Exercice 0.1 : Simplifier des racines carrées : dix calculs directs

Donnez chaque résultat sous la forme demandée, avec des entiers, et, dans $a\sqrt{b}$ , l'entier $b$ le plus petit possible.

Trois règles suffisent, pour $a\ge 0$ et $b\ge 0$ : $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}$ , $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ si $b>0$ , et $\left(\sqrt{a}\right)^{2}=a$ . Pour simplifier, on cherche le plus grand carré parfait qui divise le nombre sous le radical : $4$ , $9$ , $16$ , $25$ , $36$ , $49$ , $64$ , $81$ , $100$ ...

a) $\sqrt{48}$ , sous la forme $a\sqrt{b}$ .
b) $\sqrt{243}$ , sous la forme $a\sqrt{b}$ .
c) $\sqrt{\dfrac{4}{9}}$ et $\sqrt{0{,}0081}$ .
d) $\left(2\sqrt{5}\right)^{2}$ et $\left(-3\sqrt{2}\right)^{2}$ .
e) $\sqrt{6}\times\sqrt{24}$ , sous la forme d'un entier.
f) $\dfrac{\sqrt{112}}{\sqrt{7}}$ , sous la forme d'un entier.
g) $\sqrt{28}+\sqrt{63}$ , sous la forme $a\sqrt{b}$ .
h) $3\sqrt{24}-\sqrt{150}$ , sous la forme $a\sqrt{b}$ .
i) $\sqrt{3}\left(\sqrt{12}-\sqrt{3}\right)$ , sous la forme d'un entier.
j) $\left(\sqrt{7}+1\right)^{2}$ , sous la forme $p+q\sqrt{7}$ .

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/17

a)

a

b

b)

a

b

c)

\sqrt{\frac{4}{9}}

\sqrt{0{,}0081}

d)

\left(2\sqrt{5}\right)^{2}

\left(-3\sqrt{2}\right)^{2}

e)

Résultat

f)

Résultat

g)

a

b

h)

a

b

i)

Résultat

j)

p

q

Voir la correction

Réponses

a) $\sqrt{48}=4\sqrt{3}$
b) $\sqrt{243}=9\sqrt{3}$
c) $\frac{2}{3}$ et $0{,}09$
d) $20$ et $18$
e) $12$
f) $4$
g) $5\sqrt{7}$
h) $\sqrt{6}$ , soit $a=1$ et $b=6$
i) $3$
j) $8+2\sqrt{7}$

Une seule méthode pour les dix lignes : on écrit le nombre sous le radical comme un produit dont l'un des facteurs est un carré parfait, le plus grand possible, puis on applique $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$ .

Sur une somme, on simplifie chaque radical AVANT d'additionner : seuls des radicaux identiques se regroupent, comme des termes semblables $5x+3x$ .

a)

$48=16\times 3$ , et $16$ est le plus grand carré qui divise $48$ .

\displaystyle \sqrt{48}=\sqrt{16}\times\sqrt{3}=4\sqrt{3}

Piège : partir de $48=4\times 12$ donne $2\sqrt{12}$ , juste mais pas fini, car $\sqrt{12}$ se simplifie encore. Chercher d'abord le plus grand carré évite de recommencer.

b)

$243=81\times 3$ , donc $\sqrt{243}=9\sqrt{3}$ .

Si l'on ne voit pas $81$ , on décompose : $243=3^{5}=3^{4}\times 3$ , et $\sqrt{3^{4}}=3^{2}=9$ .

c)

\displaystyle \sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}=\frac{2}{3}

$0{,}0081=\frac{81}{10\,000}$ , donc $\sqrt{0{,}0081}=\frac{9}{100}=0{,}09$ .

Piège : répondre $0{,}9$ . Contrôle : $0{,}9^{2}=0{,}81$ et non $0{,}0081$ . La racine d'un décimal a deux fois moins de chiffres après la virgule.

d)

\displaystyle \left(2\sqrt{5}\right)^{2}=2^{2}\times\left(\sqrt{5}\right)^{2}=4\times 5=20

$\left(-3\sqrt{2}\right)^{2}=(-3)^{2}\times 2=9\times 2=18$ : le carré efface le signe moins.

Piège : $\left(2\sqrt{5}\right)^{2}=10$ , qui élève au carré le $\sqrt{5}$ et oublie le $2$ . Le carré porte sur TOUT le produit.

e)

\displaystyle \sqrt{6}\times\sqrt{24}=\sqrt{144}=12

La règle du produit se lit aussi de droite à gauche : on regroupe sous un seul radical, et le carré parfait apparaît.

f)

\displaystyle \dfrac{\sqrt{112}}{\sqrt{7}}=\sqrt{\dfrac{112}{7}}=\sqrt{16}=4

g)

$\sqrt{28}=\sqrt{4\times 7}=2\sqrt{7}$ et $\sqrt{63}=\sqrt{9\times 7}=3\sqrt{7}$ .

\displaystyle \sqrt{28}+\sqrt{63}=2\sqrt{7}+3\sqrt{7}=5\sqrt{7}

Piège : écrire $\sqrt{28}+\sqrt{63}=\sqrt{91}$ . La racine d'une somme n'est pas la somme des racines : $\sqrt{91}\approx 9{,}54$ alors que $5\sqrt{7}\approx 13{,}23$ .

h)

$3\sqrt{24}=3\times 2\sqrt{6}=6\sqrt{6}$ et $\sqrt{150}=\sqrt{25\times 6}=5\sqrt{6}$ .

$3\sqrt{24}-\sqrt{150}=6\sqrt{6}-5\sqrt{6}=\sqrt{6}$ , soit $a=1$ et $b=6$ .

i)

On développe :

\begin{aligned}\sqrt{3}\left(\sqrt{12}-\sqrt{3}\right) &= \sqrt{36}-\left(\sqrt{3}\right)^{2} \\ &= 6-3=3\end{aligned}

j)

C'est l'identité $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ :

\begin{aligned}\left(\sqrt{7}+1\right)^{2} &= 7+2\sqrt{7}+1 \\ &= 8+2\sqrt{7}\end{aligned}

Piège : écrire $7+1=8$ en oubliant le double produit. La règle $(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}$ n'existe pas plus avec des racines qu'avec des lettres.

Contrôle à la calculatrice : $4\sqrt{3}\approx 6{,}928$ et $\sqrt{48}\approx 6{,}928$ . Une simplification juste donne la même valeur approchée que l'expression de départ ; une valeur différente désigne la ligne fausse.

Coche ici les exercices faits ou à revoir : un compte gratuit, sans mot de passe, retient tes coches et tes réponses justes d'une visite à l'autre, te dit quel chapitre attaquer ensuite et te permet de demander l'exercice qui te manque. Crée ton espace, un courriel suffit.

Exercice 0.2 : Résoudre x² = a et √x = k : dix calculs directs

Résolvez dans $\mathbb{R}$ . Pour une équation, donnez les solutions de la plus petite à la plus grande ; pour une inéquation, l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.

Deux réflexes. Pour $x^{2}=a$ , on regarde d'abord le SIGNE de $a$ : si $a>0$ , deux solutions opposées, $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$ ; si $a=0$ , une seule, $0$ ; si $a<0$ , aucune. Pour $\sqrt{x}=k$ , la racine est positive : il faut $k\ge 0$ , et alors $x=k^{2}$ .

a) $x^{2}=121$
b) $x^{2}=0{,}09$
c) $x^{2}=11$ : nombre de solutions, puis la solution positive au centième.
d) $3x^{2}=75$
e) $x^{2}+20=4$ : nombre de solutions.
f) $(x+1)^{2}=36$
g) $\sqrt{x}=7$
h) $\sqrt{x}=0{,}4$
i) $x^{2}<0{,}64$
j) $\sqrt{x}\le 5$

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/15

a)

Plus petite solution

Plus grande solution

b)

Plus petite solution

Plus grande solution

c)

Nombre de solutions

Solution positive

d)

Plus petite solution

Plus grande solution

e)

Nombre de solutions

f)

Plus petite solution

Plus grande solution

g)

x

h)

x

i)

\mathcal{S}

;

j)

\mathcal{S}

;

Voir la correction

Réponses

a) $x=-11$ ou $x=11$
b) $x=-0{,}3$ ou $x=0{,}3$
c) deux solutions, $-\sqrt{11}$ et $\sqrt{11}\approx 3{,}32$
d) $x=-5$ ou $x=5$
e) aucune solution, $\mathcal{S}=\varnothing$
f) $x=-7$ ou $x=5$
g) $x=49$
h) $x=0{,}16$
i) $\mathcal{S}=]-0{,}8\,;0{,}8[$
j) $\mathcal{S}=[0\,;25]$

Avant tout calcul, on isole le carré (ou la racine) d'un côté, puis on lit le signe de l'autre membre : c'est lui qui dit combien il y a de solutions.

a)

$121=11^{2}$ et $121>0$ : deux solutions, $x=-11$ ou $x=11$ .

Piège : ne donner que $11$ . Or $(-11)^{2}=121$ aussi : le carré efface le signe, et l'équation ne peut pas le retrouver.

b)

$0{,}09=0{,}3^{2}$ : $x=-0{,}3$ ou $x=0{,}3$ .

c)

$11>0$ , mais $11$ n'est pas un carré parfait : les deux solutions s'écrivent $x=-\sqrt{11}$ ou $x=\sqrt{11}$ , avec $\sqrt{11}\approx 3{,}32$ .

Une solution exacte n'a pas besoin d'être un décimal : $\sqrt{11}$ EST la valeur exacte, $3{,}32$ n'en est qu'un arrondi.

d)

On isole $x^{2}$ : $x^{2}=\frac{75}{3}=25$ , donc $x=-5$ ou $x=5$ .

e)

$x^{2}=4-20=-16$ . Un carré n'est jamais strictement négatif : aucune solution, $\mathcal{S}=\varnothing$ .

Piège : écrire $x=\pm 4$ . Contrôle : $4^{2}+20=36$ , pas $4$ .

f)

On garde le carré entier : avec $X=x+1$ , $X^{2}=36$ donne $X=6$ ou $X=-6$ .

$x+1=6$ donne $x=5$ ; $x+1=-6$ donne $x=-7$ .

Piège : développer $(x+1)^{2}$ . On tombe sur $x^{2}+2x-35=0$ , qu'on ne sait pas résoudre directement en Seconde, alors que la forme $X^{2}=36$ se résout en une ligne.

g)

$7\ge 0$ , donc $\sqrt{x}=7$ équivaut à $x=7^{2}=49$ . Contrôle : $\sqrt{49}=7$ .

h)

$0{,}4\ge 0$ , donc $x=0{,}4^{2}=0{,}16$ . Contrôle : $\sqrt{0{,}16}=0{,}4$ .

Piège : répondre $0{,}8$ , qui double au lieu d'élever au carré, ou $\sqrt{0{,}4}$ , qui fait l'opération dans le mauvais sens.

i)

$x^{2}-0{,}64=(x-0{,}8)(x+0{,}8)$ : ce produit est strictement négatif entre ses deux racines.

\displaystyle \mathcal{S}=]-0{,}8\,;0{,}8[

Piège : répondre $x<0{,}8$ , qui garde $x=-5$ alors que $(-5)^{2}=25$ . Le carré efface le signe : les négatifs trop éloignés de $0$ ont un grand carré.

j)

Une racine n'existe que pour $x\ge 0$ . Pour $x\ge 0$ , les deux membres de $\sqrt{x}\le 5$ sont positifs, et la fonction carré conserve l'ordre sur $[0\,;+\infty[$ : $\sqrt{x}\le 5$ équivaut à $x\le 25$ .

\displaystyle \mathcal{S}=[0\,;25]

Piège : répondre $]-\infty\,;25]$ . $\sqrt{-1}$ n'existe pas : la borne $0$ fait partie de la réponse.

Exercice 1 : Démontrer la règle du produit, puis s'en servir

Par définition, pour un réel $a\ge 0$ , $\sqrt{a}$ est l'unique nombre POSITIF dont le carré vaut $a$ . Pour démontrer qu'un nombre $N$ est égal à $\sqrt{c}$ , il suffit donc de vérifier deux choses : $N\ge 0$ et $N^{2}=c$ .

La démonstration du programme, $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$ , tient tout entière dans ces deux vérifications.

a) Soient $a$ et $b$ deux réels positifs. Calculez $\left(\sqrt{a}\times\sqrt{b}\right)^{2}$ et donnez le signe de $\sqrt{a}\times\sqrt{b}$ . Déduisez-en que $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}$ .
b) Démontrez de la même façon que $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ pour $a\ge 0$ et $b>0$ . Pourquoi faut-il $b>0$ , et pas seulement $b\ge 0$ ?
c) Sans calculatrice, calculez $\sqrt{2}\times\sqrt{32}$ , $\sqrt{0{,}2}\times\sqrt{20}$ et $\dfrac{\sqrt{90}}{\sqrt{10}}$ .
d) Un élève écrit $\sqrt{(-4)\times(-9)}=\sqrt{-4}\times\sqrt{-9}$ . Le membre de gauche existe-t-il ? Et le membre de droite ? Quelle hypothèse de la question a) a-t-il oubliée ?
e) Écrivez $\sqrt{20}\times\sqrt{15}$ sous la forme $a\sqrt{b}$ , avec $b$ entier le plus petit possible.

Voir la correction

Réponses

a) $\left(\sqrt{a}\sqrt{b}\right)^{2}=ab$ et $\sqrt{a}\sqrt{b}\ge 0$ , donc $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$
b) $\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)^{2}=\frac{a}{b}$ et $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\ge 0$ ; $b>0$ car $\sqrt{b}$ est au dénominateur
c) $8$ , $2$ et $3$
d) À gauche $\sqrt{36}=6$ ; à droite $\sqrt{-4}$ n'existe pas : l'hypothèse $a\ge 0$ , $b\ge 0$ manque
e) $\sqrt{20}\times\sqrt{15}=10\sqrt{3}$

a)

On calcule le carré du produit, avec $(xy)^{2}=x^{2}y^{2}$ :

\begin{aligned}\left(\sqrt{a}\times\sqrt{b}\right)^{2} &= \left(\sqrt{a}\right)^{2}\times\left(\sqrt{b}\right)^{2} \\ &= a\times b\end{aligned}

Puis le signe : $\sqrt{a}\ge 0$ et $\sqrt{b}\ge 0$ , donc leur produit est positif.

Le nombre $\sqrt{a}\times\sqrt{b}$ est donc un nombre positif dont le carré vaut $ab$ . Comme $ab\ge 0$ , un seul nombre a ces deux propriétés, $\sqrt{ab}$ : on conclut $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}$ .

Piège : s'arrêter au carré. Le nombre $-\sqrt{a}\sqrt{b}$ a lui aussi pour carré $ab$ ; c'est le SIGNE qui désigne la bonne racine, et une démonstration sans la phrase sur le signe perd la moitié des points.

b)

Même schéma, pour $a\ge 0$ et $b>0$ :

\begin{aligned}\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)^{2} &= \frac{\left(\sqrt{a}\right)^{2}}{\left(\sqrt{b}\right)^{2}} \\ &= \frac{a}{b}\end{aligned}

Et $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\ge 0$ , quotient d'un nombre positif par un nombre strictement positif. C'est donc $\sqrt{\frac{a}{b}}$ .

Il faut $b>0$ parce que $\sqrt{b}$ est au dénominateur : avec $b=0$ , $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{0}}$ n'a pas de sens, et $\frac{a}{0}$ non plus.

c)

\displaystyle \sqrt{2}\times\sqrt{32}=\sqrt{64}=8

\displaystyle \sqrt{0{,}2}\times\sqrt{20}=\sqrt{4}=2

\displaystyle \dfrac{\sqrt{90}}{\sqrt{10}}=\sqrt{9}=3

Aucun facteur n'est entier, et pourtant chaque résultat l'est : la règle sert précisément à regrouper sous un seul radical AVANT de calculer. Arrondir $\sqrt{2}\approx 1{,}41$ et $\sqrt{32}\approx 5{,}66$ puis multiplier donnerait $7{,}98$ , un résultat faux au centième.

d)

À gauche : $(-4)\times(-9)=36$ , donc $\sqrt{(-4)\times(-9)}=\sqrt{36}=6$ existe.

À droite : $\sqrt{-4}$ et $\sqrt{-9}$ n'existent pas, car aucun réel n'a un carré négatif. Le membre de droite n'a pas de sens.

L'élève a oublié l'hypothèse « $a$ et $b$ POSITIFS » de la question a). Avec deux facteurs négatifs, on commence par le produit : $\sqrt{(-4)\times(-9)}=\sqrt{4\times 9}=\sqrt{4}\times\sqrt{9}=6$ .

e)

On repère les carrés cachés : $20=4\times 5$ et $15=3\times 5$ .

\begin{aligned}\sqrt{20}\times\sqrt{15} &= \sqrt{4\times 5\times 5\times 3} \\ &= \sqrt{4\times 25\times 3} \\ &= 2\times 5\times\sqrt{3}=10\sqrt{3}\end{aligned}

Multiplier d'abord, $20\times 15=300=100\times 3$ , mène au même résultat : $\sqrt{300}=10\sqrt{3}$ .

Contrôle : $10\sqrt{3}\approx 17{,}32$ et $\sqrt{20}\times\sqrt{15}\approx 4{,}472\times 3{,}873\approx 17{,}32$ .

Exercice 2 : La racine d'une somme n'est pas la somme des racines

Le rectangle $ABCD$ ci-dessous a pour longueur $AB=12$ cm et pour largeur $BC=5$ cm. On s'intéresse à sa diagonale $[AC]$ , puis aux règles de calcul que les racines carrées n'ont PAS.

a) Calculez $AC$ par le théorème de Pythagore. Comparez $\sqrt{144+25}$ et $\sqrt{144}+\sqrt{25}$ .
b) Soient $a\ge 0$ et $b\ge 0$ . Développez $\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^{2}$ , puis démontrez que $\sqrt{a+b}\le\sqrt{a}+\sqrt{b}$ . Dans quel cas a-t-on l'égalité ?
c) Calculez $\sqrt{100-36}$ et $\sqrt{100}-\sqrt{36}$ . Que dire de la « règle » $\sqrt{a-b}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$ ?
d) On rappelle que $\sqrt{u^{2}}=|u|$ pour tout réel $u$ . Écrivez sans radical $\sqrt{\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}}$ et $\sqrt{\left(3-\sqrt{5}\right)^{2}}$ , puis calculez $E=\sqrt{\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}}+\sqrt{\left(3-\sqrt{5}\right)^{2}}$ .
e) Reconnaissez une identité remarquable sous le radical de $F(x)=\sqrt{x^{2}-6x+9}$ , et écrivez $F(x)$ avec une valeur absolue. Calculez $F(1)$ et $F(10)$ .

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/9

a)

AC

cm

\sqrt{144}+\sqrt{25}

b)

Égalité lorsque

c)

\sqrt{100-36}

\sqrt{100}-\sqrt{36}

d)

\sqrt{\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}}

E

e)

F(1)

F(10)

Voir la correction

Réponses

a) $AC=13$ cm, alors que $\sqrt{144}+\sqrt{25}=17$
b) $\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^{2}=a+b+2\sqrt{ab}\ge a+b$ , donc $\sqrt{a+b}\le\sqrt{a}+\sqrt{b}$ ; égalité si $a=0$ ou $b=0$
c) $8$ contre $4$ : la « règle » est fausse
d) $\sqrt{5}-2$ et $3-\sqrt{5}$ , donc $E=1$
e) $F(x)=|x-3|$ ; $F(1)=2$ et $F(10)=7$

a)

$ABC$ est rectangle en $B$ , donc :

\begin{aligned}AC^{2} &= AB^{2}+BC^{2} \\ &= 144+25=169\end{aligned}

$AC>0$ , donc $AC=\sqrt{169}=13$ cm.

Or $\sqrt{144}+\sqrt{25}=12+5=17$ . Ainsi $\sqrt{144+25}=13$ et $\sqrt{144}+\sqrt{25}=17$ : les deux nombres sont différents.

La figure le montre sans calcul : aller de $A$ à $C$ par la diagonale est plus court que passer par $B$ . La racine d'une somme est la diagonale, la somme des racines est le détour.

b)

\begin{aligned}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^{2} &= \left(\sqrt{a}\right)^{2}+2\sqrt{a}\sqrt{b}+\left(\sqrt{b}\right)^{2} \\ &= a+b+2\sqrt{ab}\end{aligned}

Comme $2\sqrt{ab}\ge 0$ : $\left(\sqrt{a+b}\right)^{2}=a+b\le\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^{2}$ .

On revient aux nombres eux-mêmes. Posons $u=\sqrt{a+b}$ et $v=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ : ce sont deux réels positifs avec $u^{2}\le v^{2}$ , donc $v^{2}-u^{2}=(v-u)(v+u)\ge 0$ .

Si $v+u>0$ , on divise par ce nombre strictement positif et l'on obtient $v-u\ge 0$ . Si $u+v=0$ , alors $a=b=0$ et les deux membres valent $0$ .

Conclusion : $\sqrt{a+b}\le\sqrt{a}+\sqrt{b}$ .

Égalité si et seulement si $2\sqrt{ab}=0$ , c'est-à-dire $a=0$ ou $b=0$ . Dès que $a$ et $b$ sont strictement positifs, l'inégalité est STRICTE : la « règle » $\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ est fausse dans tous les cas utiles.

c)

$\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$ , alors que $\sqrt{100}-\sqrt{36}=10-6=4$ .

Un seul contre-exemple suffit : la « règle » $\sqrt{a-b}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$ est fausse.

La liste à retenir : la racine carrée se distribue sur un PRODUIT et sur un QUOTIENT, jamais sur une somme ni sur une différence.

d)

Le signe de ce qui est élevé au carré décide de tout.

$\sqrt{5}>2$ car $5>4$ , donc $2-\sqrt{5}<0$ et $\sqrt{\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}}=\left|2-\sqrt{5}\right|=\sqrt{5}-2$ .

$\sqrt{5}<3$ car $5<9$ , donc $3-\sqrt{5}>0$ et $\sqrt{\left(3-\sqrt{5}\right)^{2}}=3-\sqrt{5}$ .

\begin{aligned}E &= \left(\sqrt{5}-2\right)+\left(3-\sqrt{5}\right) \\ &= 1\end{aligned}

Piège : « simplifier » la racine et le carré l'un par l'autre et écrire $E=\left(2-\sqrt{5}\right)+\left(3-\sqrt{5}\right)=5-2\sqrt{5}\approx 0{,}53$ . La calculatrice le dément : $E$ vaut exactement $1$ . Le carré a effacé le signe de $2-\sqrt{5}$ , la racine ne le rend pas.

e)

$x^{2}-6x+9=(x-3)^{2}$ , donc $F(x)=\sqrt{(x-3)^{2}}=|x-3|$ .

$F(1)=|1-3|=2$ et $F(10)=|10-3|=7$ .

Contrôle sans la valeur absolue : $F(1)=\sqrt{1-6+9}=\sqrt{4}=2$ . La réponse $F(1)=1-3=-2$ est impossible : une racine carrée n'est jamais négative.

Exercice 3 : L'équation x² = a : deux, une ou aucune solution

On résout les équations du type $x^{2}=a$ , où $a$ est un réel donné. La figure représente la parabole $\mathcal{P}$ d'équation $y=x^{2}$ et les droites d'équations $y=3$ et $y=-2$ ; l'axe des abscisses est la droite d'équation $y=0$ .

a) Par lecture graphique, donnez le nombre de solutions des équations $x^{2}=3$ , $x^{2}=0$ et $x^{2}=-2$ , puis une valeur approchée au dixième de la solution positive de $x^{2}=3$ .
b) Soit $a>0$ . Montrez que $x^{2}-a=\left(x-\sqrt{a}\right)\left(x+\sqrt{a}\right)$ , puis résolvez $x^{2}=a$ comme une équation produit nul.
c) Expliquez par le calcul pourquoi $x^{2}=a$ n'a aucune solution lorsque $a<0$ , et une seule lorsque $a=0$ .
d) Résolvez $5x^{2}=40$ , en écrivant les solutions exactes sous la forme $\pm k\sqrt{2}$ , puis résolvez $(2x-1)^{2}=9$ .
e) Pour quelles valeurs du réel $m$ l'équation $x^{2}=m-4$ a-t-elle exactement deux solutions ? Une seule ?

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Réponses

a) deux, une et aucune solution ; $x\approx 1{,}7$
b) $x=\sqrt{a}$ ou $x=-\sqrt{a}$
c) $a<0$ : $x^{2}\ge 0>a$ , impossible ; $a=0$ : $x=0$ seulement
d) $x=\pm 2\sqrt{2}$ ; puis $x=-1$ ou $x=2$
e) deux solutions pour $m>4$ , une seule pour $m=4$

a)

Les solutions de $x^{2}=k$ sont les ABSCISSES des points communs à $\mathcal{P}$ et à la droite horizontale d'équation $y=k$ .

La droite $y=3$ coupe $\mathcal{P}$ en deux points : deux solutions, opposées, environ $-1{,}7$ et $1{,}7$ .

L'axe $y=0$ touche $\mathcal{P}$ en un seul point, l'origine : une solution, $x=0$ .

La droite $y=-2$ passe sous $\mathcal{P}$ sans la rencontrer : aucune solution.

Piège : répondre l'ORDONNÉE $3$ . La question porte sur $x$ : on descend des points d'intersection jusqu'à l'axe des abscisses.

b)

On reconnaît $A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B)$ avec $A=x$ et $B=\sqrt{a}$ , puisque $\left(\sqrt{a}\right)^{2}=a$ :

\displaystyle x^{2}-a=x^{2}-\left(\sqrt{a}\right)^{2}=\left(x-\sqrt{a}\right)\left(x+\sqrt{a}\right)

$x^{2}=a$ équivaut donc à $\left(x-\sqrt{a}\right)\left(x+\sqrt{a}\right)=0$ . Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : $x=\sqrt{a}$ ou $x=-\sqrt{a}$ .

Cette méthode explique la réponse : deux solutions parce qu'il y a deux facteurs, opposées parce que le carré efface le signe.

c)

Si $a<0$ : pour tout réel $x$ , $x^{2}\ge 0>a$ , donc $x^{2}=a$ est impossible. Sur la figure, la droite $y=a$ est sous l'axe, et la parabole ne descend jamais sous l'axe.

Si $a=0$ : $x^{2}=0$ signifie $x\times x=0$ , donc $x=0$ . Les deux solutions $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$ de la question b) se confondent, puisque $\sqrt{0}=-\sqrt{0}=0$ .

d)

On isole d'abord le carré : $x^{2}=\frac{40}{5}=8$ , avec $8>0$ .

$\sqrt{8}=\sqrt{4\times 2}=2\sqrt{2}$ , donc $x=-2\sqrt{2}$ ou $x=2\sqrt{2}\approx 2{,}83$ : $k=2$ .

Pour $(2x-1)^{2}=9$ , on garde le carré entier : $2x-1=3$ ou $2x-1=-3$ .

$2x-1=3$ donne $x=2$ ; $2x-1=-3$ donne $x=-1$ .

Contrôle : $(2\times 2-1)^{2}=3^{2}=9$ et $(2\times(-1)-1)^{2}=(-3)^{2}=9$ .

Piège : ne garder que $2x-1=3$ . La solution $x=-1$ , celle qui passe par un nombre négatif élevé au carré, est la plus souvent oubliée.

e)

Le nombre de solutions dépend du signe du second membre $m-4$ .

Deux solutions si et seulement si $m-4>0$ , soit $m>4$ : $m\in]4\,;+\infty[$ .

Une seule si $m-4=0$ , soit $m=4$ , et la solution est alors $x=0$ . Aucune si $m<4$ .

Sur la figure, c'est la droite horizontale $y=m-4$ que l'on fait monter : sous l'axe, elle ne touche pas $\mathcal{P}$ ; sur l'axe, elle la touche en un point ; au-dessus, elle la coupe en deux.

Exercice 4 : La fonction carré : variations démontrées, comparaisons

La fonction carré est la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^{2}$ . Le programme demande de DÉMONTRER ses variations, sans dérivée : on compare $f(a)$ et $f(b)$ en étudiant le signe de leur différence.

Rappel : $f$ est croissante sur un intervalle $I$ si, pour tous réels $a<b$ de $I$ , $f(a)\le f(b)$ ; décroissante si, pour tous $a<b$ de $I$ , $f(a)\ge f(b)$ .

a) Justifiez que $f(x)\ge 0$ pour tout réel $x$ . Quel est le minimum de $f$ sur $\mathbb{R}$ , et en quelle valeur est-il atteint ?
b) Soient $a$ et $b$ deux réels. Montrez que $f(b)-f(a)=(b-a)(b+a)$ .
c) On suppose $0\le a<b$ . Donnez le signe de $b-a$ et celui de $b+a$ , puis concluez sur le sens de variation de $f$ sur $[0\,;+\infty[$ .
d) Même travail lorsque $a<b\le 0$ . Dressez ensuite le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ .
e) Sans calculatrice, comparez $2{,}43^{2}$ et $2{,}5^{2}$ , puis $(-1{,}3)^{2}$ et $(-1{,}35)^{2}$ , puis $(-6)^{2}$ et $5{,}9^{2}$ , en citant à chaque fois la propriété utilisée.

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/7

a)

Minimum de

f

Atteint en

x=

c)

Sur

[0\,;+\infty[

,

f

est

d)

Sur

]-\infty\,;0]

,

f

est

e)

2{,}43^{2}

est

(-1{,}3)^{2}

est

(-6)^{2}

est

Voir la correction

Réponses

a) $x^{2}\ge 0$ ; minimum $0$ , atteint en $x=0$
b) $b^{2}-a^{2}=(b-a)(b+a)$
c) $b-a>0$ et $b+a>0$ : $f(a)<f(b)$ , $f$ croissante sur $[0\,;+\infty[$
d) $b-a>0$ et $b+a<0$ : $f(a)>f(b)$ , $f$ décroissante sur $]-\infty\,;0]$ , minimum $0$ en $0$
e) $2{,}43^{2}<2{,}5^{2}$ ; $(-1{,}3)^{2}<(-1{,}35)^{2}$ ; $(-6)^{2}>5{,}9^{2}$

a)

Un carré est le produit de deux facteurs de même signe : $x\times x\ge 0$ pour tout réel $x$ , positif ou négatif.

Le minimum de $f$ sur $\mathbb{R}$ est $0$ , atteint en $x=0$ seulement, car $f(0)=0$ et $x^{2}>0$ dès que $x\neq 0$ .

Le signe de $f$ est donc entièrement connu : positive sur $\mathbb{R}$ , nulle en $0$ seulement.

b)

C'est l'identité $B^{2}-A^{2}=(B-A)(B+A)$ :

\displaystyle f(b)-f(a)=b^{2}-a^{2}=(b-a)(b+a)

Toute la démonstration repose sur cette factorisation : une différence de carrés ne se lit pas, un produit se lit par la règle des signes.

c)

$a<b$ , donc $b-a>0$ .

$a\ge 0$ et $b>0$ , donc $b+a>0$ .

Le produit de deux nombres strictement positifs est strictement positif : $f(b)-f(a)>0$ , soit $f(a)<f(b)$ .

Conclusion : $f$ est strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$ . Entre deux nombres positifs, le plus grand a le plus grand carré : la fonction carré CONSERVE l'ordre sur $[0\,;+\infty[$ . Sur la figure ci-dessous, les deux points bleus.

d)

$a<b$ , donc $b-a>0$ encore.

$a<0$ et $b\le 0$ , donc $b+a<0$ .

Le produit est strictement négatif : $f(b)-f(a)<0$ , soit $f(a)>f(b)$ . Sur $]-\infty\,;0]$ , $f$ est strictement décroissante : elle RENVERSE l'ordre, comme le montrent les deux points orange.

Tableau de variations : sur la ligne des $x$ , $-\infty$ , $0$ , $+\infty$ ; sur la ligne de $f$ , une flèche qui descend jusqu'à la valeur $0$ placée sous $x=0$ , puis une flèche qui monte.

Piège : « démontrer » avec deux exemples, $f(1)<f(2)$ par exemple. Deux valeurs ne disent rien de toutes les autres : seul le signe de $(b-a)(b+a)$ , valable pour TOUS les $a<b$ de l'intervalle, démontre.

e)

$0\le 2{,}43<2{,}5$ et $f$ est croissante sur $[0\,;+\infty[$ : $2{,}43^{2}<2{,}5^{2}$ .

$-1{,}35<-1{,}3\le 0$ et $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;0]$ : l'ordre se renverse, $(-1{,}35)^{2}>(-1{,}3)^{2}$ .

$-6$ et $5{,}9$ ne sont pas du même côté de $0$ : aucun sens de variation ne s'applique sur un intervalle qui contient $0$ . On se ramène aux positifs : $(-6)^{2}=6^{2}$ , et $0\le 5{,}9<6$ donne $5{,}9^{2}<6^{2}$ . Donc $(-6)^{2}>5{,}9^{2}$ .

Piège : conclure $(-6)^{2}<5{,}9^{2}$ « parce que $-6<5{,}9$ ». Le carré efface le signe : c'est la DISTANCE à $0$ qui compte, et $-6$ est plus loin de $0$ que $5{,}9$ .

Contrôle : $2{,}43^{2}=5{,}904\,9<6{,}25$ ; $1{,}3^{2}=1{,}69<1{,}822\,5=1{,}35^{2}$ ; $36>34{,}81$ .

Exercice 5 : Inéquations x² < k et x² ≥ k : la courbe, puis le calcul

On résout des inéquations du type $x^{2}<k$ ou $x^{2}\ge k$ . La figure représente la parabole $\mathcal{P}$ d'équation $y=x^{2}$ et les droites $\mathcal{D}_{1}$ et $\mathcal{D}_{2}$ d'équations $y=6{,}25$ et $y=3$ .

Résoudre graphiquement $x^{2}<k$ , c'est lire les ABSCISSES des points de $\mathcal{P}$ situés strictement SOUS la droite d'équation $y=k$ .

a) Résolvez graphiquement $x^{2}<6{,}25$ . Donnez l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.
b) Retrouvez ce résultat par le calcul : factorisez $x^{2}-6{,}25$ , puis étudiez le signe du produit à l'aide d'un tableau de signes.
c) Résolvez $x^{2}\ge 3$ , graphiquement puis par le calcul. Donnez l'ensemble des solutions et une valeur approchée au centième de la borne positive.
d) Résolvez, sans calcul, $x^{2}\le -1$ puis $x^{2}>-1$ .
e) Un élève résout $x^{2}<6{,}25$ en écrivant « $x<2{,}5$ ». Trouvez un réel qui vérifie $x<2{,}5$ mais pas $x^{2}<6{,}25$ , et dites ce que l'élève a oublié.

Voir la correction

Réponses

a) $\mathcal{S}=]-2{,}5\,;2{,}5[$
b) $x^{2}-6{,}25=(x-2{,}5)(x+2{,}5)<0$ entre les racines : même ensemble
c) $\mathcal{S}=]-\infty\,;-\sqrt{3}]\cup[\sqrt{3}\,;+\infty[$ , avec $\sqrt{3}\approx 1{,}73$
d) $x^{2}\le -1$ : aucune solution ; $x^{2}>-1$ : tout $\mathbb{R}$
e) $x=-3$ : $(-3)^{2}=9>6{,}25$ ; l'élève a oublié les négatifs, la borne $-2{,}5$

a)

La droite $\mathcal{D}_{1}$ coupe $\mathcal{P}$ aux points d'abscisses $-2{,}5$ et $2{,}5$ , car $2{,}5^{2}=6{,}25$ .

Entre ces deux abscisses, la parabole est sous la droite ; à l'extérieur, elle est au-dessus. L'inégalité est stricte, donc les bornes sont exclues :

\displaystyle \mathcal{S}=]-2{,}5\,;2{,}5[

Piège : fermer les crochets. En $x=2{,}5$ , $x^{2}=6{,}25$ n'est pas STRICTEMENT inférieur à $6{,}25$ .

b)

\displaystyle x^{2}-6{,}25=x^{2}-2{,}5^{2}=(x-2{,}5)(x+2{,}5)

$x+2{,}5$ s'annule en $-2{,}5$ , $x-2{,}5$ en $2{,}5$ . Tableau de signes :

pour $x<-2{,}5$ : $(-)\times(-)=+$ ; pour $-2{,}5<x<2{,}5$ : $(-)\times(+)=-$ ; pour $x>2{,}5$ : $(+)\times(+)=+$ .

$x^{2}<6{,}25$ équivaut à $(x-2{,}5)(x+2{,}5)<0$ , donc $\mathcal{S}=]-2{,}5\,;2{,}5[$ : le calcul confirme la lecture.

c)

Graphiquement : $\mathcal{D}_{2}$ coupe $\mathcal{P}$ en deux points d'abscisses opposées, environ $\pm 1{,}7$ . La parabole est au-dessus de la droite, ou dessus, À L'EXTÉRIEUR de ces deux abscisses.

Par le calcul : $x^{2}-3=\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)\ge 0$ , produit positif ou nul à l'extérieur des racines et en elles :

$\mathcal{S}=]-\infty\,;-\sqrt{3}]\cup[\sqrt{3}\,;+\infty[$ , avec $\sqrt{3}\approx 1{,}73$ .

L'ensemble des solutions est fait de DEUX morceaux, réunis par le symbole $\cup$ . Écrire $x\ge\sqrt{3}$ seul oublie tous les négatifs, $-2$ par exemple, dont le carré $4$ dépasse $3$ .

d)

Un carré est toujours positif ou nul, donc jamais inférieur ou égal à $-1$ : $x^{2}\le -1$ n'a aucune solution, $\mathcal{S}=\varnothing$ .

Pour la même raison, $x^{2}>-1$ est vraie pour tout réel : $\mathcal{S}=\mathbb{R}$ .

Une droite d'équation $y=-1$ tracée sur la figure passerait entièrement sous la parabole.

e)

$x=-3$ vérifie $x<2{,}5$ , mais $(-3)^{2}=9>6{,}25$ .

L'élève a « pris la racine » des deux côtés comme on divise : il a perdu les NÉGATIFS, dont le carré peut être grand. La racine de $x^{2}$ n'est pas $x$ mais $|x|$ : $x^{2}<6{,}25$ équivaut à $|x|<2{,}5$ , c'est-à-dire $-2{,}5<x<2{,}5$ .

Le carré efface le signe ; en revenant au nombre, il faut remettre les deux signes possibles, et c'est ce que fait la borne $-2{,}5$ .

Exercice 6 : Position des courbes y = x et y = x² : la démonstration

Le programme de Seconde demande de démontrer la position relative des courbes d'équations $y=x$ et $y=x^{2}$ pour $x\ge 0$ . La figure les représente toutes les deux, sous les noms $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ , sans dire laquelle est laquelle.

a) Calculez l'image de $2$ par $x\mapsto x$ et par $x\mapsto x^{2}$ , et déduisez-en laquelle des deux courbes est la parabole.
b) Montrez que pour tout réel $x$ , $x^{2}-x=x(x-1)$ , puis dressez le tableau de signes de $x(x-1)$ sur $[0\,;+\infty[$ .
c) Déduisez-en la position relative des deux courbes pour $x\ge 0$ : sur quel intervalle la parabole est-elle sous la droite, ou dessus ? Quelles sont les abscisses de leurs points communs ?
d) Sans calculatrice, comparez $0{,}97^{2}$ et $0{,}97$ , puis $1{,}03^{2}$ et $1{,}03$ .
e) En appliquant le résultat de c) au nombre $\sqrt{x}$ , démontrez que $x\le\sqrt{x}$ pour $0\le x\le 1$ . Calculez $0{,}36^{2}$ et $\sqrt{0{,}36}$ , puis rangez $0{,}36$ , $0{,}36^{2}$ et $\sqrt{0{,}36}$ dans l'ordre croissant.

Voir la correction

Réponses

a) images $2$ et $4$ : $\mathcal{C}_{1}$ , qui passe par $(2\,;4)$ , est la parabole
b) $x(x-1)<0$ sur $]0\,;1[$ , $>0$ sur $]1\,;+\infty[$ , nul en $0$ et $1$
c) parabole sous la droite sur $[0\,;1]$ , au-dessus sur $[1\,;+\infty[$ ; points communs d'abscisses $0$ et $1$
d) $0{,}97^{2}<0{,}97$ et $1{,}03^{2}>1{,}03$
e) $0{,}36^{2}=0{,}129\,6<0{,}36<0{,}6=\sqrt{0{,}36}$

a)

$x\mapsto x$ donne $2$ , $x\mapsto x^{2}$ donne $4$ .

Sur la figure, $\mathcal{C}_{1}$ passe par le point $(2\,;4)$ et $\mathcal{C}_{2}$ par $(2\,;2)$ : $\mathcal{C}_{1}$ est la parabole $y=x^{2}$ , $\mathcal{C}_{2}$ la droite $y=x$ .

Une seule abscisse ne dit pas quelle courbe est au-dessus PARTOUT : en $0{,}5$ , c'est l'inverse, $0{,}5^{2}=0{,}25<0{,}5$ . D'où la démonstration qui suit.

b)

On factorise par $x$ : $x^{2}-x=x\times x-x\times 1=x(x-1)$ .

Sur $[0\,;+\infty[$ : $x$ est positif, nul en $0$ ; $x-1$ est négatif avant $1$ , nul en $1$ , positif après.

Tableau de signes : sur $]0\,;1[$ , $(+)\times(-)=-$ ; sur $]1\,;+\infty[$ , $(+)\times(+)=+$ ; le produit est nul en $0$ et en $1$ .

c)

Le signe de la différence des ordonnées dit qui est au-dessus : $x^{2}-x\le 0$ signifie que le point de la parabole est sous celui de la droite, à la même abscisse.

Sur $[0\,;1]$ : $x^{2}-x\le 0$ , donc $x^{2}\le x$ : la parabole est SOUS la droite (aplat vert de la figure ci-dessous).

Sur $[1\,;+\infty[$ : $x^{2}-x\ge 0$ , donc $x^{2}\ge x$ : la parabole est AU-DESSUS.

Points communs : $x^{2}-x=0$ pour $x=0$ et $x=1$ , soit $O(0\,;0)$ et le point $(1\,;1)$ .

La phrase à retenir : élever au carré un nombre de $]0\,;1[$ le DIMINUE, élever au carré un nombre plus grand que $1$ l'AUGMENTE. Pour $x<0$ , les deux facteurs sont négatifs, le produit est positif : la parabole y est aussi au-dessus de la droite.

d)

$0{,}97\in]0\,;1[$ , donc $0{,}97^{2}<0{,}97$ .

$1{,}03>1$ , donc $1{,}03^{2}>1{,}03$ .

Contrôle : $0{,}97^{2}=0{,}940\,9$ et $1{,}03^{2}=1{,}060\,9$ .

Piège : croire qu'un carré est toujours plus grand que le nombre. C'est faux sur tout l'intervalle $]0\,;1[$ , et c'est exactement ce que la démonstration vient d'établir.

e)

Soit $x\in[0\,;1]$ et $X=\sqrt{x}$ . On a $X\ge 0$ , et $X\le 1$ : sinon $X>1$ , donc $X^{2}>X>1$ d'après c), c'est-à-dire $x>1$ , ce qui est faux.

D'après c), appliqué à $X\in[0\,;1]$ : $X^{2}\le X$ , c'est-à-dire $x\le\sqrt{x}$ .

Avec $x=0{,}36$ : $0{,}36^{2}=0{,}129\,6$ et $\sqrt{0{,}36}=0{,}6$ .

Ordre croissant : $0{,}36^{2}<0{,}36<\sqrt{0{,}36}$ , soit $0{,}129\,6<0{,}36<0{,}6$ .

Sur $]0\,;1[$ , le carré rapproche de $0$ et la racine rapproche de $1$ : c'est la même propriété lue dans les deux sens.

Exercice 7 : La racine carrée pour résoudre : √x = k et √x < k

En Seconde, la fonction racine carrée ne s'étudie pas pour elle-même : elle sert à résoudre, et tout se ramène à la fonction carré sur $[0\,;+\infty[$ .

La figure représente, dans un repère orthonormé, la courbe $\mathcal{P}$ de la fonction carré sur $[0\,;+\infty[$ , la courbe $\mathcal{R}$ de la fonction racine carrée, la droite $\Delta$ d'équation $y=x$ et les points $A(1{,}5\,;2{,}25)$ et $A'(2{,}25\,;1{,}5)$ .

a) Vérifiez que $A$ est sur $\mathcal{P}$ et que $A'$ est sur $\mathcal{R}$ . Comment passe-t-on de $A$ à $A'$ , et quel rôle joue la droite $\Delta$ ?
b) Soit $k>0$ . En utilisant le sens de variation de la fonction carré sur $[0\,;+\infty[$ , expliquez pourquoi, pour $x\ge 0$ , $\sqrt{x}<k$ équivaut à $x<k^{2}$ .
c) Résolvez $\sqrt{x}=1{,}5$ , puis $\sqrt{x}=-1$ .
d) Résolvez $\sqrt{x}<1{,}2$ , puis $\sqrt{x}\ge 0{,}5$ . Donnez chaque ensemble de solutions sous forme d'intervalle.
e) Résolvez $\sqrt{x}=x$ par le calcul, puis contrôlez sur la figure.

Voir la correction

Réponses

a) $1{,}5^{2}=2{,}25$ et $\sqrt{2{,}25}=1{,}5$ ; on échange les coordonnées : symétrie d'axe $\Delta$
b) $\sqrt{x}$ et $k$ sont positifs et le carré conserve l'ordre sur $[0\,;+\infty[$ : $\sqrt{x}<k\iff x<k^{2}$
c) $x=2{,}25$ ; $\sqrt{x}=-1$ : aucune solution
d) $[0\,;1{,}44[$ et $[0{,}25\,;+\infty[$
e) $x=0$ ou $x=1$

a)

$1{,}5^{2}=2{,}25$ : $A$ est sur $\mathcal{P}$ . Et $\sqrt{2{,}25}=1{,}5$ , car $1{,}5\ge 0$ et $1{,}5^{2}=2{,}25$ : $A'$ est sur $\mathcal{R}$ .

On passe de $A$ à $A'$ en ÉCHANGEANT abscisse et ordonnée. Dans un repère orthonormé, cet échange est la symétrie par rapport à la droite $\Delta$ d'équation $y=x$ .

C'est vrai pour tout point : si $a\ge 0$ , le point $(a\,;a^{2})$ est sur $\mathcal{P}$ et le point $(a^{2}\,;a)$ sur $\mathcal{R}$ , puisque $\sqrt{a^{2}}=a$ pour $a\ge 0$ . Sur $[0\,;+\infty[$ , les deux courbes sont symétriques par rapport à $\Delta$ : la racine défait ce que fait le carré.

Sur $\mathbb{R}$ tout entier, ce n'est plus vrai : $\sqrt{(-1{,}5)^{2}}=1{,}5$ et non $-1{,}5$ . Le carré efface le signe, la racine ne le rend pas.

b)

Pour $x\ge 0$ , les nombres $\sqrt{x}$ et $k$ sont tous deux positifs.

Sur $[0\,;+\infty[$ , la fonction carré est strictement croissante : entre deux nombres positifs, l'ordre des nombres est celui de leurs carrés, dans les deux sens. Donc $\sqrt{x}<k$ équivaut à $\left(\sqrt{x}\right)^{2}<k^{2}$ , c'est-à-dire $x<k^{2}$ .

La condition $x\ge 0$ ne disparaît pas : c'est la condition d'existence de $\sqrt{x}$ , et elle reste dans l'ensemble des solutions.

c)

$1{,}5\ge 0$ , donc $\sqrt{x}=1{,}5$ équivaut à $x=1{,}5^{2}=2{,}25$ . Contrôle : $\sqrt{2{,}25}=1{,}5$ .

Une racine carrée n'est jamais négative : $\sqrt{x}=-1$ n'a aucune solution, $\mathcal{S}=\varnothing$ .

Piège : élever au carré sans regarder le signe, ce qui donne $x=1$ . Contrôle : $\sqrt{1}=1$ , pas $-1$ . Élever au carré efface le signe de $-1$ et fabrique une fausse solution.

d)

D'après b), avec $k=1{,}2$ : $\sqrt{x}<1{,}2$ équivaut à $0\le x<1{,}44$ , soit $\mathcal{S}=[0\,;1{,}44[$ .

De même, les deux membres de $\sqrt{x}\ge 0{,}5$ sont positifs et le carré conserve l'ordre : $\sqrt{x}\ge 0{,}5$ équivaut à $x\ge 0{,}25$ , soit $\mathcal{S}=[0{,}25\,;+\infty[$ .

Piège : répondre $]-\infty\,;1{,}44[$ . Les nombres négatifs n'ont pas de racine carrée : la borne $0$ fait partie de la réponse.

e)

$\sqrt{x}$ n'existe que pour $x\ge 0$ .

Pour $x\ge 0$ , les deux membres sont positifs, donc $\sqrt{x}=x$ équivaut à $x=x^{2}$ , soit $x(x-1)=0$ : $x=0$ ou $x=1$ .

Contrôle : $\sqrt{0}=0$ et $\sqrt{1}=1$ . Sur la figure, $\mathcal{P}$ , $\mathcal{R}$ et $\Delta$ passent toutes trois par $O$ et par le point $(1\,;1)$ , sur l'axe de symétrie.

C'est la position relative de l'exercice 6 vue de l'autre côté : sur $]0\,;1[$ , $x^{2}<x<\sqrt{x}$ .

Exercice 8 : Cinq affirmations à corriger

Chacune des cinq affirmations suivantes est FAUSSE. Dites pourquoi, par un contre-exemple ou un calcul, et donnez l'énoncé correct.

a) « $\left(5\sqrt{3}\right)^{2}=15$ . »
b) « Si $a<b$ , alors $a^{2}<b^{2}$ . »
c) « L'équation $x^{2}=7$ a une seule solution, $x=\sqrt{7}$ . »
d) « Pour tout réel $x$ , $x^{2}\ge x$ . »
e) « $\sqrt{x}<3$ équivaut à $x<9$ . »

Voir la correction

Réponses

a) $\left(5\sqrt{3}\right)^{2}=75$
b) vrai seulement si $0\le a<b$ ; contre-exemple $-5<1$ et $25>1$
c) deux solutions, $\sqrt{7}$ et $-\sqrt{7}\approx -2{,}65$
d) faux sur $]0\,;1[$ : $0{,}5^{2}=0{,}25<0{,}5$
e) $\sqrt{x}<3\iff x\in[0\,;9[$

a)

Faux. Le carré porte sur tout le produit : $\left(5\sqrt{3}\right)^{2}=5^{2}\times\left(\sqrt{3}\right)^{2}=25\times 3=75$ .

L'erreur multiplie $\left(\sqrt{3}\right)^{2}=3$ par $5$ , comme si le $5$ n'était pas élevé au carré. Énoncé correct : $\left(5\sqrt{3}\right)^{2}=75$ .

b)

Faux. Contre-exemple : $-5<1$ , mais $(-5)^{2}=25>1=1^{2}$ .

Énoncé correct : si $0\le a<b$ , alors $a^{2}<b^{2}$ , car la fonction carré est croissante sur $[0\,;+\infty[$ ; si $a<b\le 0$ , alors $a^{2}>b^{2}$ , car elle est décroissante sur $]-\infty\,;0]$ .

Quand $a$ et $b$ sont de signes contraires, aucune règle d'ordre ne s'applique : on compare leurs distances à $0$ .

c)

Faux. $7>0$ , donc $x^{2}=7$ a DEUX solutions : $x=\sqrt{7}$ et $x=-\sqrt{7}\approx -2{,}65$ .

Contrôle : $\left(-\sqrt{7}\right)^{2}=7$ . Le symbole $\sqrt{7}$ désigne la seule solution POSITIVE ; l'équation, elle, ne connaît pas le signe.

d)

Faux. Contre-exemple : $x=0{,}5$ , $0{,}5^{2}=0{,}25<0{,}5$ .

D'après l'exercice 6, $x^{2}-x=x(x-1)<0$ exactement lorsque $0<x<1$ .

Énoncé correct : $x^{2}<x$ sur $]0\,;1[$ , et $x^{2}\ge x$ pour $x\le 0$ ou $x\ge 1$ .

e)

Faux. $\sqrt{x}$ n'existe que pour $x\ge 0$ : $x=-4$ vérifie $x<9$ , mais $\sqrt{-4}$ n'a pas de sens.

Énoncé correct : $\sqrt{x}<3$ équivaut à $0\le x<9$ , soit $x\in[0\,;9[$ .

Exercice 9 : Problème : le format A4 et le nombre √2

Une feuille A3 pliée en deux donne une feuille A4, une A4 pliée en deux donne une A5, et ainsi de suite. La norme internationale de ces formats impose que toutes ces feuilles aient la même FORME : le rapport $\frac{L}{\ell}$ de la longueur à la largeur est le même pour chaque format.

La figure représente une feuille de longueur $L$ et de largeur $\ell$ , et le pli, en pointillé, qui la partage en deux demi-feuilles.

a) Une demi-feuille a pour longueur $\ell$ et pour largeur $\frac{L}{2}$ . Montrez que l'égalité des rapports $\frac{L}{\ell}=\dfrac{\ell}{L/2}$ s'écrit $\left(\frac{L}{\ell}\right)^{2}=2$ .
b) Résolvez l'équation $r^{2}=2$ . Quelle solution est le rapport $\frac{L}{\ell}$ , et pourquoi ?
c) Une feuille A4 mesure $21$ cm sur $29{,}7$ cm. Calculez $\frac{29{,}7}{21}$ au millième et comparez à $\sqrt{2}$ .
d) Le format A0 a une aire de $1$ m², soit $10\,000$ cm², et chaque pli divise l'aire par $2$ . Calculez l'aire d'une feuille A4, en cm².
e) On note $\ell$ la largeur théorique d'une feuille A4, en cm, et $L=\ell\sqrt{2}$ . Montrez que $\ell^{2}=\dfrac{625}{\sqrt{2}}$ , puis calculez $\ell$ et $L$ au dixième. Pourquoi ne garde-t-on qu'une solution ?
f) Montrez que la diagonale d'une feuille A4 mesure $d=\ell\sqrt{3}$ , puis donnez-la au dixième de centimètre.

Voir la correction

Réponses

a) $\frac{L}{\ell}=\frac{2\ell}{L}\iff L^{2}=2\ell^{2}\iff\left(\frac{L}{\ell}\right)^{2}=2$
b) $r=\pm\sqrt{2}$ ; un rapport de longueurs est positif : $\frac{L}{\ell}=\sqrt{2}$
c) $\frac{29{,}7}{21}\approx 1{,}414$ , égal à $\sqrt{2}$ au millième, mais pas égal à $\sqrt{2}$
d) $\frac{10\,000}{16}=625$ cm²
e) $\ell\approx 21{,}0$ cm et $L\approx 29{,}7$ cm ; la solution négative est écartée
f) $d=\sqrt{3\ell^{2}}=\ell\sqrt{3}\approx 36{,}4$ cm

a)

Diviser par $\frac{L}{2}$ , c'est multiplier par $\frac{2}{L}$ , donc $\dfrac{\ell}{L/2}=\dfrac{2\ell}{L}$ . Puis :

\begin{aligned}\frac{L}{\ell}=\frac{2\ell}{L} &\iff L^{2}=2\ell^{2} \\ &\iff \left(\frac{L}{\ell}\right)^{2}=2\end{aligned}

On a multiplié les deux membres par $\ell L$ , qui n'est pas nul, puis divisé par $\ell^{2}$ .

b)

$r^{2}=2$ avec $2>0$ : deux solutions, $r=\sqrt{2}$ ou $r=-\sqrt{2}$ .

Un rapport de deux longueurs est positif : on garde $\frac{L}{\ell}=\sqrt{2}\approx 1{,}414$ .

C'est le geste qui revient dans tout problème de mesure : l'équation donne deux solutions, le CONTEXTE en écarte une. On l'écrit en une phrase, sinon la réponse paraît incomplète.

c)

$\frac{29{,}7}{21}\approx 1{,}414$ et $\sqrt{2}\approx 1{,}414\,2$ : les deux nombres coïncident au millième.

Ils ne sont pas égaux pour autant : $\frac{29{,}7}{21}=\frac{297}{210}$ est rationnel, alors que $\sqrt{2}$ est irrationnel. La norme arrondit les dimensions au millimètre.

d)

De A0 à A4, il y a quatre plis : $\frac{10\,000}{2^{4}}=\frac{10\,000}{16}=625$ cm².

e)

L'aire vaut $\ell\times L=\ell\times\ell\sqrt{2}=\ell^{2}\sqrt{2}$ , donc $\ell^{2}\sqrt{2}=625$ et $\ell^{2}=\frac{625}{\sqrt{2}}\approx 441{,}94$ .

C'est une équation du type $x^{2}=a$ avec $a>0$ : deux solutions opposées. Une largeur est positive, on garde $\ell=\sqrt{\frac{625}{\sqrt{2}}}\approx 21{,}02$ , soit $21{,}0$ cm.

$L=\ell\sqrt{2}\approx 29{,}73$ , soit $29{,}7$ cm : on retrouve la feuille de la question c).

Piège : écrire $\ell=\frac{625}{\sqrt{2}}$ en oubliant que c'est $\ell^{2}$ qui vaut ce nombre ; on trouverait une largeur de $442$ cm. Contrôle d'ordre de grandeur : une A4 tient dans un classeur.

f)

Dans le triangle rectangle formé par deux côtés de la feuille et la diagonale, le théorème de Pythagore donne :

\begin{aligned}d^{2} &= \ell^{2}+L^{2} \\ &= \ell^{2}+2\ell^{2}=3\ell^{2}\end{aligned}

$d>0$ , donc $d=\sqrt{3\ell^{2}}=\sqrt{3}\times\sqrt{\ell^{2}}=\sqrt{3}\times|\ell|=\ell\sqrt{3}$ , car $\ell>0$ .

$d\approx 21{,}02\times 1{,}732\approx 36{,}4$ cm.

La valeur absolue apparaît dès qu'on sort un carré d'une racine ; ici elle disparaît parce qu'une longueur est positive, et c'est cette justification qu'il faut écrire.

Exercice 10 : Problème : le pendule qui bat la seconde

La période $T$ d'un pendule simple, durée d'un aller-retour complet, ne dépend que de sa longueur $L$ . En physique, $T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$ ; comme l'intensité de la pesanteur $g\approx 9{,}81$ est très proche de $\pi^{2}\approx 9{,}87$ , on utilise ici la formule simplifiée $T=2\sqrt{L}$ , avec $L$ en mètres et $T$ en secondes.

La figure représente $T$ en fonction de $L$ , pour $L$ entre $0$ et $4{,}5$ m.

a) Calculez la période d'un pendule de $0{,}25$ m, puis celle d'un pendule de $2$ m (valeur exacte, puis au centième).
b) Une horloge « bat la seconde » lorsque chaque aller, et chaque retour, dure $1$ s, c'est-à-dire lorsque $T=2$ s. Résolvez $2\sqrt{L}=2$ .
c) Quelle longueur faut-il pour obtenir une période de $3$ s ?
d) On multiplie la longueur d'un pendule par $4$ . Par combien sa période est-elle multipliée ? Et si l'on multiplie la longueur par $2$ ?
e) Un jouet doit osciller avec une période inférieure à $1{,}2$ s. Résolvez $2\sqrt{L}<1{,}2$ pour $L>0$ .
f) Pour quelles longueurs $L>0$ la période, en secondes, est-elle plus grande que la longueur, en mètres ? Résolvez $2\sqrt{L}>L$ .

Voir la correction

Réponses

a) $1$ s ; $2\sqrt{2}\approx 2{,}83$ s
b) $L=1$ m
c) $L=2{,}25$ m
d) période multipliée par $2$ ; par $\sqrt{2}\approx 1{,}41$
e) $\mathcal{S}=]0\,;0{,}36[$
f) $\mathcal{S}=]0\,;4[$

a)

$T=2\sqrt{0{,}25}=2\times 0{,}5=1$ s.

$T=2\sqrt{2}\approx 2{,}83$ s.

La longueur est multipliée par $8$ , la période seulement par $2{,}83$ : la courbe de la figure monte de moins en moins vite.

b)

$2\sqrt{L}=2$ équivaut à $\sqrt{L}=1$ , et $1\ge 0$ , donc $L=1^{2}=1$ m.

En 1790, on a proposé de DÉFINIR le mètre comme la longueur du pendule qui bat la seconde. L'idée a été abandonnée parce que $g$ varie d'un lieu à l'autre de la Terre ; la coïncidence entre $g$ et $\pi^{2}$ en est l'héritage.

c)

$2\sqrt{L}=3$ équivaut à $\sqrt{L}=1{,}5$ , donc $L=1{,}5^{2}=2{,}25$ m.

Piège : $L=3$ , ou $L=\sqrt{1{,}5}$ . Pour défaire une racine, on élève au carré, et seulement après avoir isolé la racine.

d)

\begin{aligned}2\sqrt{4L} &= 2\times\sqrt{4}\times\sqrt{L} \\ &= 2\times\left(2\sqrt{L}\right)\end{aligned}

La période est multipliée par $2$ .

$2\sqrt{2L}=\sqrt{2}\times\left(2\sqrt{L}\right)$ : la période est multipliée par $\sqrt{2}\approx 1{,}41$ , et non par $2$ .

C'est la règle $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$ au travail : multiplier par $k$ sous la racine, c'est multiplier la racine par $\sqrt{k}$ .

e)

$2\sqrt{L}<1{,}2$ équivaut à $\sqrt{L}<0{,}6$ . Les deux membres sont positifs et la fonction carré est croissante sur $[0\,;+\infty[$ : $\sqrt{L}<0{,}6$ équivaut à $L<0{,}36$ .

Avec $L>0$ : $\mathcal{S}=]0\,;0{,}36[$ , un pendule de moins de $36$ cm.

Contrôle sur la figure : la courbe ne passe sous la hauteur $1{,}2$ que pour les toutes petites longueurs.

f)

Pour $L>0$ : $\sqrt{L}>0$ et $L=\left(\sqrt{L}\right)^{2}$ . L'inéquation s'écrit $2\sqrt{L}>\left(\sqrt{L}\right)^{2}$ .

On divise par $\sqrt{L}>0$ , ce qui conserve le sens : $2>\sqrt{L}$ , soit $L<4$ par croissance de la fonction carré sur $[0\,;+\infty[$ .

$\mathcal{S}=]0\,;4[$ : en dessous de $4$ m, la période en secondes dépasse la longueur en mètres ; à $4$ m, les deux valent $4$ .

On retrouve la position relative d'une parabole et d'une droite : avec $u=\sqrt{L}$ , l'inéquation devient $u^{2}<2u$ , soit $u(u-2)<0$ , vraie entre les deux points communs $u=0$ et $u=2$ .

Exercices corrigés : carrés, racines carrées et fonction carré (Seconde)

Rappel de cours

Calculs : racines carrées à simplifier

Exercice 0.1 : Simplifier des racines carrées : dix calculs directs

Calculs : équations du type x² = a et √x = k

Exercice 0.2 : Résoudre x² = a et √x = k : dix calculs directs

Partie A : les bases (/50)

Exercice 1 : Démontrer la règle du produit, puis s'en servir

Exercice 2 : La racine d'une somme n'est pas la somme des racines

Exercice 3 : L'équation x² = a : deux, une ou aucune solution

Exercice 4 : La fonction carré : variations démontrées, comparaisons

Exercice 5 : Inéquations x² < k et x² ≥ k : la courbe, puis le calcul

Partie B : problèmes et raisonnement (/50)

Exercice 6 : Position des courbes y = x et y = x² : la démonstration

Exercice 7 : La racine carrée pour résoudre : √x = k et √x < k

Exercice 8 : Cinq affirmations à corriger

Exercice 9 : Problème : le format A4 et le nombre √2

Exercice 10 : Problème : le pendule qui bat la seconde

Voir aussi

Les racines carrées et la fonction carré bloquent en Seconde à Montréal ?