Régression et khi-carré 201-SN1-RE : fiche de révision

Q: Quelle est la différence entre le coefficient de corrélation et le coefficient de détermination ?

Le coefficient de corrélation r, entre moins 1 et 1, dit à quel point les points sont alignés sur une droite et dans quel sens. Le coefficient de détermination, son carré, donne la part de la variation de y expliquée par la relation linéaire : r égal à 0,9 donne 81 pour cent, pas 90. C'est donc le carré qui s'interprète en pourcentage.

Q: Comment calculer les effectifs théoriques d'un test du khi-carré ?

Pour chaque case, on multiplie le total de sa ligne par le total de sa colonne, puis on divise par l'effectif total. C'est l'effectif qu'on attendrait si les deux variables étaient indépendantes. Les effectifs théoriques d'une ligne ont le même total que les observés, ce qui permet de vérifier le calcul, et ils doivent tous valoir au moins 5 pour que le test soit applicable.

Q: Combien de degrés de liberté pour un test d'indépendance du khi-carré ?

On multiplie le nombre de lignes moins un par le nombre de colonnes moins un, sans compter les totaux. Un tableau de 3 lignes et 4 colonnes en a donc 6, et un tableau 2 sur 2 en a 1. La taille de l'échantillon n'intervient pas : c'est une erreur fréquente d'utiliser n moins 1, qui fait lire la mauvaise valeur critique.

Q: Peut-on prédire avec une droite de régression en dehors des données ?

Seulement avec une grande prudence. À l'intérieur de la plage des valeurs observées de x, la prédiction est une interpolation que les données soutiennent. Au-delà, c'est une extrapolation : rien ne garantit que la relation reste linéaire, et un ressort, une absorbance ou une population changent souvent de comportement. Un coefficient proche de 1 ne change rien à cette règle.

Q: Un test du khi-carré significatif prouve-t-il une relation de cause à effet ?

Non, pas à lui seul. Il montre que les deux variables sont associées. On ne parle d'effet que si l'étude est une expérience où le facteur a été attribué au hasard, par exemple des graines réparties entre traitements. Dans une étude d'observation, une troisième variable peut expliquer le lien, et la conclusion doit s'en tenir au mot associé.

Le fil du chapitre

Un nombre de lien répond à la question de son modèle et à aucune autre : $r$ et $r^{2}$ mesurent l'alignement sur une droite, $\chi^{2}$ l'écart à l'indépendance. On regarde les données avant le nombre, et l'on conclut sans dépasser le plan d'étude ni la plage mesurée.

Notions couvertes

Nuage de points
Covariance
Coefficient de corrélation linéaire
Coefficient de détermination
Droite des moindres carrés
Résidus
Interpolation et extrapolation
Point influent
Tableau de contingence
Effectifs théoriques
Test d'indépendance du khi-carré
Degrés de liberté

Le tableau du chapitre

Deux variables : quel outil, quelle question, quelle conclusion

On choisit la colonne d'après la NATURE des deux variables, avant tout calcul ; chaque ligne dit ce que l'outil mesure et jusqu'où l'on peut conclure.

Critère	Régression linéaire deux variables quantitatives	Khi-carré d'indépendance deux variables qualitatives
Données	des couples $(x\,;y)$ mesurés, vus dans un nuage de points	des effectifs croisés dans un tableau de contingence
Avant de calculer	regarder la forme du nuage et les points isolés	vérifier que tous les effectifs théoriques valent au moins $5$
Le nombre	$r$ : alignement ; $r^{2}$ : part expliquée ; $a$ : variation de $y$ par unité de $x$	$\chi^{2}=\sum\frac{(O-E)^{2}}{E}$ , à $(\ell-1)(c-1)$ degrés de liberté
Question tranchée	les points sont-ils proches d'une droite, et laquelle ?	les écarts à l'indépendance dépassent-ils le hasard ?
Limite de la conclusion	seulement dans la plage des $x$ observés (interpolation)	une association ; une cause seulement si le facteur a été attribué au hasard

Régression linéaire deux variables quantitatives

Données: des couples $(x\,;y)$ mesurés, vus dans un nuage de points
Avant de calculer: regarder la forme du nuage et les points isolés
Le nombre: $r$ : alignement ; $r^{2}$ : part expliquée ; $a$ : variation de $y$ par unité de $x$
Question tranchée: les points sont-ils proches d'une droite, et laquelle ?
Limite de la conclusion: seulement dans la plage des $x$ observés (interpolation)

Khi-carré d'indépendance deux variables qualitatives

Données: des effectifs croisés dans un tableau de contingence
Avant de calculer: vérifier que tous les effectifs théoriques valent au moins $5$
Le nombre: $\chi^{2}=\sum\frac{(O-E)^{2}}{E}$ , à $(\ell-1)(c-1)$ degrés de liberté
Question tranchée: les écarts à l'indépendance dépassent-ils le hasard ?
Limite de la conclusion: une association ; une cause seulement si le facteur a été attribué au hasard

Légende : les mots du tableau

Nuage de points: Le graphique des couples mesurés, une variable par axe.
Tableau de contingence: Le tableau qui compte les individus de chaque combinaison de modalités des deux variables.
Effectif théorique: L'effectif qu'on attendrait dans une case si les deux variables étaient indépendantes : total de ligne fois total de colonne, divisé par n.
Degrés de liberté: Le nombre de cases que l'on peut remplir librement une fois les totaux fixés.
Interpolation: Une prédiction faite à l'intérieur de la plage des valeurs observées de x ; au-delà, c'est une extrapolation.

Une variable quantitative et une qualitative (une masse selon trois traitements) ne relèvent d'aucune des deux colonnes : c'est une comparaison de moyennes, vue avec les tests d'hypothèse.

L'essentiel

La droite des moindres carrés et ses trois propriétés

• Elle minimise $\sum e_{i}^{2}$ , la somme des carrés des écarts VERTICAUX $e_{i}=y_{i}-(ax_{i}+b)$ .
• $a=\dfrac{S_{xy}}{S_{xx}}$ et $b=\overline{y}-a\overline{x}$ : la droite passe par le point moyen $(\overline{x}\,;\overline{y})$ .
• La somme des résidus est nulle, et la somme minimale vaut $S_{yy}(1-r^{2})$ : c'est la preuve que $-1\le r\le 1$ .
• Sur les six points de la figure : $a\approx 1{,}335$ , $b\approx 1{,}94$ , point moyen $(5{,}67\,;9{,}5)$ .

Les écarts orange sont verticaux ; la droite bleue rend minimale la somme de leurs carrés et passe par le point moyen vert

(5{,}67\,;9{,}5)

Ces formules se démontrent en minimisant d'abord en b, puis en a : une question classique de l'épreuve, qui demande seulement la dérivée d'un polynôme du second degré.

Trois nombres, trois questions différentes

• La pente $a$ : de combien $y$ varie en moyenne quand $x$ augmente d'une unité. Elle a une unité.
• Le coefficient $r=\dfrac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}$ : à quel point les points sont alignés. Sans unité, entre $-1$ et $1$ , du signe de $a$ .
• Le coefficient de détermination $r^{2}$ : la part de la variation de $y$ expliquée par la relation linéaire. C'est LUI qui se lit en pourcentage.
• La covariance $s_{xy}=\dfrac{S_{xy}}{n-1}$ donne le sens du lien, jamais sa force : elle change avec les unités.

Le khi-carré compare des profils

• $H_{0}$ : les deux variables sont indépendantes, c'est-à-dire que chaque colonne a le même profil que l'ensemble.
• $E_{ij}=\dfrac{L_{i}C_{j}}{n}$ vient de $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ sous l'indépendance.
• $\chi^{2}=\sum\dfrac{(O-E)^{2}}{E}$ se calcule sur les EFFECTIFS ; on rejette $H_{0}$ quand il dépasse la valeur critique de la table, lue à $(\ell-1)(c-1)$ degrés de liberté.
• Conditions : observations indépendantes (un individu compté une fois) et tous les $E\ge 5$ .

À gauche, les trois colonnes ont le profil de l'ensemble, 40 % de oui : c'est l'indépendance. À droite, les profils s'écartent de 40 % : c'est ce que le khi-carré mesure.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Lire le coefficient de corrélation comme un pourcentage

1 point par interprétation

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $r=0{,}90$ , donc la droite explique $90\,\%$ de la variation de $y$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $r^{2}=0{,}81$ : la relation linéaire explique $81\,\%$ de la variation de $y$ . »

Pourquoi : La démonstration de la droite donne $1-r^{2}=\frac{S_{\min}}{S_{yy}}$ : c'est le carré qui mesure une part de variation.

2. Inverser la droite de y en x pour prédire x

1 à 2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\hat{y}=0{,}821x+1{,}571$ , donc pour $y=8$ on prédit $x=\frac{8-1{,}571}{0{,}821}\approx 7{,}83$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Pour prédire $x$ à partir de $y$ , j'utilise la droite de $x$ en $y$ : $\hat{x}=0{,}856y-0{,}160$ , soit $\hat{x}\approx 6{,}69$ pour $y=8$ . »

Mêmes sept points, deux droites : la bleue minimise les écarts verticaux, l'orange les écarts horizontaux ; elles se croisent au point moyen

(4\,;4{,}86)

Pourquoi : Chaque droite minimise ses propres écarts, verticaux ou horizontaux ; leurs pentes vérifient $a\,a'=r^{2}$ et ne coïncident que si $|r|=1$ . Exception : en étalonnage, $x$ est fixé sans erreur, et l'on inverse la droite de $y$ en $x$ .

3. Prédire hors de la plage observée

1 point, souvent la question entière

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le ressort suit $\hat{L}=1{,}98F+12{,}0$ avec $r^{2}=0{,}999$ ; sous $40$ N, il mesurera $91$ cm. »

Ce qu'il faut écrire

« La droite décrit le ressort entre $0$ et $5$ N, plage des mesures ; à $40$ N, c'est une extrapolation que rien ne garantit. »

Pourquoi : Un r² proche de 1 juge l'alignement des points mesurés, jamais ce qui se passe au-delà ; un ressort, une absorbance ou une population changent de régime hors de la plage étudiée.

4. Juger un point suspect sur r seulement

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Avec la station arctique, r passe de −0,996 à −0,984 : ce point ne change rien. »

Ce qu'il faut écrire

« r bouge à peine, mais la pente passe de −0,90 à −0,70 : ce point, loin des autres en latitude, fait tourner la droite. »

Pourquoi : La pente est une moyenne pondérée où le poids d'un point vaut $\frac{(x_{i}-\overline{x})^{2}}{S_{xx}}$ : un point loin de $\overline{x}$ a un fort levier, et $r$ ne le voit pas.

5. Conclure à l'absence de lien parce que r est presque nul

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $r=0{,}01$ entre la température et l'activité de l'enzyme : la température n'a aucun effet. »

Ce qu'il faut écrire

« $r$ est presque nul : il n'y a pas de lien LINÉAIRE. Le nuage montre une cloche avec un optimum : le lien existe, il n'est pas linéaire. »

Pourquoi : r mesure l'alignement sur une droite ; dans une cloche, la montée et la descente se compensent. On regarde toujours le nuage avant de calculer.

6. Se tromper de degrés de liberté

2 points : toute la décision est fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Tableau à $2$ lignes et $3$ colonnes, $n=150$ : $149$ degrés de liberté. » ou « $2\times 3-1=5$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $(2-1)(3-1)=2$ degrés de liberté, donc valeur critique $5{,}991$ au seuil de $5\,\%$ . »

5\,\%

, la valeur critique est

5{,}991

2

degrés de liberté et

9{,}488

4

: avec

\chi^{2}=7

, on rejette

H_{0}

2

degrés de liberté, pas à

4

Pourquoi : Les totaux de lignes et de colonnes sont fixés : seules les cases d'une sous-table à une ligne et une colonne de moins sont libres. La valeur critique change beaucoup avec le nombre de degrés de liberté.

7. Calculer le khi-carré sur des pourcentages

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Je convertis le tableau en pourcentages, c'est plus lisible, puis je calcule le khi-carré. »

Ce qu'il faut écrire

« Le $\chi^{2}$ se calcule sur les effectifs observés ; les pourcentages servent seulement à décrire les profils. »

Pourquoi : Multiplier tous les effectifs par $k$ multiplie $\chi^{2}$ par $k$ : sur des pourcentages, on ramène l'échantillon à $100$ individus. Sur $150$ graines, $10{,}67$ devient $7{,}11$ .

8. Prendre un non-rejet pour une preuve d'indépendance

1 point de conclusion

Ce qu'il ne faut pas écrire

« On ne rejette pas H0 au seuil de 5 % : les deux variables sont indépendantes. »

Ce qu'il faut écrire

« Au seuil de 5 %, les données ne permettent pas de conclure à un lien entre les deux variables. »

Pourquoi : Un lien faible peut rester invisible sur un petit échantillon : avec les mêmes proportions et quatre fois plus d'individus, le khi-carré est quatre fois plus grand et le test peut rejeter.

9. Tirer une cause d'une étude d'observation

1 à 2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le test rejette l'indépendance : le type de sol cause la couleur des fleurs. »

Ce qu'il faut écrire

« Dans ces jardins, la couleur et le type de sol sont associés ; l'enquête, sans répartition au hasard, n'établit pas à elle seule le mécanisme. »

Pourquoi : Seule une expérience où le facteur est attribué au hasard, comme des graines réparties entre traitements, autorise le mot « effet ». Dans une étude d'observation, une troisième variable peut expliquer le lien.

Quelle méthode choisir

Quel outil selon la nature des deux variables

Regardez ce que l'énoncé donne : des mesures en unités, ou des catégories comptées.

Si deux variables mesurées (une longueur, une température, une absorbance) → nuage de points, puis régression linéaire si le nuage est rectiligne

Exemple : longueur d'un ressort et force : $\hat{L}=1{,}98F+12{,}0$
Si deux variables en catégories, données en effectifs croisés → tableau de contingence, effectifs théoriques, test d'indépendance du khi-carré

Exemple : couleur de fleur et type de sol : $\chi^{2}\approx 73{,}2$ à $4$ degrés de liberté
Si une mesure et une catégorie → ni l'un ni l'autre : comparer des moyennes avec un test d'hypothèse

Exemple : masse de plants selon trois engrais

Une variable quantitative découpée en classes peut entrer dans un tableau de contingence, mais on y perd l'information : on ne le fait que si l'énoncé le demande.

Que faire selon la forme du nuage

Tracez le nuage avant tout calcul, puis lisez sa forme.

Si points alignés, sans point isolé → droite des moindres carrés, r et r², prédiction dans la plage

Exemple : vitesse du son : $r\approx 0{,}9987$
Si nuage courbé, ou résidus en U → changer de modèle : passer aux logarithmes pour une loi de puissance ou exponentielle

Exemple : masse et longueur : pente $3{,}02$ entre $\ln m$ et $\ln L$
Si un point loin des autres en y, au milieu des x → point aberrant : il fait chuter r ; chercher la cause avant toute décision

Exemple : station de sommet : $r$ passe de $-0{,}996$ à $-0{,}786$
Si un point loin des autres en x → point à fort levier : refaire la droite sans lui et comparer les PENTES

Exemple : station arctique : pente de $-0{,}90$ à $-0{,}70$

On n'écarte jamais un point sans dire lequel et pourquoi : la raison vient du phénomène (autre population, erreur de mesure), jamais du désir d'améliorer r.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger un test d'indépendance du khi-carré

Quand l'utiliser : L'énoncé donne un tableau d'effectifs croisés et demande si les deux variables sont liées.

1 Écrire H0 (indépendance) et H1 (dépendance) avec les noms des variables du contexte.
2 Calculer les effectifs théoriques $E=\frac{L\times C}{n}$ et vérifier qu'ils valent tous au moins $5$ , en le disant.
3 Calculer $\chi^{2}$ en écrivant les contributions, puis le nombre de degrés de liberté $(\ell-1)(c-1)$ .
4 Comparer à la valeur critique donnée pour ce seuil et ce nombre de degrés de liberté, et décider.
5 Conclure en une phrase dans le contexte, puis nommer les cases qui contribuent le plus.

Phrase de conclusion

« $\chi^{2}\approx 10{,}67>5{,}991$ ( $2$ degrés de liberté) : au seuil de $5\,\%$ , on rejette $H_{0}$ ; la germination dépend du traitement reçu. »

Le piège : Écrire « on accepte H0 » ou « les variables sont indépendantes » quand on ne rejette pas.

Barème : 1 point les hypothèses, 2 points les effectifs théoriques et la condition, 3 points la statistique et les degrés de liberté, 1 point la décision, 3 points la conclusion en contexte.

Rédiger une régression linéaire

Quand l'utiliser : L'énoncé donne des couples de mesures et demande un modèle, son interprétation et une prédiction.

1 Décrire le nuage : sens, forme, intensité, points isolés.
2 Écrire $S_{xx}$ , $S_{xy}$ , $S_{yy}$ avec leurs valeurs, puis $a=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}$ et $b=\overline{y}-a\overline{x}$ .
3 Interpréter la pente avec ses unités, et l'ordonnée à l'origine seulement si x = 0 a un sens.
4 Donner $r$ , puis $r^{2}$ en pourcentage de variation expliquée.
5 Prédire, en disant si c'est une interpolation ou une extrapolation.

Phrase de conclusion

« $\hat{L}\approx 1{,}98F+12{,}0$ : chaque newton allonge le ressort d'environ $1{,}98$ cm ; $r^{2}\approx 0{,}999$ , la relation linéaire explique $99{,}9\,\%$ de la variation de la longueur entre $0$ et $5$ N. »

Le piège : Interpréter l'ordonnée à l'origine quand x = 0 est hors de la plage (une latitude 0, une couleuvre de longueur nulle).

Barème : 1 point le nuage, 3 points les sommes et la droite, 2 points les interprétations, 2 points r et r², 2 points la prédiction et sa réserve.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

La droite passe par le point moyen

Remplacez $x$ par $\overline{x}$ dans votre équation : vous devez retrouver $\overline{y}$ .

$1{,}983\times 2{,}5+12{,}04\approx 17{,}0=\overline{L}$ : la droite du ressort est juste. Un résultat de $15{,}2$ dit qu'une somme est fausse.
Le signe de r et celui de la pente

$r$ et $a$ ont toujours le même signe, celui de $S_{xy}$ , et le nuage doit monter ou descendre dans ce sens.

Un nuage qui descend avec $r=+0{,}93$ trahit une erreur de signe dans $S_{xy}$ .
Les effectifs théoriques redonnent les totaux

Sommez les effectifs théoriques d'une ligne : vous devez retrouver le total observé de la ligne, au centième près.

$17{,}4+17{,}4+23{,}2=58$ pour les hortensias bleus : juste. Un total de $60$ signale une case calculée avec le mauvais total.
Les ordres de grandeur

$-1\le r\le 1$ , $0\le r^{2}\le 1$ , $\chi^{2}\ge 0$ , et chaque $(O-E)$ d'une ligne d'un tableau à deux colonnes a la valeur opposée dans l'autre colonne.

Un $r^{2}$ de $1{,}04$ ou un $\chi^{2}$ négatif disent qu'il faut recommencer le calcul, pas l'interpréter.

L'exercice type décortiqué

Un test du khi-carré sur un tableau deux sur deux

Une mycologue visite $120$ placettes, $60$ en forêt de résineux et $60$ en forêt de feuillus, et note si une espèce de champignon y est présente. Elle la trouve dans $18$ placettes de résineux et dans $30$ placettes de feuillus.

Au seuil de $5\,\%$ , la présence du champignon dépend-elle du type de forêt ? Valeur critique à $1$ degré de liberté : $3{,}841$ .

Étape 1

Tableau : résineux, $18$ présences et $42$ absences ; feuillus, $30$ et $30$ . Totaux : $48$ présences, $72$ absences, $60$ par type, $n=120$ .

Pourquoi

On remet d'abord les données en tableau de contingence avec ses totaux : tous les calculs suivants en sortent, et un total faux se voit tout de suite.

Étape 2

$H_{0}$ : la présence est indépendante du type de forêt. $E_{\text{présent}}=\dfrac{48\times 60}{120}=24$ dans chaque colonne, $E_{\text{absent}}=\dfrac{72\times 60}{120}=36$ .

Pourquoi

Les effectifs théoriques décrivent le monde où H0 est vraie ; tous dépassent 5, et le dire rapporte le point de la condition.

Étape 3

$\chi^{2}=\dfrac{(18-24)^{2}}{24}+\dfrac{(30-24)^{2}}{24}+\dfrac{(42-36)^{2}}{36}+\dfrac{(30-36)^{2}}{36}=1{,}5+1{,}5+1+1=5$

Pourquoi

Écrire les quatre contributions montre la démarche au correcteur et révèle d'où vient l'écart ; dans un deux sur deux, les quatre écarts ont la même valeur absolue, ici 6.

Étape 4

Degrés de liberté : $(2-1)(2-1)=1$ . Comme $5>3{,}841$ , on rejette $H_{0}$ au seuil de $5\,\%$ .

Pourquoi

Le bon nombre de degrés de liberté choisit la bonne valeur critique : avec 3 au lieu de 1, on lirait 7,815 et l'on ne rejetterait plus.

Étape 5

Vérification : à $1$ degré de liberté, $\chi^{2}=Z^{2}$ , donc la valeur p vaut $P(|Z|>\sqrt{5})=2\left(1-\Phi(2{,}24)\right)\approx 0{,}025<0{,}05$ .

Pourquoi

Un contrôle indépendant de la table du khi-carré : la loi à 1 degré de liberté est celle du carré d'une normale centrée réduite, et la valeur p confirme la décision.

Conclusion rédigée

Au seuil de $5\,\%$ , la présence de ce champignon est associée au type de forêt : on le trouve dans $50\,\%$ des placettes de feuillus contre $30\,\%$ des placettes de résineux. L'étude est une observation : elle n'établit pas que l'arbre lui-même en est la cause.

L'erreur classique sur cet exercice : Calculer les effectifs théoriques avec $n=60$ au lieu de $120$ , ou écrire $2\times 2-1=3$ degrés de liberté : la valeur critique devient $7{,}815$ et la conclusion s'inverse.

À savoir par cœur

• $a=\dfrac{S_{xy}}{S_{xx}}$ , $b=\overline{y}-a\overline{x}$ : la droite des moindres carrés passe par $(\overline{x}\,;\overline{y})$ .
• $r=\dfrac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}$ mesure l'ALIGNEMENT ; $r^{2}$ est la part de variation expliquée, celle qui se lit en pourcentage.
• Interpolation dans la plage des x observés ; extrapolation au-delà, jamais garantie.
• $E=\dfrac{L\times C}{n}$ , $\chi^{2}=\sum\dfrac{(O-E)^{2}}{E}$ sur les EFFECTIFS, $(\ell-1)(c-1)$ degrés de liberté, tous les $E\ge 5$ .
• Rejeter H0 : association. Ne pas rejeter : pas de lien démontré, ce n'est pas une preuve d'indépendance.
• Le mot « effet » seulement si le facteur a été attribué au hasard.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre le coefficient de corrélation et le coefficient de détermination ?

Le coefficient de corrélation r, entre moins 1 et 1, dit à quel point les points sont alignés sur une droite et dans quel sens. Le coefficient de détermination, son carré, donne la part de la variation de y expliquée par la relation linéaire : r égal à 0,9 donne 81 pour cent, pas 90. C'est donc le carré qui s'interprète en pourcentage.

Comment calculer les effectifs théoriques d'un test du khi-carré ?

Pour chaque case, on multiplie le total de sa ligne par le total de sa colonne, puis on divise par l'effectif total. C'est l'effectif qu'on attendrait si les deux variables étaient indépendantes. Les effectifs théoriques d'une ligne ont le même total que les observés, ce qui permet de vérifier le calcul, et ils doivent tous valoir au moins 5 pour que le test soit applicable.

Combien de degrés de liberté pour un test d'indépendance du khi-carré ?

On multiplie le nombre de lignes moins un par le nombre de colonnes moins un, sans compter les totaux. Un tableau de 3 lignes et 4 colonnes en a donc 6, et un tableau 2 sur 2 en a 1. La taille de l'échantillon n'intervient pas : c'est une erreur fréquente d'utiliser n moins 1, qui fait lire la mauvaise valeur critique.

Peut-on prédire avec une droite de régression en dehors des données ?

Seulement avec une grande prudence. À l'intérieur de la plage des valeurs observées de x, la prédiction est une interpolation que les données soutiennent. Au-delà, c'est une extrapolation : rien ne garantit que la relation reste linéaire, et un ressort, une absorbance ou une population changent souvent de comportement. Un coefficient proche de 1 ne change rien à cette règle.

Un test du khi-carré significatif prouve-t-il une relation de cause à effet ?

Non, pas à lui seul. Il montre que les deux variables sont associées. On ne parle d'effet que si l'étude est une expérience où le facteur a été attribué au hasard, par exemple des graines réparties entre traitements. Dans une étude d'observation, une troisième variable peut expliquer le lien, et la conclusion doit s'en tenir au mot associé.

Marque ici la fiche comme lue ou mets-la en favori : un compte gratuit, sans mot de passe, retient tes fiches lues et tes favoris d'une visite à l'autre, te dit quel chapitre attaquer ensuite et te permet de demander la méthode ou l'exercice qui te manque. Crée ton espace, un courriel suffit.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Régression linéaire et test d'indépendance du khi-carré

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

11 exercices corrigés
110 points
180 minutes

Faire les exercices

Il manque quelque chose dans cette fiche ? Une méthode, un piège, un exercice pour l'appliquer, une erreur repérée : dis-le-moi, je lis chaque demande.

L'envoi passe par ton espace gratuit : c'est ce qui me permet de te répondre et de te prévenir quand l'exercice est ajouté. Un courriel suffit, pas de mot de passe. Crée ton espace. Pas envie de créer un compte ? Écris-moi directement.

Fiche précédente Tests d'hypothèse : moyenne, Student et proportion

© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/sn1-regression-khi-carre. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

Voir aussi

Toutes les fiches Tous les exercices Incertitudes et régression au laboratoire

Fiche de révision : régression linéaire et test d'indépendance du khi-carré (201-SN1-RE)

Deux variables : quel outil, quelle question, quelle conclusion

Légende : les mots du tableau

L'essentiel

La droite des moindres carrés et ses trois propriétés

Trois nombres, trois questions différentes

Le khi-carré compare des profils

Les pièges qui coûtent des points

1. Lire le coefficient de corrélation comme un pourcentage

2. Inverser la droite de y en x pour prédire x

3. Prédire hors de la plage observée

4. Juger un point suspect sur r seulement

5. Conclure à l'absence de lien parce que r est presque nul

6. Se tromper de degrés de liberté

7. Calculer le khi-carré sur des pourcentages

8. Prendre un non-rejet pour une preuve d'indépendance

9. Tirer une cause d'une étude d'observation

Quelle méthode choisir

Quel outil selon la nature des deux variables

Que faire selon la forme du nuage

La rédaction attendue

Rédiger un test d'indépendance du khi-carré

Rédiger une régression linéaire

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Un test du khi-carré sur un tableau deux sur deux

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre le coefficient de corrélation et le coefficient de détermination ?

Comment calculer les effectifs théoriques d'un test du khi-carré ?

Combien de degrés de liberté pour un test d'indépendance du khi-carré ?

Peut-on prédire avec une droite de régression en dehors des données ?

Un test du khi-carré significatif prouve-t-il une relation de cause à effet ?

Exercices corrigés : Régression linéaire et test d'indépendance du khi-carré

Voir aussi

Vous cherchez un tuteur en probabilités et statistique 201-SN1-RE à Montréal ?