Spécialité physique-chimie, Terminale • Fiche de révision à Montréal

Fiche de révision : satellites et lois de Kepler (Terminale spécialité)

Un satellite en orbite circulaire est le système le plus économique de la physique de Terminale : une seule force, une seule équation, et tout le reste en découle. Le calcul ne pose aucune difficulté. Ce qui coûte des points, c'est l'intuition, parce qu'elle est fausse : monter plus haut ralentit, et la masse du satellite ne sert jamais.

Cette fiche liste les huit endroits où les points partent, avec la phrase exacte qui les remet, l'arbre qui dit quelle relation employer selon ce que l'énoncé fournit, la comparaison entre orbite circulaire et orbite elliptique, et le calcul complet de l'orbite géostationnaire décortiqué étape par étape.

Mis à jour le 11 octobre 2026

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Le fil du chapitre

En orbite, la masse du satellite disparaît de tout : sa vitesse et sa période ne dépendent que de l'astre et du rayon. Et « plus haut » veut dire MOINS VITE, ce qui est contre-intuitif et se paie cher à chaque examen.

Ce chapitre fait partie de Spécialité physique-chimie en Terminale

Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 15 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Mouvement dans un champ uniforme Exercices

Remonter plus loin : la chaîne complète (10 chapitres, les plus proches) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1 Les fonctions affines Troisième, Mathématiques
2 Équations, équations produit et inéquations Troisième, Mathématiques
3 Poids, gravitation et signaux Troisième
4 Vecteurs et géométrie repérée Seconde, Mathématiques
5 Généralités sur les fonctions Seconde, Mathématiques
6 Fonctions affines et systèmes Seconde, Mathématiques
7 Mouvement et interactions Seconde
8 La dérivation Première, Mathématiques
9 Mouvement, Newton et champs Première
10 Mouvement dans un champ uniforme

L'essentiel

Mouvement circulaire uniforme : la norme est constante, pas le vecteur

• Uniforme veut dire que la NORME de la vitesse ne change pas. La DIRECTION change en permanence, donc le vecteur vitesse change, donc l'accélération n'est pas nulle.
• Cette accélération est CENTRIPÈTE, dirigée vers le centre, et vaut $a=\frac{v^{2}}{r}=\frac{4\pi^{2}r}{T^{2}}$ .
• Le vecteur vitesse est TANGENT à la trajectoire, le vecteur accélération lui est perpendiculaire : c'est ce qui fait tourner sans accélérer.
• La deuxième loi de Newton appliquée à la seule force gravitationnelle donne $\frac{GMm}{r^{2}}=m\frac{v^{2}}{r}$ , et la masse $m$ du satellite se simplifie.

En trois points de l'orbite, la vitesse (sarcelle) est tangente et garde la même longueur ; l'accélération (brun) pointe vers la Terre. Perpendiculaire à la vitesse, elle la fait tourner sans changer sa norme.

C'est cette simplification qui explique pourquoi un astronaute flotte à côté de sa station : les deux ont exactement la même accélération, quelle que soit leur masse.

Les deux formules d'orbite circulaire, et ce qu'elles ne contiennent pas

• $v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$ : la vitesse DIMINUE quand le rayon augmente. Un satellite bas va vite, un satellite haut va lentement.
• $T=2\pi\sqrt{\frac{r^{3}}{GM}}$ : la période AUGMENTE quand le rayon augmente, et plus vite que le rayon.
• Aucune des deux ne contient la masse du satellite : deux satellites de masses différentes sur la même orbite ont exactement la même vitesse et la même période.
• $r$ est le rayon depuis le CENTRE de l'astre, pas l'altitude : $r=R+h$ , et pour la Terre $R=6\,371\ \mathrm{km}$ .

À l'échelle : la Station, à

400\ \mathrm{km}

d'altitude, file à

7{,}67\ \mathrm{km/s}

; le satellite géostationnaire, six fois plus loin du centre, à

3{,}07\ \mathrm{km/s}

. Plus haut, moins vite.

Le lien entre les deux est immédiat : $v=\frac{2\pi r}{T}$ , puisque le satellite parcourt un cercle complet à vitesse constante. C'est le contrôle le plus rapide de tout le chapitre.

Les trois lois de Kepler

• Première loi : l'orbite est une ELLIPSE dont l'astre attracteur occupe un foyer, jamais le centre. Le cercle en est le cas particulier.
• Deuxième loi, dite loi des aires : le rayon balaie des aires égales en des durées égales. Le satellite va donc plus VITE au périastre et plus lentement à l'apoastre, avec $r_{P}v_{P}=r_{A}v_{A}$ .
• Troisième loi : $\frac{T^{2}}{a^{3}}=\frac{4\pi^{2}}{GM}$ , la même constante pour tous les satellites d'un même astre. C'est elle qui permet de PESER cet astre.
• $a$ est le demi-grand axe de l'ellipse; pour un cercle, il vaut simplement le rayon.

Le Soleil occupe un foyer, l'autre

F'

est vide. Les deux secteurs orangés, balayés en des durées égales, ont la même aire : la planète va donc plus vite en

P

qu'en

A

a

est le demi-grand axe.

Le mouvement circulaire est UNIFORME, et cela se démontre

• Dans le repère de Frenet, lié au satellite : $\vec{a}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\vec{u}_{t}+\frac{v^{2}}{r}\vec{u}_{n}$ , avec $\vec{u}_{t}$ tangent au cercle et $\vec{u}_{n}$ dirigé vers le centre.
• La force gravitationnelle est portée par $\vec{u}_{n}$ : $\vec{F}=\frac{GMm}{r^{2}}\vec{u}_{n}$ . Elle n'a AUCUNE composante tangentielle.
• Projetée sur $\vec{u}_{t}$ , la deuxième loi de Newton donne $m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=0$ : la norme de la vitesse est constante, le mouvement est uniforme.
• Projetée sur $\vec{u}_{n}$ , elle donne $m\frac{v^{2}}{r}=\frac{GMm}{r^{2}}$ , d'où $v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$ .

La force gravitationnelle (rouge) est portée par

\vec{u}_{n}

et n'a rien sur

\vec{u}_{t}

: projetée sur

\vec{u}_{t}

, la loi de Newton donne

\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=0

, le mouvement est uniforme.

Uniforme est une CONSÉQUENCE de la loi de Newton, pas une donnée de l'énoncé. Une question « montrer que le mouvement est uniforme » attend exactement la projection sur $\vec{u}_{t}$ .

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Déclarer l'accélération nulle parce que le mouvement est uniforme

toute la question, et le bilan des forces devient absurde

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le mouvement est circulaire uniforme, donc la vitesse est constante et l'accélération est nulle. »

Ce qu'il faut écrire

« Le mouvement est uniforme, donc la NORME de la vitesse est constante. Sa direction change en permanence, donc le vecteur vitesse varie et l'accélération vaut $a=\frac{v^{2}}{r}$ , dirigée vers le centre. »

Pourquoi : L'accélération mesure la variation du VECTEUR vitesse, direction comprise. Une accélération nulle imposerait un mouvement rectiligne uniforme, donc un satellite qui part en ligne droite au lieu de tourner.

2. Croire qu'un satellite plus haut va plus vite

1 à 2 points, et une contradiction avec la troisième loi de Kepler

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le satellite est plus loin, il doit donc parcourir un plus grand cercle : il va plus vite. »

Ce qu'il faut écrire

« $v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$ : la vitesse DIMINUE quand $r$ augmente. Le satellite haut va moins vite ET a un plus grand tour à faire, ce qui allonge doublement sa période. »

En fonction du rayon d'orbite, la vitesse s'écrase vers le bas pendant que la période s'envole. Les deux courbes partent du même point et ne se recroisent jamais : monter, c'est ralentir.

Pourquoi : Plus loin, l'attraction est plus faible, donc la vitesse nécessaire pour rester en orbite est plus petite. La station spatiale, à $400\ \mathrm{km}$ , tourne en $90$ minutes; la Lune, mille fois plus loin, met $27$ jours.

3. Laisser la masse du satellite dans la vitesse ou la période

1 point, et une formule non homogène

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $T=2\pi\sqrt{\frac{mr^{3}}{GM}}$ : un satellite plus lourd met plus de temps. »

Ce qu'il faut écrire

« $T=2\pi\sqrt{\frac{r^{3}}{GM}}$ : la masse du satellite s'est simplifiée dès la deuxième loi de Newton, puisqu'elle apparaît des deux côtés de $\frac{GMm}{r^{2}}=m\frac{v^{2}}{r}$ . »

Pourquoi : Seule la masse de l'ASTRE CENTRAL intervient, dans le $GM$ . C'est la même raison qui fait tomber toutes les billes à la même vitesse : la masse inerte et la masse gravitationnelle se compensent.

4. Prendre le jour solaire pour la période géostationnaire

0,5 à 1 point, et une altitude fausse d'environ

80\ \mathrm{km}

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le satellite géostationnaire a une période de $24\ \mathrm{h}$ , soit $86\,400\ \mathrm{s}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Sa période est le jour SIDÉRAL, durée d'un tour de la Terre sur elle-même par rapport aux étoiles : $86\,164\ \mathrm{s}$ , soit environ $4$ minutes de moins que le jour solaire. »

Pourquoi : Le jour solaire mesure le retour du Soleil au méridien, ce qui inclut le déplacement de la Terre sur son orbite. Le satellite, lui, doit suivre la ROTATION propre de la Terre, qui est un peu plus rapide.

5. Confondre le rayon d'orbite et l'altitude

toute la question, avec une erreur de

15\ \%

sur la vitesse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'altitude vaut $35\,800\ \mathrm{km}$ , donc $r=3{,}58\times 10^{7}\ \mathrm{m}$ dans la formule. »

Ce qu'il faut écrire

« $r$ se compte depuis le CENTRE de la Terre : $r=R_{T}+h=6{,}371\times 10^{6}+3{,}58\times 10^{7}=4{,}22\times 10^{7}\ \mathrm{m}$ . »

Pourquoi : La loi de gravitation fait intervenir la distance entre les CENTRES des deux corps. Oublier le rayon terrestre est sans conséquence pour la Lune, mais catastrophique pour un satellite bas, où l'altitude vaut à peine un vingtième du rayon.

6. Croire que la vitesse est constante sur une orbite elliptique

1 à 2 points, et la loi des aires n'est pas utilisée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le mouvement du satellite est uniforme, donc sa vitesse est la même au périastre et à l'apoastre. »

Ce qu'il faut écrire

« Sur une ellipse, la loi des aires impose $r_{P}v_{P}=r_{A}v_{A}$ : le satellite va PLUS VITE au périastre, là où il est le plus proche, et plus lentement à l'apoastre. Seule l'orbite circulaire est uniforme. »

L'astre occupe un FOYER, jamais le centre : le rayon vaut

1

au périastre

P

9

à l'apoastre

A

. La loi des aires impose donc une vitesse neuf fois plus grande en

P

Pourquoi : La deuxième loi de Kepler dit que le rayon balaie des aires égales en des temps égaux : près de l'astre, le rayon est court, il faut donc un grand angle, donc une grande vitesse. La comète de Halley passe de $54\ \mathrm{km\cdot s^{-1}}$ à $0{,}9\ \mathrm{km\cdot s^{-1}}$ .

7. Poser l'uniformité au lieu de la démontrer

le point de démonstration, souvent 1 point sur la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le satellite a un mouvement circulaire uniforme, donc $a=\frac{v^{2}}{r}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Dans le repère de Frenet, la force gravitationnelle est portée par $\vec{u}_{n}$ . Sur $\vec{u}_{t}$ , la deuxième loi de Newton donne $m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=0$ : la vitesse est constante en norme, le mouvement est uniforme. Sur $\vec{u}_{n}$ : $m\frac{v^{2}}{r}=\frac{GMm}{r^{2}}$ . »

Pourquoi : L'énoncé dit « orbite circulaire », jamais « uniforme » : c'est à la copie de l'établir. Tant que la projection tangentielle n'est pas écrite, $a=\frac{v^{2}}{r}$ est une affirmation, et le correcteur la traite comme telle.

8. Mélanger les unités dans la troisième loi de Kepler

toute l'application numérique, et un résultat absurde non commenté coûte un point de plus

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Io tourne en $T=1{,}769$ jour à $a=4{,}22\times 10^{8}\ \mathrm{m}$ , donc $M=\frac{4\pi^{2}a^{3}}{GT^{2}}\approx 1{,}4\times 10^{37}\ \mathrm{kg}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Avec $G$ en unités SI, $T$ doit être en SECONDES : $T=1{,}769\times 86\,400\approx 1{,}528\times 10^{5}\ \mathrm{s}$ , d'où $M=\frac{4\pi^{2}a^{3}}{GT^{2}}\approx 1{,}90\times 10^{27}\ \mathrm{kg}$ . »

Pourquoi : $G=6{,}67\times 10^{-11}\ \mathrm{N\cdot m^{2}\cdot kg^{-2}}$ impose mètres, secondes et kilogrammes. La fausse réponse pèse sept millions de Soleils pour une planète : le contrôle d'ordre de grandeur suffit à l'arrêter. Seule exception, le rapport de deux troisièmes lois pour un même astre, où jours et unités astronomiques se simplifient.

9. Appliquer la troisième loi de Kepler à deux astres centraux différents

toute la question, environ 2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La Lune tourne autour de la Terre et Io autour de Jupiter, donc $\frac{T^{2}}{a^{3}}$ est le même pour les deux. »

Ce qu'il faut écrire

« La constante $\frac{4\pi^{2}}{GM}$ dépend de la masse $M$ de l'ASTRE CENTRAL : elle est commune à tous les satellites d'un même astre, et différente d'un astre à l'autre. C'est justement cet écart qui permet de peser Jupiter. »

Lune et Io ont des demi-grands axes voisins, mais la Lune met

15

fois plus longtemps : chaque astre central a sa droite, de pente

\frac{4\pi^{2}}{GM}

, et Jupiter pèse

318

Terres.

Pourquoi : La troisième loi n'est universelle que dans sa FORME. Sa constante contient la masse de l'astre attracteur, et la comparer entre deux systèmes revient à comparer deux masses, ce qui est précisément l'exercice classique.

Quelle méthode choisir

Quelle relation employer selon la donnée fournie

On regarde ce que l'énoncé donne et ce qu'il demande. Toutes les relations du chapitre sortent de la même équation de départ.

Si on connaît le rayon $r$ et on cherche la vitesse → $v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$ , sans la masse du satellite

Exemple : $r=4{,}22\times 10^{7}\ \mathrm{m}$ donne $v\approx 3{,}07\ \mathrm{km\cdot s^{-1}}$
Si on connaît le rayon et on cherche la période → $T=2\pi\sqrt{\frac{r^{3}}{GM}}$ , ou plus simplement $T=\frac{2\pi r}{v}$ si $v$ est déjà calculée
Si on connaît la PÉRIODE et on cherche le rayon → élever au carré la troisième loi et isoler : $r=\left(\frac{GMT^{2}}{4\pi^{2}}\right)^{1/3}$

Exemple : le géostationnaire, avec $T=86\,164\ \mathrm{s}$
Si on connaît $T$ et $a$ d'un satellite et on cherche la MASSE de l'astre → $M=\frac{4\pi^{2}a^{3}}{GT^{2}}$ , ce qui est la seule façon de peser une planète à distance

Exemple : peser Jupiter à partir de la période d'Io
Si l'orbite est elliptique et l'énoncé donne les vitesses aux apsides → loi des aires : $r_{P}v_{P}=r_{A}v_{A}$ , et rien d'autre n'est au programme
Si l'énoncé demande de montrer que le mouvement circulaire est uniforme → projeter la deuxième loi de Newton dans le repère de Frenet : la force n'a pas de composante sur $\vec{u}_{t}$ , donc $\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=0$

Toutes ces relations viennent de $\frac{GMm}{r^{2}}=m\frac{v^{2}}{r}$ . Les retrouver en deux lignes est plus sûr que de les apprendre, parce que la simplification de $m$ se fait alors sous les yeux.

Quel référentiel, et quelle force

On nomme le référentiel AVANT le bilan des forces : c'est lui qui dit autour de quoi l'on tourne.

Si un satellite artificiel de la Terre, ou la Lune → le référentiel géocentrique, supposé galiléen ; une seule force, l'attraction gravitationnelle de la Terre
Si une planète, une comète, une sonde entre les planètes → le référentiel héliocentrique ; une seule force, l'attraction du Soleil
Si une lune de Jupiter, une exoplanète autour de son étoile → le référentiel lié au centre de l'astre central, construit comme le géocentrique ; la troisième loi y prend la masse de CET astre

Exemple : Io autour de Jupiter pèse Jupiter, pas le Soleil
Si un satellite en orbite basse, sous $400\ \mathrm{km}$ → l'atmosphère résiduelle freine légèrement : c'est ce qui fait retomber les satellites, mais cela reste hors du calcul demandé
Si l'énoncé propose le référentiel terrestre → à écarter pour un satellite : il tourne avec la Terre, et un satellite géostationnaire y paraît immobile alors qu'il a une accélération centripète

Le mot « supposé galiléen » fait partie de la réponse attendue : le référentiel géocentrique ne l'est qu'approximativement, sur une durée courte devant l'année.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Établir la vitesse et la période d'un satellite en orbite circulaire

Quand l'utiliser : La question centrale du chapitre, présente dans presque tous les sujets de gravitation.

1 Définir le système et le référentiel : « le satellite, de masse $m$ , dans le référentiel géocentrique supposé galiléen ».
2 Faire le bilan des forces : « le satellite n'est soumis qu'à la force d'attraction gravitationnelle exercée par la Terre ».
3 Écrire la deuxième loi de Newton et projeter sur l'axe radial, en signalant que l'accélération est centripète : $\frac{GMm}{r^{2}}=m\frac{v^{2}}{r}$ .
4 SIMPLIFIER $m$ et le dire : « la masse du satellite se simplifie, la vitesse n'en dépend donc pas ».
5 Isoler $v$ , puis obtenir $T$ par $T=\frac{2\pi r}{v}$ .
6 Appliquer numériquement en vérifiant que $r$ est bien mesuré depuis le centre de l'astre.

Phrase de conclusion

La deuxième loi de Newton donne $\frac{GMm}{r^{2}}=m\frac{v^{2}}{r}$ ; la masse du satellite se simplifie et il vient $v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$ , puis $T=\frac{2\pi r}{v}=2\pi\sqrt{\frac{r^{3}}{GM}}$ .

Le piège : Écrire l'accélération sous forme vectorielle sans préciser qu'elle est centripète. La projection sur l'axe radial oriente le signe, et une copie qui ne dit rien du sens perd le point de justification.

Barème : 0,5 point pour le référentiel, 0,5 point pour le bilan des forces, 1 point pour la loi de Newton projetée, 1 point pour la simplification commentée, 1 point pour les deux expressions.

Déterminer l'altitude d'un satellite géostationnaire

Quand l'utiliser : L'exercice classique du chapitre, où l'on part d'une période imposée pour remonter au rayon.

1 Énoncer les trois conditions d'une orbite géostationnaire : circulaire, dans le plan de l'ÉQUATEUR, et de période égale à celle de rotation de la Terre.
2 Donner la période avec la bonne valeur : le jour SIDÉRAL, $86\,164\ \mathrm{s}$ , et non $86\,400\ \mathrm{s}$ .
3 Partir de $T=2\pi\sqrt{\frac{r^{3}}{GM}}$ , élever au carré et isoler $r^{3}$ .
4 Calculer $r$ par une racine cubique, en conservant les puissances de dix séparément.
5 Soustraire le rayon terrestre pour obtenir l'ALTITUDE : $h=r-R_{T}$ .
6 Vérifier l'ordre de grandeur : environ $36\,000\ \mathrm{km}$ , soit près de six rayons terrestres.

Phrase de conclusion

De $T^{2}=\frac{4\pi^{2}r^{3}}{GM}$ on tire $r=\left(\frac{GMT^{2}}{4\pi^{2}}\right)^{1/3}\approx 4{,}22\times 10^{7}\ \mathrm{m}$ , soit une altitude $h=r-R_{T}\approx 3{,}58\times 10^{7}\ \mathrm{m}$ , environ $35\,800\ \mathrm{km}$ .

Le piège : Rendre $r$ comme réponse à une question qui demande l'altitude. Les deux nombres diffèrent de plus de six mille kilomètres, et l'énoncé emploie toujours l'un des deux mots explicitement.

Barème : 0,5 point pour les trois conditions, 1 point pour la période sidérale, 1 point pour l'isolement de $r$ , 1 point pour l'application numérique, 0,5 point pour l'altitude.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Recouper la vitesse et la période

Les deux résultats doivent vérifier $v=\frac{2\pi r}{T}$ . C'est un contrôle indépendant des formules employées, et il attrape toutes les erreurs de puissance de dix.

$\frac{2\pi\times 4{,}22\times 10^{7}}{86\,164}\approx 3{,}08\times 10^{3}\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ , conforme au $v$ calculé.
Vérifier le sens de variation avec le rayon

Une orbite plus haute doit donner une vitesse PLUS PETITE et une période PLUS GRANDE. Deux comparaisons mentales suffisent à détecter une formule inversée.

La station spatiale, à $400\ \mathrm{km}$ , va à $7{,}7\ \mathrm{km\cdot s^{-1}}$ ; le géostationnaire, bien plus haut, à $3{,}1\ \mathrm{km\cdot s^{-1}}$ .
Contrôler l'homogénéité de la troisième loi

$\frac{T^{2}}{a^{3}}$ s'exprime en secondes carrées par mètre cube, et $\frac{4\pi^{2}}{GM}$ aussi. Une formule qui ne l'est pas contient une erreur d'exposant.

Une constante en $\frac{T^{3}}{a^{2}}$ donnerait des unités impossibles : l'exposant est au carré sur la période, au cube sur le demi-grand axe.
Recouper la troisième loi sur deux satellites du même astre

Deux satellites de la Terre doivent donner la MÊME valeur de $\frac{T^{2}}{r^{3}}$ , égale à $\frac{4\pi^{2}}{GM}$ . Un écart signale une altitude prise pour un rayon ou une période en heures.

Station à $r=6{,}771\times 10^{6}\ \mathrm{m}$ et $T\approx 5\,545\ \mathrm{s}$ , géostationnaire à $r=4{,}22\times 10^{7}\ \mathrm{m}$ et $T=86\,164\ \mathrm{s}$ : les deux rapports valent $9{,}9\times 10^{-14}\ \mathrm{s^{2}\cdot m^{-3}}$ .
Comparer l'accélération d'un satellite bas à g

En orbite basse, $a=\frac{GM}{r^{2}}$ reste proche de $g$ : un satellite n'échappe pas à la pesanteur, il tombe en permanence autour de la Terre. Une accélération mille fois plus petite signale des kilomètres laissés dans $r$ .

Station : $\frac{3{,}986\times 10^{14}}{\left(6{,}771\times 10^{6}\right)^{2}}\approx 8{,}7\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}$ , soit $89\ \%$ de la pesanteur au sol.

L'exercice type décortiqué

L'orbite géostationnaire, comme au baccalauréat

Un satellite de télécommunications est placé en orbite géostationnaire autour de la Terre. On donne $G M_{T}=3{,}986\times 10^{14}\ \mathrm{m^{3}\cdot s^{-2}}$ , le rayon terrestre $R_{T}=6{,}371\times 10^{6}\ \mathrm{m}$ et la durée du jour sidéral $T=86\,164\ \mathrm{s}$ .

1. Rappeler les trois conditions d'une orbite géostationnaire. 2. Établir l'expression de la période en fonction du rayon d'orbite. 3. En déduire le rayon puis l'altitude du satellite. 4. Calculer sa vitesse. 5. Vérifier la cohérence des résultats.

Étape 1

Une orbite géostationnaire est circulaire, contenue dans le plan de l'équateur, et de période égale à la période de rotation propre de la Terre, c'est-à-dire le jour sidéral $86\,164\ \mathrm{s}$ .

Pourquoi

Les trois conditions valent chacune un tiers du point. Celle du plan équatorial est la plus oubliée : c'est elle qui interdit un satellite géostationnaire au-dessus de Montréal ou de Paris.

Étape 2

Système : le satellite, de masse $m$ , dans le référentiel géocentrique supposé galiléen. Il n'est soumis qu'à l'attraction terrestre. La deuxième loi de Newton projetée sur l'axe radial donne $\frac{GM_{T}m}{r^{2}}=m\frac{v^{2}}{r}$ , d'où $v^{2}=\frac{GM_{T}}{r}$ .

Pourquoi

La masse $m$ apparaît des deux côtés et se simplifie : c'est la ligne à commenter, car elle explique pourquoi la réponse ne dépendra pas du satellite choisi.

Étape 3

Le mouvement étant circulaire uniforme, $v=\frac{2\pi r}{T}$ . En reportant : $\frac{4\pi^{2}r^{2}}{T^{2}}=\frac{GM_{T}}{r}$ , donc $T^{2}=\frac{4\pi^{2}r^{3}}{GM_{T}}$ , ce qui est la troisième loi de Kepler.

Pourquoi

On retrouve la loi de Kepler au lieu de la citer : cela vaut le même point et évite l'erreur d'exposant, puisque le carré et le cube apparaissent naturellement.

Étape 4

$r^{3}=\frac{GM_{T}T^{2}}{4\pi^{2}}=\frac{3{,}986\times 10^{14}\times(86\,164)^{2}}{4\pi^{2}}\approx 7{,}50\times 10^{22}\ \mathrm{m^{3}}$ , donc $r\approx 4{,}22\times 10^{7}\ \mathrm{m}$ .

Pourquoi

On sépare les puissances de dix du reste avant de prendre la racine cubique : $10^{22}$ n'a pas d'exposant divisible par trois, il faut l'écrire $75\times 10^{21}$ pour que la racine tombe juste.

Étape 5

Altitude : $h=r-R_{T}=4{,}22\times 10^{7}-6{,}37\times 10^{6}\approx 3{,}58\times 10^{7}\ \mathrm{m}$ , soit environ $35\,800\ \mathrm{km}$ .

Pourquoi

C'est ici que se joue le piège du chapitre : la question demande une ALTITUDE, donc il faut retirer le rayon terrestre. L'écart entre les deux réponses dépasse six mille kilomètres.

Étape 6

Vitesse : $v=\sqrt{\frac{GM_{T}}{r}}=\sqrt{\frac{3{,}986\times 10^{14}}{4{,}22\times 10^{7}}}\approx 3{,}07\times 10^{3}\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ , soit environ $3{,}1\ \mathrm{km\cdot s^{-1}}$ .

Pourquoi

On utilise $r$ et non $h$ . Employer l'altitude donnerait $3{,}34\ \mathrm{km\cdot s^{-1}}$ , une valeur plausible qui ne déclenche aucune alerte : c'est ce qui rend l'erreur dangereuse.

Étape 7

Contrôle : $\frac{2\pi r}{T}=\frac{2\pi\times 4{,}22\times 10^{7}}{86\,164}\approx 3{,}08\times 10^{3}\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ , conforme. Et $3{,}1\ \mathrm{km\cdot s^{-1}}$ est bien inférieur aux $7{,}7\ \mathrm{km\cdot s^{-1}}$ de la station spatiale, qui orbite beaucoup plus bas.

Pourquoi

Deux vérifications indépendantes : une relation géométrique et une comparaison physique. La seconde confirme le sens de variation, qui est le point le plus contre-intuitif du chapitre.

Conclusion rédigée

Le satellite géostationnaire orbite à $r\approx 4{,}22\times 10^{7}\ \mathrm{m}$ du centre de la Terre, soit une altitude d'environ $35\,800\ \mathrm{km}$ , à la vitesse de $3{,}1\ \mathrm{km\cdot s^{-1}}$ ; cette vitesse est deux fois et demie plus faible que celle de la station spatiale, parce qu'il est bien plus haut.

L'erreur classique sur cet exercice : Utiliser $86\,400\ \mathrm{s}$ au lieu du jour sidéral. Le rayon obtenu vaut alors $4{,}226\times 10^{7}\ \mathrm{m}$ : l'écart de $80\ \mathrm{km}$ paraît minuscule, mais il suffit à faire dériver un satellite réel d'un demi-degré par jour.

À savoir par cœur

• Uniforme veut dire NORME constante : l'accélération centripète $\frac{v^{2}}{r}$ n'est jamais nulle.
• $v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$ et $T=2\pi\sqrt{\frac{r^{3}}{GM}}$ : ni l'une ni l'autre ne contient la masse du satellite.
• Plus haut, MOINS vite, et période plus longue. C'est contre-intuitif et c'est vrai.
• $r$ se compte depuis le CENTRE : $r=R+h$ .
• Géostationnaire : circulaire, ÉQUATORIALE, de période égale au jour sidéral $86\,164\ \mathrm{s}$ , donc $h\approx 35\,800\ \mathrm{km}$ .
• Kepler 3 : $\frac{T^{2}}{a^{3}}=\frac{4\pi^{2}}{GM}$ , constante pour un MÊME astre central, et différente d'un astre à l'autre.
• Loi des aires aux apsides : $r_{P}v_{P}=r_{A}v_{A}$ . Le satellite va plus vite au plus près.
• Orbite circulaire dans un champ newtonien, donc mouvement UNIFORME : la force n'a pas de composante tangentielle.
• Référentiel géocentrique pour un satellite de la Terre, héliocentrique pour une planète, jamais le terrestre.

Questions fréquentes

Pourquoi l'accélération n'est-elle pas nulle dans un mouvement circulaire uniforme ?

Parce que uniforme signifie seulement que la norme de la vitesse ne change pas. Sa direction, elle, change en permanence puisque le mobile tourne. Le vecteur vitesse varie donc, et l'accélération, qui mesure cette variation, est dirigée vers le centre. Sans elle, le mobile partirait tout droit.

Un satellite plus haut va-t-il plus vite ou moins vite ?

Moins vite. La vitesse d'une orbite circulaire vaut la racine carrée du produit de la constante gravitationnelle par la masse de l'astre, divisé par le rayon : elle diminue donc quand le rayon augmente. Comme le tour est en plus plus long, la période s'allonge doublement.

La masse du satellite intervient-elle dans sa période ?

Non, jamais. Elle apparaît des deux côtés de la deuxième loi de Newton, dans la force gravitationnelle et dans le produit masse fois accélération, et elle se simplifie. Seule la masse de l'astre central compte. C'est pour cette raison qu'un astronaute flotte à côté de sa station.

Quelles sont les trois conditions d'une orbite géostationnaire ?

L'orbite doit être circulaire, contenue dans le plan de l'équateur, et de période égale à la période de rotation propre de la Terre, c'est-à-dire le jour sidéral d'environ quatre-vingt-six mille cent soixante-quatre secondes. La condition du plan équatorial est la plus souvent oubliée, et c'est elle qui fixe l'unique orbite possible.

Que dit la loi des aires sur une orbite elliptique ?

Que le segment reliant l'astre au satellite balaie des aires égales pendant des durées égales. Concrètement, le satellite va plus vite quand il est proche et plus lentement quand il est loin, et le produit de la distance par la vitesse est le même aux deux extrémités du grand axe.

Pourquoi un satellite en orbite circulaire va-t-il forcément à vitesse constante ?

Parce que la seule force qu'il subit, l'attraction de l'astre central, est toujours dirigée vers le centre du cercle, perpendiculairement à la vitesse. Elle n'a donc aucune composante le long de la trajectoire et ne peut ni accélérer ni freiner le satellite : elle ne fait que courber sa route. Projetée sur la tangente, la deuxième loi de Newton donne une dérivée de la vitesse nulle.

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Exercices corrigés : Satellites et lois de Kepler

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
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© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/tspc-satellites-kepler. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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