Spécialité physique-chimie, Terminale • Exercices corrigés à Montréal

Fiche de révision : le dipôle RC, charge, décharge et constante de temps (Terminale)

Le dipôle RC est le premier système du programme à s'écrire par une équation différentielle, et c'est aussi le plus simple : une seule constante, $\tau=RC$ , gouverne tout. Ce qui coûte des points n'est presque jamais la résolution, c'est la condition initiale et la lecture du graphe.

Vous trouverez ici les huit erreurs qui reviennent au baccalauréat, avec la phrase exacte à écrire pour chacune, l'arbre qui donne l'expression selon la phase et la grandeur cherchée, les trois façons de lire $\tau$ sur une courbe expérimentale, et une mesure de capacité inconnue traitée ligne par ligne.

Le fil du chapitre

La tension aux bornes d'un condensateur est CONTINUE : elle ne saute jamais. C'est elle qui donne la condition initiale de toute équation différentielle du chapitre, et c'est l'intensité, elle, qui saute.

Ce chapitre fait partie de Spécialité physique-chimie en Terminale

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (9 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Signal et capteur : circuits et loi d'OhmSeconde
2La fonction exponentiellePremière, Mathématiques
3Énergie et circuitsPremière
4Dérivation et trigonométrieMathématiques
5Exponentielle et logarithmeMathématiques
6Primitives et intégrationMathématiques
7Les équations différentiellesMathématiques
8Tension, intensité et loi d'OhmQuatrième
9Énergie, puissance et conversionsTroisième

L'essentiel

Le condensateur, et sa seule vraie propriété

• Charge et tension : $q=C\,u$ , avec $q$ en coulombs, $C$ en farads et $u$ en volts.
• En convention RÉCEPTEUR : $i=C\,\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}$ . En convention générateur, un signe moins apparaît.
• La tension aux bornes d'un condensateur est CONTINUE : elle ne saute jamais, sous peine d'une intensité infinie.
• L'INTENSITÉ, elle, peut sauter : à la fermeture de l'interrupteur, elle passe instantanément de $0$ à $\dfrac{E}{R}$ .
• En régime permanent, $u$ ne varie plus, donc $i=0$ : le condensateur se comporte alors comme un interrupteur OUVERT.

À l'instant de la fermeture, la courbe de la tension part de zéro sans rupture, alors que celle de l'intensité, en rouge, saute verticalement à

\dfrac{E}{R}

: l'une est continue, l'autre non.

Toute condition initiale du chapitre vient de cette continuité : un condensateur initialement déchargé vérifie $u(0)=0$ juste après la fermeture, et non $u(0)=E$ .

Les deux équations, et leurs deux solutions

• CHARGE : $\tau\,\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}+u=E$ , de solution $u(t)=E\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ pour un condensateur initialement déchargé.
• DÉCHARGE : $\tau\,\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}+u=0$ , de solution $u(t)=E\,e^{-t/\tau}$ pour un condensateur initialement chargé sous $E$ .
• Dans les deux cas, $\tau=RC$ , homogène à un TEMPS : des ohms multipliés par des farads donnent des secondes.
• Intensité de charge : $i(t)=\dfrac{E}{R}\,e^{-t/\tau}$ , maximale à $t=0$ et décroissante ensuite.
• L'équation s'établit toujours de la même façon : loi des mailles, puis remplacement de $u_{R}$ par $R\,i$ et de $i$ par $C\,\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}$ .

Les deux courbes se croisent à

t= au

: la charge y atteint

63\ \%

de sa valeur finale, la décharge n'en conserve que

37\ \%

. Les deux valeurs sont complémentaires.

La forme canonique attendue est $\tau\,\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}+u=E$ , avec un coefficient $1$ devant $u$ . Une équation laissée sous la forme $RC\,u'+u=E$ est correcte, mais toute autre normalisation empêche d'identifier $\tau$ directement.

Lire la constante de temps, de trois façons

• À $t=\tau$ , la charge atteint $63\ \%$ de $E$ et la décharge en conserve $37\ \%$ : c'est la lecture la plus rapide.
• La TANGENTE à l'origine coupe l'asymptote horizontale à l'abscisse $t=\tau$ : c'est la lecture la plus précise sur un tracé.
• Au bout de $5\tau$ , le régime transitoire est terminé en pratique : il reste moins de $1\ \%$ d'écart à la valeur finale.
• $\tau=RC$ : $10\ \mathrm{k\Omega}$ multipliés par $2{,}2\ \mathrm{\mu F}$ donnent $22\ \mathrm{ms}$ .
• Doubler $R$ ou doubler $C$ double $\tau$ : le régime transitoire dure deux fois plus longtemps, mais la valeur finale ne change pas.

Trois façons de lire la même durée : le point à

63\ \%

, l'intersection de la tangente à l'origine avec l'asymptote, et la fin pratique du régime transitoire à

5\tau

Les trois lectures doivent donner le même $\tau$ à quelques pour cent près. Un écart important signale une erreur de lecture d'échelle, pas un problème de composant.

L'énergie stockée, et le rendement de la charge

• Énergie stockée dans un condensateur : $E_{e}=\dfrac{1}{2}\,C\,u^{2}$ , en joules avec $C$ en farads et $u$ en volts.
• Elle varie comme le CARRÉ de la tension : doubler $u$ quadruple l'énergie stockée.
• Pendant une charge complète, le générateur fournit $C\,E^{2}$ , le condensateur n'en garde que $\dfrac{1}{2}\,C\,E^{2}$ : le rendement vaut donc exactement $50\ \%$ .
• La moitié perdue est dissipée par effet Joule dans la résistance, quelle que soit sa valeur.
• Méthode d'EULER : $u_{n+1}=u_{n}+\dfrac{E-u_{n}}{\tau}\,\Delta t$ , avec un pas au plus égal au centième de $\tau$ .

Le rendement de $50\ \%$ est indépendant de $R$ : une résistance plus faible charge plus vite, mais dissipe la même énergie totale. C'est un résultat contre-intuitif que les sujets aiment faire démontrer.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Faire sauter la tension du condensateur

toute la résolution, souvent 4 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« À la fermeture de l'interrupteur, le condensateur reçoit la tension $E$ , donc $u(0)=E$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La tension aux bornes d'un condensateur est CONTINUE : si le condensateur était déchargé, $u(0)=0$ . C'est toute la tension $E$ qui se retrouve d'abord aux bornes de la RÉSISTANCE. »

Pourquoi : Un saut de tension imposerait $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}$ infini, donc une intensité infinie. La continuité de $u$ est la seule condition initiale disponible, et sans elle l'équation différentielle n'a pas de solution déterminée.

2. Échanger les 63 % et les 37 %

1,5 point, et la valeur de $\tau$ lue au mauvais endroit

Ce qu'il ne faut pas écrire

« À $t=\tau$ , la charge a atteint $37\ \%$ de sa valeur finale. »

Ce qu'il faut écrire

« À $t=\tau$ , la CHARGE atteint $63\ \%$ de $E$ , et la DÉCHARGE ne conserve que $37\ \%$ . Les deux valeurs sont complémentaires, puisque $1-e^{-1}=0{,}63$ et $e^{-1}=0{,}37$ . »

Pourquoi : Retenir un seul des deux nombres suffit : l'autre s'en déduit par complément à $100\ \%$ . Les confondre décale la lecture de $\tau$ sur le graphe et fausse ensuite la capacité calculée.

3. Utiliser la solution de la décharge pour la charge

2 points, et un comportement inversé dans tout le problème

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Pendant la charge, $u(t)=E\,e^{-t/\tau}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Pendant la CHARGE, $u(t)=E\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ : la tension part de $0$ et tend vers $E$ . La forme $E\,e^{-t/\tau}$ décrit la DÉCHARGE, qui part de $E$ et tend vers $0$ . »

Pourquoi : Le test qui tranche en deux secondes : remplacer $t$ par $0$ et par l'infini, et vérifier que l'on retrouve bien la valeur initiale et la valeur finale annoncées par l'énoncé.

4. Annuler l'intensité initiale

2 points, et la description entière du régime transitoire

Ce qu'il ne faut pas écrire

« À $t=0$ , rien ne s'est encore passé, donc $i(0)=0$ . »

Ce qu'il faut écrire

« C'est la TENSION du condensateur qui est continue, pas l'intensité. À $t=0$ , $u_{C}=0$ donc toute la tension est aux bornes de $R$ : $i(0)=\dfrac{E}{R}$ , valeur MAXIMALE. »

Pourquoi : Le condensateur déchargé se comporte, à l'instant initial, comme un fil : il n'oppose aucune tension. C'est en se chargeant qu'il freine progressivement le courant.

5. Se tromper d'unités dans le produit RC

2 points, et un résultat mille fois trop grand

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\tau=RC=10\times 2{,}2=22\ \mathrm{s}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Il faut convertir : $R=10\ \mathrm{k\Omega}=10^{4}\ \Omega$ et $C=2{,}2\ \mathrm{\mu F}=2{,}2\times 10^{-6}\ \mathrm{F}$ , donc $\tau=10^{4}\times 2{,}2\times 10^{-6}=2{,}2\times 10^{-2}\ \mathrm{s}=22\ \mathrm{ms}$ . »

Pourquoi : Les composants réels s'expriment en kilohms et en microfarads, et l'énoncé les donne toujours ainsi. Le produit des deux préfixes vaut $10^{3}\times 10^{-6}=10^{-3}$ : c'est ce facteur qui manque.

6. Oublier le facteur un demi dans l'énergie

1 point, et le bilan de rendement qui suit

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $E_{e}=C\,u^{2}=2{,}2\times 10^{-6}\times 25=5{,}5\times 10^{-5}\ \mathrm{J}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $E_{e}=\dfrac{1}{2}\,C\,u^{2}=\dfrac{1}{2}\times 2{,}2\times 10^{-6}\times 25=2{,}75\times 10^{-5}\ \mathrm{J}$ . »

Pourquoi : Le facteur $\frac{1}{2}$ vient de l'intégration de $u$ pendant la charge, exactement comme dans $\frac{1}{2}mv^{2}$ . Sans lui, le rendement de charge tomberait à $100\ \%$ , ce qui contredirait l'échauffement de la résistance.

7. Croire la charge terminée au bout de tau

1,5 point, et la durée annoncée cinq fois trop courte

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Après une constante de temps, le condensateur est chargé. »

Ce qu'il faut écrire

« Après $\tau$ , il n'a atteint que $63\ \%$ de sa charge finale. On considère le régime transitoire terminé au bout de $5\tau$ , où il reste moins de $1\ \%$ d'écart. »

Pourquoi : L'exponentielle n'atteint jamais sa limite : parler de fin de charge n'a de sens qu'avec un critère. La convention scolaire est $5\tau$ , et il faut la citer.

8. Prendre un pas trop grand dans la méthode d'Euler

2 points, et une simulation qui ne ressemble à rien

Ce qu'il ne faut pas écrire

« On prend $\Delta t=\tau$ pour aller vite : $u_{1}=u_{0}+\dfrac{E-u_{0}}{\tau}\times\tau=E$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Avec $\Delta t=\tau$ , la méthode donne $u_{1}=E$ dès le premier pas, ce qui est faux. Le pas doit valoir au plus $\dfrac{\tau}{100}$ pour que l'approximation reste acceptable. »

Pourquoi : La méthode d'Euler remplace la courbe par sa tangente sur chaque intervalle. Plus l'intervalle est long, plus la tangente s'éloigne de la courbe : ici elle la dépasse complètement.

Quelle méthode choisir

Quelle expression selon la phase et la grandeur cherchée

On repère d'abord la phase, charge ou décharge, puis la grandeur demandée, tension, intensité ou énergie.

Si phase de CHARGE, on cherche la tension → $u(t)=E\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ , qui part de $0$ et tend vers $E$

Exemple : à $t=\tau$ , $u=0{,}63\,E$ ; à $t=5\tau$ , $u\approx E$
Si phase de DÉCHARGE, on cherche la tension → $u(t)=U_{0}\,e^{-t/\tau}$ , qui part de $U_{0}$ et tend vers $0$

Exemple : à $t=\tau$ , il reste $0{,}37\,U_{0}$
Si on cherche l'INTENSITÉ pendant la charge → $i(t)=\dfrac{E}{R}\,e^{-t/\tau}$ , maximale à $t=0$ puis décroissante

L'intensité suit toujours une exponentielle décroissante, en charge comme en décharge : seule la tension change de forme.
Si on cherche une DURÉE pour atteindre une tension donnée → isoler l'exponentielle puis passer au logarithme népérien

Exemple : en décharge, $t=\tau\,\ln\!\left(\dfrac{U_{0}}{u}\right)$
Si on cherche l'ÉNERGIE stockée à un instant → $E_{e}=\dfrac{1}{2}\,C\,u(t)^{2}$ , en utilisant la tension à cet instant et non $E$
Si on demande le régime PERMANENT → poser $\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=0$ : il vient $u=E$ et $i=0$

C'est le raccourci qui évite de résoudre l'équation quand seule la valeur finale est demandée.

Si l'énoncé donne un condensateur déjà partiellement chargé, la solution générale s'écrit $u(t)=u_{\infty}+\left(u_{0}-u_{\infty}\right)e^{-t/\tau}$ , qui redonne les deux cas particuliers ci-dessus.

Comment lire tau sur une courbe expérimentale

On regarde ce que la courbe fournit de plus lisible : un point remarquable, une tangente, ou une fin de régime.

Si la courbe est bien graduée en ordonnée → repérer $0{,}63\,E$ en charge ou $0{,}37\,U_{0}$ en décharge, et lire l'abscisse correspondante

Exemple : pour $E=5{,}0\ \mathrm{V}$ , chercher l'abscisse du point à $3{,}2\ \mathrm{V}$
Si la courbe part d'une portion bien rectiligne → tracer la TANGENTE à l'origine : elle coupe l'asymptote horizontale à l'abscisse $\tau$

C'est la méthode la plus précise, et celle que les sujets demandent explicitement de tracer.
Si on ne dispose que de la fin du régime transitoire → repérer l'instant où la courbe rejoint visiblement son asymptote et diviser par $5$

Exemple : un régime terminé vers $110\ \mathrm{ms}$ donne $\tau\approx 22\ \mathrm{ms}$
Si l'énoncé donne $R$ et $C$ → $\tau=RC$ directement, après conversion en ohms et en farads
Si on veut vérifier une valeur lue → confronter deux méthodes différentes : elles doivent concorder à quelques pour cent

Attention à l'échelle des abscisses : les oscillogrammes sont gradués en millisecondes ou en microsecondes, et le préfixe se lit sur l'axe, pas sur les nombres. C'est la première cause d'erreur d'un facteur mille.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Établir l'équation différentielle de la charge

Quand l'utiliser : La première question de tout exercice sur le dipôle RC, et celle qui porte le plus de points.

1 Orienter le circuit et préciser la convention : « on oriente le circuit dans le sens du courant de charge et on utilise la convention récepteur pour $R$ et pour $C$ ».
2 Écrire la loi des mailles complète : « $E=u_{R}+u_{C}$ ».
3 Remplacer $u_{R}$ par la loi d'Ohm : « $u_{R}=R\,i$ ».
4 Remplacer $i$ par la relation du condensateur : « $i=C\,\dfrac{\mathrm{d}u_{C}}{\mathrm{d}t}$ », en citant la convention qui justifie l'absence de signe moins.
5 Mettre sous forme CANONIQUE, avec un coefficient $1$ devant $u_{C}$ , puis identifier $\tau$ .

Phrase de conclusion

La loi des mailles donne $E=R\,i+u_{C}$ ; avec $i=C\,\dfrac{\mathrm{d}u_{C}}{\mathrm{d}t}$ , il vient $RC\,\dfrac{\mathrm{d}u_{C}}{\mathrm{d}t}+u_{C}=E$ , soit sous forme canonique $\tau\,\dfrac{\mathrm{d}u_{C}}{\mathrm{d}t}+u_{C}=E$ avec $\tau=RC$ .

Le piège : Oublier de préciser la convention avant d'écrire $i=C\,\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}$ . En convention générateur, un signe moins apparaît, et le correcteur vérifie que le choix a été annoncé plutôt que deviné.

Barème : 0,5 point pour l'orientation et la convention, 1 point pour la loi des mailles, 1 point pour les deux substitutions, 1 point pour la forme canonique et l'identification de tau.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Les valeurs aux deux bouts

Remplacez $t$ par $0$ puis faites tendre $t$ vers l'infini dans votre solution : vous devez retrouver la condition initiale et la valeur finale annoncées par l'énoncé. Cinq secondes, et l'échange charge-décharge est détecté.

$u(0)=E$ pour un condensateur annoncé déchargé : la solution de la décharge a été recopiée.
L'homogénéité de tau

Des ohms multipliés par des farads donnent des secondes. Contrôlez l'ordre de grandeur : un circuit de travaux pratiques donne des millisecondes, jamais des secondes ni des microsecondes.

$\tau=22\ \mathrm{s}$ pour $10\ \mathrm{k\Omega}$ et $2{,}2\ \mathrm{\mu F}$ : les préfixes n'ont pas été convertis.
Le complément à cent pour cent

Vérifiez que vos deux pourcentages remarquables se complètent : $63$ et $37$ font $100$ . Si votre lecture donne $63\ \%$ pour une décharge, elle est inversée.

Lire $\tau$ à l'abscisse où la décharge vaut $0{,}63\,U_{0}$ : la valeur trouvée est bien trop petite.
Le rendement de charge vaut toujours un demi

Après tout bilan énergétique de charge, comparez l'énergie stockée à l'énergie fournie : le rapport doit valoir exactement $0{,}5$ , indépendamment de $R$ . Un autre résultat signale un facteur $\frac{1}{2}$ oublié quelque part.

Un rendement de $100\ \%$ : l'énergie stockée a été écrite $C\,E^{2}$ au lieu de $\frac{1}{2}\,C\,E^{2}$ .

L'exercice type décortiqué

Mesurer une capacité inconnue

On charge un condensateur de capacité $C$ inconnue, initialement déchargé, à travers une résistance $R=10\ \mathrm{k\Omega}$ , sous une tension constante $E=5{,}0\ \mathrm{V}$ . On enregistre $u_{C}(t)$ et l'on trace la tangente à l'origine : elle coupe l'asymptote horizontale à l'instant $t=22\ \mathrm{ms}$ .

1. Que représente cet instant ? 2. En déduire la capacité $C$ . 3. Quelle tension le condensateur atteint-il à $t=22\ \mathrm{ms}$ ? 4. Au bout de combien de temps la charge est-elle terminée en pratique ? 5. Quelle est l'intensité à l'instant initial ? 6. Quelle énergie le condensateur stocke-t-il en fin de charge ?

Le montage de l'énoncé : générateur, interrupteur, résistance connue et condensateur inconnu en série. La tension mesurée est celle aux bornes du condensateur, jamais celle de la résistance.

Étape 1

L'intersection de la tangente à l'origine avec l'asymptote horizontale se produit à $t=\tau$ : donc $\tau=22\ \mathrm{ms}=2{,}2\times 10^{-2}\ \mathrm{s}$ .

Pourquoi

La question ne demande pas un calcul mais l'identification d'une propriété du cours. La nommer explicitement rapporte le point, alors qu'écrire directement $22\ \mathrm{ms}$ sans justification ne vaut rien.

Étape 2

$\tau=RC$ donne $C=\dfrac{\tau}{R}=\dfrac{2{,}2\times 10^{-2}}{10\times 10^{3}}=2{,}2\times 10^{-6}\ \mathrm{F}=2{,}2\ \mathrm{\mu F}$ .

Pourquoi

Les deux conversions, millisecondes en secondes et kilohms en ohms, s'écrivent avant la division. C'est là que la copie se joue : le résultat en microfarads est l'ordre de grandeur normal d'un condensateur de laboratoire.

Étape 3

$u(\tau)=E\left(1-e^{-1}\right)=5{,}0\times 0{,}632=3{,}2\ \mathrm{V}$ .

Pourquoi

On applique la valeur remarquable plutôt que de recalculer l'exponentielle. Ce nombre sert aussi de contrôle : il doit être compris entre la moitié et les deux tiers de $E$ .

Étape 4

Le régime transitoire est terminé en pratique au bout de $5\tau=5\times 22=110\ \mathrm{ms}$ , où il reste moins de $1\ \%$ d'écart à $E$ .

Pourquoi

La convention des $5\tau$ doit être CITÉE, sinon la réponse n'a pas de critère. Ajouter le pourcentage restant montre qu'on sait pourquoi cinq et pas trois.

Étape 5

À $t=0$ , le condensateur déchargé impose $u_{C}=0$ , donc toute la tension est aux bornes de $R$ : $i(0)=\dfrac{E}{R}=\dfrac{5{,}0}{10\times 10^{3}}=5{,}0\times 10^{-4}\ \mathrm{A}=0{,}50\ \mathrm{mA}$ .

Pourquoi

Le raisonnement passe par la CONTINUITÉ de $u_{C}$ , qu'il faut écrire. Donner directement $\frac{E}{R}$ sans dire pourquoi la tension du condensateur est nulle perd le point de justification.

Étape 6

En fin de charge, $u_{C}=E$ , donc $E_{e}=\dfrac{1}{2}\,C\,E^{2}=\dfrac{1}{2}\times 2{,}2\times 10^{-6}\times 25=2{,}75\times 10^{-5}\ \mathrm{J}$ . Le générateur en a fourni le double, $5{,}5\times 10^{-5}\ \mathrm{J}$ , l'autre moitié ayant été dissipée dans $R$ .

Pourquoi

Ajouter le bilan complet, et pas seulement l'énergie stockée, anticipe la question suivante et vaut souvent un demi-point de plus. Le rendement de $50\ \%$ est exact et indépendant de $R$ .

Conclusion rédigée

L'intersection de la tangente à l'origine avec l'asymptote donne $\tau=22\ \mathrm{ms}$ , d'où $C=\dfrac{\tau}{R}=2{,}2\ \mathrm{\mu F}$ ; le condensateur atteint $3{,}2\ \mathrm{V}$ à $t=\tau$ , sa charge est pratiquement terminée à $110\ \mathrm{ms}$ , l'intensité initiale vaut $0{,}50\ \mathrm{mA}$ et l'énergie finalement stockée $2{,}75\times 10^{-5}\ \mathrm{J}$ .

L'erreur classique sur cet exercice : Calculer $C=\tau\times R=22\times 10^{-3}\times 10^{4}=220\ \mathrm{F}$ . Une capacité de $220\ \mathrm{F}$ n'existe pas en travaux pratiques : l'ordre de grandeur suffit à rejeter le produit et à revenir au quotient.

À savoir par cœur

• $q=C\,u$ et, en convention récepteur, $i=C\,\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}$ .
• La TENSION du condensateur est continue, elle ne saute jamais. L'INTENSITÉ, elle, saute.
• Charge : $u(t)=E\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ . Décharge : $u(t)=U_{0}\,e^{-t/\tau}$ . Dans les deux cas $\tau=RC$ .
• À $t=\tau$ : $63\ \%$ en charge, $37\ \%$ en décharge. Fin pratique du transitoire à $5\tau$ .
• La tangente à l'origine coupe l'asymptote à $t=\tau$ : c'est la lecture la plus précise.
• $i(0)=\dfrac{E}{R}$ , valeur maximale. En régime permanent, $i=0$ et le condensateur est un interrupteur ouvert.
• $E_{e}=\dfrac{1}{2}\,C\,u^{2}$ , et le rendement d'une charge à travers une résistance vaut toujours $50\ \%$ .

Questions fréquentes

Pourquoi la tension d'un condensateur ne peut-elle pas sauter ?

Parce que l'intensité est proportionnelle à la dérivée de cette tension. Un saut correspondrait à une dérivée infinie, donc à une intensité infinie, ce qu'aucun circuit réel ne peut fournir. C'est cette continuité qui donne la condition initiale de toute équation différentielle du chapitre.

Comment mesurer la constante de temps sur un graphique ?

Trois méthodes donnent le même résultat. On lit l'abscisse du point où la charge atteint soixante-trois pour cent de sa valeur finale. On trace la tangente à l'origine et on repère où elle coupe l'asymptote horizontale. Ou on repère la fin visible du régime transitoire et on divise par cinq.

Que valent les 63 pour cent et les 37 pour cent ?

Ce sont les valeurs de un moins l'inverse du nombre e, et de l'inverse du nombre e. À une constante de temps, une charge a atteint soixante-trois pour cent de sa valeur finale, et une décharge n'en conserve que trente-sept pour cent. Les deux nombres se complètent à cent, ce qui évite de les confondre.

Quelle est l'intensité juste après la fermeture de l'interrupteur ?

Elle vaut la tension du générateur divisée par la résistance, et c'est sa valeur maximale. Le condensateur déchargé impose une tension nulle à ses bornes, donc toute la tension se retrouve aux bornes de la résistance. L'intensité décroît ensuite exponentiellement jusqu'à s'annuler.

Pourquoi le rendement de la charge vaut-il toujours cinquante pour cent ?

Parce que le générateur fournit une énergie égale à la capacité multipliée par le carré de la tension, alors que le condensateur n'en stocke que la moitié. L'autre moitié est dissipée par effet Joule dans la résistance. Ce résultat ne dépend pas de la valeur de la résistance, seulement de la capacité et de la tension.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Le dipôle RC : charge, décharge et constante de temps

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

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