Fiche de révision : modéliser l'écoulement d'un fluide, Archimède et Bernoulli (Terminale spécialité)

Archimède : volume IMMERGÉ, masse volumique du FLUIDE

• • $\vec{\Pi}=-\rho_{fluide}\,V_{imm}\,\vec{g}$ : verticale, vers le haut, de valeur $\rho_{fluide}\,V_{imm}\,g$.
• • Elle est la résultante des forces pressantes : la face du bas, plus profonde, est poussée plus fort que la face du haut. Les forces latérales se compensent.
• • Objet entièrement immergé dans un liquide : $V_{imm}=V$, et $\Pi$ ne dépend ni de la profondeur ni de la masse de l'objet.
• • Objet qui flotte à l'équilibre : $\Pi=P$, donc $\dfrac{V_{imm}}{V}=\dfrac{\rho_{moy}}{\rho_{fluide}}$, avec $\rho_{moy}$ masse volumique MOYENNE de l'objet, air enfermé compris.
• • Il coule si $\rho_{moy}>\rho_{fluide}$, il flotte si $\rho_{moy}<\rho_{fluide}$.

Écrire le système et les deux forces, poids et poussée, avant tout calcul : c'est la ligne que le correcteur cherche en premier.

Écoulement : le débit se conserve, la vitesse se paie en pression

• • Débit volumique : $D_{V}=S\,v$, en $\mathrm{m^{3}\cdot s^{-1}}$. $1\ \mathrm{L}=10^{-3}\ \mathrm{m^{3}}$.
• • Fluide incompressible, régime permanent : $S_{1}v_{1}=S_{2}v_{2}$, donc $\dfrac{v_{2}}{v_{1}}=\left(\dfrac{d_{1}}{d_{2}}\right)^{2}$ pour des conduites circulaires.
• • Relation de Bernoulli (fournie), le long d'une ligne de courant : $p+\dfrac{1}{2}\rho v^{2}+\rho g z=\text{constante}$.
• • Effet Venturi : à même altitude, là où la section se rétrécit, la vitesse augmente et la pression DIMINUE.
• • Surface libre ou jet à l'air : $p=p_{0}$. Grande surface libre : $v\approx 0$. Point d'arrêt : $v=0$.

L'effet Venturi se lit sur des piézomètres

• • Un piézomètre, tube vertical ouvert branché sur la conduite, monte à la hauteur $h=\frac{p-p_{0}}{\rho g}$ au-dessus de l'axe : sa hauteur MESURE la pression.
• • Au col, la section diminue, la vitesse augmente ($S_{1}v_{1}=S_{2}v_{2}$) et, à même altitude, Bernoulli donne $h_{1}-h_{2}=\frac{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2g}$ : le piézomètre du col est plus BAS.
• • Exemple : $v_{1}=0{,}318\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ dans un tube de $2{,}00\ \mathrm{cm}$ et un col de $1{,}00\ \mathrm{cm}$ donnent $v_{2}=4v_{1}$ et une dénivellation de $7{,}75\ \mathrm{cm}$.
• • En aval, à section égale, le fluide parfait retrouverait la hauteur d'amont ; le petit déficit mesuré en pratique est la perte de charge, signe de la viscosité.

La vidange d'un réservoir : la formule de Torricelli

• • Points : $A$ à la surface libre, $B$ dans le jet à la sortie. En $A$ et en $B$, $p=p_{0}$ ; la surface est grande devant l'orifice, donc $v_{A}\approx 0$.
• • Bernoulli entre $A$ et $B$ : $\frac{1}{2}\rho v_{B}^{2}=\rho g\,(z_{A}-z_{B})$, d'où $v_{B}=\sqrt{2gh}$, la vitesse d'une chute libre de hauteur $h$.
• • Débit : $D_{V}=s\,v_{B}$ à l'orifice de section $s$ ; la surface descend à $v_{A}=\frac{D_{V}}{S}$, d'autant plus lentement que $S$ est grande devant $s$.
• • Comme $h$ diminue, $v_{B}$ diminue avec $\sqrt{h}$ : la vidange ralentit, et la seconde moitié du réservoir se vide plus lentement que la première.

Les trois hypothèses du modèle, et ce qui les fait tomber

• • Fluide PARFAIT, sans viscosité : tombe pour le miel, les huiles, un tuyau long et étroit (perte de charge, $p+\dfrac{1}{2}\rho v^{2}+\rho g z$ diminue le long de l'écoulement).
• • Fluide INCOMPRESSIBLE : vrai pour les liquides ; vrai pour l'air tant que sa vitesse reste loin de celle du son, faux pour un gaz qui se détend fortement.
• • Écoulement PERMANENT : les grandeurs en un point ne dépendent pas du temps. Une vidange lente ou un débit moyen s'en accommodent ; un écoulement pulsé ne s'y décrit qu'en moyenne.

Une question « discutez le modèle » attend le nom d'une hypothèse ET le fait expérimental qui la met en défaut.