Lois binomiale et normale 201-SN1-RE : fiche de révision

Q: Comment savoir si une variable suit une loi binomiale ?

On vérifie quatre conditions dans l'énoncé : un nombre d'épreuves fixé d'avance, deux issues par épreuve, la même probabilité de succès à chaque épreuve et des épreuves indépendantes. Un tirage sans remise reste acceptable si l'échantillon fait au plus 5 % de la population. Une cause commune, comme un même bac de terreau pour toutes les graines, détruit l'indépendance même si la probabilité est la même.

Q: Quand peut-on approcher une loi binomiale par une loi normale ?

Quand n fois p et n fois 1 moins p valent tous deux au moins 5, selon le critère le plus courant ; certains collèges demandent 10. On prend alors une normale de moyenne np et d'écart-type racine de np(1 - p). Un grand n ne suffit pas : avec p égal à 0,99 et n égal à 200, n fois 1 moins p vaut 2 et l'approximation est refusée.

Q: Pourquoi ajoute-t-on ou enlève-t-on 0,5 dans la correction de continuité ?

Parce que la binomiale compte des entiers et que la normale mesure des intervalles. La barre de l'entier k occupe l'intervalle de k moins 0,5 à k plus 0,5. Pour « au moins k », l'aire commence donc à k moins 0,5 ; pour « au plus k », elle s'arrête à k plus 0,5. On prend toujours le bord extérieur de la barre placée à la limite de l'événement.

Q: Comment lire la table de la loi normale avec une cote z négative ?

La table donne l'aire à gauche de z. Pour une cote négative, on utilise la symétrie de la courbe : l'aire à gauche de moins a égale l'aire à droite de a, soit 1 moins l'aire à gauche de a. Contrôle rapide : l'aire à droite d'une cote négative contient le sommet, elle dépasse donc 0,5.

Q: Pourquoi la probabilité d'une valeur exacte est-elle nulle pour une loi normale ?

Pour une variable continue, une probabilité est une aire sous la densité, et l'aire au-dessus d'un seul point est nulle. Cela ne veut pas dire que la valeur est impossible : on la demande avec une infinité de décimales. Une mesure réelle est arrondie, donc c'est un intervalle, et c'est cet intervalle qui a une probabilité.

Le fil du chapitre

Une binomiale COMPTE, une normale MESURE : la binomiale donne une probabilité à chaque entier, si bien que $<$ et $\le$ changent la réponse ; la normale ne donne de probabilité qu'à un intervalle, et $P(X=a)=0$ . Passer de l'une à l'autre change chaque entier en intervalle d'une unité de large : c'est toute la correction de continuité.

Notions couvertes

Épreuve de Bernoulli
Loi binomiale
Espérance et variance d'une loi binomiale
Loi normale
Loi normale centrée réduite
Standardisation et cote z
Table de la loi normale
Approximation normale de la loi binomiale
Correction de continuité
Loi de Poisson

Le tableau du chapitre

Binomiale, normale, approximation : reconnaître la loi

Lisez d'abord ce que la variable fait : elle compte des succès, ou elle mesure une grandeur. Tout le reste en découle.

Critère	Binomiale elle compte	Normale elle mesure	Approximation on compte, on calcule en mesurant
Ce que fait $X$	Nombre de succès sur $n$ épreuves	Grandeur continue : masse, pH, longueur	Un comptage binomial avec beaucoup d'épreuves
Conditions	$n$ fixé, deux issues, même $p$ , indépendance	Modèle admis ou donné, $\mu$ et $\sigma$ connus	$np\ge 5$ et $n(1-p)\ge 5$
Paramètres	$n$ et $p$ ; $E=np$ , $V=np(1-p)$	$\mu$ et $\sigma$ (ou $\sigma^{2}$ selon la notation)	$\mu=np$ , $\sigma=\sqrt{np(1-p)}$
$P(X=a)$	$\binom{n}{a}p^{a}(1-p)^{n-a}>0$	$0$ : une valeur n'a pas d'aire	Aire de $a-0{,}5$ à $a+0{,}5$
$<$ contre $\le$	Différents : $P(X<k)=P(X\le k-1)$	Identiques	Décident de la borne : $k\pm 0{,}5$
Calcul	Formule, somme ou complément	$z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}$ puis table	Correction de continuité, puis table

Binomiale elle compte

Ce que fait $X$: Nombre de succès sur $n$ épreuves
Conditions: $n$ fixé, deux issues, même $p$ , indépendance
Paramètres: $n$ et $p$ ; $E=np$ , $V=np(1-p)$
$P(X=a)$: $\binom{n}{a}p^{a}(1-p)^{n-a}>0$
$<$ contre $\le$: Différents : $P(X<k)=P(X\le k-1)$
Calcul: Formule, somme ou complément

Normale elle mesure

Ce que fait $X$: Grandeur continue : masse, pH, longueur
Conditions: Modèle admis ou donné, $\mu$ et $\sigma$ connus
Paramètres: $\mu$ et $\sigma$ (ou $\sigma^{2}$ selon la notation)
$P(X=a)$: $0$ : une valeur n'a pas d'aire
$<$ contre $\le$: Identiques
Calcul: $z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}$ puis table

Approximation on compte, on calcule en mesurant

Ce que fait $X$: Un comptage binomial avec beaucoup d'épreuves
Conditions: $np\ge 5$ et $n(1-p)\ge 5$
Paramètres: $\mu=np$ , $\sigma=\sqrt{np(1-p)}$
$P(X=a)$: Aire de $a-0{,}5$ à $a+0{,}5$
$<$ contre $\le$: Décident de la borne : $k\pm 0{,}5$
Calcul: Correction de continuité, puis table

Légende : les mots du tableau

Succès: L'issue que l'on compte dans chaque épreuve : la graine germe, le plant guérit, l'épisode est très acide.
Continue: Une variable qui peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle ; une probabilité y est une aire sous la densité.
Indépendance: Le résultat d'une épreuve ne change pas la probabilité des autres ; un bac de terreau commun ou une contagion la détruit.
Et: Les deux conditions sont exigées ; avec p proche de 1, c'est n(1 - p) qui échoue.
Différents: Pour une variable qui compte, l'écart entre P(X < k) et P(X ≤ k) est exactement P(X = k).
Complément: Calculer 1 - P(contraire) quand le contraire a moins de termes : au moins un, au moins 9 sur 10.
Correction de continuité: Le décalage d'une demi-unité qui transforme la barre d'un entier k en l'intervalle de k - 0,5 à k + 0,5.

Le cas qui trompe : une binomiale à grand $n$ dont $p$ est proche de 0 ou de 1. Elle reste un comptage, et l'approximation normale y est refusée tant que $np$ ou $n(1-p)$ est sous 5.

L'essentiel

Compter ou mesurer

• Une variable BINOMIALE compte : chaque entier de $0$ à $n$ a sa probabilité, une hauteur de barre.
• Une variable NORMALE mesure : une probabilité est une AIRE sous la densité, et $P(X=a)=0$ pour toute valeur $a$ .
• Conséquence : $P(X<8)$ et $P(X\le 8)$ diffèrent de $P(X=8)$ pour une binomiale, et sont égales pour une normale.
• Une valeur mesurée et arrondie est elle aussi un intervalle : une aile affichée $9{,}3$ mm a une longueur dans $[9{,}25\,;9{,}35[$ .

À gauche, la binomiale

\mathcal{B}(12\,;0{,}3)

: la barre de 4 porte

0{,}231

. À droite, une normale : l'aire verte est une probabilité, le trait rouge en

23

n'en porte aucune.

Écrire « $X$ est discrète, donc $P(X<8)=P(X\le 7)$ » avant de calculer évite la moitié des erreurs de borne.

Les quatre conditions de la binomiale

• 1) un nombre $n$ d'épreuves FIXÉ d'avance ;
• 2) deux issues par épreuve, succès ou échec ;
• 3) la MÊME probabilité de succès $p$ à chaque épreuve ;
• 4) des épreuves INDÉPENDANTES.
• Sans remise, on garde la binomiale si l'échantillon fait au plus $5\ \%$ de la population. Au-delà, on dénombre : 6 graines tirées d'un sachet de 20 dont 17 viables donnent $\frac{\binom{17}{6}}{\binom{20}{6}}\approx 0{,}3193$ , pas $(0{,}85)^{6}\approx 0{,}3771$ .

Les conditions se CONFRONTENT à la situation, une par une, avec le mot de l'énoncé qui les justifie (« un godet par graine », « 10 graines sur 40 000 »).

La barre de k est un intervalle

• Pour approcher $\mathcal{B}(n\,;p)$ , on prend la normale de moyenne $\mu=np$ et d'écart-type $\sigma=\sqrt{np(1-p)}$ , si $np\ge 5$ et $n(1-p)\ge 5$ .
• Les barres ont une largeur 1 et sont centrées sur les entiers : la barre de $k$ couvre $[k-0{,}5\,;k+0{,}5]$ .
• $P(X=k)\approx P(k-0{,}5\le Y\le k+0{,}5)$ ; $P(X\le k)\approx P(Y\le k+0{,}5)$ ; $P(X\ge k)\approx P(Y\ge k-0{,}5)$ .

La barre orange de

12

vaut

0{,}1201

; l'aire verte sous la courbe, de

11{,}5

12{,}5

, vaut

0{,}1200

: la correction de continuité, c'est cette demi-unité de chaque côté.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Appliquer la binomiale à un tirage sans remise dans une petite population

toute la question, et souvent la suivante

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $85\ \%$ des graines du sachet sont viables, donc le nombre de graines qui germent sur 6 suit $\mathcal{B}(6\,;0{,}85)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« 6 graines sur 20 font $30\ \%$ du sachet, au-delà de $5\ \%$ : $p$ change à chaque tirage. Par dénombrement, $P(\text{6 germent})=\frac{\binom{17}{6}}{\binom{20}{6}}\approx 0{,}3193$ . »

Pourquoi : La proportion est juste, le modèle est faux : après une graine viable tirée, il en reste 16 sur 19, et $\frac{16}{19}\ne 0{,}85$ .

2. Croire que la même probabilité de succès suffit

1 à 2 points de justification du modèle

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Chaque graine du bac germe avec la probabilité $0{,}85$ , donc $P(\text{les 10 germent})=(0{,}85)^{10}\approx 0{,}1969$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Les graines partagent un terreau qui peut être contaminé : elles ne sont pas indépendantes. On conditionne par le bac : $0{,}1(0{,}40)^{10}+0{,}9(0{,}90)^{10}\approx 0{,}3138$ . »

Pourquoi : Une cause commune fait arriver les succès ensemble et les échecs ensemble ; il faut une raison physique de croire à l'indépendance, comme un godet par graine.

3. Prendre la variance pour l'écart-type

toute la suite du calcul, environ 2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $X\sim\mathcal{B}(200\,;0{,}85)$ , donc $\sigma=np(1-p)=25{,}5$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $V(X)=np(1-p)=25{,}5$ , donc $\sigma=\sqrt{25{,}5}\approx 5{,}05$ . »

Pourquoi : Une cote $z$ divise par un écart-type, dans l'unité de $X$ . Avec $25{,}5$ , toutes les cotes sont cinq fois trop petites et toutes les probabilités fausses.

4. Confondre « moins de 8 » et « au plus 8 » pour une binomiale

1 point par question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $P(X<8)=P(X\le 8)\approx 0{,}4557$ » pour $X\sim\mathcal{B}(10\,;0{,}85)$ .

Ce qu'il faut écrire

« $X$ est discrète : $P(X<8)=P(X\le 7)\approx 0{,}1798$ , et $P(X\le 8)\approx 0{,}4557$ ; l'écart est $P(X=8)\approx 0{,}2759$ . »

Pourquoi : Une variable qui compte donne une probabilité à chaque entier ; le signe décide si la barre de 8 est dans le calcul.

5. Lire la table du mauvais côté pour un z négatif

1 point, et la conclusion de l'exercice

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $P(Z>-0{,}62)=1-\Phi(0{,}62)=1-0{,}7324=0{,}2676$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Par symétrie, $P(Z>-0{,}62)=P(Z<0{,}62)=\Phi(0{,}62)=0{,}7324$ . »

Les deux aires vertes sont symétriques l'une de l'autre : à droite de

-0{,}62

et à gauche de

0{,}62

, toutes deux

0{,}7324

, plus de la moitié.

Pourquoi : L'aire à droite d'un nombre négatif contient toute la moitié droite de la courbe : elle dépasse $0{,}5$ . Le dessin rapide de la cloche le montre en deux secondes.

6. Diviser par la variance quand l'énoncé la donne

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $X\sim\mathcal{N}(250\,;9)$ , donc $z=\dfrac{256-250}{9}\approx 0{,}67$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Dans la notation $\mathcal{N}(\mu\,;\sigma^{2})$ , $9$ est la variance : $\sigma=3$ et $z=\dfrac{256-250}{3}=2{,}00$ . »

Pourquoi : Le changement de variable $x=\mu+\sigma z$ fait sortir $\sigma$ du $dx$ , jamais $\sigma^{2}$ . Lisez la notation de votre manuel : certains écrivent l'écart-type, d'autres la variance.

7. Placer la demi-unité du mauvais côté

1 à 2 points, la moitié de la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $P(X\ge 175)\approx P(Y\ge 175{,}5)=0{,}1379$ » pour $X\sim\mathcal{B}(200\,;0{,}85)$ .

Ce qu'il faut écrire

« La barre de 175 commence à $174{,}5$ : $P(X\ge 175)\approx P(Y\ge 174{,}5)=0{,}1867$ , pour $0{,}1876$ exact. »

Pourquoi : Partir de $175{,}5$ retire toute la barre de 175, $P(X=175)\approx 0{,}05$ : on calcule en fait $P(X>175)$ .

8. Approcher par une normale dès que n est grand

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $n=200$ est grand, donc pour $p=0{,}99$ la binomiale est approximativement normale. »

Ce qu'il faut écrire

« $n(1-p)=2<5$ : l'approximation est refusée. La normale donnerait $0{,}0375$ à « plus de 200 graines germées sur 200 », un événement impossible. »

Pourquoi : Une binomiale collée à sa borne $0$ ou $n$ est très asymétrique ; une courbe symétrique la décrit mal. Le seuil « $n\ge 30$ » est celui du théorème central limite, un autre résultat.

9. Oublier le signe de z dans une lecture inverse

toute la question, le système n'a plus de sens

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $10\ \%$ des comprimés pèsent moins de $246$ mg, donc $\mu+1{,}28\,\sigma=246$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La borne est sous la moyenne : $\Phi(z)=0{,}10$ donne $z\approx -1{,}28$ , donc $\mu-1{,}28\,\sigma=246$ . »

Pourquoi : Une valeur sous la moyenne a toujours une cote négative ; un dessin de la cloche avec la petite aire à gauche le rappelle.

Quelle méthode choisir

Quelle loi, quel calcul

Regardez ce que l'énoncé fait de la variable : la compte-t-il, la mesure-t-il, ou demande-t-il une valeur à partir d'un pourcentage ?

Si on compte des succès sur $n$ épreuves fixées, indépendantes, de même $p$ , avec peu de termes à sommer → binomiale exacte, par la formule ou par le complément

Exemple : $P(X\ge 9)$ sur $\mathcal{B}(10\,;0{,}85)$ : $0{,}3474+0{,}1969=0{,}5443$
Si on compte sur un grand $n$ , avec $np\ge 5$ et $n(1-p)\ge 5$ → approximation normale, avec correction de continuité

Exemple : $\mathcal{B}(150\,;0{,}4)$ : $P(X\le 45)\approx\Phi(-2{,}42)=0{,}0078$
Si on compte sur un grand $n$ , mais $np<5$ ou $n(1-p)<5$ → binomiale exacte (calculatrice), pas de normale

Exemple : $\mathcal{B}(40\,;0{,}0436)$ : $P(Y\ge 4)\approx 0{,}0955$
Si on mesure une grandeur continue de loi normale → standardiser $z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}$ , puis lire la table

Exemple : masse $\mu=250$ , $\sigma=3$ : $P(X>251{,}8)=1-\Phi(0{,}60)=0{,}2743$
Si on donne un pourcentage et on cherche une valeur → lecture inverse : $z$ dans la marge, puis $x=\mu+z\sigma$

Exemple : les $1\ \%$ plus lourds : $250+2{,}33\times 3\approx 257{,}0$ mg
Si on compte des événements rares dans un volume ou une durée, sans nombre d'épreuves → loi de Poisson de paramètre $\lambda$ (au-delà du minimum du devis)

Exemple : $\lambda=4$ : $P(X\le 2)=13\,e^{-4}\approx 0{,}2381$

Si aucune branche ne s'applique, revenez aux quatre conditions : c'est presque toujours l'indépendance ou le nombre d'épreuves fixé qui manque.

Quelle borne pour la correction de continuité

Traduisez d'abord l'événement en entiers, puis prenez le bord EXTÉRIEUR de la barre placée à la limite de l'événement.

Pour

P(X\ge 175)

, l'aire part de

174{,}5

et recouvre toute la barre de 175 (vert) ; partir de

175{,}5

la retire (rouge).

Si $X\le k$ (au plus $k$ ) → $Y\le k+0{,}5$

Exemple : $X\le 20$ : $Y\le 20{,}5$
Si $X<k$ (moins de $k$ ) → $X\le k-1$ , donc $Y\le k-0{,}5$

Exemple : $X<8$ : $Y\le 7{,}5$
Si $X\ge k$ (au moins $k$ ) → $Y\ge k-0{,}5$

Exemple : $X\ge 175$ : $Y\ge 174{,}5$
Si $X>k$ (plus de $k$ ) → $X\ge k+1$ , donc $Y\ge k+0{,}5$

Exemple : $X>175$ : $Y\ge 175{,}5$
Si $X=k$ (exactement $k$ ) → $k-0{,}5\le Y\le k+0{,}5$

Exemple : $X=170$ : $0{,}0796$

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger une approximation normale

Quand l'utiliser : L'énoncé demande une probabilité binomiale avec beaucoup de termes, ou dit « par l'approximation normale ».

1 Nommer la loi exacte et justifier ses quatre conditions par les mots de l'énoncé.
2 Vérifier $np\ge 5$ et $n(1-p)\ge 5$ en écrivant les deux nombres, et nommer le critère du cours.
3 Donner $\mu=np$ et $\sigma=\sqrt{np(1-p)}$ , avec la racine.
4 Traduire l'événement en entiers, puis écrire la correction de continuité : $P(X\ge k)\approx P(Y\ge k-0{,}5)$ .
5 Standardiser, arrondir $z$ au centième, lire la table, et conclure par une phrase dans le contexte.

Phrase de conclusion

« Comme $np=60\ge 5$ et $n(1-p)=90\ge 5$ , on approche $X$ par $Y$ normale de moyenne $60$ et d'écart-type $6$ : $P(X\le 45)\approx P(Y\le 45{,}5)=\Phi(-2{,}42)=0{,}0078$ . »

Le piège : Sauter la vérification des conditions : une approximation employée sans contrôle est comptée fausse, même si le nombre est bon.

Barème : 1 point le modèle, 1 point les conditions, 1 point la correction, 1 point le calcul et la phrase

Démontrer E(X) = np

Quand l'utiliser : L'énoncé demande de démontrer l'espérance ou la variance d'une binomiale.

1 Poser $G(t)=(q+pt)^{n}$ et le développer par le binôme : $G(t)=\sum_{k=0}^{n}P(X=k)\,t^{k}$ .
2 Dériver les deux écritures : $np(q+pt)^{n-1}=\sum_{k=1}^{n}k\,P(X=k)\,t^{k-1}$ .
3 Évaluer en $t=1$ , où $q+p=1$ : $E(X)=np$ .
4 Pour la variance, dériver encore : $G''(1)=E\big(X(X-1)\big)=n(n-1)p^{2}$ , puis $V(X)=E(X^{2})-E(X)^{2}=np(1-p)$ .

Phrase de conclusion

« En $t=1$ , $G'(1)=\sum_{k=0}^{n}k\,P(X=k)=E(X)$ et $G'(1)=np(q+p)^{n-1}=np$ , donc $E(X)=np$ . »

Le piège : Prendre $G''(1)$ pour $E(X^{2})$ : la dérivée seconde fait descendre $k(k-1)$ , pas $k^{2}$ .

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le côté de la cloche

Dessinez la cloche en trois secondes et ombrez la zone demandée : une aire qui contient le sommet dépasse $0{,}5$ , une queue est sous $0{,}5$ .

Trouver $0{,}2676$ pour $P(Z>-0{,}62)$ est impossible : la zone contient le sommet, la réponse est $0{,}7324$ .
La calculatrice confirme

TI : binomcdf(n, p, k) donne $P(X\le k)$ , normalcdf(a, b, μ, σ) une aire, invNorm(aire, μ, σ) une lecture inverse. Casio : Bcd, Ncd et InvN dans le menu des distributions.

binomcdf(200 ; 0,85 ; 174) $\approx 0{,}8124$ , donc $P(X\ge 175)\approx 0{,}1876$ : l'approximation $0{,}1867$ est validée ; $0{,}1611$ trahirait la correction oubliée.
L'ordre de grandeur par les écarts-types

Situez la borne en écarts-types autour de $\mu$ : à $1\sigma$ , environ $16\ \%$ au-delà ; à $2\sigma$ , environ $2{,}3\ \%$ ; à $3\sigma$ , moins de $0{,}2\ \%$ .

45 plants atteints quand $\mu=60$ et $\sigma=6$ : $2{,}5\sigma$ sous la moyenne, donc une probabilité de l'ordre de $1\ \%$ . Trouver $0{,}2$ signalerait une erreur.
La loi exacte ne dépasse pas ses bornes

Une binomiale vit entre $0$ et $n$ . Si la normale approchante place une aire visible au-delà, l'approximation est refusée.

$\mathcal{B}(200\,;0{,}99)$ : la normale donne $0{,}0375$ au-delà de 200, le signal que $n(1-p)=2$ est trop petit.

L'exercice type décortiqué

Un test de germination : au plus 85 graines sur 120 ?

Un lot de semences de trèfle annonce un taux de germination de $75\ \%$ . On sème 120 graines prises au hasard dans un grand lot, une par alvéole, et l'on note $X$ le nombre de graines qui germent.

Calculez une valeur approchée de $P(X\le 85)$ .

Étape 1

Les 120 graines viennent d'un grand lot, chacune dans son alvéole : $n=120$ est fixé, chaque graine germe ou non avec la même probabilité $p=0{,}75$ , indépendamment des autres. Donc $X\sim\mathcal{B}(120\,;0{,}75)$ .

Pourquoi

Le modèle se justifie par les mots de l'énoncé : « grand lot » pour la règle des 5 %, « une par alvéole » pour l'indépendance. C'est le premier point du barème.

Étape 2

$np=90\ge 5$ et $n(1-p)=30\ge 5$ : l'approximation normale est acceptée, avec $\mu=90$ et $\sigma=\sqrt{22{,}5}\approx 4{,}743$ .

Pourquoi

Les deux nombres s'écrivent, pas seulement « les conditions sont vérifiées ». La racine rappelle qu'on divise par un écart-type.

Étape 3

« Au plus 85 » contient la barre de 85, qui finit à $85{,}5$ : $P(X\le 85)\approx P(Y\le 85{,}5)$ .

Pourquoi

C'est l'étape qui distingue la binomiale de la normale : on transforme un comptage en intervalle mesuré, par le bord extérieur de la barre placée à la limite de l'événement.

Étape 4

$z=\dfrac{85{,}5-90}{4{,}743}\approx -0{,}95$ , puis $\Phi(-0{,}95)=0{,}1711$ .

Pourquoi

On arrondit $z$ au centième AVANT la table ; le signe négatif dit que l'aire est une queue gauche, sous $0{,}5$ .

Étape 5

Vérification : binomcdf(120 ; 0,75 ; 85) $\approx 0{,}1709$ . Sans correction, on aurait $\Phi(-1{,}05)=0{,}1469$ .

Pourquoi

Le contrôle par la calculatrice valide l'approximation et montre ce que coûte la demi-unité oubliée : 0,024, soit 14 % de la réponse.

Conclusion rédigée

« Environ $17\ \%$ des essais de 120 graines donneraient au plus 85 germinations si le taux annoncé de $75\ \%$ est exact : un tel résultat n'aurait rien d'anormal. »

L'erreur classique sur cet exercice : Calculer $P(Y\le 85)$ sans correction, ou standardiser avec $\sigma^{2}=22{,}5$ : on obtient $0{,}1469$ ou une cote de $-0{,}20$ , et la conclusion change.

À savoir par cœur

• BINOMIALE : $n$ fixé, deux issues, même $p$ , indépendance ; $P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$ , $E=np$ , $V=np(1-p)$ .
• Sans remise : binomiale tolérée si l'échantillon fait au plus $5\ \%$ de la population.
• Une binomiale COMPTE : $P(X<k)=P(X\le k-1)$ . Une normale MESURE : $P(X=a)=0$ .
• STANDARDISER : $z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}$ , table de $\Phi(z)=P(Z\le z)$ , $\Phi(-z)=1-\Phi(z)$ ; lecture inverse $x=\mu+z\sigma$ .
• Repères : $\Phi(1{,}28)\approx 0{,}90$ , $\Phi(1{,}645)\approx 0{,}95$ , $\Phi(1{,}96)=0{,}975$ , $\Phi(2{,}33)\approx 0{,}99$ .
• APPROXIMATION si $np\ge 5$ ET $n(1-p)\ge 5$ : $\mu=np$ , $\sigma=\sqrt{np(1-p)}$ , bord extérieur de la barre limite : $k+0{,}5$ pour « au plus », $k-0{,}5$ pour « au moins ».

Questions fréquentes

Comment savoir si une variable suit une loi binomiale ?

On vérifie quatre conditions dans l'énoncé : un nombre d'épreuves fixé d'avance, deux issues par épreuve, la même probabilité de succès à chaque épreuve et des épreuves indépendantes. Un tirage sans remise reste acceptable si l'échantillon fait au plus 5 % de la population. Une cause commune, comme un même bac de terreau pour toutes les graines, détruit l'indépendance même si la probabilité est la même.

Quand peut-on approcher une loi binomiale par une loi normale ?

Quand n fois p et n fois 1 moins p valent tous deux au moins 5, selon le critère le plus courant ; certains collèges demandent 10. On prend alors une normale de moyenne np et d'écart-type racine de np(1 - p). Un grand n ne suffit pas : avec p égal à 0,99 et n égal à 200, n fois 1 moins p vaut 2 et l'approximation est refusée.

Pourquoi ajoute-t-on ou enlève-t-on 0,5 dans la correction de continuité ?

Parce que la binomiale compte des entiers et que la normale mesure des intervalles. La barre de l'entier k occupe l'intervalle de k moins 0,5 à k plus 0,5. Pour « au moins k », l'aire commence donc à k moins 0,5 ; pour « au plus k », elle s'arrête à k plus 0,5. On prend toujours le bord extérieur de la barre placée à la limite de l'événement.

Comment lire la table de la loi normale avec une cote z négative ?

La table donne l'aire à gauche de z. Pour une cote négative, on utilise la symétrie de la courbe : l'aire à gauche de moins a égale l'aire à droite de a, soit 1 moins l'aire à gauche de a. Contrôle rapide : l'aire à droite d'une cote négative contient le sommet, elle dépasse donc 0,5.

Pourquoi la probabilité d'une valeur exacte est-elle nulle pour une loi normale ?

Pour une variable continue, une probabilité est une aire sous la densité, et l'aire au-dessus d'un seul point est nulle. Cela ne veut pas dire que la valeur est impossible : on la demande avec une infinité de décimales. Une mesure réelle est arrondie, donc c'est un intervalle, et c'est cet intervalle qui a une probabilité.

Marque ici la fiche comme lue ou mets-la en favori : un compte gratuit, sans mot de passe, retient tes fiches lues et tes favoris d'une visite à l'autre, te dit quel chapitre attaquer ensuite et te permet de demander la méthode ou l'exercice qui te manque. Crée ton espace, un courriel suffit.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Loi binomiale et loi normale : conditions, table, approximation

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

11 exercices corrigés
110 points
150 minutes

Faire les exercices

Il manque quelque chose dans cette fiche ? Une méthode, un piège, un exercice pour l'appliquer, une erreur repérée : dis-le-moi, je lis chaque demande.

L'envoi passe par ton espace gratuit : c'est ce qui me permet de te répondre et de te prévenir quand l'exercice est ajouté. Un courriel suffit, pas de mot de passe. Crée ton espace. Pas envie de créer un compte ? Écris-moi directement.

Fiche précédente Variables aléatoires discrètes et continues : loi, densité, espérance et variance Fiche suivante Intervalles de confiance : moyenne, Student et proportion

Ce chapitre resservira dans

Les chapitres qui le réclament en amont, plus tard dans l'année ou dans les années suivantes.

Intervalles de confiance : moyenne, Student et proportion

© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/sn1-loi-binomiale-loi-normale. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

Voir aussi

Toutes les fiches Tous les exercices Tests d'hypothèse (201-SN1-RE)

Fiche de révision : loi binomiale et loi normale (201-SN1-RE)

Binomiale, normale, approximation : reconnaître la loi

Légende : les mots du tableau

L'essentiel

Compter ou mesurer

Les quatre conditions de la binomiale

La barre de k est un intervalle

Les pièges qui coûtent des points

1. Appliquer la binomiale à un tirage sans remise dans une petite population

2. Croire que la même probabilité de succès suffit

3. Prendre la variance pour l'écart-type

4. Confondre « moins de 8 » et « au plus 8 » pour une binomiale

5. Lire la table du mauvais côté pour un z négatif

6. Diviser par la variance quand l'énoncé la donne

7. Placer la demi-unité du mauvais côté

8. Approcher par une normale dès que n est grand

9. Oublier le signe de z dans une lecture inverse

Quelle méthode choisir

Quelle loi, quel calcul

Quelle borne pour la correction de continuité

La rédaction attendue

Rédiger une approximation normale

Démontrer E(X) = np

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Un test de germination : au plus 85 graines sur 120 ?

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Comment savoir si une variable suit une loi binomiale ?

Quand peut-on approcher une loi binomiale par une loi normale ?

Pourquoi ajoute-t-on ou enlève-t-on 0,5 dans la correction de continuité ?

Comment lire la table de la loi normale avec une cote z négative ?

Pourquoi la probabilité d'une valeur exacte est-elle nulle pour une loi normale ?

Exercices corrigés : Loi binomiale et loi normale : conditions, table, approximation

Ce chapitre resservira dans

Voir aussi

Vous cherchez un tuteur en probabilités et statistique 201-SN1-RE à Montréal ?