Statistique descriptive 201-SN1-RE : fiche de révision

Q: Quand utiliser la médiane plutôt que la moyenne en statistique descriptive ?

Quand on veut décrire un individu typique et que la distribution est asymétrique ou contient une valeur extrême : débits avec une crue, concentrations avec un jour de pollution, revenus. La médiane ne dépend que des rangs et résiste aux extrêmes. Si la question porte sur un total, comme un volume ou un cumul de pluie, c'est la moyenne qu'il faut, car elle seule conserve la somme.

Q: Pourquoi divise-t-on par n moins 1 pour calculer l'écart-type d'un échantillon ?

Parce que les écarts sont mesurés autour de la moyenne de l'échantillon, qui est le point le plus proche de ses propres données. La somme des carrés des écarts est donc en général trop petite par rapport à celle qu'on obtiendrait avec la vraie moyenne de la population. Diviser par n moins 1 au lieu de n corrige exactement ce biais pour la variance, en moyenne sur tous les échantillons possibles.

Q: Comment calculer la médiane de données groupées en classes ?

On repère la classe médiane, celle où l'effectif cumulé dépasse la moitié de l'effectif total. Puis on interpole : borne inférieure de la classe, plus la fraction qui manque pour atteindre la moitié, divisée par l'effectif de la classe, multipliée par son amplitude. Ce calcul suppose les données réparties uniformément dans la classe, c'est donc une estimation.

Q: Que veut dire une cote z de 2 ?

La donnée dépasse la moyenne de son groupe de deux écarts-types. Ce n'est pas le double de la moyenne. Une cote z négative indique une donnée sous la moyenne. Pour une distribution à peu près en cloche, une cote z au-delà de 2 en valeur absolue est inhabituelle ; la cote z sert surtout à comparer des individus de groupes différents ou mesurés dans des unités différentes.

Q: Faut-il retirer une valeur aberrante d'une série statistique ?

Non, pas sans preuve d'erreur. Une valeur aberrante est seulement une donnée éloignée selon une règle, par exemple au-delà de une fois et demie l'écart interquartile au-dessus du troisième quartile. Si elle est réelle, comme un jour de fumée ou un puits contaminé, elle est souvent l'information la plus importante : on la signale, on la dessine comme un point isolé, et on peut publier la médiane qui y résiste.

Le fil du chapitre

Un résumé ne remplace pas la distribution : c'est sa FORME (asymétrie, valeur extrême, classes) qui choisit la mesure à publier, et c'est l'écart-type qui donne l'échelle pour juger un écart.

Notions couvertes

Population et échantillon
Paramètre et statistique
Variable discrète et variable continue
Données groupées en classes
Moyenne, médiane et mode
Asymétrie d'une distribution
Variance et écart-type
Cote z
Rang centile
Quartiles et boîte à moustaches
Histogramme et densité de fréquence

L'essentiel

Trois centres, trois questions différentes

• La MOYENNE partage le total également : $\overline{x}=\dfrac{\sum x_{i}n_{i}}{n}$ . Elle est la seule à conserver un total ( $n\,\overline{x}$ ), et elle suit les valeurs extrêmes.
• La MÉDIANE coupe la série CLASSÉE en deux moitiés. Elle ne dépend que des rangs : changer la plus grande valeur ne la déplace pas.
• Le MODE est la valeur ou la classe la plus fréquente ; c'est le seul centre d'une variable qualitative nominale.
• Asymétrie à droite (longue queue vers les grandes valeurs) : en général mode $<$ médiane $<$ moyenne. Asymétrie à gauche : l'ordre inverse. Ce classement est une tendance, pas un théorème.

Une distribution étalée vers la droite : la longue queue tire la moyenne (

\approx 3{,}6

) au-delà de la médiane (

\approx 2{,}7

), elle-même au-delà du mode (

\approx 1{,}5

Avant de calculer, regardez la forme : c'est elle, avec la question posée, qui choisit la mesure à publier.

Dispersion : deux diviseurs, une seule bonne raison

• Échantillon : $s^{2}=\dfrac{\sum(x_{i}-\overline{x})^{2}}{n-1}$ ; population entière : $\sigma^{2}=\dfrac{\sum(x_{i}-\mu)^{2}}{N}$ .
• Formule de calcul : $\sum(x_{i}-\overline{x})^{2}=\sum x_{i}^{2}-n\,\overline{x}^{2}$ , avec $\overline{x}$ EXACTE.
• Pourquoi $n-1$ : les écarts sont pris autour de $\overline{x}$ , le point qui minimise $\sum(x_{i}-c)^{2}$ ; ils sont donc trop petits en moyenne, et $s^{2}$ corrige exactement ce biais.
• $s$ est dans l'unité des données, $s^{2}$ dans l'unité au carré. Coefficient de variation : $CV=\dfrac{s}{\overline{x}}\times 100\ \%$ , sans unité.

Position : où se situe une donnée

• Cote $z$ : $z=\dfrac{x-\overline{x}}{s}$ , l'écart à la moyenne compté en écarts-types ; inversement $x=\overline{x}+z\,s$ .
• Rang centile (une convention courante) : $RC(x)=\dfrac{N_{<}+\frac{1}{2}N_{=}}{n}\times 100$ , la part du groupe située SOUS $x$ .
• Quartiles (une convention courante) : médianes des moitiés inférieure et supérieure de la série classée. Valeur aberrante : hors de $[Q_{1}-1{,}5\,EI\,;\,Q_{3}+1{,}5\,EI]$ , avec $EI=Q_{3}-Q_{1}$ .
• Classes : $P_{k}=L+\dfrac{\frac{k}{100}n-F}{n_{c}}\times a$ ; la médiane est $P_{50}$ .

Les conventions de quartile et de rang centile varient d'un collège et d'un logiciel à l'autre : écrivez celle que vous suivez.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Changer d'unité : ce que deviennent la moyenne et l'écart-type

On transforme chaque donnée par $y=ax+b$ (conversion d'unité, décalage d'origine). La dernière colonne est celle qu'on rate.

Transformation	Moyenne	Écart-type
$y=x+b$	$\overline{x}+b$	$s_{x}$
Exemple : Températures d'un lac en kelvins : $21{,}75\ ^{\circ}\mathrm{C}$ devient $294{,}90$ K, l'écart-type reste $0{,}81$ .
$y=ax$	$a\,\overline{x}$	$\|a\|\,s_{x}$
Exemple : Azote nitrique vers ion nitrate, $a=4{,}43$ : $\overline{x}=5{,}61$ devient $24{,}85$ mg/L et $s=3{,}99$ devient $17{,}69$ mg/L.
$y=ax+b$	$a\,\overline{x}+b$	$\|a\|\,s_{x}$
Exemple : Série $1, 2, 3$ ( $\overline{x}=2$ , $s=1$ ) et $y=-2x+5$ : $3, 1, -1$ , de moyenne $1$ et d'écart-type $2$ , pas $-2$ .
$y=x+b$	$\overline{x}+b$	$s_{x}+b$ règle inexistante
Exemple : Série $1, 2, 3$ plus $10$ : $11, 12, 13$ a toujours $s=1$ , pas $11$ . Ce qu'il faut faire : Un décalage ne change aucun écart à la moyenne : l'écart-type ne bouge pas, seule la moyenne se décale.

La cote $z$ ne change pas pour $a>0$ : c'est pourquoi elle sert à comparer des mesures prises dans des unités différentes.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Lire la médiane sans classer la série

toute la question, et les suivantes qui s'en servent

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les débits sont $24, 22, 23, \dots, 27$ ; il y a $15$ jours, la médiane est le débit du 8e jour, $88\ \mathrm{m^{3}/s}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Série classée : la 8e donnée est $28$ , donc $Me=28\ \mathrm{m^{3}/s}$ . »

Pourquoi : La médiane est une position dans la série CLASSÉE, jamais dans l'ordre du temps ou du relevé.

2. Publier la moyenne pour décrire un individu typique d'une distribution asymétrique

1 à 2 points d'interprétation

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Un jour habituel, la rivière débite $35{,}2\ \mathrm{m^{3}/s}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La moitié des jours, le débit est au plus de $28\ \mathrm{m^{3}/s}$ (médiane) ; la moyenne, $35{,}2$ , est tirée par trois jours de crue et sert au volume total. »

Pourquoi : Quelques grandes valeurs tirent la moyenne loin du centre de la masse ; la médiane y résiste. Mais pour un total, c'est la moyenne qu'il faut.

3. Diviser par n pour un échantillon

1 point, et une valeur fausse qui se propage

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $s=\sqrt{\dfrac{4{,}62}{8}}\approx 0{,}76\ ^{\circ}\mathrm{C}$ pour les $8$ points du lac. »

Ce qu'il faut écrire

« Les $8$ points sont un échantillon du lac : $s=\sqrt{\dfrac{4{,}62}{7}}\approx 0{,}81\ ^{\circ}\mathrm{C}$ . »

Pourquoi : Les écarts à $\overline{x}$ sont en moyenne trop petits ; le diviseur $n-1$ compense. Lisez la touche de la calculatrice : $s_{x}$ ou $\sigma_{n-1}$ , pas $\sigma_{x}$ .

4. Arrondir la moyenne avant la formule de calcul

toute la question : une somme de carrés négative est impossible

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\sum x_{i}^{2}-n\overline{x}^{2}=3789{,}12-8\times 21{,}8^{2}=-12{,}8$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Avec $\overline{x}=21{,}75$ exacte : $3789{,}12-3784{,}5=4{,}62$ . »

Pourquoi : La formule soustrait deux grands nombres presque égaux ; un arrondi de 0,05 sur la moyenne détruit le résultat. Gardez la moyenne exacte ou en mémoire.

5. Comparer des valeurs brutes de deux populations

2 points, la conclusion est inversée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La truite de $31{,}0$ cm du lac B est plus grande, relativement, que celle de $27{,}3$ cm du lac A. »

Ce qu'il faut écrire

« $z_{B}=\dfrac{31{,}0-33{,}4}{3{,}0}=-0{,}80$ et $z_{A}\approx 0{,}62$ : relativement à son lac, la truite de $27{,}3$ cm est la plus grande. »

Pourquoi : Deux groupes de moyennes et d'écarts-types différents ne se comparent qu'après standardisation.

6. Lire une cote z comme un rapport

1 point d'interprétation

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $z=2$ : la donnée vaut deux fois la moyenne. »

Ce qu'il faut écrire

« $z=2$ : la donnée dépasse la moyenne de deux écarts-types, $x=\overline{x}+2s$ . »

Pourquoi : La cote z mesure une distance à la moyenne en écarts-types ; elle ne compare jamais la donnée à la moyenne par un quotient.

7. Prendre les effectifs pour hauteurs sur des classes inégales

le graphique entier, et l'interprétation qui le lit

Ce qu'il ne faut pas écrire

« J'ai tracé chaque barre à la hauteur de son effectif : $20$ , $15$ , $15$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Hauteur $=$ densité $\dfrac{n_{i}}{a_{i}}$ : $2$ , $1{,}5$ et $0{,}5$ par unité ; l'aire de chaque barre est son effectif. »

Mêmes données : à gauche la classe large affiche une aire de

450

contre

200

; à droite les densités rendent des aires de

20

15

15

, les vrais effectifs.

Pourquoi : L'œil lit les aires : avec les effectifs pour hauteurs, la classe large paraît plus du double de la première alors qu'elle compte moins de données.

8. Retirer une valeur aberrante, ou tirer la moustache jusqu'à elle

1 à 2 points, et parfois la seule information qui compte

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le jour à $27\ \mu\mathrm{g/m^{3}}$ est aberrant, je le retire du rapport. »

Ce qu'il faut écrire

« $27>Q_{3}+1{,}5\,EI=16{,}75$ : valeur aberrante, dessinée comme un point isolé et signalée (jour de fumée), pas retirée. »

La moustache s'arrête à

13

, la plus grande donnée sous la borne

16{,}75

; le jour de fumée, à

27

, reste visible comme un point isolé.

Pourquoi : « Aberrante » est un critère de position, pas une preuve d'erreur. On ne retire une donnée que si l'on prouve une erreur de mesure ou de saisie.

9. Juger une norme sur la moyenne

la conclusion de l'étude

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La moyenne des puits, $5{,}61$ mg/L, est sous le repère de $10$ mg/L : l'eau est conforme. »

Ce qu'il faut écrire

« La médiane est de $4{,}6$ mg/L, mais $3$ puits sur $20$ dépassent $10$ mg/L : ces puits sont à signaler. »

Pourquoi : Une norme s'applique à chaque individu ; la moyenne décrit le centre et ne dit rien de la queue de la distribution.

Quelle méthode choisir

Quelle mesure publier ?

On regarde la QUESTION posée, puis la forme de la distribution.

Si la question porte sur un total (volume, cumul de pluie, bilan) → la moyenne, ou directement la somme

Exemple : $15$ jours à $\overline{x}=35{,}2\ \mathrm{m^{3}/s}$ : $V=528\times 86\,400\approx 4{,}56\times 10^{7}\ \mathrm{m^{3}}$
Si on décrit un individu typique et la distribution est asymétrique ou a une valeur extrême → la médiane, avec l'écart interquartile

Exemple : PM2,5 avec un jour de fumée : $Me=9$ et $EI=3{,}5$ , plutôt que $\overline{x}\approx 10{,}67$ et $s\approx 5{,}53$
Si la distribution est à peu près symétrique, sans valeur extrême → la moyenne, avec l'écart-type

Exemple : Températures du lac : $\overline{x}=21{,}75\ ^{\circ}\mathrm{C}$ , $s\approx 0{,}81\ ^{\circ}\mathrm{C}$
Si la question porte sur une norme ou la sécurité → l'extrême concerné, ou la proportion au-delà du seuil

Exemple : Glace : un seul trou à $9$ cm sous un seuil de $15$ cm ferme le sentier, quelle que soit la moyenne
Si on compare deux individus de deux groupes différents → les cotes z

Exemple : $z_{A}\approx 0{,}62$ contre $z_{B}=-0{,}80$
Si la variable est qualitative nominale → le mode et les fréquences

une moyenne de catégories codées 1, 2, 3 n'a pas de sens

Aucune mesure n'est la meilleure dans l'absolu. Dans un rapport, on publie souvent les deux centres : leur écart renseigne sur la forme.

Quelle formule selon la forme des données ?

On regarde comment les données sont fournies.

Si données brutes → $\overline{x}=\dfrac{\sum x_{i}}{n}$ ; médiane sur la série classée

Exemple : $6, 7, 8, \dots, 27$ : $\overline{x}=\dfrac{128}{12}\approx 10{,}67$
Si tableau valeurs-effectifs (données condensées) → pondérer chaque valeur par son effectif ; médiane par les effectifs cumulés

Exemple : valeurs $1$ à $4$ , effectifs $3, 7, 6, 4$ : $\overline{x}=\dfrac{51}{20}=2{,}55$ , $Me=2{,}5$
Si classes → centres de classe pour la moyenne et l'écart-type ; interpolation pour la médiane et les centiles

Exemple : $[0;4[$ , $[4;8[$ , $[8;12[$ d'effectifs $5, 12, 3$ : $\overline{x}=5{,}6$ , $Me\approx 5{,}67$
Si classes d'amplitudes inégales à représenter → histogramme des densités $\dfrac{n_{i}}{a_{i}}$

Exemple : $15$ données dans $[20\,;50[$ : hauteur $0{,}5$ par unité

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Calculer et interpréter un écart-type

Quand l'utiliser : L'énoncé demande la dispersion d'une série, ou de « caractériser » des mesures.

1 Dire si la série est un échantillon ou une population, et en déduire le diviseur, n moins 1 ou n.
2 Calculer $\overline{x}$ exacte, puis $\sum(x_{i}-\overline{x})^{2}$ par le tableau des écarts ou par $\sum x_{i}^{2}-n\overline{x}^{2}$ .
3 Donner la variance avec son unité au carré, puis l'écart-type dans l'unité des données.
4 Interpréter dans le contexte, en ordre de grandeur, et comparer à la moyenne si l'on compare des séries (coefficient de variation).

Phrase de conclusion

« Les $8$ points forment un échantillon du lac : $s=\sqrt{\dfrac{4{,}62}{7}}\approx 0{,}81\ ^{\circ}\mathrm{C}$ ; les températures du transect s'écartent de la moyenne de $21{,}75\ ^{\circ}\mathrm{C}$ d'environ $0{,}8\ ^{\circ}\mathrm{C}$ . »

Le piège : Oublier de dire POURQUOI on divise par n moins 1 : le correcteur veut lire « échantillon ».

Barème : Typiquement : diviseur justifié, calcul, unité, interprétation.

Conclure une étude descriptive

Quand l'utiliser : La dernière question d'une étude demande de « conclure », de « rédiger un résumé » ou de « répondre à la question de départ ».

1 Rappeler la population, l'échantillon et la variable, avec l'unité.
2 Donner le centre adapté à la forme (médiane si asymétrie ou valeur extrême) et sa dispersion.
3 Donner ce que la question vise vraiment : un total, une proportion au-delà d'un seuil, un extrême.
4 Signaler les valeurs aberrantes et leur cause connue, sans les retirer.
5 Dire ce que l'étude ne permet pas de conclure (échantillon non aléatoire, étendue à la population).

Phrase de conclusion

« Sur ces $12$ jours, la concentration typique de PM2,5 est de $9\ \mu\mathrm{g/m^{3}}$ (médiane, écart interquartile $3{,}5$ ) ; un jour de fumée à $27\ \mu\mathrm{g/m^{3}}$ est une valeur aberrante réelle, signalée à part. »

Le piège : Conclure par un seul nombre, la moyenne, et taire l'extrême qui répond à la question.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

La somme des écarts est nulle

Additionner les écarts $x_{i}-\overline{x}$ du tableau : le total doit valoir $0$ , aux arrondis près.

Températures du lac : $2{,}40-2{,}40=0$ . Un total de $0{,}8$ signale une moyenne fausse ou un écart oublié.
Les centres sont entre le minimum et le maximum

Moyenne et médiane tombent forcément dans l'étendue de la série, et la médiane laisse autant de données de chaque côté.

Une moyenne de $35{,}2$ pour des débits de $22$ à $88$ est plausible ; une médiane de $88$ , la plus grande valeur, ne l'est pas.
L'ordre de grandeur de l'écart-type

Pour une série sans valeur extrême, l'écart-type tombe en général entre le sixième et la moitié de l'étendue.

Lac : étendue $2{,}5$ , $s\approx 0{,}81$ , entre $0{,}42$ et $1{,}25$ . Un $s$ de $4{,}6$ trahirait une variance prise pour un écart-type ou l'inverse.
Les effectifs et les aires redonnent n

Additionner les effectifs du tableau, ou les aires de l'histogramme des densités : on doit retrouver l'effectif total.

$50+16+12+9+5=92$ jours ; des densités $25$ , $5{,}33$ , $2{,}4$ , $0{,}9$ , $0{,}25$ multipliées par leurs amplitudes redonnent bien $92$ .

L'exercice type décortiqué

Une station de particules fines et son jour de fumée

Une station mesure la concentration moyenne journalière de particules fines $\mathrm{PM_{2{,}5}}$ , en $\mu\mathrm{g/m^{3}}$ , pendant $12$ jours d'été. Données fictives : $6$ ; $8$ ; $7$ ; $9$ ; $12$ ; $10$ ; $8$ ; $11$ ; $27$ ; $9$ ; $13$ ; $8$ . Le 9e jour, la fumée d'un feu de forêt lointain a atteint la ville.

Résumez ces données pour le bulletin de la station : centre, dispersion, position du jour de fumée.

Étape 1

Série classée : $6, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 10, 11, 12, 13, 27$ ; $n=12$ , $\sum x_{i}=128$ .

Pourquoi

Classer d'abord sert la médiane et les quartiles ; compter n évite de diviser par le mauvais nombre.

Étape 2

$\overline{x}=\dfrac{128}{12}\approx 10{,}67$ et $Me=\dfrac{9+9}{2}=9\ \mu\mathrm{g/m^{3}}$ .

Pourquoi

Moyenne au-dessus de la médiane : premier indice d'une valeur qui tire vers le haut.

Étape 3

$\sum x_{i}^{2}=1702$ , donc $s^{2}=\dfrac{1702-12\times 10{,}\overline{6}^{2}}{11}\approx 30{,}61$ et $s\approx 5{,}53$ .

Pourquoi

Échantillon de jours : diviseur n moins 1, moyenne gardée exacte dans la formule de calcul.

Étape 4

$z_{27}=\dfrac{27-10{,}67}{5{,}53}\approx 2{,}95$ .

Pourquoi

La cote z dit que le jour de fumée est à près de trois écarts-types, alors qu'il gonfle lui-même cet écart-type.

Étape 5

$Q_{1}=8$ , $Q_{3}=11{,}5$ , $EI=3{,}5$ ; borne haute $11{,}5+1{,}5\times 3{,}5=16{,}75<27$ : valeur aberrante.

Pourquoi

La règle de l'écart interquartile ne dépend pas de la valeur extrême, contrairement à la cote z : elle tranche plus franchement.

Étape 6

Sans le jour de fumée : $\overline{x}\approx 9{,}18$ et $s\approx 2{,}14$ ; la médiane reste $9$ .

Pourquoi

Une seule journée multiplie l'écart-type par plus de deux et laisse la médiane immobile : c'est elle qui décrit le jour typique.

Conclusion rédigée

« Sur ces $12$ jours, la concentration typique est de $9\ \mu\mathrm{g/m^{3}}$ (médiane, écart interquartile $3{,}5$ ). Le jour de fumée, à $27\ \mu\mathrm{g/m^{3}}$ , est une valeur aberrante réelle : il est signalé à part, pas retiré. »

L'erreur classique sur cet exercice : Publier « $10{,}67\pm 5{,}53$ » : la moyenne décrit mal un jour habituel, et l'écart-type mesure surtout un seul jour.

À savoir par cœur

• La médiane se lit sur la série CLASSÉE ; la moyenne conserve le total.
• Échantillon : diviseur $n-1$ ; population entière : diviseur $n$ .
• $\sum(x_{i}-\overline{x})=0$ et $\sum(x_{i}-\overline{x})^{2}=\sum x_{i}^{2}-n\overline{x}^{2}$ , moyenne EXACTE.
• $z=\dfrac{x-\overline{x}}{s}$ : une distance en écarts-types, jamais un rapport.
• $y=ax+b$ : $\overline{y}=a\overline{x}+b$ et $s_{y}=|a|\,s_{x}$ ; un décalage ne change pas l'écart-type.
• Classes inégales : hauteur $=\dfrac{n_{i}}{a_{i}}$ , l'AIRE est l'effectif.
• Aberrante ne veut pas dire erronée : on signale, on ne retire pas sans preuve.

Questions fréquentes

Quand utiliser la médiane plutôt que la moyenne en statistique descriptive ?

Quand on veut décrire un individu typique et que la distribution est asymétrique ou contient une valeur extrême : débits avec une crue, concentrations avec un jour de pollution, revenus. La médiane ne dépend que des rangs et résiste aux extrêmes. Si la question porte sur un total, comme un volume ou un cumul de pluie, c'est la moyenne qu'il faut, car elle seule conserve la somme.

Pourquoi divise-t-on par n moins 1 pour calculer l'écart-type d'un échantillon ?

Parce que les écarts sont mesurés autour de la moyenne de l'échantillon, qui est le point le plus proche de ses propres données. La somme des carrés des écarts est donc en général trop petite par rapport à celle qu'on obtiendrait avec la vraie moyenne de la population. Diviser par n moins 1 au lieu de n corrige exactement ce biais pour la variance, en moyenne sur tous les échantillons possibles.

Comment calculer la médiane de données groupées en classes ?

On repère la classe médiane, celle où l'effectif cumulé dépasse la moitié de l'effectif total. Puis on interpole : borne inférieure de la classe, plus la fraction qui manque pour atteindre la moitié, divisée par l'effectif de la classe, multipliée par son amplitude. Ce calcul suppose les données réparties uniformément dans la classe, c'est donc une estimation.

Que veut dire une cote z de 2 ?

La donnée dépasse la moyenne de son groupe de deux écarts-types. Ce n'est pas le double de la moyenne. Une cote z négative indique une donnée sous la moyenne. Pour une distribution à peu près en cloche, une cote z au-delà de 2 en valeur absolue est inhabituelle ; la cote z sert surtout à comparer des individus de groupes différents ou mesurés dans des unités différentes.

Faut-il retirer une valeur aberrante d'une série statistique ?

Non, pas sans preuve d'erreur. Une valeur aberrante est seulement une donnée éloignée selon une règle, par exemple au-delà de une fois et demie l'écart interquartile au-dessus du troisième quartile. Si elle est réelle, comme un jour de fumée ou un puits contaminé, elle est souvent l'information la plus importante : on la signale, on la dessine comme un point isolé, et on peut publier la médiane qui y résiste.

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Exercices corrigés : Statistique descriptive : tendance centrale, dispersion et position

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Intervalles de confiance : moyenne, Student et proportion

© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/sn1-statistique-descriptive. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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Fiche de révision : statistique descriptive (201-SN1-RE)

L'essentiel

Trois centres, trois questions différentes

Dispersion : deux diviseurs, une seule bonne raison

Position : où se situe une donnée

Les règles de calcul en tableau

Changer d'unité : ce que deviennent la moyenne et l'écart-type

Les pièges qui coûtent des points

1. Lire la médiane sans classer la série

2. Publier la moyenne pour décrire un individu typique d'une distribution asymétrique

3. Diviser par n pour un échantillon

4. Arrondir la moyenne avant la formule de calcul

5. Comparer des valeurs brutes de deux populations

6. Lire une cote z comme un rapport

7. Prendre les effectifs pour hauteurs sur des classes inégales

8. Retirer une valeur aberrante, ou tirer la moustache jusqu'à elle

9. Juger une norme sur la moyenne

Quelle méthode choisir

Quelle mesure publier ?

Quelle formule selon la forme des données ?

La rédaction attendue

Calculer et interpréter un écart-type

Conclure une étude descriptive

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Une station de particules fines et son jour de fumée

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Quand utiliser la médiane plutôt que la moyenne en statistique descriptive ?

Pourquoi divise-t-on par n moins 1 pour calculer l'écart-type d'un échantillon ?

Comment calculer la médiane de données groupées en classes ?

Que veut dire une cote z de 2 ?

Faut-il retirer une valeur aberrante d'une série statistique ?

Exercices corrigés : Statistique descriptive : tendance centrale, dispersion et position

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