Probabilités conditionnelles 201-SN1-RE : fiche de révision

Le fil du chapitre

Après la barre, l'univers change : $P(A\mid B)$ compte $A$ parmi les seuls cas où $B$ est réalisé. Incompatibles, la condition annule $A$ ; indépendants, elle ne change rien ; retourner la barre change le dénominateur, donc le nombre.

Notions couvertes

Expérience aléatoire et univers
Axiomes des probabilités
Événements incompatibles
Événements indépendants
Probabilité conditionnelle
Règle de multiplication
Arbre pondéré
Tableau de contingence
Formule des probabilités totales
Formule de Bayes
Problème de Monty Hall
Fiabilité des systèmes

L'essentiel

Après la barre, l'univers change

• Définition, pour $P(B)>0$ : $P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$ . On compte $A$ dans le nouvel univers $B$ .
• La même intersection sert aux deux conditionnelles : $P(A\mid B)$ divise par $P(B)$ , $P(B\mid A)$ divise par $P(A)$ . Elles ne sont égales que si $P(A)=P(B)$ .
• Dans un univers fixé, la règle du contraire tient : $P(A\mid B)+P(\overline{A}\mid B)=1$ . Entre deux univers, rien : $P(A\mid B)+P(A\mid\overline{B})$ peut valoir n'importe quoi entre $0$ et $2$ .
• Une information RETIRE des cas : savoir qu'un enfant de deux porteurs est sain retire $aa$ , et sa probabilité d'être porteur passe de $\frac{1}{2}$ à $\frac{2}{3}$ .

La même aire bleue

A\cap B=0{,}18

se lit dans la colonne

B

(

0{,}18

sur

0{,}2

, soit

0{,}9

) ou dans tout le bleu (

0{,}18

sur

0{,}26

, soit

0{,}69

) : deux univers, deux nombres.

Avant tout calcul, écrire en mots « parmi les ... » : le groupe nommé est le dénominateur. Cette ligne évite à elle seule la moitié des erreurs du chapitre.

Incompatibles et indépendants : deux définitions sans rapport

• Incompatibles : $A\cap B=\varnothing$ . C'est une propriété des ensembles, elle se voit sur un diagramme.
• Indépendants : $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ , soit $P(A\mid B)=P(A)$ . C'est une propriété des NOMBRES, elle ne se voit que par le calcul.
• Si $P(A)>0$ et $P(B)>0$ , incompatibles entraîne dépendants : $P(A\cap B)=0<P(A)P(B)$ .
• Si $A$ et $B$ sont indépendants, $A$ et $\overline{B}$ , $\overline{A}$ et $\overline{B}$ le sont aussi : c'est ce qui permet le calcul « au moins un » par le contraire.

Ne jamais déduire l'indépendance d'une absence de lien de cause : on la vérifie par l'égalité des nombres, ou on la pose comme hypothèse du modèle en le disant.

Les trois formules qui font tout

• Multiplication : $P(A\cap B)=P(B)\,P(A\mid B)$ ; sur un arbre, on multiplie le long d'un chemin.
• Probabilités totales, pour une partition $B_{1}$ , ..., $B_{n}$ : $P(A)=\sum_{j}P(B_{j})\,P(A\mid B_{j})$ ; sur un arbre, on additionne les chemins qui mènent à $A$ .
• Bayes : $P(B_{i}\mid A)=\dfrac{P(B_{i})\,P(A\mid B_{i})}{\sum_{j}P(B_{j})\,P(A\mid B_{j})}$ : un chemin divisé par tous les chemins qui mènent à $A$ .

Bayes n'est pas une formule à part : c'est la définition de la probabilité conditionnelle, avec la multiplication au numérateur et les probabilités totales au dénominateur.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Retourner la barre sans changer de dénominateur

toute la question, et souvent la suivante

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le test détecte $95\ \%$ des échantillons contaminés, donc un échantillon positif est contaminé à $95\ \%$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $P(T\mid C)=0{,}95$ est la sensibilité ; la probabilité d'être contaminé sachant un test positif est $P(C\mid T)=\dfrac{P(C)P(T\mid C)}{P(T)}$ , qui dépend de la proportion d'échantillons contaminés. »

Même test, sensibilité et spécificité

0{,}95

: un positif vaut

0{,}16

quand

1\ \%

des échantillons sont contaminés et

0{,}83

quand c'est

20\ \%

Pourquoi : Avec une spécificité de $0{,}95$ et $1\ \%$ d'échantillons contaminés, $P(C\mid T)\approx 0{,}16$ seulement : les faux positifs, pris sur les $99\ \%$ de sains, sont plus nombreux que les vrais.

2. Confondre incompatibles et indépendants

1 à 2 points, et tout calcul fait ensuite avec un produit

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Un muon et un électron n'ont rien à voir l'un avec l'autre : les événements $U$ et $E$ sont indépendants. »

Ce qu'il faut écrire

« $U\cap E=\varnothing$ : $U$ et $E$ sont incompatibles. Comme $P(U\cap E)=0\neq P(U)P(E)=0{,}15$ , ils sont dépendants. »

À gauche,

A

B

ne se touchent pas :

P(A\cap B)=0

. À droite, ils se coupent et l'intersection vaut exactement

0{,}4\times 0{,}5

: c'est cela, l'indépendance.

Pourquoi : Incompatibles, savoir l'un exclut l'autre : c'est l'information maximale, l'opposé de l'indépendance.

3. Additionner deux probabilités qui se chevauchent

1 point par union mal calculée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $P(M)+P(N)=0{,}72+0{,}32=1{,}04>1$ : le modèle est faux. »

Ce qu'il faut écrire

« $P(M\cup N)=P(M)+P(N)-P(M\cap N)=0{,}72+0{,}32-0{,}12=0{,}92$ . »

Pourquoi : La somme simple est l'axiome des événements DISJOINTS ; dans le cas général, l'intersection est comptée deux fois.

4. Compléter à 1 entre deux univers différents

1 point, plus l'arbre faux qui suit

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $P(R\mid A)=0{,}75$ , donc $P(R\mid\overline{A})=0{,}25$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $P(\overline{R}\mid A)=0{,}25$ ; $P(R\mid\overline{A})$ se calcule : $\dfrac{P(R)-P(R\cap A)}{1-P(A)}=\dfrac{0{,}06}{0{,}68}\approx 0{,}088$ . »

Pourquoi : Sur un arbre, ce sont les branches issues d'un MÊME nœud qui se complètent, jamais deux branches de nœuds différents.

5. Oublier qu'une information retire des cas

toute la question de génétique

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La sœur saine d'un enfant atteint, dont les deux parents sont porteurs, est porteuse avec la probabilité $\frac{1}{2}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Sachant qu'elle est saine, $P(Aa\mid\text{saine})=\dfrac{1/2}{3/4}=\dfrac{2}{3}$ . »

Pourquoi : $\frac{1}{2}$ est la probabilité AVANT l'information ; le cas $aa$ est exclu, et l'univers ne pèse plus que $\frac{3}{4}$ .

6. Prendre l'indépendance sachant un état pour l'indépendance tout court

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Chaque enfant du couple est atteint avec la probabilité $\frac{1}{180}$ ; pour deux enfants, $1-\left(1-\frac{1}{180}\right)^{2}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Sachant les deux parents porteurs, les enfants sont indépendants : $P=\frac{2}{3}\times\frac{1}{30}\times\left(1-\left(\frac{3}{4}\right)^{2}\right)=\frac{7}{720}$ . »

Pourquoi : Deux enfants des mêmes parents partagent la même cause cachée, les génotypes parentaux : leurs statuts sont liés tant qu'on ne la connaît pas.

7. Additionner des fiabilités en parallèle

1 à 2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Deux alimentations de fiabilités $0{,}90$ et $0{,}85$ en parallèle : $0{,}90+0{,}85$ , ou bien $0{,}90\times 0{,}85$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le bloc tombe en panne si les deux tombent en panne : $1-0{,}10\times 0{,}15=0{,}985$ , en supposant les pannes indépendantes. »

Pourquoi : La somme dépasse $1$ ; le produit est la formule de la SÉRIE. En parallèle, ce sont les probabilités de panne qu'on multiplie.

8. Compter les issues restantes au lieu de conditionner

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Après l'ouverture d'une porte vide, il reste deux portes : une chance sur deux pour chacune. »

Ce qu'il faut écrire

« Si celle qui ouvre sait et ne montre jamais le gain, $P(\text{gain derrière l'autre porte})=\frac{2}{3}$ ; si elle ouvre au hasard, $\frac{1}{2}$ . »

Pourquoi : Ce qui compte est la probabilité de l'observation dans chaque cas, pas le nombre de cas restants : le même geste n'apprend pas la même chose selon le protocole.

Quelle méthode choisir

Quel outil selon la forme de l'énoncé

On regarde la forme des données et le verbe de la question, avant tout calcul.

Si des EFFECTIFS croisés selon deux critères → tableau de contingence : on divise la case par le total de la ligne ou de la colonne de la condition

Exemple : $36$ détections sur $80$ prélèvements d'été : $P(D\mid\acute{E})=0{,}45$
Si des pourcentages « parmi les ... » donnés étape par étape → arbre pondéré : multiplier le long d'un chemin, additionner les chemins utiles

Exemple : $0{,}6\times 0{,}05+0{,}15\times 0{,}16+0{,}25\times 0{,}08=0{,}074$
Si on observe un EFFET et on demande la probabilité d'une CAUSE → formule de Bayes : un chemin sur la somme des chemins qui mènent à l'effet

Exemple : puits contaminé, probabilité qu'il soit tubulaire : $\frac{0{,}030}{0{,}074}\approx 0{,}405$
Si « au moins un » sur des essais indépendants → passer par le contraire : $1-$ produit des probabilités d'échec

Exemple : $1-0{,}45^{3}\approx 0{,}909$

jamais la somme des probabilités de succès
Si « sont-ils indépendants ? » → comparer $P(A\cap B)$ et $P(A)P(B)$ , ou $P(A\mid B)$ et $P(A)$

Exemple : $0{,}6\times 0{,}5=0{,}3=P(A\cap B)$ : indépendants
Si un montage en série ou en parallèle → série : produit des fiabilités ; parallèle : $1-$ produit des probabilités de panne

Exemple : $1-0{,}05\times 0{,}20=0{,}99$

Si aucune branche ne s'applique, nommer les événements, écrire les données en symboles ( $P(\cdot)$ ou $P(\cdot\mid\cdot)$ ), puis repérer ce qui manque : la forme de la donnée manquante désigne la formule.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Démontrer la formule de Bayes

Quand l'utiliser : L'énoncé demande de démontrer, d'établir ou de justifier la formule de Bayes pour une partition.

1 Poser les hypothèses : $B_{1}$ , ..., $B_{n}$ forment une partition de $\Omega$ , $P(B_{j})>0$ pour tout $j$ , et $P(A)>0$ .
2 Écrire la définition : $P(B_{i}\mid A)=\dfrac{P(B_{i}\cap A)}{P(A)}$ .
3 Transformer le numérateur par la définition de $P(A\mid B_{i})$ : $P(B_{i}\cap A)=P(A\mid B_{i})P(B_{i})$ .
4 Transformer le dénominateur : les $A\cap B_{j}$ sont disjoints et de réunion $A$ , donc par additivité $P(A)=\sum_{j}P(A\mid B_{j})P(B_{j})$ .
5 Remplacer et conclure.

Phrase de conclusion

« Pour tout $i$ , $P(B_{i}\mid A)=\dfrac{P(A\mid B_{i})\,P(B_{i})}{\sum_{j=1}^{n}P(A\mid B_{j})\,P(B_{j})}$ . »

Le piège : Écrire le dénominateur sans dire pourquoi : c'est la disjonction des $A\cap B_{j}$ et l'axiome d'additivité qui le justifient.

Barème : 1 point pour les hypothèses, 1 pour le numérateur, 2 pour le dénominateur justifié

Justifier une indépendance ou une dépendance

Quand l'utiliser : « $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifiez. »

1 Calculer $P(A\cap B)$ , puis le produit $P(A)P(B)$ , chacun sur sa ligne.
2 Comparer les deux nombres, avec le signe = ou ≠.
3 Conclure en une phrase dans le contexte, sans invoquer la cause.

Phrase de conclusion

« $P(A\cap B)=0{,}18$ et $P(A)P(B)=0{,}12$ : comme $0{,}18\neq 0{,}12$ , les événements $A$ et $B$ ne sont pas indépendants. »

Le piège : Répondre « non, car l'un influence l'autre » : l'argument de cause ne rapporte aucun point, seule la comparaison des nombres en rapporte.

Barème : 1 point pour les deux calculs, 1 pour la comparaison et la conclusion

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Les branches d'un même nœud font 1

Sur l'arbre, additionner les probabilités portées par les branches issues de chaque nœud.

$0{,}05+0{,}95=1$ sous $T$ ; un nœud qui donne $0{,}05+0{,}84$ signale une erreur de recopie.
Les probabilités a posteriori font 1

Après Bayes, additionner les probabilités des causes sachant l'effet : la somme vaut 1.

$0{,}405+0{,}324+0{,}270\approx 1$ ; une somme de $1{,}2$ dit qu'un dénominateur est faux.
Une probabilité totale est entre les conditionnelles

$P(A)$ est une moyenne pondérée des $P(A\mid B_{j})$ : elle tombe entre la plus petite et la plus grande.

$P(C)=0{,}074$ est bien entre $0{,}05$ et $0{,}16$ ; un résultat de $0{,}29$ trahit une somme sans pondération.
L'intersection est plus petite que chaque événement

$P(A\cap B)\le\min\left(P(A),P(B)\right)$ et $P(A\cup B)\ge\max\left(P(A),P(B)\right)$ .

Avec $P(A)=0{,}32$ , une intersection de $0{,}4$ est impossible : on a sans doute pris une conditionnelle pour l'intersection.

L'exercice type décortiqué

Un logiciel d'identification au chant annonce une espèce rare

Dans une forêt, à l'aube, trois espèces d'oiseaux émettent des chants voisins : $X$ , rare, $4\ \%$ des chants ; $Y$ , $36\ \%$ ; $Z$ , $60\ \%$ . Un logiciel classe chaque chant. Il annonce « $X$ » pour $90\ \%$ des chants de $X$ , $5\ \%$ des chants de $Y$ et $2\ \%$ des chants de $Z$ .

a)Un chant pris au hasard est classé « $X$ ». Quelle est la probabilité qu'il soit vraiment de $X$ ?b)Un second chant du même oiseau est aussi classé « $X$ » ; on admet que, sachant l'espèce, les deux classements sont indépendants. Que devient cette probabilité ?

La configuration de l'énoncé : trois espèces, puis le classement du logiciel ; ce sont les trois chemins qui finissent en «

X

» qui comptent.

Étape 1

On note $X$ , $Y$ , $Z$ l'espèce et $K$ « le logiciel annonce $X$ ». Données : $P(X)=0{,}04$ , $P(K\mid X)=0{,}90$ , $P(K\mid Y)=0{,}05$ , $P(K\mid Z)=0{,}02$ .

Pourquoi

Écrire chaque pourcentage avec sa barre force à se demander « parmi qui ? » : $90\ \%$ est pris parmi les chants de $X$ , pas parmi les annonces.

Étape 2

Probabilités totales : $P(K)=0{,}04\times 0{,}90+0{,}36\times 0{,}05+0{,}60\times 0{,}02=0{,}036+0{,}018+0{,}012=0{,}066$ .

Pourquoi

Le dénominateur de Bayes se calcule à part, sur sa ligne : c'est lui qu'on oublie ou qu'on réduit au seul chemin de $X$ .

Étape 3

Bayes : $P(X\mid K)=\dfrac{0{,}036}{0{,}066}\approx 0{,}545$ .

Pourquoi

On retourne la barre : la question porte sur la cause (l'espèce) sachant l'effet (l'annonce).

Étape 4

Deux annonces : $P(X\mid K_{1}\cap K_{2})=\dfrac{0{,}04\times 0{,}9^{2}}{0{,}04\times 0{,}9^{2}+0{,}36\times 0{,}05^{2}+0{,}60\times 0{,}02^{2}}=\dfrac{0{,}0324}{0{,}03354}\approx 0{,}966$ .

Pourquoi

L'indépendance n'est admise que SACHANT l'espèce : on élève chaque vraisemblance au carré, jamais la probabilité $0{,}545$ .

Étape 5

Vérification : $P(Y\mid K)\approx 0{,}273$ et $P(Z\mid K)\approx 0{,}182$ , et $0{,}545+0{,}273+0{,}182=1$ .

Pourquoi

Les probabilités des causes sachant l'effet forment une loi : leur somme contrôle tout le calcul en cinq secondes.

Conclusion rédigée

Une seule annonce « $X$ » ne donne qu'une chance sur deux environ que l'oiseau soit vraiment de l'espèce rare, parce que les deux espèces communes, très majoritaires, fournissent presque autant de fausses annonces. Deux annonces concordantes portent cette probabilité à environ $0{,}97$ , dans le modèle où les classements sont indépendants sachant l'espèce.

L'erreur classique sur cet exercice : Répondre $0{,}90$ à la question a) : c'est $P(K\mid X)$ , la performance du logiciel sur l'espèce $X$ , et non $P(X\mid K)$ .

À savoir par cœur

• $P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$ : la condition va au DÉNOMINATEUR.
• $P(A\mid B)\neq P(B\mid A)$ en général : même numérateur, autre univers.
• Indépendants : $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ . Incompatibles : $A\cap B=\varnothing$ . Les deux à la fois : seulement si l'un est de probabilité nulle.
• Union : $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ , TOUJOURS ; la somme simple seulement si incompatibles.
• Au moins un, essais indépendants : $1-\prod(1-p_{i})$ .
• Bayes = un chemin de l'arbre divisé par tous les chemins qui mènent à l'observation.
• Série : $\prod p_{i}$ ; parallèle : $1-\prod(1-p_{i})$ , pannes indépendantes.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre événements incompatibles et indépendants ?

Deux événements incompatibles ne peuvent pas se produire ensemble : leur intersection est vide. Deux événements indépendants sont tels que savoir l'un ne change pas la probabilité de l'autre : la probabilité de l'intersection est le produit des deux probabilités. Quand les deux probabilités sont non nulles, des événements incompatibles ne sont jamais indépendants, car savoir l'un exclut l'autre.

Comment savoir si on doit utiliser la formule de Bayes ?

On utilise la formule de Bayes quand l'énoncé donne la probabilité d'un effet sachant chaque cause, par exemple la probabilité d'un test positif sachant qu'un échantillon est contaminé, et demande l'inverse : la probabilité d'une cause sachant l'effet observé. On calcule alors un chemin de l'arbre et on le divise par la somme de tous les chemins qui mènent à l'effet observé.

Pourquoi P(A sachant B) n'est pas égal à P(B sachant A) ?

Les deux probabilités ont le même numérateur, la probabilité que A et B se produisent ensemble, mais pas le même dénominateur. Sachant B, on compte parmi les cas où B est réalisé ; sachant A, parmi les cas où A est réalisé. Les deux nombres ne sont égaux que si A et B ont la même probabilité. Les confondre est l'erreur la plus fréquente du chapitre.

Comment démontrer la formule de Bayes au cégep ?

On part de la définition de la probabilité conditionnelle. Le numérateur, la probabilité de la cause et de l'effet ensemble, s'écrit comme la probabilité de la cause multipliée par celle de l'effet sachant la cause. Le dénominateur, la probabilité de l'effet, se décompose sur la partition des causes : les morceaux sont disjoints, et l'axiome d'additivité donne la formule des probabilités totales. On remplace et on conclut.

Pourquoi faut-il changer de porte dans le problème de Monty Hall ?

Parce que l'animateur sait où est le gain et ouvre toujours une porte perdante. Son choix dépend de la position du gain : s'il est derrière la porte non choisie, l'animateur est forcé d'ouvrir l'autre. Le calcul par la formule de Bayes donne deux chances sur trois en changeant. Si la porte était ouverte au hasard et se révélait vide, la réponse serait une chance sur deux.

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Exercices corrigés : Probabilités et probabilités conditionnelles : axiomes, indépendance, Bayes

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

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Variables aléatoires discrètes et continues : loi, densité, espérance et variance

© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/sn1-probabilites-conditionnelles. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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Fiche de révision : probabilités et probabilités conditionnelles (201-SN1-RE)

L'essentiel

Après la barre, l'univers change

Incompatibles et indépendants : deux définitions sans rapport

Les trois formules qui font tout

Les pièges qui coûtent des points

1. Retourner la barre sans changer de dénominateur

2. Confondre incompatibles et indépendants

3. Additionner deux probabilités qui se chevauchent

4. Compléter à 1 entre deux univers différents

5. Oublier qu'une information retire des cas

6. Prendre l'indépendance sachant un état pour l'indépendance tout court

7. Additionner des fiabilités en parallèle

8. Compter les issues restantes au lieu de conditionner

Quelle méthode choisir

Quel outil selon la forme de l'énoncé

La rédaction attendue

Démontrer la formule de Bayes

Justifier une indépendance ou une dépendance

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Un logiciel d'identification au chant annonce une espèce rare

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre événements incompatibles et indépendants ?

Comment savoir si on doit utiliser la formule de Bayes ?

Pourquoi P(A sachant B) n'est pas égal à P(B sachant A) ?

Comment démontrer la formule de Bayes au cégep ?

Pourquoi faut-il changer de porte dans le problème de Monty Hall ?

Exercices corrigés : Probabilités et probabilités conditionnelles : axiomes, indépendance, Bayes

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