Mécanique 203-SN1-RE (ancien 203-NYA) • Complément québécois de Première et cégep à Montréal

Fiche de révision : la gravitation universelle (203-SN1-RE, ancien 203-NYA)

Q: Pourquoi les astronautes flottent-ils s'il y a encore de la gravité ?

Parce qu'ils sont en chute libre permanente avec leur station. À quatre cents kilomètres d'altitude, la pesanteur vaut encore près de quatre-vingt-dix pour cent de sa valeur au sol : c'est justement elle qui courbe leur trajectoire en cercle. Ce qui disparaît, c'est la force de contact du plancher, pas la gravité.

Q: Un satellite plus haut va-t-il plus vite ou moins vite ?

Moins vite. La vitesse orbitale vaut la racine carrée du produit de la constante de gravitation par la masse de l'astre, divisé par le rayon de l'orbite. Elle diminue donc quand le rayon augmente. Le satellite géostationnaire, six fois plus loin que la station spatiale, ne va qu'à trois kilomètres par seconde contre près de huit.

Q: Pourquoi l'énergie potentielle gravitationnelle est-elle négative ?

Parce que la référence est choisie à l'infini, où elle vaut zéro. Tout corps plus proche que l'infini a donc une énergie potentielle inférieure à zéro, c'est-à-dire négative. Le signe traduit exactement le fait que le corps est lié : il faudrait lui fournir de l'énergie pour l'emmener à l'infini.

Q: Quand peut-on encore utiliser la formule mgh ?

Uniquement quand la variation d'altitude est très petite devant le rayon de l'astre, disons quelques kilomètres sur Terre. Au-delà, la pesanteur n'est plus constante et il faut passer par l'expression complète en moins G M m sur r. Pour une orbite, cette formule est doublement inadaptée puisqu'elle ignore l'énergie cinétique.

Q: Quelle différence entre vitesse orbitale et vitesse de libération ?

La vitesse orbitale est celle qui maintient un corps sur un cercle à une distance donnée. La vitesse de libération est celle qui lui permet de ne jamais revenir, en annulant son énergie mécanique. À une même distance, la seconde vaut exactement racine de deux fois la première, soit quarante et un pour cent de plus.

Q: La pesanteur augmente-t-elle si on descend dans un puits profond ?

Non, elle diminue. La couche de matière située au-dessus de vous n'exerce aucune force nette, en vertu du théorème de la coquille : seule la masse encore plus profonde compte. La pesanteur est donc maximale à la surface, décroît linéairement vers le centre où elle s'annule, et décroît en un sur r au carré au-dessus.

La gravitation ne demande qu'une seule idée : la force gravitationnelle fournit exactement l'accélération centripète d'une orbite circulaire. De cette égalité sortent la vitesse orbitale, la période, la troisième loi de Kepler et la masse des astres. Tout le reste du chapitre est une affaire d'énergie, avec sa référence à l'infini et son signe négatif.

Cette fiche rassemble les erreurs qui coûtent le plus de points sur ce chapitre : la distance mal mesurée, la formule $mgh$ employée hors de son domaine, le signe de l'énergie potentielle, et la confusion entre les deux vitesses caractéristiques d'un astre.

Le fil du chapitre

Dans tout ce chapitre, $r$ est la distance entre les CENTRES, jamais une altitude. Une altitude de $400$ km oubliée devant un rayon terrestre de $6371$ km ne change presque rien au dessin et change tout au résultat.

Ce chapitre fait partie de Mécanique 203-SN1-RE (ancien 203-NYA)

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Travail, énergie et puissance Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (7 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Cinématique et le MRUASecondaire 5 SN5
2Dynamique et les lois de NewtonSecondaire 5 SN5
3Transformation de l'énergieSecondaire 5 SN5
4La dérivée et ses règlesCalcul différentiel (201-NYA)
5Cinématique en une et deux dimensions
6Dynamique : lois de Newton et frottement
7Travail, énergie et puissance

Notions couvertes

Loi de la gravitation universelle
Constante de gravitation
Champ gravitationnel
Orbite circulaire
Troisième loi de Kepler
Énergie potentielle gravitationnelle
Énergie mécanique d'une orbite
Vitesse de libération
Théorème de la coquille
Satellite géostationnaire

L'essentiel

Les formules et la distance qu'elles utilisent

• $F=G\dfrac{m_{1}m_{2}}{r^{2}}$ avec $G=6{,}674\times 10^{-11}$ N·m $^{2}$ /kg $^{2}$ , et $r$ mesuré entre les CENTRES.
• Champ d'un astre à la distance $r$ de son centre : $g=\dfrac{GM}{r^{2}}$ . À la surface, $r=R$ ; à l'altitude $h$ , $r=R+h$ .
• Orbite circulaire : $\dfrac{GMm}{r^{2}}=\dfrac{mv^{2}}{r}$ , donc $v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ . La masse du satellite DISPARAÎT des deux côtés.
• Période : $T=\dfrac{2\pi r}{v}$ , d'où la troisième loi de Kepler $T^{2}=\dfrac{4\pi^{2}}{GM}r^{3}$ , valable pour tous les satellites d'un même astre.
• Données à connaître : $M_{Terre}=5{,}97\times 10^{24}$ kg, $R_{Terre}=6{,}37\times 10^{6}$ m, donc $GM=3{,}99\times 10^{14}$ m $^{3}$ /s $^{2}$ .

Le produit $GM$ se calcule une seule fois en début de problème et se réutilise partout : c'est le seul moyen de ne pas traîner deux puissances de dix à chaque ligne.

L'énergie, avec sa référence à l'infini

• $U=-\dfrac{GMm}{r}$ , référence choisie à l'infini. Elle est NÉGATIVE : c'est exactement ce que signifie « lié ».
• $mgh$ n'est qu'une approximation de la variation de $U$ pour $h\ll R$ . Au-delà de quelques dizaines de kilomètres, elle devient fausse.
• Orbite circulaire : $K=\dfrac{GMm}{2r}$ , $U=-\dfrac{GMm}{r}$ , donc $E=K+U=-\dfrac{GMm}{2r}$ , soit $E=-K$ et $E=\dfrac{U}{2}$ .
• $E<0$ signifie orbite fermée; $E=0$ signifie tout juste libéré, avec une vitesse nulle à l'infini; $E>0$ signifie trajectoire hyperbolique.
• Vitesse de libération : $v_{lib}=\sqrt{\dfrac{2GM}{r}}=\sqrt{2}\,v_{orbite}$ , soit $41\%$ de plus que la vitesse orbitale au même endroit.

Une énergie mécanique positive obtenue pour un satellite en orbite est toujours une erreur de signe : un corps lié a nécessairement $E<0$ , et c'est le contrôle le plus rapide du chapitre.

Le champ à l'intérieur et à l'extérieur d'un astre

• Théorème de la coquille : une coquille sphérique homogène n'exerce AUCUNE force sur un corps situé à l'intérieur d'elle.
• À l'extérieur, un astre sphérique agit exactement comme si toute sa masse était concentrée en son centre : $g=\dfrac{GM}{r^{2}}$ , décroissant.
• À l'intérieur d'un astre homogène, seule la masse située PLUS BAS compte, ce qui donne $g=\dfrac{GM}{R^{3}}r$ , croissant linéairement.
• Le champ est donc MAXIMAL à la surface, nul au centre, et décroissant au-dessus. Descendre dans un puits diminue $g$ , cela ne l'augmente pas.
• Point de champ nul entre deux astres : il se trouve là où $\dfrac{GM_{1}}{d_{1}^{2}}=\dfrac{GM_{2}}{d_{2}^{2}}$ , donc plus près du moins massif.

Le champ est MAXIMAL à la surface : il monte linéairement en dessous, parce que seule la masse plus profonde agit, et retombe en

1/r^{2}

au-dessus. Descendre dans un puits réduit donc la pesanteur.

La courbe complète de $g$ en fonction de $r$ tombe régulièrement en question de raisonnement à l'examen final : elle se retient par sa forme, une montée droite puis une descente en $1/r^{2}$ .

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Utiliser l'altitude comme distance dans la loi de la gravitation

toute la question, 6 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le satellite est à $400$ km d'altitude, donc $g=\dfrac{GM}{(4{,}00\times 10^{5})^{2}}=2492$ m/s $^{2}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $r$ se mesure depuis le CENTRE : $r=R+h=6{,}371\times 10^{6}+4{,}00\times 10^{5}=6{,}771\times 10^{6}$ m, donc $g=8{,}69$ m/s $^{2}$ . »

Pourquoi : La loi en $1/r^{2}$ est écrite pour des masses ponctuelles, et une sphère se comporte comme un point placé en son centre. L'altitude n'est qu'une différence, jamais une distance à ce point.

2. Croire que l'apesanteur des astronautes signifie l'absence de gravité

4 points sur les questions de raisonnement

Ce qu'il ne faut pas écrire

« En orbite, il n'y a plus de gravité, c'est pour cela que les astronautes flottent. »

Ce qu'il faut écrire

« À $400$ km d'altitude, $g$ vaut encore $8{,}69$ m/s $^{2}$ , soit $89\%$ de sa valeur au sol. Les astronautes flottent parce qu'ils sont en CHUTE LIBRE permanente, comme leur station. »

Pourquoi : Sans gravité, la station partirait en ligne droite. C'est précisément la gravitation, presque intacte, qui courbe sa trajectoire en cercle. L'apesanteur est une absence de force de CONTACT, pas de gravité.

3. Employer $mgh$ pour une variation d'altitude comparable au rayon terrestre

toute la question, 6 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Monter un satellite de $1000$ kg à $400$ km coûte $mgh=1000\times 9{,}8\times 4{,}00\times 10^{5}=3{,}92\times 10^{9}$ J. »

Ce qu'il faut écrire

« $\Delta U=-\dfrac{GMm}{R+h}+\dfrac{GMm}{R}=3{,}70\times 10^{9}$ J pour l'altitude seule, et il faut encore l'énergie cinétique orbitale. Le total vaut $3{,}31\times 10^{10}$ J. »

Pourquoi : $mgh$ suppose $g$ constant, ce qui n'est vrai que si $h\ll R$ . Ici $h$ vaut déjà $6\%$ de $R$ , et surtout le gros de la facture est la vitesse orbitale, absente de $mgh$ .

4. Perdre le signe moins de l'énergie potentielle gravitationnelle

toute la question d'énergie, 5 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $U=\dfrac{GMm}{r}$ , donc l'énergie mécanique de l'orbite vaut $E=\dfrac{3GMm}{2r}$ , une valeur positive. »

Ce qu'il faut écrire

« $U=-\dfrac{GMm}{r}$ avec la référence à l'infini, donc $E=\dfrac{GMm}{2r}-\dfrac{GMm}{r}=-\dfrac{GMm}{2r}<0$ . »

Pourquoi : Le signe négatif n'est pas une convention décorative : il code le fait que le satellite est LIÉ. Une énergie positive décrit un corps qui s'échappe, ce qui contredit l'énoncé.

5. Faire dépendre la vitesse orbitale de la masse du satellite

4 points sur les questions de raisonnement

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La station spatiale est bien plus lourde que ce petit satellite, donc elle doit aller plus vite pour rester en orbite. »

Ce qu'il faut écrire

« $\dfrac{GMm}{r^{2}}=\dfrac{mv^{2}}{r}$ : la masse $m$ se simplifie, donc $v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ ne dépend QUE de l'astre et du rayon d'orbite. »

Pourquoi : C'est la même raison qui fait tomber deux objets de masses différentes à la même vitesse : la masse apparaît des deux côtés de l'équation, dans la force et dans l'inertie.

6. Confondre vitesse orbitale et vitesse de libération

3 points, et un budget énergétique doublé

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Pour rester en orbite basse, il faut atteindre $11{,}2$ km/s. »

Ce qu'il faut écrire

« $11{,}2$ km/s est la vitesse de LIBÉRATION depuis le sol. Pour une orbite basse il faut $7{,}67$ km/s, soit $\sqrt{2}$ fois moins. »

Pourquoi : Les deux vitesses répondent à deux questions différentes : rester en cercle ( $E<0$ ) ou partir pour de bon ( $E=0$ ). Le rapport est exactement $\sqrt{2}$ à une distance donnée.

7. Croire qu'un satellite plus haut se déplace plus vite

4 points sur les questions de raisonnement

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le satellite géostationnaire est bien plus loin, donc il file bien plus vite que la station spatiale. »

Ce qu'il faut écrire

« $v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ DÉCROÎT avec $r$ : $7{,}67$ km/s en orbite basse contre $3{,}07$ km/s en orbite géostationnaire. Il met plus longtemps parce qu'il va moins vite ET parcourt plus de chemin. »

La courbe DESCEND : plus l'orbite est haute, plus le satellite va lentement. Le géostationnaire, six fois plus loin, va deux fois et demie moins vite.

Pourquoi : Loin de l'astre, la gravité est plus faible, donc l'accélération centripète disponible est plus faible, donc la vitesse compatible avec un cercle de ce rayon l'est aussi.

8. Utiliser le rayon de l'astre au lieu du rayon de l'orbite dans la loi de Kepler

toute la question, 5 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $T^{2}=\dfrac{4\pi^{2}}{GM}R^{3}$ avec $R$ le rayon de la Terre, quelle que soit l'altitude du satellite. »

Ce qu'il faut écrire

« Le $r$ de la troisième loi est le rayon de l'ORBITE, c'est-à-dire $R+h$ , et pour une ellipse c'est le demi-grand axe $a$ . »

Pourquoi : La troisième loi relie la période à la taille de la trajectoire, jamais à la taille de l'astre. Avec le rayon terrestre, on obtiendrait la période d'un satellite rasant le sol, la même pour toutes les altitudes.

9. Croire que la pesanteur augmente quand on descend sous la surface

4 points sur les questions de raisonnement

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Plus on se rapproche du centre de la Terre, plus on est près de sa masse, donc plus $g$ est grand. »

Ce qu'il faut écrire

« La coquille située AU-DESSUS de vous n'exerce aucune force nette : seule la masse plus profonde compte, donc $g=\dfrac{GM}{R^{3}}r$ diminue jusqu'à s'annuler au centre. »

Pourquoi : Le théorème de la coquille est une conséquence exacte de la loi en $1/r^{2}$ . Le champ terrestre est donc maximal à la surface, un résultat contre-intuitif qui tombe presque à chaque examen final.

Quelle méthode choisir

Force ou énergie

La grandeur demandée par la question

Si on demande une vitesse orbitale, une période, un rayon d'orbite → égaler la gravitation à la force centripète, $\dfrac{GMm}{r^{2}}=\dfrac{mv^{2}}{r}$

Exemple : $v=\sqrt{GM/r}$ , puis $T=\dfrac{2\pi r}{v}$
Si on demande la masse d'un astre à partir d'un satellite observé → troisième loi de Kepler résolue en $M$ , soit $M=\dfrac{4\pi^{2}r^{3}}{GT^{2}}$

Exemple : masse du Soleil depuis l'orbite terrestre, masse d'une exoplanète
Si on demande une énergie, un travail, une vitesse de libération → bilan avec $U=-\dfrac{GMm}{r}$ , jamais $mgh$

Exemple : coût énergétique d'un changement d'orbite
Si on demande une vitesse à deux positions d'une orbite ELLIPTIQUE → conservation de l'énergie ET du moment cinétique, $r_{p}v_{p}=r_{a}v_{a}$

Exemple : vitesse au périgée connaissant celle à l'apogée
Si on demande où le champ s'annule entre deux astres → égaler les deux champs, $\dfrac{M_{1}}{d_{1}^{2}}=\dfrac{M_{2}}{d_{2}^{2}}$ , avec $d_{1}+d_{2}=d$

le point est toujours plus proche du corps le moins massif

Une orbite circulaire relie toutes ces grandeurs : dès que l'une est connue, les autres suivent. Écrire $GM$ une fois pour toutes en début de copie évite de recalculer ce produit à chaque question.

Quelle distance mettre dans la formule

La position du corps par rapport à l'astre

Si le corps est à la surface → $r=R$ , le rayon de l'astre

Exemple : $g_{0}=\dfrac{GM}{R^{2}}=9{,}82$ m/s $^{2}$ pour la Terre
Si le corps est à l'altitude $h$ → $r=R+h$ , et vérifier que $h$ est bien en mètres

Exemple : $400$ km d'altitude donnent $r=6{,}771\times 10^{6}$ m
Si le corps est à l'intérieur de l'astre, à la profondeur $d$ → $r=R-d$ , et le champ vaut $\dfrac{GM}{R^{3}}r$ , pas $\dfrac{GM}{r^{2}}$

Exemple : au centre, $r=0$ et le champ est nul
Si l'orbite est elliptique → $r$ varie, mais le demi-grand axe $a$ remplace $r$ dans Kepler et dans l'énergie

Exemple : $E=-\dfrac{GMm}{2a}$ , valable pour toute ellipse
Si l'énoncé donne la période et demande l'altitude → Kepler pour obtenir $r$ , PUIS soustraire $R$ pour revenir à l'altitude

l'orbite géostationnaire est à $4{,}22\times 10^{7}$ m du centre, soit $3{,}58\times 10^{7}$ m d'altitude

Écrire $r=R+h$ sur la première ligne de chaque question, même quand cela paraît évident. Ce réflexe supprime à lui seul le piège le plus fréquent du chapitre.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Calculer une orbite circulaire de bout en bout

Quand l'utiliser : L'énoncé donne une altitude ou une période et demande vitesse, période, énergie ou masse de l'astre.

1 Calculer $GM$ une fois, et écrire $r=R+h$ en convertissant toutes les longueurs en mètres.
2 Poser l'égalité fondatrice : la gravitation fournit la force centripète, $\dfrac{GMm}{r^{2}}=\dfrac{mv^{2}}{r}$ , en signalant que $m$ se simplifie.
3 En tirer $v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ , puis $T=\dfrac{2\pi r}{v}$ si la période est demandée.
4 Pour l'énergie, écrire les trois termes séparément : $K=\dfrac{GMm}{2r}$ , $U=-\dfrac{GMm}{r}$ , $E=-\dfrac{GMm}{2r}$ , et vérifier que $E$ est négative.
5 Conclure en donnant les résultats avec leurs unités et un ordre de grandeur commenté.

Phrase de conclusion

« La gravitation fournit la force centripète, donc $\dfrac{GMm}{r^{2}}=\dfrac{mv^{2}}{r}$ ; la masse du satellite se simplifie et $v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}=7{,}67$ km/s, d'où une période $T=\dfrac{2\pi r}{v}=5{,}54\times 10^{3}$ s, soit $92{,}4$ minutes. »

Le piège : Passer directement à la formule $v=\sqrt{GM/r}$ sans écrire l'égalité de départ. Le barème récompense presque toujours la ligne qui identifie la gravitation à la force centripète, parce que c'est elle qui contient la physique.

Barème : Typiquement 1 point pour $r=R+h$ , 2 pour l'égalité fondatrice, 2 pour la vitesse, 2 pour la période, 1 pour les unités et l'ordre de grandeur.

Peser un astre à partir d'un de ses satellites

Quand l'utiliser : L'énoncé donne le rayon d'orbite et la période d'un satellite, naturel ou artificiel, et demande la masse de l'astre.

1 Écrire la troisième loi sous sa forme newtonienne : $T^{2}=\dfrac{4\pi^{2}}{GM}r^{3}$ .
2 Isoler la masse : $M=\dfrac{4\pi^{2}r^{3}}{GT^{2}}$ , en soulignant que la masse du satellite n'y figure pas.
3 Convertir la période en secondes et le rayon en mètres AVANT de substituer.
4 Comparer le résultat à une masse connue pour valider l'ordre de grandeur, par exemple celle de la Terre ou du Soleil.

Phrase de conclusion

« La troisième loi donne $M=\dfrac{4\pi^{2}r^{3}}{GT^{2}}$ ; avec $r=4{,}22\times 10^{7}$ m et $T=86\,164$ s, on obtient $M=5{,}97\times 10^{24}$ kg, ce qui est bien la masse de la Terre. »

Le piège : Laisser la période en heures ou en jours. Le facteur $T^{2}$ amplifie l'erreur au carré, et un résultat mille milliards de fois trop grand passe parfois inaperçu dans une écriture scientifique mal contrôlée.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le signe de l'énergie mécanique

Une orbite fermée exige $E<0$ . Un résultat positif signale immédiatement un signe perdu sur $U$ , avant même de vérifier les nombres.

Un $E=+2{,}9\times 10^{10}$ J pour un satellite en orbite : le signe de l'énergie potentielle a sauté.
La comparaison de $g$ à sa valeur au sol

À $400$ km, $g$ doit valoir environ $89\%$ de $9{,}8$ m/s $^{2}$ . Une valeur nulle, ou supérieure à celle du sol, est fausse par construction.

Un $g=2492$ m/s $^{2}$ : l'altitude a servi de distance au lieu de $R+h$ .
L'ordre de grandeur des vitesses orbitales

En orbite basse terrestre, une vitesse est de l'ordre de $8$ km/s et une période de $90$ minutes. Le géostationnaire tourne à $3$ km/s en $24$ h.

Une période de $3$ heures pour une orbite à $400$ km : trop long d'un facteur $2$ , le rayon a été mal converti.
Le rapport $\sqrt{2}$ entre les deux vitesses

À une distance donnée, la vitesse de libération vaut exactement $\sqrt{2}$ fois la vitesse orbitale. Le rapport se vérifie de tête sur les deux résultats.

Une vitesse de libération de $15$ km/s pour une vitesse orbitale de $7{,}7$ km/s : le rapport vaut $1{,}95$ , pas $1{,}41$ .
La masse du satellite absente du résultat

Toute expression de vitesse orbitale, de période ou d'altitude qui contient encore $m$ est fausse : cette masse se simplifie toujours.

Un $v=\sqrt{GMm/r}$ : la dimension elle-même ne convient plus, la vitesse dépendrait de la masse du satellite.

L'exercice type décortiqué

Un satellite en orbite basse, de la vitesse au coût énergétique

Un satellite de $1000$ kg décrit une orbite circulaire à $400$ km d'altitude autour de la Terre. On donne $G=6{,}674\times 10^{-11}$ N·m $^{2}$ /kg $^{2}$ , $M=5{,}972\times 10^{24}$ kg et $R=6{,}371\times 10^{6}$ m.

Déterminer la vitesse orbitale, la période, l'énergie mécanique de l'orbite, puis l'énergie qu'il a fallu fournir pour l'amener du sol jusqu'à cette orbite, en négligeant la rotation terrestre et le frottement de l'air.

Trait plein la surface, pointillé l'orbite : la distance qui entre dans toutes les formules part du CENTRE, pas de la surface. Le dessin exagère l'écart, qui ne vaut que

6\%

Étape 1

$GM=(6{,}674\times 10^{-11})(5{,}972\times 10^{24})=3{,}986\times 10^{14}$ m $^{3}$ /s $^{2}$ , et $r=R+h=6{,}371\times 10^{6}+4{,}00\times 10^{5}=6{,}771\times 10^{6}$ m.

Pourquoi

Ces deux nombres serviront dans toutes les questions suivantes. Les calculer une seule fois évite d'entraîner deux puissances de dix à chaque ligne, où elles se perdent.

Étape 2

La gravitation fournit la force centripète : $\dfrac{GMm}{r^{2}}=\dfrac{mv^{2}}{r}$ , donc $v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}=\sqrt{\dfrac{3{,}986\times 10^{14}}{6{,}771\times 10^{6}}}=7{,}67\times 10^{3}$ m/s.

Pourquoi

C'est la ligne qui contient toute la physique du chapitre, et celle que le barème récompense. La masse du satellite disparaît des deux côtés, ce qui doit être dit explicitement.

Étape 3

$T=\dfrac{2\pi r}{v}=\dfrac{2\pi(6{,}771\times 10^{6})}{7{,}67\times 10^{3}}=5{,}54\times 10^{3}$ s, soit $92{,}4$ minutes.

Pourquoi

Convertir en minutes n'est pas cosmétique : c'est la seule façon de reconnaître un ordre de grandeur familier, celui d'une orbite basse, et donc de valider le calcul.

Étape 4

$K=\dfrac{GMm}{2r}=2{,}943\times 10^{10}$ J, $U=-\dfrac{GMm}{r}=-5{,}886\times 10^{10}$ J, donc $E=K+U=-2{,}943\times 10^{10}$ J.

Pourquoi

Les trois termes s'écrivent séparément pour que la relation $E=-K=\dfrac{U}{2}$ apparaisse, car c'est elle qui sert de vérification et qui tombe en question de cours.

Étape 5

Au sol, immobile : $E_{sol}=-\dfrac{GMm}{R}=-6{,}256\times 10^{10}$ J. L'énergie à fournir vaut donc $\Delta E=E_{orbite}-E_{sol}=-2{,}943\times 10^{10}+6{,}256\times 10^{10}=3{,}31\times 10^{10}$ J.

Pourquoi

On compare deux énergies mécaniques totales, jamais deux hauteurs. La différence englobe d'un coup la montée et la mise en vitesse, ce que $mgh$ ne fait pas.

Étape 6

Comparaison avec l'approximation du secondaire : $mgh=1000\times 9{,}8\times 4{,}00\times 10^{5}=3{,}92\times 10^{9}$ J, soit huit fois moins que la réponse correcte.

Pourquoi

Le facteur $8$ montre où va réellement l'énergie d'un lancement : pas à monter, mais à accélérer jusqu'à $7{,}67$ km/s. C'est l'argument qui rend la formule du secondaire inutilisable ici.

Étape 7

Vérifications : $E<0$ comme il se doit pour une orbite fermée, $E=-K$ , et $v_{lib}=\sqrt{2}\,v=1{,}085\times 10^{4}$ m/s reste supérieure à la vitesse orbitale.

Pourquoi

Trois contrôles indépendants sur des relations structurelles, pas sur l'arithmétique. Ils attrapent un signe perdu ou un facteur $2$ égaré, qui sont les deux erreurs les plus fréquentes ici.

Conclusion rédigée

« Le satellite décrit son orbite à $7{,}67$ km/s en $92{,}4$ minutes, avec une énergie mécanique de $-2{,}94\times 10^{10}$ J; l'amener du sol jusque-là a coûté $3{,}31\times 10^{10}$ J, dont la plus grande part sert à la mise en vitesse et non à la montée. »

L'erreur classique sur cet exercice : Répondre $3{,}92\times 10^{9}$ J en utilisant $mgh$ . L'ordre de grandeur est faux d'un facteur $8$ , et surtout la réponse ignore complètement l'énergie cinétique orbitale, qui est le vrai coût d'un lancement.

À savoir par cœur

• $F=G\dfrac{m_{1}m_{2}}{r^{2}}$ avec $r$ entre les CENTRES; à l'altitude $h$ , $r=R+h$ .
• Orbite circulaire : $v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ , indépendante de la masse du satellite, et DÉCROISSANTE avec $r$ .
• Kepler : $T^{2}=\dfrac{4\pi^{2}}{GM}r^{3}$ , avec $r$ le rayon de l'ORBITE, ou le demi-grand axe pour une ellipse.
• $U=-\dfrac{GMm}{r}$ , négative. $mgh$ n'est valable que pour $h\ll R$ .
• Orbite circulaire : $E=-\dfrac{GMm}{2r}=-K=\dfrac{U}{2}$ , toujours NÉGATIVE.
• $v_{lib}=\sqrt{2}\,v_{orbite}$ à la même distance, soit $11{,}2$ km/s depuis le sol terrestre.
• Théorème de la coquille : $g$ est maximal à la SURFACE, croît linéairement en dessous, décroît en $1/r^{2}$ au-dessus.
• $GM_{Terre}=3{,}99\times 10^{14}$ m $^{3}$ /s $^{2}$ : à calculer une fois, à réutiliser partout.

Questions fréquentes

Pourquoi les astronautes flottent-ils s'il y a encore de la gravité ?

Parce qu'ils sont en chute libre permanente avec leur station. À quatre cents kilomètres d'altitude, la pesanteur vaut encore près de quatre-vingt-dix pour cent de sa valeur au sol : c'est justement elle qui courbe leur trajectoire en cercle. Ce qui disparaît, c'est la force de contact du plancher, pas la gravité.

Un satellite plus haut va-t-il plus vite ou moins vite ?

Moins vite. La vitesse orbitale vaut la racine carrée du produit de la constante de gravitation par la masse de l'astre, divisé par le rayon de l'orbite. Elle diminue donc quand le rayon augmente. Le satellite géostationnaire, six fois plus loin que la station spatiale, ne va qu'à trois kilomètres par seconde contre près de huit.

Pourquoi l'énergie potentielle gravitationnelle est-elle négative ?

Parce que la référence est choisie à l'infini, où elle vaut zéro. Tout corps plus proche que l'infini a donc une énergie potentielle inférieure à zéro, c'est-à-dire négative. Le signe traduit exactement le fait que le corps est lié : il faudrait lui fournir de l'énergie pour l'emmener à l'infini.

Quand peut-on encore utiliser la formule mgh ?

Uniquement quand la variation d'altitude est très petite devant le rayon de l'astre, disons quelques kilomètres sur Terre. Au-delà, la pesanteur n'est plus constante et il faut passer par l'expression complète en moins G M m sur r. Pour une orbite, cette formule est doublement inadaptée puisqu'elle ignore l'énergie cinétique.

Quelle différence entre vitesse orbitale et vitesse de libération ?

La vitesse orbitale est celle qui maintient un corps sur un cercle à une distance donnée. La vitesse de libération est celle qui lui permet de ne jamais revenir, en annulant son énergie mécanique. À une même distance, la seconde vaut exactement racine de deux fois la première, soit quarante et un pour cent de plus.

La pesanteur augmente-t-elle si on descend dans un puits profond ?

Non, elle diminue. La couche de matière située au-dessus de vous n'exerce aucune force nette, en vertu du théorème de la coquille : seule la masse encore plus profonde compte. La pesanteur est donc maximale à la surface, décroît linéairement vers le centre où elle s'annule, et décroît en un sur r au carré au-dessus.

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Exercices corrigés : La gravitation universelle

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

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Fiche de révision : la gravitation universelle (203-SN1-RE, ancien 203-NYA)

L'essentiel

Les formules et la distance qu'elles utilisent

L'énergie, avec sa référence à l'infini

Le champ à l'intérieur et à l'extérieur d'un astre

Les pièges qui coûtent des points

1. Utiliser l'altitude comme distance dans la loi de la gravitation

2. Croire que l'apesanteur des astronautes signifie l'absence de gravité

3. Employer mghmghmgh pour une variation d'altitude comparable au rayon terrestre

4. Perdre le signe moins de l'énergie potentielle gravitationnelle

5. Faire dépendre la vitesse orbitale de la masse du satellite

6. Confondre vitesse orbitale et vitesse de libération

7. Croire qu'un satellite plus haut se déplace plus vite

8. Utiliser le rayon de l'astre au lieu du rayon de l'orbite dans la loi de Kepler

9. Croire que la pesanteur augmente quand on descend sous la surface

Quelle méthode choisir

Force ou énergie

Quelle distance mettre dans la formule

La rédaction attendue

Calculer une orbite circulaire de bout en bout

Peser un astre à partir d'un de ses satellites

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Un satellite en orbite basse, de la vitesse au coût énergétique

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Pourquoi les astronautes flottent-ils s'il y a encore de la gravité ?

Un satellite plus haut va-t-il plus vite ou moins vite ?

Pourquoi l'énergie potentielle gravitationnelle est-elle négative ?

Quand peut-on encore utiliser la formule mgh ?

Quelle différence entre vitesse orbitale et vitesse de libération ?

La pesanteur augmente-t-elle si on descend dans un puits profond ?

Exercices corrigés : La gravitation universelle

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3. Employer $mgh$ pour une variation d'altitude comparable au rayon terrestre