Exercice 0.1 : Calculer les mesures d'une série : douze calculs directs

12 réponses vérifiables

Pour chaque ligne, calculez la mesure demandée, sans contexte et sans interprétation. Arrondissez au centième quand le résultat ne tombe pas juste. Une série notée « échantillon » prend le diviseur $n-1$ ; une série notée « population » prend le diviseur $n$ .

Deux conventions de cette série, à remplacer par celles de votre collège si elles diffèrent. Médiane de données groupées par interpolation : $Me=L+\dfrac{\frac{n}{2}-F}{n_{c}}\times a$ , où $L$ est la borne inférieure de la classe médiane, $F$ l'effectif cumulé avant elle, $n_{c}$ son effectif et $a$ son amplitude. Rang centile : $RC(x)=\dfrac{N_{<}+\frac{1}{2}N_{=}}{n}\times 100$ , où $N_{<}$ compte les données strictement inférieures à $x$ et $N_{=}$ celles qui lui sont égales.

a) Série $4{,}2$ ; $5{,}1$ ; $3{,}8$ ; $6{,}0$ ; $4{,}4$ : calculez la moyenne $\overline{x}$ .
b) Série $13$ , $8$ , $21$ , $17$ , $9$ , $15$ : calculez la médiane.
c) Valeurs $1$ , $2$ , $3$ , $4$ d'effectifs respectifs $3$ , $7$ , $6$ , $4$ : calculez la moyenne.
d) Même tableau qu'en c) : calculez la médiane.
e) Échantillon $6$ , $9$ , $10$ , $13$ , $17$ : calculez la variance $s^{2}$ .
f) Même série qu'en e), traitée comme une population : calculez l'écart-type $\sigma$ .
g) Classes $[0\,;4[$ , $[4\,;8[$ , $[8\,;12[$ d'effectifs $5$ , $12$ , $3$ : calculez la moyenne par les centres de classe.
h) Même tableau qu'en g) : calculez la médiane par interpolation.
i) $x=68$ , $\overline{x}=52$ , $s=6{,}4$ : calculez la cote $z$ de $x$ .
j) $\overline{x}=120$ , $s=15$ : calculez la donnée dont la cote $z$ vaut $-1{,}2$ .
k) Dans une série de $25$ données, $18$ sont strictement inférieures à $x$ et $x$ n'apparaît qu'une fois : calculez le rang centile de $x$ .
l) $\overline{x}=40$ et $s=6$ : calculez le coefficient de variation, en pourcentage.

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a)

\overline{x}

b)

Médiane

c)

\overline{x}

d)

Médiane

e)

s^{2}

f)

\sigma

g)

\overline{x}

h)

Médiane

i)

z

j)

x

k)

Rang centile

l)

CV

%

Voir la correction

Réponses

a) $\overline{x}=4{,}7$
b) $Me=14$
c) $\overline{x}=2{,}55$
d) $Me=2{,}5$
e) $s^{2}=17{,}5$
f) $\sigma\approx 3{,}74$
g) $\overline{x}=5{,}6$
h) $Me\approx 5{,}67$
i) $z=2{,}5$
j) $x=102$
k) $RC=74$
l) $CV=15\ \%$

Trois gestes portent toute la liste : CLASSER avant une médiane, COMPTER l'effectif total avant de diviser, et choisir le diviseur, $n-1$ pour un échantillon et $n$ pour une population.

a)

\displaystyle \overline{x}=\dfrac{4{,}2+5{,}1+3{,}8+6{,}0+4{,}4}{5}=\dfrac{23{,}5}{5}=4{,}7

b)

Série classée : $8, 9, 13, 15, 17, 21$ . Avec $n=6$ , la médiane est entre la 3e et la 4e donnée :

\displaystyle Me=\dfrac{13+15}{2}=14

Piège : prendre la valeur du milieu de la série NON classée, ici $21$ et $17$ .

c)

$n=3+7+6+4=20$ et $\sum x_{i}n_{i}=3+14+18+16=51$ .

\displaystyle \overline{x}=\dfrac{51}{20}=2{,}55

d)

La médiane est la demi-somme des 10e et 11e données. Effectifs cumulés : $3$ , $10$ , $16$ , $20$ .

La 10e donnée vaut $2$ et la 11e vaut $3$ , donc $Me=2{,}5$ .

Une médiane n'est pas forcément une valeur prise par la variable.

e)

$\overline{x}=\dfrac{55}{5}=11$ ; écarts $-5$ , $-2$ , $-1$ , $2$ , $6$ ; carrés $25$ , $4$ , $1$ , $4$ , $36$ , de somme $70$ .

\displaystyle s^{2}=\dfrac{70}{5-1}=17{,}5

f)

Population : on divise par $n=5$ .

\displaystyle \sigma=\sqrt{\dfrac{70}{5}}=\sqrt{14}\approx 3{,}74

Le diviseur $n$ donne toujours un résultat plus petit que le diviseur $n-1$ sur les mêmes données.

g)

Centres $2$ , $6$ , $10$ ; $n=20$ .

\displaystyle \overline{x}=\dfrac{2\times 5+6\times 12+10\times 3}{20}=\dfrac{112}{20}=5{,}6

h)

$\frac{n}{2}=10$ . Effectifs cumulés : $5$ puis $17$ : la classe médiane est $[4\,;8[$ , avec $F=5$ , $n_{c}=12$ , $a=4$ .

\displaystyle Me=4+\dfrac{10-5}{12}\times 4\approx 5{,}67

i)

$z=\dfrac{x-\overline{x}}{s}=\dfrac{68-52}{6{,}4}=2{,}5$ : la donnée est à deux écarts-types et demi au-dessus de la moyenne.

j)

\displaystyle x=\overline{x}+z\,s=120+(-1{,}2)\times 15=102

k)

$RC=\dfrac{18+\frac{1}{2}\times 1}{25}\times 100=74$ : environ $74\ \%$ des données sont sous $x$ .

l)

\displaystyle CV=\dfrac{s}{\overline{x}}\times 100=\dfrac{6}{40}\times 100=15\ \%

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Exercice 1 : Particules fines : population, échantillon, variables et données condensées

14 réponses vérifiables

Un réseau municipal de surveillance de la qualité de l'air compte $30$ stations. Pour chaque station, on note $X$ , le nombre de jours de janvier où la concentration moyenne journalière de particules fines $\mathrm{PM_{2{,}5}}$ a dépassé le seuil de référence retenu par le réseau. Les données, fictives, sont condensées dans le diagramme ci-dessous.

Le réseau enregistre aussi, pour chaque station :(1)la concentration moyenne mensuelle de $\mathrm{PM_{2{,}5}}$ , en $\mu\mathrm{g/m^{3}}$ (2)le type de milieu (résidentiel, industriel, bord de route)(3)la cote de qualité de l'air du mois (bonne, acceptable, mauvaise)(4)le nombre de pannes du capteur(5)la durée totale des pannes, en heures, arrondie à l'heure.

a) Le rapport du réseau porte sur ses $30$ stations. Identifiez l'unité statistique et la variable $X$ , puis dites si les $30$ stations forment ici une population ou un échantillon.
b) Une chercheuse veut décrire la qualité de l'air de toute la région urbaine, en tout point. Les $30$ stations forment-elles alors une population ou un échantillon ? La moyenne de $X$ calculée sur elles est-elle un paramètre ou une statistique ?
c) Classez chacune des cinq variables (1) à (5) : qualitative nominale, qualitative ordinale, quantitative discrète ou quantitative continue.
d) À l'aide du diagramme, calculez la moyenne, la médiane et le mode de $X$ .
e) Calculez le pourcentage des stations qui ont dépassé le seuil au plus deux jours, puis celui des stations qui l'ont dépassé au moins trois jours.
f) Expliquez pourquoi $X$ se représente par un diagramme en bâtons, et choisissez la représentation qui convient à la variable (1).

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a)

Les 30 stations forment

b)

Les 30 stations forment alors

Leur moyenne de X est

c)

(1) Concentration

(2) Type de milieu

(3) Cote de qualité

(4) Nombre de pannes

(5) Durée des pannes

d)

\overline{x}

jour

Médiane jour

Mode jour

e)

Au plus deux jours %

Au moins trois jours %

f)

Représentation de la variable (1)

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Réponses

a) Unité : une station du réseau ; variable $X$ : nombre de jours de dépassement en janvier ; les $30$ stations forment la population
b) Un échantillon des points de la région ; sa moyenne est une statistique
c) (1) continue ; (2) nominale ; (3) ordinale ; (4) discrète ; (5) continue
d) $\overline{x}\approx 1{,}73$ jour ; $Me=1{,}5$ jour ; mode $1$ jour
e) $73{,}3\ \%$ au plus deux jours ; $26{,}7\ \%$ au moins trois jours
f) Variable discrète, valeurs isolées : bâtons séparés. Variable (1) continue : histogramme

a)

L'unité statistique est la STATION du réseau ; la variable $X$ est le nombre de jours de dépassement en janvier, une variable quantitative discrète.

Le rapport ne vise que ces $30$ stations, et toutes sont observées : elles forment la POPULATION étudiée.

Une même liste de données n'est ni population ni échantillon par nature : c'est la QUESTION posée qui décide.

b)

La chercheuse vise tous les points de la région, et les stations n'en sont qu'une partie : elles forment maintenant un ÉCHANTILLON.

Une mesure calculée sur un échantillon est une STATISTIQUE, notée $\overline{x}$ ; la valeur inconnue de toute la région est le PARAMÈTRE $\mu$ .

Prudence : ces stations n'ont pas été tirées au hasard, on les installe souvent là où l'on craint la pollution. L'échantillon peut donc être biaisé, et sa moyenne surestimer celle de la région.

c)

(1) Une concentration peut prendre toute valeur d'un intervalle : quantitative CONTINUE.

(2) Des catégories sans ordre : qualitative NOMINALE.

(3) Des catégories ordonnées, bonne avant acceptable avant mauvaise : qualitative ORDINALE.

(4) Un comptage, valeurs entières isolées : quantitative DISCRÈTE.

(5) Une durée est continue ; l'arrondi à l'heure est une limite de l'enregistrement, pas une propriété de la grandeur.

Piège : classer (5) comme discrète parce que les données sont des entiers. On classe la GRANDEUR mesurée, pas la précision de l'appareil.

d)

$n=6+9+7+4+3+1=30$ et $\sum x_{i}n_{i}=0+9+14+12+12+5=52$ .

$\overline{x}=\dfrac{52}{30}\approx 1{,}73$ jour

Médiane : avec $n=30$ , demi-somme des 15e et 16e données. Effectifs cumulés : $6$ , $15$ , $22$ ; la 15e donnée vaut $1$ , la 16e vaut $2$ , donc $Me=1{,}5$ jour.

Mode : la valeur la plus fréquente, $1$ jour (effectif $9$ ).

Une moyenne de $1{,}73$ jour n'est pas une valeur possible de $X$ : ce n'est pas une erreur, c'est un résumé.

e)

Au plus deux jours : $6+9+7=22$ stations, soit $\dfrac{22}{30}\approx 73{,}3\ \%$ .

Au moins trois jours : $4+3+1=8$ stations, soit $\dfrac{8}{30}\approx 26{,}7\ \%$ .

Vérification : $73{,}3+26{,}7=100$ , les deux événements sont complémentaires.

f)

$X$ ne prend que des valeurs entières isolées : chaque bâton se dresse sur SA valeur, et rien n'existe entre deux bâtons. Des barres accolées feraient croire à des stations à $1{,}5$ jour.

La concentration (1) est continue : on la regroupe en classes et on la représente par un HISTOGRAMME, dont les barres se touchent parce que les classes se suivent sans trou.

Exercice 2 : Débit d'une rivière en crue : moyenne, médiane, mode et asymétrie

11 réponses vérifiables

Une station hydrométrique relève le débit moyen journalier d'une rivière, en $\mathrm{m^{3}/s}$ , pendant $15$ jours d'avril. Une pluie sur la neige provoque une crue le 8e jour. Les données, fictives, sont dans l'ordre chronologique :

$24$ ; $22$ ; $23$ ; $25$ ; $27$ ; $26$ ; $31$ ; $88$ ; $64$ ; $45$ ; $37$ ; $32$ ; $29$ ; $28$ ; $27$ .

a) Calculez la moyenne, la médiane et le mode des débits de ces 15 jours.
b) Comptez les jours dont le débit dépasse la moyenne, et expliquez pourquoi ils sont si peu nombreux.
c) Comparez la moyenne et la médiane, et déduisez-en la forme de la distribution des débits.
d) Supposons que la crue ait été plus faible, avec un débit de 48 au 8e jour au lieu de 88. Recalculez la moyenne et la médiane, et dites laquelle des deux mesures résiste à ce changement.
e) Un pourvoyeur de canot veut connaître le débit d'un jour habituel de cette quinzaine ; un ingénieur veut le volume d'eau total écoulé pendant les 15 jours. Choisissez la mesure qui sert chacun, puis calculez ce volume en millions de mètres cubes ( $1$ jour $=86\,400$ s).

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a)

\overline{x}

m³/s

Médiane m³/s

Mode m³/s

b)

Jours au-dessus de la moyenne

c)

Distribution

d)

Nouvelle moyenne m³/s

Nouvelle médiane m³/s

La mesure qui résiste

e)

Jour habituel

Volume total

Volume millions de m³

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Réponses

a) $\overline{x}=35{,}2\ \mathrm{m^{3}/s}$ ; $Me=28\ \mathrm{m^{3}/s}$ ; mode $27\ \mathrm{m^{3}/s}$
b) 4 jours sur 15 : les trois jours de crue tirent la moyenne vers le haut
c) Moyenne nettement au-dessus de la médiane : asymétrie à droite, étalée vers les grands débits
d) $\overline{x}\approx 32{,}53\ \mathrm{m^{3}/s}$ ; $Me=28\ \mathrm{m^{3}/s}$ inchangée : la médiane résiste
e) Jour habituel : la médiane ; volume : la moyenne ; $V\approx 45{,}6$ millions de $\mathrm{m^{3}}$

a)

$\sum x_{i}=528$ , donc $\overline{x}=\dfrac{528}{15}=35{,}2\ \mathrm{m^{3}/s}$ .

Série classée : $22, 23, 24, 25, 26, 27, 27, \mathbf{28}, 29, 31, 32, 37, 45, 64, 88$ . Avec $n=15$ , la médiane est la 8e donnée : $Me=28\ \mathrm{m^{3}/s}$ .

Le mode est $27\ \mathrm{m^{3}/s}$ , seule valeur qui apparaît deux fois. Sur une variable continue mesurée finement, un mode de série brute dit peu de chose : on le lit plutôt sur des classes.

Piège : prendre le débit du 8e JOUR, $88$ , pour la médiane. La médiane se lit sur la série classée, jamais dans l'ordre du temps.

b)

Les débits supérieurs à $35{,}2$ sont $88$ , $64$ , $45$ et $37$ : $4$ jours sur $15$ .

La moyenne répartit également le total entre les jours. Trois jours de crue apportent à eux seuls $88+64+45=197$ des $528$ unités du total : ils tirent la moyenne au-dessus de presque tous les autres jours.

« La moitié des jours sont au-dessus de la moyenne » n'est vrai que pour une distribution symétrique : c'est la médiane qui coupe la série en deux.

c)

$\overline{x}=35{,}2>Me=28$ : quelques très grandes valeurs étirent la distribution vers la droite.

La distribution est asymétrique à droite. C'est le cas habituel des débits, des précipitations ou des concentrations : une borne naturelle à gauche, aucune à droite.

La comparaison moyenne-médiane est un indice de la forme, pas une preuve : on la confirme sur le graphique, qui montre ici une seule pointe de crue.

d)

Le total baisse de $88-48=40$ : $\overline{x}=\dfrac{488}{15}\approx 32{,}53\ \mathrm{m^{3}/s}$ , soit $2{,}67$ de moins.

Série classée : $48$ remplace $88$ mais reste au-dessus de la 8e donnée, qui vaut toujours $28$ : $Me=28\ \mathrm{m^{3}/s}$ .

La médiane ne dépend que du RANG des données : on peut changer une valeur extrême sans la déplacer. La moyenne dépend de chaque valeur : elle est sensible aux valeurs extrêmes.

e)

Le pourvoyeur veut un jour TYPIQUE : la médiane, $28\ \mathrm{m^{3}/s}$ , dit qu'un jour sur deux le débit était au plus de $28$ .

L'ingénieur veut un TOTAL : le volume vaut la somme des débits journaliers multipliés par la durée d'un jour, donc $n\,\overline{x}\times 86\,400$ .

$V=528\times 86\,400\approx 4{,}56\times 10^{7}\ \mathrm{m^{3}}$ , soit environ $45{,}6$ millions de mètres cubes.

Aucune mesure n'est la meilleure dans l'absolu : c'est la question posée, avec la forme de la distribution, qui choisit.

Exercice 3 : Température d'un lac : variance, écart-type et formule de calcul démontrée

8 réponses vérifiables

Un matin d'août, une équipe mesure la température de l'eau en surface en $8$ points d'un transect qui traverse un lac. Les relevés, en degrés Celsius, sont fictifs :

$21{,}4$ ; $22{,}0$ ; $20{,}6$ ; $23{,}1$ ; $21{,}8$ ; $22{,}5$ ; $20{,}9$ ; $21{,}7$ .

Ces $8$ points sont un échantillon de tous les points de la surface du lac.

a) Calculez la moyenne $\overline{x}$ , puis dressez le tableau des écarts $x_{i}-\overline{x}$ et calculez leur somme.
b) Démontrez que, pour toute série de $n$ données, $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x})=0$ . Expliquez pourquoi la moyenne des écarts ne peut donc pas mesurer la dispersion.
c) Calculez la variance $s^{2}$ et l'écart-type $s$ de l'échantillon, avec leurs unités.
d) Démontrez que $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}=\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-n\,\overline{x}^{2}$ . Calculez $\sum x_{i}^{2}$ et vérifiez la formule sur ces données. Calculez ensuite ce que donne le membre de droite si l'on arrondit d'abord $\overline{x}$ à $21{,}8$ .
e) Calculez l'écart-type obtenu en divisant par $n$ au lieu de $n-1$ , et dites lequel des deux doit figurer dans le rapport.

Voir la correction

Réponses

a) $\overline{x}=21{,}75\ ^{\circ}\mathrm{C}$ ; la somme des écarts vaut $0$
b) $\sum(x_{i}-\overline{x})=\sum x_{i}-n\overline{x}=0$ : les écarts positifs et négatifs se compensent toujours
c) $s^{2}=0{,}66\ (^{\circ}\mathrm{C})^{2}$ ; $s\approx 0{,}81\ ^{\circ}\mathrm{C}$
d) $\sum x_{i}^{2}=3789{,}12$ ; $3789{,}12-3784{,}5=4{,}62$ ; avec $\overline{x}\approx 21{,}8$ : $-12{,}8$ , impossible
e) $\approx 0{,}76\ ^{\circ}\mathrm{C}$ ; on rapporte $s\approx 0{,}81\ ^{\circ}\mathrm{C}$ (échantillon)

a)

$\sum x_{i}=174{,}0$ , donc $\overline{x}=\dfrac{174{,}0}{8}=21{,}75\ ^{\circ}\mathrm{C}$ .

Écarts, dans l'ordre des relevés : $-0{,}35$ ; $0{,}25$ ; $-1{,}15$ ; $1{,}35$ ; $0{,}05$ ; $0{,}75$ ; $-0{,}85$ ; $-0{,}05$ .

Somme des écarts positifs : $2{,}40$ ; somme des écarts négatifs : $-2{,}40$ ; total : $0$ .

La figure du corrigé dessine chaque écart à partir de la moyenne : les segments bleus à droite équilibrent exactement les segments orange à gauche.

b)

On sépare la somme, puis on utilise $\sum x_{i}=n\,\overline{x}$ , qui est la définition de la moyenne :

\begin{aligned}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x}) &= \sum_{i=1}^{n}x_{i}-n\,\overline{x} \\ &= n\,\overline{x}-n\,\overline{x}=0\end{aligned}

La moyenne des écarts vaut donc $0$ pour TOUTE série, très dispersée ou non : elle ne distingue rien. On supprime les signes en élevant les écarts au carré, ce qui donne la variance.

c)

Carrés des écarts : $0{,}1225$ ; $0{,}0625$ ; $1{,}3225$ ; $1{,}8225$ ; $0{,}0025$ ; $0{,}5625$ ; $0{,}7225$ ; $0{,}0025$ , de somme $4{,}62$ .

$s^{2}=\dfrac{4{,}62}{8-1}=0{,}66\ (^{\circ}\mathrm{C})^{2}$ et $s=\sqrt{0{,}66}\approx 0{,}81\ ^{\circ}\mathrm{C}$

La variance est en degrés AU CARRÉ, une unité sans sens physique direct ; l'écart-type revient à l'unité des données, c'est lui qu'on interprète.

Lecture : les températures du transect s'écartent de la moyenne d'environ $0{,}8\ ^{\circ}\mathrm{C}$ en ordre de grandeur.

d)

On développe le carré, puis on sépare les trois sommes :

\begin{aligned}\sum(x_{i}-\overline{x})^{2} &= \sum x_{i}^{2}-2\overline{x}\sum x_{i}+n\overline{x}^{2} \\ &= \sum x_{i}^{2}-2n\overline{x}^{2}+n\overline{x}^{2} \\ &= \sum x_{i}^{2}-n\overline{x}^{2}\end{aligned}

Ici $\sum x_{i}^{2}=3789{,}12$ et $n\overline{x}^{2}=8\times 21{,}75^{2}=3784{,}5$ : la différence vaut $4{,}62$ , comme en c).

Avec $\overline{x}$ arrondi à $21{,}8$ : $3789{,}12-8\times 21{,}8^{2}=3789{,}12-3801{,}92=-12{,}8$ .

Piège : une somme de carrés négative est impossible. La formule soustrait deux grands nombres presque égaux : un arrondi de $0{,}05$ sur la moyenne suffit à tout détruire. On garde la moyenne exacte, ou l'on utilise la mémoire de la calculatrice.

e)

Diviseur $n$ : $\sqrt{\dfrac{4{,}62}{8}}=\sqrt{0{,}5775}\approx 0{,}76\ ^{\circ}\mathrm{C}$ .

Les $8$ points sont un ÉCHANTILLON du lac : on rapporte $s\approx 0{,}81\ ^{\circ}\mathrm{C}$ , de diviseur $n-1$ . Les écarts sont mesurés autour de $\overline{x}$ , plus proche des données que la vraie moyenne $\mu$ du lac : diviser par $n$ sous-estimerait en moyenne la dispersion. L'exercice 7 le démontre.

Sur les calculatrices, $s$ est souvent noté $s_{x}$ ou $\sigma_{n-1}$ , et l'autre $\sigma_{x}$ ou $\sigma_{n}$ : lisez la touche avant de recopier.

Exercice 4 : Longueur de truites : cote z, rang centile et comparaison de deux lacs

9 réponses vérifiables

Lors d'un inventaire, une équipe de biologistes capture $25$ truites mouchetées dans un lac A et mesure leur longueur totale, en centimètres. Les données, fictives, sont classées ci-dessous ; l'histogramme les regroupe en classes de $2$ cm :

$17{,}8$ ; $19{,}0$ ; $19{,}6$ ; $20{,}3$ ; $20{,}9$ ; $21{,}2$ ; $21{,}8$ ; $22{,}4$ ; $22{,}7$ ; $23{,}1$ ; $23{,}6$ ; $24{,}0$ ; $24{,}3$ ; $24{,}8$ ; $25{,}2$ ; $25{,}5$ ; $26{,}1$ ; $26{,}6$ ; $27{,}3$ ; $27{,}9$ ; $28{,}4$ ; $29{,}2$ ; $30{,}1$ ; $31{,}5$ ; $35{,}0$ .

On donne $\sum x_{i}=618{,}3$ et $\sum x_{i}^{2}=15\,704{,}95$ . Rang centile : $RC(x)=\dfrac{N_{<}+\frac{1}{2}N_{=}}{n}\times 100$ .

a) Calculez la moyenne $\overline{x}$ et l'écart-type $s$ de l'échantillon à l'aide des deux sommes données.
b) Calculez la cote $z$ de la plus longue truite, $35{,}0$ cm, puis celle de la plus courte, $17{,}8$ cm.
c) Calculez le rang centile de la truite de $27{,}3$ cm, puis interprétez-le en une phrase.
d) Dans un lac B voisin, les truites de l'inventaire ont une moyenne de $33{,}4$ cm et un écart-type de $3{,}0$ cm. Une truite y mesure $31{,}0$ cm. Calculez sa cote $z$ , puis dites laquelle est la plus grande RELATIVEMENT à son lac : cette truite ou celle de $27{,}3$ cm du lac A.
e) Les biologistes classent « petite » toute truite du lac A dont la cote $z$ est inférieure à $-1{,}5$ . Calculez la longueur correspondant à $z=-1{,}5$ .
f) La truite de $35{,}0$ cm est-elle exceptionnelle ? Appuyez-vous sur sa cote $z$ , puis sur la règle de $1{,}5$ fois l'écart interquartile ( $Q_{1}$ et $Q_{3}$ sont les médianes des $12$ plus petites et des $12$ plus grandes données).

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/9

a)

\overline{x}

cm

s

cm

b)

z

de 35,0 cm

z

de 17,8 cm

c)

Rang centile

d)

z_{B}

La plus grande relativement à son lac

e)

Longueur cm

f)

La truite de 35,0 cm est

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Réponses

a) $\overline{x}\approx 24{,}73$ cm ; $s\approx 4{,}15$ cm
b) $z\approx 2{,}47$ pour $35{,}0$ cm ; $z\approx -1{,}67$ pour $17{,}8$ cm
c) $RC=74$ : environ $74\ \%$ des truites capturées sont plus courtes
d) $z_{B}=-0{,}80$ contre $z_{A}\approx 0{,}62$ : la truite de $27{,}3$ cm du lac A est relativement la plus grande
e) $x\approx 18{,}5$ cm
f) Inhabituelle ( $z\approx 2{,}47$ ) mais pas aberrante : $35{,}0<Q_{3}+1{,}5\,EI=36{,}75$

a)

$\overline{x}=\dfrac{618{,}3}{25}=24{,}732\approx 24{,}73$ cm.

Avec la formule démontrée à l'exercice 3 :

\displaystyle s^{2}=\dfrac{\sum x_{i}^{2}-n\overline{x}^{2}}{n-1}=\dfrac{15\,704{,}95-25\times 24{,}732^{2}}{24}\approx 17{,}21

$s\approx 4{,}15$ cm

b)

$z=\dfrac{x-\overline{x}}{s}$ : l'écart à la moyenne compté en écarts-types.

$z_{35{,}0}=\dfrac{35{,}0-24{,}73}{4{,}15}\approx 2{,}47$ et $z_{17{,}8}=\dfrac{17{,}8-24{,}73}{4{,}15}\approx -1{,}67$ .

La plus longue est à presque deux écarts-types et demi au-dessus de la moyenne ; la plus courte à un peu plus d'un écart-type et demi au-dessous. La distribution n'est pas symétrique : la queue de droite est plus longue.

L'histogramme du corrigé porte l'échelle des cotes $z$ : chaque trait pointillé est à un écart-type du suivant.

c)

La truite de $27{,}3$ cm est la 19e de la série classée : $N_{<}=18$ et $N_{=}=1$ .

\displaystyle RC=\dfrac{18+\frac{1}{2}}{25}\times 100=74

Environ $74\ \%$ des truites capturées dans le lac A sont plus courtes qu'elle. Le rang centile est une POSITION dans le groupe, pas un pourcentage de longueur.

d)

$z_{B}=\dfrac{31{,}0-33{,}4}{3{,}0}=-0{,}80$ ; pour la truite de $27{,}3$ cm du lac A, $z_{A}=\dfrac{27{,}3-24{,}73}{4{,}15}\approx 0{,}62$ .

La truite du lac B est plus longue en centimètres, mais elle est SOUS la moyenne de son lac ; celle du lac A est au-dessus de la sienne.

Relativement à son lac, la truite de $27{,}3$ cm est la plus grande.

Piège : comparer les centimètres. Deux populations de moyennes et d'écarts-types différents ne se comparent qu'en cotes $z$ ; la cote $z$ ne dit pas pour autant POURQUOI les truites du lac B sont plus grandes (nourriture, âge, température).

e)

On isole $x$ dans $z=\dfrac{x-\overline{x}}{s}$ : $x=\overline{x}+z\,s$ .

$x=24{,}732-1{,}5\times 4{,}149\approx 18{,}5$ cm

Une seule truite capturée, celle de $17{,}8$ cm, est « petite » selon ce critère.

f)

$z\approx 2{,}47$ : la truite est au-delà de deux écarts-types. Pour une distribution en cloche, cela n'arrive qu'à quelques pour cent des individus : elle est INHABITUELLE. Cette lecture suppose une forme à peu près en cloche ; elle ne vaut pas pour n'importe quelle distribution.

Règle de l'écart interquartile : $Q_{1}=\dfrac{21{,}2+21{,}8}{2}=21{,}5$ et $Q_{3}=\dfrac{27{,}3+27{,}9}{2}=27{,}6$ , donc $EI=6{,}1$ .

Borne supérieure : $27{,}6+1{,}5\times 6{,}1=36{,}75$ cm. Or $35{,}0<36{,}75$ : la truite n'est PAS une valeur aberrante selon cette règle.

Inhabituelle ne veut pas dire aberrante, et aberrante ne voudrait pas dire erronée : une grande truite âgée est un individu réel du lac.

Exercice 5 : Épaisseur de glace : quartiles, boîte à moustaches et décision de sécurité

13 réponses vérifiables

Avant d'ouvrir un sentier de patin sur deux lacs, une équipe municipale perce des trous et mesure l'épaisseur de la glace, en centimètres. Sur le lac A, $16$ mesures fictives, classées :

$9$ ; $19$ ; $21$ ; $22$ ; $23$ ; $24$ ; $24$ ; $25$ ; $26$ ; $26$ ; $27$ ; $28$ ; $29$ ; $30$ ; $31$ ; $33$ . La mesure de $9$ cm a été prise près de l'embouchure d'un ruisseau.

Le lac B est résumé par la boîte ci-dessous : minimum $16$ , $Q_{1}=20$ , médiane $23$ , $Q_{3}=25$ , maximum $27$ .

Convention : $Q_{1}$ et $Q_{3}$ sont les médianes de la moitié inférieure et de la moitié supérieure de la série classée. Règle de l'exercice, fictive : un sentier n'ouvre que si AUCUN point mesuré n'a moins de $15$ cm de glace.

a) Déterminez $Q_{1}$ , la médiane et $Q_{3}$ des épaisseurs du lac A.
b) Calculez l'écart interquartile $EI$ et les bornes $Q_{1}-1{,}5\,EI$ et $Q_{3}+1{,}5\,EI$ , puis identifiez les valeurs aberrantes du lac A.
c) Tracez la boîte à moustaches du lac A sur le même axe que celle du lac B. Précisez où s'arrête sa moustache de gauche.
d) Comparez les deux lacs : lequel a la médiane la plus élevée, et lequel a les épaisseurs les plus dispersées au sens de l'écart interquartile ?
e) Appliquez la règle d'ouverture à chacun des deux lacs, et expliquez pourquoi ni la moyenne ni la médiane ne servent ici.
f) Une conseillère propose de retirer la mesure de 9 cm du rapport, « puisque c'est une valeur aberrante ». Dites si elle a raison.

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/13

a)

Q_{1}

cm

Médiane cm

Q_{3}

cm

b)

EI

cm

Borne inférieure cm

Borne supérieure cm

Nombre de valeurs aberrantes

c)

Fin de la moustache de gauche cm

d)

Médiane la plus élevée

Écart interquartile le plus grand

e)

Le lac A ouvre-t-il ?

Le lac B ouvre-t-il ?

f)

Retirer la mesure de 9 cm ?

Voir la correction

Réponses

a) $Q_{1}=22{,}5$ cm ; $Me=25{,}5$ cm ; $Q_{3}=28{,}5$ cm
b) $EI=6$ cm ; bornes $13{,}5$ et $37{,}5$ cm ; une valeur aberrante : $9$ cm
c) Boîte de $22{,}5$ à $28{,}5$ , médiane $25{,}5$ ; moustaches de $19$ à $33$ ; point isolé à $9$
d) Lac A : médiane $25{,}5>23$ et $EI=6>5$
e) Lac A fermé (minimum $9<15$ ) ; lac B ouvert (minimum $16\geq 15$ ) : c'est le MINIMUM qui décide
f) Non : aberrante ne veut pas dire erronée ; cette mesure signale une zone dangereuse

a)

$n=16$ est pair : la médiane est la demi-somme des 8e et 9e données, $Me=\dfrac{25+26}{2}=25{,}5$ cm.

Moitié inférieure : $9, 19, 21, 22, 23, 24, 24, 25$ , de médiane $Q_{1}=\dfrac{22+23}{2}=22{,}5$ cm.

Moitié supérieure : $26, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33$ , de médiane $Q_{3}=\dfrac{28+29}{2}=28{,}5$ cm.

D'autres conventions (logiciels, position $(n+1)/4$ ) donnent des quartiles un peu différents : on annonce celle qu'on suit.

b)

$EI=Q_{3}-Q_{1}=28{,}5-22{,}5=6$ cm.

$Q_{1}-1{,}5\,EI=22{,}5-9=13{,}5$ cm et $Q_{3}+1{,}5\,EI=28{,}5+9=37{,}5$ cm.

Seule la mesure de $9$ cm sort de ces bornes : c'est la seule valeur aberrante selon la règle.

c)

La boîte va de $Q_{1}=22{,}5$ à $Q_{3}=28{,}5$ , coupée par la médiane $25{,}5$ .

La moustache de droite va jusqu'au maximum, $33$ cm, qui est sous $37{,}5$ .

La moustache de gauche s'arrête à $19$ cm, la plus petite donnée non aberrante ; la mesure de $9$ cm est un point isolé.

Piège : tirer la moustache jusqu'à $9$ . La boîte ferait alors croire à une dispersion régulière de $9$ à $33$ , et le point dangereux disparaîtrait dans le trait.

d)

Médianes : $25{,}5$ cm pour A contre $23$ cm pour B. Écarts interquartiles : $6$ cm pour A contre $25-20=5$ cm pour B.

Au centre, la glace du lac A est plus épaisse ; elle est aussi un peu plus irrégulière. Sa moyenne, $24{,}81$ cm, dépasse aussi la médiane de B.

e)

Lac A : une mesure vaut $9$ cm, sous $15$ cm : le sentier n'ouvre pas. Lac B : le minimum vaut $16$ cm : le sentier ouvre.

La règle porte sur le point le plus faible, pas sur un point typique : on ne patine pas sur la moyenne. Le lac A, le meilleur « en moyenne », est le seul fermé.

Pour une question de sécurité, c'est l'extrême de la distribution, ici le minimum, qui décide.

f)

Non. « Aberrante » est un critère de position, pas un verdict d'erreur : la mesure a une cause physique connue, le courant du ruisseau qui amincit la glace.

On retire une donnée seulement si l'on prouve une erreur de mesure ou de saisie. Ici, la retirer effacerait la seule information qui décide de la sécurité.

Exercice 6 : Masse d'œufs de tortue : données groupées en classes, interpolation et centiles

9 réponses vérifiables

Sur une plage de nidification, des biologistes pèsent $120$ œufs de tortue serpentine et regroupent les masses, en grammes, en classes d'amplitude $1$ g. Les données sont fictives.

Médiane et centiles se calculent par interpolation linéaire dans leur classe : le $k$ -ième centile vaut $P_{k}=L+\dfrac{\frac{k}{100}n-F}{n_{c}}\times a$ , avec les notations de l'exercice 0.1.

Masse (g)	[8 ; 9[	[9 ; 10[	[10 ; 11[	[11 ; 12[	[12 ; 13[	[13 ; 14[
Nombre d'œufs	6	15	31	38	21	9

a) Précisez le type de la variable étudiée et dites pourquoi on la groupe en classes. Calculez le pourcentage des œufs de moins de 10 g.
b) Calculez la masse moyenne $\overline{x}$ par les centres de classe.
c) Calculez l'écart-type $s$ par les centres de classe, en traitant les $120$ œufs comme un échantillon.
d) Donnez la classe modale, puis calculez la médiane par interpolation.
e) Calculez le 90e centile $P_{90}$ , puis le rang centile d'un œuf de $10{,}5$ g, en supposant les œufs répartis uniformément dans leur classe.
f) Sur les $120$ masses brutes, la moyenne exacte vaut $11{,}19$ g. Expliquez l'écart avec le résultat de b), puis comparez moyenne et médiane pour décrire la forme de la distribution.

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/9

a)

Variable

Moins de 10 g %

b)

\overline{x}

g

c)

s

g

d)

Classe modale

Médiane g

e)

P_{90}

g

Rang centile de 10,5 g

f)

Forme

Voir la correction

Réponses

a) Quantitative continue ; $17{,}5\ \%$ des œufs pèsent moins de $10$ g
b) $\overline{x}\approx 11{,}17$ g
c) $s\approx 1{,}26$ g
d) Classe modale $[11\,;12[$ ; $Me\approx 11{,}21$ g
e) $P_{90}\approx 12{,}86$ g ; rang centile de $10{,}5$ g : environ $30$
f) Les centres remplacent les vraies masses ; $\overline{x}<Me$ : légère asymétrie vers les petites masses

a)

Une masse peut prendre toute valeur d'un intervalle : la variable est quantitative CONTINUE. Avec 120 valeurs presque toutes différentes, un tableau valeur par valeur ne résume rien : on condense en classes, au prix des valeurs individuelles.

Moins de $10$ g : $6+15=21$ œufs, soit $\dfrac{21}{120}=17{,}5\ \%$ .

b)

Centres : $8{,}5$ ; $9{,}5$ ; $10{,}5$ ; $11{,}5$ ; $12{,}5$ ; $13{,}5$ . On pondère chaque centre par l'effectif de sa classe :

\displaystyle \sum c_{i}n_{i}=51+142{,}5+325{,}5+437+262{,}5+121{,}5=1340

$\overline{x}=\dfrac{1340}{120}\approx 11{,}17$ g

Piège : faire la moyenne des six centres, $11$ g, comme si chaque classe contenait le même nombre d'œufs.

c)

$\sum c_{i}^{2}n_{i}=15\,152$ . Par la formule de calcul de l'exercice 3, pondérée :

\displaystyle s^{2}=\dfrac{\sum c_{i}^{2}n_{i}-n\overline{x}^{2}}{n-1}=\dfrac{15\,152-120\times 11{,}1\overline{6}^{2}}{119}\approx 1{,}585

$s\approx 1{,}26$ g

Ordre de grandeur : pour une distribution à peu près en cloche comme celle-ci, environ les deux tiers des œufs pèsent entre $\overline{x}-s\approx 9{,}9$ g et $\overline{x}+s\approx 12{,}4$ g ; l'histogramme est compatible avec cette lecture.

d)

La classe modale est celle de plus grand effectif : $[11\,;12[$ , avec $38$ œufs. Sur des classes de même amplitude, c'est aussi la barre la plus haute.

Médiane : $\frac{n}{2}=60$ . Effectifs cumulés : $6$ , $21$ , $52$ , $90$ : la 60e donnée est dans $[11\,;12[$ , avec $F=52$ et $n_{c}=38$ .

$Me=11+\dfrac{60-52}{38}\times 1\approx 11{,}21$ g

e)

$P_{90}$ : $0{,}90\times 120=108$ ; $90$ œufs précèdent la classe $[12\,;13[$ , qui en compte $21$ .

$P_{90}=12+\dfrac{108-90}{21}\times 1\approx 12{,}86$ g : environ $90\ \%$ des œufs pèsent moins.

Rang centile de $10{,}5$ g : $21$ œufs dans les classes précédentes, plus la moitié des $31$ œufs de $[10\,;11[$ si ceux-ci sont répartis uniformément.

$RC\approx\dfrac{21+15{,}5}{120}\times 100\approx 30{,}4$ , soit environ $30$ .

L'ogive du corrigé montre ces deux lectures : on entre par l'axe des pourcentages pour un centile, par l'axe des masses pour un rang centile.

f)

Les centres remplacent chaque masse par le milieu de sa classe : on suppose les œufs répartis de façon équilibrée dans chaque classe. L'écart $11{,}19-11{,}17=0{,}02$ g mesure le prix de cette hypothèse, petit ici parce que les classes sont étroites.

$\overline{x}\approx 11{,}17<Me\approx 11{,}21$ : la distribution est légèrement étalée vers les petites masses, ce que montrent les classes $[8\,;9[$ et $[9\,;10[$ plus fournies que $[13\,;14[$ .

Un écart aussi faible entre moyenne et médiane signale une asymétrie légère ; il ne suffit pas, seul, à la prouver.

Exercice 7 : Démontrer : la moyenne minimise les carrés des écarts, et pourquoi on divise par n moins 1

7 réponses vérifiables

On note $x_{1},\dots,x_{n}$ une série de données de moyenne $\overline{x}$ , et l'on étudie, pour tout réel $c$ , la somme des carrés des écarts à $c$ : $f(c)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-c)^{2}$ .

Dans la seconde partie, une population minuscule sert de laboratoire : lors d'un orage, les trois pluviomètres d'un petit réseau ont recueilli $2$ , $6$ et $10$ mm de pluie. On en tire au hasard, AVEC remise, des échantillons de taille $n=2$ .

a) Calculez $f'(c)$ , puis démontrez que $f$ atteint son minimum en $c=\overline{x}$ , et en ce point seulement.
b) Démontrez que $f(c)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}+n(\overline{x}-c)^{2}$ . Appliquez cette égalité aux températures de l'exercice 3 ( $n=8$ , $\overline{x}=21{,}75$ , $\sum(x_{i}-\overline{x})^{2}=4{,}62$ ) pour calculer $f(22)$ .
c) Soit $\mu$ la vraie moyenne de la population d'où vient l'échantillon. Déduisez de b) le sens de l'erreur commise quand on mesure la dispersion par les écarts à $\overline{x}$ au lieu des écarts à $\mu$ .
d) Calculez la moyenne $\mu$ et la variance $\sigma^{2}$ (diviseur $N=3$ ) de la population des trois pluviomètres.
e) Dressez la liste des $9$ échantillons ordonnés de taille $2$ tirés avec remise. Pour chacun, calculez $s^{2}$ (diviseur $n-1=1$ ) et la variance de diviseur $n=2$ , puis calculez la moyenne de chacune des deux sur les $9$ échantillons.
f) Concluez : lequel des deux diviseurs donne en moyenne la variance de la population ?

Voir la correction

Réponses

a) $f'(c)=-2\sum(x_{i}-c)=2n(c-\overline{x})$ , nulle seulement en $\overline{x}$ ; $f''=2n>0$ : minimum
b) Égalité démontrée ; $f(22)=4{,}62+8\times 0{,}25^{2}=5{,}12$
c) $\sum(x_{i}-\overline{x})^{2}\leq\sum(x_{i}-\mu)^{2}$ : les écarts à $\overline{x}$ sous-estiment la dispersion
d) $\mu=6$ mm ; $\sigma^{2}=\frac{32}{3}\approx 10{,}67\ \mathrm{mm^{2}}$
e) Moyenne des $s^{2}$ : $\frac{96}{9}\approx 10{,}67$ ; diviseur $n$ : $\frac{48}{9}\approx 5{,}33$
f) Le diviseur $n-1$ : en moyenne $s^{2}=\sigma^{2}$ ; le diviseur $n$ donne $\frac{n-1}{n}\sigma^{2}$

a)

$f$ est un polynôme de degré $2$ en $c$ . On dérive terme à terme :

\begin{aligned}f'(c) &= \sum_{i=1}^{n}-2(x_{i}-c) \\ &= -2\Big(\sum x_{i}-nc\Big)=2n(c-\overline{x})\end{aligned}

$f'(c)=0$ si et seulement si $c=\overline{x}$ ; $f'$ est négative avant, positive après, et $f''(c)=2n>0$ .

$f$ admet donc un minimum global en $c=\overline{x}$ , et en ce seul point : aucune autre valeur n'est, en moyenne quadratique, plus proche des données.

b)

On écrit $x_{i}-c=(x_{i}-\overline{x})+(\overline{x}-c)$ et l'on développe le carré :

\displaystyle f(c)=\sum(x_{i}-\overline{x})^{2}+2(\overline{x}-c)\sum(x_{i}-\overline{x})+n(\overline{x}-c)^{2}

Le terme du milieu est nul, car $\sum(x_{i}-\overline{x})=0$ (exercice 3). D'où l'égalité.

Températures du lac : $f(22)=4{,}62+8\times(21{,}75-22)^{2}=4{,}62+0{,}5=5{,}12$ .

On retrouve a) : le terme $n(\overline{x}-c)^{2}$ est positif, sauf en $c=\overline{x}$ .

c)

Avec $c=\mu$ : $\sum(x_{i}-\mu)^{2}=\sum(x_{i}-\overline{x})^{2}+n(\overline{x}-\mu)^{2}\geq\sum(x_{i}-\overline{x})^{2}$ .

L'échantillon ne connaît pas $\mu$ et mesure ses écarts autour de $\overline{x}$ , le point le plus proche de SES propres données. La somme des carrés obtenue est en général trop petite, de $n(\overline{x}-\mu)^{2}$ .

Diviser cette somme par $n$ sous-estime donc la dispersion de la population ; diviser par $n-1$ , un nombre plus petit, compense.

d)

$\mu=\dfrac{2+6+10}{3}=6$ mm.

\displaystyle \sigma^{2}=\dfrac{(2-6)^{2}+(6-6)^{2}+(10-6)^{2}}{3}=\dfrac{32}{3}\approx 10{,}67\ \mathrm{mm^{2}}

e)

Les $9$ échantillons : $(2;2)$ , $(2;6)$ , $(2;10)$ , $(6;2)$ , $(6;6)$ , $(6;10)$ , $(10;2)$ , $(10;6)$ , $(10;10)$ , tous également probables.

Pour deux données $a$ , $b$ de moyenne $\frac{a+b}{2}$ , la somme des carrés des écarts vaut $\frac{(a-b)^{2}}{2}$ , donc $s^{2}=\frac{(a-b)^{2}}{2}$ et la version de diviseur $2$ vaut $\frac{(a-b)^{2}}{4}$ .

Valeurs de $s^{2}$ : $0$ ; $8$ ; $32$ ; $8$ ; $0$ ; $8$ ; $32$ ; $8$ ; $0$ , de somme $96$ , de moyenne $\frac{96}{9}=\frac{32}{3}\approx 10{,}67$ .

Valeurs de diviseur $2$ : la moitié, de moyenne $\frac{48}{9}\approx 5{,}33$ .

Le diagramme du corrigé montre les neuf valeurs de $s^{2}$ : aucune ne vaut $\sigma^{2}$ , mais leur moyenne tombe exactement dessus.

f)

La moyenne des $s^{2}$ est égale à $\sigma^{2}$ : sur tous les échantillons possibles, le diviseur $n-1$ vise juste en moyenne. On dit que $s^{2}$ est un estimateur SANS BIAIS de $\sigma^{2}$ ; le cours d'inférence le démontre en général pour un tirage avec remise.

Le diviseur $n$ donne en moyenne $\frac{n-1}{n}\sigma^{2}$ , ici la moitié ; pour les $8$ points du lac, il perdrait $\frac{1}{8}$ de la variance en moyenne.

Nuance : c'est $s^{2}$ qui est sans biais, pas $s$ . La racine carrée déforme un peu la moyenne, et $s$ sous-estime légèrement $\sigma$ sur de petits échantillons.

La somme

f(c)

pour les températures du lac : une parabole dont le minimum,

4{,}62

, est atteint en

c=\overline{x}=21{,}75

.

Les

s^{2}

des

9

échantillons de taille

2

: aucun ne vaut

\sigma^{2}

, mais leur moyenne,

10{,}67

, est exactement

\sigma^{2}

.

Exercice 8 : Cinq affirmations à corriger

5 réponses vérifiables

Chacune des cinq affirmations suivantes est FAUSSE. Expliquez pourquoi, puis choisissez l'énoncé correct. Deux points par affirmation.

a) « Les relevés de particules fines sont arrondis au $\mu\mathrm{g/m^{3}}$ près : la concentration est donc une variable discrète. »
b) « Si l'on convertit les températures d'un lac de degrés Celsius en kelvins, en ajoutant $273{,}15$ à chaque relevé, l'écart-type augmente de $273{,}15$ . »
c) « Une truite dont la cote $z$ vaut $2$ est deux fois plus longue que la moyenne de son lac. »
d) « Dans un histogramme, la hauteur de chaque barre est l'effectif de sa classe. »
e) « Une épaisseur de glace de rang centile $90$ atteint $90\ \%$ de l'épaisseur maximale mesurée. »

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/5

a)

Énoncé correct

b)

Énoncé correct

c)

Énoncé correct

d)

Énoncé correct

e)

Énoncé correct

Voir la correction

Réponses

a) Continue : l'arrondi est celui de l'instrument, la grandeur varie continûment
b) $s$ inchangé ; seule la moyenne augmente de $273{,}15$
c) $z=2$ : deux écarts-types au-dessus de la moyenne, pas le double
d) L'aire est proportionnelle à l'effectif ; hauteur = densité si les amplitudes diffèrent
e) Environ $90\ \%$ des mesures sont plus minces : c'est une position, pas une proportion du maximum

a)

Une concentration peut prendre toute valeur d'un intervalle ; l'arrondi au microgramme est une limite de l'appareil et de l'affichage, pas une propriété de la grandeur.

Correction : la concentration est une variable quantitative CONTINUE, enregistrée avec une précision d'un microgramme par mètre cube.

Piège : classer une variable d'après l'allure des nombres du tableau. Une masse arrondie au gramme reste une masse.

b)

Ajouter une constante $b$ à toutes les données déplace la moyenne de $b$ et laisse chaque écart $x_{i}-\overline{x}$ inchangé : l'écart-type ne bouge pas.

Démonstration en une ligne : $y_{i}-\overline{y}=(x_{i}+b)-(\overline{x}+b)=x_{i}-\overline{x}$ .

Correction : en kelvins, la moyenne augmente de $273{,}15$ et l'écart-type reste le même, en kelvins ou en degrés Celsius, puisqu'un écart de $1$ K vaut un écart de $1\ ^{\circ}\mathrm{C}$ .

c)

La cote $z$ compte l'écart à la moyenne en écarts-types : $x=\overline{x}+z\,s$ . Avec $z=2$ , la truite mesure $\overline{x}+2s$ , pas $2\overline{x}$ .

Exemple du lac A de l'exercice 4 : $24{,}73+2\times 4{,}15\approx 33{,}0$ cm, bien loin de $2\times 24{,}73\approx 49{,}5$ cm.

Correction : une truite de cote $z=2$ dépasse la moyenne de son lac de deux écarts-types.

d)

Vrai seulement quand toutes les classes ont la même amplitude. Dès que les amplitudes diffèrent, l'œil lit les AIRES : une classe deux fois plus large avec la même hauteur paraît deux fois plus peuplée.

Correction : l'aire de chaque barre est proportionnelle à l'effectif ; la hauteur est la densité $\dfrac{n_{i}}{a_{i}}$ , effectif par unité de la variable. L'exercice 10 le montre sur des précipitations.

Piège : tracer des classes inégales avec les effectifs pour hauteurs. Les rares grandes valeurs, regroupées dans une large classe, envahissent la figure.

e)

Le rang centile est une POSITION dans le groupe : la proportion des mesures situées en dessous. Il ne compare pas la donnée au maximum.

Exemple : sur le lac A de l'exercice 5, la mesure de $30$ cm a pour rang centile $\dfrac{13+0{,}5}{16}\times 100\approx 84$ , et vaut $\dfrac{30}{33}\approx 91\ \%$ du maximum : deux nombres sans rapport.

Correction : une épaisseur de rang centile $90$ est plus grande qu'environ $90\ \%$ des épaisseurs mesurées.

Exercice 9 : Problème : nitrates dans des puits privés, une étude complète

14 réponses vérifiables

Une agence régionale analyse l'eau de $20$ puits privés tirés au hasard parmi les puits inscrits d'une zone agricole. Chaque résultat est la concentration de nitrates exprimée en azote, en mg/L. Les données, fictives, sont classées :

$0{,}8$ ; $1{,}2$ ; $1{,}5$ ; $2{,}1$ ; $2{,}4$ ; $2{,}9$ ; $3{,}3$ ; $3{,}6$ ; $4{,}0$ ; $4{,}4$ ; $4{,}8$ ; $5{,}3$ ; $5{,}9$ ; $6{,}5$ ; $7{,}2$ ; $8{,}1$ ; $9{,}4$ ; $10{,}6$ ; $12{,}3$ ; $15{,}9$ . On donne $\sum x_{i}=112{,}2$ et $\sum x_{i}^{2}=932{,}58$ .

Repère : la recommandation canadienne pour l'eau potable fixe une concentration maximale acceptable de $45$ mg/L de nitrate, soit environ $10$ mg/L exprimés en azote. Pour passer de l'azote à l'ion nitrate, on multiplie par $4{,}43$ , le rapport des masses molaires de $\mathrm{NO_{3}^{-}}$ et de $\mathrm{N}$ .

a) Identifiez la population, l'échantillon et la variable de l'étude.
b) Calculez la moyenne, la médiane et l'écart-type $s$ des concentrations.
c) Calculez le pourcentage des puits de l'échantillon qui dépassent 10 mg/L. Expliquez pourquoi la moyenne seule ne permet pas de répondre à cette question.
d) Calculez $Q_{1}$ , $Q_{3}$ et la borne $Q_{3}+1{,}5\,EI$ (médianes des deux moitiés), puis la cote $z$ du puits à $15{,}9$ mg/L. Ce puits est-il une valeur aberrante selon la règle ?
e) Démontrez que si $y_{i}=a\,x_{i}+b$ pour tout $i$ , alors $\overline{y}=a\,\overline{x}+b$ et $s_{y}=|a|\,s_{x}$ . Déduisez-en la moyenne et l'écart-type des concentrations exprimées en ion nitrate, et dites si la cote $z$ d'un puits change.
f) Choisissez la conclusion qui convient au rapport de l'agence.

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/14

a)

Population

b)

\overline{x}

mg/L

Médiane mg/L

s

mg/L

c)

Puits au-dessus de 10 mg/L %

d)

Q_{1}

mg/L

Q_{3}

mg/L

Q_{3}+1{,}5\,EI

mg/L

z

Valeur aberrante ?

e)

\overline{y}

mg/L

s_{y}

mg/L

La cote z change-t-elle ?

f)

Conclusion

Voir la correction

Réponses

a) Population : les puits privés inscrits de la zone ; échantillon : les 20 puits tirés ; variable : la concentration de nitrates en azote (continue)
b) $\overline{x}=5{,}61$ mg/L ; $Me=4{,}6$ mg/L ; $s\approx 3{,}99$ mg/L
c) $15\ \%$ (3 puits sur 20) ; une moyenne sous le repère n'empêche pas des dépassements
d) $Q_{1}=2{,}65$ ; $Q_{3}=7{,}65$ ; borne $15{,}15$ ; $z\approx 2{,}58$ : valeur aberrante
e) $\overline{y}\approx 24{,}85$ mg/L ; $s_{y}\approx 17{,}69$ mg/L ; la cote $z$ ne change pas
f) Typique modérée, mais 15 % des puits analysés au-dessus du repère : on les signale, on ne les écarte pas

a)

Population : l'ensemble des puits privés inscrits de la zone agricole, sur lesquels porte la conclusion.

Échantillon : les 20 puits tirés au hasard. Variable : la concentration de nitrates exprimée en azote, quantitative continue.

Le tirage au hasard autorise à étendre les conclusions aux puits inscrits ; il ne dit rien des puits non inscrits.

b)

$\overline{x}=\dfrac{112{,}2}{20}=5{,}61$ mg/L.

$n=20$ est pair : $Me=\dfrac{4{,}4+4{,}8}{2}=4{,}6$ mg/L.

$s^{2}=\dfrac{932{,}58-20\times 5{,}61^{2}}{19}=\dfrac{303{,}138}{19}\approx 15{,}95$ , donc $s\approx 3{,}99$ mg/L.

$\overline{x}>Me$ et l'histogramme s'étire vers la droite : la distribution est asymétrique à droite, comme souvent pour une concentration.

c)

Trois puits dépassent $10$ mg/L : $10{,}6$ , $12{,}3$ et $15{,}9$ , soit $\dfrac{3}{20}=15\ \%$ de l'échantillon.

La moyenne résume le centre ; elle ne dit rien de la QUEUE de la distribution. Une moyenne de $5{,}61$ est compatible avec aucun dépassement comme avec plusieurs : seule la liste des données, ou un centile, répond.

Piège : écrire « la moyenne est sous la norme, donc l'eau est conforme ». Une norme s'applique à chaque puits, pas à la moyenne.

d)

Moitié inférieure : les $10$ plus petites données, $Q_{1}=\dfrac{2{,}4+2{,}9}{2}=2{,}65$ . Moitié supérieure : $Q_{3}=\dfrac{7{,}2+8{,}1}{2}=7{,}65$ .

$EI=5$ , donc $Q_{3}+1{,}5\,EI=7{,}65+7{,}5=15{,}15$ mg/L.

$z=\dfrac{15{,}9-5{,}61}{3{,}99}\approx 2{,}58$ .

$15{,}9>15{,}15$ : le puits est une valeur aberrante selon la règle. C'est une donnée à vérifier (nouvelle analyse), puis à SIGNALER : un puits très contaminé est précisément ce que l'étude cherche.

e)

Moyenne : $\overline{y}=\dfrac{1}{n}\sum(a x_{i}+b)=a\dfrac{\sum x_{i}}{n}+b=a\overline{x}+b$ .

Écarts : $y_{i}-\overline{y}=a(x_{i}-\overline{x})$ , donc $\sum(y_{i}-\overline{y})^{2}=a^{2}\sum(x_{i}-\overline{x})^{2}$ , d'où $s_{y}^{2}=a^{2}s_{x}^{2}$ et $s_{y}=|a|\,s_{x}$ .

Ici $a=4{,}43$ et $b=0$ : $\overline{y}=4{,}43\times 5{,}61\approx 24{,}85$ mg/L et $s_{y}\approx 4{,}43\times 3{,}994\approx 17{,}69$ mg/L.

Cote $z$ : $\dfrac{y_{i}-\overline{y}}{s_{y}}=\dfrac{a(x_{i}-\overline{x})}{a\,s_{x}}=z_{i}$ pour $a>0$ : elle ne dépend pas de l'unité.

f)

La bonne conclusion décrit le centre ET la queue, dans les unités du repère :

« La concentration typique d'un puits est modérée, médiane de $4{,}6$ mg/L d'azote ; mais $3$ puits sur $20$ , soit $15\ \%$ de l'échantillon, dépassent le repère de $10$ mg/L, dont un à $15{,}9$ mg/L. Ces puits doivent être signalés à leurs propriétaires. »

Les deux autres conclusions commettent les erreurs de c) et de d) : juger une norme sur la moyenne, et écarter la donnée qui dérange. Le pourcentage de $15\ \%$ est celui de l'échantillon ; l'estimer pour toute la zone est un problème d'inférence.

Exercice 10 : Problème : précipitations d'un été, classes inégales et résumé honnête

12 réponses vérifiables

Une station météorologique a relevé la hauteur de pluie de chacun des $92$ jours d'un été, en millimètres. Les données, fictives, sont groupées dans le tableau en classes d'amplitudes inégales, parce que les fortes pluies sont rares.

Un élève a tracé l'histogramme ci-dessous en prenant les effectifs pour hauteurs.

Pluie (mm)	[0 ; 2[	[2 ; 5[	[5 ; 10[	[10 ; 20[	[20 ; 40[
Nombre de jours	50	16	12	9	5

a) Dans la figure de l'élève, calculez le rapport entre l'aire de la barre $[20\,;40[$ et celle de la barre $[0\,;2[$ , puis le rapport des nombres de jours correspondants. Expliquez ce que la figure fait croire.
b) Calculez la hauteur correcte, la densité en jours par millimètre, des barres $[0\,;2[$ , $[2\,;5[$ et $[20\,;40[$ .
c) Calculez la pluie moyenne par jour par les centres de classe, puis le cumul de pluie de l'été qu'elle représente.
d) Calculez la médiane par interpolation, et dites pourquoi cette valeur est ici une approximation grossière.
e) Calculez le pourcentage des jours de pluie d'au moins $10$ mm, puis l'écart-type par les centres de classe.
f) Pour un article sur un jour d'été typique, puis pour le bilan d'eau d'un bassin versant, choisissez la mesure à publier.

Voir la correction

Réponses

a) Aires égales (rapport $1$ ) pour $10$ fois moins de jours (rapport $0{,}1$ ) : les fortes pluies paraissent aussi fréquentes que les jours secs
b) $25$ ; $\approx 5{,}33$ ; $0{,}25$ jour par mm
c) $\overline{x}\approx 5{,}23$ mm par jour ; cumul $\approx 481$ mm
d) $Me\approx 1{,}84$ mm ; approximation grossière : beaucoup de jours secs à $0$ mm, pas répartis uniformément dans $[0\,;2[$
e) $\approx 15{,}2\ \%$ ; $s\approx 7{,}36$ mm
f) Jour typique : la médiane ; bilan d'eau : la moyenne, qui conserve le cumul

a)

Figure de l'élève : aire de $[20\,;40[$ : $20\times 5=100$ ; aire de $[0\,;2[$ : $2\times 50=100$ . Rapport des aires : $1$ .

Rapport des jours : $\dfrac{5}{50}=0{,}1$ .

L'œil lit les aires : la figure fait croire qu'il y a autant de jours de forte pluie que de jours presque secs, alors qu'il y en a dix fois moins.

Piège : prendre l'effectif pour hauteur sur des classes inégales. La barre large gonfle d'un facteur égal à son amplitude.

b)

Densité $=\dfrac{\text{effectif}}{\text{amplitude}}$ , pour que l'AIRE de chaque barre soit l'effectif.

$[0\,;2[$ : $\dfrac{50}{2}=25$ ; $[2\,;5[$ : $\dfrac{16}{3}\approx 5{,}33$ ; $[5\,;10[$ : $2{,}4$ ; $[10\,;20[$ : $0{,}9$ ; $[20\,;40[$ : $\dfrac{5}{20}=0{,}25$ jour par mm.

Vérification : la somme des aires, $50+16+12+9+5=92$ , redonne l'effectif total. Le corrigé trace cet histogramme : la queue de droite devient mince, comme elle doit l'être.

c)

Centres : $1$ ; $3{,}5$ ; $7{,}5$ ; $15$ ; $30$ .

$\sum c_{i}n_{i}=50+56+90+135+150=481$ , donc $\overline{x}=\dfrac{481}{92}\approx 5{,}23$ mm par jour.

Le cumul estimé de l'été est $n\,\overline{x}=\sum c_{i}n_{i}\approx 481$ mm. Les $14$ jours d'au moins $10$ mm en apportent $135+150=285$ , soit plus de la moitié.

d)

$\frac{n}{2}=46$ et la première classe compte déjà $50$ jours : la médiane est dans $[0\,;2[$ , avec $F=0$ .

$Me=0+\dfrac{46-0}{50}\times 2=1{,}84$ mm

L'interpolation suppose les $50$ jours répartis uniformément entre $0$ et $2$ mm. Or un été compte en général beaucoup de jours sans pluie, tous à $0$ : la vraie médiane est sans doute plus basse, peut-être nulle. Avec des données brutes, on la lirait directement.

e)

Au moins $10$ mm : $9+5=14$ jours, soit $\dfrac{14}{92}\approx 15{,}2\ \%$ .

$\sum c_{i}^{2}n_{i}=50+196+675+2025+4500=7446$ ; $s^{2}=\dfrac{7446-92\times 5{,}228^{2}}{91}\approx 54{,}19$ ; $s\approx 7{,}36$ mm.

L'écart-type dépasse la moyenne ( $CV\approx 141\ \%$ ) : une moyenne de $5{,}23$ mm « plus ou moins $7{,}36$ » n'a pas de sens symétrique ici, puisque la pluie ne descend pas sous $0$ . C'est la signature d'une distribution très asymétrique.

f)

Jour typique : la MÉDIANE. La moitié des jours reçoit moins d'environ $2$ mm ; la moyenne, $5{,}23$ mm, n'est atteinte que par une minorité de jours.

Bilan d'eau : la MOYENNE, ou directement le cumul, car le bassin reçoit la somme de toutes les pluies, et seule la moyenne conserve cette somme.

Conclusion rédigée : « L'été a été sec la plupart du temps, avec une médiane de l'ordre de 2 mm par jour, mais quatorze jours de forte pluie ont apporté plus de la moitié des 481 mm du cumul. »

Exercices corrigés : statistique descriptive (201-SN1-RE)

Rappel de cours

Calculs : tendance centrale, dispersion et position

Exercice 0.1 : Calculer les mesures d'une série : douze calculs directs

Partie A : les bases (/50)

Exercice 1 : Particules fines : population, échantillon, variables et données condensées

Exercice 2 : Débit d'une rivière en crue : moyenne, médiane, mode et asymétrie

Exercice 3 : Température d'un lac : variance, écart-type et formule de calcul démontrée

Exercice 4 : Longueur de truites : cote z, rang centile et comparaison de deux lacs

Exercice 5 : Épaisseur de glace : quartiles, boîte à moustaches et décision de sécurité

Partie B : problèmes et raisonnement (/50)

Exercice 6 : Masse d'œufs de tortue : données groupées en classes, interpolation et centiles

Exercice 7 : Démontrer : la moyenne minimise les carrés des écarts, et pourquoi on divise par n moins 1

Exercice 8 : Cinq affirmations à corriger

Exercice 9 : Problème : nitrates dans des puits privés, une étude complète

Exercice 10 : Problème : précipitations d'un été, classes inégales et résumé honnête

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