Variables aléatoires 201-SN1-RE : fiche de révision

Q: Comment savoir si une variable aléatoire est discrète ou continue ?

Demandez-vous si ses valeurs se comptent. Un nombre d'œufs, de mutations ou de jours est discret : entre deux valeurs voisines, il n'y en a aucune autre. Une durée, une distance ou un diamètre mesuré sans arrondi est continu : entre deux valeurs, il y en a toujours une troisième. Une même grandeur peut devenir discrète si on ne l'observe qu'à intervalles fixes, par exemple une fois par jour.

Q: Pourquoi une densité de probabilité peut-elle dépasser 1 ?

Parce que la densité n'est pas une probabilité : c'est une probabilité par unité de la variable. La seule contrainte est que l'aire totale sous la courbe vaille 1. Une loi uniforme sur un intervalle de longueur 0,25 a une densité égale à 4, et l'aire vaut bien 4 fois 0,25, soit 1. Ce sont les aires, donc les probabilités, qui ne dépassent jamais 1.

Q: Comment calculer l'espérance d'une variable aléatoire continue ?

On intègre x fois la densité sur tout le support. C'est la moyenne pondérée du cas discret, où la somme des valeurs multipliées par leurs probabilités devient une intégrale. Sur un support infini, l'intégrale est impropre : on intègre jusqu'à une borne A, souvent par parties, puis on prend la limite quand A tend vers l'infini.

Q: Quelle est la différence entre l'espérance, la médiane et le mode ?

Le mode est la valeur où la densité, ou le bâton, est le plus haut. La médiane partage la probabilité en deux moitiés : on la trouve en résolvant F de m égale 0,5. L'espérance est la moyenne pondérée, la valeur moyenne sur un grand nombre de répétitions. Pour une densité étalée vers la droite, on a généralement mode, puis médiane, puis espérance, et moins de la moitié des valeurs dépasse l'espérance.

Q: Pourquoi la variance de aX + b vaut-elle a au carré fois la variance de X ?

Ajouter b déplace toutes les valeurs du même montant, sans changer leurs écarts à la moyenne : la variance ne bouge pas. Multiplier par a multiplie chaque écart par a, donc chaque écart au carré par a au carré. Comme la variance est la moyenne de ces carrés, elle est multipliée par a au carré, et l'écart-type par la valeur absolue de a.

Le fil du chapitre

Discrète ou continue, une variable se lit sur sa loi : une probabilité est la HAUTEUR d'un bâton en discret, une AIRE sous la densité en continu. La densité $f(x)$ n'est donc jamais une probabilité, et l'espérance n'est pas la valeur la plus probable.

Notions couvertes

Variable aléatoire discrète
Variable aléatoire continue
Loi de probabilité
Fonction de répartition
Espérance mathématique
Variance et écart-type
Transformation affine d'une variable aléatoire
Densité de probabilité
Constante de normalisation
Médiane et quantiles
Loi uniforme continue
Intégrale impropre

L'essentiel

Bâton ou aire : la distinction qui commande tout

• DISCRÈTE : les valeurs se comptent. La loi donne $P(X=x_{i})=p_{i}\ge 0$ , avec $\sum p_{i}=1$ . On ADDITIONNE des hauteurs de bâtons.
• CONTINUE : les valeurs remplissent un intervalle. La loi est une densité $f\ge 0$ d'intégrale totale $1$ , et $P(a\le X\le b)=\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ . On INTÈGRE.
• Conséquence : en continu $P(X=a)=0$ , donc $<$ et $\le$ donnent le même nombre ; en discret, $P(X<a)$ et $P(X\le a)$ diffèrent du bâton $P(X=a)$ .
• $f(x)$ se mesure en « probabilité par unité de $x$ » : sur une petite largeur $h$ , $P(x\le X\le x+h)\approx f(x)\,h$ .

À gauche,

P(X\le 2)

est la somme des deux bâtons bleus,

0{,}5

; à droite,

P(X\ge 0{,}5)

est l'aire orange sous

f(x)=2x

0{,}75

, alors que la hauteur

f(1)=2

dépasse

1

Écrire « X est continue, donc P(X = a) = 0 » avant de changer une inégalité stricte en large : la justification vaut souvent un demi-point.

Les mêmes formules, somme ou intégrale

• Espérance : $E(X)=\sum x_{i}p_{i}$ ou $E(X)=\int x\,f(x)\,dx$ . Variance : $V(X)=E\big((X-\mu)^{2}\big)=E(X^{2})-E(X)^{2}$ , et $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$ .
• Transformation affine : $E(aX+b)=aE(X)+b$ , $V(aX+b)=a^{2}V(X)$ , $\sigma(aX+b)=|a|\,\sigma(X)$ .
• Répartition : $F(x)=P(X\le x)$ , croissante de $0$ à $1$ . Escalier en discret (chaque saut est un $p_{i}$ ) ; continue en continu, avec $F'=f$ . Médiane : $F(m)=0{,}5$ .
• Loi uniforme sur $[a\,;b]$ : $f=\frac{1}{b-a}$ , $E=\frac{a+b}{2}$ , $V=\frac{(b-a)^{2}}{12}$ .

Sur un support infini, $\int_{0}^{+\infty}$ est une intégrale impropre : on intègre jusqu'à $A$ , puis on fait tendre $A$ vers $+\infty$ .

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Traiter une inégalité stricte comme une large pour une variable discrète

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $P(X<3)=P(X\le 3)=0{,}8$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $X$ est discrète : $P(X<3)=P(X\le 2)=0{,}5$ , car le bâton $P(X=3)=0{,}3$ est exclu. »

Pourquoi : L'égalité $P(X<a)=P(X\le a)$ vient de $P(X=a)=0$ , qui n'est vraie qu'en continu.

2. Refuser une densité parce qu'elle dépasse 1

1 à 2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x)=4$ sur $[0\,;0{,}25]$ n'est pas une densité, car une probabilité ne dépasse pas $1$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $f\ge 0$ et $\int_{0}^{0{,}25}4\,dx=1$ : c'est une densité. Seules les aires sont plafonnées à $1$ . »

La densité verte de hauteur

4

a une aire

1

: c'est elle, la bonne. Plafonnée à

1

, la hauteur rouge ne couvrirait qu'une aire

0{,}25

Pourquoi : $f(x)$ est une probabilité par unité : plus le support est court, plus la densité est haute.

3. Appliquer une règle linéaire à la variance

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $V(X)=4$ , donc $V(-3X+5)=-3\times 4+5=-7$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $V(-3X+5)=(-3)^{2}V(X)=36$ et $\sigma(-3X+5)=3\times 2=6$ . »

Pourquoi : Une variance est une moyenne de carrés d'écarts : la constante ne crée aucun écart, et le facteur agit au carré. Une variance négative signale toujours une erreur.

4. Arrondir l'espérance avant de calculer la variance

1 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $E(X)\approx 5{,}3$ , $E(X^{2})=29{,}49$ , donc $V(X)=29{,}49-5{,}3^{2}=1{,}40$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $E(X)=5{,}33$ exactement, donc $V(X)=29{,}49-28{,}4089=1{,}0811$ . »

Pourquoi : $E(X^{2})-E(X)^{2}$ soustrait deux grands nombres voisins : un arrondi de $0{,}03$ sur $E(X)$ fausse la variance de $30\,\%$ .

5. Oublier le signe de la primitive en normalisant

toute la suite de l'exercice

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\int_{0}^{4}(4-x)^{2}\,dx=\left[\frac{(4-x)^{3}}{3}\right]_{0}^{4}=-\frac{64}{3}$ , donc $k=-\frac{3}{64}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Une primitive de $(4-x)^{2}$ est $-\frac{(4-x)^{3}}{3}$ , donc l'intégrale vaut $\frac{64}{3}$ et $k=\frac{3}{64}$ . »

Pourquoi : Une aire sous une courbe positive est positive : un k négatif donne une densité négative et invalide toutes les probabilités qui suivent.

6. Donner la fonction de répartition d'un seul morceau

1 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $F(x)=\frac{x^{3}}{16}-\frac{3x^{4}}{256}$ pour tout réel $x$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $F(x)=0$ si $x<0$ ; $F(x)=\frac{x^{3}}{16}-\frac{3x^{4}}{256}$ si $0\le x\le 4$ ; $F(x)=1$ si $x>4$ . »

Pourquoi : Hors du support, la formule polynomiale donne n'importe quoi ( $F(6)\approx -1{,}69$ , une « probabilité » négative) ; $F$ doit rester entre $0$ et $1$ .

7. Remplacer l'infini par un nombre dans une intégrale impropre

1 point de rigueur

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\int_{0}^{+\infty}x\,e^{-x}\,dx=\left[-(x+1)e^{-x}\right]_{0}^{\infty}=-(\infty+1)e^{-\infty}+1$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\int_{0}^{A}x\,e^{-x}\,dx=1-(A+1)e^{-A}$ , et $\lim_{A\to+\infty}(A+1)e^{-A}=0$ , donc l'intégrale converge et vaut $1$ . »

Pourquoi : Une intégrale impropre est une limite : sans écrire la borne A et la limite, la convergence n'est pas justifiée.

8. Prendre l'espérance pour la valeur la plus probable ou la médiane

1 à 2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Pour $f(x)=x\,e^{-x}$ , la valeur la plus probable est $E(X)=2$ , et une observation sur deux dépasse $2$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le mode vaut $1$ (maximum de $f$ ), la médiane environ $1{,}68$ , l'espérance $2$ ; et $P(X>2)=3e^{-2}\approx 0{,}41$ . »

Pour

f(x)=x\,e^{-x}

, les trois repères se séparent : mode

1

, médiane

1{,}68

, espérance

2

; l'aire orange, à droite de l'espérance, ne vaut que

0{,}41

Pourquoi : Dès que la densité est asymétrique, mode, médiane et espérance se séparent ; la longue queue tire l'espérance de son côté.

9. Croire qu'une correction de biais réduit la dispersion

1 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« En retranchant $0{,}05$ à l'erreur $\varepsilon$ de chaque mesure, l'erreur devient plus petite : $\sigma$ diminue. »

Ce qu'il faut écrire

« $\sigma(\varepsilon-0{,}05)=\sigma(\varepsilon)$ : la correction rend la mesure juste en moyenne, elle ne la rend pas plus précise. »

Pourquoi : Une translation déplace toute la loi sans la resserrer : c'est V(X + b) = V(X).

Quelle méthode choisir

Quel outil selon la question posée

Regardez d'abord si la variable est discrète ou continue, puis ce que l'énoncé demande.

Si $P(X=a)$ , variable continue → la réponse est 0, sans calcul

Exemple : $P(D=2)=0$ pour un diamètre
Si $P(a\le X\le b)$ , variable discrète → additionner les bâtons, en lisant chaque borne : comprise ou exclue

Exemple : $P(4<X\le 6)=P(X=5)+P(X=6)$
Si $P(a\le X\le b)$ , variable continue → $F(b)-F(a)$ si $F$ est connue, sinon $\int_{a}^{b}f(x)\,dx$

Exemple : $F(1{,}5)-F(0{,}5)$
Si une constante inconnue dans la densité → écrire que l'intégrale totale vaut 1, puis vérifier la positivité

Exemple : $k\int_{0}^{3}x^{2}\,dx=1$ donne $k=\frac{1}{9}$
Si une médiane, un quartile, un seuil à p pour cent → résoudre $F(m)=p$ ; si l'équation est transcendante, encadrer par valeurs intermédiaires

Exemple : $F(8{,}3)<0{,}5<F(8{,}4)$
Si $E(aX+b)$ ou $V(aX+b)$ → les propriétés, sans recalculer la loi

Exemple : $V(2{,}5X+1)=6{,}25\,V(X)$
Si une intégrale de $x^{n}e^{-x/a}$ → intégration par parties, en dérivant la puissance de x

Exemple : $\int_{0}^{A}x\,e^{-x/5}\,dx=25-(5A+25)e^{-A/5}$

sur un support infini, terminer par la limite quand A tend vers l'infini

Aucune branche ne s'applique ? Revenez aux définitions : $E(X)=\int x\,f(x)\,dx$ et $F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,dt$ .

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Démontrer la formule de calcul de la variance

Quand l'utiliser : « Montrer que $V(X)=E(X^{2})-E(X)^{2}$ » (discret ou continu).

1 Poser $\mu=E(X)$ et partir de la définition $V(X)=E\big((X-\mu)^{2}\big)$ .
2 Développer le carré : $(x-\mu)^{2}=x^{2}-2\mu x+\mu^{2}$ .
3 Séparer la somme (ou l'intégrale) en trois, en sortant $\mu$ , qui est un nombre fixe.
4 Utiliser $\sum p_{i}=1$ (ou $\int f=1$ ) et $\sum x_{i}p_{i}=\mu$ : on obtient $E(X^{2})-2\mu^{2}+\mu^{2}$ .

Phrase de conclusion

« Donc $V(X)=E(X^{2})-2\mu^{2}+\mu^{2}=E(X^{2})-E(X)^{2}$ . »

Le piège : Ne pas citer $\sum p_{i}=1$ quand le terme $\mu^{2}\sum p_{i}$ devient $\mu^{2}$ : c'est l'étape que le correcteur cherche.

Barème : Développement 1 point, linéarité 1 point, usage de la normalisation 1 point.

Vérifier qu'une fonction est une densité et trouver sa constante

Quand l'utiliser : « Déterminer $k$ pour que $f$ soit une densité » ou « Montrer que $f$ est une densité ».

1 Écrire la positivité, avec sa raison : signe de chaque facteur sur le support, et f nulle ailleurs.
2 Calculer l'intégrale sur le support, primitive écrite en entier.
3 Poser l'intégrale égale à 1 et isoler la constante.
4 Contrôler : la constante est positive, et une valeur simple de f est plausible.

Phrase de conclusion

« $f\ge 0$ et $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx=1$ : $f$ est une densité de probabilité. »

Le piège : Oublier la positivité : la condition d'aire seule ne suffit pas, une fonction qui change de signe peut avoir une intégrale égale à 1.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

La somme qui fait 1

Additionner les probabilités d'une loi discrète, ou intégrer la densité trouvée sur tout le support (TI : fnInt ; Casio : touche d'intégrale du menu RUN).

Une loi dont la somme fait $0{,}95$ a perdu une valeur ; une densité dont l'intégrale vaut $2$ a gardé un facteur de trop.
L'espérance dans le support, la variance positive

$E(X)$ tombe entre la plus petite et la plus grande valeur possible ; $V(X)\ge 0$ , et $\sigma$ est du même ordre que l'étalement des valeurs.

Une espérance de $4{,}7$ pour une densité sur $[0\,;4]$ , ou $V=-0{,}3$ , signale une erreur de calcul.
La fonction de répartition aux bornes

$F$ vaut $0$ au début du support et $1$ à la fin, et elle croît entre les deux. Pour une médiane, réinjecter $m$ dans $F$ .

$F(4)=0{,}98$ pour une loi sur $[0\,;4]$ dit que la primitive est fausse ; $F(m)=0{,}502$ confirme une médiane au centième.
L'ordre mode, médiane, espérance

Comparer les trois au profil de la densité : queue à droite, l'espérance est la plus grande ; queue à gauche, la plus petite.

Une densité qui monte doucement et chute vite doit avoir une espérance inférieure à son mode ; sinon, revoir le calcul.

L'exercice type décortiqué

Profondeur d'enfouissement d'un gland par un écureuil

Un écureuil enfouit des glands à une profondeur $X$ , en centimètres, modélisée par la densité $f(x)=k\,x^{2}(4-x)$ sur $[0\,;4]$ , nulle ailleurs.

Déterminer $k$ , calculer $P(X\ge 2)$ , l'espérance, l'écart-type et le mode, puis situer l'espérance par rapport au mode.

Étape 1

Sur $[0\,;4]$ , $x^{2}\ge 0$ et $4-x\ge 0$ : $f\ge 0$ dès que $k>0$ . $\int_{0}^{4}(4x^{2}-x^{3})\,dx=\left[\frac{4x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{4}=\frac{256}{3}-64=\frac{64}{3}$ , donc $k=\frac{3}{64}$ .

Pourquoi

La positivité puis l'aire totale : les deux conditions d'une densité, écrites dans cet ordre, valent chacune des points.

Étape 2

$F(x)=\frac{3}{64}\left(\frac{4x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}\right)=\frac{x^{3}}{16}-\frac{3x^{4}}{256}$ sur $[0\,;4]$ ; $F(2)=\frac{8}{16}-\frac{48}{256}=0{,}3125$ , donc $P(X\ge 2)=0{,}6875$ .

Pourquoi

Une fois F écrite, chaque probabilité se lit en une soustraction ; le signe large ou strict ne change rien, X est continue.

Étape 3

$E(X)=\frac{3}{64}\int_{0}^{4}(4x^{3}-x^{4})\,dx=\frac{3}{64}\left(256-\frac{1024}{5}\right)=\frac{3}{64}\times\frac{256}{5}=2{,}4$ cm.

Pourquoi

On multiplie la densité par x AVANT d'intégrer : c'est la moyenne pondérée du discret, la somme devenue intégrale.

Étape 4

$E(X^{2})=\frac{3}{64}\int_{0}^{4}(4x^{4}-x^{5})\,dx=\frac{3}{64}\left(\frac{4096}{5}-\frac{4096}{6}\right)=6{,}4$ ; $V(X)=6{,}4-5{,}76=0{,}64$ ; $\sigma(X)=0{,}8$ cm.

Pourquoi

La formule de calcul de la variance, avec E(X) exacte : aucun arrondi avant la soustraction.

Étape 5

$f'(x)=\frac{3}{64}(8x-3x^{2})=\frac{3x(8-3x)}{64}$ s'annule en $x=\frac{8}{3}\approx 2{,}67$ : c'est le mode.

Pourquoi

Le mode est un maximum de f, il se trouve par dérivation comme tout extremum.

Étape 6

Vérification : $F(4)=4-3=1$ , $E(X)=2{,}4\in[0\,;4]$ , et $E(X)=2{,}4<$ mode $2{,}67$ : la densité est étalée vers les faibles profondeurs.

Pourquoi

Le contrôle aux bornes et l'ordre des centres prennent dix secondes et attrapent une primitive fausse.

Conclusion rédigée

$k=\frac{3}{64}$ , $P(X\ge 2)=0{,}6875$ , $E(X)=2{,}4$ cm, $\sigma(X)=0{,}8$ cm, mode $\frac{8}{3}$ cm : la profondeur la plus fréquente dépasse la profondeur moyenne, car quelques glands restent presque en surface.

L'erreur classique sur cet exercice : Prendre $E(X)$ pour le milieu du support, $2$ cm, ou pour le mode, $2{,}67$ cm : ici l'espérance est entre les deux et ne se devine pas.

À savoir par cœur

• Discrète : on SOMME des bâtons. Continue : on INTÈGRE une densité, et $P(X=a)=0$ .
• Densité : $f\ge 0$ ET intégrale totale égale à $1$ ; sa valeur peut dépasser $1$ .
• $V(X)=E(X^{2})-E(X)^{2}$ , avec $E(X)$ EXACTE ; une variance n'est jamais négative.
• $E(aX+b)=aE(X)+b$ ; $V(aX+b)=a^{2}V(X)$ ; $\sigma(aX+b)=|a|\,\sigma(X)$ .
• $F(x)=P(X\le x)$ se donne PAR MORCEAUX : $0$ avant le support, $1$ après. Médiane : $F(m)=0{,}5$ .
• Loi uniforme sur $[a\,;b]$ : $E=\frac{a+b}{2}$ , $V=\frac{(b-a)^{2}}{12}$ .
• Mode, médiane et espérance sont trois nombres différents dès que la densité est asymétrique.

Questions fréquentes

Comment savoir si une variable aléatoire est discrète ou continue ?

Demandez-vous si ses valeurs se comptent. Un nombre d'œufs, de mutations ou de jours est discret : entre deux valeurs voisines, il n'y en a aucune autre. Une durée, une distance ou un diamètre mesuré sans arrondi est continu : entre deux valeurs, il y en a toujours une troisième. Une même grandeur peut devenir discrète si on ne l'observe qu'à intervalles fixes, par exemple une fois par jour.

Pourquoi une densité de probabilité peut-elle dépasser 1 ?

Parce que la densité n'est pas une probabilité : c'est une probabilité par unité de la variable. La seule contrainte est que l'aire totale sous la courbe vaille 1. Une loi uniforme sur un intervalle de longueur 0,25 a une densité égale à 4, et l'aire vaut bien 4 fois 0,25, soit 1. Ce sont les aires, donc les probabilités, qui ne dépassent jamais 1.

Comment calculer l'espérance d'une variable aléatoire continue ?

On intègre x fois la densité sur tout le support. C'est la moyenne pondérée du cas discret, où la somme des valeurs multipliées par leurs probabilités devient une intégrale. Sur un support infini, l'intégrale est impropre : on intègre jusqu'à une borne A, souvent par parties, puis on prend la limite quand A tend vers l'infini.

Quelle est la différence entre l'espérance, la médiane et le mode ?

Le mode est la valeur où la densité, ou le bâton, est le plus haut. La médiane partage la probabilité en deux moitiés : on la trouve en résolvant F de m égale 0,5. L'espérance est la moyenne pondérée, la valeur moyenne sur un grand nombre de répétitions. Pour une densité étalée vers la droite, on a généralement mode, puis médiane, puis espérance, et moins de la moitié des valeurs dépasse l'espérance.

Pourquoi la variance de aX + b vaut-elle a au carré fois la variance de X ?

Ajouter b déplace toutes les valeurs du même montant, sans changer leurs écarts à la moyenne : la variance ne bouge pas. Multiplier par a multiplie chaque écart par a, donc chaque écart au carré par a au carré. Comme la variance est la moyenne de ces carrés, elle est multipliée par a au carré, et l'écart-type par la valeur absolue de a.

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© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/sn1-variables-aleatoires. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

Voir aussi

Toutes les fiches Tous les exercices

Fiche de révision : variables aléatoires discrètes et continues (201-SN1-RE)

L'essentiel

Bâton ou aire : la distinction qui commande tout

Les mêmes formules, somme ou intégrale

Les pièges qui coûtent des points

1. Traiter une inégalité stricte comme une large pour une variable discrète

2. Refuser une densité parce qu'elle dépasse 1

3. Appliquer une règle linéaire à la variance

4. Arrondir l'espérance avant de calculer la variance

5. Oublier le signe de la primitive en normalisant

6. Donner la fonction de répartition d'un seul morceau

7. Remplacer l'infini par un nombre dans une intégrale impropre

8. Prendre l'espérance pour la valeur la plus probable ou la médiane

9. Croire qu'une correction de biais réduit la dispersion

Quelle méthode choisir

Quel outil selon la question posée

La rédaction attendue

Démontrer la formule de calcul de la variance

Vérifier qu'une fonction est une densité et trouver sa constante

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Profondeur d'enfouissement d'un gland par un écureuil

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Comment savoir si une variable aléatoire est discrète ou continue ?

Pourquoi une densité de probabilité peut-elle dépasser 1 ?

Comment calculer l'espérance d'une variable aléatoire continue ?

Quelle est la différence entre l'espérance, la médiane et le mode ?

Pourquoi la variance de aX + b vaut-elle a au carré fois la variance de X ?

Exercices corrigés : Variables aléatoires discrètes et continues : loi, densité, espérance et variance

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