Dénombrement 201-SN1-RE : fiche de révision

Le fil du chapitre

Compter, c'est d'abord écrire la phrase qui dit quand deux résultats sont le même : l'ordre compte-t-il, un objet peut-il revenir, deux objets se distinguent-ils ? Puis vérifier que chaque résultat est compté une fois et une seule.

Notions couvertes

Principe de multiplication
Principe d'addition
Notation factorielle
Permutations
Permutations avec objets identiques
Arrangements
Combinaisons
Opérations sur les ensembles
Principe d'inclusion-exclusion
Triangle de Pascal
Binôme de Newton
Probabilité par dénombrement

Le tableau du chapitre

Choisir la formule en deux questions

Écrivez d'abord ce qu'est UN résultat, puis lisez le tableau de haut en bas : l'ordre compte-t-il, un objet peut-il revenir ? Les deux réponses désignent une colonne, et la formule vient après.

Critère	Suite avec répétition places ordonnées, un objet peut revenir	Arrangement places ordonnées, objets distincts	Combinaison un groupe, l'ordre ne change rien	Objets identiques tous rangés, certains pareils
L'ordre compte ?	Oui	Oui	Non	Oui, mais échanger deux objets identiques ne change rien
Un objet peut revenir ?	Oui	Non	Non	Chaque objet est placé une fois
Formule	$n^{k}$	$A(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!}$	$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}$	$\frac{n!}{n_{1}!\,n_{2}!\cdots n_{r}!}$
Exemple	Mots de 3 bases sur A, C, G, T : $4^{3}=64$	Chef, secrétaire et photographe parmi 10 : $10\times 9\times 8=720$	Équipe de 3 parmi 10 : $\binom{10}{3}=120$	Séquences avec A, A, C, C, G : $\frac{5!}{2!\,2!}=30$
Mots de l'énoncé	code, suite, mot, avec remise	classement, rôles distincts, positions numérotées	équipe, groupe, mélange, tirage simultané	anagramme, séquence de composition donnée

Suite avec répétition places ordonnées, un objet peut revenir

L'ordre compte ?: Oui
Un objet peut revenir ?: Oui
Formule: $n^{k}$
Exemple: Mots de 3 bases sur A, C, G, T : $4^{3}=64$
Mots de l'énoncé: code, suite, mot, avec remise

Arrangement places ordonnées, objets distincts

L'ordre compte ?: Oui
Un objet peut revenir ?: Non
Formule: $A(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!}$
Exemple: Chef, secrétaire et photographe parmi 10 : $10\times 9\times 8=720$
Mots de l'énoncé: classement, rôles distincts, positions numérotées

Combinaison un groupe, l'ordre ne change rien

L'ordre compte ?: Non
Un objet peut revenir ?: Non
Formule: $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}$
Exemple: Équipe de 3 parmi 10 : $\binom{10}{3}=120$
Mots de l'énoncé: équipe, groupe, mélange, tirage simultané

Objets identiques tous rangés, certains pareils

L'ordre compte ?: Oui, mais échanger deux objets identiques ne change rien
Un objet peut revenir ?: Chaque objet est placé une fois
Formule: $\frac{n!}{n_{1}!\,n_{2}!\cdots n_{r}!}$
Exemple: Séquences avec A, A, C, C, G : $\frac{5!}{2!\,2!}=30$
Mots de l'énoncé: anagramme, séquence de composition donnée

Légende : les mots du tableau

L'ordre compte: Deux résultats formés des mêmes objets placés dans un autre ordre sont DIFFÉRENTS : 17-4 et 4-17 sont deux billets.
Répétition: Un même objet peut occuper plusieurs places, comme une base qui revient dans un codon.
Arrangement: Une liste ordonnée de k objets distincts pris parmi n.
Combinaison: Un ensemble de k objets distincts pris parmi n, sans ordre : un groupe, une équipe, un mélange.
Objets identiques: Des objets qu'on ne peut pas distinguer une fois placés : deux A d'une séquence, deux témoins stériles.

Plusieurs groupes de même taille SANS nom (équipes sans secteur) : on compte d'abord des groupes numérotés, puis on divise par le nombre de façons de numéroter les groupes.

L'essentiel

Arrangement et combinaison : une seule différence, le facteur k!

• Un arrangement, c'est une combinaison PUIS un ordre : on choisit QUELS objets, $\binom{n}{k}$ façons, puis dans QUEL ORDRE les placer, $k!$ façons.
• D'où $A(n,k)=k!\binom{n}{k}$ , et $\binom{n}{k}=\dfrac{A(n,k)}{k!}$ .
• Exemple : $A(10,\,3)=720$ listes ordonnées, regroupées par paquets de $3!=6$ qui contiennent les mêmes personnes, donnent $\binom{10}{3}=120$ groupes.

Un seul groupe {A, B, C}, mais six listes ordonnées : chaque combinaison de 3 objets est comptée

3!=6

fois parmi les arrangements.

Le test qui décide : deux résultats qui ne diffèrent que par l'ordre sont-ils le même résultat ? Si oui, on divise par k!.

Multiplier, additionner, retirer

• PRINCIPE DE MULTIPLICATION : des étapes successives à $n_{1},n_{2},\dots$ choix donnent $n_{1}\times n_{2}\times\cdots$ résultats, si le NOMBRE de choix d'une étape ne dépend pas des choix précédents.
• PRINCIPE D'ADDITION : des familles DISJOINTES s'additionnent. Sinon, $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$ .
• Trois ensembles : $|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|$ .
• Contraire et De Morgan : $|\overline{A}|=|\Omega|-|A|$ et $\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}$ ; « au moins un » est le contraire de « aucun ».

Avant d'additionner, demandez-vous si un même résultat peut être dans deux familles. Si oui, il faut retirer l'intersection.

Triangle de Pascal et binôme de Newton

• Relation de Pascal : $\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}$ pour $1\le k\le n-1$ ; symétrie : $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$ .
• Binôme : $(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k}$ . Le terme général se calcule avec ses signes et ses coefficients : $\binom{n}{k}(\alpha x)^{n-k}\beta^{k}$ .
• Avec $a=b=1$ : $\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^{n}$ , le nombre de parties d'un ensemble à $n$ éléments.

Chaque nombre est la somme des deux nombres au-dessus de lui :

10+10=20

, soit

\binom{6}{3}=\binom{5}{2}+\binom{5}{3}

. Chaque ligne se lit pareil dans les deux sens.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Compter un groupe comme un classement

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Une équipe de 3 étudiants parmi 10 : $10\times 9\times 8=720$ équipes. »

Ce qu'il faut écrire

« Une équipe sans rôle est un ensemble ; l'ordre de choix ne compte pas : $\binom{10}{3}=\frac{720}{3!}=120$ équipes. »

Pourquoi : Le produit 10 × 9 × 8 produit chaque équipe une fois par ordre de choix, soit six fois. Il serait juste pour trois rôles distincts.

2. Additionner deux ensembles qui se recoupent

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« 40 placettes ont des érables et 25 des bouleaux : 65 placettes ont au moins une des deux espèces. »

Ce qu'il faut écrire

« 9 placettes ont les deux espèces : $|A\cup B|=40+25-9=56$ . »

La lentille rouge appartient aux deux cercles : la somme

40+25

compte ses 9 placettes deux fois, et l'on n'en retire qu'un exemplaire.

Pourquoi : Le principe d'addition exige des familles disjointes. Les placettes communes sont dans les deux nombres : elles sont comptées deux fois.

3. Compter « au moins un » en désignant « le » premier

2 à 3 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« 4 espèces parmi 8, dont 3 menacées, avec au moins une menacée : je choisis la menacée, puis 3 autres, $3\times\binom{7}{3}=105$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Par le contraire : $\binom{8}{4}-\binom{5}{4}=70-5=65$ choix. »

Pourquoi : Un choix qui contient deux espèces menacées est produit deux fois, une par espèce désignée comme « la » menacée. Le contraire, « aucune menacée », ne compte rien deux fois.

4. Permuter des objets identiques comme s'ils étaient distincts

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Avec les bases A, A, C, C, G, on écrit $5!=120$ séquences. »

Ce qu'il faut écrire

« Échanger les deux A ou les deux C ne change rien : $\frac{5!}{2!\,2!}=30$ séquences. »

Avec A, A, C : six rangements si l'on distingue les deux A, mais seulement trois séquences, car chaque séquence est obtenue

2!=2

fois.

Pourquoi : Chaque séquence est produite 2! × 2! = 4 fois par les 120 rangements. On divise par les échanges qui ne changent rien.

5. Oublier que les groupes n'ont pas de nom

1 à 2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« 12 étudiants en 3 équipes de 4 sans secteur : $\binom{12}{4}\binom{8}{4}\binom{4}{4}=34\,650$ répartitions. »

Ce qu'il faut écrire

« Ce produit numérote les équipes ; sans nom, on divise par $3!$ : $\frac{34\,650}{6}=5775$ répartitions. »

Pourquoi : Une même répartition apparaît une fois pour chacune des 3! façons de numéroter les équipes. Avec trois secteurs différents, 34 650 redevient juste.

6. Diviser par k! alors que les places sont déjà distinguées

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« 4 puits dans 4 rangées différentes et 4 colonnes différentes d'une plaque 4 × 6 : l'ordre ne compte pas, donc $\frac{A(6,\,4)}{4!}=15$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Un puits par rangée ; la colonne de A, puis de B, de C, de D : $6\times 5\times 4\times 3=360$ choix. »

Pourquoi : On ne divise par k! que si l'on a produit chaque résultat k! fois. Ici la rangée nomme déjà chaque puits : chaque ensemble est produit une seule fois.

7. Perdre le signe ou le coefficient dans le binôme

1 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le coefficient de $x$ dans $(3x-2)^{4}$ est $\binom{4}{3}\times 3\times 2^{3}=96$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le terme est $\binom{4}{3}(3x)^{1}(-2)^{3}=4\times 3x\times(-8)=-96x$ : le coefficient vaut $-96$ . »

Pourquoi : Le binôme s'applique à a = 3x et b = −2 tout entiers : le coefficient de x et le signe de b sont élevés à la puissance avec eux.

8. Diviser par le nombre de valeurs au lieu du nombre de cas équiprobables

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'aimantation de 10 spins prend 11 valeurs, donc $P(M=0)=\frac{1}{11}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Ce sont les $2^{10}=1024$ configurations qui sont équiprobables : $P(M=0)=\frac{\binom{10}{5}}{1024}=\frac{252}{1024}\approx 0{,}246$ . »

Pourquoi : La formule cas favorables sur cas possibles exige des cas ÉQUIPROBABLES. Les 11 valeurs ne le sont pas : M = 0 regroupe 252 configurations, M = 10 une seule.

Quelle méthode choisir

Quelle formule ? Décider sur ce qu'est un résultat

Écrivez une phrase qui décrit UN résultat, puis suivez la première branche qui s'applique.

Si tous les objets sont rangés et certains sont identiques → $\frac{n!}{n_{1}!\cdots n_{r}!}$

Exemple : 12 bases, 4 A, 3 C, 3 G, 2 T : $\frac{12!}{4!\,3!\,3!\,2!}=277\,200$
Si des places ordonnées, un objet peut revenir → $n^{k}$

Exemple : codes de 3 chiffres : $10^{3}=1000$
Si des places ordonnées, objets distincts → $A(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!}$

Exemple : 4 positions d'un passeur, 6 flacons : $A(6,\,4)=360$
Si un groupe, l'ordre ne change rien → $\binom{n}{k}$

Exemple : 4 puits témoins sur 24 : $\binom{24}{4}=10\,626$
Si plusieurs groupes de même taille, sans nom → groupes numérotés, puis diviser par le nombre de numérotations

Exemple : 3 équipes de 4 : $\frac{34\,650}{3!}=5775$

Si aucune branche ne s'applique, découpez la construction en étapes et multipliez ; vérifiez que le nombre de choix de chaque étape ne dépend pas des choix précédents.

Les mots de l'énoncé qui changent l'opération

Repérez le mot qui relie les conditions.

Si « et », « puis », une suite d'étapes → multiplier

Exemple : une rangée puis 4 puits dans cette rangée : $4\times\binom{6}{4}=60$
Si « ou » entre des cas qui ne se recoupent pas → additionner

Exemple : exactement 4 ou exactement 5 bons numéros : $8415+204$
Si « ou » entre des cas qui se recoupent → inclusion-exclusion

Exemple : $10+6-3=13$ mélanges interdits
Si « au moins un » → total moins « aucun »

Exemple : $\binom{24}{4}-\binom{18}{4}=7566$
Si « exactement k » → choisir les $k$ , puis compléter avec les autres

Exemple : $\binom{6}{4}\binom{34}{2}=8415$

« Au moins deux », « au plus trois » : comptez le contraire s'il a moins de cas que l'événement lui-même.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger un dénombrement

Quand l'utiliser : Toute question « combien de ... » ou toute probabilité calculée par cas favorables sur cas possibles.

1 Décrire UN résultat en une phrase : une liste, un ensemble, une répartition.
2 Dire quand deux résultats sont le même : l'ordre compte-t-il, un objet peut-il revenir, les objets se distinguent-ils ?
3 Nommer le modèle (arrangement, combinaison, suite, objets identiques) ou découper en étapes en nommant le principe utilisé.
4 Écrire la formule avec ses lettres, puis les nombres, puis le résultat.
5 Contrôler : petit cas, somme des cas, ordre de grandeur.

Phrase de conclusion

« Un résultat est un ensemble de 4 puits ; deux choix qui ne diffèrent que par l'ordre donnent le même ensemble, donc on compte des combinaisons : $\binom{24}{4}=10\,626$ . »

Le piège : Écrire le nombre sans la phrase de modélisation : un résultat juste sans justification perd souvent la moitié des points.

Barème : Le plus souvent, la modélisation vaut autant que le calcul.

Démontrer une identité par double comptage

Quand l'utiliser : « Montrez que » devant une égalité de coefficients binomiaux, comme $\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}$ .

1 Choisir un ensemble concret que le membre de gauche compte : les configurations de $n$ spins dont $k$ vers le haut.
2 Le partager en familles selon un critère simple, par exemple l'orientation du dernier spin.
3 Compter chaque famille, et justifier qu'elles sont disjointes et qu'elles contiennent tout l'ensemble.
4 Conclure par le principe d'addition : deux comptages du même ensemble donnent le même nombre.

Phrase de conclusion

« Les deux familles sont disjointes et leur réunion est l'ensemble des configurations à $k$ spins vers le haut, donc $\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}$ . »

Le piège : Oublier de justifier « disjointes » et « contiennent tout » : c'est précisément ce qui fait de l'addition une démonstration.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le petit cas à la main

Remplacez les données par des nombres minuscules et énumérez : la formule doit donner le même compte.

Groupes de 2 parmi {A, B, C, D} : AB, AC, AD, BC, BD, CD, soit 6, et $\binom{4}{2}=6$ . Si votre formule donne 12, elle compte l'ordre.
La somme des cas redonne le total

Quand vous découpez en cas disjoints, additionnez-les : vous devez retrouver le total compté autrement.

Équipes de 4 parmi 7 biologistes et 5 techniciens, classées par nombre de techniciens : $35+175+210+70+5=495=\binom{12}{4}$ .
Arrangements contre combinaisons

Le rapport des deux doit valoir $k!$ exactement ; un rapport qui n'est pas une factorielle trahit une erreur de modèle.

$\frac{A(24,\,4)}{\binom{24}{4}}=\frac{255\,024}{10\,626}=24=4!$
La calculatrice

TI-83 et TI-84 : touche math, menu PRB, fonctions nPr et nCr. Casio : OPTN, puis PROB. Elle confirme un calcul, pas un modèle.

10 nCr 4 affiche 210 et 10 nPr 4 affiche 5040 : le rapport $24=4!$ confirme que le passage de l'un à l'autre est bien l'ordre.

L'exercice type décortiqué

Une équipe de terrain avec au moins un technicien

Un laboratoire d'écologie compte 7 biologistes et 5 techniciens. Pour une mission de terrain, on forme une équipe de 4 personnes qui doit comprendre au moins un technicien.

a)Combien d'équipes peut-on former ?b)On désigne de plus un responsable parmi les 4 membres de l'équipe : combien de choix d'équipe avec responsable ?

Étape 1

Un résultat du a) est une équipe, c'est-à-dire un ENSEMBLE de 4 personnes parmi 12 : l'ordre ne compte pas. Sans contrainte : $\binom{12}{4}=495$ équipes.

Pourquoi

La phrase de modélisation vient en premier : elle choisit la combinaison et rapporte souvent la moitié des points.

Étape 2

« Au moins un technicien » : contraire, « aucun technicien », soit 4 biologistes parmi 7, $\binom{7}{4}=35$ équipes. Donc $495-35=460$ équipes.

Pourquoi

Le contraire n'a qu'un cas, l'événement en a quatre (1, 2, 3 ou 4 techniciens) : moins de calculs, moins de risques de compter deux fois.

Étape 3

b) Pour chaque équipe, 4 choix de responsable : principe de multiplication, $460\times 4=1840$ choix.

Pourquoi

Le responsable crée un rôle : deux équipes identiques avec des responsables différents sont deux résultats différents.

Étape 4

Vérification par cas : 1 technicien $5\times\binom{7}{3}=175$ , 2 techniciens $\binom{5}{2}\binom{7}{2}=210$ , 3 techniciens $\binom{5}{3}\times 7=70$ , 4 techniciens $\binom{5}{4}=5$ ; total $175+210+70+5=460$ .

Pourquoi

Deux méthodes indépendantes qui donnent le même nombre : c'est la vérification la plus sûre d'un dénombrement.

Conclusion rédigée

On peut former 460 équipes comprenant au moins un technicien, et 1840 équipes avec un responsable désigné.

L'erreur classique sur cet exercice : Choisir « le » technicien (5 façons), puis 3 autres personnes parmi 11 : $5\times\binom{11}{3}=825$ . Chaque équipe est comptée autant de fois qu'elle a de techniciens : $175+2\times 210+3\times 70+4\times 5=825$ .

À savoir par cœur

• $A(n,k)=k!\binom{n}{k}$ : choisir QUELS objets, puis dans QUEL ORDRE.
• Objets identiques : diviser $n!$ par les factorielles des groupes d'objets identiques.
• « Au moins un » = total moins « aucun ».
• $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$ : on n'additionne directement que des familles DISJOINTES.
• $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$ , $\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}$ , $\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^{n}$ , $0!=1$ .
• Terme général du binôme : $\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k}$ , avec $a$ et $b$ pris TOUT ENTIERS, signe compris.
• Probabilité par dénombrement : cas favorables sur cas possibles, seulement si les cas possibles sont ÉQUIPROBABLES.

Questions fréquentes

Comment savoir si l'ordre compte dans un problème de dénombrement ?

Prenez deux résultats formés des mêmes objets dans un ordre différent et demandez-vous s'ils sont la même chose dans la situation. Une équipe sans rôle, un mélange, une main de numéros cochés : même résultat, l'ordre ne compte pas. Un classement, des positions numérotées, des rôles distincts : résultats différents, l'ordre compte.

Quelle est la différence entre un arrangement et une combinaison ?

Un arrangement est une liste ordonnée d'objets distincts, une combinaison est un ensemble sans ordre. Chaque combinaison de k objets donne k factorielle arrangements, un par ordre possible. On obtient donc le nombre de combinaisons en divisant le nombre d'arrangements par k factorielle.

Comment calculer « au moins un » en dénombrement ?

Passez par le contraire : comptez les résultats qui n'en contiennent aucun, puis retirez-les du total. Le calcul direct, qui désigne d'abord un élément puis complète, compte plusieurs fois les résultats qui en contiennent plusieurs : c'est l'erreur la plus fréquente du chapitre.

Comment trouver un coefficient avec le binôme de Newton ?

Écrivez le terme général : coefficient binomial de n et k, fois le premier terme puissance n moins k, fois le second terme puissance k, en gardant chaque terme entier avec son coefficient et son signe. Cherchez la valeur de k qui donne la puissance de x voulue, puis calculez. Un signe moins élevé à une puissance impaire reste négatif.

À quoi sert le triangle de Pascal en probabilités au cégep ?

Il donne tous les coefficients binomiaux sans factorielle : chaque nombre est la somme des deux nombres au-dessus de lui. On y lit les coefficients du binôme de Newton et le nombre de façons de choisir k objets parmi n, qui sert ensuite à la loi binomiale. Sa symétrie et la somme de chaque ligne, une puissance de 2, sont des contrôles rapides.

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Exercices corrigés : Dénombrement : permutations, arrangements, combinaisons, Pascal et binôme

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

11 exercices corrigés
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Probabilités et probabilités conditionnelles : axiomes, indépendance, Bayes

© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/sn1-denombrement. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

Voir aussi

Toutes les fiches Tous les exercices Variables aléatoires discrètes et continues (201-SN1-RE)Loi binomiale et loi normale (201-SN1-RE)Tutorat au cégep

Fiche de révision : dénombrement (201-SN1-RE)

Choisir la formule en deux questions

Légende : les mots du tableau

L'essentiel

Arrangement et combinaison : une seule différence, le facteur k!

Multiplier, additionner, retirer

Triangle de Pascal et binôme de Newton

Les pièges qui coûtent des points

1. Compter un groupe comme un classement

2. Additionner deux ensembles qui se recoupent

3. Compter « au moins un » en désignant « le » premier

4. Permuter des objets identiques comme s'ils étaient distincts

5. Oublier que les groupes n'ont pas de nom

6. Diviser par k! alors que les places sont déjà distinguées

7. Perdre le signe ou le coefficient dans le binôme

8. Diviser par le nombre de valeurs au lieu du nombre de cas équiprobables

Quelle méthode choisir

Quelle formule ? Décider sur ce qu'est un résultat

Les mots de l'énoncé qui changent l'opération

La rédaction attendue

Rédiger un dénombrement

Démontrer une identité par double comptage

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Une équipe de terrain avec au moins un technicien

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Comment savoir si l'ordre compte dans un problème de dénombrement ?

Quelle est la différence entre un arrangement et une combinaison ?

Comment calculer « au moins un » en dénombrement ?

Comment trouver un coefficient avec le binôme de Newton ?

À quoi sert le triangle de Pascal en probabilités au cégep ?

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