Mécanique 203-SN1-RE (ancien 203-NYA) • Complément québécois de Première et cégep à Montréal

Fiche de révision : quantité de mouvement et collisions (203-SN1-RE, ancien 203-NYA)

La conservation de la quantité de mouvement est la loi la plus robuste de la mécanique de 203-SN1-RE (ancien 203-SN1-RE) : elle vaut pour tous les chocs, quelle que soit la déformation, quelle que soit la chaleur produite, tant que les forces extérieures restent négligeables pendant l'impact. C'est aussi ce qui la rend dangereuse : elle marche si bien qu'on oublie de vérifier si l'énergie cinétique, elle, se conserve.

Cette fiche sépare les deux lois, dit dans quelle phase chacune s'applique, et rassemble les erreurs de signe et de direction qui coûtent le plus de points sur les collisions en une et deux dimensions.

Le fil du chapitre

La quantité de mouvement se conserve dans TOUTES les collisions, l'énergie cinétique presque jamais. Tout le chapitre consiste à savoir quelle loi s'applique à quelle phase, et à ne surtout pas appliquer les deux à la même.

Ce chapitre fait partie de Mécanique 203-SN1-RE (ancien 203-NYA)

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Dynamique : lois de Newton et frottement Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (7 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Les fonctions quadratiquesSecondaire 5 SN5, Mathématiques
2Cinématique et le MRUASecondaire 5 SN5
3Dynamique et les lois de NewtonSecondaire 5 SN5
4Limites et continuitéCalcul différentiel (201-NYA)
5La dérivée et ses règlesCalcul différentiel (201-NYA)
6Cinématique en une et deux dimensions
7Dynamique : lois de Newton et frottement

Notions couvertes

Quantité de mouvement
Impulsion d'une force
Théorème de l'impulsion
Conservation de la quantité de mouvement
Collision élastique
Collision parfaitement inélastique
Centre de masse
Pendule balistique
Collision en deux dimensions
Propulsion par éjection de masse

L'essentiel

Deux lois, deux domaines de validité

• $\vec{p}=m\vec{v}$ est un VECTEUR : il change de signe avec le sens du mouvement, et se projette axe par axe en deux dimensions.
• Conservation : $\vec{P}_{avant}=\vec{P}_{après}$ pour TOUT choc, élastique ou non, tant que les forces extérieures sont négligeables pendant la durée de l'impact.
• L'énergie cinétique, elle, ne se conserve QUE dans un choc explicitement dit élastique. Dans tous les autres, elle diminue.
• Choc parfaitement inélastique : les corps repartent ensemble, $v'=\dfrac{m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}$ . C'est le choc qui dissipe le plus d'énergie.
• Choc élastique en une dimension : au lieu du système quadratique, utiliser l'inversion de la vitesse relative, $v_{1}-v_{2}=-(v_{1}'-v_{2}')$ , qui est linéaire.

« Les forces extérieures sont négligeables » se justifie par la BRIÈVETÉ du choc : la gravité et le frottement agissent aussi pendant l'impact, mais leur impulsion sur quelques millisecondes est négligeable devant celle du choc.

Impulsion : la même variation par deux chemins

• $\vec{J}=\vec{F}\Delta t=\Delta\vec{p}=m\vec{v}_{f}-m\vec{v}_{i}$ , en newtons-secondes, qui valent des kilogrammes-mètres par seconde.
• Force variable : $J$ est l'AIRE sous la courbe $F(t)$ , et $F_{moy}=\dfrac{J}{\Delta t}$ .
• Une même impulsion s'obtient par une grande force brève ou une petite force longue : c'est tout le principe du coussin gonflable, des genoux pliés à la réception et du gant de baseball.
• REBOND : si la vitesse s'inverse, $\Delta p=m(-v)-m(+v)=-2mv$ en grandeur $2mv$ , jamais zéro.
• L'impulsion est un vecteur : en deux dimensions on la calcule composante par composante, et sa direction n'est pas celle de $\vec{v}_{f}$ .

Les deux triangles ont la même aire, donc la même impulsion et la même variation de vitesse. Seule la force de pointe change, et c'est elle qui blesse.

Le mot « moyenne » dans « force moyenne exercée » signale toujours qu'il faut passer par l'impulsion : c'est la seule façon d'obtenir une force à partir d'un choc dont on ne connaît pas le détail.

Ce qu'il faut savoir sur le centre de masse

• $x_{cm}=\dfrac{\sum m_{i}x_{i}}{\sum m_{i}}$ , et de même pour $y_{cm}$ .
• $\vec{P}_{système}=M_{total}\vec{v}_{cm}$ : conserver $P$ , c'est exactement dire que $\vec{v}_{cm}$ ne change pas.
• Aucune force interne, aussi violente soit-elle, ne peut déplacer le centre de masse : ni une explosion, ni un choc, ni un astronaute qui se détend.
• D'où le résultat qui tombe régulièrement : deux personnes qui se rejoignent sur une barque immobile se rencontrent au centre de masse, jamais au milieu de la barque.
• Pour un système initialement au repos, tout mouvement d'une partie vers la droite impose un mouvement de l'autre vers la gauche.

Quand un énoncé dit « le système est initialement immobile » puis décrit un événement interne, la réponse commence presque toujours par $P_{total}=0$ avant et après.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Conserver l'énergie cinétique dans un choc où les corps restent soudés

toute la question, 6 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le wagon de $8{,}0$ t à $3{,}0$ m/s accroche un wagon de $4{,}0$ t immobile : $\tfrac{1}{2}(8000)(3{,}0)^{2}=\tfrac{1}{2}(12000)v'^{2}$ , donc $v'=2{,}45$ m/s. »

Ce qu'il faut écrire

« On conserve la quantité de mouvement : $(8000)(3{,}0)=(12000)v'$ , donc $v'=2{,}00$ m/s. L'énergie cinétique, elle, chute de $36$ kJ à $24$ kJ. »

Pourquoi : Un accrochage déforme, chauffe et fait du bruit : l'énergie cinétique perdue est allée quelque part. Seule la quantité de mouvement ignore ce qui se passe pendant l'impact.

2. Traiter la quantité de mouvement comme un nombre positif en une dimension

toute la question, 5 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les deux boules arrivent l'une vers l'autre à $4$ m/s et $6$ m/s : $P=m(4)+m(6)=10m$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Elles vont en sens opposés, donc avec l'axe orienté vers la droite : $P=m(+4)+m(-6)=-2m$ . »

Pourquoi : $\vec{p}$ est un vecteur, pas une énergie. Oublier le signe transforme un choc frontal en poursuite et donne une vitesse finale trois fois trop grande.

3. Écrire une variation de quantité de mouvement nulle pour un rebond

toute la question, 4 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La balle de $0{,}15$ kg arrive à $20$ m/s et repart à $20$ m/s : la vitesse n'a pas changé, donc $\Delta p=0$ et la force est nulle. »

Ce qu'il faut écrire

« La vitesse s'est INVERSÉE : $\Delta p=0{,}15(-20)-0{,}15(+20)=-6{,}0$ kg·m/s, soit $6{,}0$ N·s en grandeur, et non zéro. »

Pourquoi : C'est la même erreur qu'en cinématique sur le déplacement : la GRANDEUR de la vitesse n'a pas changé, mais le vecteur, lui, a fait demi-tour. Un mur qui n'exercerait aucune force ne renverrait rien.

4. Appliquer l'énergie au choc d'un pendule balistique

toute la question, 8 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La balle se plante dans le bloc suspendu qui s'élève de $12$ cm : $\tfrac{1}{2}mv^{2}=(m+M)gh$ , donc $v=\sqrt{\dfrac{2(m+M)gh}{m}}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« PENDANT le choc, la quantité de mouvement : $mv=(m+M)V$ . APRÈS le choc, l'énergie : $\tfrac{1}{2}(m+M)V^{2}=(m+M)gh$ . Deux phases, deux lois. »

Pourquoi : Le choc dissipe ici plus de $99\%$ de l'énergie cinétique initiale. Appliquer la conservation de l'énergie au choc suppose que rien n'a été perdu, et sous-estime la vitesse de la balle d'un facteur qui dépasse $10$ .

5. Conserver la quantité de mouvement pendant une phase où des forces extérieures agissent

toute la question, 6 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le chariot heurte le bloc puis remonte la pente : je conserve la quantité de mouvement du départ jusqu'au sommet. »

Ce qu'il faut écrire

« La conservation ne vaut que PENDANT l'impact, où le choc domine tout. Sur la pente, la gravité est une force extérieure : on repasse à l'énergie ou à Newton. »

Pourquoi : La conservation de $\vec{P}$ n'est pas une loi universelle mais une conséquence de $\Sigma\vec{F}_{ext}=0$ . Sur une durée longue, la gravité fournit une impulsion parfaitement mesurable, et $\vec{P}$ change.

6. Additionner des grandeurs au lieu de projeter dans une collision en deux dimensions

toute la question, 8 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Une voiture arrive à $15$ m/s vers l'est, l'autre à $20$ m/s vers le nord : la quantité de mouvement totale correspond à $35$ dans la direction de l'épave. »

Ce qu'il faut écrire

« On projette : $P_{x}=m_{1}(15)$ et $P_{y}=m_{2}(20)$ , on conserve CHAQUE composante séparément, puis on revient à une grandeur et à un angle. »

Pourquoi : Deux vecteurs perpendiculaires ne s'additionnent pas en nombres. C'est la même erreur que la traversée de rivière du chapitre de cinématique, transposée aux collisions.

7. Croire que deux boules qui se séparent forment toujours un angle de quatre-vingt-dix degrés

4 points, et une projection fausse dans toute la suite

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Après le choc, les deux corps repartent forcément à $90°$ l'un de l'autre, c'est la règle du billard. »

Ce qu'il faut écrire

« Ce résultat exige DEUX conditions : masses égales ET choc élastique, avec l'une des deux boules initialement immobile. Hors de ces conditions, l'angle est différent de $90°$ . »

À gauche, le petit carré marque l'angle droit : il n'apparaît que si les deux masses sont égales et le choc élastique. À droite, avec un projectile plus lourd, les deux vecteurs se referment nettement en deçà de

90°

Pourquoi : L'angle vient d'un produit scalaire dont le signe suit celui de $m_{1}-m_{2}$ : nul si les masses sont égales, positif si le projectile est le plus lourd, donc un angle plus fermé.

8. Résoudre un choc élastique par le système quadratique complet

pas de points perdus, mais dix minutes et deux racines à trier

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Je pose $m_{1}v_{1}=m_{1}v_{1}'+m_{2}v_{2}'$ et $\tfrac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}=\tfrac{1}{2}m_{1}v_{1}'^{2}+\tfrac{1}{2}m_{2}v_{2}'^{2}$ , puis je substitue et je résous le second degré. »

Ce qu'il faut écrire

« On remplace la seconde équation par sa conséquence linéaire : $v_{1}-v_{2}=-(v_{1}'-v_{2}')$ . Le système devient deux équations du premier degré. »

Pourquoi : La solution quadratique renvoie toujours la solution triviale $v_{1}'=v_{1}$ , celle où le choc n'a pas eu lieu. La forme linéaire l'élimine d'entrée et évite de choisir entre deux racines sous la pression de l'examen.

9. Croire qu'une explosion interne déplace le centre de masse

4 points sur les questions de raisonnement

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La fusée explose en vol : les morceaux partent dans tous les sens, donc le centre de masse part avec le plus gros. »

Ce qu'il faut écrire

« Aucune force interne ne modifie $\vec{v}_{cm}$ : le centre de masse poursuit exactement la trajectoire parabolique qu'aurait suivie la fusée intacte. »

Pourquoi : Les forces internes vont par paires action-réaction et s'annulent deux à deux dans la somme. Seule la gravité, extérieure, agit encore, et c'est elle seule qui courbe la trajectoire du centre de masse.

Quelle méthode choisir

Quelle loi appliquer selon le choc

Le mot de l'énoncé qui décrit ce qui arrive aux corps au moment du contact

Si « restent accrochés », « se plante dans », « repartent ensemble », « s'encastrent » → choc parfaitement inélastique : quantité de mouvement seule, $v'=\dfrac{m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}$

Exemple : accrochage de wagons, balle dans un bloc
Si « choc élastique », « aucune énergie perdue », « boules de billard idéales » → quantité de mouvement ET inversion de la vitesse relative

Exemple : $v_{1}-v_{2}=-(v_{1}'-v_{2}')$ , système linéaire
Si l'énoncé donne les deux vitesses finales et demande l'énergie perdue → calculer $E_{k}$ avant et après, la différence est la réponse

Exemple : de $36$ kJ à $24$ kJ, soit $33\%$ dissipés
Si l'énoncé décrit une explosion, un recul, une séparation → quantité de mouvement, avec $P_{avant}=0$ si le système partait du repos

Exemple : astronaute qui lance un outil, fusil qui recule
Si l'énoncé demande une force moyenne ou une durée d'impact → théorème de l'impulsion, $F_{moy}\Delta t=\Delta p$

Exemple : $\Delta p=6{,}0$ kg·m/s en $0{,}010$ s donne $600$ N

Aucun choc réel n'est parfaitement élastique : si l'énoncé ne le dit pas, ne le supposez pas. Le silence de l'énoncé signifie qu'il ne faut utiliser que la quantité de mouvement.

Combien de phases dans le problème

Le récit de l'énoncé, relu en cherchant les instants où la physique change

Si un objet tombe, puis frappe, puis rebondit → trois phases : énergie ou cinématique, impulsion, puis énergie de nouveau

Exemple : balle lâchée d'une hauteur qui remonte moins haut
Si un projectile s'encastre, puis l'ensemble se met en mouvement → deux phases : quantité de mouvement pendant le choc, énergie ou Newton ensuite

Exemple : pendule balistique, chariot qui monte une pente après l'impact
Si un objet glisse, heurte, puis glisse encore avec frottement → trois phases, et le frottement n'intervient JAMAIS dans le bilan de quantité de mouvement du choc

Exemple : palet lancé sur une surface rugueuse
Si tout se passe pendant l'impact seul → une seule phase, quantité de mouvement, rien d'autre

Exemple : collision à une intersection, vitesse commune juste après

Écrire les phases avant de calculer, numérotées, avec la loi utilisée en face de chacune. C'est la seule habitude qui empêche de tirer une conservation d'un bout à l'autre du problème.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Résoudre un problème en deux phases

Quand l'utiliser : Un choc est suivi d'un mouvement, ou précédé d'une chute : dès que l'énoncé raconte une histoire en plusieurs temps.

1 Découper le récit en phases numérotées et écrire, en face de chacune, la loi qui s'y applique et pourquoi.
2 Poser un axe et l'orienter, puis exprimer chaque vitesse avec son signe.
3 Phase du choc : écrire la conservation de la quantité de mouvement, en justifiant que les forces extérieures sont négligeables sur une durée aussi brève.
4 Phase suivante : écrire le bilan d'énergie ou l'équation de Newton, en partant de la vitesse obtenue à l'étape précédente.
5 Remonter la chaîne jusqu'à l'inconnue demandée, puis vérifier la vraisemblance du résultat et le pourcentage d'énergie perdue s'il est demandé.

Phrase de conclusion

« Pendant le choc, très bref, la quantité de mouvement se conserve : $mv=(m+M)V$ . Après le choc, seule la gravité travaille, donc $\tfrac{1}{2}(m+M)V^{2}=(m+M)gh$ . En combinant, $v=\dfrac{m+M}{m}\sqrt{2gh}=257$ m/s. »

Le piège : Justifier la conservation. Une copie qui écrit $mv=(m+M)V$ sans la phrase « les forces extérieures sont négligeables pendant l'impact » perd le point de rigueur, et surtout n'a aucune raison de refuser d'utiliser la même loi pendant la montée.

Barème : Typiquement 1 point pour le découpage en phases, 3 pour la conservation justifiée, 3 pour le bilan d'énergie, 1 pour la conclusion et l'ordre de grandeur.

Traiter une collision en deux dimensions

Quand l'utiliser : Deux corps arrivent selon des directions différentes, ou repartent selon des directions différentes.

1 Poser deux axes et faire un schéma coté avec les angles mesurés par rapport à l'axe des $x$ .
2 Écrire les composantes de chaque quantité de mouvement avant le choc : $p_{x}=mv\cos\theta$ et $p_{y}=mv\sin\theta$ .
3 Écrire la conservation SÉPARÉMENT sur chaque axe, ce qui donne deux équations indépendantes.
4 Résoudre le système, puis revenir à la grandeur par Pythagore et à la direction par l'arc tangente, en vérifiant le quadrant.

Phrase de conclusion

« La conservation sur $x$ donne $m_{1}v_{1}=m_{1}v_{1}'\cos\alpha+m_{2}v_{2}'\cos\beta$ et celle sur $y$ donne $0=m_{1}v_{1}'\sin\alpha-m_{2}v_{2}'\sin\beta$ ; la résolution du système fournit les deux vitesses après le choc. »

Le piège : L'équation en $y$ quand la quantité de mouvement initiale y est nulle. Elle n'est pas inutile : elle dit que les deux composantes verticales se compensent exactement, ce qui est souvent l'équation la plus rentable du système.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'énergie cinétique après ne dépasse jamais celle d'avant

Calculer $E_{k}$ des deux côtés, même quand ce n'est pas demandé. Une énergie qui augmente sans source extérieure signale une erreur de signe ou une loi mal choisie.

$24$ kJ après contre $36$ kJ avant : plausible. $44$ kJ après : impossible sans ressort comprimé ni explosif.
La vitesse commune encadrée par les deux vitesses initiales

Dans un choc parfaitement inélastique, la vitesse finale est toujours comprise entre les deux vitesses initiales, plus proche de celle du corps le plus lourd.

Un $v'=3{,}5$ m/s pour un choc entre $3{,}0$ m/s et $0$ m/s est impossible, le résultat doit être entre $0$ et $3{,}0$ .
La substitution inverse dans le bilan de quantité de mouvement

Réinjecter les vitesses trouvées dans $P_{avant}=P_{après}$ , avec les signes. C'est le contrôle le plus rentable du chapitre et il prend dix secondes.

Une somme finale de $+2m$ face à une somme initiale de $-2m$ dit qu'un signe a été perdu en route.
L'ordre de grandeur d'une vitesse de projectile

Une balle de fusil va de $200$ à $900$ m/s, une balle de baseball à $40$ m/s, une voiture en ville à $14$ m/s. Comparer avant de rendre.

Un $v=25$ m/s pour une balle de $12$ g qui soulève un bloc de $2$ kg de $12$ cm : cent fois trop peu, l'énergie a été appliquée au choc.
Le sens de chaque vitesse relu sur le schéma

Repasser sur le schéma et vérifier que chaque signe correspond bien à une flèche. Une vitesse négative doit pointer dans le sens opposé à l'axe, pas ailleurs.

Une vitesse finale négative pour un corps poussé par un autre plus lourd dans le même sens : le signe de l'axe a changé en cours de route.

L'exercice type décortiqué

Le pendule balistique, deux phases et deux lois

Une balle de masse $m=12{,}0$ g est tirée horizontalement dans un bloc de bois de masse $M=2{,}00$ kg suspendu par des fils verticaux. La balle s'y plante immédiatement.

L'ensemble s'élève ensuite de $h=12{,}0$ cm au-dessus de sa position initiale. Déterminer la vitesse de la balle avant l'impact, puis le pourcentage d'énergie cinétique dissipée dans le choc. On prend $g=9{,}80$ m/s $^{2}$ .

Deux instants séparés par le choc : la balle disparaît dans le bloc, puis l'ensemble monte de

h

. Le premier relève de la quantité de mouvement, le second de l'énergie.

Étape 1

Phase 1, le choc : très bref, forces extérieures négligeables, corps solidaires après. Loi : conservation de la quantité de mouvement. Phase 2, la montée : seule la gravité travaille, fils inextensibles. Loi : conservation de l'énergie mécanique.

Pourquoi

Ce découpage écrit noir sur blanc est ce qui empêche l'erreur la plus coûteuse du chapitre. Il vaut aussi un point de rigueur à lui seul dans la plupart des barèmes.

Étape 2

Phase 2 d'abord, car elle ne contient qu'une inconnue : $\tfrac{1}{2}(m+M)V^{2}=(m+M)gh$ , donc $V=\sqrt{2gh}=\sqrt{2(9{,}80)(0{,}120)}=1{,}53$ m/s.

Pourquoi

On remonte le problème à l'envers. La masse se simplifie, ce qui est le signe que la hauteur atteinte ne dépend que de la vitesse juste après le choc, jamais de la répartition des masses.

Étape 3

Phase 1 ensuite : $mv=(m+M)V$ , donc $v=\dfrac{(0{,}0120+2{,}00)(1{,}53)}{0{,}0120}=257$ m/s.

Pourquoi

Le rapport $\dfrac{m+M}{m}$ vaut ici $168$ : c'est ce facteur d'amplification qui fait tout l'intérêt du dispositif, puisqu'il transforme une hauteur mesurable au centimètre en une vitesse de plusieurs centaines de mètres par seconde.

Étape 4

Énergie cinétique avant : $\tfrac{1}{2}(0{,}0120)(257)^{2}=396$ J. Après le choc : $\tfrac{1}{2}(2{,}012)(1{,}53)^{2}=2{,}37$ J.

Pourquoi

Les deux nombres doivent être calculés séparément, et non estimés : c'est l'écart entre eux qui justifie a posteriori qu'il était interdit d'appliquer l'énergie à la phase 1.

Étape 5

Fraction dissipée : $1-\dfrac{2{,}37}{396}=0{,}994$ , soit $99{,}4\%$ . On retrouve directement $\dfrac{M}{m+M}=\dfrac{2{,}00}{2{,}012}$ .

Pourquoi

La formule $\dfrac{M}{m+M}$ vaut pour tout choc parfaitement inélastique sur une cible immobile : la connaître permet de vérifier le calcul complet en une ligne.

Étape 6

Vérification : avec la méthode fausse, $v=\sqrt{\dfrac{2(m+M)gh}{m}}=19{,}8$ m/s, soit treize fois moins que la valeur correcte.

Pourquoi

Comparer les deux résultats ancre l'ordre de grandeur : une balle de fusil ne va pas à $20$ m/s, et cette seule remarque suffit à rejeter la méthode énergétique appliquée au choc.

Conclusion rédigée

« La conservation de la quantité de mouvement pendant l'impact, suivie de la conservation de l'énergie pendant la montée, donne une vitesse initiale de $257$ m/s pour la balle, et le choc dissipe $99{,}4\%$ de son énergie cinétique. »

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire un seul bilan d'énergie de la balle jusqu'au point haut. On obtient $19{,}8$ m/s, une valeur absurde pour une balle, et l'on n'a plus aucun moyen de calculer l'énergie dissipée, puisqu'on vient de supposer qu'il n'y en avait pas.

À savoir par cœur

• $\vec{p}=m\vec{v}$ est un VECTEUR : signe en une dimension, composantes en deux dimensions.
• $\vec{P}$ se conserve dans TOUS les chocs; $E_{k}$ seulement dans les chocs élastiques.
• $\vec{J}=\vec{F}\Delta t=\Delta\vec{p}$ , et $J$ est l'aire sous la courbe $F(t)$ .
• Rebond avec inversion : $|\Delta p|=2mv$ , jamais zéro.
• Choc parfaitement inélastique : $v'=\dfrac{m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}$ , et la fraction d'énergie perdue vaut $\dfrac{M}{m+M}$ sur cible immobile.
• Choc élastique en une dimension : $v_{1}-v_{2}=-(v_{1}'-v_{2}')$ , linéaire, à préférer au système quadratique.
• L'angle de $90°$ après le choc exige masses ÉGALES et choc ÉLASTIQUE sur une cible immobile.
• Aucune force interne ne déplace le centre de masse : $\vec{v}_{cm}$ ne change pas lors d'une explosion.

Questions fréquentes

La quantité de mouvement se conserve-t-elle dans toutes les collisions ?

Oui, tant que les forces extérieures sont négligeables pendant l'impact, ce qui est le cas dès que le choc est bref. C'est vrai aussi bien pour un choc élastique que pour un choc où les corps restent soudés. L'énergie cinétique, en revanche, ne se conserve que si le choc est explicitement dit élastique.

Quelle différence entre un choc élastique et un choc inélastique ?

Dans les deux cas la quantité de mouvement se conserve. Dans un choc élastique, l'énergie cinétique totale est la même avant et après. Dans un choc inélastique, une partie est passée en déformation, en chaleur et en son. Le cas extrême est le choc parfaitement inélastique, où les corps repartent ensemble et où la perte est maximale.

Comment résoudre un pendule balistique ?

En deux temps. Pendant le choc, on conserve la quantité de mouvement : la masse de la balle fois sa vitesse égale la masse totale fois la vitesse commune. Après le choc, on conserve l'énergie mécanique : la vitesse commune se convertit en hauteur. Il ne faut jamais appliquer la conservation de l'énergie au choc lui-même, car il y dissipe presque tout.

Pourquoi la variation de quantité de mouvement d'un rebond n'est-elle pas nulle ?

Parce que la quantité de mouvement est un vecteur. Une balle qui arrive à vingt mètres par seconde et repart à vingt mètres par seconde en sens inverse a vu son vecteur faire demi-tour. La variation vaut donc deux fois la masse par la vitesse, et non zéro. C'est cette variation qui donne la force exercée par le mur.

Quand les deux boules repartent-elles à quatre-vingt-dix degrés ?

Uniquement si les deux masses sont égales, si le choc est élastique et si l'une des deux boules était immobile avant l'impact. Si le projectile est plus lourd que la cible, l'angle est plus fermé; s'il est plus léger, il est plus ouvert. Hors du billard idéal, ce résultat ne doit jamais être supposé.

Une explosion peut-elle déplacer le centre de masse d'un système ?

Non. Les forces qui interviennent sont internes et s'annulent deux à deux par la troisième loi de Newton. Le centre de masse continue donc exactement sur la trajectoire qu'il suivait avant, même si les morceaux partent dans toutes les directions. Seule une force extérieure, comme la gravité, peut modifier son mouvement.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Quantité de mouvement et collisions

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
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La rotation des corps rigides

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