La Première est l’année où la spécialité mathématiques prend son vrai visage. Le programme est dense, le rythme ne laisse pas de temps mort, et surtout la nature des questions change : on ne demande plus seulement de calculer, on demande de démontrer et de justifier. Au Lycée Marie de France et au Collège Stanislas à Montréal, c’est l’année qui détermine si l’élève poursuivra la spécialité en Terminale, et dans quelles conditions.

Le programme en neuf chapitres

Le programme s’organise en quatre domaines : algèbre et analyse, géométrie, probabilités, et algorithmique répartie dans les autres. Voici les chapitres, avec ce qui pose problème dans chacun et la série d’exercices corrigés correspondante.

Le second degré

Discriminant, racines, forme canonique, signe du trinôme, somme et produit des racines. Le piège n’est pas la formule, que tout le monde retient, mais le tableau de signes et les inéquations quotient, où la valeur interdite se perd. La série le second degré est construite au format réel du devoir surveillé, QCM d’ouverture compris.

Les suites numériques

Modes de génération, suites arithmétiques et géométriques, sens de variation, sommes de termes. Le chapitre qui prépare le mieux la Terminale, et celui où l’algorithme de seuil apparaît pour la première fois. La série est les suites numériques, qui se termine sur la suite auxiliaire, la méthode qui rend géométrique une suite qui ne l’est pas.

La dérivation

Nombre dérivé, tangente, dérivées usuelles, variations. C’est le chapitre le plus important de l’année. Deux difficultés reviennent : la dérivée d’un quotient, où le signe du numérateur est mal placé, et la lecture d’une courbe de dérivée, que beaucoup confondent avec celle de la fonction. La série est la dérivation.

La fonction exponentielle

Propriétés algébriques, équations et inéquations, dérivée, modélisation. Attention : en Première, le logarithme n’existe pas encore. Toutes les équations se résolvent en ramenant les deux membres à la même exponentielle, et les seuils se lisent à la calculatrice. La série la fonction exponentielle respecte strictement cette contrainte, comme le fait le contrôle.

La trigonométrie

Radians, cercle trigonométrique, valeurs remarquables, angles associés, équations. L’erreur qui coûte le plus cher est de ne donner qu’une solution à une équation qui en a deux, parce que la calculatrice n’en renvoie qu’une. La série est la trigonométrie, avec le cercle et ses valeurs remarquables placées.

Le produit scalaire

Les quatre expressions du produit scalaire, orthogonalité, projeté orthogonal, formule d’Al-Kashi, théorème de la médiane. C’est le chapitre de géométrie le plus riche de l’année. La série le produit scalaire est illustrée, notamment pour le projeté orthogonal et la distance d’un point à une droite.

La géométrie repérée

Vecteur directeur, équation cartésienne, vecteur normal, équation de cercle, tangente. La confusion à éliminer tient en deux lettres : dans une équation cartésienne, le couple des coefficients donne un vecteur normal, pas un vecteur directeur. La série est la géométrie repérée.

Les probabilités conditionnelles

Arbres pondérés, formule des probabilités totales, indépendance. Le chapitre contient le résultat le plus contre-intuitif du lycée, celui du dépistage médical. La série est probabilités conditionnelles.

Les variables aléatoires

Loi de probabilité, espérance, variance, transformation affine. La série est les variables aléatoires, avec la prime d’assurance et la comparaison de deux jeux de même espérance mais de risques opposés.

Les trois changements qui surprennent

  • La justification devient la réponse. En Seconde, un résultat juste rapportait presque tous les points. En Première, une réponse juste sans justification en rapporte la moitié.
  • Les chapitres se croisent. Une étude de fonction mobilise le second degré, la dérivation et parfois l’exponentielle dans le même exercice. Réviser chapitre par chapitre ne suffit plus.
  • L’algorithmique est évaluée. Elle apparaît dans les sujets de plusieurs chapitres, sous forme de programmes Python à compléter ou à interpréter.

Comment aborder l’année

Le conseil le plus utile porte sur la régularité. La Première ne pardonne pas les révisions de dernière minute, parce que chaque chapitre s’appuie sur les précédents. Un élève qui prend deux semaines de retard sur la dérivation le paiera sur l’étude de fonctions, puis sur l’exponentielle.

Le deuxième conseil porte sur la rédaction. Prenez l’habitude, dès septembre, d’écrire les phrases de justification en entier plutôt que de les abréger mentalement. C’est un réflexe qui se construit en quelques semaines et qui rapporte pendant deux ans.

Le troisième porte sur l’orientation. La Première est le moment de décider si l’on poursuivra la spécialité en Terminale, avec ou sans l’option maths expertes. Cette décision se prépare, elle ne s’improvise pas au troisième trimestre.

Pour aller plus loin

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