Maths Seconde, programme français • Exercices corrigés à Montréal

Fiche de révision : la valeur absolue en Seconde, distance et fonction

Q: Comment résoudre une inéquation avec une valeur absolue en Seconde ?

On la lit comme une distance. Valeur absolue de x moins c inférieure ou égale à r veut dire que x est à une distance au plus r du nombre c : on part de c et l'on va de r vers la gauche et vers la droite, ce qui donne l'intervalle de c moins r à c plus r. Avec supérieur, on garde au contraire les deux morceaux situés au-delà de ces bornes.

Q: Pourquoi la racine carrée de x au carré n'est-elle pas égale à x ?

Parce qu'une racine carrée est toujours positive ou nulle, alors que x peut être négatif. Le carré efface le signe, et la racine ne le rend pas : il reste la distance de x à zéro, c'est-à-dire la valeur absolue de x. Par exemple, la racine de moins 7 au carré vaut la racine de 49, soit 7, et non moins 7.

Q: Comment trouver le centre et le rayon d'un intervalle ?

Le centre est la moyenne des deux bornes, et le rayon est la moitié de la longueur. Pour l'intervalle de 2 à 8, le centre vaut 5 et le rayon vaut 3, car la longueur vaut 6. L'intervalle s'écrit alors : valeur absolue de x moins 5 inférieure ou égale à 3. On vérifie que 5 moins 3 et 5 plus 3 redonnent bien les bornes.

Q: La fonction valeur absolue est-elle croissante ?

Non, pas sur l'ensemble des réels. Elle est décroissante sur les nombres négatifs, où elle vaut moins x, et croissante sur les nombres positifs, où elle vaut x. Sa courbe est un V dont la pointe est à l'origine, où elle atteint son minimum, zéro. Le fait qu'elle soit toujours positive concerne son signe, pas son sens de variation.

Q: Comment écrire une valeur absolue sans les barres ?

On regarde le signe de ce qui est entre les barres. S'il est positif ou nul, on enlève simplement les barres. S'il est négatif, on prend son opposé, en mettant un signe moins devant toute la parenthèse. Quand ce signe dépend de x, on sépare deux cas, de part et d'autre du réel qui annule l'intérieur des barres.

Cette fiche de révision accompagne le chapitre de valeur absolue du programme de Seconde de 2026 : la notation $|a|$ pour la distance de $a$ à $0$ , la distance entre deux réels, l'inéquation $|x-c|\le r$ et l'intervalle de centre donné, puis la fonction valeur absolue, sa courbe, son signe et ses variations, et la relation $\sqrt{a^{2}}=|a|$ .

Elle ne redit pas le cours. Elle dit ce qui coûte des points en évaluation, ce que le correcteur attend exactement, et les contrôles à faire avant de rendre la copie.

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Le fil du chapitre

Une valeur absolue est une distance : on ne l'enlève pas en effaçant le signe moins, on choisit le cas selon le signe de ce qu'elle contient. $|x+3|$ se lit « distance de $x$ à $-3$ », et $|2-\sqrt{5}|$ vaut $\sqrt{5}-2$ parce que $2-\sqrt{5}$ est négatif.

Ce chapitre fait partie de Mathématiques en Seconde

Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 12 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (10 chapitres, les plus proches) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Les fractionsCinquième
2Les nombres relatifsCinquième
3Le calcul littéralCinquième
4Multiplication et division de relatifsQuatrième
5Opérations sur les fractionsQuatrième
6Puissances et écriture scientifiqueQuatrième
7Calcul littéral et équationsQuatrième
8La notion de fonctionTroisième
9Ensembles de nombres et intervalles
10Généralités sur les fonctions

Notions couvertes

Valeur absolue d'un nombre réel
Distance entre deux nombres réels
Intervalle de centre donné
Centre et rayon d'un intervalle
Fonction valeur absolue
Définition par cas
Sens de variation d'une fonction
Résolution graphique d'une inéquation
Racine carrée d'un carré
Comparaison de deux images

L'essentiel

Le nombre : une distance

• $|a|$ est la distance entre le point d'abscisse $a$ et l'origine : toujours positive ou nulle, et nulle seulement pour $a=0$ .
• La distance entre deux réels $a$ et $b$ vaut $|b-a|=|a-b|$ .
• $|x-c|$ est la distance de $x$ à $c$ . Une SOMME se récrit en différence : $|x+3|=|x-(-3)|$ , distance de $x$ à $-3$ .
• Pour $r>0$ : $|x-c|\le r\iff x\in[c-r\,;c+r]$ . Le centre est $c$ , le rayon $r$ , la longueur $2r$ .
• Dans l'autre sens, $[m\,;n]$ a pour centre $\frac{m+n}{2}$ et pour rayon $\frac{n-m}{2}$ .

|x-2|\le 3

: on part du centre

2

et l'on va de

3

de chaque côté, d'où

[-1\,;5]

, de longueur

6

Le programme limite la valeur absolue à ces usages : distances et intervalles de centre donné. Une équation du type |2x − 1| = x + 3 dépasse la Seconde.

La fonction : deux morceaux affines

• Définition par cas : $|x|=x$ si $x\ge 0$ et $|x|=-x$ si $x<0$ . Le nombre $-x$ est alors POSITIF, c'est l'opposé d'un négatif.
• Sur $]-\infty\,;0]$ , $f(x)=-x$ : coefficient directeur $-1$ , $f$ est décroissante.
• Sur $[0\,;+\infty[$ , $f(x)=x$ : coefficient directeur $1$ , $f$ est croissante.
• Courbe en V de pointe $O$ , entièrement au-dessus de l'axe des abscisses ; minimum $0$ en $0$ .
• Pour tout réel $a$ : $\sqrt{a^{2}}=|a|$ , car $|a|\ge 0$ et $|a|^{2}=a^{2}$ .

La courbe de

|x|

garde la moitié gauche de

y=-x

et la moitié droite de

y=x

; les moitiés en pointillé rouge, sous l'axe, n'en font pas partie.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Les règles de calcul : celles qui existent, celles qui n'existent pas

Les barres se comportent bien avec le produit et l'opposé, mal avec la somme. Une case rouge est une règle que l'on croit vraie : elle se réfute par deux nombres.

Écriture	On la transforme en	Résultat
$\|a\times b\|$	produit des valeurs absolues	$\|a\|\times\|b\|$
Exemple : $\|(-3)\times 4\|=\|-12\|=12=3\times 4$
$\|-a\|$	même distance à $0$	$\|a\|$
Exemple : $\|-6\|=\|6\|=6$
$\|a-b\|$	différence dans l'autre ordre	$\|b-a\|$
Exemple : $\|2-9\|=\|9-2\|=7$
$\|a+b\|$	somme des valeurs absolues	$\|a\|+\|b\|$ règle inexistante
Exemple : $\|3+(-7)\|=4$ , alors que $\|3\|+\|-7\|=10$ . Ce qu'il faut faire : On calcule $a+b$ d'abord, puis la valeur absolue du résultat.
$\sqrt{a^{2}}$	racine et carré s'annulent	$a$ règle inexistante
Exemple : $\sqrt{(-7)^{2}}=\sqrt{49}=7$ , et non $-7$ . Ce qu'il faut faire : $\sqrt{a^{2}}=\|a\|$ , puis on choisit le cas selon le signe de $a$ .

L'égalité $|a+b|=|a|+|b|$ n'est vraie que si $a$ et $b$ sont de même signe : c'est pour cela qu'elle « marche » souvent sur les exemples et trompe en devoir.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Lire le centre avec le mauvais signe

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $|x+3|\le 1$ : les réels à distance au plus $1$ de $3$ , donc $[2\,;4]$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $|x+3|=|x-(-3)|$ : distance à $-3$ , donc $[-4\,;-2]$ . »

|x+3|\le 1

est le segment vert autour de

-3

, le point qui annule

x+3

; le point rouge

3

n'a rien à voir avec l'inéquation.

Pourquoi : Une distance se lit sur une DIFFÉRENCE. Le $+3$ dans les barres annonce le centre $-3$ ; le contrôle est immédiat : le centre annule l'intérieur des barres.

2. Effacer le signe moins au lieu de choisir le cas

1 point, et la suite du calcul

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $|2-\sqrt{5}|=2-\sqrt{5}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\sqrt{5}>2$ , donc $2-\sqrt{5}<0$ et $|2-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-2\approx 0{,}24$ . »

Pourquoi : Les barres ne « rendent pas positif » chaque terme : elles rendent positif le RÉSULTAT. On compare d'abord les deux termes pour connaître le signe, puis on garde ou l'on change de signe.

3. Simplifier la racine d'un carré

1 à 2 points, et une solution perdue dans une équation

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\sqrt{(x-4)^{2}}=x-4$ pour tout réel $x$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\sqrt{(x-4)^{2}}=|x-4|$ , qui vaut $x-4$ si $x\ge 4$ et $4-x$ si $x<4$ . »

Pourquoi : Pour $x=1$ : $\sqrt{(1-4)^{2}}=\sqrt{9}=3$ , alors que $x-4=-3$ . Une racine carrée n'est jamais négative ; le carré a effacé le signe, la racine ne le rend pas.

4. Garder une seule moitié de l'intervalle

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $|x-1|\le 3$ donne $x-1\le 3$ , donc $x\le 4$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $|x-1|\le 3\iff -3\le x-1\le 3\iff x\in[-2\,;4]$ . »

Pourquoi : On a enlevé les barres comme si $x-1$ était positif. Le cas $x-1<0$ donne l'autre borne : $x=-10$ vérifie $x\le 4$ mais $|-10-1|=11>3$ .

5. Confondre le rayon et la longueur

1 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $[2\,;8]$ a pour centre $5$ et pour rayon $6$ : $|x-5|\le 6$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Rayon $\frac{8-2}{2}=3$ : $[2\,;8]$ s'écrit $|x-5|\le 3$ . »

Pourquoi : $|x-5|\le 6$ décrit $[-1\,;11]$ , deux fois trop long. Le rayon va du centre à UNE borne ; la longueur va d'une borne à l'autre.

6. Comparer deux images comme deux positions

1 point par comparaison

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $-4<3$ , donc $|-4|<|3|$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $-4$ est à $4$ de $0$ , $3$ est à $3$ de $0$ : $|-4|=4>|3|=3$ . »

-4

est à gauche de

3

, mais son point (rouge) est plus HAUT que celui de

3

(vert) : on compare des hauteurs, pas des positions sur l'axe.

Pourquoi : La fonction valeur absolue n'est pas croissante sur $\mathbb{R}$ : elle renverse l'ordre sur $]-\infty\,;0]$ . De part et d'autre de $0$ , on compare des distances à $0$ .

7. Mal écrire l'opposé dans le second cas

toute la suite : variations, équation, tableau

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Pour $x<5$ , $|x-5|=-x-5$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Pour $x<5$ , $|x-5|=-(x-5)=5-x$ . »

Pourquoi : Le signe moins porte sur TOUTE la parenthèse. Contrôle avec $x=0$ : $|0-5|=5$ ; $-0-5=-5$ est négatif, donc faux, et $5-0=5$ est juste.

8. Inverser l'intérieur et l'extérieur

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $|x|>2$ , donc $x\in]-2\,;2[$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $|x|>2$ : à plus de $2$ de $0$ , donc $x\in]-\infty\,;-2[\cup]2\,;+\infty[$ . »

Pourquoi : « Inférieur » donne le segment AUTOUR du centre, « supérieur » ce qui est AU-DELÀ, en deux morceaux. Un test suffit : $x=0$ vérifie-t-il $|x|>2$ ? Non, donc $0$ ne peut pas être dans la réponse.

Quelle méthode choisir

Quelle réponse selon la forme de l'inéquation

Une équation ou une inéquation du type $|x-c|\ \square\ r$ , après avoir récrit $|x+c|$ en $|x-(-c)|$

Autour du centre

1

avec

r=2

: «

=

» donne deux points, «

\le

» le segment entre eux, «

\ge

» les deux demi-droites au-delà.

Si $|x-c|=r$ avec $r>0$ → deux solutions, une de chaque côté du centre

Exemple : $|x-1|=2$ : $x=-1$ ou $x=3$
Si $|x-c|\le r$ ou $|x-c|< r$ → un seul intervalle, centré en c, de rayon r

Exemple : $|x-1|\le 2$ : $[-1\,;3]$
Si $|x-c|\ge r$ ou $|x-c|>r$ → deux demi-droites, réunies par le symbole union

Exemple : $|x-1|\ge 2$ : $]-\infty\,;-1]\cup[3\,;+\infty[$
Si $r=0$ → $|x-c|=0$ et $|x-c|\le 0$ ont pour seule solution $x=c$

Exemple : $|x+4|=0$ : $x=-4$
Si $r<0$ → aucune solution pour =, ≤ et <, tous les réels pour ≥ et >

Exemple : $|x-1|\le -2$ : aucune solution

Une expression qui n'est pas du type x − c dans les barres, comme 2x − 1, ou deux valeurs absolues dans la même équation, dépassent le programme de Seconde.

Comparer |a| et |b|

Deux réels a et b donnés, sans calculatrice

Si $0\le a< b$ → la fonction est croissante : l'ordre est conservé

Exemple : $1{,}2<1{,}9$ donc $|1{,}2|<|1{,}9|$
Si $a< b\le 0$ → la fonction est décroissante : l'ordre est renversé

Exemple : $-5<-2$ donc $|-5|>|-2|$
Si a et b de signes contraires → on remplace le négatif par son opposé, puis on compare deux positifs

Exemple : $|-4|=|4|$ et $4>3$ donc $|-4|>|3|$

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Démontrer les variations de la fonction valeur absolue

Quand l'utiliser : « Démontrer que la fonction valeur absolue est décroissante sur ]−∞ ; 0] »

1 Prendre deux réels quelconques de l'intervalle, rangés : $a< b\le 0$ .
2 Écrire leurs images avec le bon cas : $a$ et $b$ sont négatifs ou nuls, donc $f(a)=-a$ et $f(b)=-b$ .
3 Multiplier l'inégalité $a< b$ par $-1$ , négatif, en CHANGEANT son sens : $-a>-b$ .
4 Conclure en comparant les images, avec le vocabulaire du cours.

Phrase de conclusion

« Pour tous réels $a$ et $b$ tels que $a< b\le 0$ , on a $f(a)=-a$ et $f(b)=-b$ ; or $a< b$ entraîne $-a>-b$ , donc $f(a)>f(b)$ : la fonction valeur absolue est décroissante sur $]-\infty\,;0]$ . »

Le piège : Vérifier sur deux exemples numériques au lieu de prendre a et b quelconques : un exemple illustre, il ne démontre pas.

Barème : 1 point pour a et b quelconques rangés, 1 point pour les images écrites par le bon cas, 1 point pour le changement de sens justifié, 1 point pour la conclusion.

Résoudre une inéquation de distance

Quand l'utiliser : « Résoudre $|x+1|<2{,}5$ » ou toute inéquation $|x-c|< r$

1 Récrire en différence pour lire le centre : $|x+1|=|x-(-1)|$ .
2 Traduire en phrase : « la distance de $x$ à $-1$ est strictement inférieure à $2{,}5$ ».
3 Partir du centre d'un rayon de chaque côté : $-1-2{,}5=-3{,}5$ et $-1+2{,}5=1{,}5$ .
4 Choisir les crochets selon l'inégalité : ouverts pour une inégalité stricte.

Phrase de conclusion

« $|x+1|<2{,}5$ signifie que la distance entre $x$ et $-1$ est strictement inférieure à $2{,}5$ , donc $S=]-3{,}5\,;1{,}5[$ . »

Le piège : Oublier de récrire la somme en différence et partir du centre 1 au lieu de −1.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le centre annule l'intérieur

Le centre d'une inéquation de distance est le réel qui annule ce qui est entre les barres. On le teste en une seconde.

$|x+3|\le 1$ : $-3+3=0$ , le centre est $-3$ . Un intervalle autour de $3$ échoue au test : $3+3=6\ne 0$ .
Les bornes sont à distance r

Réinjecter chaque borne trouvée : la valeur absolue doit valoir exactement le rayon.

Pour $[-2\,;4]$ et $|x-1|\le 3$ : $|-2-1|=3$ et $|4-1|=3$ . Une borne $-4$ donnerait $5$ : erreur.
Un point test

Prendre un réel simple dans la réponse et un réel hors de la réponse, et vérifier l'inéquation pour chacun.

Pour $|x|>2$ : $x=0$ ne convient pas ( $0>2$ est faux), donc une réponse qui contient $0$ est à l'envers.
Jamais négatif

Une valeur absolue, une distance ou une racine carrée trouvée négative signale un cas mal choisi.

$|\pi-4|=\pi-4\approx -0{,}86$ : impossible, la bonne réponse est $4-\pi$ .

L'exercice type décortiqué

La fonction distance à 2

On considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=|2-x|$ .

Écrire $h(x)$ sans valeur absolue, donner ses variations, résoudre $h(x)\le 1{,}5$ et comparer $h(0)$ et $h(3{,}5)$ .

Étape 1

$h(x)=|2-x|=|x-2|$ : $h(x)$ est la distance entre $x$ et $2$ .

Pourquoi

$2-x$ et $x-2$ sont opposés, donc de même valeur absolue. L'écriture $x-2$ montre le centre $2$ ; lire $-2$ dans $|2-x|$ serait l'erreur de signe la plus fréquente.

Étape 2

Si $x\ge 2$ : $h(x)=x-2$ . Si $x<2$ : $h(x)=-(x-2)=2-x$ .

Pourquoi

On choisit le cas selon le signe de $x-2$ , qui change en $2$ . Le contrôle $h(0)=2$ valide la seconde expression.

Étape 3

$h$ est décroissante sur $]-\infty\,;2]$ (coefficient $-1$ ), croissante sur $[2\,;+\infty[$ (coefficient $1$ ) ; minimum $h(2)=0$ .

Pourquoi

Chaque morceau est affine : son coefficient directeur donne son sens de variation sans autre calcul. C'est la démonstration attendue, pas une lecture de courbe.

Étape 4

$h(x)\le 1{,}5\iff|x-2|\le 1{,}5\iff x\in[0{,}5\,;3{,}5]$ .

Pourquoi

On part du centre 2 d'un rayon 1,5 de chaque côté ; inégalité large, crochets fermés.

Étape 5

$h(0)=2$ et $h(3{,}5)=1{,}5$ , donc $h(0)>h(3{,}5)$ .

Pourquoi

$0$ et $3{,}5$ sont de part et d'autre de $2$ , où $h$ change de sens : le sens de variation ne suffit pas, on compare les distances à $2$ .

Étape 6

Vérification : $h(0{,}5)=|1{,}5|=1{,}5$ et $h(3{,}5)=|-1{,}5|=1{,}5$ ; $h(2)=0\le 1{,}5$ .

Pourquoi

Les deux bornes sont exactement à distance 1,5 du centre, et le centre est bien dans la réponse.

Conclusion rédigée

$h(x)=x-2$ sur $[2\,;+\infty[$ et $2-x$ sur $]-\infty\,;2[$ ; $h$ décroît puis croît, minimum $0$ en $2$ ; $h(x)\le 1{,}5$ pour $x\in[0{,}5\,;3{,}5]$ ; $h(0)>h(3{,}5)$ .

L'erreur classique sur cet exercice : Lire $|2-x|$ comme la distance à $-2$ et répondre $[-3{,}5\,;-0{,}5]$ : le centre est le réel qui ANNULE l'intérieur, ici $2$ .

À savoir par cœur

• $|a|$ = distance de $a$ à $0$ ; $|b-a|$ = distance entre $a$ et $b$ .
• $|x+c|=|x-(-c)|$ : le centre est le réel qui ANNULE l'intérieur des barres.
• $|x-c|\le r\iff x\in[c-r\,;c+r]$ ; centre $\frac{m+n}{2}$ , rayon $\frac{n-m}{2}$ .
• $|x|=x$ si $x\ge 0$ , $|x|=-x$ si $x<0$ : on CHOISIT le cas, on n'efface pas le signe.
• Fonction valeur absolue : décroissante sur $]-\infty\,;0]$ , croissante sur $[0\,;+\infty[$ , minimum $0$ en $0$ .
• $\sqrt{a^{2}}=|a|$ , JAMAIS $a$ sans condition.
• $|a+b|\ne|a|+|b|$ en général ; $|ab|=|a|\,|b|$ toujours.

Questions fréquentes

Comment résoudre une inéquation avec une valeur absolue en Seconde ?

On la lit comme une distance. Valeur absolue de x moins c inférieure ou égale à r veut dire que x est à une distance au plus r du nombre c : on part de c et l'on va de r vers la gauche et vers la droite, ce qui donne l'intervalle de c moins r à c plus r. Avec supérieur, on garde au contraire les deux morceaux situés au-delà de ces bornes.

Pourquoi la racine carrée de x au carré n'est-elle pas égale à x ?

Parce qu'une racine carrée est toujours positive ou nulle, alors que x peut être négatif. Le carré efface le signe, et la racine ne le rend pas : il reste la distance de x à zéro, c'est-à-dire la valeur absolue de x. Par exemple, la racine de moins 7 au carré vaut la racine de 49, soit 7, et non moins 7.

Comment trouver le centre et le rayon d'un intervalle ?

Le centre est la moyenne des deux bornes, et le rayon est la moitié de la longueur. Pour l'intervalle de 2 à 8, le centre vaut 5 et le rayon vaut 3, car la longueur vaut 6. L'intervalle s'écrit alors : valeur absolue de x moins 5 inférieure ou égale à 3. On vérifie que 5 moins 3 et 5 plus 3 redonnent bien les bornes.

La fonction valeur absolue est-elle croissante ?

Non, pas sur l'ensemble des réels. Elle est décroissante sur les nombres négatifs, où elle vaut moins x, et croissante sur les nombres positifs, où elle vaut x. Sa courbe est un V dont la pointe est à l'origine, où elle atteint son minimum, zéro. Le fait qu'elle soit toujours positive concerne son signe, pas son sens de variation.

Comment écrire une valeur absolue sans les barres ?

On regarde le signe de ce qui est entre les barres. S'il est positif ou nul, on enlève simplement les barres. S'il est négatif, on prend son opposé, en mettant un signe moins devant toute la parenthèse. Quand ce signe dépend de x, on sépare deux cas, de part et d'autre du réel qui annule l'intérieur des barres.

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Exercices corrigés : La valeur absolue : distance et fonction

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

12 exercices corrigés
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150 minutes

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© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/2nde-valeur-absolue. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

Voir aussi

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La valeur absolue bloque en Seconde à Montréal ?

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