Exercice 0.1 : Calculer des valeurs absolues et des distances : dix calculs directs

Calculez chaque nombre sans calculatrice, sauf pour l'arrondi demandé en h) et i). Le geste est toujours le même : on calcule d'abord ce qui est ENTRE les barres, puis on prend la distance de ce résultat à $0$ . Une valeur absolue est donc toujours positive ou nulle ; un signe moins écrit DEVANT les barres, lui, reste.

La distance entre deux réels $a$ et $b$ vaut $|b-a|$ , dans n'importe quel ordre.

a) $|-12|$
b) $|4-19|$
c) $|-6+2{,}5|$
d) $|-9|-|4|$
e) $|-9-4|$
f) La distance entre $-7{,}5$ et $2$ .
g) La distance entre $-\frac{3}{4}$ et $-2$ .
h) $|\pi-4|$ : écrivez-le sans barres, puis donnez sa valeur au centième.
i) $|1-\sqrt{3}|$ : écrivez-le sans barres, puis donnez sa valeur au centième.
j) $-|-8|$

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/12

a)

|-12|

b)

|4-19|

c)

|-6+2{,}5|

d)

|-9|-|4|

e)

|-9-4|

f)

Distance

g)

Distance

h)

|\pi-4|

s'écrit

Valeur

i)

|1-\sqrt{3}|

s'écrit

Valeur

j)

-|-8|

Voir la correction

Réponses

a) $12$
b) $15$
c) $3{,}5$
d) $5$
e) $13$
f) $9{,}5$
g) $\frac{5}{4}=1{,}25$
h) $4-\pi\approx 0{,}86$
i) $\sqrt{3}-1\approx 0{,}73$
j) $-8$

Une seule règle pour les dix calculs : l'intérieur des barres d'abord, la distance à $0$ ensuite.

Les erreurs de cette liste viennent toutes d'un raccourci : effacer les signes moins un par un au lieu de calculer, ou faire entrer dans les barres un signe qui est dehors.

a)

$|-12|=12$ : le point d'abscisse $-12$ est à $12$ unités de $0$ .

b)

On calcule l'intérieur : $4-19=-15$ .

$|4-19|=|-15|=15$ .

Piège : écrire $|4-19|=4+19=23$ en « rendant tout positif » ; on ne touche jamais aux signes à l'intérieur des barres.

c)

$-6+2{,}5=-3{,}5$ , donc $|-6+2{,}5|=3{,}5$ .

d)

Ici il y a DEUX valeurs absolues, calculées séparément : $|-9|=9$ et $|4|=4$ .

$|-9|-|4|=9-4=5$ .

e)

Une seule valeur absolue : $-9-4=-13$ , donc $|-9-4|=13$ .

Comparez avec d) : les mêmes nombres, deux écritures, deux résultats. La place des barres change le calcul.

f)

$|2-(-7{,}5)|=|2+7{,}5|=9{,}5$ .

On vérifie dans l'autre ordre : $|-7{,}5-2|=|-9{,}5|=9{,}5$ .

Piège : $|2-7{,}5|=5{,}5$ , qui oublie le signe de $-7{,}5$ ; deux nombres de part et d'autre de $0$ sont séparés par la SOMME de leurs distances à $0$ , $7{,}5+2$ .

g)

$\left|-2-\left(-\frac{3}{4}\right)\right|=\left|-2+\frac{3}{4}\right|=\left|-\frac{5}{4}\right|=\frac{5}{4}$ .

Les deux nombres sont du même côté de $0$ : leur distance est la DIFFÉRENCE de leurs distances à $0$ , $2-\frac{3}{4}=\frac{5}{4}=1{,}25$ .

h)

$\pi\approx 3{,}14<4$ , donc $\pi-4<0$ et $|\pi-4|=-(\pi-4)=4-\pi$ .

$4-\pi\approx 0{,}86$ .

Piège : répondre $\pi-4$ , nombre négatif ; une valeur absolue ne l'est jamais. On choisit le cas selon le SIGNE de l'intérieur, on n'efface pas le moins.

i)

$\sqrt{3}\approx 1{,}73>1$ , donc $1-\sqrt{3}<0$ et $|1-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-1\approx 0{,}73$ .

Même raisonnement qu'en h) : comparer les deux termes suffit à connaître le signe.

j)

$|-8|=8$ , et le signe moins est DEVANT les barres : $-|-8|=-8$ .

Piège : répondre $8$ ; la valeur absolue ne s'applique qu'à ce qui est entre les barres.

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Exercice 0.2 : Distances et intervalles : dix résolutions directes

Résolvez chaque équation ou inéquation en la LISANT comme une distance : $|x-a|$ est la distance entre $x$ et $a$ , et $|x+a|=|x-(-a)|$ la distance entre $x$ et $-a$ . Placez $a$ sur une droite graduée, puis lisez les réels qui conviennent.

Pour i) et j), écrivez l'intervalle donné sous la forme $|x-c|\le r$ ou $|x-c|< r$ en donnant son centre $c$ et son rayon $r$ .

a) $|x|=7$
b) $|x|<3$
c) $|x-5|\le 2$
d) $|x+4|<1{,}5$
e) $|x-2|=6$
f) $|x+1|=0$
g) $|x-3|\le -1$
h) $|x+0{,}5|\ge 2$
i) $[-2\,;10]$
j) $]-8{,}5\,;-1{,}5[$

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/15

a)

Plus petite solution

Plus grande solution

b)

Solutions ;

c)

Solutions ;

d)

Solutions ;

e)

Plus petite solution

Plus grande solution

f)

Solution

g)

Ensemble des solutions

h)

Morceau de gauche ;

Morceau de droite ;

i)

Centre

c

Rayon

r

j)

Centre

c

Rayon

r

Voir la correction

Réponses

a) $x=-7$ ou $x=7$
b) $]-3\,;3[$
c) $[3\,;7]$
d) $]-5{,}5\,;-2{,}5[$
e) $x=-4$ ou $x=8$
f) $x=-1$
g) aucune solution
h) $]-\infty\,;-2{,}5]\cup[1{,}5\,;+\infty[$
i) $|x-4|\le 6$
j) $|x+5|<3{,}5$

Méthode unique : repérer le CENTRE (le nombre $a$ de $|x-a|$ , attention au signe) et le RAYON (le nombre de droite), puis partir du centre d'un rayon vers la gauche et d'un rayon vers la droite.

« $=$ » donne les deux extrémités, « $\le$ » ou « $<$ » le segment entre elles, « $\ge$ » ou « $>$ » ce qui est au-delà.

a)

Les réels à distance $7$ de $0$ : $x=-7$ ou $x=7$ .

b)

Les réels à distance strictement inférieure à $3$ de $0$ : $]-3\,;3[$ , crochets ouverts car l'inégalité est stricte.

c)

Centre $5$ , rayon $2$ : $[5-2\,;5+2]=[3\,;7]$ .

d)

$|x+4|=|x-(-4)|$ : centre $-4$ , rayon $1{,}5$ .

$]-4-1{,}5\,;-4+1{,}5[=]-5{,}5\,;-2{,}5[$ .

Piège : prendre le centre $4$ ; le $+4$ dans les barres annonce le centre $-4$ .

e)

Centre $2$ , rayon $6$ : $x=2-6=-4$ ou $x=2+6=8$ .

f)

Une distance nulle : $x$ est confondu avec $-1$ , une seule solution $x=-1$ .

g)

Une distance n'est jamais négative : aucune solution.

Piège : écrire $[4\,;2]$ en appliquant la formule sans réfléchir ; un rayon négatif ne définit aucun intervalle.

h)

Centre $-0{,}5$ , rayon $2$ : les réels À DISTANCE AU MOINS $2$ de $-0{,}5$ sont à gauche de $-2{,}5$ ou à droite de $1{,}5$ .

$]-\infty\,;-2{,}5]\cup[1{,}5\,;+\infty[$ , deux morceaux reliés par « ou ».

i)

Centre $c=\frac{-2+10}{2}=4$ , rayon $r=\frac{10-(-2)}{2}=6$ .

$[-2\,;10]$ s'écrit $|x-4|\le 6$ .

Contrôle : $4-6=-2$ et $4+6=10$ .

j)

Centre $c=\frac{-8{,}5+(-1{,}5)}{2}=-5$ , rayon $r=\frac{-1{,}5-(-8{,}5)}{2}=3{,}5$ .

Crochets ouverts, donc inégalité stricte : $|x-(-5)|<3{,}5$ , soit $|x+5|<3{,}5$ .

Piège : donner la longueur $7$ comme rayon ; le rayon est la MOITIÉ de la longueur.

Exercice 1 : La valeur absolue est la distance à zéro

Le programme définit la valeur absolue d'un réel $a$ , notée $|a|$ , comme la DISTANCE entre le point d'abscisse $a$ et l'origine $O$ de la droite graduée. Ainsi $|-2|=2$ , parce que le point d'abscisse $-2$ est à deux unités de $O$ .

Sur la droite graduée ci-dessous, d'origine $O$ , sont placés quatre points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ d'abscisses $a$ , $b$ , $c$ et $d$ .

a) Lisez les abscisses $a$ , $b$ , $c$ et $d$ , puis donnez $|a|$ , $|b|$ , $|c|$ et $|d|$ .
b) On admet la définition par cas : $|x|=x$ si $x\ge 0$ et $|x|=-x$ si $x<0$ . Vérifiez-la sur $a$ et sur $c$ . Pourquoi le nombre $-a$ est-il POSITIF ici ?
c) Deux des quatre points sont à la même distance de $O$ : lesquels ? Qu'en déduisez-vous sur la phrase « si $|x|=|y|$ , alors $x=y$ » ?
d) Quels sont les réels dont la valeur absolue vaut $4$ ? Quel réel a pour valeur absolue $0$ ? Pourquoi aucun réel n'a-t-il pour valeur absolue $-3$ ?
e) Comparez $b$ et $c$ , puis $|b|$ et $|c|$ . Le plus grand de deux nombres a-t-il toujours la plus grande valeur absolue ?

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Réponses

a) $a=-3{,}5$ , $b=-1{,}5$ , $c=1$ , $d=3{,}5$ ; $|a|=3{,}5$ , $|b|=1{,}5$ , $|c|=1$ , $|d|=3{,}5$
b) $|a|=-a=-(-3{,}5)=3{,}5$ et $|c|=c=1$ ; $-a$ est positif car $a$ est négatif
c) $A$ et $D$ ; la phrase est fausse : $|x|=|y|$ équivaut à $x=y$ ou $x=-y$
d) $-4$ et $4$ ; $0$ seul ; une distance n'est jamais négative
e) $b< c$ mais $|b|>|c|$ : non

a)

On lit $a=-3{,}5$ , $b=-1{,}5$ , $c=1$ et $d=3{,}5$ (une graduation vaut $0{,}5$ ).

Les distances à $O$ se comptent en unités, sans signe : $|a|=3{,}5$ , $|b|=1{,}5$ , $|c|=1$ et $|d|=3{,}5$ .

Une distance est un nombre positif ou nul : c'est la seule chose que la valeur absolue « fait » au nombre. Elle ne change rien à un nombre positif et remplace un nombre négatif par son opposé.

b)

$a=-3{,}5<0$ : on est dans le second cas, $|a|=-a=-(-3{,}5)=3{,}5$ .

$c=1\ge 0$ : premier cas, $|c|=c=1$ .

Le nombre $-a$ n'est pas « un nombre négatif » : c'est l'OPPOSÉ de $a$ . Comme $a$ est négatif, son opposé est positif.

Piège : lire $-a$ comme « moins quelque chose, donc négatif » et conclure que $|a|=-a$ est absurde. La définition par cas dit justement : on choisit le cas selon le signe de $a$ , on n'efface pas un signe.

c)

$A$ et $D$ sont tous deux à $3{,}5$ unités de $O$ , de part et d'autre : $|a|=|d|=3{,}5$ alors que $a\ne d$ .

La phrase « si $|x|=|y|$ , alors $x=y$ » est donc fausse ; la bonne propriété est : $|x|=|y|$ équivaut à $x=y$ ou $x=-y$ .

Sur la droite, deux points distincts à la même distance de $O$ sont symétriques par rapport à $O$ .

d)

Les réels à distance $4$ de $O$ sont les deux points situés à $4$ unités à gauche et à droite : $-4$ et $4$ .

Un seul réel est à distance $0$ de $O$ : $0$ lui-même.

Aucun réel n'a pour valeur absolue $-3$ , car une distance n'est jamais négative.

Retenez les trois cas : $|x|=k$ a deux solutions si $k>0$ , une seule si $k=0$ , aucune si $k<0$ .

e)

$b=-1{,}5<1=c$ , mais $|b|=1{,}5>1=|c|$ : l'ordre s'inverse.

Le plus grand de deux nombres n'a donc pas toujours la plus grande valeur absolue. Comparer des valeurs absolues, c'est comparer des DISTANCES à $0$ : $B$ est plus loin de $O$ que $C$ , même s'il est plus à gauche.

L'ordre est conservé seulement quand les deux nombres sont positifs ; il est renversé quand ils sont tous deux négatifs. C'est le sens de variation de la fonction valeur absolue, démontré à l'exercice 4.

Exercice 2 : La distance entre deux réels

La distance entre deux réels $a$ et $b$ , c'est-à-dire la longueur du segment qui joint leurs points sur la droite graduée, vaut $|b-a|$ . Elle se calcule en soustrayant les deux nombres, dans n'importe quel ordre, puis en prenant la valeur absolue du résultat.

Sur la droite graduée ci-dessous, les points $M$ , $N$ et $P$ ont pour abscisses $m=-4$ , $n=-1{,}5$ et $p=3$ .

a) Calculez les distances $MN$ , $NP$ et $MP$ . Vérifiez que $MN+NP=MP$ et expliquez pourquoi.
b) Un élève écrit : « la distance entre $-4$ et $3$ vaut $|3-4|=1$ ». Où est l'erreur ?
c) Pourquoi a-t-on toujours $|b-a|=|a-b|$ ? Illustrez avec $|-1{,}5-3|$ et $|3-(-1{,}5)|$ .
d) Traduisez par une phrase de distance : $|x-4|$ , $|x+2{,}5|$ et $|x|$ .
e) Trouvez les réels $x$ tels que $|x+2{,}5|=3$ , en raisonnant sur la droite graduée.
f) Quel réel est à égale distance de $M$ et de $P$ ? Traduisez la réponse par une égalité de valeurs absolues.

Voir la correction

Réponses

a) $MN=2{,}5$ , $NP=4{,}5$ , $MP=7$ ; $N$ est entre $M$ et $P$
b) il a remplacé $-4$ par $4$ : $|3-(-4)|=7$
c) $a-b$ et $b-a$ sont opposés, donc ont la même valeur absolue : $|-4{,}5|=|4{,}5|=4{,}5$
d) distance de $x$ à $4$ ; distance de $x$ à $-2{,}5$ ; distance de $x$ à $0$
e) $x=-5{,}5$ ou $x=0{,}5$
f) $x=-0{,}5$ , le milieu ; $|x+4|=|x-3|$

a)

$MN=|-1{,}5-(-4)|=|2{,}5|=2{,}5$ .

$NP=|3-(-1{,}5)|=|4{,}5|=4{,}5$ .

$MP=|3-(-4)|=|7|=7$ .

$2{,}5+4{,}5=7$ : l'égalité $MN+NP=MP$ est vraie parce que $N$ est situé ENTRE $M$ et $P$ sur la droite. Si le point du milieu n'était pas entre les deux autres, on n'aurait pas cette égalité : $MP+PN=7+4{,}5=11{,}5\ne MN$ .

b)

L'élève a écrit $3-4$ au lieu de $3-(-4)$ : il a perdu le signe de $-4$ .

La bonne distance est $|3-(-4)|=|3+4|=7$ .

Piège : soustraire un nombre négatif sans parenthèses. Le contrôle visuel suffit : $-4$ et $3$ sont de part et d'autre de $0$ , donc leur distance dépasse chacune de leurs distances à $0$ , $4$ et $3$ . Une réponse $1$ est impossible.

c)

$a-b=-(b-a)$ : les deux différences sont des nombres OPPOSÉS, et deux opposés sont à la même distance de $0$ .

$|-1{,}5-3|=|-4{,}5|=4{,}5$ et $|3-(-1{,}5)|=|4{,}5|=4{,}5$ .

C'est pour cela qu'on peut soustraire « dans n'importe quel ordre » : seule la valeur absolue rend la distance indépendante de l'ordre.

d)

$|x-4|$ est la distance entre $x$ et $4$ .

$|x+2{,}5|=|x-(-2{,}5)|$ est la distance entre $x$ et $-2{,}5$ .

$|x|=|x-0|$ est la distance entre $x$ et $0$ .

Piège : lire $|x+2{,}5|$ comme la distance à $2{,}5$ . Pour lire une distance, il faut une DIFFÉRENCE ; on récrit donc la somme comme la soustraction de l'opposé.

e)

D'après d), on cherche les réels situés à distance $3$ de $-2{,}5$ .

On part de $-2{,}5$ : vers la gauche, $-2{,}5-3=-5{,}5$ ; vers la droite, $-2{,}5+3=0{,}5$ .

Vérification : $|-5{,}5+2{,}5|=|-3|=3$ et $|0{,}5+2{,}5|=3$ .

Une distance donnée autour d'un point donne DEUX réels, un de chaque côté.

f)

Le réel à égale distance de $-4$ et de $3$ est le milieu du segment $[MP]$ : $\frac{-4+3}{2}=-0{,}5$ .

Il est à $3{,}5$ de chacun : $|-0{,}5-(-4)|=3{,}5$ et $|3-(-0{,}5)|=3{,}5$ .

En valeurs absolues, la condition s'écrit $|x+4|=|x-3|$ : « la distance de $x$ à $-4$ égale la distance de $x$ à $3$ ». Lue comme une distance, cette équation se résout sans calcul : c'est le milieu.

Exercice 3 : Intervalle de centre donné : l'inéquation |x − c| ≤ r

Le programme relie la valeur absolue aux intervalles. Pour $r>0$ , dire que $|x-c|\le r$ , c'est dire que $x$ est à une distance au plus $r$ de $c$ , autrement dit que $x\in[c-r\,;c+r]$ . Le réel $c$ est le CENTRE de l'intervalle, $r$ son RAYON, et sa longueur vaut $2r$ .

Les deux figures représentent un intervalle $I$ et un intervalle $J$ , chacun sur sa droite graduée.

a) Démontrez l'équivalence $|x-c|\le r\iff c-r\le x\le c+r$ en distinguant les cas $x\ge c$ et $x< c$ .
b) Résolvez $|x-1{,}5|\le 2{,}5$ et représentez l'ensemble des solutions sur une droite graduée.
c) Résolvez $|x+3|<0{,}5$ . Le réel $-2{,}6$ en est-il solution ?
d) Écrivez $I$ et $J$ sous la forme $|x-c|\le r$ ou $|x-c|< r$ .
e) Résolvez $|x-4|\ge 1$ et écrivez la solution comme une réunion de deux intervalles.
f) Un intervalle fermé a pour centre $-1$ et pour longueur $5$ . Écrivez-le avec des crochets, puis avec une valeur absolue.

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Réponses

a) si $x\ge c$ , $|x-c|=x-c$ ; si $x< c$ , $|x-c|=c-x$ ; dans les deux cas on obtient $c-r\le x\le c+r$
b) $[-1\,;4]$
c) $]-3{,}5\,;-2{,}5[$ ; oui, $|-2{,}6+3|=0{,}4<0{,}5$
d) $I=[-6\,;2]$ : $|x+2|\le 4$ ; $J=]0{,}2\,;1{,}8[$ : $|x-1|<0{,}8$
e) $]-\infty\,;3]\cup[5\,;+\infty[$
f) $[-3{,}5\,;1{,}5]$ , soit $|x+1|\le 2{,}5$

a)

On ne peut pas « enlever les barres » d'un coup : on CHOISIT le cas selon le signe de $x-c$ .

Cas $x\ge c$ : $x-c\ge 0$ , donc $|x-c|=x-c$ . L'inégalité $x-c\le r$ donne $x\le c+r$ ; avec $x\ge c$ , on a bien $c-r\le c\le x\le c+r$ .

Cas $x< c$ : $x-c<0$ , donc $|x-c|=-(x-c)=c-x$ . L'inégalité $c-x\le r$ donne $x\ge c-r$ ; avec $x< c$ , on a $c-r\le x< c\le c+r$ .

Réciproquement, si $c-r\le x\le c+r$ , alors $-r\le x-c\le r$ , et dans chacun des deux cas $|x-c|\le r$ . L'équivalence est démontrée.

Piège : traiter un seul cas et écrire « $|x-c|\le r$ donne $x\le c+r$ », ce qui perd toute la moitié gauche de l'intervalle.

b)

Centre $1{,}5$ , rayon $2{,}5$ : $[1{,}5-2{,}5\,;1{,}5+2{,}5]=[-1\,;4]$ .

Sur la droite graduée, on part de $1{,}5$ et l'on va de $2{,}5$ unités de chaque côté ; les crochets sont fermés car l'inégalité est large (figure du corrigé).

c)

$|x+3|=|x-(-3)|$ : centre $-3$ , rayon $0{,}5$ , inégalité stricte.

$]-3{,}5\,;-2{,}5[$ .

Pour $-2{,}6$ : $|-2{,}6+3|=|0{,}4|=0{,}4<0{,}5$ , donc oui, $-2{,}6$ est solution ; on le voit aussi parce que $-3{,}5<-2{,}6<-2{,}5$ .

d)

Sur la figure, $I=[-6\,;2]$ , crochets fermés.

Centre $\frac{-6+2}{2}=-2$ , rayon $\frac{2-(-6)}{2}=4$ : $|x-(-2)|\le 4$ , soit $|x+2|\le 4$ .

Sur la seconde figure, $J=]0{,}2\,;1{,}8[$ , crochets ouverts vers l'extérieur.

Centre $\frac{0{,}2+1{,}8}{2}=1$ , rayon $\frac{1{,}8-0{,}2}{2}=0{,}8$ : $|x-1|<0{,}8$ , inégalité STRICTE car les bornes sont exclues.

e)

Les réels à distance au moins $1$ de $4$ sont à gauche de $3$ ou à droite de $5$ :

$]-\infty\,;3]\cup[5\,;+\infty[$ .

C'est le complémentaire de $]3\,;5[$ , solution de $|x-4|<1$ : changer le sens de l'inégalité échange l'intérieur et l'extérieur, et les bornes changent de crochet.

f)

La longueur vaut $5$ , donc le rayon vaut $\frac{5}{2}=2{,}5$ .

$[-1-2{,}5\,;-1+2{,}5]=[-3{,}5\,;1{,}5]$ , soit $|x+1|\le 2{,}5$ .

Piège : prendre la longueur comme rayon et écrire $|x+1|\le 5$ , intervalle deux fois trop long.

Exercice 4 : La fonction valeur absolue : deux morceaux affines, des variations démontrées

La fonction valeur absolue est la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=|x|$ . Le programme demande sa définition, sa courbe, son signe et ses variations.

La figure représente, dans un repère orthonormé, les droites $d_{1}$ d'équation $y=x$ et $d_{2}$ d'équation $y=-x$ .

a) Calculez $f(-4)$ , $f(-0{,}5)$ et $f(2{,}5)$ .
b) Sur $[0\,;+\infty[$ , $f(x)$ est égal à l'expression d'une fonction affine : laquelle ? Même question sur $]-\infty\,;0]$ . Déduisez-en quelles demi-droites de la figure forment la courbe de $f$ .
c) Démontrez que $f$ est croissante sur $[0\,;+\infty[$ : prenez deux réels $a$ et $b$ tels que $0\le a< b$ et comparez $f(a)$ et $f(b)$ .
d) Démontrez de même que $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;0]$ .
e) Dressez le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ et donnez le signe de $f(x)$ . Quel est le minimum de $f$ , et en quelle valeur est-il atteint ?
f) Les points $R(-2{,}2\,;2{,}2)$ , $S(1{,}7\,;-1{,}7)$ et $T(-3\,;-3)$ sont-ils sur la courbe de $f$ ?

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Réponses

a) $f(-4)=4$ , $f(-0{,}5)=0{,}5$ , $f(2{,}5)=2{,}5$
b) $f(x)=x$ sur $[0\,;+\infty[$ , $f(x)=-x$ sur $]-\infty\,;0]$ ; la moitié droite de $d_{1}$ et la moitié gauche de $d_{2}$
c) $f(a)=a< b=f(b)$ : $f$ est croissante sur $[0\,;+\infty[$
d) $a< b\le 0$ donne $-a>-b$ , soit $f(a)>f(b)$ : $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;0]$
e) décroissante puis croissante ; $f(x)\ge 0$ , nul seulement en $0$ ; minimum $0$ atteint en $x=0$
f) $R$ oui ; $S$ non ; $T$ non

a)

$f(-4)=|-4|=4$ , $f(-0{,}5)=|-0{,}5|=0{,}5$ et $f(2{,}5)=|2{,}5|=2{,}5$ .

Un nombre positif est son propre image, un nombre négatif a pour image son opposé.

b)

Si $x\ge 0$ , $|x|=x$ : sur $[0\,;+\infty[$ , $f$ coïncide avec la fonction affine $x\mapsto x$ , de droite $d_{1}$ .

Si $x\le 0$ , $|x|=-x$ : sur $]-\infty\,;0]$ , $f$ coïncide avec $x\mapsto -x$ , de droite $d_{2}$ .

La courbe de $f$ est donc formée de la demi-droite de $d_{1}$ située à DROITE de l'axe des ordonnées et de la demi-droite de $d_{2}$ située à GAUCHE : un V de pointe $O$ , entièrement au-dessus de l'axe des abscisses (figure du corrigé).

Piège : garder les deux droites entières. Les moitiés de $d_{1}$ et $d_{2}$ situées sous l'axe des abscisses portent des ordonnées négatives, impossibles pour une valeur absolue.

c)

Soient $a$ et $b$ tels que $0\le a< b$ . Les deux sont positifs, donc $f(a)=a$ et $f(b)=b$ .

Comme $a< b$ , on a $f(a)< f(b)$ .

L'ordre est conservé : $f$ est croissante sur $[0\,;+\infty[$ . C'est le sens de variation de la fonction affine $x\mapsto x$ , de coefficient directeur $1>0$ .

d)

Soient $a$ et $b$ tels que $a< b\le 0$ . Les deux sont négatifs ou nuls, donc $f(a)=-a$ et $f(b)=-b$ .

Multiplier l'inégalité $a< b$ par $-1$ , nombre négatif, en change le sens : $-a>-b$ .

Donc $f(a)>f(b)$ : l'ordre est renversé, $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;0]$ , comme la fonction affine $x\mapsto -x$ de coefficient directeur $-1<0$ .

Piège : oublier de changer le sens de l'inégalité en multipliant par $-1$ , ce qui « démontre » une croissance fausse.

e)

Tableau : $f$ décroît sur $]-\infty\,;0]$ , vaut $0$ en $0$ , puis croît sur $[0\,;+\infty[$ .

Signe : une distance est positive ou nulle, donc $f(x)\ge 0$ pour tout réel $x$ , et $f(x)=0$ seulement pour $x=0$ .

Le minimum de $f$ sur $\mathbb{R}$ vaut $0$ , atteint en $x=0$ ; $f$ n'a pas de maximum, puisque $|x|$ dépasse tout nombre quand $x$ s'éloigne de $0$ .

f)

Un point $(x\,;y)$ est sur la courbe si et seulement si $y=|x|$ .

$R$ : $|-2{,}2|=2{,}2$ , c'est bien son ordonnée, donc $R$ est sur la courbe.

$S$ : $|1{,}7|=1{,}7\ne -1{,}7$ , donc $S$ n'est pas sur la courbe.

$T$ : $|-3|=3\ne -3$ , donc $T$ n'est pas sur la courbe ; il est sur $d_{1}$ , dans la moitié qu'on a retirée en b).

Contrôle rapide : un point d'ordonnée négative n'est JAMAIS sur la courbe de la valeur absolue.

Exercice 5 : Résoudre |x| = k et |x| < k : la courbe, puis le calcul

Pour résoudre graphiquement $|x|=k$ ou $|x|< k$ , on trace la droite horizontale d'équation $y=k$ et l'on lit les ABSCISSES des points de la courbe situés sur cette droite, ou en dessous. Pour résoudre par le calcul, on distingue les cas $x\ge 0$ et $x<0$ , ou l'on lit $|x|$ comme la distance de $x$ à $0$ .

La figure représente la courbe $\mathcal{C}$ de la fonction valeur absolue $f(x)=|x|$ et les droites d'équations $y=3{,}5$ et $y=1{,}5$ .

a) Résolvez graphiquement $|x|=3{,}5$ , puis retrouvez les solutions par le calcul en distinguant deux cas.
b) Résolvez graphiquement $|x|\le 1{,}5$ , puis par le calcul.
c) Résolvez $|x|>3{,}5$ . Pourquoi la réponse est-elle formée de deux morceaux ?
d) Selon la valeur du réel $k$ , combien l'équation $|x|=k$ a-t-elle de solutions ?
e) Sans les calculer, comparez $f(-0{,}8)$ et $f(-1{,}25)$ en citant le sens de variation de $f$ .
f) Comparez $f(-3{,}1)$ et $f(2{,}6)$ . Pourquoi faut-il d'abord remplacer $f(-3{,}1)$ par $f(3{,}1)$ ?

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/9

a)

Plus petite solution

Plus grande solution

b)

Solutions ;

c)

Morceau de gauche ;

Morceau de droite ;

d)

Nombre de solutions si k = 0

Nombre de solutions si k < 0

e)

Comparaison

f)

Comparaison

Voir la correction

Réponses

a) $x=-3{,}5$ ou $x=3{,}5$
b) $[-1{,}5\,;1{,}5]$
c) $]-\infty\,;-3{,}5[\cup]3{,}5\,;+\infty[$
d) aucune si $k<0$ , une ( $x=0$ ) si $k=0$ , deux ( $-k$ et $k$ ) si $k>0$
e) $f(-1{,}25)>f(-0{,}8)$
f) $f(-3{,}1)=f(3{,}1)>f(2{,}6)$

a)

La droite $y=3{,}5$ coupe la courbe en deux points, d'abscisses $-3{,}5$ et $3{,}5$ .

Par le calcul : si $x\ge 0$ , $|x|=x$ et l'équation devient $x=3{,}5$ , qui convient car $3{,}5\ge 0$ .

Si $x<0$ , $|x|=-x$ et l'équation devient $-x=3{,}5$ , soit $x=-3{,}5$ , qui convient car $-3{,}5<0$ .

Les solutions sont $-3{,}5$ et $3{,}5$ .

Dans chaque cas, on VÉRIFIE que la solution trouvée appartient bien au cas étudié : c'est ce contrôle qui rend la méthode rigoureuse.

b)

On cherche les points de la courbe situés sur ou SOUS la droite $y=1{,}5$ : ils sont entre les abscisses $-1{,}5$ et $1{,}5$ .

Par le calcul : $|x|\le 1{,}5$ dit que $x$ est à distance au plus $1{,}5$ de $0$ , donc $-1{,}5\le x\le 1{,}5$ .

$S=[-1{,}5\,;1{,}5]$ , crochets fermés car l'inégalité est large.

Piège : lire les ordonnées au lieu des abscisses, ou répondre $]-\infty\,;1{,}5]$ en oubliant que la courbe remonte à gauche.

c)

La courbe est strictement au-dessus de la droite $y=3{,}5$ pour $x<-3{,}5$ et pour $x>3{,}5$ .

$S=]-\infty\,;-3{,}5[\cup]3{,}5\,;+\infty[$ .

Il y a deux morceaux parce que la courbe a deux branches : on s'éloigne de $0$ de plus de $3{,}5$ soit vers la gauche, soit vers la droite. Ce n'est pas un intervalle, et l'écrire $]-3{,}5\,;3{,}5[$ donnerait exactement l'inverse.

d)

On fait glisser la droite horizontale $y=k$ sur le V.

Si $k<0$ , la droite passe sous la courbe : aucune solution, car une valeur absolue n'est jamais négative.

Si $k=0$ , elle touche la pointe : une seule solution, $x=0$ .

Si $k>0$ , elle coupe chaque branche une fois : deux solutions, $-k$ et $k$ .

e)

$-1{,}25$ et $-0{,}8$ sont tous deux dans $]-\infty\,;0]$ , où $f$ est décroissante.

$-1{,}25<-0{,}8$ , et une fonction décroissante renverse l'ordre : $f(-1{,}25)>f(-0{,}8)$ .

Contrôle : $1{,}25>0{,}8$ .

f)

$-3{,}1$ et $2{,}6$ ne sont pas dans un même intervalle où $f$ est monotone : le sens de variation ne permet pas de les comparer directement.

Or $f(-3{,}1)=|-3{,}1|=|3{,}1|=f(3{,}1)$ : deux opposés ont la même image, la courbe étant symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

$2{,}6$ et $3{,}1$ sont dans $[0\,;+\infty[$ , où $f$ est croissante, et $2{,}6<3{,}1$ , donc $f(2{,}6)< f(3{,}1)=f(-3{,}1)$ .

Piège : conclure $f(-3{,}1)< f(2{,}6)$ parce que $-3{,}1<2{,}6$ . C'est appliquer une croissance qui n'existe pas sur $\mathbb{R}$ .

Exercice 6 : La racine d'un carré est une valeur absolue

Le programme pose la relation $\sqrt{a^{2}}=|a|$ , vraie pour TOUT réel $a$ . Elle explique une erreur très répandue : simplifier $\sqrt{a^{2}}$ en $a$ , ce qui est faux dès que $a$ est négatif.

On rappelle que, pour $b\ge 0$ , $\sqrt{b}$ est l'unique réel POSITIF ou nul dont le carré vaut $b$ .

a) Calculez $\sqrt{(-9)^{2}}$ et $\sqrt{9^{2}}$ . L'égalité $\sqrt{a^{2}}=a$ est-elle vraie pour $a=-9$ ?
b) Démontrez que, pour tout réel $a$ , $\sqrt{a^{2}}=|a|$ .
c) Écrivez $\sqrt{(x-5)^{2}}$ sans racine ni valeur absolue, d'abord pour $x\ge 5$ , puis pour $x<5$ . Contrôlez avec $x=2$ .
d) Résolvez l'équation $\sqrt{(x+1)^{2}}=4$ .
e) Un élève écrit $\sqrt{(1-\sqrt{2})^{2}}=1-\sqrt{2}$ . Montrez sans calculatrice que c'est impossible, puis donnez la bonne écriture et sa valeur au centième.
f) Résolvez l'inéquation $\sqrt{x^{2}}\le 6$ .

Voir la correction

Réponses

a) $\sqrt{(-9)^{2}}=9$ et $\sqrt{9^{2}}=9$ ; non, $9\ne -9$
b) $|a|\ge 0$ et $|a|^{2}=a^{2}$ , donc $|a|$ est la racine carrée de $a^{2}$
c) $x-5$ si $x\ge 5$ ; $5-x$ si $x<5$ ; pour $x=2$ : $3$
d) $|x+1|=4$ : $x=-5$ ou $x=3$
e) $1-\sqrt{2}<0$ ne peut pas être une racine carrée ; $\sqrt{2}-1\approx 0{,}41$
f) $|x|\le 6$ : $[-6\,;6]$

a)

$(-9)^{2}=81$ , donc $\sqrt{(-9)^{2}}=\sqrt{81}=9$ . De même $\sqrt{9^{2}}=\sqrt{81}=9$ .

Pour $a=-9$ , $\sqrt{a^{2}}=9$ alors que $a=-9$ : l'égalité $\sqrt{a^{2}}=a$ est fausse.

Le carré a effacé le signe de $-9$ , et la racine ne peut pas le rendre : elle donne toujours un nombre positif. Ce qui reste, c'est la distance de $-9$ à $0$ , c'est-à-dire $|-9|$ .

b)

Il suffit de vérifier que $|a|$ a les deux propriétés qui définissent $\sqrt{a^{2}}$ .

D'abord $|a|\ge 0$ , puisque c'est une distance.

Ensuite $|a|^{2}=a^{2}$ , par cas : si $a\ge 0$ , $|a|^{2}=a^{2}$ ; si $a<0$ , $|a|^{2}=(-a)^{2}=a^{2}$ .

Donc $|a|$ est un réel positif ou nul dont le carré vaut $a^{2}$ : par unicité, $\sqrt{a^{2}}=|a|$ .

Piège : écrire « la racine et le carré se simplifient ». C'est vrai dans l'autre sens, $\left(\sqrt{b}\right)^{2}=b$ pour $b\ge 0$ , mais pas dans celui-ci.

c)

D'après b), $\sqrt{(x-5)^{2}}=|x-5|$ , puis on choisit le cas selon le signe de $x-5$ .

Si $x\ge 5$ , $x-5\ge 0$ et $\sqrt{(x-5)^{2}}=x-5$ .

Si $x<5$ , $x-5<0$ et $\sqrt{(x-5)^{2}}=-(x-5)=5-x$ .

Contrôle avec $x=2$ : $\sqrt{(2-5)^{2}}=\sqrt{9}=3$ , et la seconde expression donne $5-2=3$ ; la première aurait donné $2-5=-3$ , impossible pour une racine.

d)

$\sqrt{(x+1)^{2}}=|x+1|$ : l'équation s'écrit $|x+1|=4$ , « la distance de $x$ à $-1$ vaut $4$ ».

$x=-1-4=-5$ ou $x=-1+4=3$ .

Vérification : $\sqrt{(-5+1)^{2}}=\sqrt{16}=4$ et $\sqrt{(3+1)^{2}}=4$ .

Piège : simplifier en $x+1=4$ et ne trouver que $x=3$ ; la solution $-5$ est perdue.

e)

$\sqrt{2}>\sqrt{1}=1$ , donc $1-\sqrt{2}<0$ . Or une racine carrée est toujours positive ou nulle : elle ne peut pas valoir $1-\sqrt{2}$ .

La bonne écriture est $\sqrt{(1-\sqrt{2})^{2}}=|1-\sqrt{2}|=-(1-\sqrt{2})=\sqrt{2}-1$ .

$\sqrt{2}-1\approx 0{,}41$ .

Ce contrôle de signe prend deux secondes et attrape l'erreur à coup sûr.

f)

$\sqrt{x^{2}}=|x|$ : l'inéquation s'écrit $|x|\le 6$ .

Les réels à distance au plus $6$ de $0$ forment $[-6\,;6]$ .

Piège : simplifier en $x\le 6$ et répondre $]-\infty\,;6]$ ; or pour $x=-10$ , $\sqrt{(-10)^{2}}=10>6$ .

Exercice 7 : La fonction distance à −2 : écrire sans valeur absolue en choisissant le cas

On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=|x+2|$ : $g(x)$ est la distance entre $x$ et $-2$ .

La figure représente sa courbe $\mathcal{C}_{g}$ et les droites d'équations $y=3$ et $y=1$ .

a) Écrivez $g(x)$ sans valeur absolue sur $[-2\,;+\infty[$ , puis sur $]-\infty\,;-2[$ . Calculez $g(-5)$ : laquelle des deux expressions donne le bon résultat ?
b) Déduisez-en le sens de variation de $g$ sur chacun des deux intervalles, en citant le coefficient directeur de chaque fonction affine. Quel est le minimum de $g$ ?
c) Résolvez $g(x)=3$ graphiquement, puis en lisant $g(x)$ comme une distance.
d) Résolvez $g(x)<1$ .
e) Sans calculer les images, comparez $g(-4{,}5)$ et $g(0{,}3)$ .
f) Pour quelles valeurs du réel $a$ la courbe de la fonction $x\mapsto|x-a|$ passe-t-elle par le point $K(1\,;4)$ ?

Voir la correction

Réponses

a) $g(x)=x+2$ sur $[-2\,;+\infty[$ , $g(x)=-x-2$ sur $]-\infty\,;-2[$ ; $g(-5)=3$ , donné par $-x-2$
b) décroissante sur $]-\infty\,;-2]$ (coefficient $-1$ ), croissante sur $[-2\,;+\infty[$ (coefficient $1$ ) ; minimum $0$ en $-2$
c) $x=-5$ ou $x=1$
d) $]-3\,;-1[$
e) $g(-4{,}5)=2{,}5>g(0{,}3)=2{,}3$
f) $a=-3$ ou $a=5$

a)

Si $x\ge -2$ , $x+2\ge 0$ et $g(x)=x+2$ .

Si $x<-2$ , $x+2<0$ et $g(x)=-(x+2)=-x-2$ .

$g(-5)=|-5+2|=|-3|=3$ . Comme $-5<-2$ , c'est la seconde expression qui s'applique : $-(-5)-2=3$ . La première donnerait $-5+2=-3$ , nombre négatif, impossible pour une distance.

Piège : écrire $-x+2$ pour le second cas. L'opposé de $x+2$ est $-x-2$ : le signe moins porte sur TOUTE la parenthèse.

b)

Sur $]-\infty\,;-2]$ , $g(x)=-x-2$ : fonction affine de coefficient directeur $-1<0$ , donc $g$ y est décroissante.

Sur $[-2\,;+\infty[$ , $g(x)=x+2$ : coefficient directeur $1>0$ , donc $g$ y est croissante.

Le minimum de $g$ vaut $g(-2)=0$ , atteint en $x=-2$ : c'est la pointe du V, au point $(-2\,;0)$ , et non en $x=0$ comme pour $|x|$ .

c)

La droite $y=3$ coupe $\mathcal{C}_{g}$ aux points d'abscisses $-5$ et $1$ .

Par le calcul : $g(x)=3$ signifie « la distance de $x$ à $-2$ vaut $3$ », donc $x=-2-3=-5$ ou $x=-2+3=1$ .

Vérification : $g(-5)=3$ et $g(1)=|3|=3$ .

d)

$\mathcal{C}_{g}$ est strictement sous la droite $y=1$ entre les abscisses $-3$ et $-1$ .

Les réels à distance strictement inférieure à $1$ de $-2$ forment $]-2-1\,;-2+1[=]-3\,;-1[$ .

e)

$g(-4{,}5)$ est la distance de $-4{,}5$ à $-2$ , soit $2{,}5$ ; $g(0{,}3)$ est la distance de $0{,}3$ à $-2$ , soit $2{,}3$ .

$-4{,}5$ est plus loin de $-2$ que $0{,}3$ , donc $g(-4{,}5)>g(0{,}3)$ .

Piège : conclure $g(-4{,}5)< g(0{,}3)$ parce que $-4{,}5<0{,}3$ . Les deux nombres sont de part et d'autre de $-2$ , où $g$ change de sens : on compare des DISTANCES à $-2$ , pas des positions.

f)

Le point $K(1\,;4)$ est sur la courbe de $x\mapsto|x-a|$ si et seulement si $|1-a|=4$ , c'est-à-dire si la distance entre $a$ et $1$ vaut $4$ .

$a=1-4=-3$ ou $a=1+4=5$ .

Vérification : $|1-(-3)|=4$ et $|1-5|=4$ . Il y a deux V qui passent par $K$ , de pointes $(-3\,;0)$ et $(5\,;0)$ .

Exercice 8 : Cinq affirmations à corriger

Chacune des cinq affirmations suivantes est FAUSSE. Pour chacune, donnez un contre-exemple chiffré, expliquez l'erreur, puis écrivez l'énoncé correct.

a) « Pour tous réels $a$ et $b$ , $|a+b|=|a|+|b|$ . »
b) « $|x+4|$ est la distance entre $x$ et $4$ . »
c) « La fonction valeur absolue est croissante sur $\mathbb{R}$ , puisque $|x|\ge 0$ pour tout réel $x$ . »
d) « Si $a< b$ , alors $|a|<|b|$ . »
e) « L'intervalle $[-1\,;7]$ s'écrit $|x-7|\le 8$ . »

Voir la correction

Réponses

a) $a=3$ , $b=-5$ : $|a+b|=2$ mais $|a|+|b|=8$ ; l'égalité n'est vraie que si $a$ et $b$ sont de même signe
b) $x=4$ : $|x+4|=8$ , pas $0$ ; c'est la distance entre $x$ et $-4$
c) $-3<-1$ mais $|-3|=3>|-1|=1$ ; décroissante sur $]-\infty\,;0]$ , croissante sur $[0\,;+\infty[$
d) $a=-5$ , $b=2$ : $|a|=5>|b|=2$ ; vrai seulement si $0\le a< b$
e) $x=12$ vérifie $|x-7|\le 8$ sans être dans $[-1\,;7]$ ; $[-1\,;7]$ s'écrit $|x-3|\le 4$

a)

Contre-exemple : $a=3$ et $b=-5$ . $|a+b|=|-2|=2$ , alors que $|a|+|b|=3+5=8$ .

L'erreur est de traiter les barres comme des parenthèses qu'on distribue. Quand $a$ et $b$ sont de signes contraires, ils se compensent dans la somme, et la distance à $0$ diminue.

Énoncé correct : $|a+b|=|a|+|b|$ lorsque $a$ et $b$ sont de même signe ; en général, on calcule $a+b$ d'abord.

b)

Contre-exemple : $x=4$ . La distance entre $4$ et $4$ vaut $0$ , mais $|4+4|=8$ .

Une distance se lit sur une DIFFÉRENCE : $|x+4|=|x-(-4)|$ .

Énoncé correct : $|x+4|$ est la distance entre $x$ et $-4$ . Avec $x=-4$ , on trouve bien $|-4+4|=0$ .

c)

Contre-exemple : $-3<-1$ , mais $|-3|=3>|-1|=1$ : l'image diminue quand $x$ augmente.

L'erreur confond le SIGNE d'une fonction et son SENS DE VARIATION. « Toujours positive » dit où se trouve la courbe, pas si elle monte.

Énoncé correct : la fonction valeur absolue est décroissante sur $]-\infty\,;0]$ et croissante sur $[0\,;+\infty[$ ; elle est positive ou nulle sur $\mathbb{R}$ .

d)

Contre-exemple : $a=-5$ et $b=2$ . On a bien $-5<2$ , mais $|-5|=5>|2|=2$ .

Énoncé correct : si $0\le a< b$ , alors $|a|<|b|$ ; si $a< b\le 0$ , alors $|a|>|b|$ ; si $a$ et $b$ sont de signes contraires, on compare leurs distances à $0$ .

C'est exactement le tableau de variations de la fonction valeur absolue.

e)

Contre-exemple : $x=12$ . $|12-7|=5\le 8$ , donc $12$ vérifie l'inéquation, mais $12\notin[-1\,;7]$ .

L'erreur est d'avoir pris une BORNE, $7$ , pour centre, et la longueur, $8$ , pour rayon : $|x-7|\le 8$ décrit en fait $[-1\,;15]$ .

Énoncé correct : centre $\frac{-1+7}{2}=3$ , rayon $\frac{7-(-1)}{2}=4$ , donc $[-1\,;7]$ s'écrit $|x-3|\le 4$ .

Contrôle : $3-4=-1$ et $3+4=7$ .

Exercice 9 : Problème : le jeu de l'estimation

À la fête de fin d'année d'un lycée, un grand bocal contient des billes. Chaque participant inscrit une estimation entière $x$ du nombre de billes. Le nombre exact, noté $N$ , n'est révélé qu'à la fin.

L'ÉCART d'une estimation $x$ est la distance $|x-N|$ entre l'estimation et le nombre exact. Le gagnant est celui dont l'écart est le plus petit.

a) Pendant le jeu, l'organisatrice annonce : « le nombre de billes est compris entre $400$ et $470$ ». Écrivez cette information sous la forme $|N-c|\le r$ .
b) Juste avant la révélation, l'animateur annonce que deux joueurs, qui ont proposé $418$ et $444$ , ont exactement le même écart, non nul. Traduisez cette annonce par une égalité de valeurs absolues, et déduisez-en $N$ . Est-ce compatible avec a) ?
c) Inès a proposé $412$ , Yanis $455$ et Chloé $447$ . Calculez leurs écarts, ainsi que celui des deux joueurs de b). Qui gagne ?
d) Un lot de consolation récompense toute estimation dont l'écart ne dépasse pas $15$ . Traduisez la condition par une inéquation, puis par un intervalle. Combien d'estimations entières différentes sont récompensées ?
e) Léo se souvient seulement que son écart vaut $20$ et que son estimation était inférieure à celle de Chloé. Quelle estimation avait-il proposée ?

Voir la correction

Réponses

a) $|N-435|\le 35$
b) $|418-N|=|444-N|$ ; $N=431$ , qui est bien dans $[400\,;470]$
c) Inès $19$ , Yanis $24$ , Chloé $16$ , les deux joueurs de b) $13$ : ce sont eux qui gagnent, à égalité
d) $|x-431|\le 15$ , soit $x\in[416\,;446]$ : $31$ estimations entières
e) $411$ ( $451$ est rejeté car supérieur à $447$ )

a)

Centre : $c=\frac{400+470}{2}=435$ ; rayon : $r=\frac{470-400}{2}=35$ .

L'annonce s'écrit $|N-435|\le 35$ : le nombre de billes est à au plus $35$ de $435$ .

Contrôle : $435-35=400$ et $435+35=470$ .

b)

« Même écart » se traduit par $|418-N|=|444-N|$ : $N$ est à la même distance de $418$ et de $444$ .

Deux nombres distincts à la même distance de $N$ sont soit égaux, ce qui est exclu, soit symétriques par rapport à $N$ : $N$ est le MILIEU de $418$ et $444$ .

$N=\frac{418+444}{2}=431$ .

Vérification : $|418-431|=13$ et $|444-431|=13$ . Et $431\in[400\,;470]$ : l'annonce est compatible avec a).

L'écart non nul compte : avec un écart nul, il faudrait $N=418$ ET $N=444$ , ce qui est impossible.

c)

Inès : $|412-431|=|-19|=19$ .

Yanis : $|455-431|=24$ .

Chloé : $|447-431|=16$ .

Joueurs de b) : $13$ chacun.

Le plus petit écart est $13$ : les deux joueurs de b) gagnent à égalité, devant Chloé.

Piège : comparer les estimations entre elles, ou retenir le plus grand nombre ; on compare des ÉCARTS, et Inès, qui a proposé moins que $N$ , n'est pas pénalisée par le signe de $412-431$ .

d)

La condition s'écrit $|x-431|\le 15$ , soit $431-15\le x\le 431+15$ : $x\in[416\,;446]$ .

Les entiers de $416$ à $446$ inclus sont au nombre de $446-416+1=31$ .

Piège : répondre $30$ en faisant $446-416$ , qui compte les « pas » et oublie une des deux bornes. Les deux bornes sont récompensées, puisque l'inégalité est large.

Parmi les joueurs de c), Inès ( $412$ ) et Yanis ( $455$ ) ne sont pas récompensés, Chloé ( $447$ ) non plus, de justesse : $16>15$ .

e)

Un écart de $20$ signifie $|x-431|=20$ , donc $x=431-20=411$ ou $x=431+20=451$ .

L'écart seul ne suffit pas : il laisse deux estimations possibles, une de chaque côté de $N$ .

L'indice tranche : l'estimation de Léo est inférieure à $447$ . $451$ est rejeté, et Léo avait proposé $411$ .

Exercice 10 : Problème : deux postes de secours sur une plage

Une plage rectiligne est repérée par une abscisse $x$ , exprimée en centaines de mètres, de $0$ à $12$ . Deux postes de secours sont installés aux abscisses $2$ et $9$ . Quand un baigneur en difficulté est signalé à l'abscisse $x$ , c'est le poste le plus proche qui intervient.

On note $d_{1}(x)=|x-2|$ et $d_{2}(x)=|x-9|$ les distances, en centaines de mètres, entre le baigneur et chacun des deux postes. La figure représente $d_{1}$ et $d_{2}$ sur $[0\,;12]$ .

a) Calculez $d_{1}(6)$ et $d_{2}(6)$ . Quel poste intervient pour un baigneur à l'abscisse $6$ ?
b) Écrivez $d_{1}(x)$ sans valeur absolue sur $[0\,;2]$ , puis sur $[2\,;12]$ , et déduisez-en les variations de $d_{1}$ sur $[0\,;12]$ . Quel est le maximum de $d_{1}$ sur $[0\,;12]$ , et où est-il atteint ?
c) Lisez sur la figure les coordonnées du point d'intersection des deux courbes, puis justifiez l'abscisse par un raisonnement de distance.
d) Résolvez graphiquement $d_{1}(x)< d_{2}(x)$ sur $[0\,;12]$ . Quelle portion de plage le poste 1 surveille-t-il ?
e) Le poste 2 garantit une intervention en moins de deux minutes pour tout baigneur situé à $150$ m au plus du poste. Traduisez par une inéquation et résolvez-la.
f) On veut installer un troisième poste à une abscisse $c>9$ , de sorte que le poste 2 ne surveille plus que la portion $[5{,}5\,;10]$ . Déterminez $c$ .

Voir la correction

Réponses

a) $d_{1}(6)=4$ , $d_{2}(6)=3$ : le poste 2
b) $2-x$ sur $[0\,;2]$ , $x-2$ sur $[2\,;12]$ ; décroissante puis croissante ; maximum $10$ en $x=12$
c) $(5{,}5\,;3{,}5)$ ; $5{,}5$ est le milieu de $2$ et $9$
d) $[0\,;5{,}5[$ : de $0$ à $550$ m
e) $|x-9|\le 1{,}5$ : $x\in[7{,}5\,;10{,}5]$
f) $c=11$

a)

$d_{1}(6)=|6-2|=4$ et $d_{2}(6)=|6-9|=|-3|=3$ .

$3<4$ : le baigneur est plus proche du poste 2, qui intervient. Il est à $300$ m de ce poste.

b)

Sur $[0\,;2]$ , $x-2\le 0$ , donc $d_{1}(x)=-(x-2)=2-x$ : fonction affine de coefficient $-1$ , décroissante.

Sur $[2\,;12]$ , $x-2\ge 0$ , donc $d_{1}(x)=x-2$ : coefficient $1$ , croissante.

$d_{1}$ décroît de $d_{1}(0)=2$ à $d_{1}(2)=0$ , puis croît jusqu'à $d_{1}(12)=10$ .

Le maximum sur $[0\,;12]$ est donc atteint à une EXTRÉMITÉ : on compare $d_{1}(0)=2$ et $d_{1}(12)=10$ , et le maximum vaut $10$ , en $x=12$ , soit $1\,000$ m.

Piège : chercher le maximum à la pointe du V ; la pointe est le MINIMUM, et sur un intervalle borné le maximum se lit aux bornes.

c)

Les courbes se coupent au point de coordonnées $(5{,}5\,;3{,}5)$ .

En ce point, $d_{1}(x)=d_{2}(x)$ : le baigneur est à égale distance des deux postes, donc au milieu du segment qui les joint, $\frac{2+9}{2}=5{,}5$ .

Sa distance à chaque poste vaut $5{,}5-2=3{,}5$ , soit $350$ m.

L'égalité $|x-2|=|x-9|$ se résout ainsi sans aucun calcul : c'est la lecture en distances qui donne le milieu.

d)

La courbe de $d_{1}$ est strictement sous celle de $d_{2}$ à gauche du point d'intersection.

Sur $[0\,;12]$ , les solutions de $d_{1}(x)< d_{2}(x)$ forment $[0\,;5{,}5[$ .

Le poste 1 surveille la portion de plage comprise entre $0$ et $550$ m ; à $550$ m exactement, les deux postes sont à égalité.

e)

$150$ m font $1{,}5$ centaine de mètres. La condition s'écrit $d_{2}(x)\le 1{,}5$ , soit $|x-9|\le 1{,}5$ .

Centre $9$ , rayon $1{,}5$ : $x\in[7{,}5\,;10{,}5]$ , de $750$ m à $1\,050$ m.

Piège : garder les mètres et écrire $|x-9|\le 150$ , qui mélange deux unités et couvre toute la plage.

f)

Le poste 2 surveillera la portion où il est le plus proche : à droite, elle s'arrêtera au milieu de $9$ et de $c$ .

On veut ce milieu en $10$ : $\frac{9+c}{2}=10$ , donc $9+c=20$ et $c=11$ .

Vérification : $11>9$ , et un baigneur en $10$ est à $1$ des postes 2 et 3. Le troisième poste est à l'abscisse $11$ , soit à $1\,100$ m.

Exercices corrigés : la valeur absolue en Seconde, distance et fonction

Rappel de cours

Calculs : valeurs absolues et distances

Exercice 0.1 : Calculer des valeurs absolues et des distances : dix calculs directs

Calculs : distances et intervalles

Exercice 0.2 : Distances et intervalles : dix résolutions directes

Partie A : les bases (/50)

Exercice 1 : La valeur absolue est la distance à zéro

Exercice 2 : La distance entre deux réels

Exercice 3 : Intervalle de centre donné : l'inéquation |x − c| ≤ r

Exercice 4 : La fonction valeur absolue : deux morceaux affines, des variations démontrées

Exercice 5 : Résoudre |x| = k et |x| < k : la courbe, puis le calcul

Partie B : problèmes et raisonnement (/50)

Exercice 6 : La racine d'un carré est une valeur absolue

Exercice 7 : La fonction distance à −2 : écrire sans valeur absolue en choisissant le cas

Exercice 8 : Cinq affirmations à corriger

Exercice 9 : Problème : le jeu de l'estimation

Exercice 10 : Problème : deux postes de secours sur une plage

Voir aussi

La valeur absolue bloque en Seconde à Montréal ?