Spécialité physique-chimie, Terminale • Exercices corrigés à Montréal

Fiche de révision : modéliser l'écoulement d'un fluide, Archimède et Bernoulli (Terminale spécialité)

Cette fiche rassemble ce qui fait perdre des points sur le chapitre « Modéliser l'écoulement d'un fluide » de la spécialité physique-chimie de Terminale, exclu de l'écrit depuis 2020 et de nouveau évaluable à la session de juin 2027.

La relation de Bernoulli est toujours fournie par l'énoncé : ce qui est noté, c'est le choix des deux points, les termes qu'on élimine en le disant, et la discussion des hypothèses. La loi de la statique $p_{B}-p_{A}=\rho g\,(z_{A}-z_{B})$ vient de Première et sert de point de départ.

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Le fil du chapitre

Un fluide agit par des DIFFÉRENCES de pression : entre le bas et le haut d'un objet immergé, elle donne la poussée d'Archimède ; entre deux points d'un écoulement, elle se paie en vitesse. Avant toute formule, on nomme les deux points que l'on compare.

Ce chapitre fait partie de Spécialité physique-chimie en Terminale

Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 10 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Fluides : révision de la statique de Première, puis Archimède et écoulement Exercices

Remonter plus loin : la chaîne complète (4 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Poids, gravitation et signauxTroisième
2Mouvement et interactionsSeconde
3Décrire un fluide au reposPremière
4Fluides : révision de la statique de Première, puis Archimède et écoulement

Notions couvertes

Poussée d'Archimède
Masse volumique moyenne
Flottaison et fraction immergée
Débit volumique
Conservation du débit
Écoulement en régime permanent
Relation de Bernoulli
Effet Venturi
Formule de Torricelli
Tube de Pitot
Modèle du fluide parfait incompressible
Perte de charge

L'essentiel

Archimède : volume IMMERGÉ, masse volumique du FLUIDE

• $\vec{\Pi}=-\rho_{fluide}\,V_{imm}\,\vec{g}$ : verticale, vers le haut, de valeur $\rho_{fluide}\,V_{imm}\,g$ .
• Elle est la résultante des forces pressantes : la face du bas, plus profonde, est poussée plus fort que la face du haut. Les forces latérales se compensent.
• Objet entièrement immergé dans un liquide : $V_{imm}=V$ , et $\Pi$ ne dépend ni de la profondeur ni de la masse de l'objet.
• Objet qui flotte à l'équilibre : $\Pi=P$ , donc $\dfrac{V_{imm}}{V}=\dfrac{\rho_{moy}}{\rho_{fluide}}$ , avec $\rho_{moy}$ masse volumique MOYENNE de l'objet, air enfermé compris.
• Il coule si $\rho_{moy}>\rho_{fluide}$ , il flotte si $\rho_{moy}<\rho_{fluide}$ .

À gauche, tout le volume est immergé ; à droite, seule la partie sous la surface compte dans

V_{imm}

. Dans les deux cas, c'est

\rho_{fluide}

qui entre dans

\Pi

Écrire le système et les deux forces, poids et poussée, avant tout calcul : c'est la ligne que le correcteur cherche en premier.

Écoulement : le débit se conserve, la vitesse se paie en pression

• Débit volumique : $D_{V}=S\,v$ , en $\mathrm{m^{3}\cdot s^{-1}}$ . $1\ \mathrm{L}=10^{-3}\ \mathrm{m^{3}}$ .
• Fluide incompressible, régime permanent : $S_{1}v_{1}=S_{2}v_{2}$ , donc $\dfrac{v_{2}}{v_{1}}=\left(\dfrac{d_{1}}{d_{2}}\right)^{2}$ pour des conduites circulaires.
• Relation de Bernoulli (fournie), le long d'une ligne de courant : $p+\dfrac{1}{2}\rho v^{2}+\rho g z=\text{constante}$ .
• Effet Venturi : à même altitude, là où la section se rétrécit, la vitesse augmente et la pression DIMINUE.
• Surface libre ou jet à l'air : $p=p_{0}$ . Grande surface libre : $v\approx 0$ . Point d'arrêt : $v=0$ .

La section diminue, la vitesse augmente (conservation du débit) et la pression baisse (Bernoulli) : les deux lois se lisent sur le même dessin.

Les trois hypothèses du modèle, et ce qui les fait tomber

• Fluide PARFAIT, sans viscosité : tombe pour le miel, les huiles, un tuyau long et étroit (perte de charge, $p+\dfrac{1}{2}\rho v^{2}+\rho g z$ diminue le long de l'écoulement).
• Fluide INCOMPRESSIBLE : vrai pour les liquides ; vrai pour l'air tant que sa vitesse reste loin de celle du son, faux pour un gaz qui se détend fortement.
• Écoulement PERMANENT : les grandeurs en un point ne dépendent pas du temps. Une vidange lente ou un débit moyen s'en accommodent ; un écoulement pulsé ne s'y décrit qu'en moyenne.

Une question « discutez le modèle » attend le nom d'une hypothèse ET le fait expérimental qui la met en défaut.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Mettre la masse volumique de l'objet dans la poussée

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\Pi=\rho_{bois}\,V\,g$ »

Ce qu'il faut écrire

« $\Pi=\rho_{eau}\,V_{imm}\,g$ : la poussée est le poids du FLUIDE déplacé. »

Pourquoi : La poussée vient des pressions du fluide sur les parois, elle ignore de quoi l'objet est fait. La masse volumique de l'objet n'intervient que dans son poids.

2. Prendre le volume total d'un objet qui flotte

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La bouée de $30\ \mathrm{L}$ flotte, donc $\Pi=1{,}00\times 10^{3}\times 30\times 10^{-3}\times 9{,}81\approx 294\ \mathrm{N}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La bouée flotte à l'équilibre, donc $\Pi=P$ ; seule sa partie immergée déplace de l'eau. $294\ \mathrm{N}$ est la poussée maximale, bouée entièrement enfoncée. »

Pourquoi : Pour un objet qui flotte, la poussée s'ajuste au poids en réglant le volume immergé ; la poussée totale n'est atteinte que si on l'enfonce complètement.

3. Oublier de mettre le rapport des diamètres au carré

1 à 2 points, et toute la suite

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le diamètre passe de $3{,}0$ à $1{,}5\ \mathrm{cm}$ , donc la vitesse double : $2{,}4\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $v_{2}=v_{1}\left(\dfrac{d_{1}}{d_{2}}\right)^{2}=1{,}2\times 4=4{,}8\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ : c'est la SECTION qui compte, et elle est divisée par quatre. »

Pourquoi : Le débit est une section fois une vitesse ; la section d'un tube circulaire varie comme le carré du diamètre.

4. Croire que la pression est plus forte là où ça va vite

1 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Au col du tube, l'eau va plus vite, donc elle pousse plus fort sur les parois. »

Ce qu'il faut écrire

« À même altitude, $p_{1}-p_{2}=\dfrac{1}{2}\rho\,(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})>0$ : la pression est plus FAIBLE au col, là où la vitesse est la plus grande. »

Pourquoi : Bernoulli est un bilan : ce que le fluide gagne en énergie cinétique, il le prend sur sa pression. L'intuition confond pression sur la paroi et force du jet sur un obstacle.

5. Mal mesurer la hauteur de Torricelli

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'orifice est au fond du réservoir, donc $h$ est la profondeur d'eau au-dessus du fond. »

Ce qu'il faut écrire

« $v=\sqrt{2gh}$ avec $h=z_{A}-z_{B}$ , dénivellation entre la surface libre $A$ et le point de SORTIE $B$ , à l'air libre. »

La hauteur

h

va de la surface

A

à la sortie

B

du tuyau, pas au fond du réservoir : ici elle est presque le double de la profondeur d'eau.

Pourquoi : Bernoulli compare deux points où la pression vaut $p_{0}$ : la surface libre et le jet. Un tuyau qui descend sous le réservoir ajoute sa hauteur, un siphon qui monte n'en retire rien.

6. Éliminer un terme sans le justifier

1 point par terme éliminé sans raison

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $p_{A}+\dfrac{1}{2}\rho v_{A}^{2}+\rho g z_{A}=p_{B}+\dfrac{1}{2}\rho v_{B}^{2}+\rho g z_{B}$ , donc $v_{B}=\sqrt{2gh}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $p_{A}=p_{B}=p_{0}$ (surface libre et jet à l'air libre) et $v_{A}\approx 0$ (grande surface), donc $\dfrac{1}{2}\rho v_{B}^{2}=\rho g\,(z_{A}-z_{B})$ . »

Pourquoi : Le barème récompense chaque simplification justifiée, car c'est là que se voit la compréhension du modèle ; le résultat seul se recopie.

7. Oublier la conversion des unités dans Bernoulli

1 point, et une vitesse absurde

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\Delta p=1{,}35\ \mathrm{kPa}$ , donc $v=\sqrt{\dfrac{2\times 1{,}35}{1{,}0}}\approx 1{,}6\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ pour l'avion. »

Ce qu'il faut écrire

« $\Delta p=1\,350\ \mathrm{Pa}$ : $v=\sqrt{\dfrac{2\times 1\,350}{1{,}0}}\approx 52\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ . »

Pourquoi : La relation n'est cohérente qu'en unités SI : pascals, kilogrammes par mètre cube, mètres par seconde. Un ordre de grandeur absurde signale presque toujours une conversion oubliée.

8. Conserver le débit volumique d'un gaz qui se détend

1 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le débit volumique d'air est le même à l'entrée et à la sortie du détendeur. »

Ce qu'il faut écrire

« Pour un gaz dont la masse volumique change, c'est le débit MASSIQUE qui se conserve ; le débit volumique n'est conservé que pour un fluide incompressible. »

Pourquoi : La conservation du débit volumique suppose qu'un volume de fluide garde son volume : c'est l'hypothèse incompressible, qu'il faut nommer.

Quelle méthode choisir

Quelle relation selon la situation

Ce que l'énoncé décrit et ce qu'il demande

Si Un objet plongé dans un fluide, au repos, on demande s'il flotte ou une force → Poids et poussée d'Archimède, $\Pi=\rho_{fluide}V_{imm}g$ ; équilibre si l'objet flotte

Exemple : Bouée de $12\ \mathrm{kg}$ qui flotte : $\Pi=P\approx 118\ \mathrm{N}$
Si Une conduite dont le diamètre change, on demande une vitesse → Conservation du débit, $S_{1}v_{1}=S_{2}v_{2}$

Exemple : $3{,}0\to 1{,}5\ \mathrm{cm}$ : vitesse multipliée par $4$
Si Deux points d'un même écoulement, on demande une pression ou une vitesse → Relation de Bernoulli entre ces deux points, souvent après la conservation du débit

Exemple : Venturi horizontal : $p_{1}-p_{2}=\dfrac{1}{2}\rho\,(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})$
Si Un réservoir à surface libre qui se vide par un orifice ou un tuyau → Bernoulli entre la surface ( $p_{0}$ , $v\approx 0$ ) et la sortie ( $p_{0}$ ) : $v=\sqrt{2gh}$

Exemple : $h=3{,}20\ \mathrm{m}$ : $v\approx 7{,}92\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$
Si Un point où le fluide s'arrête face à l'écoulement → Point d'arrêt : $\Delta p=\dfrac{1}{2}\rho v^{2}$ , principe du tube de Pitot

Exemple : Air, $\Delta p=1\,350\ \mathrm{Pa}$ : $v\approx 52\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$

Si le fluide est au repos, Bernoulli se réduit à la statique de Première, v nulle partout. Si l'énoncé mentionne une viscosité ou une perte de charge, Bernoulli donne le bilan idéal et la perte s'ajoute à part.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Appliquer la relation de Bernoulli entre deux points

Quand l'utiliser : L'énoncé fournit la relation et demande une vitesse, une pression ou un débit

1 Vérifier et écrire les hypothèses : fluide parfait, incompressible, écoulement permanent.
2 Nommer les deux points A et B, sur une même ligne de courant, et un axe z vertical vers le haut.
3 Dresser pour chacun ce qu'on sait : pression, vitesse, altitude.
4 Écrire la relation complète entre A et B, puis éliminer chaque terme en disant pourquoi (pression atmosphérique, vitesse négligeable, même altitude).
5 Utiliser la conservation du débit si les deux vitesses sont inconnues.
6 Résoudre littéralement, puis faire l'application numérique en unités SI et commenter l'ordre de grandeur.

Phrase de conclusion

« L'eau est considérée comme un fluide parfait et incompressible, en écoulement permanent. Entre la surface libre $A$ ( $p_{A}=p_{0}$ , $v_{A}\approx 0$ ) et la sortie $B$ ( $p_{B}=p_{0}$ ), la relation de Bernoulli donne $\rho g z_{A}=\dfrac{1}{2}\rho v_{B}^{2}+\rho g z_{B}$ , d'où $v_{B}=\sqrt{2g\,(z_{A}-z_{B})}$ . »

Le piège : Choisir deux points qui ne sont pas sur le même écoulement, par exemple un point du jet et un point d'un autre réservoir.

Barème : 1 point pour les hypothèses et les deux points, 1 point pour les simplifications justifiées, 1 point pour l'expression littérale, 1 point pour la valeur numérique avec unité.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

La vitesse de chute libre

Une vitesse de Torricelli est celle d'une chute libre de hauteur $h$ : $\sqrt{2gh}$ vaut environ $4{,}4\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ pour un mètre, $14\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ pour dix.

Trouver $44\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ pour une chute d'eau de $1\ \mathrm{m}$ signale un facteur $100$ oublié, souvent des centimètres laissés tels quels.
Le sens de l'effet Venturi

La pression la plus basse doit se trouver là où la section est la plus petite, à même altitude. Un résultat inverse cache un signe inversé dans la relation.

$p_{large}-p_{etroit}$ négatif pour un tube horizontal : les vitesses ont été échangées.
Un bar pour dix mètres d'eau

$\rho g h$ vaut environ $10^{5}\ \mathrm{Pa}$ pour $10\ \mathrm{m}$ d'eau : toute différence de pression liée à une hauteur doit tomber dans cet ordre.

Monter l'eau de $12\ \mathrm{m}$ doit coûter $1{,}2\ \mathrm{bar}$ environ ; $12\ \mathrm{bar}$ signale une erreur d'unité.
La fraction immergée entre 0 et 1

Pour un objet qui flotte, $\dfrac{\rho_{moy}}{\rho_{fluide}}$ doit être strictement inférieur à $1$ . Un rapport supérieur à $1$ dit que l'objet coule et que l'hypothèse de flottaison était fausse.

Acier dans l'eau : $\dfrac{7\,850}{1\,000}\approx 7{,}9$ , donc un lingot plein coule ; seule une coque creuse peut flotter.

L'exercice type décortiqué

La fontaine alimentée par un bassin

Un grand bassin alimente une fontaine par un tuyau de diamètre $2{,}0\ \mathrm{cm}$ , terminé par un ajutage de diamètre $1{,}0\ \mathrm{cm}$ situé $3{,}20\ \mathrm{m}$ sous la surface du bassin. L'eau sort à l'air libre. On donne la relation de Bernoulli $p+\dfrac{1}{2}\rho v^{2}+\rho g z=\text{constante}$ , $\rho=1{,}00\times 10^{3}\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}$ et $g=9{,}81\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}$ .

Calculer la vitesse de sortie, le débit, puis la surpression dans le tuyau juste avant l'ajutage, à la même altitude que la sortie.

Étape 1

Hypothèses : eau fluide parfait, incompressible, écoulement permanent. Points : $A$ à la surface du bassin, $B$ à la sortie de l'ajutage, $C$ dans le tuyau juste avant l'ajutage.

Pourquoi

Trois points, parce qu'on cherche deux choses : la vitesse se lit entre $A$ et $B$ , la pression entre $C$ et $B$ . Nommer les points d'abord évite de mélanger les deux bilans.

Étape 2

Entre $A$ et $B$ : $p_{A}=p_{B}=p_{0}$ et $v_{A}\approx 0$ , donc $v_{B}=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times 9{,}81\times 3{,}20}\approx 7{,}92\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ .

Pourquoi

Chaque élimination est dite : surface libre et jet à l'air sont à $p_{0}$ , la vitesse d'un grand bassin est négligeable. La hauteur va de la surface à la SORTIE.

Étape 3

Débit : $D_{V}=S_{B}v_{B}=\pi\times(5{,}0\times 10^{-3})^{2}\times 7{,}92\approx 6{,}22\times 10^{-4}\ \mathrm{m^{3}\cdot s^{-1}}$ , soit $0{,}622\ \mathrm{L\cdot s^{-1}}$ .

Pourquoi

On prend la section où l'on connaît la vitesse. Le rayon, pas le diamètre, entre dans $\pi r^{2}$ .

Étape 4

Conservation du débit : $v_{C}=v_{B}\left(\dfrac{1{,}0}{2{,}0}\right)^{2}\approx 1{,}98\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ .

Pourquoi

Le tuyau est deux fois plus large : section quatre fois plus grande, vitesse quatre fois plus petite. C'est ce qui rend $v_{C}$ calculable avant Bernoulli.

Étape 5

Entre $C$ et $B$ , même altitude : $p_{C}-p_{0}=\dfrac{1}{2}\rho\,(v_{B}^{2}-v_{C}^{2})=\dfrac{1}{2}\times 1{,}00\times 10^{3}\times(62{,}8-3{,}9)\approx 2{,}94\times 10^{4}\ \mathrm{Pa}$ .

Pourquoi

L'effet Venturi, chiffré : le tuyau, où l'eau va lentement, est en surpression par rapport au jet rapide. Vérification : c'est $\dfrac{15}{16}$ de $\rho g h\approx 3{,}14\times 10^{4}\ \mathrm{Pa}$ , la pression statique qu'on aurait robinet fermé.

Conclusion rédigée

L'eau sort à environ $7{,}9\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ , avec un débit de $0{,}62\ \mathrm{L\cdot s^{-1}}$ ; juste avant l'ajutage, l'eau du tuyau est en surpression d'environ $29\ \mathrm{kPa}$ , un peu moins que la surpression statique de $31\ \mathrm{kPa}$ .

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire $p_{C}-p_{0}=\rho g h$ , la loi de la statique : elle vaut robinet fermé. Dès que l'eau coule, une partie de la pression est convertie en vitesse.

À savoir par cœur

• $\vec{\Pi}=-\rho_{fluide}\,V_{imm}\,\vec{g}$ : masse volumique du FLUIDE, volume IMMERGÉ.
• Un corps flotte si sa masse volumique MOYENNE est inférieure à celle du fluide ; fraction immergée $\dfrac{\rho_{moy}}{\rho_{fluide}}$ .
• $D_{V}=S\,v$ et, fluide incompressible en régime permanent, $S_{1}v_{1}=S_{2}v_{2}$ .
• Diamètre divisé par $2$ : section divisée par $4$ , vitesse multipliée par $4$ .
• $p+\dfrac{1}{2}\rho v^{2}+\rho g z$ se conserve le long d'une ligne de courant, fluide parfait, incompressible, régime permanent.
• Torricelli : $v=\sqrt{2gh}$ , $h$ de la surface libre à la SORTIE. Pitot : $\Delta p=\dfrac{1}{2}\rho v^{2}$ .
• Là où la vitesse augmente, à même altitude, la pression DIMINUE : effet Venturi.

Questions fréquentes

La relation de Bernoulli est-elle à apprendre par cœur en Terminale ?

Non : le programme précise qu'elle est fournie dans l'énoncé. Ce qu'on attend de vous, c'est de choisir deux points d'un même écoulement, de dire ce que vous savez en chacun, pression, vitesse et altitude, puis d'éliminer les termes en justifiant chaque élimination. Connaître ses trois hypothèses, fluide parfait, incompressible, écoulement permanent, est en revanche indispensable.

Pourquoi un bateau en acier flotte-t-il alors que l'acier coule ?

Parce que ce qui compte est la masse volumique moyenne du bateau, air enfermé compris, et non celle de l'acier. Une coque creuse déplace un grand volume d'eau avec peu de matière : la poussée, égale au poids de l'eau déplacée, peut alors égaler le poids du navire. Le même acier fondu en lingot plein déplace très peu d'eau et coule.

Pourquoi l'eau va-t-elle plus vite quand le tuyau se rétrécit ?

Parce qu'un liquide est incompressible : en régime permanent, le même volume doit traverser chaque section en une seconde. Si la section diminue, la vitesse augmente dans la même proportion. Pour un tuyau rond, diviser le diamètre par deux divise la section par quatre, et multiplie donc la vitesse par quatre.

Qu'est-ce que l'effet Venturi, en une phrase ?

Dans un écoulement horizontal, là où le fluide accélère, par exemple dans un rétrécissement, sa pression baisse. La relation de Bernoulli l'explique : l'énergie cinétique gagnée est prise sur la pression. C'est ce qui permet de mesurer un débit avec deux prises de pression, et ce qui fait aspirer de l'air à une trompe à eau.

Quelles sont les limites du modèle de Bernoulli à citer au bac ?

Il suppose un fluide parfait, donc sans viscosité : il échoue pour le miel ou dans un long tuyau, où des pertes de charge apparaissent. Il suppose un fluide incompressible : correct pour les liquides, et pour l'air loin de la vitesse du son. Il suppose un écoulement permanent, que l'on applique aussi à une vidange lente.

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Exercices corrigés : Modéliser l'écoulement d'un fluide : Archimède et Bernoulli

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

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© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/tspc-ecoulement-fluide. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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