Spécialité physique-chimie, Terminale • Exercices corrigés à Montréal

Fiche de révision : satellites, Kepler et fluides (Terminale spécialité)

Un satellite en orbite circulaire est le système le plus économique de la physique de Terminale : une seule force, une seule équation, et tout le reste en découle. Le calcul ne pose aucune difficulté. Ce qui coûte des points, c'est l'intuition, parce qu'elle est fausse : monter plus haut ralentit, et la masse du satellite ne sert jamais.

Cette fiche liste les huit endroits où les points partent, avec la phrase exacte qui les remet, l'arbre qui dit quelle relation employer selon ce que l'énoncé fournit, la comparaison entre orbite circulaire et orbite elliptique, et le calcul complet de l'orbite géostationnaire décortiqué étape par étape.

Le fil du chapitre

En orbite, la masse du satellite disparaît de tout : sa vitesse et sa période ne dépendent que de l'astre et du rayon. Et « plus haut » veut dire MOINS VITE, ce qui est contre-intuitif et se paie cher à chaque examen.

Ce chapitre fait partie de Spécialité physique-chimie en Terminale

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Mouvement dans un champ uniforme Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (12 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Vecteurs et géométrie repéréeSeconde, Mathématiques
2Généralités sur les fonctionsSeconde, Mathématiques
3Fonctions affines et systèmesSeconde, Mathématiques
4Mouvement et interactionsSeconde
5La dérivationPremière, Mathématiques
6Mouvement, Newton et champsPremière
7Mouvement dans un champ uniforme
8Translations, symétries et rotationsQuatrième, Mathématiques
9La notion de fonctionTroisième, Mathématiques
10Les fonctions affinesTroisième, Mathématiques
11Équations, équations produit et inéquationsTroisième, Mathématiques
12Poids, gravitation et signauxTroisième

Notions couvertes

Mouvement circulaire uniforme
Accélération centripète
Interaction gravitationnelle
Lois de Kepler
Loi des aires
Satellite géostationnaire
Jour sidéral
Énergie mécanique d'un satellite
Poussée d'Archimède
Force de frottement fluide
Vitesse limite

L'essentiel

Mouvement circulaire uniforme : la norme est constante, pas le vecteur

• Uniforme veut dire que la NORME de la vitesse ne change pas. La DIRECTION change en permanence, donc le vecteur vitesse change, donc l'accélération n'est pas nulle.
• Cette accélération est CENTRIPÈTE, dirigée vers le centre, et vaut $a=\frac{v^{2}}{r}=\frac{4\pi^{2}r}{T^{2}}$ .
• Le vecteur vitesse est TANGENT à la trajectoire, le vecteur accélération lui est perpendiculaire : c'est ce qui fait tourner sans accélérer.
• La deuxième loi de Newton appliquée à la seule force gravitationnelle donne $\frac{GMm}{r^{2}}=m\frac{v^{2}}{r}$ , et la masse $m$ du satellite se simplifie.

La vitesse est tangente au cercle, l'accélération pointe vers le centre : les deux sont perpendiculaires. C'est exactement pour cela que la norme de la vitesse ne change pas alors que son vecteur, lui, tourne.

C'est cette simplification qui explique pourquoi un astronaute flotte à côté de sa station : les deux ont exactement la même accélération, quelle que soit leur masse.

Les deux formules d'orbite circulaire, et ce qu'elles ne contiennent pas

• $v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$ : la vitesse DIMINUE quand le rayon augmente. Un satellite bas va vite, un satellite haut va lentement.
• $T=2\pi\sqrt{\frac{r^{3}}{GM}}$ : la période AUGMENTE quand le rayon augmente, et plus vite que le rayon.
• Aucune des deux ne contient la masse du satellite : deux satellites de masses différentes sur la même orbite ont exactement la même vitesse et la même période.
• $r$ est le rayon depuis le CENTRE de l'astre, pas l'altitude : $r=R+h$ , et pour la Terre $R=6\,371\ \mathrm{km}$ .

Le lien entre les deux est immédiat : $v=\frac{2\pi r}{T}$ , puisque le satellite parcourt un cercle complet à vitesse constante. C'est le contrôle le plus rapide de tout le chapitre.

Les trois lois de Kepler

• Première loi : l'orbite est une ELLIPSE dont l'astre attracteur occupe un foyer, jamais le centre. Le cercle en est le cas particulier.
• Deuxième loi, dite loi des aires : le rayon balaie des aires égales en des durées égales. Le satellite va donc plus VITE au périastre et plus lentement à l'apoastre, avec $r_{P}v_{P}=r_{A}v_{A}$ .
• Troisième loi : $\frac{T^{2}}{a^{3}}=\frac{4\pi^{2}}{GM}$ , la même constante pour tous les satellites d'un même astre. C'est elle qui permet de PESER cet astre.
• $a$ est le demi-grand axe de l'ellipse; pour un cercle, il vaut simplement le rayon.

Énergie en orbite, et mouvement dans un fluide

• En orbite circulaire : $E_{c}=\frac{GMm}{2r}$ , $E_{p}=-\frac{GMm}{r}$ , donc $E_{m}=-\frac{GMm}{2r}$ . L'énergie mécanique est NÉGATIVE, ce qui traduit que le satellite est lié.
• Un objet immergé subit trois forces : son poids $P=mg$ , la poussée d'Archimède $\Pi=\rho Vg$ dirigée vers le haut, et le frottement $f=kv$ opposé au mouvement.
• La vitesse limite s'obtient en annulant l'accélération : $v_{\lim}=\frac{(m-\rho V)g}{k}$ . La poussée y figure, et l'oublier surestime le résultat.
• Le régime transitoire suit $v(t)=v_{\lim}\left(1-\mathrm{e}^{-t/\tau}\right)$ : la vitesse limite est approchée sans jamais être atteinte.

La vitesse croît d'abord presque linéairement, puis s'aplatit sous la valeur limite sans jamais la toucher. Le régime permanent s'obtient en annulant l'accélération, pas en attendant l'égalité.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Déclarer l'accélération nulle parce que le mouvement est uniforme

toute la question, et le bilan des forces devient absurde

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le mouvement est circulaire uniforme, donc la vitesse est constante et l'accélération est nulle. »

Ce qu'il faut écrire

« Le mouvement est uniforme, donc la NORME de la vitesse est constante. Sa direction change en permanence, donc le vecteur vitesse varie et l'accélération vaut $a=\frac{v^{2}}{r}$ , dirigée vers le centre. »

Pourquoi : L'accélération mesure la variation du VECTEUR vitesse, direction comprise. Une accélération nulle imposerait un mouvement rectiligne uniforme, donc un satellite qui part en ligne droite au lieu de tourner.

2. Croire qu'un satellite plus haut va plus vite

1 à 2 points, et une contradiction avec la troisième loi de Kepler

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le satellite est plus loin, il doit donc parcourir un plus grand cercle : il va plus vite. »

Ce qu'il faut écrire

« $v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$ : la vitesse DIMINUE quand $r$ augmente. Le satellite haut va moins vite ET a un plus grand tour à faire, ce qui allonge doublement sa période. »

En fonction du rayon d'orbite, la vitesse s'écrase vers le bas pendant que la période s'envole. Les deux courbes partent du même point et ne se recroisent jamais : monter, c'est ralentir.

Pourquoi : Plus loin, l'attraction est plus faible, donc la vitesse nécessaire pour rester en orbite est plus petite. La station spatiale, à $400\ \mathrm{km}$ , tourne en $90$ minutes; la Lune, mille fois plus loin, met $27$ jours.

3. Laisser la masse du satellite dans la vitesse ou la période

1 point, et une formule non homogène

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $T=2\pi\sqrt{\frac{mr^{3}}{GM}}$ : un satellite plus lourd met plus de temps. »

Ce qu'il faut écrire

« $T=2\pi\sqrt{\frac{r^{3}}{GM}}$ : la masse du satellite s'est simplifiée dès la deuxième loi de Newton, puisqu'elle apparaît des deux côtés de $\frac{GMm}{r^{2}}=m\frac{v^{2}}{r}$ . »

Pourquoi : Seule la masse de l'ASTRE CENTRAL intervient, dans le $GM$ . C'est la même raison qui fait tomber toutes les billes à la même vitesse : la masse inerte et la masse gravitationnelle se compensent.

4. Prendre le jour solaire pour la période géostationnaire

0,5 à 1 point, et une altitude fausse d'environ $80\ \mathrm{km}$

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le satellite géostationnaire a une période de $24\ \mathrm{h}$ , soit $86\,400\ \mathrm{s}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Sa période est le jour SIDÉRAL, durée d'un tour de la Terre sur elle-même par rapport aux étoiles : $86\,164\ \mathrm{s}$ , soit environ $4$ minutes de moins que le jour solaire. »

Pourquoi : Le jour solaire mesure le retour du Soleil au méridien, ce qui inclut le déplacement de la Terre sur son orbite. Le satellite, lui, doit suivre la ROTATION propre de la Terre, qui est un peu plus rapide.

5. Confondre le rayon d'orbite et l'altitude

toute la question, avec une erreur de $15\ \%$ sur la vitesse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'altitude vaut $35\,800\ \mathrm{km}$ , donc $r=3{,}58\times 10^{7}\ \mathrm{m}$ dans la formule. »

Ce qu'il faut écrire

« $r$ se compte depuis le CENTRE de la Terre : $r=R_{T}+h=6{,}371\times 10^{6}+3{,}58\times 10^{7}=4{,}22\times 10^{7}\ \mathrm{m}$ . »

Pourquoi : La loi de gravitation fait intervenir la distance entre les CENTRES des deux corps. Oublier le rayon terrestre est sans conséquence pour la Lune, mais catastrophique pour un satellite bas, où l'altitude vaut à peine un vingtième du rayon.

6. Croire que la vitesse est constante sur une orbite elliptique

1 à 2 points, et la loi des aires n'est pas utilisée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le mouvement du satellite est uniforme, donc sa vitesse est la même au périastre et à l'apoastre. »

Ce qu'il faut écrire

« Sur une ellipse, la loi des aires impose $r_{P}v_{P}=r_{A}v_{A}$ : le satellite va PLUS VITE au périastre, là où il est le plus proche, et plus lentement à l'apoastre. Seule l'orbite circulaire est uniforme. »

L'astre occupe un FOYER, jamais le centre : le rayon vaut

1

au périastre

P

9

à l'apoastre

A

. La loi des aires impose donc une vitesse neuf fois plus grande en

P

Pourquoi : La deuxième loi de Kepler dit que le rayon balaie des aires égales en des temps égaux : près de l'astre, le rayon est court, il faut donc un grand angle, donc une grande vitesse. La comète de Halley passe de $54\ \mathrm{km\cdot s^{-1}}$ à $0{,}9\ \mathrm{km\cdot s^{-1}}$ .

7. Oublier la poussée d'Archimède dans la vitesse limite

1 à 2 points, avec un résultat surestimé de $20\ \%$ dans la glycérine

Ce qu'il ne faut pas écrire

« À la vitesse limite, le poids compense le frottement : $v_{\lim}=\frac{mg}{k}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Trois forces se compensent : $P-\Pi-f=0$ , donc $v_{\lim}=\frac{(m-\rho V)g}{k}$ , où $\rho$ est la masse volumique du FLUIDE et $V$ le volume immergé. »

Pourquoi : La poussée d'Archimède est négligeable dans l'air mais pas dans un liquide : dans la glycérine, elle retire déjà $16\ \%$ du poids d'une bille d'acier. Le bilan des forces doit la faire figurer, puis on la néglige ou non selon le fluide.

8. Annoncer une énergie mécanique positive pour un satellite en orbite

1 point, et l'interprétation physique est inversée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $E_{m}=E_{c}+E_{p}=\frac{GMm}{2r}+\frac{GMm}{r}=\frac{3GMm}{2r}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« L'énergie potentielle gravitationnelle est NÉGATIVE : $E_{p}=-\frac{GMm}{r}$ . Donc $E_{m}=\frac{GMm}{2r}-\frac{GMm}{r}=-\frac{GMm}{2r}$ , négative, ce qui traduit que le satellite est lié à la Terre. »

Pourquoi : Une énergie mécanique positive signifierait que le corps peut s'échapper à l'infini avec une vitesse résiduelle. Le signe est donc porteur de sens, et il vient de la convention $E_{p}=0$ à l'infini.

9. Appliquer la troisième loi de Kepler à deux astres centraux différents

toute la question, environ 2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La Lune tourne autour de la Terre et Io autour de Jupiter, donc $\frac{T^{2}}{a^{3}}$ est le même pour les deux. »

Ce qu'il faut écrire

« La constante $\frac{4\pi^{2}}{GM}$ dépend de la masse $M$ de l'ASTRE CENTRAL : elle est commune à tous les satellites d'un même astre, et différente d'un astre à l'autre. C'est justement cet écart qui permet de peser Jupiter. »

Pourquoi : La troisième loi n'est universelle que dans sa FORME. Sa constante contient la masse de l'astre attracteur, et la comparer entre deux systèmes revient à comparer deux masses, ce qui est précisément l'exercice classique.

Quelle méthode choisir

Quelle relation employer selon la donnée fournie

On regarde ce que l'énoncé donne et ce qu'il demande. Toutes les relations du chapitre sortent de la même équation de départ.

Si on connaît le rayon $r$ et on cherche la vitesse → $v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$ , sans la masse du satellite

Exemple : $r=4{,}22\times 10^{7}\ \mathrm{m}$ donne $v\approx 3{,}07\ \mathrm{km\cdot s^{-1}}$
Si on connaît le rayon et on cherche la période → $T=2\pi\sqrt{\frac{r^{3}}{GM}}$ , ou plus simplement $T=\frac{2\pi r}{v}$ si $v$ est déjà calculée
Si on connaît la PÉRIODE et on cherche le rayon → élever au carré la troisième loi et isoler : $r=\left(\frac{GMT^{2}}{4\pi^{2}}\right)^{1/3}$

Exemple : le géostationnaire, avec $T=86\,164\ \mathrm{s}$
Si on connaît $T$ et $a$ d'un satellite et on cherche la MASSE de l'astre → $M=\frac{4\pi^{2}a^{3}}{GT^{2}}$ , ce qui est la seule façon de peser une planète à distance

Exemple : peser Jupiter à partir de la période d'Io
Si l'orbite est elliptique et l'énoncé donne les vitesses aux apsides → loi des aires : $r_{P}v_{P}=r_{A}v_{A}$ , et rien d'autre n'est au programme
Si l'énoncé parle d'un objet dans un liquide → bilan à trois forces, poids, poussée d'Archimède et frottement, puis annulation de l'accélération pour la vitesse limite

Toutes ces relations viennent de $\frac{GMm}{r^{2}}=m\frac{v^{2}}{r}$ . Les retrouver en deux lignes est plus sûr que de les apprendre, parce que la simplification de $m$ se fait alors sous les yeux.

Quelles forces, et lesquelles négliger

On liste toutes les forces candidates, puis on justifie chaque suppression par un ordre de grandeur.

Si un satellite en orbite au-dessus de l'atmosphère → une seule force, l'attraction gravitationnelle de l'astre central; les frottements et les autres astres se négligent
Si un satellite en orbite basse, sous $400\ \mathrm{km}$ → l'atmosphère résiduelle freine légèrement : c'est ce qui fait retomber les satellites, mais cela reste hors du calcul demandé
Si un objet qui tombe dans l'AIR → poids et frottement; la poussée d'Archimède se néglige car la masse volumique de l'air est mille fois plus faible que celle d'un solide
Si un objet qui tombe dans un LIQUIDE → poids, poussée d'Archimède et frottement : la poussée n'est plus négligeable et doit figurer au bilan

Exemple : une bille d'acier dans la glycérine perd $16\ \%$ de son poids apparent
Si l'énoncé demande la vitesse limite → annuler l'accélération, donc écrire que la somme des forces est nulle, puis isoler $v$

Ce n'est pas une limite au sens mathématique qu'il faut calculer : c'est l'état où l'accélération s'annule.

Toute force négligée doit l'être avec un rapport chiffré, comme pour le poids d'un électron. Un bilan qui écarte la poussée d'Archimède dans un liquide sans le dire perd le point du bilan.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Établir la vitesse et la période d'un satellite en orbite circulaire

Quand l'utiliser : La question centrale du chapitre, présente dans presque tous les sujets de gravitation.

1 Définir le système et le référentiel : « le satellite, de masse $m$ , dans le référentiel géocentrique supposé galiléen ».
2 Faire le bilan des forces : « le satellite n'est soumis qu'à la force d'attraction gravitationnelle exercée par la Terre ».
3 Écrire la deuxième loi de Newton et projeter sur l'axe radial, en signalant que l'accélération est centripète : $\frac{GMm}{r^{2}}=m\frac{v^{2}}{r}$ .
4 SIMPLIFIER $m$ et le dire : « la masse du satellite se simplifie, la vitesse n'en dépend donc pas ».
5 Isoler $v$ , puis obtenir $T$ par $T=\frac{2\pi r}{v}$ .
6 Appliquer numériquement en vérifiant que $r$ est bien mesuré depuis le centre de l'astre.

Phrase de conclusion

La deuxième loi de Newton donne $\frac{GMm}{r^{2}}=m\frac{v^{2}}{r}$ ; la masse du satellite se simplifie et il vient $v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$ , puis $T=\frac{2\pi r}{v}=2\pi\sqrt{\frac{r^{3}}{GM}}$ .

Le piège : Écrire l'accélération sous forme vectorielle sans préciser qu'elle est centripète. La projection sur l'axe radial oriente le signe, et une copie qui ne dit rien du sens perd le point de justification.

Barème : 0,5 point pour le référentiel, 0,5 point pour le bilan des forces, 1 point pour la loi de Newton projetée, 1 point pour la simplification commentée, 1 point pour les deux expressions.

Déterminer l'altitude d'un satellite géostationnaire

Quand l'utiliser : L'exercice classique du chapitre, où l'on part d'une période imposée pour remonter au rayon.

1 Énoncer les trois conditions d'une orbite géostationnaire : circulaire, dans le plan de l'ÉQUATEUR, et de période égale à celle de rotation de la Terre.
2 Donner la période avec la bonne valeur : le jour SIDÉRAL, $86\,164\ \mathrm{s}$ , et non $86\,400\ \mathrm{s}$ .
3 Partir de $T=2\pi\sqrt{\frac{r^{3}}{GM}}$ , élever au carré et isoler $r^{3}$ .
4 Calculer $r$ par une racine cubique, en conservant les puissances de dix séparément.
5 Soustraire le rayon terrestre pour obtenir l'ALTITUDE : $h=r-R_{T}$ .
6 Vérifier l'ordre de grandeur : environ $36\,000\ \mathrm{km}$ , soit près de six rayons terrestres.

Phrase de conclusion

De $T^{2}=\frac{4\pi^{2}r^{3}}{GM}$ on tire $r=\left(\frac{GMT^{2}}{4\pi^{2}}\right)^{1/3}\approx 4{,}22\times 10^{7}\ \mathrm{m}$ , soit une altitude $h=r-R_{T}\approx 3{,}58\times 10^{7}\ \mathrm{m}$ , environ $35\,800\ \mathrm{km}$ .

Le piège : Rendre $r$ comme réponse à une question qui demande l'altitude. Les deux nombres diffèrent de plus de six mille kilomètres, et l'énoncé emploie toujours l'un des deux mots explicitement.

Barème : 0,5 point pour les trois conditions, 1 point pour la période sidérale, 1 point pour l'isolement de $r$ , 1 point pour l'application numérique, 0,5 point pour l'altitude.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Recouper la vitesse et la période

Les deux résultats doivent vérifier $v=\frac{2\pi r}{T}$ . C'est un contrôle indépendant des formules employées, et il attrape toutes les erreurs de puissance de dix.

$\frac{2\pi\times 4{,}22\times 10^{7}}{86\,164}\approx 3{,}08\times 10^{3}\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ , conforme au $v$ calculé.
Vérifier le sens de variation avec le rayon

Une orbite plus haute doit donner une vitesse PLUS PETITE et une période PLUS GRANDE. Deux comparaisons mentales suffisent à détecter une formule inversée.

La station spatiale, à $400\ \mathrm{km}$ , va à $7{,}7\ \mathrm{km\cdot s^{-1}}$ ; le géostationnaire, bien plus haut, à $3{,}1\ \mathrm{km\cdot s^{-1}}$ .
Contrôler l'homogénéité de la troisième loi

$\frac{T^{2}}{a^{3}}$ s'exprime en secondes carrées par mètre cube, et $\frac{4\pi^{2}}{GM}$ aussi. Une formule qui ne l'est pas contient une erreur d'exposant.

Une constante en $\frac{T^{3}}{a^{2}}$ donnerait des unités impossibles : l'exposant est au carré sur la période, au cube sur le demi-grand axe.
Comparer la poussée d'Archimède au poids

Le rapport vaut $\frac{\rho_{\text{fluide}}}{\rho_{\text{solide}}}$ . Il décide si la poussée se néglige, et il se calcule sans aucune donnée supplémentaire.

Acier dans la glycérine : $\frac{1260}{7800}\approx 16\ \%$ , donc la poussée compte. Acier dans l'air : $\frac{1{,}2}{7800}\approx 0{,}015\ \%$ , donc elle se néglige.
Vérifier le signe de l'énergie mécanique

Un satellite lié a une énergie mécanique NÉGATIVE. Un résultat positif signale un signe oublié sur l'énergie potentielle.

$E_{m}=-\frac{GMm}{2r}$ , exactement l'opposé de l'énergie cinétique et la moitié de l'énergie potentielle.

L'exercice type décortiqué

L'orbite géostationnaire, comme au baccalauréat

Un satellite de télécommunications est placé en orbite géostationnaire autour de la Terre. On donne $G M_{T}=3{,}986\times 10^{14}\ \mathrm{m^{3}\cdot s^{-2}}$ , le rayon terrestre $R_{T}=6{,}371\times 10^{6}\ \mathrm{m}$ et la durée du jour sidéral $T=86\,164\ \mathrm{s}$ .

1. Rappeler les trois conditions d'une orbite géostationnaire. 2. Établir l'expression de la période en fonction du rayon d'orbite. 3. En déduire le rayon puis l'altitude du satellite. 4. Calculer sa vitesse. 5. Vérifier la cohérence des résultats.

Étape 1

Une orbite géostationnaire est circulaire, contenue dans le plan de l'équateur, et de période égale à la période de rotation propre de la Terre, c'est-à-dire le jour sidéral $86\,164\ \mathrm{s}$ .

Pourquoi

Les trois conditions valent chacune un tiers du point. Celle du plan équatorial est la plus oubliée : c'est elle qui interdit un satellite géostationnaire au-dessus de Montréal ou de Paris.

Étape 2

Système : le satellite, de masse $m$ , dans le référentiel géocentrique supposé galiléen. Il n'est soumis qu'à l'attraction terrestre. La deuxième loi de Newton projetée sur l'axe radial donne $\frac{GM_{T}m}{r^{2}}=m\frac{v^{2}}{r}$ , d'où $v^{2}=\frac{GM_{T}}{r}$ .

Pourquoi

La masse $m$ apparaît des deux côtés et se simplifie : c'est la ligne à commenter, car elle explique pourquoi la réponse ne dépendra pas du satellite choisi.

Étape 3

Le mouvement étant circulaire uniforme, $v=\frac{2\pi r}{T}$ . En reportant : $\frac{4\pi^{2}r^{2}}{T^{2}}=\frac{GM_{T}}{r}$ , donc $T^{2}=\frac{4\pi^{2}r^{3}}{GM_{T}}$ , ce qui est la troisième loi de Kepler.

Pourquoi

On retrouve la loi de Kepler au lieu de la citer : cela vaut le même point et évite l'erreur d'exposant, puisque le carré et le cube apparaissent naturellement.

Étape 4

$r^{3}=\frac{GM_{T}T^{2}}{4\pi^{2}}=\frac{3{,}986\times 10^{14}\times(86\,164)^{2}}{4\pi^{2}}\approx 7{,}50\times 10^{22}\ \mathrm{m^{3}}$ , donc $r\approx 4{,}22\times 10^{7}\ \mathrm{m}$ .

Pourquoi

On sépare les puissances de dix du reste avant de prendre la racine cubique : $10^{22}$ n'a pas d'exposant divisible par trois, il faut l'écrire $75\times 10^{21}$ pour que la racine tombe juste.

Étape 5

Altitude : $h=r-R_{T}=4{,}22\times 10^{7}-6{,}37\times 10^{6}\approx 3{,}58\times 10^{7}\ \mathrm{m}$ , soit environ $35\,800\ \mathrm{km}$ .

Pourquoi

C'est ici que se joue le piège du chapitre : la question demande une ALTITUDE, donc il faut retirer le rayon terrestre. L'écart entre les deux réponses dépasse six mille kilomètres.

Étape 6

Vitesse : $v=\sqrt{\frac{GM_{T}}{r}}=\sqrt{\frac{3{,}986\times 10^{14}}{4{,}22\times 10^{7}}}\approx 3{,}07\times 10^{3}\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ , soit environ $3{,}1\ \mathrm{km\cdot s^{-1}}$ .

Pourquoi

On utilise $r$ et non $h$ . Employer l'altitude donnerait $3{,}34\ \mathrm{km\cdot s^{-1}}$ , une valeur plausible qui ne déclenche aucune alerte : c'est ce qui rend l'erreur dangereuse.

Étape 7

Contrôle : $\frac{2\pi r}{T}=\frac{2\pi\times 4{,}22\times 10^{7}}{86\,164}\approx 3{,}08\times 10^{3}\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ , conforme. Et $3{,}1\ \mathrm{km\cdot s^{-1}}$ est bien inférieur aux $7{,}7\ \mathrm{km\cdot s^{-1}}$ de la station spatiale, qui orbite beaucoup plus bas.

Pourquoi

Deux vérifications indépendantes : une relation géométrique et une comparaison physique. La seconde confirme le sens de variation, qui est le point le plus contre-intuitif du chapitre.

Conclusion rédigée

Le satellite géostationnaire orbite à $r\approx 4{,}22\times 10^{7}\ \mathrm{m}$ du centre de la Terre, soit une altitude d'environ $35\,800\ \mathrm{km}$ , à la vitesse de $3{,}1\ \mathrm{km\cdot s^{-1}}$ ; cette vitesse est deux fois et demie plus faible que celle de la station spatiale, parce qu'il est bien plus haut.

L'erreur classique sur cet exercice : Utiliser $86\,400\ \mathrm{s}$ au lieu du jour sidéral. Le rayon obtenu vaut alors $4{,}226\times 10^{7}\ \mathrm{m}$ : l'écart de $80\ \mathrm{km}$ paraît minuscule, mais il suffit à faire dériver un satellite réel d'un demi-degré par jour.

À savoir par cœur

• Uniforme veut dire NORME constante : l'accélération centripète $\frac{v^{2}}{r}$ n'est jamais nulle.
• $v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$ et $T=2\pi\sqrt{\frac{r^{3}}{GM}}$ : ni l'une ni l'autre ne contient la masse du satellite.
• Plus haut, MOINS vite, et période plus longue. C'est contre-intuitif et c'est vrai.
• $r$ se compte depuis le CENTRE : $r=R+h$ .
• Géostationnaire : circulaire, ÉQUATORIALE, de période égale au jour sidéral $86\,164\ \mathrm{s}$ , donc $h\approx 35\,800\ \mathrm{km}$ .
• Kepler 3 : $\frac{T^{2}}{a^{3}}=\frac{4\pi^{2}}{GM}$ , constante pour un MÊME astre central, et différente d'un astre à l'autre.
• Loi des aires aux apsides : $r_{P}v_{P}=r_{A}v_{A}$ . Le satellite va plus vite au plus près.
• $E_{m}=-\frac{GMm}{2r}$ : NÉGATIVE pour un satellite lié.
• Vitesse limite dans un liquide : $v_{\lim}=\frac{(m-\rho V)g}{k}$ , la poussée d'Archimède comprise.

Questions fréquentes

Pourquoi l'accélération n'est-elle pas nulle dans un mouvement circulaire uniforme ?

Parce que uniforme signifie seulement que la norme de la vitesse ne change pas. Sa direction, elle, change en permanence puisque le mobile tourne. Le vecteur vitesse varie donc, et l'accélération, qui mesure cette variation, est dirigée vers le centre. Sans elle, le mobile partirait tout droit.

Un satellite plus haut va-t-il plus vite ou moins vite ?

Moins vite. La vitesse d'une orbite circulaire vaut la racine carrée du produit de la constante gravitationnelle par la masse de l'astre, divisé par le rayon : elle diminue donc quand le rayon augmente. Comme le tour est en plus plus long, la période s'allonge doublement.

La masse du satellite intervient-elle dans sa période ?

Non, jamais. Elle apparaît des deux côtés de la deuxième loi de Newton, dans la force gravitationnelle et dans le produit masse fois accélération, et elle se simplifie. Seule la masse de l'astre central compte. C'est pour cette raison qu'un astronaute flotte à côté de sa station.

Quelles sont les trois conditions d'une orbite géostationnaire ?

L'orbite doit être circulaire, contenue dans le plan de l'équateur, et de période égale à la période de rotation propre de la Terre, c'est-à-dire le jour sidéral d'environ quatre-vingt-six mille cent soixante-quatre secondes. La condition du plan équatorial est la plus souvent oubliée, et c'est elle qui fixe l'unique orbite possible.

Que dit la loi des aires sur une orbite elliptique ?

Que le segment reliant l'astre au satellite balaie des aires égales pendant des durées égales. Concrètement, le satellite va plus vite quand il est proche et plus lentement quand il est loin, et le produit de la distance par la vitesse est le même aux deux extrémités du grand axe.

Faut-il tenir compte de la poussée d'Archimède pour une vitesse limite ?

Dans un liquide, oui, toujours : elle vaut la masse volumique du liquide multipliée par le volume immergé et par l'intensité de pesanteur, et elle retire une part notable du poids. Dans l'air, elle se néglige car la masse volumique de l'air est des milliers de fois plus faible que celle d'un solide.

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Exercices corrigés : Satellites, Kepler et fluides

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

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