Épreuve anticipée de mathématiques blanche : Première sans spécialité (sujet corrigé)

a) On réduit au même dénominateur, le plus petit multiple commun de $6$ et $4$, qui est $12$ et non $24$ : $\dfrac{5}{6}=\dfrac{10}{12}$ et $\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{12}$, donc la différence vaut $\dfrac{10-9}{12}=\dfrac{1}{12}$. Le piège classique est de soustraire numérateurs et dénominateurs séparément, ce qui donne $\dfrac{2}{2}=1$ : un résultat absurde, puisque les deux fractions sont proches l'une de l'autre et leur écart forcément petit.

b) Augmenter de $4\,\%$, c'est multiplier par le coefficient multiplicateur $1+\dfrac{4}{100}=1{,}04$. De tête, on préfère calculer l'augmentation : $1\,\%$ de $850$ vaut $8{,}5$, donc $4\,\%$ valent $34$, et le nouveau prix est $850+34=884$ dollars. Contrôle : $850\times 1{,}04=884$.

c) Baisser de $20\,\%$, c'est multiplier par $0{,}8$. Le prix initial $p$ vérifie donc $0{,}8\,p=36$, d'où $p=\dfrac{36}{0{,}8}=45$ dollars. Le piège, qui coûte la question à beaucoup d'élèves, est d'AJOUTER $20\,\%$ à $36$ : on obtiendrait $43{,}2$, alors que $20\,\%$ se calculent sur le prix de DÉPART, pas sur le prix réduit. Contrôle : $20\,\%$ de $45$ font $9$, et $45-9=36$.

d) Les évolutions successives se MULTIPLIENT : $1{,}5\times 0{,}5=0{,}75$. Le coefficient global $0{,}75$ correspond à une baisse de $25\,\%$, donc le taux global est $-25\,\%$. Les pourcentages ne s'ajoutent pas : $+50\,\%$ puis $-50\,\%$ ne se compensent pas, parce que la baisse porte sur une quantité déjà augmentée. Avec $100$ au départ : $150$, puis la moitié, $75$.

e) Pour revenir au départ, il faut multiplier par l'INVERSE du coefficient : $\dfrac{1}{1{,}25}=0{,}8$, soit une baisse de $20\,\%$ et non de $25\,\%$. Avec un prix de $100$ : il passe à $125$, et pour retrouver $100$ il faut retirer $25$, qui représentent $\dfrac{25}{125}=20\,\%$ de $125$. Le taux réciproque est toujours plus petit, en valeur absolue, qu'une hausse et plus grand qu'une baisse.

f) Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : $3x-6=0$ donne $x=2$, et $x+5=0$ donne $x=-5$. Les deux solutions sont $-5$ et $2$. On ne développe surtout pas : la forme factorisée est précisément celle qui donne les solutions sans calcul.

g) On dresse un tableau de signes. $x-1$ s'annule en $1$ et est positif après ; $4-x$ s'annule en $4$ et est positif AVANT, puisque son coefficient devant $x$ est négatif. Le produit est donc négatif sur $]-\infty\,;1[$, positif sur $]1\,;4[$ et négatif sur $]4\,;+\infty[$. L'inégalité étant stricte, les bornes sont exclues : l'ensemble des solutions est $]1\,;4[$. Contrôle avec $x=2$ : $1\times 2=2>0$.

h) On distribue chaque terme du premier facteur sur chaque terme du second : $(2x-3)(x+4)=2x^{2}+8x-3x-12=2x^{2}+5x-12$. Donc $a=2$, $b=5$ et $c=-12$. Vérification en $x=1$ : $(2-3)(1+4)=-5$ et $2+5-12=-5$.

i) Le coefficient directeur est le quotient de la variation des ordonnées par la variation des abscisses, dans le MÊME ordre : $m=\dfrac{-5-7}{4-(-2)}=\dfrac{-12}{6}=-2$. L'ordonnée à l'origine $p$ se trouve avec le point $A$ : $7=-2\times(-2)+p$, donc $p=3$. La droite a pour équation réduite $y=-2x+3$ ; contrôle avec $B$ : $-2\times 4+3=-5$.

j) $f(x)<0$ demande les abscisses des points de la courbe situés STRICTEMENT sous l'axe des abscisses. La courbe coupe l'axe en $x=-1$ et en $x=3$ et passe dessous entre les deux : l'ensemble des solutions est $]-1\,;3[$, bornes exclues puisque $f(-1)=f(3)=0$. Le point le plus bas de la courbe est $(1\,;-2)$ : le minimum de $f$ est $-2$, atteint en $x=1$. On donne une ORDONNÉE pour un minimum et des ABSCISSES pour des solutions : confondre les deux est l'erreur typique de la lecture graphique.

k) Chaque note compte autant de fois que son coefficient, et on divise par la SOMME des coefficients, $2+1+3=6$, et non par le nombre de notes : $\dfrac{2\times 12+1\times 15+3\times 9}{6}=\dfrac{24+15+27}{6}=\dfrac{66}{6}=11$. La moyenne simple des trois notes serait $12$ : le $9$, lourdement coefficienté, tire la moyenne vers le bas.

l) $P(A\cap B)=P(A)\times P_{A}(B)=0{,}4\times 0{,}5=0{,}2$ : c'est la règle du chemin dans un arbre. Ensuite $P_{B}(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{0{,}2}{0{,}32}=\dfrac{20}{32}=\dfrac{5}{8}=0{,}625$. Trois nombres différents, $P(A\cap B)=0{,}2$, $P_{A}(B)=0{,}5$ et $P_{B}(A)=0{,}625$ : le premier compte parmi tous, le deuxième parmi les $A$, le troisième parmi les $B$.

Méthode pour la partie 1. Les douze questions se traitent dans l'ordre qu'on veut, et aucune ne demande plus d'une minute si le réflexe est en place. Deux habitudes valent des points : écrire le coefficient multiplicateur AVANT de calculer un pourcentage (questions b à e), et faire un contrôle de vraisemblance en cinq secondes (une différence de deux fractions voisines est petite, une moyenne est comprise entre la plus petite et la plus grande note). Si une question résiste, on passe : elle ne vaut qu'un demi-point, la partie 2 en vaut quatorze.

a) Le point moyen a pour coordonnées la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées. $\overline{x}=\dfrac{21+23+24+25+25+26+27+29}{8}=\dfrac{200}{8}=25$ et $\overline{y}=\dfrac{150+162+165+168+170+174+178+193}{8}=\dfrac{1\,360}{8}=170$. Donc $G(25\,;170)$. Sans calculatrice, on additionne par paires qui tombent juste ($21+29=50$, $23+27=50$, $24+26=50$, $25+25=50$ ; $150+170=320$, $162+178=340$...). Contrôle de vraisemblance : $G$ doit se trouver au milieu du nuage, et c'est bien le cas sur la figure.

b) $5\times 25+45=125+45=170$ : les coordonnées de $G$ vérifient l'équation, donc $G\in D$. C'est une propriété attendue d'un bon ajustement, qui passe par le point moyen. Le coefficient directeur $5$ est le TAUX D'ACCROISSEMENT de la fonction affine : chaque centimètre de pied supplémentaire ajoute $5$ cm à la taille estimée, et $3$ cm de pied en ajoutent $3\times 5=15$. L'ordonnée à l'origine $45$, elle, n'a pas de sens concret : personne n'a un pied de $0$ cm.

c) On remplace $x$ par $28$ : $y=5\times 28+45=140+45=185$. La taille estimée est d'environ $185$ cm, soit $1{,}85$ m. C'est une INTERPOLATION : $28$ est compris entre la plus petite et la plus grande longueur mesurées, $21$ et $29$, dans la zone où l'ajustement a été construit. On conclut par une phrase dans le contexte, avec l'unité : c'est ce que regarde la maîtrise de la langue.

d) Attention à l'unité : $1{,}60$ m font $160$ cm. On résout $5x+45=160$, soit $5x=115$ et $x=23$. L'ajustement prête à cette personne un pied de $23$ cm. Écrire $5x+45=1{,}60$ donnerait une longueur négative, et c'est justement ce résultat absurde qui doit faire relire la conversion.

e) $y=5\times 8+45=40+45=85$ : l'ajustement annonce $85$ cm, alors qu'un nouveau-né mesure environ $50$ cm. L'estimation n'est PAS fiable, et la raison n'est pas une erreur de calcul : c'est une EXTRAPOLATION très loin des données. L'ajustement a été construit sur des adultes dont le pied mesure entre $21$ et $29$ cm ; rien ne garantit que la relation reste affine, avec les mêmes coefficients, pour un pied de $8$ cm. Un bébé n'est pas un adulte en réduction : ses proportions sont différentes.

Le fil de l'exercice : un ajustement affine est un OUTIL DE PRÉVISION, et sa valeur dépend de la zone où on l'utilise. Au milieu des données (interpolation), il donne une estimation raisonnable ; loin d'elles (extrapolation), il peut dire n'importe quoi, même quand le calcul est juste. Sur la figure du corrigé, on voit aussi que les huit points ne sont pas tous sur la droite : trois sont dessus, deux au-dessus et trois en dessous, avec des écarts d'au plus $3$ cm. Une estimation par empreinte donne donc une taille à quelques centimètres près, jamais au centimètre.

a) On complète ligne par ligne et colonne par colonne, les totaux servant de contrôle. Qualifiés à poulies : $60-36=24$. Non qualifiés à arc classique : $120-36=84$. Non qualifiés à poulies : $80-24=56$. Total des non qualifiés : $84+56=140$, et l'on vérifie que $60+140=200$.

b) Le choix est équiprobable, donc chaque probabilité est un effectif divisé par $200$ : $P(Q)=\dfrac{60}{200}=0{,}3$ et $P(P\cap Q)=\dfrac{24}{200}=0{,}12$. L'intersection se lit dans UNE case, celle où la ligne des qualifiés croise la colonne des poulies.

c) Une probabilité conditionnelle change la POPULATION dans laquelle on compte. $P_{P}(Q)=\dfrac{24}{80}=0{,}3$ : parmi les archers à arc à poulies, $30\,\%$ sont qualifiés. $P_{Q}(P)=\dfrac{24}{60}=0{,}4$ : parmi les archers qualifiés, $40\,\%$ tirent à arc à poulies. Le numérateur est le même, $24$ ; seul le dénominateur change, $80$ ou $60$, selon ce qui est derrière la barre. Échanger les deux, c'est l'erreur la plus coûteuse de la partie.

d) Deux événements sont indépendants lorsque savoir que l'un est réalisé ne change pas la probabilité de l'autre : ici $P_{P}(Q)=0{,}3=P(Q)$, donc $P$ et $Q$ SONT indépendants. On peut aussi vérifier $P(P\cap Q)=P(P)\times P(Q)$ : $P(P)=\dfrac{80}{200}=0{,}4$ et $0{,}4\times 0{,}3=0{,}12$. Le spectateur compare des EFFECTIFS, $36$ et $24$, alors qu'il y a $120$ tireurs à arc classique et seulement $80$ à poulies : ramenés à chaque groupe, les taux de qualification sont les mêmes, $\dfrac{36}{120}=\dfrac{24}{80}=0{,}3$. Le type d'arc n'influe donc pas sur la qualification dans ce concours. Une réponse attendue se rédige ainsi : un calcul, une comparaison, puis une phrase qui répond au spectateur.

e) L'arbre a trois niveaux, un par flèche, et chaque nœud se divise en « J » (zone jaune, $0{,}6$) et « non J » ($0{,}4$) : il a $2\times 2\times 2=8$ chemins. Les tirs étant indépendants, les pondérations sont les mêmes à chaque niveau et la probabilité d'un chemin est le produit de ses pondérations. Trois flèches dans le jaune : un seul chemin, $0{,}6\times 0{,}6\times 0{,}6=0{,}216$. Exactement deux : TROIS chemins, selon la place de la flèche manquée (première, deuxième ou troisième), chacun de probabilité $0{,}6^{2}\times 0{,}4=0{,}144$, donc $3\times 0{,}144=0{,}432$. Oublier qu'il y a trois chemins et répondre $0{,}144$ est le piège attendu.

f) « Au moins une » : on passe par l'événement CONTRAIRE, « aucune flèche dans le jaune », qui correspond au seul chemin du bas, de probabilité $0{,}4^{3}=0{,}064$. Donc $1-0{,}064=0{,}936$. Additionner les sept autres chemins donnerait le même nombre, avec sept occasions de se tromper au lieu d'une. Contrôle avec l'arbre du corrigé : les huit chemins ont une somme égale à $1$.

a) La forme FACTORISÉE donne les racines sans calcul : un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est, donc $P(t)=0$ pour $t=6$ et pour $t=20$. La puissance est nulle à $6$ h et à $20$ h, au lever et au coucher du soleil dans ce modèle. $P(8)=-10\times(8-6)\times(8-20)=-10\times 2\times(-12)=240$ : à $8$ h, le panneau fournit $240$ W. Attention aux deux signes moins, qui se compensent.

b) $(t-6)(t-20)=t^{2}-20t-6t+120=t^{2}-26t+120$, puis on multiplie par $-10$ : $P(t)=-10t^{2}+260t-1200$. Donc $a=-10$, $b=260$ et $c=-1200$. Contrôle en $t=8$ : $-640+2\,080-1\,200=240$, la valeur trouvée en a).

c) $-10t^{2}+260t-1200=-1200$ équivaut à $-10t^{2}+260t=0$, soit $t(-10t+260)=0$ : $t=0$ ou $t=26$. Les deux points de la parabole d'ordonnée $-1200$ ont pour abscisses $0$ et $26$ ; ils sont symétriques par rapport à l'axe, qui passe donc par le MILIEU $\dfrac{0+26}{2}=13$. On retrouve le milieu des racines $6$ et $20$, ce qui fournit un contrôle. Le coefficient $a=-10$ est négatif : la parabole est tournée vers le bas et son sommet est un MAXIMUM, atteint en $t=13$. $P(13)=-10\times 7\times(-7)=490$. La puissance est maximale à $13$ h et vaut $490$ W. Tableau de variation : $P$ croît de $0$ (en $6$) à $490$ (en $13$), puis décroît jusqu'à $0$ (en $20$). L'équation de la question se résout en factorisant par $t$, jamais avec le discriminant, qui n'est pas au programme.

d) On développe le membre de droite : $-10(t-10)(t-16)=-10(t^{2}-26t+160)=-10t^{2}+260t-1600$. Et $P(t)-400=-10t^{2}+260t-1200-400=-10t^{2}+260t-1600$ : les deux expressions sont égales. $P(t)\ge 400$ équivaut donc à $-10(t-10)(t-16)\ge 0$, soit $(t-10)(t-16)\le 0$ en divisant par $-10$, ce qui RETOURNE l'inégalité. Un produit de deux facteurs du premier degré est négatif ENTRE ses racines : $t\in[10\,;16]$, bornes incluses puisque l'inégalité est large. La puissance dépasse $400$ W de $10$ h à $16$ h, soit six heures, un intervalle centré sur $13$ h comme l'annonçait la symétrie.

e) Le coefficient multiplicateur global est $\dfrac{144}{100}=1{,}44$, ce qui correspond à une hausse de $44\,\%$ en deux ans.

f) Le taux annuel moyen $t$ est celui qui, appliqué deux fois, donne la même évolution : $(1+t)^{2}=1{,}44$, donc $1+t=1{,}44^{\frac{1}{2}}=\sqrt{1{,}44}=1{,}2$ (car $12^{2}=144$). Le taux annuel moyen est de $20\,\%$. Le piège est de diviser $44\,\%$ par deux : $22\,\%$ par an pendant deux ans donneraient $1{,}22^{2}=1{,}4884$, soit $+48{,}84\,\%$ et non $+44\,\%$. Les taux ne se partagent pas, ils se prennent à la puissance $\dfrac{1}{n}$.

g) Passer d'une année à la suivante revient à multiplier par $1{,}2$ : $u(n+1)=1{,}2\times u(n)$, donc $(u(n))$ est une suite GÉOMÉTRIQUE de premier terme $u(0)=100$ et de raison $1{,}2$. $u(3)=100\times 1{,}2^{3}=100\times 1{,}728=172{,}8$ : le modèle prévoit $172{,}8$ MW fin 2027. Contrôle : $u(2)=100\times 1{,}44=144$, la donnée de 2026.

h) On cherche le premier $n$ tel que $100\times 1{,}2^{n}>200$, c'est-à-dire $1{,}2^{n}>2$. Or $1{,}2^{3}=1{,}728<2$ et $1{,}2^{4}=2{,}0736>2$ ; comme la raison $1{,}2$ est supérieure à $1$, la suite est croissante et le seuil, une fois franchi, reste franchi. Donc $n=4$ : la puissance installée dépassera le double de celle de fin 2024 en 2028, avec $u(4)\approx 207$ MW.

i) $v(0)=100$ et $v(2)=100+44=144$ : ce modèle redonne EXACTEMENT les deux mêmes données, comme le modèle géométrique. $v(n)>200$ équivaut à $22n>100$, soit $n>\dfrac{100}{22}\approx 4{,}5$ ; le premier entier est $n=5$ ($v(4)=188$ et $v(5)=210$), donc 2029 et non 2028. Fin 2034, $n=10$ : $u(10)=100\times 1{,}2^{10}\approx 619$ MW, contre $v(10)=100+220=320$ MW. Deux données seulement ne permettent pas de choisir entre les deux modèles ; elles coïncident en 2024 et en 2026, mais divergent vite ensuite, jusqu'à un rapport proche de deux au bout de dix ans. Seules de nouvelles données, fin 2027 ou fin 2028, départageront une croissance d'un même taux et une croissance d'une même quantité.

Le fil de l'exercice : chaque modèle a sa FORME, et chaque forme livre une information sans calcul. La forme factorisée d'un polynôme de degré $2$ donne ses racines et son signe, la symétrie donne son sommet ; une évolution d'un pourcentage constant donne une suite géométrique, dont le taux moyen se calcule avec l'exposant $\dfrac{1}{n}$. Et deux modèles qui passent par les mêmes points peuvent annoncer des avenirs très différents.