Statistiques avancées 201-337 • Complément québécois et cégep à Montréal

Fiche de révision : la variable aléatoire continue et sa densité (201-337)

Q: Une densité de probabilité peut-elle dépasser 1 ?

Oui, sans aucune contradiction. Ce qui est plafonné à 1, c'est l'aire totale sous la courbe, jamais la hauteur. Une loi uniforme sur un intervalle de longueur 0,25 a une densité constante égale à 4, et son aire vaut bien 0,25 fois 4, c'est-à-dire 1. Une densité est une probabilité par unité : plus la variable est concentrée, plus elle est haute.

Q: Pourquoi la probabilité d'une valeur exacte est-elle nulle ?

Parce qu'une probabilité est une aire, et que l'aire au-dessus d'un seul point, de largeur nulle, vaut zéro. Cela ne rend pas la valeur impossible : la variable prend bien une valeur, et chacune a une probabilité nulle. C'est la raison pour laquelle les inégalités strictes et larges donnent le même résultat en continu, alors qu'elles diffèrent dans le discret.

Q: Comment calculer une probabilité continue sans intégrale au cégep ?

En calculant une aire géométrique. Une densité constante donne un rectangle, une densité affine un trapèze ou une différence de triangles, une densité en escalier une somme de rectangles. Pour la loi exponentielle, la formule donne directement la réponse, et pour la loi normale on lit la table après avoir calculé la cote z. Aucun de ces gestes ne demande le calcul intégral.

Q: Quelle différence entre densité et fonction de répartition ?

La densité est une hauteur, la répartition une aire accumulée. La répartition en x est la probabilité que la variable soit inférieure ou égale à x : elle part de 0, monte sans jamais redescendre et finit à 1. La densité, elle, n'a aucune raison de faire cela et peut monter, descendre ou dépasser 1. La médiane se lit sur la répartition, jamais sur la densité.

Q: Qu'est-ce que l'absence de mémoire de la loi exponentielle ?

C'est le fait qu'un composant déjà en service a exactement la même loi de survie qu'un neuf. La probabilité de tenir encore cinq ans ne dépend pas des années déjà passées : le taux de panne est constant. Le modèle convient à une panne électronique accidentelle, mais pas à un pneu ni à une pièce qui s'use, dont le taux de défaillance augmente avec l'âge.

Q: Comment lire les 68, 95 et 99,7 pour cent de la loi normale ?

Ce sont des aires, pas des hauteurs, et elles sont les mêmes pour toute loi normale parce qu'elles se mesurent en écarts-types. La bande allant d'un écart-type de part et d'autre de la moyenne porte 68,27 pour cent de la probabilité, celle à deux écarts-types 95,45 pour cent, celle à trois 99,73 pour cent. Le reste se partage entre les deux queues, à parts égales.

Cette fiche de révision couvre la variable aléatoire continue et sa fonction de densité, au programme du cours de probabilités et statistique 201-337. Elle ne résume pas le cours : elle répond à une seule question, ce qui fait perdre des points à l'examen sur ce chapitre et quel geste précis évite chaque perte.

Le geste central tient en trois mots, AIRE CONTRE HAUTEUR. La densité $f(a)$ n'est pas une probabilité et peut dépasser 1, la probabilité d'un intervalle est l'aire au-dessus de cet intervalle, $P(X=a)=0$ pour toute valeur, et les inégalités strictes ou larges donnent le même résultat. Aucun outil de calcul intégral n'est utilisé ici : les aires sont des rectangles, des triangles ou des trapèzes, et la loi normale se lit dans la table ou par ses trois bandes.

Le fil du chapitre

Une densité est une HAUTEUR, une probabilité est une AIRE : à chaque question, dire quelle aire on calcule et sur quelle figure, rectangle, triangle, trapèze ou bande sous la cloche.

Ce chapitre fait partie de Statistiques avancées, 201-337

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Probabilités et lois de distribution Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (4 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Statistique : échantillonnage, diagrammes et mesuresSecondaire 3
2Nuage de points, corrélation et régressionSecondaire 4 SN4
3Les statistiques descriptives
4Probabilités et lois de distribution

Notions couvertes

Fonction de densité
Condition de normalisation
Probabilité comme aire
Fonction de répartition
Médiane d'une variable continue
Loi uniforme continue
Loi exponentielle
Absence de mémoire
Loi normale
Règle empirique 68-95-99,7
Espérance d'une variable continue
Mode, médiane et moyenne

L'essentiel

Les deux conditions, et rien d'autre

• $f$ est une densité si et seulement si DEUX choses sont vraies : $f(x)\geq 0$ partout, et l'aire totale sous sa courbe vaut exactement 1.
• La seconde condition est l'axiome de Kolmogorov $P(\Omega)=1$ traduit en aire. C'est elle, et jamais une valeur de $f$ , qui fixe la constante d'une densité donnée à un facteur près.
• Une probabilité est l'AIRE sous $f$ au-dessus d'un intervalle : $P(a\leq X\leq b)$ se lit entre la courbe, l'axe des abscisses et les verticales $x=a$ et $x=b$ .
• Une hauteur $f(a)$ n'est PAS une probabilité : c'est une probabilité par unité, elle porte une unité (par heure, par mètre, par degré) et elle peut dépasser 1.
• Conséquence immédiate : $P(X=a)=0$ pour toute valeur $a$ , car un segment de largeur nulle a une aire nulle. Donc $P(a\leq X\leq b)=P(a<X<b)$ , ce qui est FAUX dans le discret.

Les trois nombres 0,10, 0,25 et 0,15 sont des HAUTEURS, en probabilité par heure; la probabilité cherchée est la surface grisée,

1\times 0{,}10+1\times 0{,}25=0{,}35

Écrire « la probabilité cherchée est l'aire du trapèze de bases $f(1)$ et $f(3)$ et de largeur 2 » avant de calculer rapporte régulièrement un demi-point de méthode, et évite surtout de prendre un triangle pour un trapèze.

La répartition, la médiane et l'espérance, sans intégrale

• $F(x)=P(X\leq x)$ est l'aire ACCUMULÉE depuis la gauche. Elle croît de 0 à 1, elle est continue (sans saut), et $P(a\leq X\leq b)=F(b)-F(a)$ .
• La médiane $m$ est la solution de $F(m)=0{,}5$ : elle coupe l'aire en deux moitiés, elle ne coupe pas le support en deux.
• $E(X)$ est l'ABSCISSE DU CENTRE DE GRAVITÉ de l'aire sous $f$ . Pour un triangle, c'est la moyenne des abscisses de ses trois sommets, ce qui donne l'espérance en une ligne.
• Le sommet de $f$ est le MODE, pas l'espérance. Les trois indicateurs ne coïncident que si la densité est symétrique et à un seul sommet, cas de l'uniforme et de la normale.
• Une valeur approchée d' $E(X)$ s'obtient toujours en découpant le support en bandes et en plaçant le poids de chaque bande en son centre : c'est exactement la moyenne pondérée du discret.

Aucun outil de calcul intégral n'est nécessaire dans ce cours. Si l'aire n'est ni un rectangle, ni un triangle, ni un trapèze, c'est que la loi est exponentielle ou normale, et ces deux-là se lisent par formule ou par table.

Les trois lois usuelles, et comment prendre leur aire

• UNIFORME sur $[a\,;b]$ : $f(x)=\dfrac{1}{b-a}$ , l'aire est un rectangle, donc $P(c\leq X\leq d)=\dfrac{d-c}{b-a}$ , $E(X)=\dfrac{a+b}{2}$ et $V(X)=\dfrac{(b-a)^{2}}{12}$ .
• EXPONENTIELLE de paramètre $\lambda$ : $F(x)=1-e^{-\lambda x}$ et $P(X>x)=e^{-\lambda x}$ , donc aucune aire à découper. $E(X)=\sigma=\dfrac{1}{\lambda}$ et médiane $\dfrac{\ln 2}{\lambda}$ , toujours plus petite que la moyenne.
• NORMALE : hauteur maximale $f(\mu)=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$ , qui dépasse 1 dès que $\sigma<0{,}399$ . Les repères 68, 95 et 99,7 pour cent sont les AIRES des bandes $\mu\pm\sigma$ , $\mu\pm 2\sigma$ et $\mu\pm 3\sigma$ .
• La standardisation $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ divise les largeurs par $\sigma$ et multiplie les hauteurs par $\sigma$ : le produit, donc l'aire, ne bouge pas. C'est pourquoi une seule table sert toutes les lois normales.
• L'exponentielle est SANS MÉMOIRE, $P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t)$ : l'objet ne vieillit pas. L'uniforme, elle, VIEILLIT : l'attente déjà consommée rapproche du passage de l'autobus.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Discret contre continu, ligne par ligne

La moitié des points perdus dans ce chapitre viennent d'un réflexe du discret appliqué au continu. La dernière colonne est la réponse qui vaut ICI. Une case rouge signifie que la lecture demandée n'existe pas et qu'il faut changer d'objet, pas chercher plus fort.

La question	Variable discrète	Variable continue
Décrire la loi	tableau des $P(x_{i})$	densité $f$ , aire $=1$
Exemple : Dé : six probabilités de $\frac{1}{6}$ . Barre d'acier : $f(x)=\frac{x}{8}$ sur $[0\,;4]$ , d'aire $\frac{1}{2}\times 4\times 0{,}5=1$ .
Ce qu'on lit en $a$	$P(X=a)$	$f(a)$ , par unité
Exemple : $f(4)=0{,}50$ par mètre, ce qui donne environ $0{,}50\times 0{,}01=0{,}005$ sur un centimètre.
$P(X=a)$	hauteur du bâton	$0$
Exemple : $P(X=3)=\frac{1}{6}\approx 0{,}167$ au dé, contre $P(X=3)=0$ sur la barre.
Lire $P$ en un POINT	possible	rien à lire lecture impossible
Exemple : Sur la barre, $f(3)=0{,}375$ n'est pas une probabilité; l'aire sur $[2{,}95\,;3{,}05]$ vaut $0{,}375\times 0{,}1=0{,}0375$ . Ce qu'il faut faire : Prendre une AIRE sur un intervalle de largeur non nulle, jamais une valeur en un point.
$\leq$ ou $<$	résultats différents	même résultat
Exemple : Sur la densité en escalier, $P(1\leq X\leq 3)=P(1<X<3)=0{,}35$ .
Maximum de la hauteur	$\leq 1$	sans plafond
Exemple : Uniforme sur $[0\,;0{,}25]$ : $f=4$ . Normale d'écart-type $0{,}25$ : $f(\mu)=1{,}5958$ .
La répartition $F$	en escalier	continue
Exemple : Au dé, $F$ saute de $\frac{1}{6}$ en 3. Ici $F(x)=\frac{x^{2}}{16}$ , donc $F(2)=0{,}25$ , sans aucun saut.
$E(X)$	$\sum x_{i}P(x_{i})$	centre de gravité
Exemple : Triangle de sommets $(0\,;0)$ , $(4\,;0)$ et $(4\,;0{,}5)$ : $E(X)=\frac{0+4+4}{3}\approx 2{,}67$ m.

Une seule ligne de ce tableau se transporte du discret au continu sans changement, celle de l'espérance : la moyenne reste pondérée, la densité remplaçant les probabilités ponctuelles.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Lire une densité comme une probabilité

2 points, et la faute se répète à chaque question du chapitre

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(4)=0{,}50$ , donc il y a 50 pour cent de chances que le défaut soit à 4 mètres. »

Ce qu'il faut écrire

« $f(4)=0{,}50$ est une densité, en probabilité par mètre. Sur un centimètre autour de 4 mètres, $P\approx 0{,}50\times 0{,}01=0{,}005$ . »

Pourquoi : Le test qui tranche en une seconde est celui des UNITÉS : une probabilité n'en a pas, une densité en a toujours une. C'est aussi la faute qui conduit ensuite à écrire $P(X=a)=f(a)$ .

2. Croire qu'une densité ne peut pas dépasser 1

1,5 point, plus le temps perdu à chercher une erreur qui n'existe pas

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Je trouve $f(x)=4$ , c'est impossible : une probabilité ne dépasse jamais 1, j'ai dû me tromper quelque part. »

Ce qu'il faut écrire

« $f(x)=4$ sur $[0\,;0{,}25]$ est correct : c'est l'AIRE qui vaut 1, $0{,}25\times 4=1$ , et la hauteur n'est pas plafonnée. »

Deux densités uniformes de même aire, 1. Celle de droite est quatre fois plus haute parce qu'elle est quatre fois plus étroite : une hauteur de 2 ne viole aucune règle.

Pourquoi : Plus la variable est concentrée, plus la densité est haute : sur une loi normale, $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$ dépasse 1 dès que $\sigma<0{,}399$ , ce qui arrive dès qu'on mesure en unités fines.

3. Chercher la probabilité d'une valeur exacte sur la courbe

2 points, et tout ce qui suit s'appuie sur un nombre qui n'existe pas

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $P(X=3)$ se lit à l'abscisse 3 : $P(X=3)=f(3)=0{,}375$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $P(X=3)=0$ : l'aire au-dessus d'un point est nulle. Pour un nombre non nul, il faut une largeur : $P(2{,}95\leq X\leq 3{,}05)\approx 0{,}375\times 0{,}1=0{,}0375$ . »

Pourquoi : Dans le discret, $P(X=3)$ est la hauteur du saut de $F$ en 3. Ici $F$ est CONTINUE, donc elle ne saute pas, donc la probabilité d'une valeur isolée est nulle. Les deux mondes se séparent exactement là.

4. Croire que l'inégalité stricte change le résultat

1 point, et le résultat obtenu est souvent absurde

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $P(1<X<3)=P(1\leq X\leq 3)-f(1)-f(3)=0{,}35-0{,}10-0{,}25=0$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $P(1<X<3)=P(1\leq X\leq 3)=0{,}35$ : on retire deux valeurs isolées, donc deux aires NULLES. »

Pourquoi : Le réflexe vient du discret, où la soustraction est juste et vaut exactement $P(X=1)+P(X=3)$ . En continu ces deux termes sont nuls, et ce qu'on retranche par erreur, ce sont des hauteurs.

5. Fixer la constante sur une valeur de la fonction au lieu de l'aire

toute la question, et les quatre sous-questions qui s'appuient dessus

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x)=kx$ sur $[0\,;4]$ , et il faut que ça fasse 1 au bout, donc $f(4)=4k=1$ et $k=0{,}25$ . »

Ce qu'il faut écrire

« L'aire vaut 1 : la courbe délimite un triangle de base 4 et de hauteur $4k$ , donc $\frac{1}{2}\times 4\times 4k=8k=1$ et $k=\frac{1}{8}=0{,}125$ . »

Pourquoi : Aucune condition ne porte sur la valeur de $f$ en un point : la normalisation est la SECONDE condition d'une densité et elle s'écrit sur l'aire. Ici le facteur d'erreur est exactement 2, celui du triangle.

6. Croire que la loi exponentielle vieillit

2 points sur la question d'interprétation, qui tombe à chaque examen

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le composant a déjà duré 6 ans, il est donc plus proche de la panne : sa probabilité de tenir 5 ans de plus est inférieure à celle d'un neuf. »

Ce qu'il faut écrire

« $P(X>11\mid X>6)=\frac{e^{-2{,}2}}{e^{-1{,}2}}=e^{-1}=0{,}3679=P(X>5)$ : l'exponentielle est sans mémoire, le composant usagé a la loi de survie d'un neuf. »

La courbe rouge, loi de survie d'un composant qui a déjà duré 6 ans, est la courbe du neuf simplement décalée : même hauteur de départ, même décroissance.

Pourquoi : La densité décroît, ce qui fait croire à un vieillissement, alors qu'elle décroît seulement parce qu'il reste de moins en moins d'objets en service. Le taux de panne, lui, est CONSTANT. C'est la loi UNIFORME qui vieillit, et l'autobus qui se rapproche pendant qu'on attend.

7. Confondre la densité et la fonction de répartition

2 points, et l'erreur se propage à la médiane et aux quartiles

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $F(3)$ , je le lis sur la courbe : $F(3)=0{,}375$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $f(3)=0{,}375$ est la HAUTEUR en 3; $F(3)=P(X\leq 3)$ est l'aire accumulée jusqu'à 3, soit $\frac{9}{16}=0{,}5625$ . »

Même barre d'acier, deux courbes :

f

monte jusqu'à

0{,}5

puis chute,

F

monte jusqu'à

1

et y reste. Lire

F(3)

sur la droite donne

0{,}375

au lieu de

0{,}5625

Pourquoi : Les deux courbes vivent souvent dans la même fenêtre et se ressemblent quand $f$ est croissante. Le signe qui ne trompe jamais : $F$ part de 0, monte sans jamais redescendre et finit à 1, alors que $f$ n'a aucune raison de faire cela.

8. Prendre le sommet de la densité pour l'espérance

1,5 point, et on perd la vérification visuelle gratuite

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La densité est maximale en $x=4$ , donc la valeur la plus probable est 4 et $E(X)=4$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le maximum de $f$ est le MODE, ici 4. L'espérance est le centre de gravité de l'aire : $E(X)=\frac{0+4+4}{3}=\frac{8}{3}\approx 2{,}67$ , et la médiane vaut $\sqrt{8}\approx 2{,}83$ . »

Pourquoi : Mode, médiane et moyenne ne coïncident que si la densité est symétrique et à un seul sommet, ce qui est le cas de l'uniforme et de la normale : c'est ce cas particulier qui entretient la confusion.

9. Oublier de partager en deux ce qui reste hors d'une bande

2 points, et le risque annoncé est le double du risque réel

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La bande à deux écarts-types porte $0{,}9545$ , donc $P(X\geq 21{,}5)=1-0{,}9545=0{,}0455$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Les $0{,}0455$ restants se partagent entre les DEUX queues, qui sont symétriques : $P(X\geq 21{,}5)=\frac{0{,}0455}{2}=0{,}0228$ . »

La bande centrale, large de deux écarts-types, porte

0{,}9545

. Les

0{,}0455

qui restent se partagent entre les DEUX queues, soit

0{,}0228

de chaque côté.

Pourquoi : Le complémentaire d'une bande CENTRÉE n'est pas une queue, c'est deux queues. La même division par deux revient dans tout calcul du type $P(\left|X-\mu\right|\leq k)$ , et la table, qui donne l'aire à gauche, ne la fait pas à votre place.

Quelle méthode choisir

Quelle aire, et sur quelle figure

On regarde la FORME de la densité, pas le thème de l'énoncé. Chaque forme a sa figure, et la figure a son aire.

Si densité CONSTANTE sur $[a\,;b]$ (loi uniforme) → rectangle : la probabilité est le rapport des longueurs, $\dfrac{d-c}{b-a}$

Exemple : $P(3\leq X\leq 7)$ sur $[0\,;12]$ vaut $\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\approx 0{,}3333$

c'est la seule loi du chapitre où une probabilité est une proportion de longueur
Si densité AFFINE, du type $f(x)=kx$ ou $f(x)=k(b-x)$ → trapèze de bases $f(c)$ et $f(d)$ , ou différence de deux triangles

Exemple : $f(x)=\frac{x}{8}$ : $P(1\leq X\leq 3)=\frac{0{,}125+0{,}375}{2}\times 2=0{,}50$

les deux voies donnent le même nombre, un trapèze étant une différence de triangles
Si densité EN ESCALIER et intervalle à cheval sur deux paliers → découper en rectangles, un par palier, puis additionner les aires

Exemple : $P(1\leq X\leq 3)=1\times 0{,}10+1\times 0{,}25=0{,}35$

on additionne des AIRES, jamais des hauteurs
Si densité $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ (loi exponentielle) → aucune aire à découper : $P(X>x)=e^{-\lambda x}$ et $F(x)=1-e^{-\lambda x}$

Exemple : $\lambda=0{,}2$ : $P(X>8)=e^{-1{,}6}\approx 0{,}2019$

garder la forme $P(X>x)=e^{-\lambda x}$ évite un complémentaire à chaque ligne
Si densité en CLOCHE (loi normale) → soit la table après $z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}$ , soit les bandes 68, 95 et 99,7 pour cent

Exemple : $\mu=21$ , $\sigma=0{,}25$ : $z=\frac{21{,}5-21}{0{,}25}=2$ donc $P(X\geq 21{,}5)=0{,}0228$

la bande évite la table quand la borne tombe exactement sur un écart-type entier
Si l'énoncé demande une valeur SEUIL et non une probabilité → on remonte la répartition : résoudre $F(t)=p$ , avec le logarithme pour l'exponentielle

Exemple : $1-e^{-0{,}25t}=0{,}90$ donne $t=\frac{\ln 10}{0{,}25}\approx 9{,}21$ minutes

la médiane est le cas $p=0{,}5$ , les quartiles les cas $0{,}25$ et $0{,}75$

Aucune branche ne demande d'intégrale, et c'est voulu : ce cours n'en suppose aucune. Si l'aire cherchée n'est ni un rectangle, ni un triangle, ni un trapèze, c'est que la loi est exponentielle ou normale, et ces deux-là se lisent par formule ou par table.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Montrer qu'une fonction est une densité et trouver la constante

Quand l'utiliser : L'énoncé donne $f(x)=kx$ , $f(x)=k(b-x)$ ou une fonction en escalier, et demande $k$ , ou demande de vérifier que $f$ est bien une densité.

1 Annoncer les DEUX conditions, nommées : positivité de $f$ partout, et aire totale égale à 1.
2 Vérifier la positivité en donnant la raison, pas en l'affirmant : « sur $[0\,;4]$ , $x\geq 0$ , donc $kx\geq 0$ dès que $k>0$ ; ailleurs $f$ est nulle ».
3 Nommer la FIGURE dont on prend l'aire avant de calculer : « la courbe délimite un triangle rectangle de base 4 et de hauteur $4k$ ».
4 Écrire l'équation d'aire et la résoudre : $\frac{1}{2}\times 4\times 4k=8k=1$ , donc $k=\frac{1}{8}=0{,}125$ .
5 Réécrire $f$ en entier, morceau par morceau, le zéro compris : $f(x)=\frac{x}{8}$ sur $[0\,;4]$ et $f(x)=0$ ailleurs.

Phrase de conclusion

« $f$ est positive sur $\mathbb{R}$ et l'aire sous sa courbe vaut $8k$ . La condition de normalisation impose $8k=1$ , donc $f$ est une densité de probabilité si et seulement si $k=\frac{1}{8}$ , avec $f(x)=\frac{x}{8}$ sur $[0\,;4]$ et $f(x)=0$ ailleurs. »

Le piège : Oublier la dernière ligne, celle qui dit que $f$ est nulle en dehors du support. Sans elle, l'aire totale n'est pas celle qu'on vient de calculer et la démonstration est incomplète.

Barème : 1 point pour la positivité justifiée, 2 points pour l'équation d'aire et sa résolution, 1 point pour l'écriture complète de $f$ .

Calculer une probabilité en nommant l'aire

Quand l'utiliser : Toute question qui commence par « calculez $P(\dots)$ » sur une variable continue, y compris quand l'événement est écrit avec une valeur absolue ou avec le mot « au moins ».

1 Traduire l'événement en INTERVALLE : $\left|E\right|\leq 0{,}2$ devient $[-0{,}2\,;0{,}2]$ , « au moins 3 heures » devient $[3\,;+\infty[$ .
2 Dire quelle figure porte cette aire : rectangle, trapèze, différence de triangles, ou bande sous la cloche.
3 Calculer l'aire avec ses deux dimensions écrites en toutes lettres, largeur puis hauteur, et jamais une hauteur seule.
4 Vérifier que le résultat tombe entre 0 et 1, et qu'il est plus petit que la probabilité d'un intervalle qui le contient.

Phrase de conclusion

« L'événement $1\leq X\leq 3$ correspond à l'aire sous $f$ entre les verticales $x=1$ et $x=3$ . Cette aire se découpe en deux rectangles : $P(1\leq X\leq 3)=1\times 0{,}10+1\times 0{,}25=0{,}35$ . »

Le piège : Répondre par la hauteur quand l'intervalle est étroit. Une largeur de $0{,}01$ ne dispense pas de multiplier : $f(21{,}0)\times 0{,}01=1{,}5958\times 0{,}01=0{,}0160$ , et c'est ce dernier nombre qui est la probabilité.

Barème : 0,5 point pour l'intervalle écrit, 0,5 pour le nom de la figure, 1 point pour le calcul d'aire.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'aire totale vaut 1, toujours

Avant la première probabilité, recalculez l'aire totale sous la densité, figure par figure. C'est la seule vérification qui valide à la fois la constante et le découpage.

Trois rectangles de $0{,}20$ , $0{,}50$ et $0{,}30$ : la somme fait $1{,}00$ , tout va bien. Une somme de $0{,}50$ signale qu'on a additionné les HAUTEURS $0{,}10+0{,}25+0{,}15$ au lieu des aires.
La probabilité reste entre 0 et 1, la densité non

Appliquez la borne au bon objet. Une probabilité supérieure à 1 arrête le calcul immédiatement; une densité de 4 ou de 1,6 ne prouve rien contre vous.

$P(X>8)=e^{-1{,}6}=0{,}2019$ passe. Si votre calculatrice affiche $4{,}95$ , c'est le signe moins de l'exposant qui a sauté, jamais une propriété de la loi.
Le complémentaire recolle à 1

Découpez le support en morceaux disjoints et additionnez : la somme doit faire exactement 1. Cela attrape l'aire oubliée d'un palier et le complémentaire pris à l'envers.

$0{,}4512+0{,}3469+0{,}2019=1{,}0000$ sur les trois morceaux du support. Une somme de $0{,}98$ dit qu'un morceau manque, pas qu'on a le droit d'arrondir.
L'espérance tombe du côté lourd de la densité

Regardez où la densité est haute : $E(X)$ est le point d'équilibre de l'aire, donc il penche de ce côté. C'est gratuit et cela attrape les erreurs de facteur.

Densité croissante sur $[0\,;4]$ : $E(X)=2{,}67$ est bien à droite du milieu 2. Une réponse de $1{,}5$ est impossible avant même de refaire le calcul.
La médiane sort de $F$ , pas du milieu du support

Résolvez $F(m)=0{,}5$ , puis comparez $m$ au milieu du support : la médiane penche du côté où la densité est forte, comme l'espérance.

$\frac{m^{2}}{16}=0{,}5$ donne $m=\sqrt{8}\approx 2{,}83$ sur $[0\,;4]$ , et non 2. Sur une exponentielle, la médiane $\frac{\ln 2}{\lambda}$ est toujours PLUS PETITE que la moyenne $\frac{1}{\lambda}$ .

L'exercice type décortiqué

Une densité affine sur un support étroit, de la constante au centre de gravité

Un atelier mesure l'épaisseur EN EXCÈS $X$ , en millimètres, d'un dépôt de peinture. Cet excès ne dépasse jamais $0{,}5$ mm, et les fortes surépaisseurs sont d'autant plus fréquentes que l'excès est grand : on modélise donc la densité par $f(x)=kx$ pour $0\leq x\leq 0{,}5$ , et $f(x)=0$ ailleurs.

Déterminez $k$ , commentez la valeur de $f(0{,}5)$ , écrivez $F$ , puis calculez $P(X\geq 0{,}3)$ , la médiane, l'espérance, la variance, et enfin $P(X=0{,}3)$ .

On admettra que la variance d'une densité triangulaire sur $[a\,;b]$ de sommet $c$ vaut $V(X)=\dfrac{a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc}{18}$ .

La surface grisée est

P(X\geq 0{,}3)=0{,}64

, un trapèze de bases

2{,}4

4

. La hauteur monte à 4 par millimètre alors que l'aire totale vaut 1 : le support ne mesure qu'un demi-millimètre.

Étape 1

Deux conditions. POSITIVITÉ : sur $[0\,;0{,}5]$ , $x\geq 0$ donc $kx\geq 0$ dès que $k>0$ , et $f$ est nulle ailleurs. AIRE : la courbe délimite un triangle rectangle de base $0{,}5$ et de hauteur $0{,}5k$ , d'aire $\frac{1}{2}\times 0{,}5\times 0{,}5k=0{,}125k$ . On résout $0{,}125k=1$ , donc $k=8$ et $f(x)=8x$ sur $[0\,;0{,}5]$ .

Pourquoi

L'équation qui donne la constante est TOUJOURS celle de l'aire, jamais une valeur de $f$ . Nommer le triangle avant de calculer vaut un demi-point de méthode et évite de le confondre avec un trapèze.

Étape 2

$f(0{,}5)=8\times 0{,}5=4$ , en millimètre inverse. La densité dépasse 1, et l'aire vaut pourtant $\frac{1}{2}\times 0{,}5\times 4=1$ .

Pourquoi

C'est le contrôle qui rassure au lieu d'inquiéter. Le support ne mesure qu'un demi-millimètre, donc la probabilité PAR millimètre est forcément grande : hauteur élevée et aire égale à 1 ne se contredisent pas.

Étape 3

$F(x)=P(X\leq x)$ est l'aire du triangle de base $x$ et de hauteur $f(x)=8x$ , soit $F(x)=\frac{1}{2}\times x\times 8x=4x^{2}$ sur $[0\,;0{,}5]$ , avec $F(x)=0$ avant 0 et $F(x)=1$ après $0{,}5$ . Contrôle : $F(0{,}5)=4\times 0{,}25=1$ .

Pourquoi

Une répartition qui ne finit pas à 1 est fausse, et ce contrôle prend deux secondes. Il attrape en particulier le facteur $\frac{1}{2}$ du triangle, qui est l'oubli le plus fréquent de cette étape.

Étape 4

$P(X\geq 0{,}3)=1-F(0{,}3)=1-4\times 0{,}09=1-0{,}36=0{,}64$ .

Pourquoi

Le complémentaire évite un trapèze et une erreur de bornes. Le résultat est vraisemblable : la densité est croissante, donc la moitié droite du support porte l'essentiel de la probabilité.

Étape 5

Médiane : $F(m)=0{,}5$ , donc $4m^{2}=0{,}5$ , donc $m^{2}=0{,}125$ et $m=\sqrt{0{,}125}\approx 0{,}354$ mm.

Pourquoi

La médiane se lit sur $F$ et jamais sur $f$ . Contrôle immédiat : elle tombe à DROITE du milieu $0{,}25$ , ce qu'impose une densité croissante.

Étape 6

Espérance : l'aire sous $f$ est le triangle de sommets $(0\,;0)$ , $(0{,}5\,;0)$ et $(0{,}5\,;4)$ . L'abscisse de son centre de gravité est la moyenne des abscisses des trois sommets, $\frac{0+0{,}5+0{,}5}{3}=\frac{1}{3}\approx 0{,}333$ mm.

Pourquoi

Aucune intégrale : le centre de gravité d'un triangle est la moyenne de ses trois sommets, et c'est exactement la définition géométrique de l'espérance continue. Une ligne remplace un calcul que ce cours ne demande pas.

Étape 7

Variance, avec $a=0$ , $b=0{,}5$ et un sommet en $c=0{,}5$ : $V(X)=\frac{0+0{,}25+0{,}25-0-0-0{,}25}{18}=\frac{0{,}25}{18}\approx 0{,}013889$ et $\sigma=\sqrt{0{,}013889}\approx 0{,}1179$ mm.

Pourquoi

L'écart-type doit rester petit devant la largeur du support, ici $0{,}12$ contre $0{,}5$ . Un écart-type plus grand que le support entier signalerait une erreur de formule, pas une variable très dispersée.

Étape 8

$P(X=0{,}3)=0$ , alors que $f(0{,}3)=8\times 0{,}3=2{,}4$ . Pour obtenir un nombre non nul, il faut une largeur : $P(0{,}29\leq X\leq 0{,}31)=\frac{f(0{,}29)+f(0{,}31)}{2}\times 0{,}02=2{,}4\times 0{,}02=0{,}048$ .

Pourquoi

C'est la question qui sépare les copies. Les deux affirmations ne se contredisent pas : l'une porte sur une aire de largeur nulle, l'autre sur une hauteur. Et le trapèze redonne ici exactement $F(0{,}31)-F(0{,}29)$ .

Étape 9

Contrôle final : $E(X)\approx 0{,}333$ , $m\approx 0{,}354$ et le mode vaut $0{,}5$ , donc moyenne, puis médiane, puis mode. Et $F(0{,}5)=1$ .

Pourquoi

Cet ordre est la signature d'une densité étalée vers la GAUCHE, ce que confirme le dessin. S'il sortait inversé, l'erreur serait dans le centre de gravité, pas dans la médiane, qui elle a été vérifiée sur $F$ .

Conclusion rédigée

L'excès d'épaisseur a pour densité $f(x)=8x$ sur $[0\,;0{,}5]$ et pour répartition $F(x)=4x^{2}$ . Sa médiane vaut $\sqrt{0{,}125}\approx 0{,}354$ mm, son espérance $\frac{1}{3}\approx 0{,}333$ mm et son écart-type $\approx 0{,}118$ mm; $64$ pour cent des pièces dépassent $0{,}3$ mm d'excès, et la probabilité d'un excès EXACTEMENT égal à $0{,}3$ mm est nulle.

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire $f(0{,}5)=1$ pour « que ça fasse 1 », donc $k=2$ . Toute la suite reste cohérente avec elle-même, $F$ , la médiane et l'espérance sortent sans alerte, et seule la vérification $F(0{,}5)=1$ attrape la faute : elle donnerait $0{,}25$ .

À savoir par cœur

• Deux conditions, jamais une de plus : $f(x)\geq 0$ PARTOUT, et aire totale égale à 1. C'est la seconde qui donne la constante.
• Une probabilité est une AIRE et n'a pas d'unité; une densité est une HAUTEUR et en a toujours une. Elle peut dépasser 1.
• $P(X=a)=0$ pour toute valeur, donc $P(a\leq X\leq b)=P(a<X<b)$ . Vrai en continu, FAUX en discret.
• $F(x)=P(X\leq x)$ croît de 0 à 1 SANS SAUT; $P(a\leq X\leq b)=F(b)-F(a)$ et la médiane résout $F(m)=0{,}5$ .
• Uniforme sur $[a\,;b]$ : $f=\frac{1}{b-a}$ , $E=\frac{a+b}{2}$ , $V=\frac{(b-a)^{2}}{12}$ . Elle VIEILLIT.
• Exponentielle : $F(x)=1-e^{-\lambda x}$ , $P(X>x)=e^{-\lambda x}$ , $E=\sigma=\frac{1}{\lambda}$ , médiane $\frac{\ln 2}{\lambda}$ . Elle est SANS MÉMOIRE.
• Normale : $f(\mu)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$ dépasse 1 dès que $\sigma<0{,}399$ , et 68, 95 puis 99,7 pour cent sont les AIRES des bandes $\mu\pm\sigma$ , $\mu\pm 2\sigma$ et $\mu\pm 3\sigma$ .
• $E(X)$ est le CENTRE DE GRAVITÉ de l'aire sous $f$ ; le sommet de $f$ est le MODE, et les deux ne coïncident que sur une densité symétrique.

Questions fréquentes

Une densité de probabilité peut-elle dépasser 1 ?

Oui, sans aucune contradiction. Ce qui est plafonné à 1, c'est l'aire totale sous la courbe, jamais la hauteur. Une loi uniforme sur un intervalle de longueur 0,25 a une densité constante égale à 4, et son aire vaut bien 0,25 fois 4, c'est-à-dire 1. Une densité est une probabilité par unité : plus la variable est concentrée, plus elle est haute.

Pourquoi la probabilité d'une valeur exacte est-elle nulle ?

Parce qu'une probabilité est une aire, et que l'aire au-dessus d'un seul point, de largeur nulle, vaut zéro. Cela ne rend pas la valeur impossible : la variable prend bien une valeur, et chacune a une probabilité nulle. C'est la raison pour laquelle les inégalités strictes et larges donnent le même résultat en continu, alors qu'elles diffèrent dans le discret.

Comment calculer une probabilité continue sans intégrale au cégep ?

En calculant une aire géométrique. Une densité constante donne un rectangle, une densité affine un trapèze ou une différence de triangles, une densité en escalier une somme de rectangles. Pour la loi exponentielle, la formule donne directement la réponse, et pour la loi normale on lit la table après avoir calculé la cote z. Aucun de ces gestes ne demande le calcul intégral.

Quelle différence entre densité et fonction de répartition ?

La densité est une hauteur, la répartition une aire accumulée. La répartition en x est la probabilité que la variable soit inférieure ou égale à x : elle part de 0, monte sans jamais redescendre et finit à 1. La densité, elle, n'a aucune raison de faire cela et peut monter, descendre ou dépasser 1. La médiane se lit sur la répartition, jamais sur la densité.

Qu'est-ce que l'absence de mémoire de la loi exponentielle ?

C'est le fait qu'un composant déjà en service a exactement la même loi de survie qu'un neuf. La probabilité de tenir encore cinq ans ne dépend pas des années déjà passées : le taux de panne est constant. Le modèle convient à une panne électronique accidentelle, mais pas à un pneu ni à une pièce qui s'use, dont le taux de défaillance augmente avec l'âge.

Comment lire les 68, 95 et 99,7 pour cent de la loi normale ?

Ce sont des aires, pas des hauteurs, et elles sont les mêmes pour toute loi normale parce qu'elles se mesurent en écarts-types. La bande allant d'un écart-type de part et d'autre de la moyenne porte 68,27 pour cent de la probabilité, celle à deux écarts-types 95,45 pour cent, celle à trois 99,73 pour cent. Le reste se partage entre les deux queues, à parts égales.

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Exercices corrigés : La variable continue et sa densité

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
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