correcteur retire le point même si les bornes sont justes.

Barème : Usuellement : conditions 1 point, erreur type et valeur critique 1 point, bornes 1 point, phrase de conclusion 1 point.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le centre est l'estimation ponctuelle

Faire la moyenne des deux bornes : on doit retrouver $\overline{x}$ ou $\hat{p}$ . La demi-différence est la marge.

$[42{,}3\,;49{,}5]$ a pour centre $45{,}9=\overline{x}$ : bon signe. Un centre à $46{,}5$ trahit une borne mal recopiée.
L'erreur type est bien plus petite que s

Comparer l'erreur type à $s$ : leur rapport doit valoir $\sqrt{n}$ , donc $6$ pour $n=36$ , $10$ pour $n=100$ .

$s=10{,}9$ et une « erreur type » de $10{,}9$ : on a oublié de diviser par $\sqrt{36}=6$ , la marge est six fois trop grande.
Les largeurs se rangent dans le bon ordre

À données égales : intervalle à 90 % plus étroit que 95 %, plus étroit que 99 % ; et intervalle de Student plus large que celui avec $z$ .

Un intervalle à 99 % plus étroit que celui à 95 % signale une valeur critique inversée ( $1{,}96$ et $2{,}576$ échangés).
Une proportion reste entre 0 et 1, une taille est un entier arrondi vers le haut

Relire les bornes d'une proportion et réinjecter la taille trouvée dans la formule de la marge.

$n=150$ redonne une marge de $2{,}0004>2$ : il fallait $151$ .

L'exercice type décortiqué

Dix grains de pollen d'herbe à poux : un intervalle de Student de bout en bout

Une station de surveillance des allergènes pèse dix grains de pollen d'herbe à poux prélevés au hasard sur ses capteurs. Masses, en nanogrammes : $5{,}6$ ; $4{,}8$ ; $5{,}1$ ; $6{,}0$ ; $5{,}3$ ; $4{,}6$ ; $5{,}5$ ; $5{,}0$ ; $5{,}8$ ; $5{,}3$ .

Estimez la masse moyenne $\mu$ des grains par un intervalle de confiance à 95 %. On donne $t_{0{,}025\,;9}=2{,}262$ .

Les dix masses s'étalent de

4{,}6

6{,}0

ng sans valeur isolée ni forte asymétrie : l'hypothèse d'une population normale est plausible.

Étape 1

$\overline{x}=\dfrac{53{,}0}{10}=5{,}30$ ng ; somme des carrés des écarts $1{,}74$ , donc $s=\sqrt{\dfrac{1{,}74}{9}}\approx 0{,}440$ ng.

Pourquoi

On divise par $n-1=9$ : $s$ estime l'écart-type de la population, et diviser par $10$ le sous-estimerait.

Étape 2

Paramètre : $\mu$ , masse moyenne des grains de pollen d'herbe à poux captés. Cas : moyenne, $n=10<30$ , $\sigma$ inconnu.

Pourquoi

Nommer le cas AVANT de calculer choisit la valeur critique ; c'est le point que les copies perdent le plus souvent.

Étape 3

Conditions : grains prélevés au hasard ; la figure ne montre ni forte asymétrie ni valeur aberrante, la population est supposée normale.

Pourquoi

Sous 30 observations, le théorème central limite ne suffit pas : c'est la normalité supposée qui justifie la loi de Student.

Étape 4

Erreur type : $\dfrac{0{,}440}{\sqrt{10}}\approx 0{,}139$ ng ; valeur critique $t_{0{,}025\,;9}=2{,}262$ ; marge $2{,}262\times 0{,}139\approx 0{,}315$ ng.

Pourquoi

L'erreur type posée seule évite d'oublier la racine ; le $t$ à $9$ degrés de liberté, plus grand que $1{,}96$ , paie l'incertitude sur $s$ .

Étape 5

$[5{,}30-0{,}315\,;5{,}30+0{,}315]\approx[4{,}99\,;5{,}61]$ ng

Pourquoi

Les bornes s'arrondissent au centième, un chiffre de plus que les données.

Étape 6

Vérification : centre $\frac{4{,}99+5{,}61}{2}=5{,}30=\overline{x}$ ; avec $1{,}96$ on aurait $\pm 0{,}27$ , plus étroit, comme attendu.

Pourquoi

Deux contrôles en dix secondes : la symétrie autour de l'estimation et l'ordre des largeurs entre $t$ et $z$ .

Conclusion rédigée

« Au niveau de confiance 95 %, la masse moyenne des grains de pollen d'herbe à poux captés par la station est comprise entre 4,99 et 5,61 ng. »

L'erreur classique sur cet exercice : Prendre $1{,}96$ parce que la formule « ressemble » à celle d'un grand échantillon : l'intervalle obtenu, $[5{,}03\,;5{,}57]$ , est trop étroit et ne mérite pas son 95 %.

À savoir par cœur

• Erreur type d'une moyenne : $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ , estimée par $\dfrac{s}{\sqrt{n}}$ ; d'une proportion : $\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$ .
• $z_{0{,}05}=1{,}645$ (90 %), $z_{0{,}025}=1{,}96$ (95 %), $z_{0{,}005}=2{,}576$ (99 %).
• Moyenne, $n<30$ : Student à $n-1$ degrés de liberté, population supposée NORMALE ; $t>z$ toujours.
• Proportion : $n\ge 30$ , $n\hat{p}\ge 5$ et $n(1-\hat{p})\ge 5$ .
• Taille : $n\ge\left(\frac{z\sigma}{E}\right)^{2}$ ou $\frac{z^{2}p(1-p)}{E^{2}}$ , $p=0{,}5$ sans information, TOUJOURS arrondie vers le haut.
• Marge divisée par $2$ : $n$ multiplié par $4$ .
• 95 % qualifie la MÉTHODE : $\mu$ est fixe, l'intervalle varie.

Questions fréquentes

Quand utiliser la loi de Student plutôt que la loi normale pour un intervalle de confiance ?

Pour estimer une moyenne quand l'écart-type de la population est inconnu et que l'échantillon compte moins de 30 observations. On suppose alors la population normale, ce qu'on vérifie sur un graphique des données, et on lit la valeur critique dans la table de Student avec n moins 1 degrés de liberté. Avec 30 observations ou plus, la convention du cours garde la valeur critique de la loi normale, 1,96 à 95 pour cent.

Que veut dire un intervalle de confiance à 95 % ?

Que la méthode utilisée produit, dans 95 pour cent des échantillons possibles, un intervalle qui contient la vraie valeur du paramètre. La moyenne de la population est un nombre fixe : un intervalle déjà calculé la contient ou ne la contient pas. On écrit donc « au niveau de confiance 95 pour cent, la moyenne est comprise entre... », et non « il y a 95 pour cent de chances que la moyenne soit dans l'intervalle ».

Comment calculer la taille d'échantillon pour une marge d'erreur donnée ?

Pour une moyenne, on divise le produit de la valeur critique par l'écart-type par la marge visée, et on élève au carré. Pour une proportion, on multiplie le carré de la valeur critique par p fois 1 moins p, puis on divise par le carré de la marge, avec p égal à 0,5 si l'on ne sait rien. Dans les deux cas, on arrondit toujours à l'entier supérieur, sinon la marge visée n'est pas tenue.

Le théorème central limite rend-il les données normales quand n dépasse 30 ?

Non. Il dit que la moyenne d'un échantillon d'observations indépendantes suit approximativement une loi normale quand l'échantillon est assez grand, quelle que soit la forme de la population. Les données elles-mêmes gardent leur distribution : des teneurs asymétriques restent asymétriques avec 1000 mesures. C'est pourquoi un grand échantillon autorise l'intervalle sur la moyenne même avec des données non normales.

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Exercices corrigés : Intervalles de confiance : moyenne, Student et proportion

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

11 exercices corrigés
110 points
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Tests d'hypothèse : moyenne, Student et proportion

© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/sn1-intervalles-confiance. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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Les trois intervalles du devis, reconnus en un coup d'œil

Légende : les mots du tableau

L'essentiel

Deux écarts-types à ne jamais confondre

Le théorème central limite, et ce qu'il ne dit pas

Ce que « 95 % » veut dire

Les pièges qui coûtent des points

1. Attribuer au paramètre la probabilité de la méthode

2. Prendre l'intervalle de la moyenne pour la plage des individus

3. Diviser par l'écart-type au lieu de l'erreur type

4. Prendre 1,96 sur un petit échantillon

5. Croire que n ≥ 30 rend les données normales

6. Arrondir la taille d'échantillon vers le bas

7. Doubler n pour diviser la marge par deux

8. Inverser les bornes après une transformation décroissante

Quelle méthode choisir

Quel intervalle, z ou t ?

Quelle taille d'échantillon ?

La rédaction attendue

Rédiger un intervalle de confiance complet

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Dix grains de pollen d'herbe à poux : un intervalle de Student de bout en bout

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Quand utiliser la loi de Student plutôt que la loi normale pour un intervalle de confiance ?

Que veut dire un intervalle de confiance à 95 % ?

Comment calculer la taille d'échantillon pour une marge d'erreur donnée ?

Le théorème central limite rend-il les données normales quand n dépasse 30 ?

Exercices corrigés : Intervalles de confiance : moyenne, Student et proportion

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