Mécanique 203-SN1-RE (ancien 203-NYA) • Complément québécois de Première et cégep à Montréal

Fiche de révision : la rotation des corps rigides (203-SN1-RE, ancien 203-NYA)

La rotation reprend toute la mécanique déjà vue en changeant chaque symbole : $x$ devient $\theta$ , $m$ devient $I$ , $F$ devient $\tau$ . Les équations sont donc connues d'avance. La difficulté est ailleurs : $I$ dépend de l'axe choisi, et une même pièce a autant de moments d'inertie que d'axes possibles.

Cette fiche rassemble les erreurs propres à ce chapitre : l'axe non nommé, le bras de levier confondu avec la distance, la poulie idéalisée à tort, et les deux grandeurs, énergie et moment cinétique, dont une seule se conserve quand le corps change de forme.

Le fil du chapitre

Un moment d'inertie n'existe pas tout seul : il existe PAR RAPPORT À UN AXE. Tant que l'axe n'est pas nommé, aucune formule du chapitre n'a de sens, et c'est de là que vient la majorité des points perdus.

Ce chapitre fait partie de Mécanique 203-SN1-RE (ancien 203-NYA)

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (8 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Cinématique et le MRUASecondaire 5 SN5
2Dynamique et les lois de NewtonSecondaire 5 SN5
3Transformation de l'énergieSecondaire 5 SN5
4La dérivée et ses règlesCalcul différentiel (201-NYA)
5Cinématique en une et deux dimensions
6Dynamique : lois de Newton et frottement
7Travail, énergie et puissance
8Quantité de mouvement et collisions

Notions couvertes

Moment de force
Bras de levier
Moment d'inertie
Théorème des axes parallèles
Accélération angulaire
Accélération tangentielle
Énergie cinétique de rotation
Roulement sans glissement
Moment cinétique
Conservation du moment cinétique

L'essentiel

Le dictionnaire translation-rotation

• $x\leftrightarrow\theta$ , $v\leftrightarrow\omega$ , $a\leftrightarrow\alpha$ , $m\leftrightarrow I$ , $F\leftrightarrow\tau$ , $p=mv\leftrightarrow L=I\omega$ , $\tfrac{1}{2}mv^{2}\leftrightarrow\tfrac{1}{2}I\omega^{2}$ .
• Les quatre équations du MRUA se transposent telles quelles : $\omega=\omega_{0}+\alpha t$ , $\theta=\omega_{0}t+\tfrac{1}{2}\alpha t^{2}$ , $\omega^{2}=\omega_{0}^{2}+2\alpha\theta$ .
• Liens avec un point du solide à la distance $r$ de l'axe : $v=\omega r$ , $a_{t}=\alpha r$ , $a_{c}=\omega^{2}r$ .
• TOUS les angles sont en RADIANS dans ces relations. Un $\theta$ en degrés donne un $v$ faux d'un facteur $57{,}3$ .
• $a_{t}$ et $a_{c}$ sont perpendiculaires : l'accélération totale d'un point vaut $\sqrt{a_{t}^{2}+a_{c}^{2}}$ , jamais $a_{t}$ seule.

Le dictionnaire ne dispense pas de réfléchir : $I$ ne se comporte pas comme $m$ , puisqu'il change quand on change d'axe, alors que la masse, elle, ne change jamais.

Moment de force : ce n'est pas la distance qui compte

• $\tau=rF\sin\phi$ , où $\phi$ est l'angle entre $\vec{r}$ et $\vec{F}$ . Seule la composante PERPENDICULAIRE de la force fait tourner.
• Autre lecture, souvent plus rapide : $\tau=F\times d_{\perp}$ , où $d_{\perp}$ est la distance de l'axe à la LIGNE D'ACTION de la force, c'est le bras de levier.
• Une force dont la ligne d'action passe par l'axe a un moment NUL, quelle que soit sa grandeur.
• Le signe du moment se fixe par convention : positif dans le sens antihoraire, et cette convention vaut pour tout le problème.
• $\Sigma\tau=I\alpha$ est la deuxième loi de Newton en rotation, et elle s'écrit par rapport au MÊME axe que le $I$ utilisé.

Trois forces de MÊME grandeur appliquées au MÊME point : seule la perpendiculaire fait tourner à plein, l'oblique ne compte qu'à hauteur de son sinus, et celle qui pointe vers l'axe ne fait rien du tout.

Sur une clé, tirer perpendiculairement à la poignée est optimal; tirer dans l'axe de la poignée ne serre rien du tout, même en y mettant toute sa force. C'est le sinus qui le dit.

Moment d'inertie, roulement, moment cinétique

• Valeurs usuelles, par rapport à l'axe de symétrie : anneau $MR^{2}$ ; disque ou cylindre plein $\tfrac{1}{2}MR^{2}$ ; sphère pleine $\tfrac{2}{5}MR^{2}$ ; tige par son centre $\tfrac{1}{12}ML^{2}$ ; tige par une extrémité $\tfrac{1}{3}ML^{2}$ .
• Théorème des axes parallèles : $I=I_{cm}+Md^{2}$ , avec $d$ la distance entre le nouvel axe et le centre de masse. Il ne s'applique QUE depuis l'axe du centre de masse.
• Roulement sans glissement : $v_{cm}=\omega R$ et $a_{cm}=\alpha R$ , avec $K=\tfrac{1}{2}Mv_{cm}^{2}+\tfrac{1}{2}I\omega^{2}$ .
• Dans une descente, le classement ne dépend ni de la masse ni du rayon, seulement du rapport $\dfrac{I}{MR^{2}}$ : sphère, puis cylindre, puis anneau, toujours dans cet ordre.
• $L=I\omega$ se conserve quand $\Sigma\tau_{ext}=0$ , MÊME si $I$ change en cours de route : c'est le patineur qui ramène ses bras.

Quand $I$ diminue de moitié à $L$ constant, $\omega$ double et $K=\tfrac{1}{2}I\omega^{2}$ DOUBLE aussi : l'énergie vient du travail musculaire du patineur, elle ne se conserve pas.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Utiliser un moment d'inertie sans dire par rapport à quel axe

toute la question, 6 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La tige de $2{,}0$ kg et $1{,}2$ m tourne autour d'un clou planté à son extrémité : $I=\tfrac{1}{12}ML^{2}=0{,}24$ kg·m $^{2}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\tfrac{1}{12}ML^{2}$ vaut pour un axe au CENTRE. Ici l'axe est à l'extrémité, donc $I=\tfrac{1}{12}ML^{2}+M\left(\tfrac{L}{2}\right)^{2}=\tfrac{1}{3}ML^{2}=0{,}96$ kg·m $^{2}$ . »

Même tige, même masse, même longueur : seul le point de rotation change, et le moment d'inertie est multiplié par quatre. C'est pourquoi une formule de moment d'inertie ne se recopie jamais sans vérifier l'axe.

Pourquoi : Le moment d'inertie mesure la répartition de la masse AUTOUR D'UN AXE donné. Changer l'axe change le résultat d'un facteur $4$ dans ce cas, et toute la dynamique avec.

2. Oublier le sinus, ou confondre la distance avec le bras de levier

3 points, et une accélération angulaire presque double

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La force de $50$ N est appliquée à $0{,}30$ m de l'axe, à $35°$ de la barre : $\tau=50\times 0{,}30=15$ N·m. »

Ce qu'il faut écrire

« $\tau=rF\sin 35°=0{,}30\times 50\times 0{,}574=8{,}6$ N·m. Le bras de levier vaut $0{,}30\sin 35°=0{,}172$ m, pas $0{,}30$ m. »

Pourquoi : Seule la composante perpendiculaire au bras fait tourner. La composante parallèle tire sur l'axe, où elle est intégralement reprise par le support, sans effet sur la rotation.

3. Garder la même tension de part et d'autre d'une poulie qui a une masse

toute la question, 8 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Poulie de $2{,}0$ kg, deux masses reliées : la corde a la même tension des deux côtés, donc $T_{1}=T_{2}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Si la poulie tourne et possède un moment d'inertie, c'est justement la DIFFÉRENCE de tension qui la fait tourner : $(T_{2}-T_{1})R=I\alpha$ , donc $T_{2}\neq T_{1}$ . »

Pourquoi : L'égalité des tensions est une conséquence de $I=0$ , pas une propriété des poulies. Un énoncé qui donne la masse de la poulie vous dit exactement qu'il ne faut pas l'utiliser.

4. Oublier l'énergie de rotation dans le bilan d'un objet qui roule

toute la question, 5 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La sphère roule sans glisser depuis une hauteur $h$ : $mgh=\tfrac{1}{2}mv^{2}$ , donc $v=\sqrt{2gh}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $mgh=\tfrac{1}{2}mv^{2}+\tfrac{1}{2}I\omega^{2}$ avec $\omega=\dfrac{v}{R}$ , donc $v=\sqrt{\dfrac{10gh}{7}}$ , soit $85\%$ de la vitesse d'un glissement sans frottement. »

Pourquoi : Un corps qui roule stocke une partie de son énergie dans la rotation. Répondre $\sqrt{2gh}$ revient à dire qu'il glisse sans tourner, ce que l'énoncé vient d'exclure.

5. Croire que la masse ou le rayon décide de la course sur un plan incliné

4 points sur les questions de raisonnement

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La grosse bille est plus lourde, donc elle arrive la première. »

Ce qu'il faut écrire

« La vitesse d'arrivée vaut $v=\sqrt{\dfrac{2gh}{1+I/MR^{2}}}$ : ni $M$ ni $R$ n'y figurent. Seule la FORME compte, et la sphère bat toujours le cylindre, qui bat toujours l'anneau. »

Pourquoi : Le rapport $\dfrac{I}{MR^{2}}$ vaut $0{,}4$ pour une sphère, $0{,}5$ pour un cylindre et $1$ pour un anneau, quels que soient la masse et la taille. C'est un nombre pur, propre à la géométrie.

6. Conserver l'énergie cinétique quand le patineur ramène ses bras

toute la question de raisonnement, 5 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le moment cinétique se conserve, donc l'énergie cinétique aussi : $\tfrac{1}{2}I\omega^{2}$ reste constante. »

Ce qu'il faut écrire

« $L=I\omega$ se conserve. Si $I$ est divisé par deux, $\omega$ double, et $K=\dfrac{L^{2}}{2I}$ DOUBLE. Le patineur a fourni ce travail avec ses muscles. »

Pourquoi : Ramener ses bras exige une force dirigée vers l'axe, qui travaille sur un déplacement radial. Ce travail est interne, donc il ne crée aucun moment de force, mais il ajoute bien de l'énergie.

7. Traiter le frottement du roulement sans glissement comme dissipatif

toute la question, 5 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La sphère roule sur $3{,}0$ m avec un frottement, donc il faut retrancher $f\times 3{,}0$ du bilan d'énergie. »

Ce qu'il faut écrire

« En roulement SANS glissement, le point de contact est immobile par rapport au sol : le frottement est STATIQUE, son point d'application ne se déplace pas, et il ne dissipe rien. »

Pourquoi : Le travail d'une force se calcule au point où elle s'applique. Ici ce point a une vitesse nulle à chaque instant, donc un travail nul, alors même que la force est indispensable pour faire tourner la sphère.

8. Travailler en degrés dans $v=\omega r$ ou dans les équations angulaires

toute la question, et un résultat 57 fois trop grand

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La roue tourne de $180°$ en $2{,}0$ s : $\omega=90$ deg/s, donc $v=90\times 0{,}30=27$ m/s. »

Ce qu'il faut écrire

« $180°=\pi$ rad, donc $\omega=1{,}57$ rad/s et $v=1{,}57\times 0{,}30=0{,}47$ m/s. »

Pourquoi : Le radian est le seul angle sans dimension qui rende $v=\omega r$ homogène. Le facteur d'erreur vaut exactement $\dfrac{180}{\pi}=57{,}3$ , et se repère à l'absurdité du résultat.

9. Additionner des moments d'inertie calculés par rapport à des axes différents

toute la question, 6 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le système est une tige plus une masse au bout : $I=\tfrac{1}{12}ML^{2}+mR^{2}$ , avec la tige par son centre et la masse par l'axe. »

Ce qu'il faut écrire

« Tous les termes doivent se rapporter au MÊME axe. Si l'axe est l'extrémité de la tige : $I=\tfrac{1}{3}ML^{2}+mL^{2}$ . »

Pourquoi : L'additivité des moments d'inertie n'est valable que pour un axe commun. Additionner deux nombres calculés autour de deux axes revient à additionner des grandeurs qui ne décrivent pas le même mouvement.

Quelle méthode choisir

Couple ou énergie

Ce que la question demande, exactement comme en translation

Si on demande une accélération angulaire, un temps, une tension → $\Sigma\tau=I\alpha$ pour le corps en rotation, plus $\Sigma F=ma$ pour les corps en translation

Exemple : machine d'Atwood à poulie pesante
Si on demande une vitesse angulaire après une descente ou une chute → bilan d'énergie avec $\tfrac{1}{2}I\omega^{2}$ inclus

Exemple : tige lâchée à l'horizontale, sphère qui descend une pente
Si on demande une vitesse après un CHANGEMENT DE FORME du système → conservation du moment cinétique, $I_{1}\omega_{1}=I_{2}\omega_{2}$

Exemple : patineur, plateforme sur laquelle quelqu'un marche
Si un objet tombe sur un disque en rotation et y adhère → conservation du moment cinétique, jamais de l'énergie

Exemple : argile lâchée sur un tourne-disque
Si on demande une force de contact ou une réaction d'axe → énergie d'abord pour $\omega$ , puis $\Sigma F=ma_{cm}$ avec $a_{c}=\omega^{2}r$

même enchaînement qu'au chapitre de l'énergie pour la tension d'un pendule

Le mot déclencheur de la conservation du moment cinétique est toujours un changement interne : « ramène ses bras », « se rapproche de l'axe », « adhère », « se détache ». Aucun de ces événements ne conserve l'énergie cinétique.

Quel moment d'inertie écrire

La géométrie du corps ET la position de l'axe, dans cet ordre

Si l'axe passe par le centre de symétrie → la formule du tableau telle quelle

Exemple : disque autour de son centre, $\tfrac{1}{2}MR^{2}$
Si l'axe est parallèle au précédent mais décalé de $d$ → $I=I_{cm}+Md^{2}$

Exemple : tige par une extrémité, $\tfrac{1}{12}ML^{2}+M\left(\tfrac{L}{2}\right)^{2}=\tfrac{1}{3}ML^{2}$
Si le corps est composé de plusieurs pièces → ramener CHAQUE pièce au même axe, puis additionner

Exemple : tige plus masse ponctuelle au bout : $\tfrac{1}{3}ML^{2}+mL^{2}$
Si le corps est un point matériel à la distance $r$ → $I=mr^{2}$ , sans aucun coefficient

Exemple : boule au bout d'un fil, satellite
Si l'énoncé donne la masse volumique et demande de démontrer la formule → $I=\displaystyle\int r^{2}\,dm$ , avec $dm$ exprimé en fonction de $dr$ ou $dx$

c'est la seule question du chapitre où le calcul intégral de 201-NYA sert directement

Avant d'écrire quoi que ce soit, dessiner l'axe et l'annoter sur la figure. Une copie qui montre l'axe se trompe rarement de formule; une copie qui ne le montre pas se trompe une fois sur deux.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Résoudre un système avec une poulie qui a une masse

Quand l'utiliser : L'énoncé donne la masse ou le moment d'inertie de la poulie, ou dit qu'elle n'est pas idéale.

1 Choisir un sens de mouvement présumé et le déclarer, puis orienter chaque axe dans ce sens, y compris le sens positif de rotation de la poulie.
2 Écrire un diagramme de corps libre par masse, avec des tensions DIFFÉRENTES de chaque côté de la poulie.
3 Écrire $\Sigma F=ma$ pour chaque masse, puis $\Sigma\tau=I\alpha$ pour la poulie, soit $(T_{2}-T_{1})R=I\alpha$ .
4 Ajouter la contrainte du fil qui ne glisse pas : $a=\alpha R$ , ce qui permet de remplacer $\alpha$ par $\dfrac{a}{R}$ et fait apparaître le terme $\dfrac{I}{R^{2}}$ .
5 Additionner les trois équations pour éliminer les deux tensions, obtenir $a$ , puis remonter à $T_{1}$ et $T_{2}$ séparément.

Phrase de conclusion

« Les trois équations, additionnées après substitution de $\alpha=\dfrac{a}{R}$ , donnent $a=\dfrac{(m_{2}-m_{1})g}{m_{1}+m_{2}+I/R^{2}}=2{,}18$ m/s $^{2}$ , puis $T_{1}=35{,}9$ N et $T_{2}=38{,}1$ N. »

Le piège : Le terme $\dfrac{I}{R^{2}}$ a la dimension d'une MASSE : c'est la masse effective que la poulie ajoute au système. Pour un disque plein, il vaut exactement $\dfrac{M}{2}$ , ce qui donne un contrôle immédiat du résultat.

Barème : Typiquement 2 points pour les deux diagrammes, 2 pour l'équation de la poulie, 1 pour la contrainte du fil, 2 pour la résolution, 1 pour les deux tensions distinctes.

Traiter un problème de conservation du moment cinétique

Quand l'utiliser : Le système change de forme, ou un corps vient s'ajouter à un corps déjà en rotation.

1 Justifier la conservation : nommer l'axe et dire pourquoi aucun moment de force extérieur n'agit autour de lui, les forces internes ne comptant pas.
2 Calculer $I_{1}$ dans l'état initial et $I_{2}$ dans l'état final, en ramenant chaque pièce au MÊME axe.
3 Écrire $I_{1}\omega_{1}=I_{2}\omega_{2}$ et isoler l'inconnue.
4 Si l'énoncé le demande, calculer séparément $K_{1}$ et $K_{2}$ et commenter l'écart, en désignant sa source.

Phrase de conclusion

« Aucun moment de force extérieur n'agit autour de l'axe vertical, donc $L$ se conserve : $I_{1}\omega_{1}=I_{2}\omega_{2}$ donne $\omega_{2}=6{,}0$ rad/s, et l'énergie cinétique passe de $18$ J à $36$ J, le travail des muscles fournissant la différence. »

Le piège : Écrire « le système est isolé » sans plus de précision. Le poids et la réaction de l'axe existent bel et bien : ce qu'il faut dire est que leur MOMENT autour de l'axe considéré est nul.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'axe nommé sur chaque moment d'inertie

Repasser sur chaque $I$ de la copie et écrire à côté l'axe auquel il se rapporte. Deux $I$ d'axes différents dans la même somme sautent alors aux yeux.

Un $\tfrac{1}{12}ML^{2}$ dans un problème où le clou est à l'extrémité : l'axe ne correspond pas.
Le terme $I/R^{2}$ lu comme une masse

Dans un problème de poulie, vérifier que ce terme a bien la dimension d'une masse et qu'il vaut $\dfrac{M}{2}$ pour un disque plein. C'est un contrôle en deux secondes.

Un $I/R^{2}=4{,}0$ kg pour une poulie de $2{,}0$ kg : le moment d'inertie utilisé n'est pas celui d'un disque.
Le mode radian de la calculatrice

Toutes les relations $v=\omega r$ , $a_{t}=\alpha r$ et $\theta=\omega t$ exigent des radians. Vérifier RAD à l'écran et convertir les degrés de l'énoncé dès la première ligne.

Une vitesse de $27$ m/s au bord d'une roue qui fait un demi-tour en deux secondes : facteur $57$ , l'angle est resté en degrés.
La comparaison avec le glissement sans frottement

Un corps qui roule arrive toujours PLUS LENTEMENT qu'un corps qui glisse sans frottement depuis la même hauteur, puisqu'une partie de l'énergie est passée en rotation.

Une sphère qui roule arrive à $3{,}74$ m/s là où un glissement pur donnerait $4{,}43$ m/s : plausible. Une valeur supérieure à $4{,}43$ ne l'est pas.
L'ordre d'arrivée sur un plan incliné

Sphère pleine, puis cylindre plein, puis anneau, quels que soient la masse et le rayon. Toute réponse qui inverse cet ordre, ou qui invoque la masse, est fausse.

Un raisonnement qui conclut que le plus lourd gagne : le résultat ne contient ni $M$ ni $R$ .

L'exercice type décortiqué

Machine d'Atwood avec une poulie qui a une masse

Deux blocs de masses $m_{1}=3{,}00$ kg et $m_{2}=5{,}00$ kg sont reliés par un fil inextensible passant sur une poulie assimilée à un disque plein de masse $M=2{,}00$ kg et de rayon $R=12{,}0$ cm.

Le fil ne glisse pas sur la poulie et l'axe est sans frottement. Déterminer l'accélération des blocs, puis les deux tensions du fil. On prend $g=9{,}80$ m/s $^{2}$ .

La poulie n'est pas un simple renvoi : elle tourne, donc elle absorbe une partie de l'accélération, et les deux brins du fil ne tirent PAS avec la même force. C'est cette différence qui la met en rotation.

Étape 1

Sens présumé : $m_{2}$ descend, $m_{1}$ monte, la poulie tourne dans le sens correspondant. Moment d'inertie : $I=\tfrac{1}{2}MR^{2}=\tfrac{1}{2}(2{,}00)(0{,}120)^{2}=0{,}0144$ kg·m $^{2}$ .

Pourquoi

Le sens présumé fixe le signe de tous les termes, y compris celui du moment de force. Sans cette déclaration, le signe du membre $I\alpha$ n'est pas justifiable.

Étape 2

Bloc $m_{2}$ : $m_{2}g-T_{2}=m_{2}a$ . Bloc $m_{1}$ : $T_{1}-m_{1}g=m_{1}a$ . Poulie : $(T_{2}-T_{1})R=I\alpha$ .

Pourquoi

Trois corps, trois équations. Écrire $T_{1}$ et $T_{2}$ distincts dès la première ligne évite l'erreur qui coûte le plus cher ici, et rend inutile toute justification supplémentaire.

Étape 3

Contrainte du fil qui ne glisse pas : $a=\alpha R$ , donc $\alpha=\dfrac{a}{R}$ et l'équation de la poulie devient $T_{2}-T_{1}=\dfrac{I}{R^{2}}a=1{,}00\,a$ .

Pourquoi

Le terme $\dfrac{I}{R^{2}}$ vaut ici $1{,}00$ kg : la poulie se comporte exactement comme une masse supplémentaire de $1{,}00$ kg, soit la moitié de sa masse réelle, ce qui est la signature du disque plein.

Étape 4

Somme des trois équations : $(m_{2}-m_{1})g=\left(m_{1}+m_{2}+\dfrac{I}{R^{2}}\right)a$ , donc $a=\dfrac{(5{,}00-3{,}00)(9{,}80)}{3{,}00+5{,}00+1{,}00}=\dfrac{19{,}6}{9{,}00}=2{,}18$ m/s $^{2}$ .

Pourquoi

Les deux tensions disparaissent d'elles-mêmes parce que chacune apparaît deux fois avec des signes opposés. C'est l'unique raison d'avoir orienté tous les axes dans le sens du mouvement présumé.

Étape 5

$T_{1}=m_{1}(g+a)=3{,}00(9{,}80+2{,}18)=35{,}9$ N et $T_{2}=m_{2}(g-a)=5{,}00(9{,}80-2{,}18)=38{,}1$ N.

Pourquoi

Chaque tension se lit dans l'équation de son propre bloc, jamais dans celle de la poulie : cette dernière ne donne que leur différence.

Étape 6

Vérification par l'équation de la poulie : $T_{2}-T_{1}=38{,}1-35{,}9=2{,}18$ N, à comparer à $\dfrac{I}{R^{2}}a=1{,}00\times 2{,}18=2{,}18$ N.

Pourquoi

On contrôle avec l'équation qui n'a pas servi à isoler les résultats. Si la poulie avait été sans masse, cette différence devrait être nulle, ce qui donne aussi le cas limite à tester.

Étape 7

Cas limite : avec $M=0$ , on retrouverait $a=\dfrac{19{,}6}{8{,}00}=2{,}45$ m/s $^{2}$ et $T_{1}=T_{2}=36{,}8$ N.

Pourquoi

Le cas limite valide la structure de la formule : la poulie pesante ralentit le système et sépare les tensions, exactement comme le sens physique le prévoit.

Conclusion rédigée

« Les blocs accélèrent à $2{,}18$ m/s $^{2}$ , le brin qui soutient $m_{1}$ est tendu à $35{,}9$ N et celui qui soutient $m_{2}$ à $38{,}1$ N, la différence de $2{,}18$ N étant exactement ce qui met la poulie en rotation. »

L'erreur classique sur cet exercice : Poser $T_{1}=T_{2}$ dès le départ. On obtient alors $a=2{,}45$ m/s $^{2}$ et une seule tension, et la masse de la poulie fournie par l'énoncé n'a servi à rien : une donnée inutilisée est presque toujours le signe d'une hypothèse fausse.

À savoir par cœur

• Un moment d'inertie se donne TOUJOURS avec son axe : $\tfrac{1}{12}ML^{2}$ au centre, $\tfrac{1}{3}ML^{2}$ à l'extrémité.
• Théorème des axes parallèles : $I=I_{cm}+Md^{2}$ , et seulement depuis l'axe du centre de masse.
• $\tau=rF\sin\phi$ : une force dirigée vers l'axe a un moment nul.
• Radians obligatoires dans $v=\omega r$ , $a_{t}=\alpha r$ et $a_{c}=\omega^{2}r$ .
• Roulement sans glissement : $v=\omega R$ , $K=\tfrac{1}{2}Mv^{2}+\tfrac{1}{2}I\omega^{2}$ , et le frottement statique ne dissipe rien.
• Sur une pente, le classement ne dépend que de $\dfrac{I}{MR^{2}}$ : sphère $0{,}4$ , cylindre $0{,}5$ , anneau $1$ .
• Poulie de masse non nulle : $T_{1}\neq T_{2}$ , et $\dfrac{I}{R^{2}}$ s'ajoute comme une masse dans le dénominateur.
• $L=I\omega$ se conserve quand $\Sigma\tau_{ext}=0$ ; $K=\dfrac{L^{2}}{2I}$ , elle, change dès que $I$ change.

Questions fréquentes

Pourquoi le moment d'inertie change-t-il selon l'axe choisi ?

Parce qu'il mesure à quelle distance de l'axe la masse est répartie, et que cette distance change avec l'axe. Une tige tournant autour de son centre a quatre fois moins d'inertie que la même tige tournant autour d'une extrémité. Le théorème des axes parallèles permet de passer de l'un à l'autre en ajoutant la masse fois le carré du décalage.

Quand les deux tensions d'une poulie sont-elles différentes ?

Dès que la poulie a une masse et qu'elle tourne. C'est justement l'écart entre les deux tensions qui fournit le moment de force nécessaire à sa mise en rotation. Une poulie idéale, sans masse, a un moment d'inertie nul et les deux tensions y sont égales. Si l'énoncé donne la masse de la poulie, il vous dit de ne pas les confondre.

Quel objet arrive le premier en bas d'un plan incliné ?

La sphère pleine, devant le cylindre plein, devant l'anneau, toujours dans cet ordre. Ni la masse ni le rayon n'interviennent : seul compte le rapport du moment d'inertie au produit de la masse par le carré du rayon, qui vaut deux cinquièmes, un demi et un pour ces trois formes. Plus ce nombre est petit, moins il faut d'énergie pour la rotation.

Pourquoi le patineur tourne-t-il plus vite en ramenant ses bras ?

Parce que le moment cinétique, produit du moment d'inertie par la vitesse angulaire, se conserve en l'absence de moment de force extérieur. En rapprochant sa masse de l'axe, il diminue son moment d'inertie, donc sa vitesse angulaire augmente d'autant. Son énergie cinétique, elle, augmente aussi : ce sont ses muscles qui fournissent ce travail.

Le frottement d'un objet qui roule dissipe-t-il de l'énergie ?

Non, tant que le roulement se fait sans glissement. Le point de contact est immobile par rapport au sol à chaque instant, donc la force de frottement ne se déplace pas et ne travaille pas. Elle reste pourtant indispensable, puisque c'est elle qui crée le moment de force qui fait tourner l'objet.

Faut-il travailler en degrés ou en radians en rotation ?

En radians, sans exception, dans toutes les relations qui relient une grandeur angulaire à une grandeur linéaire. Un angle en degrés donne une vitesse ou une accélération fausse d'un facteur cinquante-sept environ. La première ligne de la copie doit donc convertir les degrés fournis par l'énoncé.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : La rotation des corps rigides

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

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Contactez-moi pour une première séance. La rotation est le chapitre où les analogies font gagner du temps, à condition de ne jamais confondre le moment d'inertie d'un axe avec celui d'un autre.

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Fiche de révision : la rotation des corps rigides (203-SN1-RE, ancien 203-NYA)

L'essentiel

Le dictionnaire translation-rotation

Moment de force : ce n'est pas la distance qui compte

Moment d'inertie, roulement, moment cinétique

Les pièges qui coûtent des points

1. Utiliser un moment d'inertie sans dire par rapport à quel axe

2. Oublier le sinus, ou confondre la distance avec le bras de levier

3. Garder la même tension de part et d'autre d'une poulie qui a une masse

4. Oublier l'énergie de rotation dans le bilan d'un objet qui roule

5. Croire que la masse ou le rayon décide de la course sur un plan incliné

6. Conserver l'énergie cinétique quand le patineur ramène ses bras

7. Traiter le frottement du roulement sans glissement comme dissipatif

8. Travailler en degrés dans v=ωrv=\omega rv=ωr ou dans les équations angulaires

9. Additionner des moments d'inertie calculés par rapport à des axes différents

Quelle méthode choisir

Couple ou énergie

Quel moment d'inertie écrire

La rédaction attendue

Résoudre un système avec une poulie qui a une masse

Traiter un problème de conservation du moment cinétique

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Machine d'Atwood avec une poulie qui a une masse

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Pourquoi le moment d'inertie change-t-il selon l'axe choisi ?

Quand les deux tensions d'une poulie sont-elles différentes ?

Quel objet arrive le premier en bas d'un plan incliné ?

Pourquoi le patineur tourne-t-il plus vite en ramenant ses bras ?

Le frottement d'un objet qui roule dissipe-t-il de l'énergie ?

Faut-il travailler en degrés ou en radians en rotation ?

Exercices corrigés : La rotation des corps rigides

Voir aussi

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8. Travailler en degrés dans $v=\omega r$ ou dans les équations angulaires