Seconde, programme français à Montréal • Fiche de révision

Fiche de révision : carrés, racines carrées et fonction carré (Seconde)

Q: Comment résoudre x au carré égale a en seconde ?

On regarde d'abord le signe de a. Si a est strictement positif, il y a deux solutions opposées, racine de a et moins racine de a, car deux nombres opposés ont le même carré. Si a est nul, la seule solution est zéro. Si a est négatif, il n'y a aucune solution, puisqu'un carré n'est jamais négatif. Oublier la solution négative est l'erreur la plus fréquente.

Q: Pourquoi la racine de a au carré est-elle égale à la valeur absolue de a ?

Parce que la racine carrée donne toujours un nombre positif, alors que a peut être négatif. Le carré efface le signe : moins trois au carré et trois au carré valent tous deux neuf, et la racine de neuf est trois. On retrouve donc a quand a est positif, et l'opposé de a quand a est négatif, ce qui est exactement la valeur absolue de a.

Q: Comment simplifier une racine carrée comme racine de 72 ?

On cherche le plus grand carré parfait qui divise le nombre sous la racine : pour 72, c'est 36, car 72 égale 36 fois 2. On applique la règle du produit : racine de 72 égale racine de 36 fois racine de 2, soit 6 racine de 2. On contrôle à la calculatrice que les deux écritures ont la même valeur approchée, environ 8,485.

Q: La racine de a plus b est-elle égale à racine de a plus racine de b ?

Non, cette règle n'existe pas. Par exemple, la racine de 9 plus 16 vaut la racine de 25, soit 5, alors que racine de 9 plus racine de 16 vaut 3 plus 4, soit 7. La racine carrée se distribue sur un produit et sur un quotient, jamais sur une somme ni sur une différence : on calcule la somme d'abord, la racine ensuite.

Q: Comment démontrer que la fonction carré est croissante sur les nombres positifs ?

On prend deux réels a et b avec a positif ou nul et a strictement inférieur à b. La différence b au carré moins a au carré se factorise en b moins a fois b plus a. Les deux facteurs sont strictement positifs, donc le produit aussi : le carré de a est plus petit que celui de b. Deux exemples numériques ne suffisent pas, la démonstration doit valoir pour tous les a et b.

Cette fiche de révision accompagne le chapitre « carrés et racines carrées » du programme de Seconde de 2026 : règles de calcul sur les racines carrées, relation $\sqrt{a^{2}}=|a|$ , équation $x^{2}=a$ , fonction carré, position des courbes $y=x$ et $y=x^{2}$ , et racine carrée pour résoudre $\sqrt{x}=k$ ou $\sqrt{x}<k$ .

Elle ne redit pas le cours. Elle dit ce qui coûte des points en évaluation, ce que le correcteur attend exactement, et les contrôles à faire avant de rendre la copie.

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Le fil du chapitre

Le carré efface le signe, la racine carrée ne le rend pas : $\sqrt{a^{2}}=|a|$ , l'équation $x^{2}=a$ a deux solutions opposées quand $a>0$ , et $x^{2}<k$ ne se réduit jamais à $x<\sqrt{k}$ . Presque toutes les erreurs du chapitre sont un signe perdu ou inventé.

Ce chapitre fait partie de Mathématiques en Seconde

Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 12 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (10 chapitres, les plus proches) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Le calcul littéralCinquième
2Multiplication et division de relatifsQuatrième
3Puissances et écriture scientifiqueQuatrième
4Calcul littéral et équationsQuatrième
5La notion de fonctionTroisième
6Développer et factoriserTroisième
7Les trois identités remarquablesTroisième
8Les trois identités remarquables
9Nombres et calcul littéral
10Généralités sur les fonctions

Notions couvertes

Racine carrée d'un nombre positif
Calcul avec les racines carrées
Racine carrée et valeur absolue
Équation du type x² = a
Fonction carré
Parabole
Sens de variation d'une fonction
Comparaison de deux carrés
Inéquation du type x² < k
Position relative de deux courbes

L'essentiel

Le carré efface le signe, la racine ne le rend pas

• Pour $a\ge 0$ , $\sqrt{a}$ est l'unique nombre POSITIF dont le carré vaut $a$ : $\left(\sqrt{a}\right)^{2}=a$ et $\sqrt{a}\ge 0$ .
• Deux nombres opposés ont le même carré : $(-2)^{2}=2^{2}=4$ . Le carré a perdu le signe, et la racine rend toujours le POSITIF : $\sqrt{4}=2$ .
• D'où, pour tout réel $a$ : $\sqrt{a^{2}}=|a|$ . Si $a\ge 0$ , c'est $a$ ; si $a<0$ , c'est $-a$ .
• D'où aussi l'équation $x^{2}=a$ : deux solutions $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$ si $a>0$ , une seule, $0$ , si $a=0$ , aucune si $a<0$ .
• Le symbole $\sqrt{a}$ n'a de sens que pour $a\ge 0$ : $\sqrt{-4}$ n'existe pas.

La droite

y=4

coupe la parabole en deux points, d'abscisses

-2

2

x^{2}=4

a deux solutions, mais

\sqrt{4}

ne désigne que la positive.

Avant d'enlever un carré ou une racine, se demander à chaque fois : quel était le signe ? C'est la question que le correcteur cherche dans la copie.

La fonction carré en quatre lignes

• $f(x)=x^{2}$ est définie sur $\mathbb{R}$ ; sa courbe est une parabole de sommet $O$ , symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
• Signe : $x^{2}\ge 0$ pour tout $x$ , et $x^{2}=0$ seulement pour $x=0$ . Le minimum vaut $0$ .
• Variations : décroissante sur $]-\infty\,;0]$ , croissante sur $[0\,;+\infty[$ . La preuve tient dans $b^{2}-a^{2}=(b-a)(b+a)$ et la règle des signes.
• Conséquence pratique : entre deux positifs, le carré CONSERVE l'ordre ; entre deux négatifs, il le RENVERSE ; pour deux nombres de signes contraires, on compare leurs distances à $0$ .
• Position de $y=x$ et $y=x^{2}$ : $x^{2}-x=x(x-1)$ , donc $x^{2}\le x$ sur $[0\,;1]$ et $x^{2}\ge x$ sur $[1\,;+\infty[$ .

Le programme demande de DÉMONTRER ces variations et cette position : un tableau de valeurs ou deux exemples ne valent aucun point.

La racine carrée sert à résoudre

• En Seconde, on n'étudie pas la fonction racine carrée : on s'en sert pour résoudre, en passant par le carré sur $[0\,;+\infty[$ .
• $\sqrt{x}=k$ : si $k<0$ , aucune solution ; si $k\ge 0$ , $x=k^{2}$ .
• $\sqrt{x}<k$ , avec $k>0$ : $0\le x<k^{2}$ . La borne $0$ vient de la condition d'existence.
• Pourquoi c'est permis : $\sqrt{x}$ et $k$ sont positifs, et le carré conserve l'ordre entre deux positifs.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Ce qui se distribue sous une racine, et ce qui ne se distribue pas

Une ligne par écriture qu'on rencontre dans un calcul. La dernière colonne dit ce qu'on a le droit d'écrire ; une case rouge signale une « règle » qui n'existe pas.

Écriture	Condition	Résultat
$\sqrt{ab}$	$a\ge 0$ , $b\ge 0$	$\sqrt{a}\sqrt{b}$
Exemple : $\sqrt{45}=\sqrt{9}\times\sqrt{5}=3\sqrt{5}$
$\sqrt{\frac{a}{b}}$	$a\ge 0$ , $b>0$	$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
Exemple : $\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}=0{,}6$
$\left(k\sqrt{a}\right)^{2}$	$a\ge 0$	$k^{2}a$
Exemple : $\left(4\sqrt{3}\right)^{2}=16\times 3=48$
$\sqrt{a^{2}}$	$a$ réel	$\|a\|$
Exemple : $\sqrt{(-7)^{2}}=\sqrt{49}=7=\|-7\|$
$\sqrt{a+b}$	$a\ge 0$ , $b\ge 0$	$\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}$ règle inexistante
Exemple : $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$ , alors que $\sqrt{9}+\sqrt{16}=7$ . Ce qu'il faut faire : On calcule la somme sous le radical, PUIS la racine ; sinon on laisse la racine telle quelle.
$\sqrt{a-b}$	$a\ge b\ge 0$	$\neq\sqrt{a}-\sqrt{b}$ règle inexistante
Exemple : $\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$ , alors que $\sqrt{25}-\sqrt{9}=2$ . Ce qu'il faut faire : Même geste : la différence d'abord, la racine ensuite.

La racine carrée se distribue sur un produit et sur un quotient, jamais sur une somme ni sur une différence. C'est la même famille d'erreur que (a + b)² = a² + b².

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Oublier la solution négative de $x^{2}=a$

la moitié de la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $x^{2}=10$ , donc $x=\sqrt{10}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $10>0$ , donc $x^{2}=10$ a deux solutions : $x=\sqrt{10}$ ou $x=-\sqrt{10}$ . »

Pourquoi : Le carré efface le signe : $\left(-\sqrt{10}\right)^{2}=10$ aussi. Le symbole $\sqrt{10}$ ne désigne que la solution positive.

2. Écrire $\sqrt{a^{2}}=a$ sans regarder le signe

1 point, et toute la suite du calcul

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}}=1-\sqrt{3}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $1-\sqrt{3}<0$ car $\sqrt{3}>1$ , donc $\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}}=\left|1-\sqrt{3}\right|=\sqrt{3}-1$ . »

Pourquoi : Le résultat faux est négatif, environ $-0{,}73$ , alors qu'une racine carrée ne l'est jamais. La racine ne rend pas le signe que le carré a effacé.

3. Distribuer la racine sur une somme

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\sqrt{x^{2}+16}=x+4$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\sqrt{x^{2}+16}$ ne se simplifie pas. Contrôle en $x=3$ : $\sqrt{9+16}=5$ , et $3+4=7$ . »

Pourquoi : La racine ne se distribue que sur un produit ou un quotient. Un seul contre-exemple numérique suffit à démolir une « simplification ».

4. Résoudre $x^{2}<k$ comme si $x$ était positif

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $x^{2}<16$ , donc $x<4$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $x^{2}<16$ équivaut à $-4<x<4$ : $\mathcal{S}=]-4\,;4[$ . »

La parabole est sous la droite

y=16

seulement entre

-4

4

(en vert) ; la réponse fausse

x<4

(en rouge) garde tous les négatifs, dont le carré dépasse

16

Pourquoi : $x=-5$ vérifie $x<4$ , mais $(-5)^{2}=25$ . Prendre la « racine des deux côtés » perd les négatifs : la racine de $x^{2}$ est $|x|$ , pas $x$ .

5. Comparer les carrés de deux négatifs dans le même ordre

1 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $-3<-2$ , donc $(-3)^{2}<(-2)^{2}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $-3<-2\le 0$ et la fonction carré est décroissante sur $]-\infty\,;0]$ : $(-3)^{2}>(-2)^{2}$ , soit $9>4$ . »

-3

-2

, on avance vers la droite, et pourtant la parabole DESCEND de

9

4

: sur

]-\infty\,;0]

, le carré renverse l'ordre.

Pourquoi : Sur les négatifs, le carré RENVERSE l'ordre : le plus petit nombre est le plus loin de $0$ , donc il a le plus grand carré.

6. Démontrer un sens de variation avec des exemples

toute la démonstration

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(1)=1$ et $f(2)=4$ , donc $f(1)<f(2)$ : la fonction carré est croissante sur $[0\,;+\infty[$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Soient $0\le a<b$ . $f(b)-f(a)=(b-a)(b+a)$ , avec $b-a>0$ et $b+a>0$ , donc $f(b)-f(a)>0$ : $f$ est croissante sur $[0\,;+\infty[$ . »

Pourquoi : Deux valeurs ne disent rien des autres. Une démonstration vaut pour TOUS les a et b de l'intervalle, et c'est la factorisation qui le permet.

7. Oublier la borne 0 dans une inéquation avec racine

0,5 à 1 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\sqrt{x}<4$ équivaut à $x<16$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\sqrt{x}$ n'existe que pour $x\ge 0$ : $\sqrt{x}<4$ équivaut à $0\le x<16$ , $\mathcal{S}=[0\,;16[$ . »

Pourquoi : La condition d'existence fait partie de la réponse : $x=-1$ vérifie $x<16$ , mais $\sqrt{-1}$ n'a pas de sens.

8. Élever au carré sans regarder le signe du second membre

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\sqrt{x}=-3$ , donc $x=9$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Une racine carrée est positive : $\sqrt{x}=-3$ n'a aucune solution. Contrôle : $\sqrt{9}=3\neq -3$ . »

Pourquoi : Élever au carré efface le signe de $-3$ et fabrique une fausse solution. La substitution dans l'équation de départ la démasque en une ligne.

9. Oublier le coefficient dans $\left(k\sqrt{a}\right)^{2}$

0,5 point, et le reste du calcul

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\left(2\sqrt{7}\right)^{2}=14$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\left(2\sqrt{7}\right)^{2}=2^{2}\times\left(\sqrt{7}\right)^{2}=4\times 7=28$ . »

Pourquoi : Le carré porte sur tout le produit : le coefficient aussi est élevé au carré.

Quelle méthode choisir

Quelle méthode, selon la forme de l'équation ou de l'inéquation

Une équation ou une inéquation où l'inconnue est sous un carré ou sous une racine

Si La forme est $x^{2}=a$ → Regarder le signe de $a$ : deux solutions $\pm\sqrt{a}$ si $a>0$ , une seule si $a=0$ , aucune si $a<0$

Exemple : $x^{2}=20$ : $x=-2\sqrt{5}$ ou $x=2\sqrt{5}$
Si La forme est $(\text{expression})^{2}=a$ → Garder le carré entier, poser X égal à l'expression, puis traiter les deux signes

Exemple : $(x-4)^{2}=1$ : $x-4=1$ ou $x-4=-1$ , donc $x=5$ ou $x=3$

développer mène à un second degré qu'on ne résout pas directement en Seconde
Si La forme est $x^{2}<k$ ou $x^{2}\le k$ , avec $k>0$ → Les solutions sont ENTRE $-\sqrt{k}$ et $\sqrt{k}$

Exemple : $x^{2}<0{,}25$ : $\mathcal{S}=]-0{,}5\,;0{,}5[$
Si La forme est $x^{2}>k$ ou $x^{2}\ge k$ , avec $k>0$ → Les solutions sont À L'EXTÉRIEUR : deux morceaux réunis par $\cup$

Exemple : $x^{2}>49$ : $\mathcal{S}=]-\infty\,;-7[\cup]7\,;+\infty[$
Si La forme est $x^{2}<k$ avec $k\le 0$ , ou $x^{2}\ge k$ avec $k\le 0$ → Un carré est toujours positif ou nul : aucune solution, ou tous les réels

Exemple : $x^{2}<-2$ : $\varnothing$ ; $x^{2}\ge -2$ : $\mathbb{R}$
Si La forme est $\sqrt{x}=k$ → Regarder le signe de $k$ : aucune solution si $k<0$ , sinon $x=k^{2}$

Exemple : $\sqrt{x}=0{,}3$ : $x=0{,}09$
Si La forme est $\sqrt{x}<k$ , avec $k>0$ → $0\le x<k^{2}$ : la borne $0$ vient de la condition d'existence

Exemple : $\sqrt{x}<4$ : $\mathcal{S}=[0\,;16[$

Aucune branche ne passe par « prendre la racine des deux côtés » d'une inéquation : c'est précisément le geste qui perd les négatifs. Dans le doute, tracer la parabole et la droite horizontale prend dix secondes.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Démontrer le sens de variation de la fonction carré

Quand l'utiliser : L'énoncé demande de démontrer que la fonction carré est croissante sur les positifs, ou décroissante sur les négatifs

1 Fixer deux réels quelconques de l'intervalle, rangés : « Soient a et b deux réels tels que 0 ≤ a < b. »
2 Calculer la différence f(b) − f(a) et la factoriser : b² − a² = (b − a)(b + a).
3 Donner le signe de chaque facteur, avec sa raison : b − a > 0 car a < b ; b + a > 0 car a ≥ 0 et b > 0.
4 Conclure sur le signe du produit, puis traduire en ordre : f(b) − f(a) > 0, donc f(a) < f(b).
5 Écrire la phrase de conclusion avec l'intervalle.

Phrase de conclusion

« Pour tous réels $a$ et $b$ tels que $0\le a<b$ , $f(b)-f(a)=(b-a)(b+a)>0$ , donc $f(a)<f(b)$ : la fonction carré est strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$ . »

Le piège : Sur les négatifs, le facteur b + a est NÉGATIF : le produit change de signe et la fonction est décroissante. Recopier la même conclusion sans refaire le signe de b + a coûte la question.

Barème : 1 point pour la factorisation, 1 point pour les deux signes justifiés, 1 point pour la conclusion avec l'intervalle.

Démontrer la règle du produit

Quand l'utiliser : L'énoncé demande de démontrer que la racine de ab est le produit des racines, pour a et b positifs

1 Rappeler la définition : la racine de c est l'unique nombre positif dont le carré vaut c.
2 Calculer le carré du produit des racines : il vaut ab.
3 Établir le signe : un produit de deux nombres positifs est positif.
4 Conclure par l'unicité : un nombre positif de carré ab, c'est la racine de ab.

Phrase de conclusion

« $\left(\sqrt{a}\sqrt{b}\right)^{2}=ab$ et $\sqrt{a}\sqrt{b}\ge 0$ ; or $\sqrt{ab}$ est l'unique nombre positif dont le carré vaut $ab$ . Donc $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$ . »

Le piège : Oublier la ligne sur le signe : l'opposé du produit a lui aussi pour carré ab, et c'est le signe qui désigne la racine.

Barème : 1 point pour le carré, 1 point pour le signe et la conclusion.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Réinjecter chaque solution

On remplace x par chaque valeur trouvée dans l'équation de DÉPART, pas dans une ligne intermédiaire. C'est le seul contrôle qui démasque une solution fabriquée en élevant au carré.

$\sqrt{x}=-3$ « donne » $x=9$ ; or $\sqrt{9}=3\neq -3$ : la solution est fausse, l'équation n'en a aucune.
Une racine n'est jamais négative

Si le résultat d'une racine carrée simplifiée est négatif, la simplification est fausse : un signe a été perdu en route.

$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}}=1-\sqrt{3}\approx -0{,}73$ est impossible ; la bonne réponse est $\sqrt{3}-1\approx 0{,}73$ .
La même valeur approchée

Une simplification exacte garde la valeur : on compare à la calculatrice l'expression de départ et le résultat.

$\sqrt{45}\approx 6{,}708$ et $3\sqrt{5}\approx 6{,}708$ : juste. Un « $\sqrt{45}=5\sqrt{3}$ » donnerait $8{,}660$ : faux.
Tester un nombre négatif

Avant de rendre l'ensemble des solutions d'une inéquation avec un carré, on y essaie un négatif bien choisi. S'il vérifie l'inéquation, il doit être dans l'ensemble, et réciproquement.

Pour $x^{2}<16$ , $x=-5$ donne $25$ : il ne doit PAS être solution. Une réponse $x<4$ le garde, elle est donc fausse.

L'exercice type décortiqué

Une affiche carrée

On veut imprimer une affiche CARRÉE dont l'aire est comprise entre $0{,}5$ m² et $2$ m², bornes comprises. On note $c$ la longueur de son côté, en mètres.

Entre quelles valeurs exactes faut-il choisir $c$ ? Donnez-en des valeurs approchées au centimètre.

La bande bleue contient les aires permises, de

0{,}5

2

m² ; sur

[0\,;+\infty[

, la parabole y entre et en sort une seule fois, car elle est croissante.

Étape 1

L'aire vaut $c^{2}$ , avec $c>0$ . La condition s'écrit $0{,}5\le c^{2}\le 2$ .

Pourquoi

On écrit tout de suite $c>0$ : c'est une longueur. Cette ligne écartera, plus bas, les solutions négatives de $c^{2}=0{,}5$ et de $c^{2}=2$ .

Étape 2

$c$ , $\sqrt{0{,}5}$ et $\sqrt{2}$ sont positifs, et la fonction carré conserve l'ordre sur $[0\,;+\infty[$ : $0{,}5\le c^{2}\le 2$ équivaut à $\sqrt{0{,}5}\le c\le\sqrt{2}$ .

Pourquoi

C'est l'étape qui rapporte le point de raisonnement : on n'a le droit de « passer à la racine » dans une inégalité que parce que tout est positif. On le dit.

Étape 3

$\sqrt{0{,}5}=\sqrt{\frac{50}{100}}=\frac{\sqrt{50}}{10}=\frac{5\sqrt{2}}{10}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Pourquoi

La valeur exacte est demandée : on la simplifie avec les règles du quotient et du produit, sans passer par la calculatrice.

Étape 4

Contrôle : $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\frac{2}{4}=0{,}5$ et $\left(\sqrt{2}\right)^{2}=2$ . Valeurs approchées : $\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0{,}707$ et $\sqrt{2}\approx 1{,}414$ .

Pourquoi

On réinjecte les bornes dans la condition de départ : elles doivent redonner exactement les aires 0,5 et 2.

Étape 5

Le côté maximal est le DOUBLE du côté minimal : $\sqrt{2}=2\times\frac{\sqrt{2}}{2}$ , alors que l'aire est multipliée par $4$ .

Pourquoi

Lecture de bon sens qui sert de vérification : multiplier un côté par $2$ multiplie l'aire par $2^{2}=4$ , et $\frac{2}{0{,}5}=4$ .

Conclusion rédigée

Il faut choisir $\frac{\sqrt{2}}{2}\le c\le\sqrt{2}$ , soit un côté compris entre environ $70{,}7$ cm et $141{,}4$ cm.

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire « $c^{2}\le 2$ , donc $c\le 2$ » : on compare $c$ au nombre $2$ au lieu de $\sqrt{2}$ . Une affiche de $2$ m de côté aurait une aire de $4$ m², le double du maximum.

À savoir par cœur

• $\sqrt{a}$ , pour $a\ge 0$ : l'unique nombre POSITIF dont le carré vaut $a$ .
• $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$ et $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ ; JAMAIS sur une somme ni une différence.
• $\sqrt{a^{2}}=|a|$ pour tout réel $a$ .
• $x^{2}=a$ : deux solutions $\pm\sqrt{a}$ si $a>0$ , une si $a=0$ , aucune si $a<0$ .
• Fonction carré : décroissante sur $]-\infty\,;0]$ , croissante sur $[0\,;+\infty[$ , minimum $0$ en $0$ .
• $x^{2}<k$ : ENTRE $-\sqrt{k}$ et $\sqrt{k}$ ; $x^{2}>k$ : À L'EXTÉRIEUR.
• $x^{2}\le x$ sur $[0\,;1]$ , $x^{2}\ge x$ sur $[1\,;+\infty[$ .
• $\sqrt{x}<k$ ( $k>0$ ) : $0\le x<k^{2}$ ; $\sqrt{x}=k$ avec $k<0$ : aucune solution.

Questions fréquentes

Comment résoudre x au carré égale a en seconde ?

On regarde d'abord le signe de a. Si a est strictement positif, il y a deux solutions opposées, racine de a et moins racine de a, car deux nombres opposés ont le même carré. Si a est nul, la seule solution est zéro. Si a est négatif, il n'y a aucune solution, puisqu'un carré n'est jamais négatif. Oublier la solution négative est l'erreur la plus fréquente.

Pourquoi la racine de a au carré est-elle égale à la valeur absolue de a ?

Parce que la racine carrée donne toujours un nombre positif, alors que a peut être négatif. Le carré efface le signe : moins trois au carré et trois au carré valent tous deux neuf, et la racine de neuf est trois. On retrouve donc a quand a est positif, et l'opposé de a quand a est négatif, ce qui est exactement la valeur absolue de a.

Comment simplifier une racine carrée comme racine de 72 ?

On cherche le plus grand carré parfait qui divise le nombre sous la racine : pour 72, c'est 36, car 72 égale 36 fois 2. On applique la règle du produit : racine de 72 égale racine de 36 fois racine de 2, soit 6 racine de 2. On contrôle à la calculatrice que les deux écritures ont la même valeur approchée, environ 8,485.

La racine de a plus b est-elle égale à racine de a plus racine de b ?

Non, cette règle n'existe pas. Par exemple, la racine de 9 plus 16 vaut la racine de 25, soit 5, alors que racine de 9 plus racine de 16 vaut 3 plus 4, soit 7. La racine carrée se distribue sur un produit et sur un quotient, jamais sur une somme ni sur une différence : on calcule la somme d'abord, la racine ensuite.

Comment démontrer que la fonction carré est croissante sur les nombres positifs ?

On prend deux réels a et b avec a positif ou nul et a strictement inférieur à b. La différence b au carré moins a au carré se factorise en b moins a fois b plus a. Les deux facteurs sont strictement positifs, donc le produit aussi : le carré de a est plus petit que celui de b. Deux exemples numériques ne suffisent pas, la démonstration doit valoir pour tous les a et b.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Carrés et racines carrées

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

12 exercices corrigés
120 points
150 minutes

Faire les exercices

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© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/2nde-carres-racines-carrees. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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Les racines carrées et la fonction carré bloquent en Seconde à Montréal ?

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Fiche de révision : carrés, racines carrées et fonction carré (Seconde)

L'essentiel

Le carré efface le signe, la racine ne le rend pas

La fonction carré en quatre lignes

La racine carrée sert à résoudre

Les règles de calcul en tableau

Ce qui se distribue sous une racine, et ce qui ne se distribue pas

Les pièges qui coûtent des points

1. Oublier la solution négative de x2=ax^{2}=ax2=a

2. Écrire a2=a\sqrt{a^{2}}=aa2​=a sans regarder le signe

3. Distribuer la racine sur une somme

4. Résoudre x2<kx^{2}<kx2<k comme si xxx était positif

5. Comparer les carrés de deux négatifs dans le même ordre

6. Démontrer un sens de variation avec des exemples

7. Oublier la borne 0 dans une inéquation avec racine

8. Élever au carré sans regarder le signe du second membre

9. Oublier le coefficient dans (ka)2\left(k\sqrt{a}\right)^{2}(ka​)2

Quelle méthode choisir

Quelle méthode, selon la forme de l'équation ou de l'inéquation

La rédaction attendue

Démontrer le sens de variation de la fonction carré

Démontrer la règle du produit

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Une affiche carrée

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Comment résoudre x au carré égale a en seconde ?

Pourquoi la racine de a au carré est-elle égale à la valeur absolue de a ?

Comment simplifier une racine carrée comme racine de 72 ?

La racine de a plus b est-elle égale à racine de a plus racine de b ?

Comment démontrer que la fonction carré est croissante sur les nombres positifs ?

Exercices corrigés : Carrés et racines carrées

Voir aussi

Les racines carrées et la fonction carré bloquent en Seconde à Montréal ?

1. Oublier la solution négative de $x^{2}=a$

2. Écrire $\sqrt{a^{2}}=a$ sans regarder le signe

4. Résoudre $x^{2}<k$ comme si $x$ était positif

9. Oublier le coefficient dans $\left(k\sqrt{a}\right)^{2}$