Mécanique 203-SN1-RE (ancien 203-NYA) • Complément québécois de Première et cégep à Montréal

Fiche de révision : l'équilibre statique (203-SN1-RE, ancien 203-NYA)

Q: Pourquoi la somme des forces nulle ne suffit-elle pas à l'équilibre ?

Parce qu'elle ne concerne que la translation. Deux forces égales et opposées appliquées en deux points différents forment un couple : leur somme est nulle, mais elles font tourner l'objet indéfiniment. Il faut donc ajouter la condition sur les moments, qui interdit la rotation. Les deux conditions décrivent deux mouvements distincts.

Q: Comment choisir le pivot dans un problème de statique ?

On le place sur une force inconnue, de préférence celle dont on ignore aussi la direction, comme une articulation. Son moment devient alors nul et l'équation ne contient plus qu'une inconnue. Comme la somme des moments est nulle autour de n'importe quel point, ce choix est entièrement libre et c'est la principale technique du chapitre.

Q: Pourquoi précise-t-on que le mur est lisse dans le problème de l'échelle ?

Parce qu'une surface lisse ne peut exercer qu'une force perpendiculaire à elle-même, donc ici strictement horizontale. Sans cette précision, il y aurait une quatrième inconnue, le frottement du mur, pour seulement trois équations, et le problème serait insoluble au niveau du cégep.

Q: Quand un objet bascule-t-il plutôt que de glisser ?

Il bascule quand la verticale passant par son centre de gravité sort de sa base d'appui, et il glisse quand la force horizontale dépasse le frottement statique maximal. Ce sont deux seuils indépendants, qu'il faut calculer séparément : celui qui est atteint en premier décide. Pousser bas favorise le glissement, pousser haut favorise le basculement.

Q: Que signifie une réaction d'appui négative ?

Elle signifie que l'appui devrait tirer vers le bas au lieu de pousser vers le haut. Un simple support ne peut pas le faire, il faut un ancrage ou un boulon. Ce n'est donc pas une erreur de calcul mais une information sur la structure, et c'est souvent le point que la question de raisonnement attend.

Q: Où s'applique une charge répartie sur une poutre ?

Au milieu de la zone qu'elle recouvre, si elle est uniforme. On la remplace par une force unique égale à la charge par unité de longueur multipliée par la longueur chargée, placée au centre de cette longueur. La placer à l'extrémité de la poutre double son moment et fausse toutes les réactions.

En statique, tout se joue avant le calcul. Un pivot bien choisi élimine deux inconnues d'un coup et transforme un système de trois équations en une seule ligne. Un pivot mal choisi laisse trois inconnues et donne l'impression, fausse, que l'énoncé manque de données.

Cette fiche donne la méthode dans l'ordre où elle se rédige, et rassemble les erreurs qui coûtent réellement des points : la condition oubliée, le centre de gravité mal placé, la surface lisse à qui l'on prête un frottement, et les deux modes de rupture d'équilibre qu'il faut tester séparément.

Le fil du chapitre

Deux conditions, pas une : $\Sigma\vec{F}=\vec{0}$ ET $\Sigma\tau=0$ . La première seule laisse un objet tourner sur place, et c'est exactement ce que le correcteur vérifie en premier sur une copie de statique.

Ce chapitre fait partie de Mécanique 203-SN1-RE (ancien 203-NYA)

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (11 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Nombres réels, racines et ensemblesSecondaire 3, Mathématiques
2Théorème de Pythagore et réciproqueSecondaire 3, Mathématiques
3Relations métriques et trigonométrie du triangle rectangleSecondaire 4 SN4, Mathématiques
4Les fonctions quadratiquesSecondaire 5 SN5, Mathématiques
5Les vecteurs et la géométrie vectorielleSecondaire 5 SN5, Mathématiques
6Cinématique et le MRUASecondaire 5 SN5
7Dynamique et les lois de NewtonSecondaire 5 SN5
8Limites et continuitéCalcul différentiel (201-NYA)
9La dérivée et ses règlesCalcul différentiel (201-NYA)
10Cinématique en une et deux dimensions
11Dynamique : lois de Newton et frottement

L'essentiel

Deux conditions, et pourquoi une seule ne suffit pas

• $\Sigma F_{x}=0$ , $\Sigma F_{y}=0$ et $\Sigma\tau=0$ : trois équations en deux dimensions, donc trois inconnues au maximum.
• Deux forces égales et opposées appliquées en des points différents forment un COUPLE : la résultante est nulle, le moment ne l'est pas, et l'objet tourne.
• À l'équilibre, $\Sigma\tau=0$ par rapport à N'IMPORTE QUEL point, y compris un point extérieur au solide. C'est ce qui autorise à choisir le pivot le plus commode.
• Convention de signe : positif dans le sens antihoraire. Elle doit être la même pour tous les termes de l'équation.
• Une force appliquée AU pivot a un moment nul : c'est tout l'intérêt de placer le pivot sur une inconnue.

Les deux forces sont égales et opposées, donc

\Sigma\vec{F}=\vec{0}

: la première condition est remplie. Appliquées en deux points différents, leurs moments s'ajoutent, et la barre tourne.

Le nombre d'équations est fixe, le nombre d'inconnues ne l'est pas : au-delà de trois, le problème est hyperstatique et sort du programme. Si vous en comptez quatre, une hypothèse a été oubliée, souvent « la surface est lisse ».

Où s'applique chaque force

• Le poids d'un solide s'applique à son CENTRE DE GRAVITÉ, qui n'est au milieu que si le solide est homogène et symétrique.
• Solide composé : $x_{G}=\dfrac{\sum m_{i}x_{i}}{\sum m_{i}}$ . Pour une plaque homogène, les masses sont proportionnelles aux AIRES.
• Plaque percée : traiter le trou comme une masse NÉGATIVE, ce qui évite tout découpage compliqué.
• Charge répartie uniformément sur une longueur $\ell$ : elle équivaut à sa résultante appliquée au MILIEU de $\ell$ , pas à l'extrémité de la poutre.
• Une surface LISSE ne peut exercer qu'une force NORMALE à elle-même : c'est cette hypothèse qui rend le problème de l'échelle soluble.

Un corps posé reste en équilibre tant que la verticale issue de son centre de gravité tombe DANS le polygone de sustentation. Dès qu'elle en sort, il bascule, quelle que soit sa masse.

Les deux façons de perdre l'équilibre

• GLISSER : la force motrice horizontale dépasse $\mu_{s}N$ . La condition ne fait intervenir que des forces.
• BASCULER : la verticale du centre de gravité sort de la base d'appui, ou de façon équivalente la normale devrait s'appliquer hors de la surface de contact.
• Les deux conditions sont INDÉPENDANTES : il faut les tester toutes les deux et retenir celle qui se produit en premier.
• Une force appliquée haut favorise le basculement; une force appliquée bas favorise le glissement. C'est pourquoi on pousse un meuble en bas pour le déplacer.
• Contrainte et déformation : $\sigma=\dfrac{F}{A}$ , $\varepsilon=\dfrac{\Delta L}{L_{0}}$ , et $\sigma=E\varepsilon$ avec $E$ le module de Young, en pascals.

L'énoncé qui demande « que se passe-t-il en premier » attend explicitement les deux calculs et une comparaison. Un seul des deux, même juste, ne répond pas à la question posée.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Conclure à l'équilibre avec la seule condition sur les forces

toute la question de raisonnement, 4 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La somme des forces est nulle, donc la poutre est en équilibre. »

Ce qu'il faut écrire

« $\Sigma\vec{F}=\vec{0}$ garantit seulement que le centre de masse n'accélère pas. Il faut encore $\Sigma\tau=0$ pour exclure une rotation. »

Pourquoi : Un couple de forces a une résultante nulle et fait pourtant tourner l'objet indéfiniment. Les deux conditions décrivent deux mouvements différents, aucune ne remplace l'autre.

2. Changer de pivot au milieu d'une même équation de moments

toute la question, 6 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le moment du poids par rapport à l'appui gauche, plus celui de la charge par rapport à l'appui droit, égale zéro. »

Ce qu'il faut écrire

« Tous les moments d'une même équation se calculent par rapport au MÊME pivot, déclaré en tête de ligne : « moments par rapport à l'appui gauche ». »

Pourquoi : $\Sigma\tau=0$ est vrai autour de chaque point pris séparément, jamais autour de deux points mélangés. L'erreur est invisible dans le calcul et donne un résultat plausible mais faux.

3. Placer le poids au milieu géométrique d'un corps non homogène

4 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La poutre mesure $6{,}0$ m, donc son poids s'applique à $3{,}0$ m de l'extrémité, même si elle porte un bloc soudé à $5{,}0$ m. »

Ce qu'il faut écrire

« Le poids de la poutre seule s'applique bien à $3{,}0$ m, mais le bloc a son propre poids appliqué à $5{,}0$ m. Deux forces, deux points d'application, ou alors un centre de gravité recalculé. »

Pourquoi : Le centre de gravité est une moyenne pondérée par les masses. Additionner deux corps sans recalculer revient à supposer qu'ils ont la même masse et la même position.

4. Donner une force de frottement à un mur déclaré lisse

toute la question, 8 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'échelle appuie sur le mur lisse : le mur exerce une normale et un frottement qui l'empêche de glisser vers le bas. »

Ce qu'il faut écrire

« Une surface LISSE n'exerce qu'une force NORMALE à elle-même : ici, une force strictement HORIZONTALE. C'est ce qui laisse trois inconnues pour trois équations. »

Pourquoi : Sans cette hypothèse, le problème aurait quatre inconnues et serait insoluble au niveau du cégep. Le mot « lisse » de l'énoncé n'est pas un détail de décor, c'est la donnée qui ferme le système.

5. Écrire le frottement au sol égal à $\mu_{s}N$ alors que l'échelle ne glisse pas encore

3 points, et une position limite fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'échelle est posée et immobile, donc $f=\mu_{s}N=0{,}40\times 882=353$ N. »

Ce qu'il faut écrire

« Tant qu'elle ne glisse pas, $f$ vaut ce que l'équilibre horizontal exige, c'est-à-dire $N_{mur}$ . On n'écrit $f=\mu_{s}N$ QUE pour chercher la position limite. »

Pourquoi : C'est le même piège que sur le bloc immobile du chapitre de dynamique, dans un décor différent. L'égalité ne vaut qu'à l'instant du décrochage, jamais avant.

6. Ne tester qu'un seul des deux modes de rupture d'équilibre

toute la question, 5 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La caisse commence à glisser à $F=180$ N, donc c'est la réponse. »

Ce qu'il faut écrire

« Il faut aussi calculer la force de basculement, ici $F=140$ N. Comme $140<180$ , la caisse BASCULE avant de glisser. »

Pourquoi : Les deux conditions sont indépendantes et se produisent à des seuils différents. La question « que se passe-t-il en premier » exige les deux nombres, puis leur comparaison.

7. Remplacer une charge répartie par une force appliquée au mauvais point

4 points, et un moment doublé

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La charge de $200$ N/m s'étale sur les $3{,}0$ m de gauche : je la remplace par $600$ N appliqués au bout de la poutre. »

Ce qu'il faut écrire

« $600$ N appliqués au MILIEU de la zone chargée, soit à $1{,}5$ m de l'extrémité gauche. La résultante d'une charge uniforme passe par le centre de la zone. »

Tant que la verticale issue de

G

tombe entre les deux bords de la base, le corps revient tout seul. À droite, elle passe exactement par l'arête : un degré de plus et le poids fait basculer au lieu de redresser.

Pourquoi : La résultante d'une distribution uniforme s'applique en son centre de gravité, exactement comme le poids d'une poutre homogène. La placer au bout multiplie son moment par deux.

8. Choisir un pivot qui ne simplifie rien

pas de points perdus, mais dix minutes et un système inutile

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Je prends les moments par rapport au centre de la poutre, et j'obtiens une équation avec les deux réactions d'appui inconnues. »

Ce qu'il faut écrire

« On place le pivot SUR l'une des deux réactions : son moment devient nul et l'équation ne contient plus qu'une seule inconnue, calculable immédiatement. »

Pourquoi : Le pivot est un choix libre, donc un outil. Le prendre au centre par réflexe, c'est renoncer à sa seule vertu : annuler le moment de ce qu'on ne connaît pas.

9. Oublier de vérifier le signe d'une réaction d'appui

2 points, et la conclusion physique manquée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La réaction du deuxième appui vaut $-120$ N, donc j'ai fait une erreur de calcul quelque part. »

Ce qu'il faut écrire

« Une réaction négative signifie que l'appui doit TIRER vers le bas : il faut un ancrage, un simple support ne suffit pas. C'est une réponse physique, pas une erreur. »

Pourquoi : Un support simple ne peut que pousser. Une réaction négative est donc une information précieuse sur la structure, et c'est souvent la question de raisonnement du problème.

Quelle méthode choisir

Où placer le pivot

La liste des forces inconnues, avant d'écrire la moindre équation

Si deux réactions d'appui sont inconnues → pivot sur l'une des deux, l'équation donne l'autre directement

Exemple : poutre sur deux appuis, réaction droite obtenue en une ligne
Si une articulation ou un axe exerce une force de direction inconnue → pivot sur cette articulation, ce qui élimine DEUX inconnues d'un coup

Exemple : flèche de grue articulée au mât, échelle appuyée au sol
Si on cherche justement la force appliquée au pivot évident → pivot ailleurs, puis revenir à $\Sigma F=0$ pour obtenir la force cherchée

Exemple : réaction du sol sur une échelle, obtenue par la somme verticale
Si toutes les forces sont verticales → n'importe quel point de la poutre convient, choisir celui qui donne les bras de levier les plus simples

Exemple : poutre horizontale avec charges suspendues
Si trois forces non parallèles maintiennent l'équilibre → leurs lignes d'action sont CONCOURANTES, et le point de concours est le meilleur pivot

ce théorème donne la direction de la troisième force sans aucun calcul

Une fois le pivot choisi, l'écrire en toutes lettres au début de la ligne. Un correcteur qui ne sait pas où est le pivot ne peut valider aucun signe, et une équation dont les signes ne sont pas validables ne rapporte rien.

Quelle condition écrire selon la question

Le verbe de la question

Si « déterminer la réaction », « la tension du câble », « la force de l'articulation » → les trois équations d'équilibre, avec un pivot bien choisi

Exemple : poutre, grue, enseigne suspendue
Si « jusqu'où peut-on aller », « quelle distance maximale », « à quelle position limite » → poser $f=\mu_{s}N$ à la limite, puis résoudre pour la position

Exemple : échelle, personne qui avance sur une planche en porte-à-faux
Si « l'objet glisse-t-il ou bascule-t-il » → calculer les DEUX seuils et comparer, jamais un seul

Exemple : caisse poussée à hauteur variable
Si « où se trouve le centre de gravité » → moyenne pondérée par les masses, ou par les aires si le corps est homogène, avec les trous comptés négativement

Exemple : plaque en L, disque percé
Si « de combien s'allonge le câble » → $\Delta L=\dfrac{FL_{0}}{AE}$ , après avoir obtenu $F$ par l'équilibre

la statique donne la force, le module de Young donne la déformation

Les questions de statique se posent presque toujours dans cet ordre : d'abord les réactions, ensuite la limite, enfin la déformation. Traiter la deuxième avant la première conduit à écrire $\mu_{s}N$ avec un $N$ qu'on n'a pas encore calculé.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Résoudre un problème d'échelle contre un mur

Quand l'utiliser : Un objet allongé s'appuie d'un côté sur le sol rugueux et de l'autre sur une paroi, et l'on demande une force ou une position limite.

1 Faire le schéma et y placer TOUTES les forces avec leur point d'application : normale du sol, frottement du sol, normale du mur, poids de l'échelle en son milieu, poids de la charge à sa position.
2 Écrire explicitement que le mur est lisse, donc que sa force est horizontale. C'est cette phrase qui rend le système soluble.
3 Écrire $\Sigma F_{y}=0$ pour obtenir la normale du sol, puis $\Sigma F_{x}=0$ pour relier le frottement à la force du mur.
4 Écrire $\Sigma\tau=0$ par rapport au PIED de l'échelle, ce qui annule d'un coup la normale du sol et le frottement.
5 Poser $f=\mu_{s}N$ pour la condition limite, puis résoudre pour la grandeur demandée et conclure en la comparant à la longueur de l'échelle.

Phrase de conclusion

« Le mur étant lisse, sa force est horizontale. Les moments par rapport au pied de l'échelle donnent $N_{mur}L\sin\theta=mg\dfrac{L}{2}\cos\theta+Mgd\cos\theta$ ; à la limite du glissement $N_{mur}=\mu_{s}N=353$ N, d'où $d=3{,}74$ m, soit $75\%$ de la longueur de l'échelle. »

Le piège : Prendre le pivot en haut de l'échelle. L'équation contient alors trois inconnues au lieu d'une, et l'on croit qu'il manque une donnée.

Barème : Typiquement 2 points pour le schéma complet, 1 pour l'hypothèse du mur lisse, 3 pour les trois équations, 2 pour la condition limite, 1 pour la conclusion comparée à la longueur.

Localiser le centre de gravité d'un solide composé

Quand l'utiliser : L'énoncé décrit une plaque en plusieurs morceaux, une pièce percée, ou une poutre portant des masses.

1 Choisir une origine et un axe, et les dessiner : sans repère, aucune coordonnée n'a de sens.
2 Découper le solide en formes simples dont le centre de gravité est connu, et dresser un tableau à trois colonnes : masse ou aire, abscisse, produit.
3 Compter les trous comme des masses NÉGATIVES, avec leur propre abscisse.
4 Appliquer $x_{G}=\dfrac{\sum m_{i}x_{i}}{\sum m_{i}}$ , puis vérifier que le résultat tombe à l'intérieur du solide, ou expliquer pourquoi il n'y tombe pas.

Phrase de conclusion

« Avec l'origine au coin inférieur gauche, le tableau donne $\sum m_{i}=100$ kg et $\sum m_{i}x_{i}=420$ kg·m, donc $x_{G}=4{,}20$ m, valeur bien comprise entre les deux morceaux. »

Le piège : Un centre de gravité peut se trouver HORS de la matière, par exemple au centre d'un anneau ou dans le creux d'une pièce en L. Ce n'est pas une erreur, et il faut le dire plutôt que de corriger le résultat.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le second pivot, pris au hasard

Recalculer $\Sigma\tau$ autour d'un point différent, avec les valeurs trouvées. La somme doit être nulle là aussi, sinon une réaction est fausse.

Une somme de moments de $+180$ N·m autour de l'appui droit alors qu'elle est nulle autour du gauche : la réaction gauche est erronée.
La somme des réactions contre la charge totale

Pour une poutre horizontale, la somme des réactions verticales doit valoir exactement le poids total supporté. Le contrôle prend cinq secondes.

Deux réactions de $400$ N et $300$ N pour une charge totale de $800$ N : il manque $100$ N quelque part.
La position limite comparée à la géométrie

Une distance limite doit tomber dans les dimensions du problème. Un $d$ supérieur à la longueur de l'échelle signifie que l'échelle ne glisse jamais, ce qu'il faut alors dire.

Un $d=6{,}2$ m sur une échelle de $5{,}0$ m : soit une erreur, soit la conclusion que la personne peut monter jusqu'en haut.
Le cas limite de l'angle

Faire tendre l'angle de l'échelle vers $90°$ dans l'expression finale : le besoin de frottement doit tendre vers zéro, puisqu'une échelle verticale ne glisse pas.

Une expression qui exige plus de frottement quand l'échelle se redresse a interverti le sinus et le cosinus.
Le sens de chaque réaction relu sur le schéma

Vérifier qu'une réaction positive pousse bien dans le sens dessiné. Une valeur négative doit être interprétée, pas corrigée en silence.

Une réaction d'appui négative sur un porte-à-faux : l'appui doit retenir vers le bas, il faut un ancrage.

L'exercice type décortiqué

L'échelle contre un mur lisse, et jusqu'où l'on peut monter

Une échelle homogène de $5{,}00$ m et $20{,}0$ kg est appuyée contre un mur vertical LISSE, en faisant un angle de $60{,}0°$ avec le sol horizontal. Le coefficient de frottement statique entre le pied de l'échelle et le sol vaut $\mu_{s}=0{,}400$ .

Une personne de $70{,}0$ kg commence à monter. Jusqu'à quelle distance $d$ , mesurée le long de l'échelle depuis le pied, peut-elle monter avant que l'échelle ne se mette à glisser ? On prend $g=9{,}80$ m/s $^{2}$ .

Le mur étant lisse, sa force est strictement horizontale : c'est la seule hypothèse qui laisse trois inconnues pour trois équations. Le pied de l'échelle est le pivot rentable, puisque deux des trois y sont appliquées.

Étape 1

Forces en présence : $\vec{N}$ verticale et $\vec{f}$ horizontale au pied, $\vec{N}_{mur}$ horizontale en haut car le mur est LISSE, le poids de l'échelle $mg$ à $2{,}50$ m du pied, celui de la personne $Mg$ à la distance $d$ .

Pourquoi

Recenser les forces avec leur point d'application est la moitié du travail. La mention du mur lisse n'est pas une formalité : c'est elle qui supprime la quatrième inconnue et rend le système soluble.

Étape 2

$\Sigma F_{y}=0$ : $N=(m+M)g=(20{,}0+70{,}0)(9{,}80)=882$ N.

Pourquoi

L'équation verticale ne contient qu'une inconnue, puisque la force du mur est horizontale. On la traite donc en premier, et son résultat servira à la condition limite.

Étape 3

$\Sigma F_{x}=0$ : $f=N_{mur}$ . À la limite du glissement, $f=\mu_{s}N=0{,}400\times 882=353$ N, donc $N_{mur}=353$ N.

Pourquoi

L'égalité $f=\mu_{s}N$ n'est écrite qu'ici, parce que la question porte explicitement sur la position LIMITE. Tant que la personne est plus bas, $f$ vaut moins que cela.

Étape 4

Moments par rapport au PIED de l'échelle : $N_{mur}(L\sin 60°)=mg\left(\dfrac{L}{2}\cos 60°\right)+Mg\,(d\cos 60°)$ , soit $353\times 4{,}33=20{,}0(9{,}80)(2{,}50)(0{,}500)+70{,}0(9{,}80)\,d\,(0{,}500)$ .

Pourquoi

Le pivot au pied annule d'un coup les moments de $N$ et de $f$ , les deux forces qui y sont appliquées. C'est exactement la raison pour laquelle on ne prend jamais le pivot en haut ici.

Étape 5

$1528=245+343\,d$ , donc $d=\dfrac{1283}{343}=3{,}74$ m.

Pourquoi

Le calcul se réduit à une équation du premier degré à une inconnue, uniquement grâce au choix du pivot. Avec un autre pivot, il faudrait résoudre un système de trois équations.

Étape 6

Comparaison : $3{,}74$ m sur $5{,}00$ m, soit $74{,}8\%$ de l'échelle, à une hauteur de $3{,}74\sin 60°=3{,}24$ m au-dessus du sol.

Pourquoi

Une distance le long de l'échelle n'est pas une hauteur. Le fait que le résultat soit inférieur à la longueur totale confirme aussi qu'il existe bien une position limite, ce qui n'était pas garanti d'avance.

Étape 7

Vérification par le cas limite : avec $\theta=90°$ , le terme $\cos\theta$ s'annule et $d$ deviendrait infini, ce qui traduit bien qu'une échelle verticale ne glisse jamais.

Pourquoi

Ce test valide la structure de la formule, pas seulement l'arithmétique. Si le cas limite donnait un $d$ nul, le sinus et le cosinus auraient été intervertis.

Conclusion rédigée

« La personne peut monter jusqu'à $3{,}74$ m le long de l'échelle, soit environ les trois quarts de sa longueur et une hauteur de $3{,}24$ m; au-delà, la force exigée du mur dépasse ce que le frottement du sol peut équilibrer et l'échelle glisse. »

L'erreur classique sur cet exercice : Prendre le pivot en haut de l'échelle. L'équation contient alors $N$ , $f$ ET $d$ , et l'on conclut qu'il manque une donnée. Le problème est parfaitement déterminé, c'est le pivot qui était mal placé.

À savoir par cœur

• Équilibre : $\Sigma F_{x}=0$ , $\Sigma F_{y}=0$ ET $\Sigma\tau=0$ . Trois équations, trois inconnues au plus.
• $\Sigma\tau=0$ autour de N'IMPORTE QUEL point : choisir celui qui annule le plus d'inconnues.
• Une force appliquée au pivot a un moment nul; une force dont la ligne d'action passe par le pivot aussi.
• Une surface LISSE n'exerce qu'une force NORMALE. C'est l'hypothèse qui ferme le système de l'échelle.
• Le poids s'applique au centre de gravité : $x_{G}=\dfrac{\sum m_{i}x_{i}}{\sum m_{i}}$ , trous comptés en négatif.
• Charge répartie uniforme : résultante au MILIEU de la zone chargée.
• Glisser et basculer sont deux seuils indépendants : les calculer tous les deux et comparer.
• $\sigma=\dfrac{F}{A}$ , $\varepsilon=\dfrac{\Delta L}{L_{0}}$ , $\sigma=E\varepsilon$ , donc $\Delta L=\dfrac{FL_{0}}{AE}$ .

Questions fréquentes

Pourquoi la somme des forces nulle ne suffit-elle pas à l'équilibre ?

Parce qu'elle ne concerne que la translation. Deux forces égales et opposées appliquées en deux points différents forment un couple : leur somme est nulle, mais elles font tourner l'objet indéfiniment. Il faut donc ajouter la condition sur les moments, qui interdit la rotation. Les deux conditions décrivent deux mouvements distincts.

Comment choisir le pivot dans un problème de statique ?

On le place sur une force inconnue, de préférence celle dont on ignore aussi la direction, comme une articulation. Son moment devient alors nul et l'équation ne contient plus qu'une inconnue. Comme la somme des moments est nulle autour de n'importe quel point, ce choix est entièrement libre et c'est la principale technique du chapitre.

Pourquoi précise-t-on que le mur est lisse dans le problème de l'échelle ?

Parce qu'une surface lisse ne peut exercer qu'une force perpendiculaire à elle-même, donc ici strictement horizontale. Sans cette précision, il y aurait une quatrième inconnue, le frottement du mur, pour seulement trois équations, et le problème serait insoluble au niveau du cégep.

Quand un objet bascule-t-il plutôt que de glisser ?

Il bascule quand la verticale passant par son centre de gravité sort de sa base d'appui, et il glisse quand la force horizontale dépasse le frottement statique maximal. Ce sont deux seuils indépendants, qu'il faut calculer séparément : celui qui est atteint en premier décide. Pousser bas favorise le glissement, pousser haut favorise le basculement.

Que signifie une réaction d'appui négative ?

Elle signifie que l'appui devrait tirer vers le bas au lieu de pousser vers le haut. Un simple support ne peut pas le faire, il faut un ancrage ou un boulon. Ce n'est donc pas une erreur de calcul mais une information sur la structure, et c'est souvent le point que la question de raisonnement attend.

Où s'applique une charge répartie sur une poutre ?

Au milieu de la zone qu'elle recouvre, si elle est uniforme. On la remplace par une force unique égale à la charge par unité de longueur multipliée par la longueur chargée, placée au centre de cette longueur. La placer à l'extrémité de la poutre double son moment et fausse toutes les réactions.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : L'équilibre statique

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

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150 minutes

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Fiche de révision : l'équilibre statique (203-SN1-RE, ancien 203-NYA)

L'essentiel

Deux conditions, et pourquoi une seule ne suffit pas

Où s'applique chaque force

Les deux façons de perdre l'équilibre

Les pièges qui coûtent des points

1. Conclure à l'équilibre avec la seule condition sur les forces

2. Changer de pivot au milieu d'une même équation de moments

3. Placer le poids au milieu géométrique d'un corps non homogène

4. Donner une force de frottement à un mur déclaré lisse

5. Écrire le frottement au sol égal à μsN\mu_{s}Nμs​N alors que l'échelle ne glisse pas encore

6. Ne tester qu'un seul des deux modes de rupture d'équilibre

7. Remplacer une charge répartie par une force appliquée au mauvais point

8. Choisir un pivot qui ne simplifie rien

9. Oublier de vérifier le signe d'une réaction d'appui

Quelle méthode choisir

Où placer le pivot

Quelle condition écrire selon la question

La rédaction attendue

Résoudre un problème d'échelle contre un mur

Localiser le centre de gravité d'un solide composé

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

L'échelle contre un mur lisse, et jusqu'où l'on peut monter

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Pourquoi la somme des forces nulle ne suffit-elle pas à l'équilibre ?

Comment choisir le pivot dans un problème de statique ?

Pourquoi précise-t-on que le mur est lisse dans le problème de l'échelle ?

Quand un objet bascule-t-il plutôt que de glisser ?

Que signifie une réaction d'appui négative ?

Où s'applique une charge répartie sur une poutre ?

Exercices corrigés : L'équilibre statique

Voir aussi

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5. Écrire le frottement au sol égal à $\mu_{s}N$ alors que l'échelle ne glisse pas encore