Devoir sur table corrigé de Seconde : valeur absolue, carrés et racines carrées

On cherche le plus grand carré parfait qui divise $72$ : $72=4\times 18=9\times 8=36\times 2$, et ni $49$ ni $64$ ne divisent $72$.

Piège : s'arrêter à $2\sqrt{18}$ ou à $3\sqrt{8}$. C'est juste, mais pas simplifié, puisque $18=9\times 2$ contient encore un carré : on perd le point de la question.

Contrôle : $6\sqrt{2}\approx 8{,}485$ et $8{,}485^{2}\approx 72{,}0$.

On regroupe sous un seul radical AVANT de simplifier :

Autre chemin pour le premier : $\sqrt{75}=5\sqrt{3}$, donc $\sqrt{3}\times 5\sqrt{3}=5\times 3=15$. Les deux méthodes doivent donner le même résultat.

Piège : écrire $\sqrt{3}\times\sqrt{75}=\sqrt{78}$. Sous le radical, on MULTIPLIE les deux nombres, on ne les ajoute pas.

On simplifie d'abord $\sqrt{125}$ : $125=25\times 5$, donc $\sqrt{125}=5\sqrt{5}$.

On réduit des termes en $\sqrt{5}$ comme on réduit $5x-2x=3x$.

Piège : soustraire sous le radical, en écrivant $2\sqrt{5}=\sqrt{20}$ puis $\sqrt{125}-\sqrt{20}=\sqrt{105}$. La « règle » $\sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{a-b}$ n'existe pas : $\sqrt{105}\approx 10{,}2$ alors que $3\sqrt{5}\approx 6{,}7$.

Le carré porte sur les deux facteurs du produit :

Piège : répondre $2\times 6=12$ en oubliant d'élever le $2$ au carré.

Le second produit est l'identité $(u+v)(u-v)=u^{2}-v^{2}$ :

Deux nombres irrationnels peuvent avoir un produit entier.

On cherche le SIGNE de ce qui est entre les barres, en comparant des nombres positifs par leurs carrés.

$3^{2}=9<10$, donc $3<\sqrt{10}$ et $3-\sqrt{10}<0$. La valeur absolue d'un négatif est son opposé :

$1{,}5^{2}=2{,}25>2$, donc $1{,}5>\sqrt{2}$ et $1{,}5-\sqrt{2}>0$. La valeur absolue d'un positif est lui-même :

Piège : enlever les barres sans regarder le signe, et écrire $|3-\sqrt{10}|=3-\sqrt{10}\approx -0{,}16$. Une distance n'est jamais négative : ce résultat se refuse de lui-même.

La distance entre $a$ et $b$ vaut $|b-a|$, dans n'importe quel ordre :

Les deux premiers nombres sont de part et d'autre de $0$ : leurs distances à $0$ s'ajoutent, $3{,}7+2{,}8=6{,}5$. Les deux derniers sont du MÊME côté : leurs distances à $0$ se retranchent, $4{,}6-1{,}8=2{,}8$.

Piège : répondre $4{,}6+1{,}8=6{,}4$. C'est la distance entre $-4{,}6$ et $1{,}8$, pas entre $-4{,}6$ et $-1{,}8$ : placez toujours les deux points sur une droite graduée avant de calculer.

La droite d'équation $y=2$ coupe $\mathcal{C}_{f}$ aux points d'abscisses $-2$ et $2$ : $f(x)=2$ a deux solutions, $-2$ et $2$. Contrôle : $|-2|=2$.

Elle coupe $\mathcal{C}_{g}$ en deux points d'abscisses opposées, lues à environ $-1{,}4$ et $1{,}4$.

Par le calcul : $2>0$, donc $x^{2}=2$ a deux solutions opposées, $x=-\sqrt{2}$ ou $x=\sqrt{2}$, et $\sqrt{2}\approx 1{,}4$ au dixième.

Une lecture graphique ne donne qu'une valeur approchée : la valeur exacte vient du calcul.

Piège : oublier la solution négative de $x^{2}=2$. La droite coupe la parabole DEUX fois, et le carré efface le signe : $(-\sqrt{2})^{2}=2$ aussi.

Les deux courbes se coupent en trois points : $(-1\,;1)$, $(0\,;0)$ et $(1\,;1)$. Leurs abscisses sont $-1$, $0$ et $1$.

Vérification : $|-1|=1=(-1)^{2}$ ; $|0|=0=0^{2}$ ; $|1|=1=1^{2}$. Les trois nombres sont bien solutions de $|x|=x^{2}$.

Un point lu sur une figure n'est qu'une estimation : c'est la vérification qui le rend sûr.

Au-delà du programme de Seconde : résoudre $|x|=x^{2}$ par le calcul en distinguant les cas $x\ge 0$ et $x<0$. Le programme demande la résolution graphique de $f(x)=g(x)$, et la vérification suffit ici.

Pour $x\ge 0$, on cherche les abscisses où $\mathcal{C}_{g}$ est STRICTEMENT sous $\mathcal{C}_{f}$ : c'est le cas entre les points communs d'abscisses $0$ et $1$.

Les bornes sont exclues : en $0$ et en $1$, les deux courbes se touchent et $g(x)=f(x)$.

Piège : croire qu'un carré est toujours plus grand que le nombre. C'est faux pour les nombres de $]0\,;1[$ : $0{,}5^{2}=0{,}25<0{,}5$.

Pour $x\ge 0$, $|x|=x$ : comparer $g(x)$ et $f(x)$, c'est comparer $x^{2}$ et $x$. On multiplie une inégalité par le nombre POSITIF $x$, ce qui conserve son sens.

Si $0\le x\le 1$ : on multiplie $x\le 1$ par $x\ge 0$, d'où $x\times x\le 1\times x$, soit $x^{2}\le x$.

Si $x\ge 1$ : on multiplie $x\ge 1$ par $x>0$, d'où $x^{2}\ge x$.

L'égalité $x^{2}=x$ n'a lieu qu'en $0$ et en $1$ ; pour $0<x<1$, on multiplie $x<1$ par $x>0$ et l'inégalité est stricte : $x^{2}<x$.

Conclusion : pour $x\ge 0$, la parabole d'équation $y=x^{2}$ est au-dessous de la droite d'équation $y=x$ sur $[0\,;1]$ et au-dessus sur $[1\,;+\infty[$, avec deux points communs d'abscisses $0$ et $1$. C'est la position relative démontrée au programme de Seconde.

Piège : multiplier par $x$ sans vérifier son signe. Pour $x<0$, la multiplication RENVERSERAIT l'inégalité : c'est pourquoi la démonstration se fait pour $x\ge 0$.

Dans les deux cas, on se ramène à la distance à $0$ : $|a|$ est cette distance, et $a^{2}=|a|^{2}$ car le carré efface le signe.

$|-0{,}85|=0{,}85$ et $0{,}85\in]0\,;1[$ : d'après d), $0{,}85^{2}<0{,}85$, donc $0{,}85^{2}<|-0{,}85|$.

$(-1{,}15)^{2}=1{,}15^{2}$ et $|-1{,}15|=1{,}15$ ; comme $1{,}15\ge 1$, d'après d), $1{,}15^{2}>1{,}15$, donc $(-1{,}15)^{2}>|-1{,}15|$.

Contrôle : $0{,}85^{2}=0{,}722\,5<0{,}85$ et $1{,}15^{2}=1{,}322\,5>1{,}15$.

Piège : comparer $(-1{,}15)^{2}$ avec $-1{,}15$, en oubliant les barres. La valeur absolue rend le nombre positif, et c'est le seuil $1$ qui décide.

On part de $a<b$, avec $a\ge 0$ et donc $b>0$.

Multiplication par $a\ge 0$ : $a\times a\le a\times b$, soit $a^{2}\le ab$. L'inégalité est large, car si $a=0$ les deux membres valent $0$.

Multiplication par $b>0$ : $a\times b<b\times b$, soit $ab<b^{2}$. Ici l'inégalité reste stricte, car $b$ est strictement positif.

En enchaînant : $a^{2}\le ab<b^{2}$, donc $a^{2}<b^{2}$, c'est-à-dire $g(a)<g(b)$.

Conclusion : pour tous $a<b$ de $[0\,;+\infty[$, $g(a)<g(b)$ ; $g$ est strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$.

Piège : « démontrer » avec deux exemples, $1^{2}<2^{2}$ et $3^{2}<4^{2}$. Des exemples ne disent rien des autres nombres : seule une inégalité écrite pour TOUS les $a<b$ de l'intervalle démontre.

On multiplie $a<b$ par $-1$, ce qui RENVERSE le sens : $-a>-b$. Et $b\le 0$ donne $-b\ge 0$. D'où $0\le -b<-a$.

Les nombres $-b$ et $-a$ sont positifs et rangés : a) s'applique à eux, et donne $(-b)^{2}<(-a)^{2}$.

Or $(-b)^{2}=b^{2}$ et $(-a)^{2}=a^{2}$ : le carré efface le signe. Donc $b^{2}<a^{2}$, c'est-à-dire $g(a)>g(b)$.

Conclusion : pour tous $a<b$ de $]-\infty\,;0]$, $g(a)>g(b)$ ; $g$ est strictement décroissante sur $]-\infty\,;0]$. Sur les négatifs, le carré RENVERSE l'ordre.

Piège : oublier de renverser l'inégalité en multipliant par $-1$, et écrire $-a<-b$ : toute la suite devient fausse.

Tableau de variations : sur la ligne des $x$, $-\infty$, $0$, $+\infty$ ; sur la ligne de $g$, une flèche qui descend jusqu'à la valeur $0$ placée sous $x=0$, puis une flèche qui monte.

Le minimum de $g$ sur $\mathbb{R}$ est $0$, atteint en $x=0$ : $x^{2}\ge 0=g(0)$ pour tout réel $x$.

Multiplier $a<b$ par un nombre NÉGATIF renverse le sens. Avec $a=-2$ et $b=1$, on obtiendrait $a^{2}>ab$, soit $4>-2$, et la chaîne de a) se casse ; d'ailleurs $(-2)^{2}=4>1^{2}$ alors que $-2<1$.

C'est pourquoi la fonction carré n'est pas monotone sur $\mathbb{R}$ : elle change de sens en $0$.

Premier cas : $-2{,}4\le x\le -0{,}7$, un intervalle de nombres négatifs, sur lequel $g$ est décroissante. L'ordre se renverse :

$(-0{,}7)^{2}\le x^{2}\le(-2{,}4)^{2}$, soit $0{,}49\le x^{2}\le 5{,}76$.

Piège : écrire $5{,}76\le x^{2}\le 0{,}49$, ou garder l'ordre des bornes de $x$. La plus PETITE valeur de $x^{2}$ vient du nombre le plus proche de $0$, ici $-0{,}7$.

Second cas : $[-0{,}9\,;1{,}6]$ contient $0$, où $g$ change de sens. On coupe en deux.

Sur $[-0{,}9\,;0]$, $g$ décroît : $0\le x^{2}\le 0{,}81$. Sur $[0\,;1{,}6]$, $g$ croît : $0\le x^{2}\le 2{,}56$.

En réunissant : $0\le x^{2}\le 2{,}56$.

Piège : élever les bornes au carré et répondre $0{,}81\le x^{2}\le 2{,}56$. Le réel $0$ est dans l'intervalle et son carré, $0$, est plus petit que $0{,}81$ : voir la figure, où le bas de la parabole est atteint en $0$, pas en $-0{,}9$.

Les crochets sont tournés vers l'intérieur aux deux bornes : $K=[-1\,;6]$, bornes comprises.

Le centre est le milieu des bornes, le rayon la moitié de la longueur :

$c=\dfrac{-1+6}{2}=2{,}5$ et $r=\dfrac{6-(-1)}{2}=3{,}5$

Donc $K$ est l'ensemble des réels $x$ tels que $|x-2{,}5|\le 3{,}5$. Contrôle : $2{,}5-3{,}5=-1$ et $2{,}5+3{,}5=6$.

Piège : prendre pour rayon la longueur $7$ de l'intervalle. Le rayon va du centre à UNE borne : la longueur vaut $2r$.

$|x+0{,}8|=|x-(-0{,}8)|$ est la distance entre $x$ et $-0{,}8$. On cherche les réels à une distance STRICTEMENT inférieure à $1{,}2$ de $-0{,}8$ :

$-0{,}8-1{,}2<x<-0{,}8+1{,}2$, soit $\mathcal{S}=]-2\,;0{,}4[$.

Pour $x=-2$ : $|-2+0{,}8|=|-1{,}2|=1{,}2$, qui n'est pas strictement inférieur à $1{,}2$. Le réel $-2$ n'est pas solution : c'est une borne exclue.

Piège : lire le centre $0{,}8$ dans $|x+0{,}8|$ et répondre $]-0{,}4\,;2[$. Le signe plus dans les barres annonce un centre NÉGATIF.

Un réel convient s'il est dans $K$ et dans $]-2\,;0{,}4[$ à la fois : c'est l'INTERSECTION des deux intervalles.

Il doit vérifier $x\ge -1$ et $x>-2$, donc $x\ge -1$ ; et $x\le 6$ et $x<0{,}4$, donc $x<0{,}4$.

La figure du corrigé place les trois ensembles l'un sous l'autre : on garde la partie commune.

Piège : répondre $]-2\,;6]$, qui est la RÉUNION, l'ensemble des réels qui sont dans l'un OU dans l'autre.

$|A-40|$ est la distance entre $A$ et $40$. Elle ne dépasse pas $4$ lorsque :

$40-4\le A\le 40+4$, soit $A\in[36\,;44]$.

C'est un intervalle de centre $40$ et de rayon $4$.

Avec $A=c^{2}$, la condition s'écrit $36\le c^{2}\le 44$.

On écrit les bornes comme des carrés de nombres positifs : $36=6^{2}$ et $44=\left(\sqrt{44}\right)^{2}$, avec $\sqrt{44}=\sqrt{4\times 11}=2\sqrt{11}$.

La fonction carré est strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$ : pour deux nombres POSITIFS $u$ et $v$, $u\le v$ équivaut à $u^{2}\le v^{2}$. Les nombres $c$, $6$ et $2\sqrt{11}$ sont positifs, donc :