Spécialité physique-chimie, Terminale • Exercices corrigés à Montréal

Fiche de révision : les transferts thermiques (Terminale spécialité)

Les transferts thermiques sont le chapitre le plus concret du programme : isoler un mur, refroidir un café, chauffer une pièce avec une pompe à chaleur. Les formules y sont courtes, et l'analogie avec l'électricité rend les calculs immédiats. Ce qui coûte des points, ce sont les unités et les bilans, jamais l'algèbre.

Cette fiche liste les huit erreurs qui reviennent, avec la phrase exacte qui les remet, l'arbre des trois modes de transfert, l'analogie complète entre résistance thermique et résistance électrique, et l'isolation d'un mur décortiquée du calcul de résistance jusqu'à l'énergie économisée.

Le fil du chapitre

Un flux thermique se calcule exactement comme un courant électrique : $\Phi=\frac{\Delta T}{R_{\mathrm{th}}}$ , et les résistances des couches successives s'AJOUTENT. Le reste du chapitre est une affaire d'unités, d'écarts de température et de bilans.

Ce chapitre fait partie de Spécialité physique-chimie en Terminale

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Aspects énergétiques des transformationsPremière Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (4 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Molécules, mole et quantité de matièreSeconde
2Équations, avancement et réactif limitantSeconde
3Avancement et dosagesPremière
4Aspects énergétiques des transformationsPremière

L'essentiel

Le premier principe est un bilan, pas un sens d'évolution

• Pour une phase condensée, $\Delta U=mc\Delta T$ , avec $c$ la capacité thermique massique en $\mathrm{J\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}}$ .
• Un ÉCART de température a la même valeur en degrés Celsius et en kelvins : $\Delta T=60\ \mathrm{^{\circ}C}=60\ \mathrm{K}$ . Une température absolue, elle, se convertit en ajoutant $273$ .
• Premier principe : $\Delta U=Q+W$ , en convention du RÉCEPTEUR : ce qui entre dans le système est compté positivement.
• Ce principe est un bilan comptable : il n'interdit à aucune énergie de remonter d'un corps froid vers un corps chaud. C'est le second principe qui donne le SENS des évolutions.

L'erreur la plus coûteuse du chapitre tient en une ligne : ajouter $273$ à un écart de température. Un $\Delta T$ de $60\ \mathrm{^{\circ}C}$ devient alors $333\ \mathrm{K}$ , et l'énergie est multipliée par cinq.

Trois modes de transfert, un seul qui traverse le vide

• CONDUCTION : de proche en proche, sans déplacement de matière. C'est le mode des solides, et celui de tout le formalisme des résistances thermiques.
• CONVECTION : par déplacement d'ensemble d'un fluide, plus chaud donc moins dense. C'est ce qui fait monter l'air chaud d'un radiateur.
• RAYONNEMENT : par ondes électromagnétiques, seul mode qui traverse le VIDE. C'est ainsi que l'énergie du Soleil nous parvient.
• Une même situation combine souvent les trois : un radiateur chauffe par convection et par rayonnement, un mur transmet par conduction.

Le test qui tranche : y a-t-il déplacement de matière ? Non pour la conduction et le rayonnement, oui pour la convection. Et parmi les deux premiers, seul le rayonnement se passe de support.

L'analogie électrique, terme à terme

• Flux thermique : $\Phi=\frac{\Delta T}{R_{\mathrm{th}}}$ , en watts. C'est l'analogue exact de $I=\frac{U}{R}$ .
• Résistance thermique d'une paroi : $R_{\mathrm{th}}=\frac{e}{\lambda S}$ , en $\mathrm{K\cdot W^{-1}}$ , où $e$ est l'épaisseur, $\lambda$ la conductivité et $S$ la surface.
• Couches SUPERPOSÉES : les résistances s'AJOUTENT, exactement comme des résistors en série. Ce sont les résistances, jamais les conductivités.
• Ce qui compte pour isoler, c'est le rapport $\frac{e}{\lambda}$ : jouer sur $\lambda$ est bien plus efficace que sur $e$ , car les conductivités varient d'un facteur $20$ entre la brique et la laine.

La loi de Newton : la vitesse dépend de l'écart restant

• $T(t)=T_{a}+\left(T_{0}-T_{a}\right)\mathrm{e}^{-t/\tau}$ , où $T_{a}$ est la température ambiante et $\tau$ la constante de temps.
• La vitesse de refroidissement est proportionnelle à l'ÉCART restant : elle est maximale au début et ralentit continûment.
• Au bout de $\tau$ , il subsiste $\mathrm{e}^{-1}\approx 37\ \%$ de l'écart initial; au bout de $5\tau$ , moins de $1\ \%$ .
• La température ambiante n'est jamais atteinte rigoureusement : on ne fait que s'en approcher, comme d'une asymptote.

À l'instant

\tau

, l'écart avec l'ambiance passe de

60

22

degrés, soit

37\ \%

, et cette proportion ne dépend pas de la température de départ.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Convertir un écart de température en ajoutant 273

toute la question, avec une énergie six fois trop grande

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'eau passe de $20\ \mathrm{^{\circ}C}$ à $80\ \mathrm{^{\circ}C}$ , donc $\Delta T=80+273=353\ \mathrm{K}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\Delta T=80-20=60\ \mathrm{^{\circ}C}=60\ \mathrm{K}$ : un ÉCART de température a la même valeur dans les deux échelles, car le décalage de $273$ se soustrait de lui-même. »

Pourquoi : Les deux échelles ont le même PAS : un degré Celsius vaut exactement un kelvin. Elles ne diffèrent que par leur origine, et une différence efface l'origine.

2. Additionner les conductivités de deux couches

toute la question, et l'isolation semble inutile

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le mur porte de la brique de conductivité $0{,}80$ et de la laine de conductivité $0{,}040$ : la conductivité totale vaut $0{,}84$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Ce sont les RÉSISTANCES qui s'ajoutent, pas les conductivités : $R_{\mathrm{th}}=\frac{e_{1}}{\lambda_{1}S}+\frac{e_{2}}{\lambda_{2}S}$ . Une couche isolante augmente la résistance totale, elle ne moyenne rien. »

Pourquoi : L'analogie électrique est exacte : deux couches traversées l'une après l'autre sont deux résistors en SÉRIE. Additionner les conductivités reviendrait à mettre les résistors en parallèle, ce qui est le cas d'un mur avec une fenêtre, pas d'un mur isolé.

3. Croire que doubler l'épaisseur d'isolant divise le flux par deux

1 point d'interprétation, sur la question de conclusion

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Je passe de $10$ à $20\ \mathrm{cm}$ de laine : le flux est divisé par deux. »

Ce qu'il faut écrire

« Le flux vaut $\frac{\Delta T}{R_{1}+R_{2}}$ : seule $R_{2}$ double, pas la somme. Et surtout, la résistance de départ n'était pas nulle : les premiers centimètres apportent bien plus que les suivants. »

Les deux premiers centimètres divisent le flux par trois, les huit suivants ne le divisent plus que par trois et demi de plus. Au-delà de dix centimètres, la courbe est presque plate.

Pourquoi : Le flux varie comme l'inverse de la résistance TOTALE. Les premiers centimètres d'isolant multiplient cette résistance par plusieurs, les suivants ne l'augmentent que d'un pourcentage. C'est le principe des rendements décroissants.

4. Juger impossible un coefficient de performance supérieur à 1

1 à 2 points, sur une question d'interprétation

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Une pompe à chaleur annonce un COP de $4$ : elle produirait quatre fois l'énergie consommée, ce qui viole le premier principe. »

Ce qu'il faut écrire

« $\mathrm{COP}=\frac{P_{\mathrm{th}}}{P_{\text{élec}}}$ , et $P_{\mathrm{th}}=P_{\text{élec}}+P_{\text{prélevée}}$ : la pompe ne crée rien, elle TRANSFÈRE de l'énergie prélevée à l'extérieur. Le bilan est parfaitement respecté. »

Pourquoi : Une pompe à chaleur n'est pas un convertisseur mais un déplaceur : l'électricité sert à faire remonter de l'énergie d'un milieu froid vers un milieu chaud. Les trois quarts de la chaleur livrée viennent de l'extérieur, pas de la prise.

5. Confondre le flux thermique et l'énergie transférée

1 point, et un résultat sans commune mesure avec la réalité

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le flux vaut $1600\ \mathrm{W}$ , donc la maison perd $1600\ \mathrm{J}$ par jour. »

Ce qu'il faut écrire

« Le flux est une PUISSANCE, en watts. L'énergie s'obtient en le multipliant par la durée : $E=\Phi\Delta t=1600\times 86\,400=1{,}38\times 10^{8}\ \mathrm{J}$ , soit $38{,}4\ \mathrm{kWh}$ . »

Pourquoi : Le watt est un joule par seconde. Confondre les deux revient à confondre une vitesse et une distance : les unités le disent, et un contrôle d'unité suffit à l'éviter.

6. Croire que le rayonnement a besoin d'un support matériel

1 point, sur une question de cours

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La chaleur du Soleil nous parvient par conduction à travers l'atmosphère. »

Ce qu'il faut écrire

« L'espace entre le Soleil et la Terre est essentiellement VIDE : seul le RAYONNEMENT peut traverser le vide. La conduction et la convection exigent toutes deux un milieu matériel. »

Pourquoi : Le rayonnement est un transport par ondes électromagnétiques, qui se propagent sans support. C'est aussi pour cela qu'un thermos, dont l'enveloppe est sous vide, doit être argenté : le vide bloque deux modes sur trois, pas le troisième.

7. Faire dire au premier principe le sens des évolutions

1 point, sur une question de vocabulaire

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le premier principe interdit à la chaleur d'aller du froid vers le chaud. »

Ce qu'il faut écrire

« Le premier principe est un BILAN : il compte l'énergie sans dire dans quel sens elle va. C'est le SECOND principe qui impose que la chaleur passe spontanément du chaud vers le froid. »

Pourquoi : Un transfert du froid vers le chaud conserve parfaitement l'énergie : il est donc compatible avec le premier principe. C'est précisément ce que fait une pompe à chaleur, au prix d'un travail électrique.

8. Annoncer que la température ambiante est atteinte

1 point, celui de l'interprétation asymptotique

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Au bout de $3\tau$ , le café est à la température de la pièce. »

Ce qu'il faut écrire

« Au bout de $3\tau$ , il reste $\mathrm{e}^{-3}\approx 5\ \%$ de l'écart initial, soit encore $3\ \mathrm{^{\circ}C}$ d'écart pour un café parti à $80\ \mathrm{^{\circ}C}$ dans une pièce à $20\ \mathrm{^{\circ}C}$ . On s'en approche sans jamais l'atteindre. »

Pourquoi : L'exponentielle ne s'annule jamais. Comme pour la cinétique et la décroissance radioactive, on adopte une convention : au-delà de $5\tau$ , l'écart restant est inférieur à $1\ \%$ et on considère l'équilibre atteint.

9. Oublier la surface dans la résistance thermique

1 point, et un flux vingt fois trop petit

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $R_{\mathrm{th}}=\frac{e}{\lambda}=\frac{0{,}20}{0{,}80}=0{,}25\ \mathrm{K\cdot W^{-1}}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $R_{\mathrm{th}}=\frac{e}{\lambda S}$ : avec $S=20\ \mathrm{m^{2}}$ , on obtient $\frac{0{,}20}{0{,}80\times 20}=1{,}25\times 10^{-2}\ \mathrm{K\cdot W^{-1}}$ . »

Pourquoi : Une grande paroi laisse passer plus de chaleur qu'une petite, donc sa résistance est plus faible : la surface est bien au DÉNOMINATEUR. Le contrôle d'unité le confirme, puisque $\lambda$ s'exprime en $\mathrm{W\cdot m^{-1}\cdot K^{-1}}$ .

Quelle méthode choisir

Quel mode de transfert, et comment le reconnaître

Deux questions suffisent : y a-t-il déplacement de matière, et faut-il un milieu matériel ?

Si l'énergie se propage dans un solide, sans que rien ne bouge → CONDUCTION, et c'est le seul mode que le formalisme des résistances thermiques décrit

Exemple : la chaleur qui traverse un mur ou le manche d'une casserole
Si un fluide chaud monte et un fluide froid descend → CONVECTION, avec déplacement d'ensemble de matière

Exemple : l'air au-dessus d'un radiateur, l'eau dans une casserole
Si l'énergie traverse le vide, ou se propage en ligne droite depuis une surface chaude → RAYONNEMENT, le seul mode qui n'exige aucun support

Exemple : le Soleil, un feu ressenti à distance, un thermos argenté
Si l'énoncé demande de limiter les pertes d'un bâtiment → agir sur la conduction par des matériaux de faible $\lambda$ , et sur la convection en supprimant les courants d'air
Si l'énoncé demande pourquoi un thermos est sous vide ET argenté → le vide supprime conduction et convection, l'argenture réfléchit le rayonnement : les trois modes sont traités
Si plusieurs modes coexistent → le dire explicitement, et préciser lequel domine dans la situation étudiée

Le formalisme $\Phi=\frac{\Delta T}{R_{\mathrm{th}}}$ ne décrit que la conduction. Pour la convection et le rayonnement, le programme se limite à une description qualitative, et les questions sont des questions de cours.

Quelle formule selon la question posée

On regarde si la question porte sur une variation de température, sur un régime permanent, ou sur une évolution dans le temps.

Si un corps change de température → $\Delta U=mc\Delta T$ , avec $\Delta T$ en kelvins, c'est-à-dire simplement la DIFFÉRENCE des deux températures

Exemple : chauffer $200\ \mathrm{g}$ d'eau de $20$ à $80\ \mathrm{^{\circ}C}$ demande $50{,}2\ \mathrm{kJ}$
Si on cherche la puissance perdue à travers une paroi, en régime permanent → $\Phi=\frac{\Delta T}{R_{\mathrm{th}}}$ avec $R_{\mathrm{th}}=\frac{e}{\lambda S}$ , et somme des résistances pour plusieurs couches
Si on cherche l'ÉNERGIE perdue sur une durée → $E=\Phi\Delta t$ , en pensant à convertir les heures en secondes ou les joules en kilowattheures
Si un corps se refroidit au cours du temps → loi de Newton, $T(t)=T_{a}+\left(T_{0}-T_{a}\right)\mathrm{e}^{-t/\tau}$

C'est la même équation différentielle que celle du chapitre de mathématiques : $T'=-\frac{1}{\tau}\left(T-T_{a}\right)$ .
Si l'énoncé parle d'une pompe à chaleur ou d'un climatiseur → $\mathrm{COP}=\frac{P_{\mathrm{th}}}{P_{\text{élec}}}$ , avec le bilan $P_{\mathrm{th}}=P_{\text{élec}}+P_{\text{prélevée}}$
Si l'énoncé donne un rendement ou une efficacité et demande de commenter → vérifier la cohérence avec le premier principe, puis rappeler que le second principe interdit un COP infini

L'unité est le meilleur guide du chapitre : des joules pour une énergie, des watts pour un flux, des kelvins par watt pour une résistance. Une formule qui ne tombe pas sur la bonne unité est fausse.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Calculer un flux thermique à travers une paroi composite

Quand l'utiliser : L'exercice type du chapitre : un mur à une ou plusieurs couches, une différence de température, un flux à calculer.

1 Lister les données avec leurs unités, en convertissant les centimètres en mètres AVANT tout calcul.
2 Calculer la résistance de chaque couche séparément : $R_{i}=\frac{e_{i}}{\lambda_{i}S}$ , sans oublier la surface.
3 ADDITIONNER les résistances, en justifiant par l'analogie série : les couches sont traversées l'une après l'autre.
4 Calculer le flux : $\Phi=\frac{\Delta T}{R_{\mathrm{th}}}$ , avec $\Delta T$ la DIFFÉRENCE des températures, en kelvins.
5 Convertir en énergie si l'énoncé le demande : $E=\Phi\Delta t$ , puis éventuellement en kilowattheures.
6 Commenter : comparer avant et après isolation, et donner le facteur de réduction.

Phrase de conclusion

Les deux couches étant traversées successivement, leurs résistances s'ajoutent : $R_{\mathrm{th}}=1{,}25\times 10^{-2}+0{,}125=0{,}1375\ \mathrm{K\cdot W^{-1}}$ , d'où un flux $\Phi=\frac{20}{0{,}1375}\approx 145\ \mathrm{W}$ .

Le piège : Oublier la surface au dénominateur de la résistance. Le résultat est alors faux d'un facteur égal à $S$ , ici $20$ , et rien dans le calcul ne le signale sinon le contrôle d'unité.

Barème : 1 point par résistance calculée, 1 point pour l'addition justifiée, 1 point pour le flux, 1 point pour le commentaire chiffré.

Exploiter la loi de Newton du refroidissement

Quand l'utiliser : Un corps chaud placé dans une ambiance froide, avec une constante de temps donnée ou à déterminer.

1 Identifier les trois grandeurs : la température initiale $T_{0}$ , la température ambiante $T_{a}$ , et la constante de temps $\tau$ .
2 Écrire la loi complète : $T(t)=T_{a}+\left(T_{0}-T_{a}\right)\mathrm{e}^{-t/\tau}$ , en vérifiant qu'elle redonne $T_{0}$ en $t=0$ .
3 Pour une température à une date donnée, substituer directement.
4 Pour une date à température donnée, ISOLER l'exponentielle avant de prendre le logarithme.
5 Interpréter la constante de temps : au bout de $\tau$ , il reste $37\ \%$ de l'écart initial.
6 Conclure sur la limite : la température tend vers $T_{a}$ sans l'atteindre.

Phrase de conclusion

Avec $T_{0}=80\ \mathrm{^{\circ}C}$ , $T_{a}=20\ \mathrm{^{\circ}C}$ et $\tau=10\ \mathrm{min}$ , la température au bout de $10$ minutes vaut $20+60\mathrm{e}^{-1}\approx 42\ \mathrm{^{\circ}C}$ : l'écart initial de $60$ degrés n'en fait plus que $22$ .

Le piège : Prendre le logarithme de l'équation complète, en gardant le $+T_{a}$ . Il faut d'abord isoler l'exponentielle, sinon on aboutit au logarithme d'une somme, qui ne se décompose pas.

Barème : 1 point pour la loi écrite avec ses trois grandeurs, 1 point pour l'application numérique, 1 point pour l'interprétation de $\tau$ .

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Contrôler l'unité de chaque grandeur

Joule pour une énergie, watt pour un flux, kelvin par watt pour une résistance thermique. Une formule qui ne tombe pas sur la bonne unité contient une erreur de structure.

Une résistance calculée sans la surface donne des $\mathrm{m^{2}\cdot K\cdot W^{-1}}$ : l'unité révèle immédiatement l'oubli.
Vérifier qu'un écart de température n'a pas été converti

Un $\Delta T$ est identique en degrés Celsius et en kelvins. Si le nombre employé dépasse $273$ , c'est presque toujours qu'une conversion de trop a eu lieu.

Un $\Delta T$ de $353$ pour un chauffage de $20$ à $80\ \mathrm{^{\circ}C}$ : la bonne valeur est $60$ .
Contrôler l'ordre de grandeur d'une déperdition

Une maison mal isolée perd quelques kilowatts, une maison bien isolée quelques centaines de watts. Un résultat en mégawatts ou en milliwatts signale une erreur de puissance de dix.

Un flux de $1600\ \mathrm{W}$ pour un mur nu de $20\ \mathrm{m^{2}}$ est plausible; $145\ \mathrm{W}$ après isolation l'est aussi.
Vérifier que l'isolation a bien diminué le flux

Ajouter une couche ne peut qu'AUGMENTER la résistance totale, donc diminuer le flux. Un flux qui augmente après isolation signale une addition ratée.

Passer de $1600$ à $145\ \mathrm{W}$ : facteur $11$ , cohérent avec une résistance multipliée par $11$ .
Vérifier le bilan d'une pompe à chaleur

La puissance thermique livrée doit être exactement la somme de la puissance électrique et de la puissance prélevée à l'extérieur. Un écart signale une erreur de bilan.

$\mathrm{COP}=4$ avec $1\ \mathrm{kW}$ électrique donne $4\ \mathrm{kW}$ livrés, dont $3\ \mathrm{kW}$ prélevés dehors.

L'exercice type décortiqué

Isoler un mur, comme au baccalauréat

Un mur de brique d'épaisseur $e_{1}=20\ \mathrm{cm}$ et de conductivité $\lambda_{1}=0{,}80\ \mathrm{W\cdot m^{-1}\cdot K^{-1}}$ a une surface $S=20\ \mathrm{m^{2}}$ . Il sépare une pièce à $19\ \mathrm{^{\circ}C}$ d'un extérieur à $-1\ \mathrm{^{\circ}C}$ . On envisage d'ajouter $e_{2}=10\ \mathrm{cm}$ de laine de verre, de conductivité $\lambda_{2}=0{,}040\ \mathrm{W\cdot m^{-1}\cdot K^{-1}}$ .

1. Calculer la résistance thermique du mur nu et le flux correspondant. 2. Calculer la résistance de la couche de laine, puis la résistance totale. 3. En déduire le nouveau flux et le facteur de réduction. 4. Calculer l'énergie économisée en $24\ \mathrm{h}$ . 5. Expliquer pourquoi la laine est bien plus efficace que la brique.

La configuration : deux couches traversées l'une après l'autre par le même flux, de l'intérieur chaud vers l'extérieur froid. C'est cette mise en série qui fait s'ajouter les résistances.

Étape 1

$R_{1}=\frac{e_{1}}{\lambda_{1}S}=\frac{0{,}20}{0{,}80\times 20}=1{,}25\times 10^{-2}\ \mathrm{K\cdot W^{-1}}$ .

Pourquoi

L'épaisseur est convertie en mètres et la surface figure au DÉNOMINATEUR : une grande paroi oppose moins de résistance qu'une petite, exactement comme un gros câble électrique.

Étape 2

$\Delta T=19-(-1)=20\ \mathrm{^{\circ}C}=20\ \mathrm{K}$ , donc $\Phi_{1}=\frac{\Delta T}{R_{1}}=\frac{20}{1{,}25\times 10^{-2}}=1{,}6\times 10^{3}\ \mathrm{W}$ .

Pourquoi

L'écart vaut $20$ , pas $293$ : c'est une DIFFÉRENCE, et le décalage des échelles disparaît. Le flux de $1{,}6\ \mathrm{kW}$ pour un seul mur est plausible pour une paroi non isolée.

Étape 3

$R_{2}=\frac{e_{2}}{\lambda_{2}S}=\frac{0{,}10}{0{,}040\times 20}=0{,}125\ \mathrm{K\cdot W^{-1}}$ , soit dix fois la résistance de la brique avec deux fois moins d'épaisseur.

Pourquoi

Le rapport de $10$ vient entièrement du rapport des conductivités, $\frac{0{,}80}{0{,}040}=20$ , corrigé du rapport des épaisseurs, $\frac{1}{2}$ . C'est la réponse à la question 5, préparée dès maintenant.

Étape 4

Les deux couches sont traversées successivement, donc les résistances s'AJOUTENT : $R=R_{1}+R_{2}=1{,}25\times 10^{-2}+0{,}125=0{,}1375\ \mathrm{K\cdot W^{-1}}$ .

Pourquoi

L'addition doit être justifiée par la mise en série, comme pour des résistors. C'est la phrase que le barème attend, et non le seul calcul.

Étape 5

$\Phi_{2}=\frac{20}{0{,}1375}\approx 1{,}45\times 10^{2}\ \mathrm{W}$ . Le facteur de réduction vaut $\frac{1600}{145}\approx 11$ .

Pourquoi

Le flux est divisé par onze, soit exactement le rapport des résistances totales. Une simple couche de dix centimètres suffit à cela, ce qui est l'argument technique du chapitre.

Étape 6

Énergie sur $24\ \mathrm{h}$ , soit $86\,400\ \mathrm{s}$ : avant, $E_{1}=1600\times 86\,400=1{,}38\times 10^{8}\ \mathrm{J}=38{,}4\ \mathrm{kWh}$ ; après, $E_{2}=145\times 86\,400=1{,}26\times 10^{7}\ \mathrm{J}=3{,}5\ \mathrm{kWh}$ .

Pourquoi

Le flux est une puissance : il faut le multiplier par une DURÉE en secondes. La conversion en kilowattheures rend le résultat comparable à une facture d'électricité, ce que l'énoncé attend souvent.

Étape 7

Économie : $38{,}4-3{,}5=34{,}9\ \mathrm{kWh}$ par jour pour ce seul mur, soit environ $91\ \%$ des pertes supprimées.

Pourquoi

Le pourcentage parle plus que la valeur absolue, et il se recoupe avec le facteur $11$ trouvé plus haut : supprimer $91\ \%$ revient bien à diviser par onze.

Étape 8

La laine est plus efficace parce que sa conductivité est vingt fois plus faible que celle de la brique. Ce qui compte dans la résistance est le rapport $\frac{e}{\lambda}$ : diviser $\lambda$ par vingt vaut mieux que multiplier $e$ par deux.

Pourquoi

La conclusion est chiffrée et compare les deux leviers. Une réponse qui dirait seulement « la laine isole mieux » ne rapporte pas le point : c'est le rapport des conductivités qui l'explique.

Conclusion rédigée

Le mur nu laisse passer $1{,}6\ \mathrm{kW}$ , soit $38{,}4\ \mathrm{kWh}$ par jour; dix centimètres de laine de verre portent la résistance de $1{,}25\times 10^{-2}$ à $0{,}1375\ \mathrm{K\cdot W^{-1}}$ , divisent le flux par onze et économisent près de $35\ \mathrm{kWh}$ quotidiens, parce que la conductivité de la laine est vingt fois plus faible que celle de la brique.

L'erreur classique sur cet exercice : Oublier la surface dans les résistances. On obtient $R_{1}=0{,}25$ et $R_{2}=2{,}5\ \mathrm{K\cdot W^{-1}}$ , donc un flux de $80\ \mathrm{W}$ pour un mur nu de vingt mètres carrés : vingt fois trop peu, et l'ordre de grandeur suffit à s'en apercevoir.

À savoir par cœur

• $\Delta U=mc\Delta T$ , et un ÉCART de température vaut la même chose en degrés Celsius et en kelvins.
• $\Delta U=Q+W$ est un BILAN : le sens des évolutions vient du second principe.
• Trois modes : conduction sans déplacement, convection avec déplacement de fluide, rayonnement qui seul traverse le vide.
• $\Phi=\frac{\Delta T}{R_{\mathrm{th}}}$ avec $R_{\mathrm{th}}=\frac{e}{\lambda S}$ : la surface est au DÉNOMINATEUR.
• Couches superposées : les RÉSISTANCES s'ajoutent, jamais les conductivités.
• Un flux est une puissance en watts; l'énergie s'obtient en multipliant par la durée en secondes.
• Loi de Newton : $T(t)=T_{a}+\left(T_{0}-T_{a}\right)\mathrm{e}^{-t/\tau}$ ; il reste $37\ \%$ de l'écart au bout de $\tau$ .
• $\mathrm{COP}=\frac{P_{\mathrm{th}}}{P_{\text{élec}}}$ peut dépasser $1$ : la pompe TRANSFÈRE, elle ne crée pas.
• Les premiers centimètres d'isolant apportent bien plus que les suivants.

Questions fréquentes

Faut-il convertir un écart de température en kelvins ?

Non, il n'y a rien à convertir : un écart a la même valeur dans les deux échelles, parce qu'elles ont le même pas et ne diffèrent que par leur origine. Un écart de soixante degrés Celsius vaut soixante kelvins. Seule une température absolue se convertit, en ajoutant deux cent soixante-treize.

Comment calcule-t-on la résistance thermique d'un mur à plusieurs couches ?

On calcule la résistance de chaque couche, en divisant son épaisseur par le produit de sa conductivité et de la surface, puis on additionne ces résistances. Les couches sont traversées l'une après l'autre, donc elles se comportent comme des résistors en série. On n'additionne jamais les conductivités.

Quel mode de transfert thermique traverse le vide ?

Le rayonnement, et lui seul. La conduction se fait de proche en proche dans la matière et la convection par déplacement d'un fluide : les deux exigent un milieu matériel. C'est pour cela que l'énergie du Soleil nous parvient malgré l'espace vide, et qu'un thermos sous vide doit être argenté.

Un coefficient de performance supérieur à 1 est-il possible ?

Oui, et il n'y a aucune contradiction avec la conservation de l'énergie. Une pompe à chaleur ne fabrique pas de chaleur : elle en prélève à l'extérieur et la fait remonter vers l'intérieur, en utilisant de l'électricité pour cela. La chaleur livrée est donc la somme de l'électricité consommée et de la chaleur prélevée.

Pourquoi la température d'un café ne descend-elle jamais à celle de la pièce ?

Parce que la vitesse de refroidissement est proportionnelle à l'écart restant : plus l'écart est petit, plus le refroidissement est lent. Mathématiquement, la loi est exponentielle et ne s'annule jamais. En pratique, on considère l'équilibre atteint au bout de cinq constantes de temps, où il reste moins d'un pour cent de l'écart.

Quelle différence entre un flux thermique et une énergie ?

Le flux est une puissance, exprimée en watts, c'est-à-dire une énergie par seconde. L'énergie transférée s'obtient en multipliant le flux par la durée exprimée en secondes. Confondre les deux revient à confondre une vitesse et une distance, et le contrôle des unités suffit à l'éviter.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Transferts thermiques

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

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