Tests d'hypothèse 201-SN1-RE : fiche de révision

Q: Comment savoir si un test d'hypothèse est unilatéral ou bilatéral ?

On le décide sur la question posée, avant de regarder les données. Si l'étude veut établir une hausse ou une baisse précise, avec des mots comme augmente, dépasse, réduit ou est inférieur, le test est unilatéral du côté de ce mot. Si elle demande seulement si la valeur a changé ou diffère, dans un sens ou dans l'autre, il est bilatéral. Sans indication de sens, on prend le bilatéral.

Q: Quand utiliser la loi de Student plutôt que la loi normale dans un test sur une moyenne ?

Quand l'échantillon compte moins de 30 observations et que l'écart-type de la population est inconnu, on utilise la loi de Student à n moins 1 degrés de liberté, à condition de supposer la population normale. Avec 30 observations ou plus, le théorème central limite permet la loi normale, même si les données ne sont pas normales. La valeur critique de Student est toujours plus grande que celle de la loi normale.

Q: Que veut dire une valeur p de 0,03 ?

Elle veut dire que, si l'hypothèse nulle était vraie, on obtiendrait un résultat au moins aussi éloigné de cette hypothèse que celui observé dans seulement 3 pour cent des échantillons. On rejette donc l'hypothèse nulle au seuil de 5 pour cent, mais pas à 1 pour cent. Ce n'est pas la probabilité que l'hypothèse nulle soit vraie.

Q: Peut-on accepter l'hypothèse nulle quand le test ne la rejette pas ?

Non. Ne pas rejeter l'hypothèse nulle veut seulement dire que les données ne sont pas assez éloignées d'elle pour exclure le hasard. Un effet réel mais petit, ou un échantillon trop petit, donne souvent ce résultat. On écrit donc que les données ne permettent pas de conclure, au seuil choisi, à ce que l'étude voulait établir.

Le fil du chapitre

Tout se calcule sous $H_{0}$ , et rien ne prouve $H_{0}$ : la statistique mesure, en erreurs types, la distance des données à l'hypothèse nulle, et seule une distance plus grande que le seuil fixé d'avance permet de conclure.

Notions couvertes

Hypothèse nulle et hypothèse alternative
Test unilatéral et test bilatéral
Seuil de signification
Région critique
Statistique de test
Valeur p
Loi de Student
Test sur une moyenne
Test sur une proportion
Erreur de première espèce
Erreur de seconde espèce
Puissance d'un test

L'essentiel

La logique d'un test : raisonner sous l'hypothèse nulle

• $H_{0}$ porte l'égalité sur un PARAMÈTRE : $\mu=\mu_{0}$ ou $p=p_{0}$ . $H_{1}$ porte ce que l'étude veut établir : $\neq$ (bilatéral), $<$ ou $>$ (unilatéral).
• On SUPPOSE $H_{0}$ vraie et l'on calcule la loi de la statistique sous cette hypothèse : centrée sur $\mu_{0}$ , avec l'erreur type de $H_{0}$ .
• On fixe AVANT les données le seuil $\alpha$ , d'où la région critique : les valeurs de la statistique qui seraient trop rares si $H_{0}$ était vraie.
• Statistique dans la région critique : on rejette $H_{0}$ . Sinon, on ne la rejette pas, ce qui ne veut pas dire qu'elle est vraie.

Sous

H_{0}

Z

dépasse

1{,}645

dans

5\,\%

des cas :

z=2{,}30

tombe dans cette zone orange et fait rejeter

H_{0}

z=1{,}20

non.

Un test raisonne comme une preuve par l'absurde, mais statistique : on montre que les données sont improbables sous H₀, jamais que H₀ est vraie.

Les trois statistiques du cours, et leurs conditions

• Moyenne, $n\geq 30$ : $z=\dfrac{\overline{x}-\mu_{0}}{s/\sqrt{n}}$ , loi normale par le théorème central limite, $s$ remplaçant $\sigma$ .
• Moyenne, $n<30$ , population supposée NORMALE : $t=\dfrac{\overline{x}-\mu_{0}}{s/\sqrt{n}}$ , loi de Student à $n-1$ degrés de liberté.
• Proportion, $np_{0}\geq 5$ et $n(1-p_{0})\geq 5$ : $z=\dfrac{\hat{p}-p_{0}}{\sqrt{p_{0}(1-p_{0})/n}}$ , avec $p_{0}$ et non $\hat{p}$ .
• Dans les trois cas, un échantillon tiré au hasard, des observations indépendantes (tirage avec remise, ou population grande devant $n$ ).

Les conditions s'écrivent sur la copie avant le calcul : la condition oubliée coûte le point même quand la statistique est juste.

Les deux erreurs, et ce qui les règle

• Erreur de première espèce : rejeter $H_{0}$ alors qu'elle est vraie. Sa probabilité est $\alpha$ , fixée par l'expérimentateur.
• Erreur de seconde espèce : ne pas rejeter $H_{0}$ alors qu'elle est fausse. Sa probabilité $\beta$ dépend de la vraie valeur du paramètre.
• Puissance $=1-\beta$ : la probabilité de détecter un écart qui existe. À $n$ fixé, baisser $\alpha$ augmente $\beta$ ; augmenter $n$ réduit $\beta$ à $\alpha$ fixé.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Quand rejeter $H_{0}$ au seuil de $5\,\%$

On lit la loi (normale ou Student) et la forme de $H_{1}$ ; la dernière colonne donne la règle de rejet. Les deux cases rouges sont des règles qui n'existent pas.

Loi	$H_{1}$	On rejette $H_{0}$ si
normale	$\mu\neq\mu_{0}$	$\|z\|>1{,}96$
Exemple : $z=-2{,}05$ : $\|z\|>1{,}96$ , on rejette.
normale	$\mu>\mu_{0}$	$z>1{,}645$
Exemple : $z=1{,}80>1{,}645$ : on rejette, alors que $1{,}80<1{,}96$ .
normale	$\mu<\mu_{0}$	$z<-1{,}645$
Exemple : $z=-1{,}50>-1{,}645$ : on ne rejette pas.
Student, $9$ ddl	$\mu\neq\mu_{0}$	$\|t\|>2{,}262$
Exemple : $n=10$ , $t=2{,}10<2{,}262$ : on ne rejette pas, alors que $2{,}10>1{,}96$ .
Student, $9$ ddl	$\mu>\mu_{0}$	$t>1{,}833$
Exemple : $n=10$ , $t=1{,}90>1{,}833$ : on rejette.
normale	$\mu>\mu_{0}$	$\|z\|>1{,}96$ règle inexistante
Exemple : $z=1{,}80$ : cette règle ne rejette pas, la bonne règle rejette. Ce qu'il faut faire : Unilatéral : toute l'aire $\alpha$ est dans UNE queue, la valeur critique est $1{,}645$ à $5\,\%$ .
Student, $9$ ddl	$\mu\neq\mu_{0}$	$\|t\|>1{,}96$ règle inexistante
Exemple : $t=2{,}10$ : cette règle rejette à tort, $2{,}10<2{,}262$ . Ce qu'il faut faire : Avec $n<30$ , la valeur critique se lit dans la table de Student, à $n-1$ degrés de liberté.

À $1\,\%$ : $2{,}576$ en bilatéral, $2{,}326$ en unilatéral. Plus le nombre de degrés de liberté est petit, plus la valeur critique de Student s'éloigne de celle de la loi normale.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Écrire les hypothèses sur la moyenne de l'échantillon

1 point, et la conclusion perd son objet

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $H_{0}:\overline{x}=120$ s et $H_{1}:\overline{x}<120$ s. »

Ce qu'il faut écrire

« $H_{0}:\mu=120$ s et $H_{1}:\mu<120$ s, où $\mu$ est la durée moyenne de la réaction avec catalyseur. »

Pourquoi : $\overline{x}$ est connu dès que les essais sont faits : on ne fait pas d'hypothèse sur un nombre calculé. Le test porte sur le paramètre inconnu de la population.

2. Conclure que l'hypothèse nulle est vraie parce qu'on ne la rejette pas

1 à 2 points, toute la conclusion

Ce qu'il ne faut pas écrire

« On ne rejette pas H₀ : le catalyseur n'a aucun effet sur la durée de la réaction. »

Ce qu'il faut écrire

« Au seuil de 5 %, les données ne permettent pas de conclure que le catalyseur réduit la durée moyenne de la réaction. »

Si la vraie moyenne vaut

117

\overline{x}

reste au-dessus de la borne

116{,}1

dans environ

65\,\%

des cas (aire bleue) : le non-rejet est alors le résultat le plus probable.

Pourquoi : Un petit écart réel passe souvent inaperçu. Avec $n=40$ essais et $s=15$ s, un catalyseur qui ramène la moyenne à $117$ s échappe au test dans environ $65\,\%$ des cas.

3. Comparer à 1,96 dans un test unilatéral

2 points : la décision et la conclusion sont fausses

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Test unilatéral à droite au seuil de $5\,\%$ : $z=1{,}80<1{,}96$ , donc on ne rejette pas $H_{0}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Unilatéral à droite : on rejette si $z>1{,}645$ . Ici $z=1{,}80>1{,}645$ , on rejette $H_{0}$ au seuil de $5\,\%$ . »

La même statistique

z=1{,}80

tombe dans la zone de rejet du test unilatéral (en haut) mais pas dans celle de la règle

1{,}96

, qui est celle du bilatéral (en bas).

Pourquoi : $1{,}96$ laisse $2{,}5\,\%$ dans CHAQUE queue : c'est la valeur du bilatéral. En unilatéral, les $5\,\%$ sont tous dans une seule queue, au-delà de $1{,}645$ .

4. Lire la valeur p comme la probabilité que l'hypothèse nulle soit vraie

1 point d'interprétation

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $p=0{,}03$ : il y a $3\,\%$ de chances que l'engrais soit sans effet. »

Ce qu'il faut écrire

« Si l'engrais était sans effet, un rendement moyen au moins aussi élevé n'apparaîtrait que dans $3\,\%$ des échantillons. »

Pourquoi : La valeur $p$ se calcule en supposant $H_{0}$ vraie : c'est $P(\text{données au moins aussi extrêmes}\mid H_{0})$ , pas $P(H_{0}\mid\text{données})$ . Les deux diffèrent comme dans la formule de Bayes.

5. Mettre la proportion observée dans l'erreur type d'un test

2 points : ici la décision bascule

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\hat{p}=\frac{84}{240}=0{,}35$ et $z=\dfrac{0{,}35-0{,}30}{\sqrt{0{,}35\times 0{,}65/240}}\approx 1{,}62<1{,}645$ : on ne rejette pas. »

Ce qu'il faut écrire

« Sous $H_{0}$ , $\sigma_{\hat{P}}=\sqrt{\frac{0{,}30\times 0{,}70}{240}}\approx 0{,}0296$ et $z\approx 1{,}69>1{,}645$ : on rejette $H_{0}$ au seuil de $5\,\%$ . »

Pourquoi : Le test raisonne sous $H_{0}$ , donc avec $p=p_{0}$ . C'est l'intervalle de confiance, qui n'a pas de valeur supposée, qui utilise $\hat{p}$ .

6. Utiliser la loi normale avec un petit échantillon

2 points : mauvaise loi, mauvaise décision

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $n=5$ , $t=2{,}40>1{,}96$ : on rejette $H_{0}$ au seuil de $5\,\%$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $n=5$ : Student à $4$ degrés de liberté, valeur critique $2{,}776$ . $|t|=2{,}40<2{,}776$ , on ne rejette pas $H_{0}$ . »

Pourquoi : Avec peu de données, $s$ estime mal $\sigma$ : la loi de Student a des queues plus lourdes, et sa valeur critique est plus grande. Comparer à $1{,}96$ fait prendre un risque bien supérieur à $5\,\%$ .

7. Choisir l'hypothèse alternative après avoir vu les données

1 point, et un risque réel doublé

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La question demande si la mesure de $g$ est biaisée. Comme $\overline{x}<9{,}81$ , je teste $H_{1}:\mu<9{,}81$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La question porte sur un biais dans un sens ou dans l'autre : $H_{1}:\mu\neq 9{,}81$ , test bilatéral, choisi avant de calculer $\overline{x}$ . »

Pourquoi : Choisir le côté après coup revient à garder $5\,\%$ dans la queue où tombent les données ET la possibilité de l'autre : le vrai risque de première espèce passe à $10\,\%$ .

8. Oublier de doubler la valeur p d'un test bilatéral

1 point, et une décision fausse au seuil de 2 %

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Test bilatéral, $z=2{,}10$ : $p=P(Z>2{,}10)=0{,}0179$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Test bilatéral : $p=2\times P(Z>2{,}10)=2\times 0{,}0179=0{,}0358$ . »

Pourquoi : En bilatéral, un écart de l'autre côté aurait été tout aussi surprenant : les deux queues comptent. Au seuil de $2\,\%$ , $0{,}0179$ ferait rejeter, $0{,}0358$ non.

9. Conclure sans le contexte

1 point, souvent le dernier de la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« z = −2,20 < −1,645, donc on rejette H₀. »

Ce qu'il faut écrire

« z = −2,20 < −1,645 : on rejette H₀ au seuil de 5 %. Les données permettent de conclure que la concentration moyenne de plomb du réseau est inférieure à la norme. »

Pourquoi : La décision est un geste statistique ; la conclusion est une phrase de sciences, avec le paramètre nommé et le seuil. Le correcteur note les deux séparément.

Quelle méthode choisir

Quelle statistique de test ?

On regarde ce qui est testé (une moyenne ou une proportion), puis la taille de l'échantillon et ce qu'on sait de la population.

4

degrés de liberté, la loi de Student est plus étalée que la loi normale : la valeur critique bilatérale à

5\,\%

passe de

1{,}96

2{,}776

Si une moyenne, $n\geq 30$ → $z=\dfrac{\overline{x}-\mu_{0}}{s/\sqrt{n}}$ , loi normale

Exemple : $n=40$ , $s=0{,}52$ : erreur type $0{,}082$

le théorème central limite dispense de supposer la population normale
Si une moyenne, $n<30$ , population supposée normale → $t$ , loi de Student à $n-1$ degrés de liberté

Exemple : $n=12$ : $t_{0{,}05\,;\,11}=1{,}796$ au lieu de $1{,}645$
Si une moyenne, $n<30$ , données très asymétriques ou valeur aberrante → aucun test du cours ne s'applique : il faut plus de données

on le dit sur la copie au lieu de forcer un calcul
Si une proportion, $np_{0}\geq 5$ et $n(1-p_{0})\geq 5$ → $z=\dfrac{\hat{p}-p_{0}}{\sqrt{p_{0}(1-p_{0})/n}}$ , loi normale

Exemple : $84$ sur $240$ contre $p_{0}=0{,}30$ : $z\approx 1{,}69$

Le choix se fait sur l'énoncé, avant tout calcul, et la condition qui le justifie s'écrit sur la copie.

Unilatéral ou bilatéral : lire le verbe de la question

On cherche dans l'énoncé ce que l'étude veut établir, sans regarder les données.

Si « a changé », « diffère », « est biaisé », « est-il conforme à la valeur annoncée » → bilatéral : $H_{1}:\mu\neq\mu_{0}$

Exemple : mesure de $g$ comparée à $9{,}81$ m/s²
Si « augmente », « dépasse », « est plus élevé » → unilatéral à droite : $H_{1}:\mu>\mu_{0}$

Exemple : un engrais qui augmente le rendement
Si « diminue », « réduit », « est inférieur à » → unilatéral à gauche : $H_{1}:\mu<\mu_{0}$

Exemple : un catalyseur qui réduit la durée
Si il faut PROUVER le respect d'une norme maximale → $H_{1}$ : sous la norme, $\mu<\mu_{0}$

Exemple : une eau déclarée conforme seulement si la preuve est faite

l'erreur la plus grave, déclarer sûre une eau qui ne l'est pas, devient celle que le seuil contrôle

Si l'énoncé ne dit rien du sens, le test est bilatéral.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger un test complet

Quand l'utiliser : L'énoncé demande de tester, de vérifier une affirmation, ou de dire si les données permettent de conclure.

1 Nommer le paramètre en mots, puis écrire $H_{0}$ (l'égalité) et $H_{1}$ (ce qu'on veut établir), et le seuil $\alpha$ .
2 Écrire les conditions et la loi choisie : $n\geq 30$ ou population normale, $np_{0}\geq 5$ , échantillon aléatoire.
3 Calculer la statistique en montrant l'erreur type utilisée (avec $s$ , ou avec $p_{0}$ ).
4 Donner la valeur critique (ou la valeur $p$ ) et la comparer.
5 Décider (rejeter ou ne pas rejeter $H_{0}$ ), puis conclure dans le contexte, avec le seuil.

Phrase de conclusion

« $t\approx 2{,}60>1{,}796$ : on rejette $H_{0}$ au seuil de $5\,\%$ . Les données permettent de conclure que l'engrais augmente le rendement moyen de la variété. »

Le piège : Sauter les conditions : le calcul est juste, mais rien ne dit qu'on avait le droit de le faire.

Barème : Répartition fréquente : hypothèses, conditions et loi, statistique, décision, conclusion en contexte, à parts à peu près égales.

Conclure quand on ne rejette pas

Quand l'utiliser : La statistique n'entre pas dans la région critique, ou la valeur p dépasse le seuil.

1 Écrire la comparaison : « $z=-1{,}45>-1{,}645$ » ou « $p=0{,}07>0{,}05$ ».
2 Décider : « on ne rejette pas $H_{0}$ au seuil de $5\,\%$ ».
3 Conclure sur ce que les données ne permettent PAS d'établir, avec le vocabulaire de l'énoncé.
4 Si la question le demande, nommer la limite : échantillon petit, puissance faible.

Phrase de conclusion

« Au seuil de 5 %, les données ne permettent pas de conclure que la concentration moyenne dépasse 20 µg/L. »

Le piège : Écrire « on accepte H₀ » ou « la concentration vaut 20 µg/L » : le test ne démontre jamais l'hypothèse nulle.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le signe de la statistique et le sens de H₁

Dans un test unilatéral, on ne peut rejeter que si la statistique est du côté de $H_{1}$ : positive pour $\mu>\mu_{0}$ , négative pour $\mu<\mu_{0}$ .

$H_{1}:\mu>3{,}20$ et $z=-0{,}8$ : le rejet est impossible, quel que soit le seuil ; si votre calcul conclut au rejet, la soustraction est à l'envers.
La valeur p et la région critique disent la même chose

$p\leq\alpha$ exactement quand la statistique est dans la région critique. Vérifiez que les deux lectures concordent.

$z=1{,}80$ en unilatéral et $p=0{,}0359$ : $p<0{,}05$ et $z>1{,}645$ , cohérent. Une valeur $p$ de $0{,}07$ avec un rejet trahit un oubli de division ou de doublement.
L'ordre de grandeur en erreurs types

Comparez $|\overline{x}-\mu_{0}|$ à l'erreur type : en dessous d'une erreur type, aucun test ne rejette aux seuils usuels ; au-delà de trois, tous rejettent à $5\,\%$ , sauf avec Student et très peu de données.

Écart de $0{,}18$ pour une erreur type de $0{,}082$ : un peu plus de deux erreurs types, $z\approx 2{,}2$ . Un $z$ de $0{,}35$ signale une division par $s$ au lieu de $s/\sqrt{n}$ : $\frac{0{,}18}{0{,}52}\approx 0{,}35$ .
Les degrés de liberté

Student se lit à $n-1$ degrés de liberté, et sa valeur critique est toujours plus grande que celle de la loi normale au même seuil.

$n=12$ : ligne $11$ de la table, $1{,}796>1{,}645$ . Une valeur critique de Student inférieure à $1{,}645$ en unilatéral à $5\,\%$ est une erreur de lecture.
L'intervalle de confiance confirme

En bilatéral au seuil $\alpha$ , on rejette exactement quand $\mu_{0}$ sort de l'intervalle de confiance à $1-\alpha$ (même erreur type).

Intervalle $[9{,}748\,;\,9{,}800]$ et $\mu_{0}=9{,}81$ : hors de l'intervalle, le test doit rejeter. S'il ne rejette pas, un des deux calculs est faux.

L'exercice type décortiqué

Un essai d'engrais sur douze parcelles

Sans engrais, le rendement moyen d'une variété est de $3{,}20$ t/ha. Un essai sur $n=12$ parcelles tirées au hasard donne $\overline{x}=3{,}47$ t/ha et $s=0{,}36$ t/ha. On suppose les rendements distribués normalement.

L'engrais augmente-t-il le rendement moyen, au seuil de $5\,\%$ ? On donne $t_{0{,}05\,;\,11}=1{,}796$ , $t_{0{,}025\,;\,11}=2{,}201$ et $t_{0{,}01\,;\,11}=2{,}718$ .

Étape 1

$\mu$ : rendement moyen de la variété avec engrais. $H_{0}:\mu=3{,}20$ et $H_{1}:\mu>3{,}20$ , au seuil $\alpha=0{,}05$ .

Pourquoi

Le mot « augmente » fixe un test unilatéral à droite, avant de regarder la moyenne observée.

Étape 2

$n=12<30$ , $\sigma$ inconnu, population supposée normale : loi de Student à $11$ degrés de liberté.

Pourquoi

Cette ligne rapporte le point des conditions ; sans elle, rien ne justifie la table utilisée.

Étape 3

$\dfrac{s}{\sqrt{n}}=\dfrac{0{,}36}{\sqrt{12}}\approx 0{,}1039$ et $t=\dfrac{3{,}47-3{,}20}{0{,}1039}\approx 2{,}60$

Pourquoi

On mesure l'écart à H₀ en erreurs types : 0,27 t/ha, c'est un peu plus de deux fois et demie l'erreur type.

Étape 4

Unilatéral à droite : on rejette si $t>1{,}796$ . Ici $2{,}60>1{,}796$ : on rejette $H_{0}$ .

Pourquoi

La valeur critique vient de la ligne 11 de la table, pas de 1,645 : avec douze parcelles, la loi normale sous-estimerait le risque.

Étape 5

$2{,}201<2{,}60<2{,}718$ , donc $0{,}01<p<0{,}025$ .

Pourquoi

L'encadrement de la valeur p dit la force du résultat : rejet à 5 % et à 2,5 %, pas à 1 %.

Étape 6

Vérification : borne inférieure de confiance à $95\,\%$ , $3{,}47-1{,}796\times 0{,}1039\approx 3{,}28>3{,}20$ .

Pourquoi

Une borne unilatérale au-dessus de 3,20 donne la même décision que le test unilatéral : deux calculs, une seule conclusion.

Conclusion rédigée

« $t\approx 2{,}60>1{,}796$ : on rejette $H_{0}$ au seuil de $5\,\%$ . Les données de l'essai permettent de conclure que l'engrais augmente le rendement moyen de cette variété ( $0{,}01<p<0{,}025$ ). »

L'erreur classique sur cet exercice : Comparer $2{,}60$ à $1{,}645$ , la valeur de la loi normale, ou lire la table à $12$ degrés de liberté au lieu de $11$ . Ici la décision ne change pas, mais la démarche perd ses points ; avec $t=1{,}70$ , la loi normale aurait fait rejeter à tort, puisque $1{,}645<1{,}70<1{,}796$ .

À savoir par cœur

• Les hypothèses portent sur $\mu$ ou $p$ , jamais sur $\overline{x}$ ou $\hat{p}$ ; $H_{0}$ porte l'ÉGALITÉ.
• Valeurs critiques de la loi normale : $1{,}96$ (bilatéral à $5\,\%$ ), $1{,}645$ (unilatéral à $5\,\%$ ), $2{,}576$ et $2{,}326$ à $1\,\%$ .
• Moyenne avec $n<30$ : Student à $n-1$ degrés de liberté, population supposée normale.
• Test sur une proportion : $p_{0}$ dans l'erreur type ET dans les conditions $np_{0}\geq 5$ , $n(1-p_{0})\geq 5$ .
• Valeur $p$ : probabilité, SI $H_{0}$ est vraie, d'un résultat au moins aussi extrême ; on rejette si $p\leq\alpha$ .
• $\alpha=P(\text{rejeter }H_{0}\mid H_{0}\text{ vraie})$ ; $\beta=P(\text{ne pas rejeter}\mid H_{0}\text{ fausse})$ ; puissance $=1-\beta$ .
• Ne pas rejeter H₀ ne la démontre JAMAIS : on conclut que les données ne permettent pas de conclure.

Questions fréquentes

Comment savoir si un test d'hypothèse est unilatéral ou bilatéral ?

On le décide sur la question posée, avant de regarder les données. Si l'étude veut établir une hausse ou une baisse précise, avec des mots comme augmente, dépasse, réduit ou est inférieur, le test est unilatéral du côté de ce mot. Si elle demande seulement si la valeur a changé ou diffère, dans un sens ou dans l'autre, il est bilatéral. Sans indication de sens, on prend le bilatéral.

Quand utiliser la loi de Student plutôt que la loi normale dans un test sur une moyenne ?

Quand l'échantillon compte moins de 30 observations et que l'écart-type de la population est inconnu, on utilise la loi de Student à n moins 1 degrés de liberté, à condition de supposer la population normale. Avec 30 observations ou plus, le théorème central limite permet la loi normale, même si les données ne sont pas normales. La valeur critique de Student est toujours plus grande que celle de la loi normale.

Que veut dire une valeur p de 0,03 ?

Elle veut dire que, si l'hypothèse nulle était vraie, on obtiendrait un résultat au moins aussi éloigné de cette hypothèse que celui observé dans seulement 3 pour cent des échantillons. On rejette donc l'hypothèse nulle au seuil de 5 pour cent, mais pas à 1 pour cent. Ce n'est pas la probabilité que l'hypothèse nulle soit vraie.

Peut-on accepter l'hypothèse nulle quand le test ne la rejette pas ?

Non. Ne pas rejeter l'hypothèse nulle veut seulement dire que les données ne sont pas assez éloignées d'elle pour exclure le hasard. Un effet réel mais petit, ou un échantillon trop petit, donne souvent ce résultat. On écrit donc que les données ne permettent pas de conclure, au seuil choisi, à ce que l'étude voulait établir.

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Exercices corrigés : Tests d'hypothèse : moyenne, Student et proportion

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

11 exercices corrigés
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Régression linéaire et test d'indépendance du khi-carré

© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/sn1-tests-hypotheses. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

Voir aussi

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Fiche de révision : tests d'hypothèse (201-SN1-RE)

L'essentiel

La logique d'un test : raisonner sous l'hypothèse nulle

Les trois statistiques du cours, et leurs conditions

Les deux erreurs, et ce qui les règle

Les règles de calcul en tableau

Quand rejeter $H_{0}$ au seuil de $5\,\%$

Les pièges qui coûtent des points

1. Écrire les hypothèses sur la moyenne de l'échantillon

2. Conclure que l'hypothèse nulle est vraie parce qu'on ne la rejette pas

3. Comparer à 1,96 dans un test unilatéral

4. Lire la valeur p comme la probabilité que l'hypothèse nulle soit vraie

5. Mettre la proportion observée dans l'erreur type d'un test

6. Utiliser la loi normale avec un petit échantillon

7. Choisir l'hypothèse alternative après avoir vu les données

8. Oublier de doubler la valeur p d'un test bilatéral

9. Conclure sans le contexte

Quelle méthode choisir

Quelle statistique de test ?

Unilatéral ou bilatéral : lire le verbe de la question

La rédaction attendue

Rédiger un test complet

Conclure quand on ne rejette pas

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Un essai d'engrais sur douze parcelles

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Comment savoir si un test d'hypothèse est unilatéral ou bilatéral ?

Quand utiliser la loi de Student plutôt que la loi normale dans un test sur une moyenne ?

Que veut dire une valeur p de 0,03 ?

Peut-on accepter l'hypothèse nulle quand le test ne la rejette pas ?

Exercices corrigés : Tests d'hypothèse : moyenne, Student et proportion

Ce chapitre resservira dans

Voir aussi

Vous cherchez un tuteur en probabilités et statistique 201-SN1-RE à Montréal ?

Fiche de révision : tests d'hypothèse (201-SN1-RE)

L'essentiel

La logique d'un test : raisonner sous l'hypothèse nulle

Les trois statistiques du cours, et leurs conditions

Les deux erreurs, et ce qui les règle

Les règles de calcul en tableau

Quand rejeter H0H_{0}H0​ au seuil de 5 %5\,\%5%

Les pièges qui coûtent des points

1. Écrire les hypothèses sur la moyenne de l'échantillon

2. Conclure que l'hypothèse nulle est vraie parce qu'on ne la rejette pas

3. Comparer à 1,96 dans un test unilatéral

4. Lire la valeur p comme la probabilité que l'hypothèse nulle soit vraie

5. Mettre la proportion observée dans l'erreur type d'un test

6. Utiliser la loi normale avec un petit échantillon

7. Choisir l'hypothèse alternative après avoir vu les données

8. Oublier de doubler la valeur p d'un test bilatéral

9. Conclure sans le contexte

Quelle méthode choisir

Quelle statistique de test ?

Unilatéral ou bilatéral : lire le verbe de la question

La rédaction attendue

Rédiger un test complet

Conclure quand on ne rejette pas

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Un essai d'engrais sur douze parcelles

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Comment savoir si un test d'hypothèse est unilatéral ou bilatéral ?

Quand utiliser la loi de Student plutôt que la loi normale dans un test sur une moyenne ?

Que veut dire une valeur p de 0,03 ?

Peut-on accepter l'hypothèse nulle quand le test ne la rejette pas ?

Exercices corrigés : Tests d'hypothèse : moyenne, Student et proportion

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Quand rejeter $H_{0}$ au seuil de $5\,\%$