Le champ magnétique PHS0102 : fiche de révision

Le fil du chapitre

La force magnétique est un produit vectoriel : son sens se CALCULE, avec le signe de la charge, et seule la composante de $\vec B$ perpendiculaire à $\vec v$ compte. Comme elle reste perpendiculaire à la vitesse, elle courbe la trajectoire sans jamais fournir d'énergie.

Notions couvertes

Force de Lorentz
Produit vectoriel
Mouvement circulaire uniforme
Trajectoire hélicoïdale
Sélecteur de vitesse
Spectromètre de masse
Cyclotron
Force de Laplace
Moment magnétique
Effet Hall

L'essentiel

La force sur une charge : un produit vectoriel, signe compris

• $\vec F=q\,\vec v\times\vec B$ , calculée par le déterminant $\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\v_x&v_y&v_z\\B_x&B_y&B_z\end{vmatrix}$ , PUIS multipliée par $q$ avec son signe.
• Module : $F=|q|\,vB\sin\varphi$ , où $\varphi$ est l'angle entre $\vec v$ et $\vec B$ . Une vitesse parallèle au champ ne subit aucune force.
• $\vec F\perp\vec v$ : la puissance $\vec F\cdot\vec v$ est nulle, l'énergie cinétique ne change pas. Seule la direction de la vitesse tourne.
• Même vitesse, même champ : un proton et un électron tournent en sens opposés, sur des rayons dans le rapport $\dfrac{m_p}{m_e}=1833$ .

Même vitesse, même champ entrant : la force pointe vers le centre, au-dessus pour le proton, en dessous pour l'électron, d'où deux sens de rotation opposés (rayons non à l'échelle).

Écrire les deux produits scalaires $\vec F\cdot\vec v=0$ et $\vec F\cdot\vec B=0$ à la fin d'un calcul en composantes : c'est une vérification qui se voit et qui se note.

Le mouvement dans un champ uniforme

• Cercle si $\vec v\perp\vec B$ : $r=\dfrac{mv}{|q|B}$ et $T=\dfrac{2\pi m}{|q|B}$ , indépendante de la vitesse.
• Hélice si $\vec v$ est oblique : on décompose $v_\parallel=v\cos\varphi$ et $v_\perp=v\sin\varphi$ . Rayon avec $v_\perp$ , pas $p=v_\parallel T$ avec $v_\parallel$ .
• Sélecteur de vitesse : $\vec E$ et $\vec B$ croisés, $qE=qvB$ , donc $v=\dfrac{E}{B}$ quelles que soient la masse et la charge.
• Spectromètre : à vitesse fixée, $r\propto m$ ; l'ion revient sur la paroi à $2r$ de la fente. Cyclotron : $f=\dfrac{|q|B}{2\pi m}$ et $K_{\max}=\dfrac{(qBR)^{2}}{2m}$ .

Conducteurs, bobines, effet Hall

• Fil : $d\vec F=I\,d\vec l\times\vec B$ . Dans un champ UNIFORME, $\vec F=I\,\vec L\times\vec B$ avec $\vec L$ de l'entrée à la sortie : un arc et sa corde subissent la même force, une boucle fermée aucune.
• Bobine : $\vec\mu=NIA\,\vec n$ (main droite), $\vec\tau=\vec\mu\times\vec B$ , $U=-\vec\mu\cdot\vec B$ . Équilibre stable pour $\vec\mu$ parallèle à $\vec B$ .
• Effet Hall : $V_H=\dfrac{IB}{n|q|t}$ , avec $t$ l'épaisseur traversée par $\vec B$ . Le signe de $V_H$ donne le signe des porteurs.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Calculer la force sur un électron par le déterminant.

toute la question, et la suite qui en dépend

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\vec F=\vec v\times\vec B=(0{,}20\,\vec i+3{,}00\,\vec j+1{,}10\,\vec k)\times10^{3}$ , multiplié par $e$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\vec F=q\,\vec v\times\vec B$ avec $q=-e$ : $\vec F=(-0{,}320\,\vec i-4{,}80\,\vec j-1{,}76\,\vec k)\times10^{-16}$ N. »

Pourquoi : Le déterminant donne la force sur une charge positive. Pour un électron, les trois composantes changent de signe : la force dessinée ou utilisée ensuite est à l'envers.

2. Un proton va selon $+\vec i$ dans $\vec B=(0{,}0919\,\vec i+0{,}0771\,\vec j)$ T.

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $F=evB$ avec $B=0{,}12$ T. »

Ce qu'il faut écrire

« $\vec i\times\vec i=\vec 0$ : seule $B_y$ agit, $\vec F=e\,v\,B_y\,\vec k$ . »

Pourquoi : La composante du champ parallèle à la vitesse ne donne aucune force. Prendre le module total revient à supposer $\sin\varphi=1$ ; ici on surestime la force de 56 %.

3. Calculer le rayon d'une hélice dont la vitesse fait 30° avec le champ.

2 points par grandeur fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $r=\dfrac{mv}{|q|B}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $r=\dfrac{mv_\perp}{|q|B}$ avec $v_\perp=v\sin30^\circ$ , et le pas $p=v_\parallel T$ avec $v_\parallel=v\cos30^\circ$ . »

Pourquoi : La composante parallèle ne tourne pas, elle avance : elle fait le pas, pas le rayon. À 30°, l'erreur double le rayon.

4. Force sur un arc de 120° de rayon $R$ dans un champ uniforme perpendiculaire.

3 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $F=IBL$ avec $L=\dfrac{2\pi}{3}R$ , la longueur de l'arc. »

Ce qu'il faut écrire

« Les $d\vec F$ ne sont pas parallèles : on intègre leurs composantes, et on trouve $F=IB\,R\sqrt3$ , la force sur la corde AC. »

Même entrée A, même sortie C, même champ uniforme : l'arc et la corde subissent la même force,

I\,\overrightarrow{AC}\times\vec B

Pourquoi : Additionner des modules de vecteurs de directions différentes surestime la somme ; ici de 21 %. Dans un champ uniforme, seul le vecteur de l'entrée à la sortie compte.

5. Distance entre deux isotopes sur le détecteur d'un spectromètre.

la moitié de la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\Delta=r_2-r_1$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Chaque ion revient sur la paroi après un demi-tour, à $2r$ de la fente : $\Delta=2(r_2-r_1)$ . »

Pourquoi : Le point d'impact est au bout du diamètre, pas du rayon. Un schéma rapide du demi-cercle évite l'erreur.

6. Énergie gagnée par un proton dans un cyclotron.

2 points, et le nombre de tours faux du double

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le champ magnétique accélère le proton à chaque tour ; il gagne $e\,\Delta V$ par tour. »

Ce qu'il faut écrire

« La force magnétique ne travaille pas. Le proton gagne $e\,\Delta V$ à chacune des DEUX traversées de l'intervalle : $2e\,\Delta V$ par tour. »

Pourquoi : $\vec F_B\perp\vec v$ : le champ magnétique ne fait que ramener le proton vers l'intervalle. L'énergie vient du champ électrique entre les dees.

7. Moment de force sur une bobine dont $\vec\mu$ fait 53,1° avec $\vec B$ .

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\tau=\mu B$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\vec\tau=\vec\mu\times\vec B$ , de module $\mu B\sin53{,}1^\circ$ ; en composantes, on calcule le produit vectoriel. »

Pourquoi : $\mu B$ est le moment MAXIMAL, atteint pour $\vec\mu\perp\vec B$ . À l'équilibre stable, le moment est nul alors que l'énergie $U=-\mu B$ est minimale.

8. Lire le signe des porteurs d'une plaquette de Hall.

toute la question de signe

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La force magnétique pousse les porteurs vers la face C, donc ce sont des charges positives qui s'y accumulent. »

Ce qu'il faut écrire

« Positifs ou négatifs, les porteurs sont poussés vers la même face. Si $V_A-V_C>0$ , la face C est négative : les porteurs sont des électrons. »

Même courant, même champ sortant : la force pousse vers le bas dans les deux cas, mais la face du bas devient positive pour des porteurs positifs, négative pour des électrons.

Pourquoi : Changer le signe de la charge change aussi le sens de sa vitesse pour un même courant : les deux signes se compensent dans $q\,\vec v\times\vec B$ . Seule la polarité mesurée tranche.

Quelle méthode choisir

Quelle relation selon la situation

Regarder ce qui bouge (une charge, un fil, une boucle, des porteurs) et l'angle entre la vitesse et le champ.

Si une charge, $\vec v\perp\vec B$ , champ uniforme → cercle : $r=\dfrac{mv}{|q|B}$ , $T=\dfrac{2\pi m}{|q|B}$

Exemple : proton à $1{,}50\times10^{5}$ m/s dans $0{,}20$ T : $r=7{,}83$ mm
Si une charge, $\vec v$ oblique sur $\vec B$ → hélice : $v_\perp$ pour le rayon, $v_\parallel$ pour le pas

Exemple : $v=2{,}65\times10^{7}$ m/s à 30° : $v_\perp=1{,}33\times10^{7}$ m/s
Si $\vec E$ et $\vec B$ croisés, trajectoire rectiligne → sélecteur : $v=\dfrac{E}{B}$

Exemple : $E=1{,}20\times10^{4}$ V/m, $B=0{,}080$ T : $v=1{,}50\times10^{5}$ m/s
Si un fil dans un champ uniforme → $\vec F=I\,\vec L\times\vec B$ , $\vec L$ de l'entrée à la sortie

Exemple : arc de 120°, $R=6{,}0$ cm : $L=R\sqrt3=10{,}4$ cm
Si un fil dans un champ NON uniforme → intégrer $d\vec F=I\,d\vec l\times\vec B$ composante par composante

c'est le cas du cadre près d'un long fil, au chapitre suivant
Si une boucle fermée dans un champ uniforme → force nulle ; $\vec\tau=\vec\mu\times\vec B$ et $U=-\vec\mu\cdot\vec B$

Exemple : $\mu=0{,}0750$ A·m², $B=0{,}30$ T : $\tau_{\max}=22{,}5$ mN·m

Si la question parle d'énergie gagnée, chercher le champ électrique : le champ magnétique n'en fournit jamais.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Calculer une force magnétique en composantes

Quand l'utiliser : L'énoncé donne $\vec v$ et $\vec B$ en $\vec i$ , $\vec j$ , $\vec k$ , ou des directions à traduire en composantes.

1 Écrire $\vec v$ et $\vec B$ en composantes, unités SI ou puissances de dix mises en facteur.
2 Poser le déterminant, lignes $\vec i\ \vec j\ \vec k$ , puis $\vec v$ , puis $\vec B$ , dans cet ordre.
3 Développer composante par composante, une ligne par composante.
4 Multiplier par $q$ AVEC son signe.
5 Vérifier $\vec F\cdot\vec v=0$ et $\vec F\cdot\vec B=0$ , puis donner le module.

Phrase de conclusion

« $\vec F=q\,\vec v\times\vec B=(\dots)\,\vec i+(\dots)\,\vec j+(\dots)\,\vec k$ N ; on vérifie que $\vec F\cdot\vec v=\vec F\cdot\vec B=0$ . »

Le piège : Inverser l'ordre : $\vec B\times\vec v=-\vec v\times\vec B$ donne la force opposée.

Barème : un point par composante juste, un point pour le module, la vérification rattrape souvent une composante

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Les deux produits scalaires

Calculer $\vec F\cdot\vec v$ et $\vec F\cdot\vec B$ avec les composantes trouvées : les deux doivent être nuls.

$(-0{,}32)(4{,}0)+(-4{,}80)(-1{,}0)+(-1{,}76)(2{,}0)=0$ : juste. Un résultat de $-6{,}4$ signale une composante fausse.
Le sens par la main droite

Contrôler une composante simple à la main droite (doigts selon $\vec v$ , replier vers $\vec B$ , pouce selon $\vec v\times\vec B$ ), puis inverser pour une charge négative.

$\vec i\times\vec j=\vec k$ : un proton vers $+x$ dans $B_y>0$ est poussé vers $+z$ .
L'ordre de grandeur du rayon

Un ion de quelques keV dans un champ de l'ordre du dixième de tesla tourne sur quelques centimètres ; un électron, sur des dixièmes de millimètre.

Trouver 7,8 m au lieu de 7,8 cm pour un ion de bore sous 0,20 T signale une puissance de dix perdue en route.
La durée ne dépend pas de la vitesse

Si un résultat de période ou de demi-tour change avec la vitesse, la formule est fausse : $T=\dfrac{2\pi m}{|q|B}$ .

Bore 10 dans 0,20 T : $1{,}63\ \mu$ s le demi-tour, à $1{,}5\times10^{5}$ comme à $3{,}0\times10^{5}$ m/s.

L'exercice type décortiqué

Séparer le lithium 6 du lithium 7

Des ions $^{6}\mathrm{Li}^{+}$ ( $6{,}015$ u) et $^{7}\mathrm{Li}^{+}$ ( $7{,}016$ u), de charge $+e$ , se déplacent selon $+\vec i$ et traversent un sélecteur où règnent $E=2{,}0\times10^{4}$ V/m et $\vec B_1=-0{,}10\,\vec k$ T. Ils entrent ensuite dans un spectromètre où $\vec B_2=-0{,}25\,\vec k$ T et frappent le détecteur après un demi-tour. Données : $e=1{,}60\times10^{-19}$ C, $1\ \mathrm{u}=1{,}66\times10^{-27}$ kg.

Trouver le sens de $\vec E$ , la vitesse sélectionnée, les rayons et l'écart entre les points d'impact.

Étape 1

$\vec F_B=e\,v\,\vec i\times(-B_1\vec k)=e\,vB_1\,\vec j$ : vers $+\vec j$ . Il faut $e\vec E$ vers $-\vec j$ , donc $\vec E=-E\,\vec j$ .

Pourquoi

Le sens des plaques se décide par le produit vectoriel, jamais à l'œil : c'est un point à lui seul.

Étape 2

$eE=evB_1$ , donc $v=\dfrac{E}{B_1}=\dfrac{2{,}0\times10^{4}}{0{,}10}=2{,}0\times10^{5}$ m/s.

Pourquoi

Masse et charge se simplifient : les deux isotopes sortent à la même vitesse, ce qui rend la séparation proportionnelle à la masse.

Étape 3

$r_6=\dfrac{m_6v}{eB_2}=\dfrac{(6{,}015\times1{,}66\times10^{-27})(2{,}0\times10^{5})}{(1{,}60\times10^{-19})(0{,}25)}=4{,}99$ cm et $r_7=5{,}82$ cm.

Pourquoi

La masse se convertit en kilogrammes AVANT le calcul ; le rayon est proportionnel à $m$ .

Étape 4

$\Delta=2(r_7-r_6)=2(5{,}82-4{,}99)=1{,}66$ cm.

Pourquoi

Le facteur 2 du diamètre est le piège du chapitre : il vaut la moitié de la question.

Étape 5

Contrôle : $K=\dfrac{1}{2}m_6v^{2}=2{,}00\times10^{-16}$ J $\approx1{,}25$ keV, et des rayons de quelques centimètres sous 0,25 T.

Pourquoi

Des ions de l'ordre du keV dans un champ de quelques dixièmes de tesla tournent sur quelques centimètres : l'ordre de grandeur est cohérent.

Conclusion rédigée

$\vec E$ pointe vers $-\vec j$ , $v=2{,}0\times10^{5}$ m/s, $r_6=4{,}99$ cm, $r_7=5{,}82$ cm, et les impacts sont séparés de $1{,}66$ cm.

L'erreur classique sur cet exercice : Répondre $\Delta=r_7-r_6=0{,}83$ cm, ou laisser les masses en unités atomiques, ce qui donne des rayons absurdes, de l'ordre de $10^{25}$ m.

À savoir par cœur

• $\vec F=q\,\vec v\times\vec B$ : déterminant, puis le SIGNE de $q$ .
• La force magnétique ne travaille jamais : l'énergie vient d'un champ électrique.
• $r=\dfrac{mv_\perp}{|q|B}$ , $T=\dfrac{2\pi m}{|q|B}$ ne dépend PAS de la vitesse, pas $p=v_\parallel T$ .
• Sélecteur : $v=\dfrac{E}{B}$ . Spectromètre : impact à $2r$ . Cyclotron : deux traversées par tour.
• Champ uniforme : un fil courbe subit la force de sa corde, une boucle fermée une force nulle mais un couple $\vec\mu\times\vec B$ .
• Hall : $V_H=\dfrac{IB}{n|q|t}$ ; le signe de $V_H$ donne le signe des porteurs.

Questions fréquentes

Comment trouver le sens de la force magnétique sur un électron ?

On calcule le produit vectoriel de la vitesse par le champ, par le déterminant ou par la règle de la main droite, ce qui donne le sens pour une charge positive. Pour un électron, on inverse ensuite le résultat, parce que sa charge est négative. Un proton et un électron de même vitesse dans le même champ subissent donc des forces opposées et tournent en sens contraires.

Pourquoi la force magnétique ne change-t-elle pas la vitesse d'une particule ?

Parce qu'elle est toujours perpendiculaire à la vitesse. Sa puissance, produit scalaire de la force par la vitesse, est nulle à chaque instant : elle ne fournit aucun travail et l'énergie cinétique reste constante. Elle change seulement la direction du mouvement, ce qui donne un cercle ou une hélice dans un champ uniforme. Pour accélérer une particule, il faut un champ électrique.

Quelle est la différence entre un cercle et une hélice dans un champ magnétique ?

Si la vitesse est perpendiculaire au champ, la particule décrit un cercle. Si elle est oblique, on la décompose : la partie perpendiculaire tourne et fixe le rayon, la partie parallèle avance à vitesse constante le long du champ et fixe le pas. La combinaison des deux est une hélice dont l'axe est parallèle au champ.

Comment l'effet Hall donne-t-il le signe des porteurs de charge ?

Pour un même courant, des porteurs positifs et des électrons sont poussés vers la même face de la plaquette, car le signe de la charge et le sens de la vitesse changent ensemble. Mais cette face devient positive dans le premier cas et négative dans le second. On mesure donc la tension entre les faces : son signe dit si les porteurs sont positifs ou négatifs.

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Exercices corrigés : Le champ magnétique

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

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Les sources du champ magnétique

© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/phs0102-champ-magnetique. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

Voir aussi

Toutes les fiches Tous les exercices L'induction électromagnétique (PHS0102)Examen final blanc (PHS0102)

Fiche de révision : le champ magnétique (PHS0102, Polytechnique)

L'essentiel

La force sur une charge : un produit vectoriel, signe compris

Le mouvement dans un champ uniforme

Conducteurs, bobines, effet Hall

Les pièges qui coûtent des points

1. Calculer la force sur un électron par le déterminant.

2. Un proton va selon $+\vec i$ dans $\vec B=(0{,}0919\,\vec i+0{,}0771\,\vec j)$ T.

3. Calculer le rayon d'une hélice dont la vitesse fait 30° avec le champ.

4. Force sur un arc de 120° de rayon $R$ dans un champ uniforme perpendiculaire.

5. Distance entre deux isotopes sur le détecteur d'un spectromètre.

6. Énergie gagnée par un proton dans un cyclotron.

7. Moment de force sur une bobine dont $\vec\mu$ fait 53,1° avec $\vec B$ .

8. Lire le signe des porteurs d'une plaquette de Hall.

Quelle méthode choisir

Quelle relation selon la situation

La rédaction attendue

Calculer une force magnétique en composantes

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Séparer le lithium 6 du lithium 7

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Comment trouver le sens de la force magnétique sur un électron ?

Pourquoi la force magnétique ne change-t-elle pas la vitesse d'une particule ?

Quelle est la différence entre un cercle et une hélice dans un champ magnétique ?

Comment l'effet Hall donne-t-il le signe des porteurs de charge ?

Exercices corrigés : Le champ magnétique

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La force sur une charge : un produit vectoriel, signe compris

Le mouvement dans un champ uniforme

Conducteurs, bobines, effet Hall

Les pièges qui coûtent des points

1. Calculer la force sur un électron par le déterminant.

2. Un proton va selon +i⃗+\vec i+i dans B⃗=(0,0919 i⃗+0,0771 j⃗)\vec B=(0{,}0919\,\vec i+0{,}0771\,\vec j)B=(0,0919i+0,0771j​) T.

3. Calculer le rayon d'une hélice dont la vitesse fait 30° avec le champ.

4. Force sur un arc de 120° de rayon RRR dans un champ uniforme perpendiculaire.

5. Distance entre deux isotopes sur le détecteur d'un spectromètre.

6. Énergie gagnée par un proton dans un cyclotron.

7. Moment de force sur une bobine dont μ⃗\vec\muμ​ fait 53,1° avec B⃗\vec BB.

8. Lire le signe des porteurs d'une plaquette de Hall.

Quelle méthode choisir

Quelle relation selon la situation

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Calculer une force magnétique en composantes

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Séparer le lithium 6 du lithium 7

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Comment trouver le sens de la force magnétique sur un électron ?

Pourquoi la force magnétique ne change-t-elle pas la vitesse d'une particule ?

Quelle est la différence entre un cercle et une hélice dans un champ magnétique ?

Comment l'effet Hall donne-t-il le signe des porteurs de charge ?

Exercices corrigés : Le champ magnétique

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2. Un proton va selon $+\vec i$ dans $\vec B=(0{,}0919\,\vec i+0{,}0771\,\vec j)$ T.

4. Force sur un arc de 120° de rayon $R$ dans un champ uniforme perpendiculaire.

7. Moment de force sur une bobine dont $\vec\mu$ fait 53,1° avec $\vec B$ .