Spécialité maths, Terminale • Exercices corrigés à Montréal

Fiche de révision : sommes de variables aléatoires et concentration (Terminale spécialité)

Cette fiche de révision accompagne la section « Sommes de variables aléatoires » et la section « Concentration, loi des grands nombres » du programme de spécialité mathématiques de Terminale : linéarité de l'espérance, variance d'une somme de variables indépendantes, loi binomiale comme somme de variables de Bernoulli, échantillon, inégalité de Bienaymé-Tchebychev et taille d'échantillon.

Elle ne redit pas le cours. Elle dit ce qui coûte des points à l'épreuve, ce que le correcteur attend exactement, et les contrôles à faire avant de rendre la copie.

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Le fil du chapitre

Une somme de $n$ copies indépendantes n'est pas $n$ fois une copie : l'espérance s'additionne toujours, la variance seulement si les variables sont indépendantes, et c'est ce décalage qui fait de $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ l'écart type de la moyenne d'un échantillon.

Ce chapitre fait partie de Spécialité mathématiques en Terminale

Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 10 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Loi binomiale et concentration Exercices

Remonter plus loin : la chaîne complète (5 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Probabilités conditionnelles et arbres pondérésSeconde
2Probabilités conditionnellesPremière
3Les variables aléatoiresPremière
4Combinatoire et dénombrement
5Loi binomiale et concentration

Notions couvertes

Linéarité de l'espérance
Additivité de la variance
Variables aléatoires indépendantes
Loi de Bernoulli
Loi binomiale
Échantillon d'une loi de probabilité
Moyenne d'un échantillon
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Inégalité de concentration
Loi des grands nombres
Marche aléatoire

L'essentiel

Ce qui s'additionne, et à quelle condition

• LINÉARITÉ, pour TOUTES variables $X$ , $Y$ et tout réel $a$ : $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ et $E(aX)=aE(X)$ . Aucune indépendance n'est demandée.
• ADDITIVITÉ, seulement si $X$ et $Y$ sont INDÉPENDANTES : $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$ , et aussi $V(X-Y)=V(X)+V(Y)$ .
• COEFFICIENT : $V(aX)=a^{2}V(X)$ , $\sigma(aX)=|a|\,\sigma(X)$ , et $V(X+b)=V(X)$ .
• $X_{1}+X_{2}$ (deux copies indépendantes) et $2X$ ont la même espérance, mais $V(X_{1}+X_{2})=2V(X)$ alors que $V(2X)=4V(X)$ .
• Au programme, l'indépendance vient du MODÈLE, une succession d'épreuves indépendantes : on l'écrit, on ne la démontre pas.

X

vaut

0

1

à pile ou face équilibré. Deux copies indépendantes se compensent souvent (

1

une fois sur deux) ;

2X

ne vaut que

0

2

, deux fois plus de variance.

Écrire « les variables sont indépendantes, donc les variances s'additionnent » avant le calcul est la ligne que le correcteur cherche.

Bernoulli, binomiale, échantillon

• Loi de Bernoulli de paramètre $p$ : valeurs $1$ et $0$ , $E=p$ , $V=p(1-p)$ , car $B^{2}=B$ .
• Loi binomiale : $X=B_{1}+\dots+B_{n}$ , somme de $n$ Bernoulli INDÉPENDANTES de paramètre $p$ ; $E(X)=np$ par linéarité, $V(X)=np(1-p)$ par additivité.
• Échantillon de taille $n$ d'une loi d'espérance $\mu$ et de variance $V$ : $n$ variables indépendantes de même loi, $S_{n}=X_{1}+\dots+X_{n}$ et $M_{n}=\frac{S_{n}}{n}$ .
• $E(S_{n})=n\mu$ , $V(S_{n})=nV$ , $\sigma(S_{n})=\sqrt{n}\,\sigma$ ; $E(M_{n})=\mu$ , $V(M_{n})=\frac{V}{n}$ , $\sigma(M_{n})=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ .

Bienaymé-Tchebychev et concentration

• Pour tout $\delta>0$ : $P(|X-\mu|\geq\delta)\leq\dfrac{V(X)}{\delta^{2}}$ . C'est la VARIANCE au numérateur, pas l'écart type.
• Appliquée à $M_{n}$ : $P(|M_{n}-\mu|\geq\delta)\leq\dfrac{V}{n\delta^{2}}$ , pour une loi QUELCONQUE, pas seulement une fréquence.
• Taille d'échantillon : il SUFFIT que $\dfrac{V}{n\delta^{2}}\leq\alpha$ , soit $n\geq\dfrac{V}{\alpha\delta^{2}}$ , arrondi à l'entier SUPÉRIEUR.
• Loi des grands nombres : pour tout $\delta>0$ , $P(|M_{n}-\mu|\geq\delta)$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$ .

L'inégalité ne donne qu'une borne, universelle et souvent large : la conclusion s'écrit « est inférieure ou égale à », jamais « vaut ».

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Écrire la somme de n copies comme n fois une copie

toute la question, et toutes celles qui utilisent la variance

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $S_{50}=50X$ , donc $V(S_{50})=50^{2}V(X)=2\,500\,V(X)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Les $X_{i}$ sont indépendantes, donc $V(S_{50})=V(X_{1})+\dots+V(X_{50})=50\,V(X)$ . »

Pourquoi : $50X$ répète UN seul tirage, $S_{50}$ en additionne cinquante qui se compensent. Les deux ont l'espérance $50\mu$ , mais pas la même dispersion : c'est le cœur du chapitre.

2. Additionner des variances sans indépendance

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $X$ jours de pluie et $Y$ jours secs sur un week-end : $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $X+Y=2$ est constante, donc $V(X+Y)=0$ ; l'additivité exige des variables indépendantes, et $Y=2-X$ ne l'est pas. »

Pourquoi : Deux variables liées peuvent se compenser exactement, comme ici, ou s'amplifier, comme $X$ et $X$ elle-même, avec $V(2X)=4V(X)$ . Seule l'indépendance garantit la somme.

3. Soustraire les variances d'une différence

1 point, et un résultat absurde

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $X$ et $Y$ indépendantes, $V(X)=2$ et $V(Y)=5$ : $V(X-Y)=2-5=-3$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $V(X-Y)=V(X)+(-1)^{2}V(Y)=2+5=7$ . »

Pourquoi : Une variance est une moyenne de carrés, donc jamais négative : $-3$ devait alerter. Le signe moins sort de la variance au carré.

4. Oublier le carré du coefficient

1 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $V(-3X+1)=-3V(X)+1$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $V(-3X+1)=(-3)^{2}V(X)=9V(X)$ : la constante disparaît, le coefficient sort au carré. »

Pourquoi : Tous les écarts à la moyenne sont multipliés par $3$ en valeur absolue, donc leurs carrés par $9$ , et une translation ne change aucun écart.

5. Diviser l'écart type de la moyenne par n

toute la question, et un intervalle dix fois trop étroit

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\sigma=2$ et $n=100$ : $\sigma(M_{100})=\frac{2}{100}=0{,}02$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $V(M_{100})=\frac{4}{100}=0{,}04$ , donc $\sigma(M_{100})=\frac{2}{\sqrt{100}}=0{,}2$ . »

Pour

\sigma=2

\sigma(M_{n})=\frac{2}{\sqrt{n}}

: de

n=25

100

puis

400

, la taille est multipliée par

4

et l'écart type seulement divisé par

2

Pourquoi : C'est la VARIANCE qui est divisée par $n$ ; l'écart type l'est par $\sqrt{n}$ . Quadrupler l'échantillon divise l'écart type par $2$ , pas par $4$ .

6. Mettre l'écart type dans Bienaymé-Tchebychev

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\mu=20$ , $\sigma=4$ : $P(|X-20|\geq 10)\leq\frac{4}{10^{2}}=0{,}04$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $P(|X-20|\geq 10)\leq\frac{V(X)}{10^{2}}=\frac{16}{100}=0{,}16$ . »

Pourquoi : L'inégalité compare des carrés : la variance au numérateur, $\delta^{2}$ au dénominateur. Avec $\sigma$ , la borne est fausse et paraît quatre fois trop bonne.

7. Appliquer l'inégalité à un événement d'un seul côté sans inclusion

1 point de rigueur

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $E(S)=20$ , $V(S)=96$ : $P(S\leq 0)=P(|S-20|\geq 20)\leq 0{,}24$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Si $S\leq 0$ , alors $|S-20|\geq 20$ : $\{S\leq 0\}\subset\{|S-20|\geq 20\}$ , donc $P(S\leq 0)\leq\frac{96}{400}=0{,}24$ . »

Pourquoi : L'inégalité porte sur un écart dans les DEUX sens ; l'égalité écrite est fausse, seule l'inclusion justifie la majoration.

8. Arrondir la taille d'échantillon du mauvais côté

1 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $V=3$ , $\delta=0{,}3$ , $\alpha=0{,}05$ : $n\geq 666{,}7$ , donc $n=666$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $n\geq\frac{3}{0{,}05\times 0{,}09}\approx 666{,}7$ , donc $n=667$ : c'est le plus petit entier qui convient. »

Pourquoi : $666$ ne vérifie pas l'inégalité, $\frac{3}{666\times 0{,}09}>0{,}05$ . Une taille garantie s'arrondit toujours à l'entier supérieur.

Quelle méthode choisir

Quel outil, selon la question posée

Une question sur une somme, une moyenne ou un écart à l'espérance

Si On demande l'espérance d'une variable qui COMPTE quelque chose → L'écrire comme somme d'indicatrices, puis linéarité, sans chercher la loi

Exemple : $n$ manteaux rendus au hasard : $E(X)=n\times\frac{1}{n}=1$
Si On demande la variance d'une somme → Vérifier que le modèle rend les termes indépendants, l'écrire, puis additionner

Exemple : $40$ graines indépendantes, $p=0{,}85$ : $V=40\times 0{,}1275=5{,}1$

si les termes sont liés, revenir à la loi de la somme
Si La variable est un multiple ou une transformée affine d'UNE variable → Sortir le coefficient au carré, oublier la constante

Exemple : $V(5X-2)=25V(X)$
Si On demande de majorer une probabilité d'écart sans connaître la loi → Bienaymé-Tchebychev, avec la variance

Exemple : $V=16$ : $P(|X-\mu|\geq 10)\leq 0{,}16$
Si On demande une taille d'échantillon pour une précision et un risque → Inégalité de concentration, résoudre $\frac{V}{n\delta^{2}}\leq\alpha$ , arrondir au-dessus

Exemple : $V=16$ , $\delta=1$ , $\alpha=0{,}05$ : $n\geq 320$
Si La loi est binomiale et on demande une probabilité EXACTE → La calculatrice sur la loi binomiale, pas l'inégalité

Exemple : $P(B\leq 50)\approx 0{,}0271$ pour $B$ de loi $\mathcal{B}(100\,;0{,}6)$

La relation E(XY) = E(X)E(Y) n'est pas un attendu du programme : on ne l'utilise pas pour calculer une variance.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Démontrer l'espérance et la variance de la loi binomiale

Quand l'utiliser : « Démontrer que E(X) = np et V(X) = np(1 − p) », démonstration exigible du programme

1 Définir pour chaque épreuve $B_{i}$ , égale à $1$ en cas de succès et $0$ sinon : loi de Bernoulli de paramètre $p$ .
2 Calculer $E(B_{i})=p$ , puis $V(B_{i})=E(B_{i}^{2})-p^{2}=p-p^{2}=p(1-p)$ , en justifiant $B_{i}^{2}=B_{i}$ .
3 Écrire $X=B_{1}+\dots+B_{n}$ : chaque succès ajoute $1$ au compte.
4 Linéarité de l'espérance : $E(X)=np$ , sans hypothèse.
5 Épreuves indépendantes, donc $B_{1},\dots,B_{n}$ indépendantes : additivité, $V(X)=np(1-p)$ .

Phrase de conclusion

« Les variables $B_{1},\dots,B_{n}$ sont indépendantes, car les épreuves du schéma de Bernoulli le sont ; donc $V(X)=V(B_{1})+\dots+V(B_{n})=np(1-p)$ . »

Le piège : Invoquer l'indépendance pour l'espérance, ou l'oublier pour la variance : le correcteur regarde précisément où l'hypothèse est utilisée.

Barème : 1 point pour la décomposition en Bernoulli, 1 point pour E(X), 1 point pour V(X) avec l'indépendance citée.

Déterminer une taille d'échantillon

Quand l'utiliser : « Combien de mesures faut-il pour que la moyenne soit à moins de δ de μ avec un risque au plus α ? »

1 Nommer l'échantillon et donner $E(M_{n})=\mu$ et $V(M_{n})=\frac{V}{n}$ .
2 Écrire l'inégalité de concentration $P(|M_{n}-\mu|\geq\delta)\leq\frac{V}{n\delta^{2}}$ .
3 Dire qu'il SUFFIT que $\frac{V}{n\delta^{2}}\leq\alpha$ et résoudre en $n$ .
4 Prendre le plus petit entier qui convient et conclure par une phrase.

Phrase de conclusion

« Il suffit que $\frac{16}{n}\leq 0{,}05$ , c'est-à-dire $n\geq 320$ : avec $320$ trajets, la probabilité que la moyenne s'écarte de $\mu$ d'au moins $1$ minute est inférieure ou égale à $0{,}05$ . »

Le piège : Écrire « il faut » au lieu de « il suffit » : l'inégalité donne une condition suffisante, une taille plus petite peut très bien convenir.

Barème : 1 point pour l'inégalité correctement écrite, 1 point pour la résolution et l'arrondi, 1 point pour la conclusion.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Une variance est positive

Toute variance calculée doit être positive ou nulle, et nulle seulement pour une variable constante.

$V(X-Y)=-3$ signale une soustraction de variances ; $V(X+Y)=0$ pour deux variables non constantes signale une dépendance.
La moyenne est moins dispersée qu'une valeur

On compare $\sigma(M_{n})$ à $\sigma$ : le rapport doit valoir exactement $\sqrt{n}$ .

$\sigma=3$ , $n=100$ : $\sigma(M_{100})=0{,}3$ , dix fois moins. Un rapport de $100$ signale une division par $n$ .
La borne de Bienaymé-Tchebychev est inférieure à 1

Si $\frac{V}{\delta^{2}}\geq 1$ , l'inégalité n'apprend rien : ce n'est pas une erreur, mais $\delta$ est plus petit que l'écart type.

$V=120$ , $\delta=10$ : borne $1{,}2$ , aucune information.
Le seuil vérifie l'inégalité, l'entier d'avant non

On remplace n par la valeur trouvée, puis par l'entier précédent, dans la majoration.

$\frac{16}{320}=0{,}05$ convient, $\frac{16}{319}\approx 0{,}0502$ non : $320$ est bien le plus petit.

L'exercice type décortiqué

Combien de trajets pour estimer une durée moyenne

La durée d'un trajet de livraison, en minutes, est une variable aléatoire d'espérance $\mu=20$ et d'écart type $\sigma=4$ ; on ne connaît pas sa loi. On relève les durées de $n$ trajets, modélisées par un échantillon de taille $n$ , et l'on note $M_{n}$ leur moyenne.

Déterminer une valeur de $n$ qui garantit $P(|M_{n}-20|\geq 1)\leq 0{,}05$ , puis donner $\sigma(M_{n})$ pour cette valeur.

La majoration

\frac{16}{n}

décroît et passe sous le risque

0{,}05

à partir de

n=320

: toute taille au-delà convient aussi.

Étape 1

$V=\sigma^{2}=16$ . Par linéarité $E(M_{n})=20$ ; les trajets étant indépendants, $V(M_{n})=\frac{16}{n}$ .

Pourquoi

L'inégalité demande la VARIANCE, pas l'écart type : la convertir d'abord évite le piège le plus coûteux de l'exercice.

Étape 2

Inégalité de concentration avec $\delta=1$ : $P(|M_{n}-20|\geq 1)\leq\frac{16}{n\times 1^{2}}=\frac{16}{n}$ .

Pourquoi

Écrire l'inégalité en toutes lettres, avec ses hypothèses, rapporte le point de méthode ; la loi inconnue n'empêche rien, seules μ et V servent.

Étape 3

Il suffit que $\frac{16}{n}\leq 0{,}05$ , c'est-à-dire $n\geq\frac{16}{0{,}05}=320$ .

Pourquoi

« Il suffit » et non « il faut » : c'est une condition suffisante, la vraie probabilité est sans doute bien plus petite.

Étape 4

Pour $n=320$ : $\sigma(M_{320})=\frac{4}{\sqrt{320}}\approx 0{,}224$ minute.

Pourquoi

L'écart type est divisé par $\sqrt{320}\approx 17{,}9$ , pas par $320$ : c'est la racine qui rend les grandes précisions si coûteuses.

Étape 5

Contrôle : $\frac{16}{320}=0{,}05$ convient, $\frac{16}{319}\approx 0{,}0502>0{,}05$ ne convient pas.

Pourquoi

Le contrôle par l'entier précédent prouve que 320 est le plus petit entier garanti par l'inégalité.

Conclusion rédigée

Avec $n=320$ trajets, la probabilité que la durée moyenne s'écarte de $20$ minutes d'au moins $1$ minute est inférieure ou égale à $0{,}05$ , et l'écart type de cette moyenne vaut environ $0{,}224$ minute.

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire $\frac{4}{n}\leq 0{,}05$ avec l'écart type, ce qui donne $n\geq 80$ : quatre fois trop peu de trajets, et une garantie fausse.

À savoir par cœur

• $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ et $E(aX)=aE(X)$ : TOUJOURS.
• $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$ et $V(X-Y)=V(X)+V(Y)$ : seulement si INDÉPENDANTES.
• $V(aX+b)=a^{2}V(X)$ ; $\sigma(aX+b)=|a|\,\sigma(X)$ .
• Bernoulli : $E=p$ , $V=p(1-p)$ . Binomiale : $E=np$ , $V=np(1-p)$ .
• $S_{n}$ : $E=n\mu$ , $V=nV$ . $M_{n}$ : $E=\mu$ , $V=\frac{V}{n}$ , $\sigma=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ .
• $X_{1}+\dots+X_{n}\neq nX$ : même espérance, variances $nV$ contre $n^{2}V$ .
• $P(|X-\mu|\geq\delta)\leq\frac{V}{\delta^{2}}$ et $P(|M_{n}-\mu|\geq\delta)\leq\frac{V}{n\delta^{2}}$ .
• Taille garantie : $n\geq\frac{V}{\alpha\delta^{2}}$ , arrondi à l'entier SUPÉRIEUR.

Questions fréquentes

Faut-il que les variables soient indépendantes pour additionner les espérances ?

Non. La linéarité de l'espérance vaut pour deux variables aléatoires quelconques : l'espérance d'une somme est toujours la somme des espérances. C'est la variance qui demande l'indépendance. On peut donc calculer l'espérance d'un nombre de succès en l'écrivant comme une somme d'indicatrices, même quand ces indicatrices dépendent les unes des autres.

Pourquoi la variance de 2X n'est-elle pas la variance de X plus X ?

Parce que X n'est pas indépendante d'elle-même. Doubler X double chaque écart à la moyenne, donc multiplie la variance par quatre. Additionner deux copies indépendantes de X ne double que la variance, car leurs écarts se compensent en partie. Les deux variables ont pourtant la même espérance : c'est toute la différence entre une somme de copies et une copie multipliée.

Comment démontrer l'espérance et la variance de la loi binomiale en Terminale ?

On écrit le nombre de succès comme la somme de n variables de Bernoulli, une par épreuve, qui valent 1 en cas de succès et 0 sinon. Chacune a pour espérance p et pour variance p fois 1 moins p. La linéarité donne np pour l'espérance, sans hypothèse. Les épreuves étant indépendantes, les variances s'additionnent et donnent np fois 1 moins p.

Pourquoi l'écart type de la moyenne est-il divisé par racine de n et pas par n ?

La variance de la somme de n valeurs indépendantes vaut n fois la variance d'une valeur. En divisant la somme par n, on divise la variance par n au carré : il reste la variance divisée par n. L'écart type étant la racine de la variance, il est divisé par racine de n. Pour diviser l'écart type par deux, il faut donc quatre fois plus de valeurs.

Comment trouver une taille d'échantillon avec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?

On applique l'inégalité de concentration à la moyenne de l'échantillon : la probabilité d'un écart au moins égal à delta est majorée par la variance divisée par n fois delta au carré. Il suffit que cette majoration soit inférieure ou égale au risque accepté. On résout en n et l'on arrondit toujours à l'entier supérieur.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Sommes de variables aléatoires et concentration

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
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© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/tspe-sommes-variables-aleatoires. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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